【配套K12】2018数学高考一轮复习刺金四百题：第396—400题(含答案解析)

感知高考刺金376题设函数()3,f x x a a a x=--+∈R ,若关于x 的方程()2f x =有且仅有三个不同的实数根,且它们成等差数列,则实数a 的取值构成的集合是 ． 解：3322x a a x a a x x--+=⇒-+=+ 方程的根有且仅有三个,即左右两个函数的交点有且仅有三个, 故考查函数1,2,x x a y x a a a x x a≥⎧=-+=⎨-<⎩与232y x =+的图象 这里要注意1y x a a =-+的图象虽然随着a 的变化在移动,但是有规律的移动,“V ”型图的尖底(),a a 是沿着y x =移动的,而232y x =+的图象是确定不变的。

由322a x x+=-解得()11x a =-()21x a =- 由32x x+=解得31x =-,43x = 故画出图象只有两种情况（两个交点在第三象限,一个在第一象限（此时0a <）或三个交点都在第一象限（此时0a >））即1312x +=-⋅（如左图）或1232x x +=（如右图）即()9155a a -=-⇒=-或()()1321a a -=-+24810340a a a a ⇒-⇒--=⇒=又因为此时0a >,故a =综上,95a ⎧⎪∈-⎨⎪⎪⎩⎭感知高考刺金377题已知锐角ABC ∆的内角3A π=,点O 为三角形外接圆的圆心,若OA xOB yOC =+ ,则2x y -的取值范围是 ．解法一：这是典型的求平面向量基本定理系数和问题,常用“作三点共线”的办法来解决。

由3A π=,得23BOC π∠=,不妨如图固定,,O B C 三点,因为ABC ∆是锐角三角形,所以点A 在 'DC上运动,取OB 的中点为'B ()2''OA xOB yOC xOB y OC =+=+-这样就构造出了系数和2x y -作直线OA 与直线''B C 交于E ,于是作出了',',B C E 三点共线。

