【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：2.2(含答案)

2015届高三预测金卷数学理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题共50分）参考公式：球的表面积公式：24πS R =，其中R 是球的半径．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A恰好发生k 次的概率：()(1)(012)k k n kn nP k C p p k n -=-=，，，，． 如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B +=+． 如果事件A B ，相互独立，那么()()()P AB P A P B =．一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）（1）若sin 20α>，且cos 0α<，则角α是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角（2）由直线21=x ，x=2，曲线xy 1=及x 轴所围图形的面积是（ ）A. 415B. 2ln 2C. 2ln 21D. 417（3）若向量a 、b 满足a +b =（2，-1），a =（1，2），则向量a 与b 的夹角等于 （ ）A . ︒45 B. ︒60 C. ︒120 D. ︒135（4）设平面α⊥平面β，直线a ⊂α，直线b ⊂β，且a ⊥b ，则A 、a ⊥βB 、b ⊥αC 、a ⊥β与b ⊥α中至少有一个成立D 、a ⊥β与b ⊥α同时成立（5）下面的程序框图表示算法的运行结果是A. -3B. -21C. 3D. 21（6） “4ab =”是“直线210x ay +-=与直线220bx y +-=平行”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件(7) 已知|)7||3lg(|a ,++-<∈x x R x 恒成立,则a 的取值范围是( )A.1≥aB. 1>aC.1≤aD.1<a（8）已知实数,x y 满足22221(0,0)x y a b a b-=>>，则下列不等式中恒成立的是（ ）A . b y x a <B. 2b y x a >-C. b y x a >-D. 2by x a<（9）已知)12(+=x f y 是偶函数，则函数)2(x f y =的图象的对称轴是A. 21=x B. 2=x C. 21-=x D. 1=x(10）定义在R 上的偶函数)(x f 满足),()1(x f x f -=+且在]4,5[--上是减函数，βα、是锐角三角形的两个内角，则（ ）A. )(cos )(sin βαf f >B.)(sin )(sin βαf f >C.)(cos )(sin βαf f <D.)(cos )(cos βαf f >第Ⅱ卷（非选择题共100分）注意事项： 1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

第二章２．8 第8课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．函数f(x)＝－x2＋5x－6的零点是()A．－2,3B．2,3C．2，－3 D．－2，－3答案 B解析由f(x)＝－x2＋5x－6＝0，得x＝2,3.即函数f(x)的零点．2．函数f(x)＝x3－x2－x＋1在[0,2]上()A．有两个零点B．有三个零点C．仅有一个零点D．无零点答案 C解析由于f(x)＝x3－x2－x＋1＝(x2－1)(x－1)令f(x)＝0得x＝－1,1，因此f(x)在[0,2]上仅有一个零点．3．下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求函数零点的是()答案 B解析用二分法只能求变号零点的近似值，而B中的零点左右值同号．4．设f(x)＝3x－x2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是()A．[0,1] B．[1,2]C．[－2，－1] D．[－1,0]答案 D解析函数f(x)在区间[a，b]上有零点，需要f(x)在此区间上的图象连续且两端点函数值异号，即f(a)f(b)≤0，把选择项中的各端点值代入验证可得答案D.5．(2010·天津，文)函数f(x)＝e x＋x－2的零点所在的一个区间是()A．(－2,1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)答案 C解析由f(x)＝0得e x＋x－2＝0，即e x＝2－x.∴原函数的零点就是函数y＝e x与y＝2－x图象交点的横坐标x0，显然0<x0<1.6．设x0是方程ln x＋x＝4的解，则x0属于区间()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)答案 C解析令f(x)＝ln x＋x－4，注意到函数在定义域上是增函数，f(2)＝ln2＋2－4＝ln2－2<0，f(3)＝ln3＋3－4＝ln3－1>0，故函数在(2,3)上有唯一实数根．7.