1987年试题

1987年全国高中数学联赛试题一试题(10月11日上午8∶00——9∶30)一．选择题(每个小题选对得5分，不选得1分；选错或选出的代号超过一个者得0分．本题满分20分)：1．对任意给定的自然数n ，若n 6+3a 为正整数的立方，其中a 为正整数，则( )A ．这样的a 有无穷多个B ．这样的a 存在，但只有有限个C ．这样的a 不存在D ．以上A 、B 、C 的结论都不正确(上海供题)2．边长为5的菱形，它的一条对角线的长不大于6，另一条不小于6，则这个菱形两条对角线长度之和的最大值是( )A ．10 2B ．14C ．5 6D ．12(天津供题)3．在平面直角坐标系中纵横坐标均为有理数的点称为有理点，若a 为无理数，则过(a ，0)的所有直线中( )A ．有无穷多条直线，其中每条直线上至少存在两个有理点B ．恰有n (2≤n <+∞)条直线，其中每条直线上至少存在两个有理点C ．有且仅有一条直线至少通过两个有理点D ．每条直线至多通过一个有理点(河南供题)4．如图，△ABC 的顶点B 在单位圆的圆心上，A 、C 在圆周上，∠ABC=2α(0<α<π3)，现将△ABC 在圆内按逆时针方向依次作旋转，具体方法如下：第一次，以A 为中心使B 落到圆周上；第二次，以B 为中心，使C 落到圆周上；第三次，以C为中心，使A 落到圆周上．如此旋转直到100次．那么A 点所走过的路程的总长度为( )A ．22π(1+sin α)－66αB ．673π C ．22π+683πsin α－66α D ．33π－66α(北京供题) 二．填空题(每小题填写结果完全正确者得8分，填写错误或多填、少填者均得0分，本题满分40分)：1．已知集合M={x ，xy ，l g (xy )}及 N={0，|x |，y }，并且M=N ，那么(x +1y )+(x 2+1y 2)+(x 3+1y 3)+…+(x 2001+1y 2001)的值等于 ．(陕西供题) 2．已知集合A={(x ，y )| |x |+|y |=α，α>0}B={(x ，y )| |xy |+1=|x |+|y |}若A ∩B 是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则α的值为 ．(青海供题)3．若k 是大于1的整数，α是x 2－kx +1=0的一个根，对于大于10的任意自然数n ，α2n +α－2n 的个位数字总是7，则k 的个位数字是 ．(河北供题)4．现有边长为3，4，5的三角形两个，边长为4，5，41的三角形四个，边长为562，4，5的三角形六个，用上述三角形为面，可以拼成 个四面体．(江西供题)5．五对孪生兄妹参加k 个组活动，若规定：⑴ 孪生兄妹不在同一组；⑵非孪生关系的任意两个人都恰好共同参加过一个组的活动，⑶有一人只参加两个组的活动，则k 的最小值为 ．(命题组供题)2 A B C1987年全国高中数学联赛二试题一．如图，△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，现固定△ABC，而将△ADE绕A点在平面上旋转，试证：不论△ADE旋转到什么位置，线段EC上必存在点M，使△BMD为等腰直角三角形．E BCDA二．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点称为整点．试证：存在一个同心圆的集合，使得⑴每个整点都在此集合的某个圆周上；⑵此集合的每个圆周上，有且只有一个整点．(辛泽尔定理)三．n(n>3)名乒乓球选手单打若干场后，任意两个选手已赛过的对手恰好都不完全相同，试证明：总可以从中去掉一名选手，而使在余下的选手中，任意两个选手已赛过的对手仍然都不完全相同．1987年全国高中数学联赛解答一试题一．选择题(每个小题选对得5分，不选得1分；选错或选出的代号超过一个者得0分．本题满分20分)：1．对任意给定的自然数n ，若n 6+3a 为正整数的立方，其中a 为正整数，则( )A ．这样的a 有无穷多个B ．这样的a 存在，但只有有限个C ．这样的a 不存在D ．以上A 、B 、C 的结论都不正确(上海供题)解：(n 2+3k )3=n 6+9n 4k +27n 2k 2+27k 3=n 6+3(3n 4+9n 2k +9k 2)k ．取a=(3n 4+9n 2k +9k 2)k ，(k 为任意正整数)，则n 6+3a 为正整数的立方，由于k 可任意取值，且当k 增大时，a 也随之增大．即a 有无数个．选A ．2．边长为5的菱形，它的一条对角线的长不大于6，另一条不小于6，则这个菱形两条对角线长度之和的最大值是( )A ．10 2B ．14C ．5 6D ．12(天津供题) 解：设x ≥3，y ≤3，且x 2+y 2=25．满足要求的点构成直角坐标系中一段弧(图中粗线部分)．令x +y=k ，则当直线经过点(4，3)时取得最大值7．即2x +2y ≤14．选B ． 3．在平面直角坐标系中纵横坐标均为有理数的点称为有理点，若a 为无理数，则过(a ，0)的所有直线中( )A ．有无穷多条直线，其中每条直线上至少存在两个有理点B ．恰有n (2≤n <+∞)条直线，其中每条直线上至少存在两个有理点C ．有且仅有一条直线至少通过两个有理点D ．每条直线至多通过一个有理点(河南供题)解：若直线斜率为k ，则当k=0时直线经过x 轴上所有有理点．当k ≠0时，直线方程为y=k (x －a )．若k 为有理数，则当x 为有理数时，y 为无理数；若k 为无理数，若此时直线经过一个有理点A (x 1，y 1)，对于直线上与A 不重合的点B (x 2，y 2)．由y 1=k (x 1－a )，y 2=k (x 2－a )，由于a 为无理数，故y 1≠0，x 2－a ≠0，y 2y 1=x 2－a x 1－a=m ，当y 2为有理数时，m 为有理数，当y 2≠y 1时，m ≠1，此时x 2=mx 1+(1－m )a 为无理数．即此直线上至多有一个有理点．选C ．4．如图，△ABC 的顶点B 在单位圆的圆心上，A 、C 在圆周上，∠ABC=2α(0<α<π3)现将△ABC 在圆内按逆时针方向依次作旋转，具体方法如下：第一次，以A 为中心使B 落到圆周上；第二次，以B 为中心，使C 落到圆周上；第三次，以C为中心，使A 落到圆周上．如此旋转直到100次．那么A 点所走过的路程的总长度为( )A ．22π(1+sin α)－66αB ．673π C ．22π+ 683πsin α－66α D ．33π－66α(北京供题) 解：点A 每k (k ≡1(mod 3))不动，第k (k ≡2(mod 3))次走过路程23π－2α，第k (k ≡0(mod 3))走过路程π3(2sin α)，于是所求路程=33(23π－2α+ 23πsin α)．选A ． 二．填空题(每小题填写结果完全正确者得8分，填写错误或多填、少填者均得0分，本题满分40分)：1．已知集合M={x ，xy ，l g (xy )}及 N={0，|x |，y }，并且M=N ，那么(x +1y )+(x 2+1y 2)+(x 3+1y 3)+…+(x 2001+1y 2001)的值等于 ．(陕西供题) 解 0∈M ，但xy ≠0，故只有l g (xy )=0，，xy=1．∴ 1∈N ，故|x |=1，或y=1，若y=1，则由xy=1得，x=1，与元素相异性矛盾．故y ≠1．∴ |x |=1，x=1或x=－1，其中x=1同上矛盾．故x=－1．y=－1．∴ x 2k +1y 2k = 2；x 2k +1+1y2k +1 =－2(k ∈N *)．故所求值=－2． 解：xy ≠0，⇒x ≠0，y ≠0．故xy=1．若y=1，则x=1，矛盾，故x=－1，y=－1．原式=－2．2．已知集合A={(x ，y )| |x |+|y |=α，α>0}B={(x ，y )| |xy |+1=|x |+|y |} 若A ∩B 是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则α的值为 ．(青海供题)解：集合A 的图形是依次连(α，0)，(0，α)，(－α，0)，(0，－α)四点的线段． 集合B 的图形是直线x=1，x=－1，y=1，y=－1．它们交得一个正八边形．若此4条直线为图中的4条实线，则α=tan22.5°+1= 2．或此正八边形各边与原点距离相等，知直线x +y=α与原点距离=1．α= 2．若此4条直线为图中的4条虚线，则2α=22+2，⇒α=2+2．∴ α=2或2+ 2．3．若k 是大于1的整数，α是x 2－kx +1=0的一个根，对于大于10的任意自然数n ，α2n +α－2n 的个位数字总是7，则k 的个位数字是 ．(河北供题)解：另一根=α－1，α+α－1=k ，记α2n +α－2n ≡k n (mod 10)，0≤k n <10． 由α2n +α－2n =(α2n －1+α－2n －1)2－2得，k n ≡k n －12+8(mod 10)．若k 为偶数，则k n 为偶数，不等于7．若k n －1≡±1(mod 10)，则k n ≡9，⇒k n +1≡9(mod 10)；若k n －1≡±3(mod 10)，则k n ≡7，⇒k n +1≡7(mod 10)；若k n －1≡5(mod 10)，则k n ≡9，⇒k n +1≡9(mod 10)；故k 的个位数字为3，5，7．4．现有边长为3，4，5的三角形两个，边长为4，5，41的三角形四个，边长为562，4，5的三角形六个，用上述三角形为面，可以拼成 个四面体．(江西供题)解：用四个三角形拼成四面体，每种边长至少要在两个三角形中出现．因此以上三种三角形如果要用，就用偶数个．由于第①类边长为3，4，5的三角形与第②类边长为4，5，41的三角形都是直角三角形，而第③类边长为562，4，5的三角形为钝角三角形．因此，用4个后两种三角形都不能单独拼成四面体(四个面全等的四面体是等腰四面体，其各面都是锐角三角形)． 情况⑴：4个三角形中有两个②类三角形，如图，取两个②类三角形，BC=41，则斜边BC 上的高AE=DF=h=2041．且BE=CF=x=16 41，则EF=41－2×16 41=6 41． 于是AD 2=AE 2+EF 2+FD 2－2AE ·DF cos θ=141(881－810cos θ)∈(8141，41)． (*) 若再取两个①类三角形时，由于AD=3，满足(*)式，故可以构成四面体．若再取两个③类三角形时，由于AD=562，不满足(*)式，故不可以构成四面体． 情况⑵：两个①类，两个③类．此时取BC=5，AB=CD=3，于是斜边BC 上的高AE=DF=h=125．且BE=CF=x=95，则EF=5－2×95=75． 于是AD 2=AE 2+EF 2+FD 2－2AE ·DF cos θ=125 (337－288cos θ)∈(4925，25)． 由于AD=562，不满足(*)式，故不可以构成四面体． ∴ 只能构成1个四面体．5．五对孪生兄妹参加k 个组活动，若规定：⑴ 孪生兄妹不在同一组；⑵非孪生关系的任意两个人都恰好共同参加过一个组的活动，⑶有一人只参加两个组的活动，则k 的最小值为 ．(命题组供题)解：设此10人为A ，a ；B ，b ；C ，c ；D ，d ；E ，e ．A 只参加2组，故除a 外其余8人应分成2组，每组人数都不超过4人（否则有孪生兄妹同组)．记第一组为{B ，C ，D ，E }，第二组为{b ，c ，d ，e }．于是其余8人中大写字母不再同组，小写字母也不再同组．即除a 外其余组中人数不超过2人．每人都再参加3组，故至少还要3×4=12组．a 可参加其中4组．即至少要14组．又{a ，B ，c }，{B ，d }，{B ，e }，{a ，C ，b }，{C ，d }，{C ，e }，{D ，b }，{D ，c }，{a ，D ，e }，{E ，b }，{E ，c }，{a ，E ，d }满足要求．故所求最小值为14．1987年全国高中数学联赛二试题一．如图，△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形，现固定△ABC ，而将△ADE 绕A 点在平面上旋转，试证：不论△ADE 旋转到什么位置，线段EC 上必存在点M ，使△BMD 为等腰直角三角形．证明：以A 为原点，AC 为x 轴正方向建立复平面．设C 表示复数c ，点E 表示复数e (c 、e ∈R )．则点B 表示复数b=12c +12ci ，点D 表示复数d=12e －12ei ． 把△ADE 绕点A 旋转角θ得到△AD 'E '， 则点E '表示复数e '=e (cos θ+i sin θ)．点D '表示复数d '=d (cos θ+i sin θ) 表示E 'C 中点M 的复数m=12(c +e ')． ∴ 表示向量→MB 的复数：z 1=b －12(c +e ')=12c +12ci －12c －12e (cos θ+i sin θ)=－12e cos θ+12(c －e sin θ)i ． 表示向量→MD '的复数：z 2=d '－m=(12e －12ei )(cos θ+i sin θ)－12c －12e (cos θ+i sin θ) =12(e sin θ－c )－12ie cos θ． 显然：z 2=z 1i ．于是|MB |=|MD '|，且∠BMD '=90°．即△BMD '为等腰直角三角形．故证．二．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点称为整点．试证：存在一个同心圆的集合，使得⑴每个整点都在此集合的某个圆周上；⑵此集合的每个圆周上，有且只有一个整点．(辛泽尔定理)证明取一点，其两个坐标都是无理数，例如W(2，3)，先证明，以W为圆心，任意长为半径作的圆，至多通过一个格点．设某个以W为圆心的圆通过两个格点(m，n)，(p，q)(m，n，p，q∈Z)，则(m－2)2+(n－3)2=(p－2)2+(q－3)2．展开整理得，m2+n2－p2－q2=22(p－m)+23(q－n)．左边是有理数，右边当且仅当p=m，q=n时为有理数．故证．于是可知以W为圆心的圆至多通过一个格点．现考虑，平面上所有的点与W的距离，这些距离没有两个相等．故可以把所有的距离按从小到大排队0=r0<r1<r2<r3<…<r n<…．对应的整点依次为A0，A1，A2，A3，…，A n，…．以W为圆心，以r n为半径作圆，则此圆恰经过整点A n．且此圆只经过A n这个整点．现取以W为圆心，所有r n为半径的同心圆集．则每个整点都在此同心圆集合中的某个圆上，且每个圆上都有且只有一个整点．三．n(n>3)名乒乓球选手单打若干场后，任意两个选手已赛过的对手恰好都不完全相同，试证明：总可以从中去掉一名选手，而使在余下的选手中，任意两个选手已赛过的对手仍然都不完全相同．证明1：用A、B、……表示选手，而用α(A)、α(B)表示A、B已赛过的对手集合．设A是对手集中元素最多的的选手．若命题不成立，则存在两个选手B、C使去掉A后，B、C的对手集相同，由于α(B)≠α(C)，故A必属于α(B)与α(C)之一．不妨设B∈α(A)，C∉α(A)．同样存在D、E，使D∈α(C)，E∉α(C)，去掉C后，α(D)=α(E)，由于A∉α(C)，故D≠A：又D∈α(C)，故D∈α(B)，即B∈α(D)=α(E)∪{C}，从而B∈α(E)，C∉α(E)，而去掉A后，B、C的对手集相同，从而E=A．于是α(A)=α(E)=α(D)\{C}，即α(A)比α(D)少一个元素C，这与A是“对手集中元素最多的”矛盾．故证．又证：把这些选手编为1至n号，以n个点表示这n个人，各点也相应编为1至n号．反设去掉任何一各选手后都有两个选手的已赛过的对手完全相同．于是先去掉1号选手，则有两个选手的已赛过的对手完全相同，设为第i号与第j号，在表示此二人的点间连一条线，并在线上注上“1号”．这说明，此二人在去掉1号选手之前必是一人与1号赛过，另一人与1号没有赛过．而且不可能在去掉1号后有三人都相同，否则，此三人与1号选手比赛的情况只有两种：赛过或没有赛过，如果去掉1号后，此三人的情况完全相同，则去掉1号之前必有2人赛过的对手完全相同．如果去掉1号后有不止一对选手的已赛过对手完全相同，则只任取其中的一对连线，其余的对则不连线．连线后把1号选手放回来，再依次去掉2号、3号，……，直至n号，每去掉1个选手，都会在某两点之间连出1条线．这样，就在n个选手之间连了n条线．且这些线上分别注了1至n号，每条线注了1个号码，每个号码只注在1条线上．在这10个点中，总能找到一点，从这点出发，沿线前进，最后必能回到此点，否则，每到1点后，经过的点数都比线数多1．而图中的点数与线数相等，矛盾．现不妨设从点i出发，经过点j、k、……最后回到点i．注意到点i与点j所代表的两各选手中1个是与1号比赛的，另一个是没有与1号比赛的，不妨设i 号没有与1号比赛过，j号与1号比赛过．而j与k所连线上注的号码不是1，故j与k与1号比赛的情况相同，即k号与1号比赛过，……，这样沿线走一圈后回到i，就应该得出i号与1号比赛过，矛盾．故证．。