感知高考刺金461．已知()()21f x x =-，()()41g x x =-，{}n a 满足12a =，()()()10n n n n a a g a f a +-+=，{}n b 满足()()13n n n b f a g a +=-，那么{}n b 的最小值为 ． 解：()()()214110n n n n a a a a +-⋅-+-= 故()()114310n n n a a a +---=因为n a 不恒等于1，故14310n n a a +--= ()13114n n a a +-=- 1314n n a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭从而2222133333434444n nn n n b ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-=-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦令134n t -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()22113324n b t t t ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦当3139416-⎛⎫=⎪⎝⎭离对称轴12t =最近，故()3min 189256n b b ==- 2． 102)1(x -的展开式中2x 的系数是 ，如果展开式中第r 4项和第2+r 项的二项式系数相等，则r 等于 ． 答案：－10，2感知高考刺金471．已知,,a b c 为正整数，关于x 的方程20ax bx c ++=有两个不相等的实根，且两根均大于12-，则a b c ++的最小值为 ． 解法一：204212240a bc b ab ac ⎧-+>⎪⎪⎪->-⎨⎪⎪->⎪⎩，所以b a <，244b ac bc >>，所以4b c > 又240a b c -+>，所以428a c b c +>>，所以4a c >所以有4a b c >>要使a b c ++最小，需使,,a b c 尽可能地小，由于,,a b c 为正整数，所以取1c =，则4a b >>．则2244b b a -<<取5b =，2564a <<，无解 取6b =，89a <<，无解取7b =，49104a <<，取11a =，经检验满足题意，此时19a b c ++= 若取2c ≥，则8a b >>，2119a b c ++≥>，故当11,7a b ==时，()min 19a b c ++=解法二：2042240122440a bc a b c b a b a a c b ac ⎧-+>⎪-+>⎧⎪⎪⎪->-⇒>⎨⎨⎪⎪>⎩⎪->⎪⎩要使a b c ++最小，需使,,a b c 尽可能地小由于,,a b c 为正整数，所以取1c =，则24244a a b a b b a>⎧⎪>⎪⎨>-⎪⎪>⎩，画出可行域（b 为横轴，a 为纵轴），可知当11,7a b ==时，()min 19a b c ++=2．有3辆不同的公交车，3名司机，6名售票员，每辆车配备一名司机，2名售票员，则所有的工作安排方法数有________（用数字作答） 答案：540感知高考刺金481．已知,x y 满足x y +=22x y +的最小值是 ．解法一：x y +=10xy x y ++-=这里出现了两数之积和两数之和，要得到两数的平方和，所以可以用基本不等式．由于222x y xy +≤和2x y +≤ 所以2212x y+≥，解得226x y +≥-解法二：这里介绍一种好方法：出现xy 乘积项，可以用换元法，设,x a b y a b =+=- 所以22210a b a -+-=即()()2222112122a b a b ++-=⇒-=为双曲线 ()22222x y a b +=+可视为双曲线上的点与坐标原点连线距离的平方的2倍．所以当且仅当1a =时，即1x y ==时，22x y +的最小值为6-解法三：由22210a b a -+-=得22210b a a =+-≥，解得1a ≥或1a ≤所以()222222124424362x y a b a a a ⎛⎫+=+=+-=+-≥- ⎪⎝⎭变式题：（2011年浙江省高考）设,x y 为实数，若2241x y xy ++=，则2x y +的最大值为 ．解：本题有多种解法，这里也利用换元来做． 因为有xy 乘积项，所以设2,x a b y a b =+=-则条件变为2253122a b +=，求22x y a +=的取值范围．可以视为椭圆用三角换元做；令a θ=，所以2a θ⎡=∈⎢⎣⎦也可以变成规划问题求切线做；也可以22351022b a =-≥，所以a ≤≤22x y a ⎡+=∈⎢⎣⎦2． 10)2(y x -的展开式中，含46y x 项的系数 ． 答案：840感知高考刺金491．设二次函数()()2(21)2,,0f x ax b x a a b a =++--∈≠R 在[]3,4上至少有一个零点，则22a b +的最小值为 ．解：关于x 的二次方程2(21)20ax b x a ++--=在[]3,4上有实根，设()2220a b r r +=≥ 问题等价于关于,a b 的直线()21220a x bx x -++-=与()2220a b r r +=≥有公共点r ≤在[]3,4上能成立，即221x r x -≥=+在[]3,4上能成立所以令()221x g x x -=+，设[]21,2x t -=∈，则()215454t g t t t t t==++++在[]1,2t ∈上单调递增 所以()110g t ≥所以2221100a b r +=≥，当前仅当3x =时取得等号． 2． 把4名男乒乓球选手和4名女乒乓球选手同时平均分成两组进行混合双打表演赛，不同的比赛分配方法有 种（混合双打是1男1女对1男1女，用数字作答）． 答案：72感知高考刺金501．已知1a b ==，向量c 满足()c a b a b -+=-，则c 的最大值为 ．解法一：()()222a b c a bc a b a b +--+=-⇒-=几何意义可以理解为，设OA a =，OB b =，取AB 中点为D ，所以2c的终点C 在以D 为圆心，以2a bAD -=为半径的圆上运动，所以c 的最大值就是()2OD AD + 又因为221OD AD +=，所以2OD AD +≤当且仅当2OD AD ==a b ⊥时，max 22c =解法二：()c a b c a b a b -+≤-+=-所以2222222222c a b a b a b a b a b ≤-++≤-++=+≤ 当且仅当a b ⊥时，max22c=2． 令n a 为1()(1)n n f x x +=+的展开式中含1n x -项的系数，则数列1{}na 的前n 项和为 ． 答案：21nn +。