函数f(x)＝ln x－1x－1的零点的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3 答案 C解析如图可知，y＝1x－1与y＝ln x的图象有两个交点．8．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是() A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)答案 B解析由题意可知f(－2)＝14－6＜0，f(－1)＝12－3＜0，f(0)＝1＞0，f(1)＞0，f(2)＞0，f(－1)·f(0)＜0，因此在区间(－1,0)上一定有零点．因此选B.二、填空题9.右图是用二分法求方程2x＋3x＝7在(1,2)内近似解的程序框图，要求解的精确度为0.01，则框图中(1)处应填________，(2)处应填________．答案f(a)·f(m)<0|a－b|<0.01或f(m)＝0解析由二分法求解过程及程序框图的运行过程可得出答案．10．若f(x)的图象关于y轴对称，且f(x)＝0有三个零点，则这三个零点之和等于________．答案0解析由于方程f(x)＝0有三个根，且f(x)为偶函数，则一根为零，而另二根为互为相反数．11函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.答案 2解析求函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f(2)＝－1＋ln2，由于ln2<ln e＝1，所以f(2)<0，f(3)＝2＋ln3，由于ln3>1，所以f(3)>0，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故n＝2.12．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－log12x，h(x)＝log2x－x的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是________．答案x1<x2<x3解析令函数f(x)＝x＋2x＝0，因为2x恒大于零，故要使得x＋2x＝0，x必须小于零，即x1小于零；令g(x)＝x－log12x＝0，则x＝log12x，要使得log12x有意义，必须有x>0，又x＝log12x，从而0<x<1，即0<x2<1；令h(x)＝log2x－x＝0，得：log2x＝x ，则x >1，即x 3>1，从而x 1<x 2<x 3.三、解答题13．已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出零点．答案 m ＝－2，零点是x ＝0解析 解法一 令2x ＝t ，则t >0，则g (t )＝t 2＋mt ＋1＝0 仅有一正根，而g (0)＝1>0，故∴m ＝－2.解法二 令2x ＝t ，则t >0.原函数零点，即方程t 2＋mt ＋1＝0的根 ∴t 2＋1＝－mt∴－m ＝t 2＋1t ＝t ＋1t (t >0)有一个零点，即方程只有一根∵t ＋1t ≥2(当且仅当t ＝1t 即t ＝1时) ∴－m ＝2即m ＝－2时，只有一根．注：解法一侧重二次函数，解法二侧重于分离参数．14．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，当x ∈[－2,2]时，函数至少有一个零点，求a 的范围．答案 a ≤－7或a ≥2解析 (1)有一个零点，则f (－2)f (2)<0或f (－2)＝0或f (2)＝0∴a ≤－7或a >73 (2)有两个零点∴2≤a ≤73综合以上：a ≤－7或a ≥2.拓展练习·自助餐1．若x 0是方程(12)x ＝x 13的解，则x 0属于区间( )A ．(23，1)B ．(12，23)C ．(13，12)D ．(0，13)答案 C解析 结合图形(12)13>(13)13，(12)12<(12)13，∴x 0属于区间(13，12)．2．设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 答案 B解析 令f (x )＝x 3－(12)x －2，f (0)＝－4<0，f (1)＝－1<0，f (2)＝7>0，∴x 0∈(1,2)． 3．已知函数f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋a －2的一个零点比1大，另一个零点比1小，则( )A ．－1<a <1B ．a >1或a <－2C ．－2<a <1D ．a >2或a <－1 答案 C解析 由条件知f (1)<0，即a 2＋a －2<0， ∴－2<a <1.4．已知x 0是函数f (x )＝2x ＋11－x的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0 答案 B解析 由于函数g (x )＝11－x ＝－1x －1在(1，＋∞)上单调递增，函数h (x )＝2x在(1，＋∞)上单调递增，故函数f (x )＝h (x )＋g (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )在(1，＋∞)上只有唯一的零点x 0，且在(1，x 0)上f (x 1)<0，在(x 0，＋∞)上f (x 2)>0，故选B.5．