1987年普通高等学校招生全国统一考试物理一、(24分)每小题3分。

把答案填写在题中横线上空白处，不要求写出演算过程。

其中第(5)、(8)小题按题中要求做答。

(1).在玻尔的氢原子模型中，电子的第一条(即离核最近的那条)可能轨道的半径为r 1，则由此向外数的第三条可能轨道的半径r 3＝。

电子在这第三条可能轨道上运动时的动能E K =。

已知基本电荷为e ，静电力恒量为k 。

(2).一个锂核(Li 73)受到一个质子的轰击，变成两个α粒子，这一过程的核反应方程是。

已知一个氢原子的质量是1.6736×1027-千克，一个锂原子的质量是11.6505×1027-千克。

一个氦原子的质量是6.6466×1027-千克。

上述核反应所释放的能量等于焦耳。

(最后结果取三位有效数字)(3).在太阳光照射下，水面油膜上会出现彩色的花纹，这是两列相干光波发生干涉的结果.这两列相干光波是太阳光分别经而形成的。

用平行的单色光垂直照射不透明的小圆板，在圆板后面的屏上发现圆板阴影中心处有一个亮斑.这是光的现象。

(4).一根质量为m ，长度为l 的均匀的长方木料放在水平桌面上，木料与桌面间的摩擦系数为μ。

现用水平力F 推木料，当木料经过图中所示的位置时，桌面对它的摩擦力等于。

(5).绳中有一列正弦横波，沿x 轴传播。

右上图中a 、b 是绳上两点，它们在x 轴方向上的距离小于一个波长，当a 点振动到最高点时，b 点恰经过平衡位置向上运动。

试在图上a 、b 之间画出两个波形分别表示：①沿x 轴正方向传播的波；②沿x 轴负方向传播的波.在所画波形上要注明符号①和②(6).电子绕核运动可等效为一环形电流。