感知高考刺金201题解析几何模块4．已知曲线C 的方程221x y +=，()2,0A -，存在一定点()(),02B b b ≠-和常数λ，对曲线C 上的任意一点(),M x y ，都有MA MB λ=成立，则点(),P b λ到直线()220m n x ny n m ++++=的最大距离为 ． 解法一：由MA MB λ=得()()222222x y x b y λ⎡⎤++=-+⎣⎦即()()()222222211244x y b x b λλλλ-+--+=- 故2222240411b b λλλ⎧+=⎪⎨-=⎪-⎩，将22b λ=-代入22241b λλ-=-得22520b b ++=，得12b =-，2λ= 又直线()220m n x ny n m ++++=恒过定点()2,0-，所以由几何性质知点1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线()220m n x ny n m ++++=的最大距离为点()2,0-与1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离为52 解法二：作为小题，由MA MB λ=知是阿氏圆轨迹，故取圆22:1C x y +=直径上的两个点()()1,0,1,0-，即可得1311b b λ==+-，解得12b =-，2λ= 感知高考刺金202题解析几何模块5．已知M 是28x y =的对称轴和准线的交点，点N 是其焦点，点P 在该抛物线上，且满足PM m PN =，当m 取得最大值时，点P 恰在以M 、N 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为 ．解：作''PP MP ⊥，由抛物线定义'PP PN ='1cos PN PP PM m PN m PM PMθ=⇒===，其中'MPP NMP θ=∠=∠要使m 取得最小值，即cos θ最小，即NMP θ=∠最大值，即''2PMP MPP π∠=-∠最小，此时MP 是抛物线的切线．设MP 的方程为2y kx =-，与28x y =联立得()2820x kx --=因为相切，故264640k ∆=-=，解得1k = 故()4,2P，24a PM PN =-= 由24c =，得1e =感知高考刺金203题解析几何模块6． 已知斜率为1的直线l 过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左焦点F ，且与双曲线左、右支分别交于,A B 两点，若A 是线段BF 的中点，则双曲线的离心率为 ．解：由题意知122y y =()222222422120x y b a y b cy b a b x y c ⎧-=⎪⇒--+=⎨⎪=-⎩ 2121224212122232b c y y y b a b y y y b a ⎧+==⎪⎪-⎨⎪==⎪-⎩所以222492c b a =-，所以2218c a e =⇒=感知高考刺金204题解析几何模块7． 已知点P 是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>上的动点，12,F F 是其左、右焦点，O 坐标原点，若12PF PF OP +，则此双曲线的离心率是 ．解：设12,PF m PF n ==，则()22222222122422m n OP F F m n OP c +=+⇒+=+ 又2m n a -=，所以22224m mn n a -+= 所以2222224mn OP c a =+- ()222222222222444m n OP c OP c a OP b +=+++-=+ 所以22244m n b OP OP +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 所以m n OP +的最大值在OP a =时取到，所以22446b a+=所以222b a =，即e =感知高考刺金205题解析几何模块8．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()()22119x y -+-=，直线:3l y kx =+与圆C 相交于,A B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围是 ． 解：两圆有公共点的充要条件是15CM ≤≤，而5CM ≤恒成立，故只要min 1CM ≥时两圆必有公共点．由平面几何知识可知，min CM 为点C 到直线l 的距离d ，所以1d ≥，解得34k ≥-。

感知高考刺金316在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别为棱AA 1,CC 1的中点,则在空间中与三条直线A 1D 1,EF ,CD 都相交的直线条数为________条．解：在EF 上任意取一点M ,直线A 1D 1与M 确定一个平面,这个平面与CD 有且仅有1个交点N ,当M 取不同的位置就确定不同的平面,从而与CD 有不同的交点N ,而直线MN 与直线A 1D 1,EF ,CD 均相交,故满足题意的直线有无数条．感知高考刺金317已知bc a ,ac b ,ab c 成等差数列,则①2b ac ≥；②ac b ≥2；③||||||2a cb +≥中,正确的是 ．（填入序号） 解：2ac bc ab b a c=+⇒2(ac )2=(bc )2+(ab )2=|bc |2+|ab |2≥2|bc |⋅|ab |=2|ac |b 2⇒|ac |≥b 2, ∴①、②错,而||||||2a cb +≥,③对感知高考刺金318已知函数()f x 在定义域(0,)+∞上是单调函数,若对任意(0,)x ∈+∞,都有1[()]2f f x x-=,则不等式()2f x x >的解集为 .解：因函数()f x 在定义域(0,)+∞上是单调函数,故1()(f x t t x -=为正常数）,即1()f x t x=+, 从而有1()f x t x =+,又1()2f t t t =+=,所以1,t =从而1()1f x x=+, 由1(21)(1)()2120,0,x x f x x x x x +->+-><由得，即()0()2(0,1)f x f x x +∞>由于函数的定义域为（，），所以不等式的解集为.感知高考刺金319已知ABC ∆的内角C B A ,,的对边c b a ,,成等比数列,则AB sin sin 的取值范围为 。