如图是二次函数f (x )＝x 2－bx ＋a 的部分图象，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是( )A ．(14，12)B ．(12，1) C ．(1,2) D ．(2,3) 答案 B解析 因为f (1)＝0，即b ＝a ＋1，又f (0)＝a >0，所以b >1，又对称轴为b2∈(0,1)，所以0<b <2，即1<b <2，又f ′(x )＝2x －b ，所以g (x )＝ln x ＋2x －b ，又g (1)＝2－b >0，g (12)＝ln 12＋1－b <0，所以函数g (x )的零点在区间(12，1)上，故选B.教师备选题1．设函数f (x )＝4sin (2x ＋1)－x ，则在下列区间中函数f (x )不存在零点的是( )A ．[－4，－2]B ．[－2,0]C ．[0,2]D ．[2,4] 答案 A解析 f (0)＝4sin 1>0，f (2)＝4sin 5－2，由于π<5<2π，所以sin 5<0，故f (2)<0，故函数f (x )在[0,2]上存在零点；由于f (－1)＝4sin(－1)＋1<0，故函数f (x )在[－1,0]上存在零点，也在[－2,0]上存在零点；令x ＝5π－24∈[2,4]，则f (5π－24)＝4sin 5π2－5π－24>0，而f(2)<0，所以函数在[2,4]上存在零点．综合各选项可知选A.2．(高考改编)已知f(x)＝e x－k－x，其中x∈R，当k>1时，判断函数f(x)在[k,2k]内有无零点．解f(k)·f(2k)＝(e k－k－k)·(e2k－k－2k)＝(1－k)·(e k－2k)．∵k>1，∴1－k<0.令g(k)＝e k－2k，g(1)＝e1－2>0，又g′(k)＝e k－2，当k>1时，g′(k)>e－2>0，∴k∈(1，＋∞)，g(k)为增函数．∴g(k)>g(1)>0.∴k>1时，e k－2k>0.∴f(k)·f(2k)<0.∴即函数f(x)当k>1时在[k,2k]内存在零点．3．已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c，则()A．a<b<c B．a<c<bC．b<a<c D．c<a<b答案 B解析由于f(－1)＝12－1＝－12<0，f(0)＝1>0，故f(x)＝2x＋x的零点a∈(－1,0)．∵g(2)＝0，故g(x)的零点b＝2；h(12)＝－1＋12＝－12<0，h(1)＝1>0，故h(x)的零点c∈(12，1)，因此a<c<b.4．已知函数f(x)＝－x2＋2e x＋m－1，g(x)＝x＋e2x(x>0)．(1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范围；(2)试确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．答案(1)m≥2e(2)m>－e2＋2e＋12解析(1)解法一：∵g(x)＝x＋e2x≥2e2＝2e，等号成立的条件是x＝e，故g(x)的值域是[2e，＋∞)．因而只需m≥2e，则g(x)＝m就有零点．解法二：作出g(x)＝x＋e2x(x>0)的图象如图：可知若使g(x)＝m有零点，则只需m≥2e.解法三：解方程g(x)＝m，即x2－mx＋e2＝0(x>0)．(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点．作出g(x)＝x＋e2x(x>0)的图象如图．∵f(x)＝－x2＋2e x＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，其对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2，故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．∴m的取值范围是m>－e2＋2e＋1.。

第二章 ２．3 第3课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．下列函数中，不具有奇偶性的函数是( )A ．y ＝e x －e －xB ．y ＝lg 1＋x1－xC ．y ＝cos2xD ．y ＝sin x ＋cos x 答案 D2．设f (x )是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是( ) A ．f (x )f (－x )是奇函数 B ．f (x )|f (－x )|是奇函数 C ．f (x )－f (－x )是偶函数 D ．f (x )＋f (－x )是偶函数 答案 D3．已知f (x )为奇函数，当x >0，f (x )＝x (1＋x )，那么x <0，f (x )等于( ) A ．－x (1－x ) B ．x (1－x ) C ．－x (1＋x ) D ．x (1＋x ) 答案 B解析 当x <0时，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )(1－x )．又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝x (1－x )．4．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数，则g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 是( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案 A解析 由f (x )是偶函数知b ＝0，∴g (x )＝ax 3＋cx 是奇函数．5．设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )A ．3B ．1C ．－1D ．－3 答案 D解析 令x ≤0，则－x ≥0，所以f (－x )＝2－x －2x ＋b ，又因为f (x )在R 上是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )且f (0)＝0，即b ＝－1，f (x )＝－2－x ＋2x ＋1，所以f (－1)＝－2－2＋1＝－3，故选D.6．设f (x )＝1＋x1－x ，又记f 1(x )＝f (x )，f k ＋1(x )＝f (f k (x ))，k ＝1,2，…，则f 2011(x )＝( )A ．－1x B ．x C.x －1x ＋1 D.1＋x 1－x 答案 C解析 由题得f 2(x )＝f (1＋x 1－x )＝－1x ，f 3(x )＝f (－1x )＝x －1x ＋1，f 4(x )＝f (x －1x ＋1)＝x ，f 5(x )＝1＋x 1－x ＝f 1(x )，其周期为4，所以f 2011(x )＝f 3(x )＝x －1x ＋1. 7．设偶函数f (x )满足f (x )＝x 3－8(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( ) A ．{x |x <－2或x >4} B ．{x |x <0或x >4} C ．{x |x <0或x >6} D ．{x |x <－2或x >2}答案 B解析 当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝(－x )3－8＝－x 3－8， 又f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝－x 3－8，∴f (x )＝⎩⎨⎧x 3－8，x ≥0－x 3－8，x <0.∴f (x －2)＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)3－8，x ≥0－(x －2)3－8，x <0， ⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0(x －2)3－8>0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0－(x －2)3－8>0，解得x >4或x <0.故选B. 二、填空题8．设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，则a ＝________. 答案 －1解析 f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋a .∵f (x )为偶函数，∴a ＋1＝0，∴a ＝－1.9．设f (x )＝ax 5＋bx 3＋cx ＋7(其中a ，b ，c 为常数，x ∈R )，若f (－2011)＝－17，则f (2011)＝________.答案 31解析 f (2011)＝a ·20115＋b ·20113＋c ·2011＋7 f (－2011)＝a (－2011)5＋b (－2011)3＋c (－2011)＋7 ∴f (2011)＋f (－2011)＝14，∴f (2011)＝14＋17＝31.10．函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1的图象关于________点对称． 答案(0,1)解析 f (x )的图象是由y ＝x 3＋sin x 的图象向上平移一个单位得到的．11．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，总有f (x ＋2)＝－f (x )成立，则f (19)＝________.答案 0解析 依题意得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是以4为周期的函数，因此有f (19)＝f (4×5－1)＝f (－1)＝f (1)，且f (－1＋2)＝－f (－1)，即f (1)＝－f (1)，f (1)＝0，因此f (19)＝0.12．定义在(－∞，＋∞)上的函数y ＝f (x )在(－∞，2)上是增函数，且函数y ＝f (x ＋2)为偶函数，则f (－1)，f (4)，f (512)的大小关系是__________．答案 f (512)<f (－1)<f (4)解析 ∵y ＝f (x ＋2)为偶函数 ∴y ＝f (x )关于x ＝2对称又y ＝f (x )在(－∞，2)上为增函数∴y ＝f (x )在(2，＋∞)上为减函数，而f (－1)＝f (5)∴f (512)＜f (－1)＜f (4)．13．