设氢原子中的电子以速率v 在半径为r 的轨道上运动，用e 表示电子的电量,则其等效电流的电流强度等于。

(7).下页图是一台三相变压器的示意图，原线圈和副线圈的匝数比为21n n ＝30，今测得副线圈一边a 、b 、c 三端的任意两端之间的电压为380伏，则在原线圈一边A 、B 、C 三端的任意两端之间的电压等于。

1987年全国统一高考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）设S，T是两个非空集合，且S⊈T，T⊈S，令X=S∩T，那么S∪X等于（）A．X B．T C．φD．S2．（3分）设椭圆方程为，令c2=a2﹣b2，那么它的准线方程为（）A．B．C．D．3．（3分）设log34•log48•log8m=log416，那么m等于（）A．B．9C．18 D．274．（3分）复数sin40°﹣icos40°的辐角为（）A．40°B．140°C．220°D．310°5．（3分）二次函数y=f（x）的图象如图所示，那么此函数为（）A．y=x2﹣4 B．y=4﹣x2C．D．6．（3分）函数f（x）是R上以2为周期的奇函数，已知当x∈（0，1）时，f（x）=log2，则f （x）在区间（1，2）上是（）A．减函数，且f （x）＜0 B．增函数，且f（x）＜0C．减函数，且f（x）＞0D．增函数，且f（x）＞07．（3分）已知平面上一点P在原坐标系中的坐标为（0，m）（m≠0），而在平移后所得到的新坐标系中的坐标为（m，0），那么新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标为（ A ）A．（﹣m，m）B．（m，﹣m）C．（m，m）D．（﹣m，﹣m）8．（3分）（2012•德阳二模）要得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平行移动B．向右平行移动C．向左平行移动D．向右平行移动二、解答题（共7小题，满分96分）9．（28分）已知方程表示双曲线，求λ的范围．10．（10分）发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别是时间t的函数：I A=Isinωt，I B=Isin（ωt+120°），I C=Isin（ωt+240°），求I A+I B+I C的值．11．（12分）在复平面内，已知等边三角形的两个顶点所表示的复数分别为，求第三个顶点所表示的复数．12．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=L，PA，BC的公垂线ED=h．求证三棱锥P﹣ABC的体积V=L2h．13．（10分）设对所有实数x，不等式恒成立，求a的取值范围．14．（12分）设数列a1，a2，…，a n，…的前n项的和S n与a n的关系是S n=ka n+1，（其中k是与n无关的常数，且k≠1）．（1）试写出用n，k表示的a n的表达式；（2）若=1，求k的取值范围．15．（12分）正方形ABCD在直角坐标平面内，已知其一条边AB在直线y=x+4上，C，D在抛物线x=y2上，求正方形ABCD的面积．1987年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）设S，T是两个非空集合，且S⊈T，T⊈S，令X=S∩T，那么S∪X等于（）A．X B．T C．φD．S考点：并集及其运算．分析：根据交集的性质，易得X⊆S，进而由并集的性质，可得答案．解答：解：若X=S∩T，则有X⊆S，由并集的意义，易得S∪X=S，故选D．点评：本题考查交、并集的性质与相互关系，注意X=S∩T⇒X⊆S，S∪X=S⇒X⊆S，反之也成立．2．（3分）设椭圆方程为，令c2=a2﹣b2，那么它的准线方程为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：先判断椭圆的焦点在x轴还是在y轴，再根据椭圆的性质可知椭圆的准线方程．解答：解：∵a＞b，∴椭圆的焦点在x轴，根据椭圆的性质可知椭圆的准线方程为故选C点评：本题主要考查了椭圆的性质．属基础题．3．（3分）设log34•log48•log8m=log416，那么m等于（）A．B．9C．18 D．27考点：对数的运算性质．分析：根据换底公式知，log4•log48•log8m===2，即可得答案．3解答：解：∵log4•log48•log8m===23∴lgm=2lg3=lg9∴m=9故选B．点评：本题主要考查对数运算中的换底公式的应用．4．（3分）复数sin40°﹣icos40°的辐角为（）A．40°B．140°C．220°D．310°考点：复数的代数表示法及其几何意义．分析：化简成复数的三角形式即可解答：解：原复数可化成sin140°+icos140°，故辐角为140°，选B．点评：注意到复数的三角形式为z=r（cosθ+isinθ）5．（3分）二次函数y=f（x）的图象如图所示，那么此函数为（）A．y=x2﹣4 B．y=4﹣x2C．D．考点：函数的图象．专题：数形结合．分析：先看图象的开口方向，再看定点坐标，结合所给的选项选出正确的答案．解答：解：由二次函数的图象是抛物线，开口向下，顶点（0，3），结合所给的选项，故答案选C．点评：本题考查二次函数图象的特征．6．（3分）函数f（x）是R上以2为周期的奇函数，已知当x∈（0，1）时，f（x）=log2，则f （x）在区间（1，2）上是（）A．减函数，且f （x）＜0 B．增函数，且f（x）＜0C．减函数，且f（x）＞0D．增函数，且f（x）＞0考点：函数的单调性及单调区间．专题：计算题．分析：欲求f（x）在区间（1，2）上的性质，可先求出其解析式，根据解析式研究性质．解答：解：设﹣1＜x＜0，则0＜﹣x＜1，∴f（﹣x）=log2，又f（x）=﹣f（﹣x），∴f（x）=log2（1+x），∴1＜x＜2时，﹣1＜x﹣2＜0，∴f（x）=f（x﹣2）=log2（x﹣1）．∴f（x）在区间（1，2）上是增函数，且f（x）＜0．故选B．点评：已知奇函数的一侧的解析式，可以求出其关于原点对称的另一侧的解析式，这是奇函数的一个重要应用．7．（3分）已知平面上一点P在原坐标系中的坐标为（0，m）（m≠0），而在平移后所得到的新坐标系中的坐标为（m，0），那么新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标为（ A ）A．（﹣m，m）B．（m，﹣m）C．（m，m）D．（﹣m，﹣m）考点：向量在几何中的应用．专题：压轴题；阅读型．分析：利用平移公式求出平移向量，再利用平移公式求出新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标．解答：解：设按向量，则新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标为（k，l）则据平移公式故∴解得即新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标为（﹣m，m）故选项为A点评：本题考查平移公式的应用．8．（3分）（2012•德阳二模）要得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平行移动B．向右平行移动C．向左平行移动D．向右平行移动考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：常规题型；压轴题．分析：假设将函数y=sin2x的图象平移ρ个单位得到，根据平移后，求出ρ进而得到答案．解答：解：假设将函数y=sin2x的图象平移ρ个单位得到y=sin2（x+ρ）=sin（2x+2ρ）=∴ρ=﹣∴应向右平移个单位故选D．点评：本题主要考查三角函数的平移．属基础题．二、解答题（共7小题，满分96分）9．（28分）已知方程表示双曲线，求λ的范围．考点：双曲线的标准方程；函数的定义域及其求法；极限及其运算；计数原理的应用；二项式系数的性质．专题：计算题．分析：根据双曲线定义可知，要使方程表示双曲线2+λ和1+λ同号，进而求得λ的范围．解答：解：依题意可知（2+λ）（1+λ）＞0，求得λ＜﹣2或λ＞﹣1；故λ的范围为λ＜﹣2或λ＞﹣1．点评：本题主要考查了双曲线的标准方程．解题时要注意讨论焦点在x轴和y轴两种情况．10．（10分）发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别是时间t的函数：I A=Isinωt，I B=Isin（ωt+120°），I C=Isin（ωt+240°），求I A+I B+I C的值．考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：利用两角和的正弦公式，把sin（ωt+120°）和sin（ωt+240°）展开后代入I A+I B+I C的式子进行化简．解答：解：I A+I B+I C=Isinωt+Isin（ωt+120°）+Isin（ωt+240°）=I[sinωt+sin（ωt+120°）+sin（ωt+240°）]==I•0=0．点评：本题考查两角和的正弦公式的应用以及特殊角的三角函数值．11．（12分）在复平面内，已知等边三角形的两个顶点所表示的复数分别为，求第三个顶点所表示的复数．考点：复数代数形式的混合运算．分析：设第三个顶点所表示的复数为z，因为是正三角形，三边长相等，即复数的模相等，夹角60°，化简求解．解答：解：设第三个顶点所表示的复数为z那么根据题意，z﹣2和的模相等，辐角差为，因而；，点评：本题考查复数代数形式的混合运算，复数的三角形式的运算，考查复数的模等知识，是难度较大，运算量大，易出错．12．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=L，PA，BC的公垂线ED=h．求证三棱锥P﹣ABC的体积V=L2h．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；证明题．分析：由题意说明PAD是垂直边长的两个三棱锥的公共底面，求出其面积，再求体积即可．解答：证明：连接AD和PD∵BC⊥PA，BC⊥ED，PA与ED相交，∴BC⊥平面PAD，∵ED⊥PA，∴S△ABC=PA•ED=LhV B﹣PAD=（Lh）•BD=Lh•BD=Lh•CD同理，V C﹣PAD∴三棱锥P﹣ABC的体积V=Lh•BD+Lh•CD=Lh（BD+CD）=Lh•BC=L2h．若E，D不是分别在线段AP，BC上，结论仍成立．点评：本题考查学生空间想象能力，考查逻辑思维能力，棱锥的体积公式，是中档题．13．（10分）设对所有实数x，不等式恒成立，求a 的取值范围．考点：其他不等式的解法；二次函数的性质．专题：计算题；转化思想．分析：本题是一元二次不等式x∈R恒成立问题，用判别式法转化为：再求解．解答：解：由题意得：令，则（3）式变为z2﹣（log28﹣z）（﹣2z）＜0，化简为z（6﹣z）＜0，解得z＞6或z＜0（4）（2）式变为log28﹣z＞0，即z＜3，（5）综合（4），（5）得z＜0，即，由此，（6）解（1），（6）得a取值范围：0＜a＜1．点评：本题主要考查一元二次不等式在实数集上恒成立问题，解法是用判断式法，要注意其开口方向．14．（12分）设数列a1，a2，…，a n，…的前n项的和S n与a n的关系是S n=ka n+1，（其中k是与n无关的常数，且k≠1）．（1）试写出用n，k表示的a n的表达式；（2）若=1，求k的取值范围．考点：数列递推式；极限及其运算．专题：计算题；压轴题．分析：（1）由前n项的和S n与a n的关系a n+1=S n+1﹣S n，得到数列的递推公式，注意分析k是否为零，再求数列的通项公式．（2）利用极限的值和第（1）的结果，代入s n整理出关于k的式子，再求k的值．解答：解：（1）∵S n=ka n+1，∴a n+1=S n+1﹣S n=（ka n+1+1）﹣（ka n+1），∴a n+1=ka n+1﹣ka n，即（k﹣1）a n+1=ka n，∵若k≠0，则由题设知a1≠0，由（1）式易知a n≠0，n≥1，∴故该数列是公比为的等比数列，其首项为∴当k=0时，由（1）式知a n=0，上式当n≥1时对k=0也成立．（2）若，即，，∴∴k的范围：k＜点评：本题由前n项和公式和s n和a n的关系式，求出递推公式，然后求数列的通项公式；再由所给的极限值求k的范围．15．（12分）正方形ABCD在直角坐标平面内，已知其一条边AB在直线y=x+4上，C，D在抛物线x=y2上，求正方形ABCD的面积．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；压轴题．分析：根据C，D两点在抛物线上可设出C，D的坐标，根据直线A，B的方程可知AB与y轴成的夹角，进而推断出角线AC与边AB也成450角，进而推断出AC∥y轴，和BD∥x轴，设出A，B的坐标，根据AB∥CD，对角线AC，BD互相垂直平分，联立方程求得s和t，则正方形ABCD的面积可求得．解答：解：∵C，D两点在抛物线上，∴可设C（s2，s），D（t2，，t），又∵A，B在直线y=x+4上，∴AB与y轴成450角，∵四边形ABCD为正方形，∴对角线AC与边AB也成450角，∴AC∥y轴，同理BD∥x轴，∴可设A（s2，s2+4），B（t﹣4，t）∵AB∥CD，对角线AC，BD互相垂直平分，所以有解得∴面积S1=|C1D1|2=[（﹣1）2﹣22]2+[（﹣1）﹣2]2=18，S2=|C2D2|2=[（﹣1）2﹣32]2+[（﹣1）﹣3]2=50．答：这样的正方形有两个，其面积分别为18，50．点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生的分析推理和数形结合思想的灵活运用．。