解：由ac b =2且c b a >+,得()2b a b a >+,得022<--a ab b ,得2510+<<a b 又,a c b >+()2b c c b >+∴,即022>-+b bc c ,得215->b c ,又b c a b = 215215+<<-∴a b ,sin sin B A << 点评：本题是三角形里隐含的三边关系的应用,有时会成为高考大题第2小问中隐含的定义域要求,这个是值得注意的点。

感知高考刺金276题设,a b 是非零向量，且1a b -=，32a b -=，则2a b -的最大值是 ． 解法一：（代数角度运算）令a b u -=，3a b v -=，则22u va b +-= 题目简化为1u =，2v =，求2u v+的最大值 2144cos 9244u v θ+++=≤，故322u v +≤ 解法二：（几何角度）画出1a b -=，32a b -=的几何图形，即1AB =，2AC =，问题变为ABC ∆的两边分别为1和2，求中线AM 的长度的最大值。

23AM AB AC ≤+=（即构造平行四边形，发现三角形两边之和大于第三边，当构不成三角形时取得等号），故32AM ≤解法三：（坐标角度）将ABC ∆画成如图形状，则点B 在以A 为圆心，1为半径的圆上运动，再求中线AM 的最大值。

本题还可以建系设点做，设()0,0A ，()2,0C ，()cos ,sin B θθ，cos sin 1,22M θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 则222cos sin 591cos 2444AM θθθ⎛⎫=++=+≤ ⎪⎝⎭ 即32AM ≤点评：本题是一个向量的好题，妙在可以从代数、几何和坐标运算三种常见角度操作。

一般地，向量模长问题，平方就是代数运算，不平方是几何意义，必要时活用坐标建系。

感知高考刺金277题在ABC ∆，90BAC ∠=︒，以AB 为一边向ABC ∆外作等边ABD ∆，若2BCD ACD ∠=∠，AD AB AC λμ=+，则λμ+= ．解：注意到又是求向量系数之和，故可以用三点共线来做。

如图，延长DA 与BC 交于EABCM则AE xAB yAC =+，且1x y += AD mAE mxAB myAC ==+故AD m AEλμ+==-设2AB =，AC a =，ACDθ∠=，则tan θ=，2tan 3a θ=)22tan 21aaθ=-()22tan 3tan 213aa a θθθ=+===+即24a =，2a =即ABC ∆是等腰直角三角形，故135ACE ∠=︒，15AEC ∠=︒ 所以sin135sin15AE AC ==︒︒()21AE =故12AD m AEλμ-+==-=点评：本题入手是由三点共线，在处理的过程中利用三倍角的正切公式来处理条件中的二倍角关系，不知道是否有初中的平面几何知识可以迅速确定ABC ∆是等腰直角三角形。

感知高考刺金341实数,,a b c 满足2225a b c ++=，则2687ab bc c -+的最大值为 ． 解：因为2296a b ab +≥，22828b c bc +≥-所以相加得2222999687a b c ab bc c ++≥-+即268745ab bc c -+≤当且仅当2223,5a b a b c ==++=同时满足，即a b c ===-或a b c ==-= 点评：本题是三元均值不等式的问题，难点在于每个均值不等式的系数配凑。

