第一章三角函数章末综合检测(人教A版必修4)

暑假数学课外辅导(必修4)第一章 三角函数一、基本内容串讲本章主干知识：三角函数的定义、图象、性质及应用，函数()ϕω+=x A y sin 的图象，三角函数模型在解决具有周期变化规律问题中的应用。

1．任意角和弧度制从运动的角度，在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于3600的角。

在直角坐标系中，当角的终边确定时，其大小不一定（通常使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴非负半轴重合）。

为了把握这些角之间的联系，引进终边相同的角的概念，凡是与终边α相同的角，都可以表示成α+k ·3600 （k ∈Z ）的形式，特例，终边在x 轴上的角的集合为{α|α=k ·1800，k ∈Z}，终边在y 轴上的角的集合为{α|α=900+k ·18000，k ∈Z}，终边在坐标轴上的角的集合为{α|α=k ·900，k ∈Z}。

另外，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限的角。

弧度制是角的度量的重要表示法，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度制。

在弧度制下，扇形弧长公式=|α|R ，扇形面积公式||R 21R 21S 2α== ，其中α为弧所对圆心角的弧度数。

2．任意角的三角函数利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角函数。

设P(x ，y)是角α终边上任一点（与原点不重合），记22y x |OP |r +==，则r y s i n =α，r x cos =α，xy tan =α。

3．同角三角函数的基本关系式（1）平方关系：22sincos 1αα+= （2）商数关系：sin tan cos ααα= 4．三角函数的诱导公式利用三角函数定义，可以得到诱导公式：即πα2k+与α之间函数值的关系（k ∈Z ），其规律是“奇变偶不变，符号看象限”。

5．三角函数的图象与性质6．函数()ϕω+=x A y sin 的图象作函数y A x =+sin()ωϕ的图象主要有以下两种方法： （1）用“五点法”作图用“五点法”作y A x =+sin()ωϕ的简图，主要是通过变量代换，设ϕω+=x z ，由z 取0，2π，π，23π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象。

单元质量评估(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.扇形的周长是4,面积为1,则该扇形的圆心角的弧度数是( C )A. B.1 C.2 D.42.若120°角的终边上有一点(-4,a),则a的值为 ( C )A.-4B.±4C.4D.23.下列三角函数值的符号判断正确的是 ( C )A.sin 156°<0B.cos>0C.tan<0D.tan 556°<04.sin 300°+tan600°的值等于 ( B )A.-B.C.-+D.+5.已知函数f(x)=3sin x-4cos x(x∈R)的一个对称中心是(x0,0),则tan x0的值为 ( D )A.-B.C.-D.6.下列函数中,最小正周期为π,且图象关于直线x=对称的是( B )A.y=sinB.y=sinC.y=cosD.y=cos7.函数f(x)=Asinx(A>0)的图象如图所示,P,Q分别为图象的最高点和最低点,O为坐标原点,若OP⊥OQ,则A= ( B )A.3B.C.D.18.函数y=sin的图象可由函数y=cos x的图象至少向右平移m(m>0)个单位长度得到,则m= ( A )A.1B.C.D.9.函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是 ( B )A.2,-B.2,-C.4,D.4,10.函数y=cos2x+sin x-1的值域为 ( C )A. B.C. D.[-2,0]11.已知函数f(x)=tan ωx在内是减函数,则实数ω的取值范围是 ( B )A.(0,1]B.[-1,0)C.[-2,0)D.12.已知函数f(x)=sin(ωx+φ),x=-为f(x)的零点, x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在单调,则ω的最大值为 ( B )A.11B.9C.7D.5二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.若2sin α-cos α=0,则=-.14.函数f(x)=sin+cos的最大值为.15.设函数f(x)=cos x,先将f(x)纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,再将图象向右平移个单位长度后得g(x),则函数g(x)到原点距离最近的对称中心为.16.给出下列命题:①存在实数x,使sin x+cos x=;②函数y=sin是偶函数;③若α,β是第一象限角,且α>β,则cos α<cosβ;④函数y=sin 2x的图象向左平移个单位,得到函数y=sin的图象.其中结论正确的序号是②.(把正确的序号都填上)三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知tan α+=,求2sin2(3π-α)-3cos·sin+2的值.【解析】因为tan α+=,所以2tan2α-5tan α+2=0.解得tan α=或tan α=2.2sin2(3π-α)-3cos sin+2=2sin2α-3sin αcos α+2=+2 =+2.当tan α=时,原式=+2=-+2=;当tan α=2时,原式=+2=+2=. 18.(本小题满分12分)已知f(α)=.(1)化简f(α).(2)当α=-时,求f(α)的值.【解析】(1)f(α)===-cos α.(2)当α=-时,f(α)=-cos=-cos=-.19.(本小题满分12分)(1)已知x是第三象限的角,化简三角式-.(2)已知tan θ=(0<a<1).求证:+=-2.【解析】(1)因为x是第三象限的角,所以-=-=-=-=-2tan x.(2)因为tan θ=,所以==-1,所以a=cos2θ,所以+=====-2,故原式成立. 20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示.(1)求f(x)的解析式.(2)求f(x)在上的最大、最小值及相应的x的值.【解析】(1)由图象可知,A=2.因为周期T==π,所以=π,ω>0,解得ω=2.所以f(x)=2sin(2x+φ).代入点,得sin=1,所以+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=-+2kπ,k∈Z.又|φ|<,所以φ=-.所以f(x)=2sin.(2)因为x∈,所以2x-∈.所以当2x-=,即x=时,f(x)max=2;当2x-=-或,即x=0或时,f(x)min=-.21.(本小题满分12分)平潭国际“花式风筝冲浪”集训队,在平潭龙凤头海滨浴场进行集训,海滨区域的某个观测点观测到该处水深y(米)随着一天的时间t(0≤t≤24,单位:时)呈周期性变化,某天各时刻t的水深数据的近似值如表:(1)根据表中近似数据画出散点图.观察散点图,从①y=Asin(ωt+φ),②y=Acos(ωt+φ)+b,③y=-Asinωt+b(A>0,ω>0,-π<φ<0)中选择一个合适的函数模型,并求出该拟合模型的函数解析式.(2)为保证队员安全,规定在一天中的5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练,根据(1)中的选择的函数解析式,试问:这一天可以安排什么时间段组织训练,才能确保集训队员的安全.【解析】(1)根据表中近似数据画出散点图,如图所示:依题意,选②y=Acos(ωt+φ)+b做为函数模型,所以A==0.9,b==1.5.因为T==12,所以ω=.所以y=0.9cos+1.5.又因为函数y=0.9cos+1.5的图象过点,所以2.4=0.9×cos+1.5.所以cos=1.所以sin φ=-1.又因为-π<φ<0,所以φ=-.所以y=0.9cos+1.5=0.9sin t+1.5.(2)由(1)知,y=0.9sin t+1.5.令y≥1.05,即0.9sin t+1.5≥1.05.所以sin t≥-.所以2kπ-≤t≤2kπ+(k∈Z).所以12k-1≤t≤12k+7(k∈Z).又因为5≤t≤18,所以5≤t≤7或11≤t≤18.所以这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练,才能确保集训队员的安全.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式,并求出f(x)的单调递增区间.(2)将函数f(x)的图象上各个点的横坐标扩大到原来的2倍,再将图象向右平移个单位,得到g(x)的图象,若存在x∈使得等式3g(x)+1=2[a+g2(x)]成立,求实数a的取值范围.【解析】(1)设函数f(x)的周期为T,由图象可知=-=.所以T=π,即=π,又ω>0,解得ω=2.所以f(x)=sin(2x+φ).因为点在函数f(x)的图象上,所以sin=1,即+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=+2kπ,k∈Z.又因为|φ|<,所以φ=.所以f(x)=sin.令-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),解得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).(2)经过图象变换,得到函数g(x)=f=sin x.于是问题即为“存在x∈,使得等式3sin x+1=2(a+sin2x)成立”.即2a=-2sin2x+3sin x+1在x∈上有解.令t=sin x∈[0,1],则2a=-2t2+3t+1在t∈[0,1]上有解,因为-2t2+3t+1=-2+∈,所以2a∈,即实数a的取值范围为.关闭Word文档返回原板块第- 11 -页共11页。