1987年全国高考数学试题及答案1987年全国高考数学试题（科学、工业、农业和医药）一、本题每一个小题都给出代号为a,b,c,d的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把你认为正确的结论的代号写在题后的括号内.（a） x（b）t（c）φ（d）s【】[key]一、本题考查基本概念和基本运算.（1） d【】[键]（2）c(3)设a,b是满足ab<0的实数,那么（a）│a+b│>│a-b│（b）│a+b│(c)│a-b│[钥匙]（3）b(4)已知e,f,g,h为空间中的四个点,设命题甲:点e,f,g,h不共面.命题乙:直线ef和gh不相交.那么（a） a是B的充分条件，但不是必要条件（B）a是B的必要条件，但不是充分条件（c）a是B的充分必要条件(d)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件.【】[键]（4）a(5)在区间(-∞,0)上为增函数的是【】[key](5)b【】[key](6)d（7）极坐标方程ρ=sinθ+2cosθ表示的曲线是（a）直线（b）圆(c)双曲线(d)抛物线【】[钥匙]（7）b【】[键]（8）a二、只要求写出结果.（3）如果在（1+x）n的展开式中，X3的系数等于x的系数的7倍，求n(5)在抛物线y=4x2上求一点,使该点到直线y=4x-5的距离为最短.（6）它由数字1、2、3、4和5组成。

没有重复的数字，数字1和2彼此不相邻。

找到五位数（7）。

正三角棱镜下底和上底的周长分别为30厘米和12厘米，侧面面积等于两个底面积之间的差值，因此计算倾斜高度[key]二、本题考查基础知识和基本运算,只需写出结果.三、找到sin10°sin30°sin50°sin70°的值[key]三、本题考查三角的恒等变形知识和运算能力.解法一:sin10°sin50°sin70°∴sin10°sin30°sin50°sin70°解法二:∵sin10°sin50°sin70°,.解法三:sin10°sin30°sin50°sin70°==四、如图所示，在三角形金字塔PABC中，已知PA⊥ BC，PA=BC=L，PA，BC的公共垂直线为ed=H[key]四、本题考查直线和平面的位置关系、体积计算等知识和推理能力.证明:连结ad和pd.∵ 公元前⊥ 卑诗省宾夕法尼亚州⊥ 艾德，爸爸和艾德相交，∵ 公元前⊥ 飞机垫，三棱锥bpad体积类似地，金字塔形CPAD的体积∴三棱锥pabc体积∵v=v1+v2,如果e和D分别不在线段AP和BC上，则结论仍然有效五、设对所有实数x,不等式常数，找到A的值范围[key]五、本题考查对数、不等式等知识和运算能力.解:由题意得。