这里其实是用待定系数法来确定系数。

2222226877ab ma nb bc pb qc c c ⎧≤+⎪-≤+⎨⎪≤⎩，故()()22226877ab bc c ma p n b q c -+≤++++因此768m p n q =+=+⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得9,1,8,2m n p q ====感知高考刺金342已知数列{}n a 的前n 项和为()11n n S n=-⋅，若存在正整数n ，使得()()10n n a p a p +--<成立，则实数p 的取值范围是 ．解：11a =-，22132a S S =-=因为()212111021k k S k --=-⋅<-，20k S > 故210k a -<，20k a >（即奇数项为负，偶数项为正） 又因为21211102121k k a a k k -+⎛⎫-=--< ⎪-+⎝⎭，222110222k k a a k k +⎛⎫-=-> ⎪+⎝⎭所以这个数列是震荡数列，奇数项恒负且递增，偶数项恒正且递减所以条件转化为存在正整数k ，使得212k k a p a -<<只要12122k k a a p a a -<<<<<<，即312p -<<感知高考刺金343已知,x y 为实数，且()()21x y x y +-=，则222x y +的最小值为 ．解法一：令,2x y a x y b +=-=，则2,33a b a b x y +-==，且1ab =所以222222296322339a b a b a ab b x y +-++⎛⎫⎛⎫+=+=≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解法二：齐次化转函数求值域()()()()()222222222221522112212221x y t t t x y x y x y t t t t t t +++-+====-++-+---+--+ 令5t m -=，()22211111112542222222542211122m x y m m m m+=-+⋅=-+⋅≥-+++++=-+感知高考刺金344题已知ABC ∆是单位圆O 的内接三角形，AD 是圆的直径，若满足2AB AD AC AD BC +=，则BC = ． 解：如图，因为AD 是圆O 的直径，所以2cos AB AD AB AD BAD AB =∠= 同理2AC AD AC =（其实就是投影，点积转投影记得吗？） 所以222AB AC BC +=所以90BAC ∠=，则BC是直径，所以2BC =感知高考刺金345题已知正四面体ABCD P 是棱AB 上任意一点（不与,A B 重合），且点P 到面ACD 和面BCD 的距离分别为,x y ，则31x y+的最小值为． 2AO =所以如图作PH ⊥面BCD ，则在ABO ∆中，PH BP AO AB=得BP同理AP =所以AB BP AP =+==所以2x y +=所以313122x y x y x y ⎛⎫++=+⋅≥ ⎪⎝⎭。