第一章三角函数章末综合检测(时间： 100 分钟 ，满分： 120 分)一、选择题 (本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项正确的 )1．以下角中终边与 330 °同样的角是 ( )A ．30°B ．－ 30°C ． 630 °D ．－ 630° 分析： 选 B. 与 330°终边同样的角为 { α|α＝ 330°＋k ·360°，k ∈ Z } ．当 k ＝－ 1 时，α＝－ 30°. 2．半径为 π cm ，圆心角为 60°所对的弧长是 ()π 2π A. 3 cm B. 3 cm2π 22π C. 3 cm2D. 3cmππ(cm) ，应选 B.分析： 选 B.l ＝|α| ·r ＝ ×π＝333．已知角 θ的终边过点 (4，－ 3)，则 cos( －π θ)＝ ()4 4 A.5 B ．－ 533 C.5D ．－5分析： 选 B.∵ 角 θ的终边过 (4， － 3)，4 ∴cos θ＝ 5.4∴cos( π－ θ)＝－ cos θ＝－ 5.4．已知 tan α＝ 2，则 cos （ π＋ α）的值为 ()πcos （ ＋ α）21A ．－ 2B ．－ 2 1C.2－ cos αD ．2分析： 选 C.cos （ π＋ α）＝1 ＝1.＝π－sin α tan α 2cos （ ＋ α）25．把函数 y ＝sin 2x － π 的图象向左平移 π()4 个单位长度，所获得的图象对应的函数8A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数也是偶函数D ．是非奇非偶函数分析： 选 A. y ＝ sin 2x － π x －π ，向左平移 πy ＝ sin 2 π π＝sin 2 8 个单位长度后为 x － ＋848 8 ＝ sin 2x ，为奇函数 ，应选 A.1 π6．假如 cos( π＋ A)＝－ 2，那么 sin(2＋ A)＝()1 1 A ．－2 B. 233 C ．－ 2D. 2分析： 选 B.cos( π＋ A)＝－ cos A ＝－ 1，则 cos A ＝ 1，sin(2 π .＋ A)＝ cos A ＝ 12 223π7．函数 y ＝ sin(3x ＋ 4 )的图象的一条对称轴是 ()π πA ． x ＝－ 12B ． x ＝－ 4π5πC ． x ＝ 8D ． x ＝－ 43 π π 1时， x ＝－π分析： 选 A. 令 3x ＋ π＝ ＋ k π(k ∈ Z )，得 x ＝－ ＋ k π(k ∈ Z )，当 k ＝ 012.4 2 12 3 ππ π )8．函数 y ＝ tan( － x)(x ∈ [ － ， ] 且 x ≠ 0)的值域为 (24 4A ． [－ 1，1]B ． (－ ∞，－ 1]∪ [1，＋ ∞)C ． (－ ∞， 1)D ．[－1，＋ ∞)πππ π3π π π π分析：选 B.∵－≤x ≤ ，∴≤－ x ≤ 且 － x ≠－4 4 4 24 22.由函数 y ＝ tan x 的单一性 ，可得 y ＝ tan(2x)的值域为 (－∞，－ 1]∪ [1，＋ ∞)．π9．已知函数 f(x)＝ sin(x －2)( x ∈ R )，下边结论错误的选项是 ()A ．函数 f(x)的最小正周期是 2πB ．函数 f(x)在区间 0， π上是增函数2C ．函数 f(x)的图象对于直线 x ＝0 对称D ．函数 f(x)是奇函数π分析： 选 D.由于 y ＝ sin(x － ) ＝－ cos x ，因此 T ＝ 2π，A 正确； 2y ＝ cos x 在 0， π上是减函数 ，y ＝－ cos x 在 0， π上是增函数 ，B 正确；由图象知22 cos x 对于直线 x ＝ 0 对称， C 正确； y ＝－ cos x 是偶函数 ， D 错误．应选 D.π 10．当 x ＝ 4时，函数 f(x) ＝Asin(x ＋ φ)(A ＞ 0)获得最小值，则函数πA ．奇函数且图象对于点 (2， 0)对称B ．偶函数且图象对于点 ( π， 0)对称π C ．奇函数且图象对于直线 x ＝ 2对称πD ．偶函数且图象对于点(2， 0)对称y ＝－)ππ π分析： 选 C.当 x ＝ 时，函数 f(x)＝ Asin(x ＋ φ)( A ＞ 0)获得最小值 ，即 ＋φ＝－2 ＋2k π， k ∈443π3π3π3π3πZ ，即 φ＝－ 4 ＋ 2k π，k ∈ Z ，因此 f(x)＝ Asin(x － 4 )(A ＞ 0)，因此 y ＝f( 4 － x)＝Asin( 4 －x － 4)＝－ Asin x ，因此函数为奇函数且图象对于直线 πx ＝ 对称 ，应选 C.2二、填空题 (本大题共 5 小题，每题 4 分，共 20 分．把答案填在题中横线上 ) 11．已知函数 y ＝3cos( π－ x)，则当 x ＝________时函数获得最大值． 答案： 2k π＋ π(k ∈ Z )cos （－ 585 °）12.sin 495 ＋°sin （－ 570 °） 的值等于 ________．分析： 原式＝cos （360 °＋ 225 °）sin （360 °＋ 135 °）－ sin （ 360 °＋ 210 °）cos （ 180 °＋ 45°）＝sin （ 180 °－ 45°）－ sin （180 °＋ 30°）3πy ＝ f( － x)是 (4－22＝＝ 2－2.2＋ 12 2答案： 2－ 213．一正弦曲线的一个最高点为(1，3)，从相邻的最低点到这个最高点的图象交 x 轴于点4(－ 1， 0)，最低点的纵坐标为－ 3，则这一正弦曲线的分析式为 ________．4 1－ －1分析： 由题知 A ＝ 3，由 T ＝4×1π 4 4 ＝ 2，求得 ω＝π， 再利用当 x ＝4 时，πx ＋ φ＝2，π求出 φ＝.4答案： y ＝ 3sin ππx ＋ 4ππ14．函数 f(x)＝ 3sin(ωx＋ φ)对随意实数 x 都有 f 3＋ x＝f 3－ x 恒成立，设g(x)＝ 3cos(ωx＋ φ)＋ 1，则 g π＝ ________．3π π分析： ∵ f ＋ x ＝ f －x ，3 3π∴函数 f(x)＝ 3sin(ωx＋ φ)对于直线 x ＝ 3对称 ，π即 f 3 ＝ ±3.∴h(x)＝ 3cos(ωx＋ φ)对于π 对称 ，即 hπ， 0＝ 0.33ππ∴g 3 ＝ h 3 ＋1＝ 1.答案： 1π π15．已知 ω＞ 0，函数 f( x)＝ sin(ωx＋ )在 ( ，π)上单一递减，则 ω的取值范围是 ________．4 2π π π 分析： 由于 ω＞ 0， f(x)＝ sin(ωx＋ )在 (， π)上单一递减 ，因此函数 f(x)＝ sin( ωx＋ ) 的周424π期 T ≥2( －π2)＝ π又. ω＞ 0，因此 0＜ ω≤2.π由于 2＜ x ＜ π， 因此 ωπ π π π2 ＋ ＜ ωx＋ ＜ ωπ＋ ，4 4 4 0＜ ω≤2，ωπ π π＋ ≥ ，因此 2 4 2π 3πωπ＋4≤2 ， 1 5 解得 ≤ω≤ .2 41 5答案： [ 2， 4]三、解答题 (本大题共 5 小题，每题 10 分，共 50 分．解答时应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤 )sin 2（ π－ α） ·cos （ 2π－α）·tan （－ π＋ α）16．已知 f(α)＝.sin （－ π＋ α） ·tan （－ α＋ 3π）(1)化简 f(α)；1ππ(2)若 f(α)＝8，且4＜α＜2，求 cos α－ sin α的值．sin2α·cos α·tan α解： (1) f(α)＝（－sinα）（－tanα）＝ sin α·cos α.1(2)由 f(α)＝ sin α·cos α＝8可知，(cos α－ sin α)2＝ cos2α－ 2sin α·cos α＋ sin2α1 3＝1－ 2sin α·cos α＝ 1－ 2×＝ .8 4ππ又∵ ＜α＜，4 2∴c os α＜sin α，即 cos α－sin α＜ 0.3∴cos α－sin α＝－2 .π17．已知函数f(x)＝ 2cos 3x＋4 .(1)求 f(x)的单一递加区间．(2)求 f(x)的最小值及获得最小值时相应的x 值．解： (1) 令 2kπ－π≤3x＋π2kπ5π 2kπ4≤2kπ(k∈Z )，解得π－－312≤x≤312(k∈Z )．∴f(x)的单一递加区间为2kπ 5π 2kππ3－12，3－12 (k∈Z )．π(2)当 3x＋4＝ 2kπ－π(k∈Z )时， f(x)取最小值－ 2.2kπ 5π即 x＝3－12( k∈Z )时， f(x)获得最小值－ 2.18. 如图，一个水轮的半径为 4 m，水轮圆心 O 距离水面 2 m，已知水轮每分钟转动 5 圈，假如从水轮上点 P 从水中涌现时(图中点 P0)开始计算时间．(1)将点 P 距离水面的高度z(m) 表示为时间t(s)的函数；(2)点 P 第一次抵达最高点大概需要多长时间？解： (1)成立以下图的直角坐标系．设角πφ(－ 2＜φ＜ 0)是以Ox为始边， OP0为终边的5×2π π角． OP 每秒钟所转过的角为＝，606则 OP 在时间 t(s)内所转过的角为π6t.由题意可知水轮逆时针转动π，得 z ＝ 4sin(t ＋ φ)＋ 2.6当 t ＝ 0 时， z ＝ 0，得 sin φ＝－ 1π2 ，即 φ＝－ .6 故所求的函数关系式为 π πz ＝ 4sin( t － )＋ 2.6 6π π π π (2)令 z ＝ 4sin(6t － 6)＋ 2＝ 6，得 sin(6t － 6)＝ 1，π π π4 s.令 t － ＝ ，得 t ＝ 4，故点 P 第一次抵达最高点大概需要6 6 2π19．设函数 f(x)＝ sin(2x ＋φ)(－ π＜ φ＜0) ，已知它的一条对称轴是直线 x ＝ 8.(1)求 φ. (2)求函数 f(x)的递减区间． (3)画出 f(x)在 [0， π]上的图象．π π π 解： (1) 由于函数 f(x)的一条对称轴是直线x ＝ ，因此 2× ＋φ＝ k π＋ ， k ∈ Z .3π882由于－ π＜ φ＜ 0，因此 φ＝－ 4 .3π (2)由 (1)知 f(x)＝ sin(2x － 4 )，π 3π 3π 2＋2k π≤2x － 4 ≤2 ＋ 2k π， k ∈ Z ，5π9π即 8 ＋ k π≤x ≤8 ＋ k π， k ∈ Z . 因此函数 f(x) 的递减区间为 5π 9π＋ k π， ＋k π(k ∈ Z )．883π(3)由 f(x)＝ sin(2x － 4 )列表以下：3π 5π 7πx 0ππ8 88 8y－2－ 11－222故函数 f(x)在 [0， π]上的图象如图．π π π20． 已知函数 f(x)＝ 2cos(－ x －)．244(1) 求函数 f(x)的对称轴；(2) 将函数 f(x) 的图象上全部的点向左平移1 个单位长度，获得函数 g(x)的图象，若函数 y＝ g(x)＋ k 在 (－ 2，4)上有两个零点，务实数 k 的取值范围．π π π解： (1) 由于 f(x)＝ 2cos( －x －)，2 4 4ππ因此 f(x)＝ 2sin(4x＋4)．ππ π令4x＋4＝2＋kπ， k∈Z .解得 x＝ 1＋ 4k， k∈Z，因此函数f(x) 的对称轴为x＝ 1＋ 4k，k∈Z .(2)依题意，将函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位长度后，获得的图象对应的函数分析式为πππg(x) ＝2sin[ 4(x＋ 1)＋4] ＝ 2cos 4x，函数 y＝ g(x)＋ k 在 (－ 2， 4)上有两个零点，即函数 y＝ g(x)与 y＝－ k 在 x∈ (－ 2，4)上有两个交点，以下图，因此 0＜－ k＜2，即－ 2＜ k＜ 0，因此实数k 的取值范围为 (－ 2， 0)．。