1987年高考语文试题文章一：1. 按古代诗人王之涣《登鹳雀楼》所作的诗句：“白日依山尽，黄河入海流”形容壮丽雄伟的自然景色。

可以说，这景色正如王之涣在诗中所表达的那样，给人们带来了无限的遐思和震撼。

人们沿着白日依山尽的景色，仿佛可以看到黄河奔腾入海的壮丽情景，使人心潮澎湃。

这样壮丽的自然景色，或许也正是我们工作学习中需要的一种激励和鼓舞。

2. 在繁忙的工作学习中，我们常常会感到疲惫和压力。

而当我们走出尘嚣，踏上大自然的怀抱时，犹如身处山川湖海之间，瞬间感受到那种宁静和自由。

像是万千仙鹤在自由翱翔，大江大河在自由流淌，给人一种心旷神怡的感觉。

此时，放松自己，陶冶情操，可以更好地调整自己的状态，面对工作和学习中的困难。

3. 老子曾经说过：“天地之间，万物皆为存在于无为之中。

”这是一种寓意深远的道理。

而大自然的景色，正是将这种无为哲学完美地展现出来。

浩渺的大海，苍茫的天空，无不给人一种无边无际的感觉。

当我们面对这种无限广阔的景色时，也就悟出了一种天人合一的境界。

为人处世，也应如此，学会放下欲望和纷乱，恢复最本真的自我。

4. 此外，大自然的景色还给予人们无尽的灵感和创造力。

从历史上许多文人墨客的作品中就可以看到，他们往往将大自然的景色描绘得淋漓尽致。

阳光、山水、花草，都成为他们笔下的灵感源泉。

正所谓“静以修身，俭以养德，非淡泊无以明志，非宁静无以致远”。

只有沉浸在大自然的景色中，才能真正找到自己最初的创造力和激情。

5. 综上所述，大自然的景色对人的影响是无可替代的。

它既能给人以壮丽和震撼，又能使人宁静和放松，更能激发人的创造力和灵感。

所以，不论是工作还是学习，我们都应当利用好大自然的力量，让自己在其中获得收获和成长。

1987年全国化学高考试题可能用到的数据原子量H 1 He 4 Li 7 C 12 N 14 O 16 F 19Ne 20 Na 23 Mg 24 Al 27 P 31 S 32 Cl 35.5K 39 Ca 40 Fe 56 Cu Ag 108对数值 lg2=0.301 lg3=0.477 lg5=0.699一、填空(本题共30分)1.O16、O17、O18互称 .红磷和白磷互称 .2.浓硝酸使金属铝产生钝态是因为浓硝酸具有性.浓硝酸跟纤维素反应生成硝酸纤维,这一反应是作用.浓硝酸常常显黄色是因为混有杂质.不用浓硝酸跟锌反应制取氢气是因为浓硝酸具有性.3.现有A、B、C、D、E、F、G、H八种气体,均为无机物.根据下列事实判断各是哪种气体.(1)A、B、H是三种难溶于水的无色气体,其余可溶于水.(2)把A、D混和,混和气体在光照下会发生爆炸反应,生成E.(3)A和B在一定条件下可以反应生成F.(4)E和F反应生成白色烟雾.(5)G可以使溴水褪色.G可以使C氧化生成黄色固体.(6)C在较高温度时分解得到黄色固体.(7)H与空气混和时,由无色变成红棕色,将此混和气体冷却,则气体颜色变浅.请写出各种气体的分子式:A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H .4.某非金属X的最高化合价为+m,它的最高价氧化物所对应的酸的分子中有b个氧原子,则这种酸的分子式为.5.把1120毫升(标准状况时的体积)氯化氢溶解于水,配制成500毫升溶液,该溶液的氢离子浓度为M,溶液的pH值为 .6.通常把铝粉和氧化铁的混和物叫 .用电石跟水反应制取的乙炔常因混有等杂质而有特殊难闻的气味.7.A、B、C、D是同一周期的四种元素.A、B、C的原子序数依次相差为1.A元素的单质的化学性质活泼,A元素的原子在本周期中原子半径最大.B元素的氧化物2.0克恰好跟100毫升0.50M硫酸完全反应.B元素单质跟D元素单质反应生成化合物BD2.根据以上事实填写下列空白:A的原子结构示意图 ;C原子的电子排布式 ;BD2的电子式 .若向C的氧化物的水化物中加入A的氧化物的水化物,则溶液显碱性.这一反应的化学方程式为 .B的单质能在原子序数为7的元素的单质中燃烧,这一反应的化学方程式为: .8.(1)写出实验室里用二氧化锰跟浓盐酸反应制得氯气的化学方程式,并注明反应条件: .(2)高锰酸钾(KMnO4)是常用的氧化剂,在酸性条件下,MnO4-被还原成Mn2+.试写出用高锰酸钾跟浓盐酸在室温下制氯气的反应的化学方程式: .(3)历史上曾用"地康法"制氯气.这一方法是用CuCl2作催化剂,在450°C利用空气中的氧气跟氯化氢反应制氯气.这一反应的化学方程式为: .(4)从氯元素化合价的变化看,以上三种方法的共同点是 .(5)比较以上三个反应,可认为氧化剂的氧化能力从强到弱的顺序为: .9.0.17克某卤素单质的标准状况下的体积是100毫升,这种卤素单质的分子量是 .加热3.40克MNO3,生成NO2和O2共672毫升(标准状况时的体积).由此可以计算出M的原子量为 .11.配平下列化学方程式,将系数填在空格内:(1)□HClO3+□P4+□H2O=□HCl+□H3PO4(2)□Cu2S+□HNO3=□Cu(NO3)2+□NO↑+□S+□H2O二、选择题(本题共45分)B、C、D、E)填入方括号内.若试题中只有一个正确答案的,选答两个或多于两个者不给分;若试题中有两个正确答案的,只选一个答案或选了一个正确答案和一个错误答案或选了多于两个答案者,都不给分.其中第1&#0;25题,每题1分;第26&#0;35题,每题2分.1.某三价金属阳离子,具有28个电子,其质量数为70,那么它的核内中子数是(A)28 (B)31 (C)39(D)42 (E)98 答〔〕2.在可逆反应X+2Y2Z-Q中，X、Y、Z是三种气体，Q是热量，为了有利于Z的生成,应采用的反应条件是(A)高温高压 (B)高温低压 (C)常温常压(D)低温低压 (E)低温高压答〔〕3.下列溶液长期暴露在空气中会变质的是(A)NaOH溶液 (B)KCl溶液 (C)FeSO4溶液(D)NaCl溶液 (E)CuSO4溶液答〔〕4.下列物质中既能跟浓硫酸反应,又能跟烧碱反应的是(A)Cl2 (B)H2 (C)H3PO4(D)(NH4)2S (E)Zn(OH)2答〔〕5.下列哪种盐能使稀NaOH溶液的pH值变小(A)FeCl3 (B)KCl (C)Na2CO3(D)Na2S (E)CuSO4答〔〕6.下列分子或离子中不能跟质子结合的是(A)NH3 (B)H2O (C)Ca2+7.把99.5毫升0.2M氢氧化钠溶液加到100.5毫升0.1M硫酸中,所得溶液的pH 值为(A)2 (B)2.7 (C)3(D)3.3 (E)11.3 答〔〕8.下列各溶液分别通入适量二氧化碳,能观察到明显现象(如产生沉淀、油珠、浑浊等)的是(A)苯酚钠的水溶液 (B)稀氢氧化钠溶液(C)乙酸钠的水溶液 (D)碳酸氢钙的水溶液(E)石灰水答〔〕9.下列各种说法中正确的是(A)HCl还原性比HBr强 (B)Ag+氧化性比H+强(C)I2不具有氧化性 (D)Ca不具有还原性(E)N2既有还原性,又有氧化性答〔〕10.下列各组液体混和物,用分液漏斗不能分开的是(A)甘油和乙醇 (B)苯和水(C)正己烷和水 (D)乙酸乙酯和水(E)乙酸和乙醇答〔〕11.在常温常压下,取下列5克气态烃各1摩尔,分别在足量氧气中燃烧,消耗氧气最多的是(A)甲烷 (B)乙烷 (C)乙烯(D)乙炔 (E)丙烷答〔〕12.下列5种化合物分别经催化加氢后,不能得到2-甲基戊烷的是(A)CH3CH=C(CH3)CH2CH3(B)(CH3)2C=CHCH2CH3(C)CH2=C(CH3)(CH2)CH3(D)CH3CH=CHCH(CH3)2(E)CH2=CHCH2CH(CH3)213.下列各种说法中正确的是(A)凡是能起银镜反应的物质一定是醛.(B)乙烯和甲苯都能使酸性高锰酸钾溶液褪色.(C)在氧气中燃烧时只生成二氧化碳和水的有机物一定是烃.(D)在酯化反应中,羧酸脱去羧基中的氢原子,醇脱去羟基生成水和酯.(E)苯酚有弱酸性,俗称石炭酸,因此它是一种羧酸. 答〔〕14.下列关于蛋白质的叙述中,不正确的是(A)蛋白质溶液里加入饱和硫酸铵溶液,蛋白质析出,虽再加水,也不溶解.(B)人工合成的具有生命活力的蛋白质&#0;结晶牛胰岛素是我国科学家在1965年首次合成的.(C)重金属盐能使蛋白质凝结,所以误食重金属盐会中毒.(D)浓硝酸溅在皮肤上,使皮肤呈黄色是由于浓硝酸和蛋白质发生了颜色反应.(E)蛋白质溶液里的蛋白质能透过半透膜. 答〔〕15.现有一种烃可以表示为命名该化合物时,应认定它的主链上的碳原子数目是(A)8 (B)9 (C)10(D)11 (E)12 答〔〕16.已知二氯苯的同分异构体有三种,从而可以推知四氯苯的同分异构体数目是(A)1 (B)2 (C)3(D)4 (E)5 答〔〕17.已知合成氨反应的浓度数据如下3H2 + N22NH3起始浓度(摩/升) 3.0 1.002秒末浓度(摩/升) 1.8 0.6 0.8当用氨气浓度的增加来表示该反应的速度时,该反应的速度是(A)0.2摩/升·秒 (B)0.4摩/升·秒(C)0.6摩/升·秒 (D)0.8摩/升·秒(E)1.2摩/升·秒答〔〕18.下列几种气体中,在同温同压下,等质量时所占体积最大的是(A)一氧化碳 (B)氯化氢 (C)二氧化碳(D)氖气 (E)氯气答〔〕19.下列各组离子在溶液中不能同时大量存在的是20.两种元素可以组成AB2型化合物,它们的原子序数是(A)3和9 (B)6和8 (C)10和14(D)7和12 (E)13和17 答〔〕21.a元素的阳离子、b元素的阳离子和c元素的阴离子都具有相同的电子层结构,a的阳离子的半径大于b的阳离子的半径,则a、b、c三种元素原子序数大小应符合(A)a<b<c (B)b<c<a (C)b<a<c(D)c<a<b (E)无法判断答〔〕22.二氧化碳中含有少量氯化氢,要想除去氯化氢最好用下列哪一种溶液处理(A)氨水 (B)浓硫酸 (C)碳酸氢钠饱和溶液(D)饱和石灰水 (E)碳酸钠饱和溶液答〔〕23.镭是元素周期表中第七周期的ⅡA族元素,下列关于镭的性质的描述中不正确的是(A)在化合物中呈+2价 (B)单质能使水分解,放出氢气(C)氢氧化物呈两性 (D)碳酸盐难溶于水(E)镭比钙的金属性更强答〔〕24.当两极都用银片作电极电解硝酸银水溶液时,在阳极的产物是(A)只有银 (B)银和氧气 (C)银和氢气(D)只有氢气 (E)上述都不对答〔〕25.在相同条件下,通以相同电量,分别电解足量的氯化铜溶液和硝酸银溶液,如果析出64克铜,则可析出银的质量为(A)108克 (B)54克 (C)216克(D)64克 (E)以上都不对答〔〕26.设N0为阿佛加德罗常数.下列关于0.2MBa(NO3)2溶液的不正确说法是(A)1升溶液中所含阴、阳离子总数是0.6N0(B)1升溶液中含有0.2N0个离子(C)500毫升溶液中的Ba2+离子浓度是0.2M(D)500毫升溶液中的离子浓度是0.2M(E)500毫升溶液中含有0.2N0个离子答〔〕27.当密闭容器中反应mA(气)+nB(固)pC(气)已经达到平衡后,将密闭容器的体积缩小,发现A的转化率也随之降低.那么,下列几个表示化学方程式系数关系的式子中,普遍适用于上述一类反应的是(A)m+n>p (B)m+n<p (C)m=p(D)m>p (E)m<p 答〔〕28.二硫化碳(CS2)能够在氧气中完全燃烧生成CO2和SO2.今用0.228克CS2在448毫升氧气(标准状况时的体积)中完全燃烧,反应后气体混和物在标准状况时的体积是(A)112毫升 (B)224毫升 (C)336毫升(D)448毫升 (E)201.6毫升答〔〕29.下列各化学反应的离子方程式中,有错误的是(A)氢氧化铝跟盐酸反应 Al(OH)3+3H+=Al3++3H2O(B)浓三氯化铁溶液跟铜反应 Fe3++Cu=Fe2++Cu2+(C)碘化钾溶液跟适量溴水反应 2I-+Br2=I2+2Br-(D)甲酸跟氢氧化钠溶液反应 HCOOH+OH-=HCOO-+H2O(E)金属钠跟水反应 Na+2H2O=Na++2OH-+H2↑答〔〕30.在铜跟硝酸的反应中,如果有1摩尔硝酸被还原了,则被氧化的铜的物质的量为31.质量相等的两份气体样品,一份是SO2,另一份是SO3,这两份气体样品中,SO2与SO3所含氧原子的原子个数之比是(A)1:1 (B)2:3 (D)6:5(D)5:6 (E)5:4 答〔〕32.0.1摩尔某元素的单质直接跟氯气反应后,质量增加7.1克.这种元素是(A)P (B)Mg (C)Na(D)Al (E)Fe 答〔〕34.在氧气中灼烧0.44克硫和铁组成的化合物,使其中的硫全部转变为二氧化硫,把这些二氧化硫全部氧化并转变为硫酸.这些硫酸可以用20毫升0.50M氢氧化钠溶液完全中和.则原化合物中硫的百分含量为(A)18% (B)46% (C)53%(D)73% (E)36% 答〔〕35.有A克浓度为15%的硝酸钠溶液,若想将其浓度变为30%,可以采用的方法是:(E)蒸发掉溶剂的15% 答〔〕三、(本题共14分)1.用化学方程式表示以空气、煤、水、为原料制备硝酸铵的过程.2.可用于分离或提纯物质的方法有:(A)分馏 (B)盐析 (C)过滤 (D)重结晶 (E)升华(F)渗析 (G)电解 (H)加热分解 (I)蒸馏下列各组混和物的分离或提纯应选用上述哪一种方法最合适？（把选用的方法的标号填入方括号内）(1)除去Ca(OH)2溶液中悬浮的CaCO3微粒. 答〔〕(2)除去Fe(OH)3胶体中混有的Cl-离子. 答〔〕(3)除去乙醇中溶解的微量食盐. 答〔〕(4)分离石油中各种不同沸点范围的成分. 答〔〕(5)除去固体碘中混有的少量碘化钠. 答〔〕(6)除去氧化钙中的碳酸钙. 答〔〕3.制备下表所列的各种化合物时,请从下列(Ⅰ)项中选择原料,从(Ⅱ)项中选择无机试剂及实验条件，将正确答案的标号填入相应的答案栏里。