感知高考刺金361题设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ，使得[]1t =，22t ⎡⎤=⎣⎦，…，n t n⎡⎤=⎣⎦同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是 ． 解：由[]1t =得12t ≤<由22t ⎡⎤=⎣⎦得223t ≤< 由44t ⎡⎤=⎣⎦得445t ≤<，所以22t ≤<由33t ⎡⎤=⎣⎦得334t ≤<，所以56t ≤<由55t ⎡⎤=⎣⎦得556t ≤<与56t ≤<n 的最大值是4感知高考刺金362题过点()1,1M -的直线l 交圆()22:11C x y -+=于点,A B ，O 为坐标原点，若在线段AB 上的Q 满足112MA MB MQ+=，则min OQ = ． 解：设()11,A x y ，()22,B x y ，(),Q m n ，直线():11l y k x =++则11MA +，21MB =+，1MQ + 由112MA MB MQ +=得12112111x x m +=+++ 由()()221111x y y k x ⎧-+=⎪⎨=++⎪⎩得()()()2222122210k x k k x k +++-++= 所以21222221k k x x k +-+=-+，()212211k x x k +=-+ 所以421k m =-+所以()42111n m m ⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭整理得点(),Q m n 满足的轨迹方程为210m n --=所以min OQ ==感知高考刺金363题如图，已知点D 为ABC ∆的边BC 上一点，3BD DC =u u u r u u u r，()*n E n ∈N 为AC 边上一列点，满足()11324n n n n n E A a E B a E D +=-+u u u u r u u u u r u u u u r，其中数列{}n a 满足0n a >，11a =，则{}n a 的通项公式为 ．解：由3BD DC =u u u r u u u r可得1344n n n E D E B E C =+u u u u r u u u u r u u u u r又()11324n n n n n E A a E B a E D +=-+u u u u r u u u u r u u u u r，且n n E C E A λ=u u u u r u u u u r故()113132444n n n n n n E D E B a E B a E D λ+⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r即()131********n n n n a E B a E D λλ+⎛⎫⎡⎤+=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭u u u u r u u u u r 因为,n n E B E D u u u u r u u u u r 不共线，故()1310416313204n na a λλ+⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩， 两式相除消去λ得132n n a a +=+，又11a =，所以1231n n a -=⋅-感知高考刺金364题若点A 在圆C :22(1)(2)4x y -++=上运动,点B 在y 轴上运动,则对定点(3,2)P 而言,||PA PB +u u u r u u u r的最小值为 ．解法1：设11(,)A x y ,2(0,)B y ,则112(6,4)PA PB x y y +=-+-u u u r u u u r.若设||r PA PB =+u u u r u u u r ,则由题意可得222112(6)(4)x y y r -++-=.即,点A 在以2(6,4)D y -为圆心,以r 为半径的圆D :2222(6)(4)x y y r -++-=上.由圆C与圆D 有公共点A 可得2222||(61)(6)5r CD y +≥=-+-≥,从而3r ≥.解法2：设11(,)A x y ,2(0,)B y ,则112(6,4)PA PB x y y +=-+-u u u r u u u r.从而,22211211||(6)(4)(6)63PA PB x y y x x +=-++-≥-=-≥u u u r u u u r.解法3：由点A 在圆C 上可设(12cos ,22sin )A θθ+-+,(0,)B t ,则(2cos 5,2sin 6)PA PB t θθ+=-+-u u u r u u u r.故222||(2cos 5)(2sin 6)(2cos 5)52cos 3PA PB t θθθθ+=-++-≥-=-≥u u u r u u u r. 解法4：设Q 为AB 的中点,则2PA PB PQ +=u u u r u u u r u u u r,过,,P Q A 作y 轴的垂线,垂足分别为',','P Q A .由于13|'||||'||||'|||22PP PQ QQ PQ AA PQ ≤+=+≤+, 因此33|||'|22PQ PP ≥-=,即||2||3PA PB PQ +=≥u u u r u u u r u u u r .解法5：设'B 为点B 关于点P 的对称点，则|||'||'|PA PB PA PB B A +=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r .由于点'B 在直线6x =上,点A 在圆C :22(1)(2)4x y -++=上可得|'|523B A ≥-=u u u u r.解法6：同解法5，设'A 为点A 关于点P 的对称点,则|||'||'|PA PB PB PA A B +=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r .由于点'A 在圆'C :22(5)(6)4x y -+-=上,点B 在y 轴上可得|'|523A B ≥-=u u u u ryxB'PCOA B感知高考刺金365题设实数,x y 满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则112u x y =+的取值范围为 ．解：可行域如图所示，()1,2A ，()4,2B ，()3,1C ， 所以14,12x y ≤≤≤≤设点(),P x y 是可行域内一动点， 目标函数112u x y=+既是关于x 的减函数，又是关于y 的减函数 所以当点P 与点C 重合时，此时x 取得最大值4， 同时y 取得最大值2，此时u 取得最小值为1114222+=⋅ 对于每一个固定的y 的值，要使u 取得最大值，应使x 取得最小值，即点P 应位于线段AB 上，此时()5212x y y =-≤≤()()111152522252u y x y y y y y =+=+=--()12y ≤≤ 所以()max 54u y =，此时()1,2P 与点A 重合 综上所述，1524u ≤≤感知高考刺金366题已知点,A B 是双曲线22122x y -=右支上两个不同的动点，O为坐标原点，则OA OB u u u r u u u rg的最小值为 ．解法一：韦达定理当AB k 存在时，设:AB l y kx b =+()222221122022x y k x kbx b y kx b⎧-=⎪⇒----=⎨⎪=+⎩212122222,11kb b x x x x k k ++==-- ()()()()221212*********OA OB x x y y x x kx b kx b k x x kb x x b =+=+++=++++u u u r u u u r g()2222222222222241221111b k b k k b k k k k ++=+++==+>----当AB k 不存在是，222x y x m⎧-=⎨=⎩，则22121222OA OB x x y y m m =+=+-=u u u r u u u r g综上，2OA OB ≥u u u r u u u rg解法二：由于,A B 两点运动，故采取“一定一动”的原则，不妨先在B 点确定的情况下，让A 点运动到最小值，然后再让B 点运动，即取最小值的最小值。