必修4 第一章 三角函数(1)一、选择题：1.已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ）A ．B=A∩CB ．B ∪C=CC ．A CD ．A=B=C202120sin 等于 （ ）A 23±B 23C 23-D 21 3.已知sin 2cos 5,tan 3sin 5cos ααααα-=-+那么的值为（ ）A ．－2B ．2C ．2316 D ．－23164．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是 （ ）A.y=sin2xB.y=cos 2xC .sin2x+cos2x D. y=xx 22tan 1tan 1+- 5 若角0600的终边上有一点()a ,4-，则a 的值是 （ ）A 34B 34-C 34±D 36． 要得到函数y=cos(42π-x )的图象，只需将y=sin 2x的图象 （ ） A ．向左平移2π个单位 B.同右平移2π个单位 C ．向左平移4π个单位 D.向右平移4π个单位7．若函数y=f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将 整个图象沿x 轴向左平移2π个单位，沿y 轴向下平移1个单位，得到函数y=21sinx 的图象则y=f(x)是 （ ）A ．y=1)22sin(21++πx B.y=1)22sin(21+-πx C.y=1)42sin(21++πx D. 1)42sin(21+-πx8. 函数y=sin(2x+25π)的图像的一条对轴方程是 （ ） A.x=-2π B. x=-4π C .x=8π D.x=45π9．若21cos sin =⋅θθ，则下列结论中一定成立的是 （ ）A.22sin =θ B ．22sin -=θC ．1cos sin =+θθD ．0cos sin =-θθ10.函数)32sin(2π+=x y 的图象（ ）A ．关于原点对称B ．关于点（－6π，0）对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线x=6π对称11.函数sin(),2y x x R π=+∈是 （ ）A ．[,]22ππ-上是增函数 B ．[0,]π上是减函数 C ．[,0]π-上是减函数 D ．[,]ππ-上是减函数12.函数y =的定义域是 （ ） A ．2,2()33k k k Z ππππ-+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．2,2()66k k k Z ππππ-+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．22,2()33k k k Z ππππ++∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．222,2()33k k k Z ππππ-+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题：13. 函数])32,6[)(8cos(πππ∈-=x x y 的最小值是 . 14 与02002-终边相同的最小正角是_______________ 15. 已知,24,81cos sin παπαα<<=⋅且则=-ααsin cos . 16 若集合|,3A x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，{}|22B x x =-≤≤， 则B A =_______________________________________三、解答题：17．已知51cos sin =+x x ，且π<<x 0． a) 求sinx 、cosx 、tanx 的值． b) 求sin 3x – cos 3x 的值．18 已知2tan =x ，（1）求x x 22cos 41sin 32+的值 （2）求x x x x 22cos cos sin sin 2+-的值19. 已知α是第三角限的角，化简ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+20．已知曲线上最高点为（2，2），由此最高点到相邻的最低点间曲线与x轴交于一点（6，0），求函数解析式，并求函数取最小值x的值及单调区间必修4 第一章三角函数(1)必修4第一章三角函数(1)参考答案一、选择题：1. B2. B3. D4. D5.B6.A7.B8.A9.D 10. B 11.Ｄ 12.D 二、填空题 13.21 14 0158 0000020022160158,(21603606)-=-+=⨯ 15.23-16 [2,0][,2]3π- 三、解答题：17.略18 解：（1）222222222121sin cos tan 2173434sin cos 34sin cos tan 112x x x x x x x x +++===++ （2）2222222sin sin cos cos 2sin sin cos cos sin cos x x x xx x x x x x-+-+=+ 22tan tan 17tan 15x x x -+==+19.–2tanα 20 T=2×8=16=ωπ2,ω=8π,A=2设曲线与x 轴交点中离原点较近的一个点的横坐标是0x ,则2-0x =6-2即0x =-2 ∴ϕ=–ω0x =()428ππ=-⨯-，y=2sin(48ππ+x ) 当48ππ+x=2kл+2π,即x=16k+2时，y 最大=2当48ππ+x =2kл+23π,即x=16k+10时，y 最小=–2 由图可知：增区间为[16k-6,16k+2],减区间为[16k+2,16k+10](k ∈Z)。