1987年高考语文试题全国卷一、下列四个词语中加红字都有几种不同的解释，选出正确的一种。

（2分）1.不遗余力（A）漏掉（B）剩下（C）丢失（D）赠送〖答〗（）2.将信将疑（A）将要（B）拿（C）带、领（D）且〖答〗（）3.大相径庭（A）直（B）比喻达到目的的方法（C）经过（D）门外的路〖答〗（）4.咸与维新（A）交往（B）赞许（C）参加（D）给〖答〗（）二、选出字形、注音全对的一组。

（2分）〖答〗（）三、下列成语典故都跟历史或古代传说故事中的人物有关，从后面的四组答案中选出正确的一组。

（3分）1.随俗为变2胡服骑射3鸡犬升天4封狼居胥5望帝啼鹃（A）1.李冰 2.汉元帝 3.成名 4.贾谊 5.关汉卿（B）1.李冰 2.赵武灵王 3.刘安 4.刘义隆 5.窦娥（C）1.扁鹊 2.汉元帝 3.成名 4.辛弃疾 5.白居易（D）1.扁鹊 2.赵武灵王 3.刘安 4.霍去病 5.杜宇〖答〗（）四、下面的四段选自要求背诵的课文，找出其中字句、出处无误的一段。

（3分）（A）不是年轻的为年老的写纪念，而在这三十年中，却使我目睹许多青年的血，层层淤积起来，将我埋得不能呼吸，我只能用这样的笔墨，写几句文章，算是从泥土中挖一个小孔，自己延口残喘，这是怎样的世界呢。

（鲁迅《记念刘和珍君》）（B）孔子曰：三人行，必有我师焉。

是故弟子不必不如师，师不必贤于弟子，闻道有先后而术业有专攻，如是而已。

（韩愈《师说》）（C）夫六国与秦皆诸侯，其势弱于秦，而犹有可以不赂而胜之之势。

苟以天下之大，而从六国破亡之故事，是又在六国下矣！（苏洵《六国论》）（D）鱼，我所欲也，熊掌，亦我所欲也，二者不可兼得，舍鱼而取熊掌者也。

生，我所欲也，义，亦我所欲也，二者不可兼得，舍生而去义者也。

（孟子《鱼我所欲也》）〖答〗（）五、下面三组列出的都是课文的篇名，画线的三篇是同属一类，分别从A、B、C、D中选出与画线的三篇同类的一篇。

（3分）1.《甘薯疏序》《＜呐喊＞自序》《＜农村调查＞序言》（A）《送东阳马生序》（B）《鲁迅的精神》（C）《陋室铭》（D）《闻一多先生的说和做》〖答〗（）2.《小石潭记》《长江三峡》《游黄山记》（A）《威尼斯》（B）《苏州园林》（C）《桃花源记》（D）《雁荡山》〖答〗（）3.《茅屋为秋风所破歌》《石壕吏》《梦游天姥吟留别》（A）《敕勒歌》（B）《十一月四日风雨大作》（C）《白雪歌送武判官归京》（D）《过零丁洋》〖答〗（）六、以“犁花院落溶溶月”为上句，下面四个句子中哪个能作为下句与它组成对偶句？选出最恰当的一个。

一九八七年全国普通高等学校招生统一考试语文试题一、下列四个词语中加红字都有几种不同的解释，选出正确的一种。

（2分）1.不遗余力（A）漏掉（B）剩下（C）丢失（D）赠送〖答〗（）2.将信将疑（A）将要（B）拿（C）带、领（D）且〖答〗（）3.大相径庭（A）直（B）比喻达到目的的方法（C）经过（D）门外的路〖答〗（）4.咸与维新（A）交往（B）赞许（C）参加（D）给〖答〗（）二、选出字形、注音全对的一组。

（2分）〖答〗（）三、下列成语典故都跟历史或古代传说故事中的人物有关，从后面的四组答案中选出正确的一组。

（3分）1.随俗为变 2胡服骑射 3鸡犬升天 4封狼居胥 5望帝啼鹃（A）1.李冰 2.汉元帝 3.成名 4.贾谊 5.关汉卿（B）1.李冰 2.赵武灵王 3.刘安 4.刘义隆 5.窦娥（C）1.扁鹊 2.汉元帝 3.成名 4.辛弃疾 5.白居易（D）1.扁鹊 2.赵武灵王 3.刘安 4.霍去病 5.杜宇〖答〗（）四、下面的四段选自要求背诵的课文，找出其中字句、出处无误的一段。

（3分）（A）不是年轻的为年老的写纪念，而在这三十年中，却使我目睹许多青年的血，层层淤积起来，将我埋得不能呼吸，我只能用这样的笔墨，写几句文章，算是从泥土中挖一个小孔，自己延口残喘，这是怎样的世界呢。