感知高考刺金156已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，(A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为 ．解：设双曲线的左焦点为1F ，由双曲线定义知12PF a PF =+所以APF ∆周长为12PA PF AF PA a PF AF ++=+++ 由于2a AF +是定值，要使APF ∆周长最小，则1PA PF +最小，即1,,P A F 三点共线因为(A ，()13,0F -，所以直线1AF 的方程为13x =-代入22:18y C x -=整理得2960y +-=，解得y =y =-所以P y =所以11116622APF AF F PF F S S S ∆∆∆=-=⋅⋅⋅⋅= 感知高考刺金157在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=，2BC =，则AB 的取值范围是 ．解：如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合于E 点时，AB 最长，在BCE ∆中，75B C ∠=∠=，30E ∠=，2BC =，由正弦定理可得sin sin BC BE E C =∠∠，即o o2sin30sin 75BE =，解得BE =，平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在BCF ∆中，75B BFC ∠=∠=，30FCB ∠=，由正弦定理知，sin sin BF BC FCB BFC =∠∠，即o o2sin30sin 75BF =，解得BF =所以AB 的取值范围为感知高考刺金158已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ ，函数()()2g x b f x =-- ，其中b ∈R ，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是（A ）7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭解：由()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x ⎧--≥⎪-=⎨<⎪⎩， 所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎪⎩， 即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知724b << 已知函数()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，函数()()32g x f x =--，则函数()()y f x g x =-的零点的个数为 ．解：当0x <时，()22f x x -=，此时方程()()210f x g x x x -=--+=的小于0的零点为x = 当02x ≤≤时，()222f x x x -=--=，方程()()22f x g x x x -=-+=无零点 当2x >时，()2224f x x x -=--=-，方程()()()2227330f x g x x x x x -=-+-=--=有一个大于2的根32x =- 故共有2个零点． 感知高考刺金159已知函数()sin f x x =，若存在12,,,m x x x 满足1206m x x x π≤<<<≤，且（2,m m ≥∈N ），则m 的最小值为 ．解：因为对任意2,m m ≥∈N 和任意m x ∈R 都有()()12m m f x f x --≤ 由()()()()()()1223112m m f x f x f x f x f x f x --+-++-=知7m ≥ 但当7m =时，必须使()()()122,3,4,5,6,7m m f x f x m --== 则1267,,,,x x x x 依次取35791113,,,,,,62222222ππππππππ>，不合题意当8m =时，1267,,,,x x x x 依次取3579110,,,,,,,6222222πππππππ可满足题意，所以m 的最小值为8感知高考刺金160已知函数()ln f x x =，()20,0142,1x g x x x <≤⎧⎪=⎨-->⎪⎩，则方程()()1f x g x +=的实根个数为 ．解：()()()()11f x g x g x f x +=⇔=±-作出函数()y g x =与()1y f x =±-的图象，观察共有4个交点。

感知高考刺金356题已知实数,x y 满足关系式1xy x y --=，则22x y +的最小值是 ．解法一：题干中出现的全是两数的和、平方和与乘积，所以考虑用均值不等式链条。