班级姓名考号必修4第一章《三角函数》章末检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．sin 600°＋tan 240°的值是()A．－32 B.32C．－12＋ 3 D.12＋ 32．把－114π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|的最小的θ值是()A．－34πB．－π4 C.π4 D.3π43．设α角属于第二象限，且⎪⎪⎪⎪cosα2＝－cosα2，则α2角属于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．已知tan α＝34，α∈⎝⎛⎭⎫π，32π，则cos α的值是()A．±45 B.45C．－45 D.355．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20 cm，则扇形的周长为() A．6π cm B．60 cmC．(40＋6π) cm D．1 080 cm6．若点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0,2π)内α的取值范围是() A.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫π，5π4B.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π2D.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫3π4，π7．下列四个命题中，正确的是()A．函数y＝tan⎝⎛⎭⎫x＋π4是奇函数B．函数y＝⎪⎪⎪⎪sin⎝⎛⎭⎫2x＋π3的最小正周期是πC．函数y＝tan x在(－∞，＋∞)上是增函数D．函数y＝cos x在区间⎣⎡⎦⎤2kπ＋π，2kπ＋74π(k∈Z)上是增函数8．为了得到函数y＝sin⎝⎛⎭⎫2x－π6的图象，可以将函数y＝cos 2x的图象() A．向右平移π6个单位长度B．向右平移π3个单位长度C．向左平移π6个单位长度D．向左平移π3个单位长度9．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋a sin ax的图象不可能是()第9题 第13题10．把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3的图象向左平移φ (φ>0)个单位，所得的函数为偶函数，则φ的最小值是( )A.4π3B.2π3C.π3D.5π3二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．已知tan α＝2，则sin αcos α＋2sin 2α的值是________． 12．函数f (x )＝|sin x |的单调递增区间是________________．13．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象如上图所示，则f (7π12)＝___ ____．14．已知函数y ＝sin π3x 在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是____ __．15．方程sin πx ＝14x 的解的个数是 ．三、解答题(本大题共6小题，共75分) 16．(本小题12分)求函数y ＝3－4sin x －4cos 2x 的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的x 的值．17．(本小题12分)求函数12y=log sin 2x 3π⎛⎫-⎪⎝⎭的单调递增区间．18.( 本小题12分)已知函数y ＝a cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋3，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值为4，求实数a 的值．19．(本小题12分)已知α是第三象限角，f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)·tan (－α－π)tan (－α)·sin (－π－α).(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫α－32π＝15，求f (α)的值；(3)若α＝－1860°，求f (α)的值．20.( 本小题13分)在已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝⎛⎭⎫其中A >0，ω>0，0<φ<π2的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2时，求f (x )的值域．21．(本小题14分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0且ω>0，0<φ<π2)的部分图象，如图所示．(1)求函数解析式；(2)若方程f (x )＝a 在⎝⎛⎭⎫0，5π3上有两个不同的实根，试求a 的取值范围．必修4第一章《三角函数》章末检测参考答案1．B 2.A 3.C 4.C.5．C.6．B 7．D.8．B 9．D 10．B11．2 12.⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2，k ∈Z 13．0 14．8 15. 716．解 y ＝3－4sin x －4cos 2x＝4sin 2x －4sin x －1＝4⎝⎛⎭⎫sin x －122－2， 令t ＝sin x ，则－1≤t ≤1，∴y ＝4⎝⎛⎭⎫t －122－2 (－1≤t ≤1)． ∴当t ＝12，即x ＝π6＋2k π或x ＝5π6＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－2；当t ＝－1，即x ＝3π2＋2k π (k ∈Z )时，y max ＝7.17．解 y ＝log 2⎣⎡⎦⎤－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3log 212＝－log 2⎣⎡⎦⎤－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， ∵2>1，由复合函数的单调性知，要求sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增且小于0恒成立． ∴2x －π3在第四象限．∴2k π－π2<2x －π3<2k π(k ∈Z )．解得：k π－π12<x <k π＋π6(k ∈Z )．∴原函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π12＋k π，π6＋k π，k ∈Z .18．解 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3， ∴－1≤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤12. 当a >0，cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝12时，y 取得最大值12a ＋3， ∴12a ＋3＝4，∴a ＝2. 当a <0，cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－1时，y 取得最大值－a ＋3， ∴－a ＋3＝4，∴a ＝－1，综上可知，实数a 的值为2或－1.19．解 (1)f (α)＝sin α·cos (－α)·[－tan (π＋α)]－tan α[－sin (π＋α)]＝－sin α·cos α·tan α－tan α·sin α＝cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－32π＝cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－sin α，又cos ⎝⎛⎭⎫α－32π＝15，∴sin α＝－15. 又α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝－265.(3)f (α)＝f (－1 860°)＝cos(－1 860°)＝cos 1 860°＝cos(5×360°＋60°)＝cos 60°＝12.20．解 (1)由最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2得A ＝2.由x 轴上相邻两个交点之间的距离为π2，得T 2＝π2，即T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2在图象上得2sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3＋φ＝－2，即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1， 故4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z )．又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴φ＝π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π3，7π6， 当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1，故f (x )的值域为[－1,2]．21．解 (1)由图象易知函数f (x )的周期为T ＝4⎝⎛⎭⎫7π6－2π3＝2π，A ＝1，所以ω＝1.方法一 由图可知此函数的图象是由y ＝sin x 的图象沿x 轴负方向平移π3个单位得到的，故φ＝π3，其函数解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. 方法二 由图象知f (x )过点⎝⎛⎭⎫－π3，0，则sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋φ＝0， ∴－π3＋φ＝k π，k ∈Z .∴φ＝k π＋π3，k ∈Z ，又∵φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴φ＝π3， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. (2)方程f (x )＝a 在⎝⎛⎭⎫0，5π3上有两个不同的实根等价于y ＝f (x )与y ＝a 的图象在⎝⎛⎭⎫0，5π3上有两个交点，在图中作y ＝a 的图象，如图为函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3在⎝⎛⎭⎫0，5π3上的图象， 当x ＝0时，f (x )＝32，当x ＝5π3时，f (x )＝0，由图中可以看出有两个交点时，a ∈⎝⎛⎭⎫32，1∪(－1,0)．。