（鲁迅《记念刘和珍君》）（B）孔子曰：三人行，必有我师焉。

是故弟子不必不如师，师不必贤于弟子，闻道有先后而术业有专攻，如是而已。

（韩愈《师说》）（C）夫六国与秦皆诸侯，其势弱于秦，而犹有可以不赂而胜之之势。

苟以天下之大，而从六国破亡之故事，是又在六国下矣！（苏洵《六国论》）（D）鱼，我所欲也，熊掌，亦我所欲也，二者不可兼得，舍鱼而取熊掌者也。

生，我所欲也，义，亦我所欲也，二者不可兼得，舍生而去义者也。

（孟子《鱼我所欲也》）〖答〗（）五、下面三组列出的都是课文的篇名，三篇是同属一类，分别从A、B、C、D中选出与画线的三篇同类的一篇。

1987年试题一、(24分)每小题3分.把答案填写在题中横线上空白处,不要求写出演算过程.其中第(5)、(8)小题按题中要求做答.(1)在玻尔的氢原子模型中,电子的第一条(即离核最近的那条)可能轨道的半径为r1.则由此向外数的第三条可能轨道的半径r3= .电子在这第三条可能轨道上运动时的动能E K= .已知基本电荷为e,静电力恒量为k.已知一个氢原子的质量是1.6736×10-27千克,一个锂原子的质量是11.6505×10-27千克.一个氦原子的质量是6.6466×10-27千克.上述核反应所释放的能量等于焦耳.(最后结果取三位有效数字.)(3)在太阳光照射下,水面油膜上会出现彩色的花纹,这是两列相干光波发生干涉的结果.这两列相干光波是太阳光分别经而形成的.用平行的单色光垂直照射不透明的小圆板,在圆板后面的屏上发现圆板阴影中心处有一个亮斑.这是光的现象.(4)一根质量为m,长度为l的均匀的长方木料放在水平桌面上,木料与桌面间的摩擦系数为μ.现用水平力F推木料,当木料经过图中所示的位置时,桌面对它的摩擦力等于 .(5)绳中有一列正弦横波,沿x轴传播.右上图中a、b是绳上两点,它们在x轴方向上的距离小于一个波长,当a点振动到最高点时,b点恰经过平衡位置向上运动.试在图上a、b之间画出两个波形分别表示:①沿x轴正方向传播的波;②沿x轴负方向传播的波.在所画波形上要注明符号①和②.(6)电子绕核运动可等效为一环形电流.设氢原子中的电子以速率V在半径为r 的轨道上运动,用e表示电子的电量,则其等效电流的电流强度等于 .(7)下页图是一台三相变压器的示意图,原线圈和副线圈的匝数比为n1/n2=30,今测得副线圈一边a、b、c三端的任意两端之间的电压为380伏,则在原线圈一边A、B、C三端的任意两端之间的电压等于 .(8)图1中的实线表示1摩尔的理想气体发生状态变化时的p-V图线,变化过程是由状态A出发,经过B、C、D诸状态,最后又回到状态A,试将这全部过程准确地画在图2所示的p-T图中.二、(40分)每小题4分.本题中每小题给出的几个说法中,有一个或几个是正确的.把正确的说法全选出来,并将正确说法前的字母填写在题后方括号内.每小题,全部选对的,得4分;选对但不全的,得部分分;有选错的,得0分;不答的,得0分.填写在方括号外的字母,不作为选出的答案.(1)如图示,连接平行金属板P1和P2(板面垂直于纸面)的导线的一部分CD和另一连接电池的回路的一部分GH平行,CD和GH均在纸平面内,金属板置于磁场中,磁场方向垂直于纸面向里,当一束等离子体射入两金属板之间时,CD段导线将受到力的作用.A.等离子体从右方射入时,CD受力的方向背离GH.B.等离子体从右方射入时,CD受力的方向指向GH.C.等离子体从左方射入时,CD受力的方向背离GH.D.等离子体从左方射入时,CD受力的方向指向GH.答( )(2)某同学用一不等臂天平称量物体A的质量M.他先把物体A放在天平的右方托盘上,使天平平衡时,左方托盘上所放砝码的质量为m1;他再把物体A放在天平的左方托盘上,使天平平衡时,右方托盘上所放砝码的质量为m2.被称物体的质量MD.无法确定,因为所用天平是不等臂的.答( )(3)如图,有一固定的超导体圆环,在其右侧放着一条形磁铁,此时圆环中没有电流.当把磁铁向右方移走时,由于电磁感应,在超导体圆环中产生了一定的电流.A.这电流的方向如图中箭头所示,磁铁移走后,这电流很快消失.B.这电流的方向如图中箭头所示,磁铁移走后,这电流继续维持.C.这电流的方向与图中箭头方向相反,磁铁移走后,这电流很快消失.D.这电流的方向与图中箭头方向相反,磁铁移走后,这电流继续维持.答( )(4)用m表示地球通讯卫星(同步卫星)的质量,h表示它离地面的高度,R0表示地球的半径,g0表示地球表面处的重力加速度,ω0表示地球自转的角速度,则通讯卫星所受的地球对它的万有引力的大小A.等于0.D.以上结果都不正确.答( )(5)在x轴上有两个点电荷,一个带正电Q1,一个带负电-Q2,且Q1=2Q2.用E1和E2分别表示两个电荷所产生的场强的大小,则在x轴上A.E1=E2之点只有一处;该处合场强为0.B.E1=E2之点共有两处;一处合场强为0,另一处合场强为2E2.C.E1=E2之点共有三处;其中两处合场强为0,另一处合场强为2E2.D.E1=E2之点共有三处;其中一处合场强为0,另两处合场强为2E2.答( )A.有阻碍电流的作用,最后电流由I0减小为零.B.有阻碍电流的作用,最后电流总小于I0.C.有阻碍电流增大的作用,因而电流保持为I0不变.D.有阻碍电流增大的作用,但电流最后还是要增大到2I0.答( )(7)如图所示,一根轻质弹簧上端固定,下端挂一质量为m0的平盘,盘中有一物体,质量为m.当盘静止时,弹簧的长度比其自然长度伸长了l.今向下拉盘使弹簧再伸长△l后停止.然后松手放开.设弹簧总处在弹性限度以内,则刚松开手时盘对物体的支持力等于答( )(8)下图中的L1、L2、L3和L4分别表示放在空气中的薄透镜,OO＇表示主轴,透镜的焦点没有画出,也不知是凸透镜还是凹透镜.对每个透镜,图中给定了两条入射光线.关于出射光线的画法,在这四个光路图中,哪个或哪几个光路图是近似正确的?答( )(9)如图所示,食盐(NaCl)的晶体是由钠离子(图中○)和氯离子(图中●)组成的.这两种离子在空间中三个互相垂直的方向上,都是等距离地交错排列的.已知食盐的摩尔质量是58.5克/摩,食盐的密度是2.2克/厘米3.阿伏伽德罗常数为6.0×1023摩-1.在食盐晶体中两个距离最近的钠离子中心间的距离的数值最接近于(就下面四个数值相比).A.3.0×10-8厘米.B.3.5×10-8厘米.C.4.0×10-8厘米.D.5.0×10-8厘米.答( )(10)图中M、N是两个共轴圆筒的横截面,外筒半径为R,内筒半径比R小很多,可以忽略不计,筒的两端是封闭的,两筒之间抽成真空.两筒以相同的角速度ω绕其中心轴线(图中垂直于纸面)做匀速转动.设从M筒内部可以通过窄缝s(与M筒的轴线平行)不断地向外射出两种不同速率v1和v2的微粒,从s处射出时的初速度的方向都是沿筒的半径方向,微粒到达N筒后就附着在N筒上.如果R、v1和v2都不变,而ω取某一合适的值,则A.有可能使微粒落在N筒上的位置都在a处一条与s缝平行的窄条上.B.有可能使微粒落在N筒上的位置都在某一处如b处一条与s缝平行的窄条上.C.有可能使微粒落在N筒上的位置分别在某两处如b处和c处与s缝平行的窄条上.D.只要时间足够长,N筒上将到处都落有微粒.答( )三、(12分)(1)用图甲所示的装置研究质量一定时加速度与作用力的关系.研究的对象是放在长木板上的小车,小车的质量为M,长木板是水平放置的.小车前端拴着细轻绳,跨过定滑轮,下面吊着砂桶.实验中认为细绳对小车的作用力F等于砂和桶的总重量mg.用改变砂的质量的办法来改变小车的作用力F,用打点计时器测出小车的加速度a,得出若干组F和a的数据.然后根据测得的数据作出a-F图线.一学生作出如图乙所示的图线,发现横轴上的截距OA较大,明显地超出了偶然误差的范围,这是由于在实验中没有进行下面的步骤,即 .(2)一学生使用万用表测电阻,他在实验中有违反使用规则之处,他的主要实验步骤如下:1.把选择开关扳到"×1K"的欧姆挡上.2.把表笔插入测试笔插孔中,先把两根表笔相接触,旋转调零旋钮,使指针指在电阻刻度的零位上.3.把两根表笔分别与某一待测电阻的两端相接,发现这时指针偏转较小.4.换用"×100"的欧姆挡,发现这时指针偏转适中.随即记下欧姆数值.5.把表笔从测试笔插孔中拔出后,就把万用表放回桌上原处,实验完毕.这个学生在测量时已注意到:待测电阻与其他元件和电源断开,不用手碰表笔的金属杆.这个学生在实验中违反了哪一或哪些重要的使用规则?答: .(3)一个学生用图示的电路验证楞次定律,他在实验步骤中有重要的遗漏.他的主要实验步骤如下:1.把蓄电池、开关和线圈A串联成一个电路.2.把电流表和线圈B串联成另一个电路.3.接通电流,给线圈A通电,并记下线圈A中电流的方向.把线圈A插入线圈B 中,停一会儿再取出来,当线圈A在插入和取出过程中,以及停止运动时,观察电流表的指针有无偏移,并记下指针偏转的方向.4.改变线圈A中的电流方向,按步骤3重做实验,观察电流表的指针有无偏转,并记下指针偏转的方向.这个学生根据上述实验记录验证楞次定律,他在实验中漏掉了什么重要实验步骤?答: .四、(8分)把一个"10V,2.0W"的用电器A(纯电阻)接到某一电动势和内阻都不变的电源上,用电器A实际消耗的功率是2.0W;换上另一个"10V,5.0W"的用电器B(纯电阻)接到这一电源上,用电器B实际消耗的功率有没有可能反而小于2.0W?你如果认为不可能,试说明理由.如果认为可能,试求出用电器B实际消耗的功率小于2.0W的条件.(设电阻不随温度改变)五、(8分)如下左图所示,在水平光滑桌面上放一质量为M的玩具小车.在小车的平台(小车的一部分)上有一质量可忽略的弹簧,一端固定在平台上,另一端用质量为m的小球将弹簧压缩一定距离后用细线捆住.用手将小车固定在桌面上,然后烧断细线,小球就被弹出,落在车上A点,OA=s.如果小车不固定而烧断细线,球将落在车上何处?设小车足够长,球不致落在车外.六、(8分)上右图中ABCD是一个用折射率n=2.4的透明媒质做成的四棱柱镜(图为其横截面),∠A=∠C=90°,∠B=60°,AB>BC.现有平行光线垂直入射到棱镜的AB面上(如图示),若每个面上的反射都不能忽略,求出射光线.要求(1)画出所有典型光线从入射到射出的光路图.(为了图面简洁,表示光线进行方向的箭头只在棱镜外面的光线上标出即可)(2)简要说明所画光路的根据,并说明每条典型光线只可能从棱镜表面的哪部分射出.七、(10分,本题是附加题,成绩不计入总分)用大炮轰击和炮在同一水平面上的目标.当炮筒仰角为ψ1时,着弹点比目标偏近了一段距离d1;当仰角为ψ2时,着弹点又比目标偏远了一段距离d2.由这些已知量,求出要想正好击中目标所需的仰角ψ0.设炮弹出口速率是一定的,空气阻力不计.1987年答案一、全题24分,每小题3分.答案正确的,按下列该答案后面方括号内的分数给分;错误的,给0分.第(5)小题按该题标准给分.(3)油膜的前表面和后表面反射(2分).衍射(1分).(4)μmg(3分).(5)如右图(3分).画对一个波形的,只给1分.(7)6600(3分).(8)如图(3分).二、(1)A,D. (2)A. (3)D. (4)B,C. (5)B.(6)D. (7)A. (8)B,D. (9)C. (1 0)A,B,C.评分标准:全题40分,每小题4分.(1)至(9)小题:每小题,答案全部选对的,给4分;未选全而无选错的,给2分;有选错的,给0分;未答的,给0分.(10)小题:选对一个答案的给1分,选对两个答案的给2分,选对三个答案的,给4分;有选错的或未答的给0分.三、全题12分,每小题按下列答案后面方括号内的分数给分;答错的,给0分.(1)平衡摩擦力(4分).(2)换用欧姆挡的量程时,要重新调整零旋钮(2分).万用表使用后不能把选择开关置于欧姆挡(2分).(3)查明电流表指针的偏转方向与线圈B中电流方向的关系(4分).四、可能.条件求如下:用R1和R2分别表示A和B的电阻(设电阻不随温度改变),由题意可知当A接到电源上时,因为它正好符合额定功率P1的要求,所以有当换上B后,B上实际消耗的功率为根据题意,要求P2<2.0瓦. (4)由(1)(2)(3)(4)式,可解得(取合理值):评分标准:本题8分.列出(1)式给1分,列出(2)式给1分,列出(3)式给2分,列出(4)式给2分.得出(5)式和(6)式的再各给1分.(如果考生最后给出的是开方后的四舍五入的数值,同样给分)五、当小车固定不动时:设平台高为h,小球弹出时的速度的大小为v,则由平抛运动可知当小车不固定时:设小球弹出时相对于地面的速度的大小为v′,车速的大小为V,由动量守恒可知因为两次的总动能是相同的,所以有设小球相对于小车的速度的大小为v″,则v″=v′+V. (4)由(1)(2)(3)(4)(5)式可解得评分标准:本题8分.列出(1)式给1分,列出(2)式给1分,列出(3)式给2分,列出(4)式给2分,列出(5)式给1分,得出(6)式给1分.六、参考解答:(1)有三条典型光线①,②,③,光路如下页图所示.(2)因为媒质的折射率n=2.4,所以媒质的临界角一条典型光线是①,垂直入射到AB面上BE之间(CE⊥AB),部分垂直反射;部分垂直透射.到BC面,因入射角60°大于θ,发生全反射.到DC面,入射角30°仍大于θ,又发生全反射.到AB面,垂直入射,部分垂直射出媒质;部分垂直反射回去,根据光路可逆性,最后由原入射处射出媒质,其反射部分又重复原路.总之,光线①只能由AB面上FB(BF=BC)间垂直射出.一条典型光线是②,垂直入射到AB面上EF之间,部分垂直反射;部分垂直透射.到DC面,入射角30°大于θ,发生全反射.到BC面,入射角60°大于θ,全反射.到AB面,垂直入射,部分垂直射出媒质;部分垂直反射回去,按光路的可逆性,由原入射处射出媒质,其反射部分又重复原路.总之,光线②只能由AB面上FB间垂直射出.一条典型光线是③,垂直入射到AB面上FA之间,部分垂直反射;部分垂直透射.到DC面,入射角30°大于θ,全反射.到AB面,入射角60°大于θ,全反射.到BC面,垂直入射,部分垂直射出媒质;部分垂直反射回去,按光路的可逆性,由原入射处射出媒质,其反射部分又重复原路.总之,光线③只能由BC面和AB面上FA间垂直射出.评分标准:本题8分.(1)占3分,(2)占5分.(1)中,画光路:①占1分,②占1分,③占1分.每条光线的画法只要有错误或没画,就不能给该条光线的分.(2)中,解释光路:正确说明各次全反射,给1分;正确利用光路的可逆性,给1分.三条光线的射出范围,答对一条给1分.本题不要求画出并讨论经E和F点入射的光线的出射线.七、令x、y分别表示炮弹的水平位移和竖直位移,v0表示其初速度,则有x=v0cosψ·t,当炮弹落地时,y=0,由上两式可得水平射程当仰角为ψ1、ψ2、ψ0时,分别有已知x0-x1=d1, x2-x0=d2(3)由(2)(3)两式得评分标准:本题10分.列出(1)式给4分,列出(2)式给2分,列出(3)式给2分,得出(4)式再给2分.。