()()()2222221223x y x y xy xy xy xy +=+-=--=--由()()()2224146103x y xy xy xy xy xy xy +≥⇒-≥⇒-+≥⇒≥+3xy ≤-所以()()2222233236x y xy +=--≥--=-点评：这里注意因为题干中没有告诉我们,x y 的正负性，所以不能直接用1x y xy +=-≥xy 的取值范围，所以改为用重要不等式来222a b ab +≥来做。

虽然答案正好一样，但做法要注意。

解法二：遇到xy 结构，所以用代数的极化恒等式变形。

令,x a b y a b =+=-，则问题转变为已知22210a b a ---=，求()222a b +的最小值。

因为()2222442a b a a +=--所以还需要计算定义域，即2221011b a a a a =--≥⇒≤≥所以()(2min 44216a a f --=-=-解法三：设,1x y a xy a +==+，则,x y 视为210z az a -++=的两根所以2440a a ∆=--≥所以2a ≥+或2a ≤-()()22222222136x y x y xy a a a +=+-=--=--≥-当且仅当2a =-时取得最小值。

感知高考刺金357题已知点P 为圆1O 与圆2O 的公共点，圆()()2221:1O x a y b b -+-=+，圆()()2222:1O x c y d d -+-=+，若8ac =，a c b d=，则点P 与直线:34250l x y --=上任意一点M 之间的距离的最小值为 ．解：设(),P m n ，1a c b d k==，则b ak =，d ck = 所以()()22221m a n ka k a -+-=+，即()2222210a m kn a m n -+++-=同理()2222210c m kn c m n -+++-=所以,a c 是方程()2222210x m kn x m n -+++-=的两个实根所以2218ac m n =+-=所以点P 的轨迹方程为229x y +=所以点P 到直线:34250l x y --=的最短距离为min 532PM =-=感知高考刺金358题已知向量,a b 满足23a b +=，22a b -=，则a b 的取值范围是 ． 解：（一）几何角度 由()223a b a b +=--=和12b a -=可以画图，找到向量模长的几何意义。

感知高考刺金206题解析几何模块9．已知点()1,0A m -，()1,0B m +，若圆22:88310C x y x y +--+=上存在一点P ，使得0PA PB =，则m 的最大值为 ．解：由0PA PB =得P 在以AB 中点()1,0M 为圆心，2AB为半径的圆上，所以P 的轨迹方程为()2221x y m -+=，所以圆M 的半径为m ，又由P 在圆C 上，22:88310C x y x y +--+=的圆心()4,4C ，半径为1，当圆M 与圆C 内切时，MP最大为516MC CP +=+=感知高考刺金207题立体几何模块1．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11B BCC 上的动点，并且1//A F 平面1AED ，则动点F 的轨迹是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．线段解：如图，取1BB 的中点M ，11B C 的中点N ，显然可证明平面1//A MN 平面1AED ，当F 在线段MN 上时，均有1//A F 平面1AED ，即动点F 的轨迹是线段MN 。

点评：善于转化是解决立体几何中平行与垂直问题的关键。

例如，考虑“线线平行”时，可转化为“线面平行”或“面面平行”；考虑“线面平行”时，可转化为“线线平行”或“面面平行”；考虑“面面平行”时，可转化为“线线平行”或“线面平行”。

在斜二测画法画图时，平行关系不会改变，因为要找平行线，可以考虑在图象上推平行线，然后关注哪个位置看起来比较特殊，例如中点，中位线之类。

感知高考刺金208题立体几何模块2．如图，在三棱柱111ABC A B C -的侧棱1AA 与1BB 上各有一个动点P ，Q ，且满足1A P BQ =，M 是棱CA 上的动点，则111M ABQPABC A B C M ABQPV V V ----的最大值是 ．解法一：设111ABC A B C V V -=，则11113M ABQP M B BA C B BA B CBA V V V V V ----=≤==（注：这里用到了梯形ABQP 的面积与1ABB ∆的面积相等。