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三角函数 综合测试题（时间：120分钟 满分：150分）学号:______ 班级：______ 姓名：______ 得分：______一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.sin780︒的值为（ ） A ．23-B ．23 C ．21- D ．212。

下列说法中正确的是( ） A ．第一象限角都是锐角B ．三角形的内角必是第一、二象限的角C ．不相等的角终边一定不相同D ．},90180|{},90360|{Z k k Z k k ∈︒+︒•==∈︒±︒•=ββαα 3．已知角3π的终边上有一点P （1,a ），则a 的值是 ( ） A ．3- B ．3± C ．33D ．34．已知21tan -=α，则αααα22cos sin cos sin 2-的值是（ ） A ．34- B ．3 C ．34 D ．3-5．已知53)2cos(=+απ，且,2(πα∈)23π,则=αtan （ ） A ．34 B ．43 C ．43- D ．43±6．若函数x y 2sin =的图象向左平移4π个单位得到)(x f y =的图象，则( ）A ．x x f 2cos )(=B ．x x f 2sin )(=C ．x x f 2cos )(-=D ．x x f 2sin )(-=7．设)(t f y =是某港口水的深度y （米)关于时间t （时)的函数，其中240≤≤t ．下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系:t 0 3 6 9 12 15 18 21 24y1215。