【高考试题】1987年全国高考数学试题★答案(理工农医类)一、本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把你认为正确的结论的代号写在题后的括号内.(A)X(B)T(C)φ(D)S【】[Key] 一、本题考查基本概念和基本运算.(1)D【】[Key] (2)C(3)设a,b是满足ab<0的实数,那么(A)│a+b│>│a-b│(B)│a+b│<│a-b│(C)│a-b│<││a│-│b│(D)│a-b│<│a│+│b│【】[Key] (3)B(4)已知E,F,G,H为空间中的四个点,设命题甲:点E,F,G,H不共面.命题乙:直线EF和GH不相交.那么(A)甲是乙的充分条件,但不是必要条件.(B)甲是乙的必要条件,但不是充分条件.(C)甲是乙的充要条件.(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件.【】[Key] (4)A(5)在区间(-∞,0)上为增函数的是【】[Key] (5)B【】[Key] (6)D(7)极坐标方程ρ=sinθ+2cosθ所表示的曲线是(A)直线(B)圆(C)双曲线(D)抛物线【】[Key] (7)B【】[Key] (8)A二、只要求写出结果.(3)若(1+x)n的展开式中,x3的系数等于x的系数的7倍,求n.(5)在抛物线y=4x2上求一点,使该点到直线y=4x-5的距离为最短.(6)由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字且数字1与2不相邻的五位数.求这种五位数的个数.(7)一个正三棱台的下底和上底的周长分别为30cm和12cm,而侧面积等于两底面积之差,求斜高.[Key] 二、本题考查基础知识和基本运算,只需写出结果.三、求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.[Key] 三、本题考查三角的恒等变形知识和运算能力.解法一:sin10°sin50°sin70°∴sin10°sin30°sin50°sin70°解法二:∵sin10°sin50°sin70°,.解法三:sin10°sin30°sin50°sin70°==四、如图,三棱锥P ABC中,已知PA⊥BC,PA=BC=L,PA,BC的公垂线ED=h.[Key] 四、本题考查直线和平面的位置关系、体积计算等知识和推理能力.证明:连结AD和PD.∵BC⊥PA，BC⊥ED，PA与ED相交，∴BC⊥平面PAD,三棱锥B PAD体积同理,三棱锥C PAD的体积∴三棱锥P ABC体积∵V=V1+V2,若E,D不是分别在线段AP,BC上,结论仍成立.五、设对所有实数x,不等式恒成立,求a的取值范围.[Key] 五、本题考查对数、不等式等知识和运算能力.解:由题意得。