章末检测卷(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．已知cos α＝12，α∈(370°，520°)，则α等于( )A ．390°B ．420°C ．450°D ．480° 答案 B2．sin ⎝⎛⎭⎫－196π的值等于( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32答案 A解析 sin ⎝⎛⎭⎫－196π＝－sin 196π＝－sin 76π ＝sin 16π＝12.3．若sin x ·tan x <0，则角x 的终边位于( ) A ．第一、二象限 B ．第二、三象限 C ．第二、四象限 D ．第三、四象限 答案 B4．函数y ＝tan x2是( )A ．周期为2π的奇函数B ．周期为π2的奇函数C ．周期为π的偶函数D ．周期为2π的偶函数 答案 A5．已知函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)在区间[0,2π]的图象如图，那么ω等于( )A ．1B ．2 C.12 D.13答案 B6．函数f (x )＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称，则φ等于( ) A ．－π2 B ．2k π－π2(k ∈Z )C ．k π(k ∈Z )D ．k π＋π2(k ∈Z )答案 D解析 若函数f (x )＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称，则f (0)＝cos φ＝0， ∴φ＝k π＋π2(k ∈Z )．7．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2，则f (x )的图象( ) A ．与g (x )的图象相同 B ．与g (x )的图象关于y 轴对称 C ．向左平移π2个单位，得g (x )的图象D ．向右平移π2个单位，得g (x )的图象答案 D8．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( )A ．－310 B.310 C ．±310 D.34答案 B解析 ∵sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋1tan θ－1＝2，∴tan θ＝3.∴sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝310.9．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π10 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π5 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π20 答案 C解析 函数y ＝sin xy ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π10――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10. 10．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋3π2(x ∈[0,2π])的图象和直线y ＝12的交点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．4 答案 C11．函数y ＝tan(sin x )的值域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－π4，π4 B.⎣⎡⎦⎤－22，22 C ．[－tan 1，tan 1] D ．以上均不对 答案 C 12．设a ＝sin5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <c <a D ．b <a <c 答案 D 解析 ∵a ＝sin5π7＝sin(π－5π7)＝sin 2π7. 2π7－π4＝8π28－7π28>0. ∴π4<2π7<π2. 又α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，sin α>cos α. ∴a ＝sin2π7>cos 2π7＝b . 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，sin α<tan α. ∴c ＝tan2π7>sin 2π7＝a . ∴c >a .∴c >a >b .二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r ＝20 cm ，则扇形的周长为________ cm. 答案 6π＋40解析 ∵圆心角α＝54°＝3π10，∴l ＝|α|·r ＝6π.∴周长为(6π＋40) cm.14．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象如图所示，则f (7π12)＝________.答案 0解析 由图可知，32T ＝5π4－π4＝π，即T ＝2π3.又由正弦图象性质可知，f (x 0)＝－f (x 0＋T2)，∴f (7π12)＝f (π4＋π3)＝－f (π4)＝0.15．已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是________．答案 8解析 由T ＝2ππ3＝6，则5T 4≤t ，∴t ≥152，∴t min ＝8.16．有下列说法：①函数y ＝－cos 2x 的最小正周期是π；②终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π2，k ∈Z ；③在同一直角坐标系中，函数y ＝sin x 的图象和函数y ＝x 的图象有三个公共点；④把函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度得到函数y ＝3sin 2x 的图象；⑤函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2在[0，π]上是减函数．其中，正确的说法是________． 答案 ①④解析 对于①，y ＝－cos 2x 的最小正周期T ＝2π2＝π，故①对；对于②，因为k ＝0时，α＝0，角α的终边在x 轴上，故②错；对于③，作出y ＝sin x 与y ＝x 的图象，可知两个函数只有(0,0)一个交点，故③错；对于④，y ＝3·sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度后，得y ＝3sin[2(x －π6)＋π3]＝3sin 2x ，故④对；对于⑤，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－cos x ，在[0，π]上为增函数，故⑤错． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)(1)已知角α的终边经过点P (4，－3)，求2sin α＋cos α的值； (2)已知角α的终边经过点P (4a ，－3a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值；(3)已知角α终边上一点P 与x 轴的距离与y 轴的距离之比为3∶4，求2sin α＋cos α的值． 解 (1)∵r ＝x 2＋y 2＝5，∴sin α＝y r ＝－35，cos α＝x r ＝45，∴2sin α＋cos α＝－65＋45＝－25.(2)∵r ＝x 2＋y 2＝5|a |，∴当a >0时，r ＝5a ，∴sin α＝－3a 5a ＝－35，cos α＝45，∴2sin α＋cos α＝－25；当a <0时，r ＝－5a ，∴sin α＝－3a －5a ＝35，cos α＝－45，∴2sin α＋cos α＝25.(3)当点P 在第一象限时，sin α＝35，cos α＝45，2sin α＋cos α＝2；当点P 在第二象限时，sin α＝35，cos α＝－45，2sin α＋cos α＝25；当点P 在第三象限时，sin α＝－35，cos α＝－45，2sin α＋cos α＝－2；当点P 在第四象限时，sin α＝－35，cos α＝45，2sin α＋cos α＝－25.18．(12分)已知f (α)＝sin 2(π－α)·cos (2π－α)·tan (－π＋α)sin (－π＋α)·tan (－α＋3π).(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝18，且π4<α<π2，求cos α－sin α的值；(3)若α＝－31π3，求f (α)的值．解 (1)f (α)＝sin 2α·cos α·tan α(－sin α)(－tan α)＝sin α·cos α.(2)由f (α)＝sin αcos α＝18可知(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin αcos α＋sin 2α ＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34.又∵π4<α<π2，∴cos α<sin α，即cos α－sin α<0.∴cos α－sin α＝－32.(3)∵α＝－31π3＝－6×2π＋5π3，∴f ⎝⎛⎭⎫－31π3＝cos ⎝⎛⎭⎫－31π3·sin ⎝⎛⎭⎫－31π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋5π3·sin ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋5π3 ＝cos5π3·sin 5π3＝cos(2π－π3)·sin(2π－π3) ＝cos π3·⎝⎛⎭⎫－sin π3＝12·⎝⎛⎭⎫－32＝－34. 19．(12分)已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋32，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间．(2)函数f (x )的图象可以由函数y ＝sin 2x (x ∈R )的图象经过怎样的变换得到？ 解 (1)T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 知k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．所以函数f (x )的最小正周期为π，单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)变换情况如下：y ＝sin 2xy ＝sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋π12)――→将图象上各点向上平移32个单位 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋32. 20．(12分)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间；(3)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．解 (1)∵x ＝π8是函数y ＝f (x )的图象的对称轴，∴sin ⎝⎛⎭⎫2×π8＋φ＝±1.∴π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z . ∵－π<φ<0，∴φ＝－3π4.(2)由(1)知φ＝－3π4，因此y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4. 由题意得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2，k ∈Z .∴函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4的单调增区间为 ⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z .(3)由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4，知 x 0 π8 3π8 5π8 7π8 π y－22－11－22故函数y ＝f (x )21．(12分)在已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2时，求f (x )的值域． 解 (1)由最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2得A ＝2. 由x 轴上相邻两个交点之间的距离为π2，得T 2＝π2，即T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2. 由点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2在图象上得2sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3＋φ＝－2，即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1，故4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )， ∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z )．又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴φ＝π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π3，7π6， 当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1，故f (x )的值域为[－1,2]．22．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)设0<x <π，且方程f (x )＝m 有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围以及这两个根的和． 解 (1)观察图象，得A ＝2，T ＝⎝⎛⎭⎫11π12－π6×43＝π. ∴ω＝2πT ＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)．∵函数经过点⎝⎛⎭⎫π6，2， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝2， 即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1. 又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.(2)∵0<x <π，∴f (x )＝m 的根的情况，相当于f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6与g (x )＝m 的交点个数的情况，且0<x <π，∴在同一坐标系中画出y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6和y ＝m (m ∈R )的图象．由图可知，当－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根． ∴m 的取值范围为－2<m <1或1<m <2；当－2<m <1时，此时两交点关于直线x ＝23π对称，两根和为43π；当1<m <2时，此时两交点关于直线x ＝π6对称，两根和为π3.。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作(时间：100分钟；满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列角中终边与330°相同的角是( )A ．30°B ．－30°C ．630°D ．－630°解析：选B.与330°终边相同的角为{α|α＝330°＋k ·360°，k ∈Z }．当k ＝－1时，α＝－30°.2．如果cos(π＋A )＝－12，那么sin(π2＋A )＝( ) A ．－12 B.12C ．－32 D.32解析：选B.cos(π＋A )＝－cos A ＝－12， 则cos A ＝12，sin(π2＋A )＝cos A ＝12. 3．半径为π cm ，圆心角为60°所对的弧长是( )A.π3 cmB.π23cm C.2π3 cm D.2π23 cm 解析：选B.l ＝|α|·r ＝π3×π＝π23(cm)，故选B. 4．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( )A ．(－π4，π4)B ．(π4，3π4) C ．(π，3π2) D ．(3π2，2π) 解析：选C.先画出函数f (x )＝|sin x |的图象，易得一个单调递增区间是(π，3π2)．5．函数y ＝tan(π2－x )(x ∈[－π4，π4]且x ≠0)的值域为( ) A ．[－1,1] B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．[－1，＋∞)解析：选B.∵－π4≤x ≤π4，∴π4≤π2－x ≤3π4且π2－x ≠π2.由函数y ＝tan x 的单调性，可得y ＝tan(π2－x )的值域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)． 6．要得到函数y ＝sin(2x －π4)的图象，可以把函数y ＝sin 2x 的图象( ) A ．向左平移π8个单位长度 B ．向左平移π4个单位长度 C ．向右平移π8个单位长度 D ．向右平移π4个单位长度 解析：选C.y ＝sin 2x 向右平移π8个单位长度得到y ＝sin2(x －π8)＝sin(2x －π4)． 7．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( ) A.π2 B.2π3C.3π2D.5π3解析：选C.由已知f (x )＝sin x ＋φ3是偶函数， 可得φ3＝k π＋π2，即φ＝3k π＋3π2(k ∈Z )． 又φ∈[0,2π]，所以φ＝3π2，故选C. 8．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点(3π4，0)，则ω的最小值是( )A.13B ．1 C.53D ．2 解析：选D.将函数f (x )＝sin ωx 的图象向右平移π4个单位长度得到函数y ＝sin[ω(x －π4)]的图象，因为所得图象经过点(34π，0)，则sin ω2π＝0，所以ω2π＝k π(k ∈t )，即ω＝2k (k ∈t )，又ω>0，所以ωmin ＝2，故选D.9．已知函数f (x )＝2sin(ωx －π6)－12(ω>0)和g (x )＝12cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是( ) A ．[－52，32] B ．[－12，32] C ．[－32，32] D ．[－12，12] 解析：选C.由题意知ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x －π6)－12，又x ∈[0，π2]，所以2x －π6∈[－π6，5π6]，由三角函数的图象知，f (x )min ＝f (0)＝2sin(－π6)－12＝－32，f (x )max ＝f (π3)＝2sin π2－12＝32. 10.函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，A 、B 分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为22，则该函数图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝2πB ．x ＝π2C ．x ＝1D ．x ＝2解析：选C.函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最大值为1，最小值为－1，所以周期T＝2(22)2－22＝4，所以ω＝π2，又函数为奇函数，所以cos φ＝0(0<φ<π)⇒φ＝π2，所以函数解析式为y ＝cos(π2x ＋π2)＝－sin π2x ，所以直线x ＝1为该函数图象的一条对称轴． 二、填空题(本大题共5小题，请把正确的答案填在题中的横线上)11．化简：1tan (450°－x )tan (810°－x )·cos (360°－x )sin (－x )＝________.解析：原式＝1tan (90°－x )tan (90°－x )·cos x sin (－x )＝tan x ·tan x ·(－1tan x)＝－tan x . 答案：－tan x12．将函数f (x )＝2cos(x 3＋π6)的图象向左平移π4个单位，再向下平移1个单位，得到函数g (x )的图象，则g (x )的解析式为________． 解析：左移π4个单位，即是将x 换成x ＋π4，下移1个单位即是函数值减1，变化后可得解析式为2cos(x 3＋π4)－1. 答案：g (x )＝2cos(x 3＋π4)－1 13．函数y ＝tan(x 2＋π4)的递增区间是________． 解析：由－π2＋k π<x 2＋π4<π2＋k π， 解得－3π2＋2k π<x <π2＋2k π，k ∈Z . 答案：(－3π2＋2k π，π2＋2k π)(k ∈Z ) 14．若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间[0，π3]上的最大值为2，则ω＝________. 解析：0<ω<1，x ∈[0，π3][0，π2]，故f (x )max ＝2sin ωπ3＝2，∴sin ωπ3＝22，ωπ3＝π4，∴ω＝34. 答案：3415．有下列说法：①函数y ＝－cos 2x 的最小正周期是π；②终边在y 轴上的角的集合是{α|α＝k π2，k ∈Z }； ③在同一直角坐标系中，函数y ＝sin x 的图象和函数y ＝x 的图象有三个公共点；④把函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π6个单位长度得到函数y ＝3sin 2x 的图象； ⑤函数y ＝sin(x －π2)在[0，π]上是减函数． 其中，正确的说法是________．(填序号)解析：对于①，y ＝－cos 2x 的最小正周期T ＝2π2＝π，故①对； 对于②，因为k ＝0时，α＝0，角α的终边在x 轴上，故②错；对于③，作出y ＝sin x 与y ＝x 的图象，可知两个函数只有(0,0)一个交点，故③错；对于④，y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π6个单位长度后，得y ＝3sin[2(x －π6)＋π3]＝3sin 2x ，故④对；对于⑤，y ＝sin(x －π2)＝－cos x ，在[0，π]上为增函数，故⑤错． 答案：①④三、解答题(本大题共5小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．已知角α的终边经过点P (－3,4)，求：2sin (π－α)·cos (2π－α)＋1cos 2α＋sin (π2－α)·cos (3π2＋α)的值． 解：由题意：tan α＝－43. 原式＝2sin α·cos α＋1cos 2α＋cos αsin α＝2tan α＋tan 2α＋11＋tan α＝－13. 17．已知tan α、1tan α是关于x 的方程x 2－kx ＋k 2－3＝0的两实根，且3π<α<72π，求cos(3π＋α)－sin(π＋α)的值．解：由题意，根据根与系数的关系，得tan α·1tan α＝k 2－3＝1， ∴k ＝±2.又3π<α<72π，∴tan α>0，1tan α>0， ∴tan α＋1tan α＝k >0，即k ＝2，而k ＝－2舍去． ∴tan α＋tan α＝1tan α＝1， ∴sin α＝cos α＝－22， ∴cos(3π＋α)－sin(π＋α)＝sin α－cos α＝0.18．已知函数f (x )＝3tan(2x －π3)． (1)求f (x )的定义域；(2)比较f (π2)与f (－π8)的大小． 解：(1)由已知，得2x －π3≠k π＋π2(k ∈Z )， ∴x ≠12k π＋5π12(k ∈Z )，所以f (x )的定义域为{x |x ≠12k π＋5π12，k ∈Z }． (2)f (π2)＝3tan(π－π3)＝3tan(－π3)<0，f (－π8)＝3tan(－π4－π3)＝3tan(－7π12)＝3tan(π－7π12)＝3tan 5π12>0，所以f (π2)<f (－π8)． 19．已知函数f (x )＝2sin(2x －π4)．(1)利用“五点法”，按照列表——描点——连线三步，画出函数f (x )在一个周期上的图象；(2)当x ∈[－π2，π8]时，f (x )－a ＝0有解，求实数a 的取值范围． 解：(1)列表、画图如下： 2x －π4 0 π2 π 3π22π x π8 3π8 5π8 7π8 9π8 f (x ) 0 2 0 －2 0(2)∵－π2≤x ≤π8，∴－5π4≤2x －π4≤0， ∴－1≤sin(2x －π4)≤22， ∴－2≤2sin(2x －π4)≤1. f (x )－a ＝0有解，即a ＝f (x )有解，故a ∈[－2，1]．即实数a 的取值范围为[－2，1]．20．已知函数f (x )＝2m sin x －2cos 2x ＋m 22－4m ＋3，且函数f (x )的最小值为19，求m 的值．解：f (x )＝2(sin x ＋m 2)2－4m ＋1. (1)当－1≤－m 2≤1，即－2≤m ≤2时，由sin x ＝－m 2，得函数f (x )的最小值为－4m ＋1，由－4m ＋1＝19，得m ＝－92∉[－2,2]； (2)当－m 2<－1，即m >2时，由sin x ＝－1，得函数f (x )的最小值为m 22－6m ＋3，由m 22－6m ＋3＝19得m ＝6±217，结合m >2得m ＝6＋217；(3)当－m 2>1即m <－2时，由sin x ＝1得函数f (x )的最小值为m 22－2m ＋3，由m 22－2m ＋3＝19得m ＝－4或m ＝8，结合m <－2得m ＝－4.由(1)、(2)、(3)得m 的值为－4或6＋217.。

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(一) 三角函数（时间120分钟，满分150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．为了得到函数y＝sin错误!的图象，只需把函数y＝sin x的图象上所有的点( ）A．向左平行移动错误!个单位长度B．向右平行移动错误!个单位长度C．向上平行移动错误!个单位长度D．向下平行移动错误!个单位长度【解析】把函数y＝sin x的图象上所有的点向左平行移动错误!个单位长度就得到函数y＝sin错误!的图象．【答案】A2．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y＝ln x B．y＝x2＋1C．y＝sin x D．y＝cos x【解析】A是非奇非偶函数，故排除；B是偶函数，但没有零点，故排除;C是奇函数，故排除；y＝cos x是偶函数，且有无数个零点．故选D.【答案】D3．点P从(1，0）点出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动错误!弧长到达Q点，则Q 点坐标为( ）A。

错误!B。

错误!C。

错误! D.错误!【解析】设∠POQ＝θ，则θ＝错误!。

又设Q（x，y)，则x＝cos错误!＝错误!，y＝sin错误!＝错误!.【答案】A4．已知a＝tan错误!，b＝cos错误!，c＝sin错误!，则a，b，c的大小关系是( )A．b〉a>c B．a〉b>cC．b〉c>a D．a>c>b【解析】a＝tan错误!＝－tan错误!＝－错误!，b＝cos错误!π＝cos错误!＝cos错误!＝错误!，c＝sin错误!＝sin错误!＝－sin错误!＝－错误!，所以b>a>c.故选A.【答案】A5．已知扇形的半径为r，周长为3r，则扇形的圆心角等于( ）【导学号：70512020】A.π3B．1C。