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f (x )的判断：①f (x )是周期函数；②f(x)关于直线x＝1对称；③f(x)在[0,1]上是增函数；④f(x)在[1,2]上是减函数；⑤f(2)＝f(0)，其中正确的序号是________．答案①②⑤解析由f(x＋1)＝－f(x)得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴f(x)是周期为2的函数，①正确，f(x)关于直线x＝1对称，②正确，f(x)为偶函数，在[－1,0]上是增函数，∴f(x)在[0,1]上是减函数，[1,2]上为增函数，f(2)＝f(0)．因此③、④错误，⑤正确．综上，①②⑤正确．三、解答题14．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)、g(x)的解析式．答案f(x)＝x2－2，g(x)＝x解析∵f(x)＋g(x)＝x2＋x－2.①∴f(－x)＋g(－x)＝(－x)2＋(－x)－2.又∵f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，∴f(x)－g(x)＝x2－x－2.②由①②解得f(x)＝x2－2，g(x)＝x.15．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且函数f(x)在[0,1)上单调递减，并满足f(2－x)＝f(x)，若方程f(x)＝－1在[0,1)上有实数根，求该方程在区间[－1,3]上的所有实根之和．答案 2解析由f(2－x)＝f(x)可知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，又因为函数f(x)是奇函数，则f(x)在(－1,1)上单调递减，根据函数f(x)的单调性，方程f(x)＝－1在(－1,1)上有唯一的实根，根据函数f(x)的对称性，方程f(x)＝－1在(1,3)上有唯一的实根，这两个实根关于直线x＝1对称，故两根之和等于2.16．已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋a是奇函数．(Ⅰ)求a，b的值；(Ⅱ)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．答案(1)a＝2，b＝1(2)k<－1 3解析(Ⅰ)因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即b－1a＋2＝0⇒b＝1∴f(x)＝1－2x a＋2x＋1又由f(1)＝－f (－1)知1－2a＋4＝－1－12a＋1⇒a＝2.(Ⅱ)解法一由(Ⅰ)知f(x)＝1－2x2＋2x＋1，易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．又因f(x)是奇函数，从而不等式：f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，因f(x)为减函数，由上式推得：t2－2t>k－2t2.即对一切t∈R有：3t2－2t－k>0，从而判别式Δ＝4＋12k<0⇒k<－1 3拓展练习·自助餐1．已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________.答案02．设函数f(x)＝x(e x＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________．答案－1解析令g(x)＝x，h(x)＝e x＋ae－x，因为函数g(x)＝x是奇函数，则由题意知，函数h(x)＝e x＋ae－x为奇函数，又函数f(x)的定义域为R，∴h(0)＝0，解得a＝－1.3．如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是()A．增函数且最小值为－5 B．增函数且最大值为－5C．减函数且最小值为－5 D．减函数且最大值为－5答案 B解析先考查函数f(x)在[－7，－3]上的最值，由已知，当3≤x≤7时，f(x)≥5，则当－7≤x≤－3时，f(－x)＝－f(x)≤－5即f(x)在[－7，－3]上最大值为－5.再考查函数f(x)在[－7，－3]上的单调性，设－7≤x1<x2≤－3.则3≤－x2<－x1≤7，由已知－f(x2)＝f(－x2)<f(－x1)＝－f(x1)，从而f(x2)>f(x1)，即f(x)在[－7，－3]上是单调递增的．4．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且{x|f(x)＞0}＝{x|1＜x＜3}，则f(π)＋f(－2)与0的大小关系是()A．f(π)＋f(－2)＞0 B．f(π)＋f(－2)＝0C．f(π)＋f(－2)＜0 D．不确定答案 C解析 由已知得f (π)<0，f (－2)＝－f (2)＜0，因此f (π)＋f (－2)＜0.5．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x<0的解集为________．答案 (－1,0)∪(0,1)解析 由f (x )为奇函数，则不等式化为xf (x )<0法一：(图象法)由，可得－1<x <0或0<x <1时，x ·f (x )<0.法二：(特值法)取f (x )＝x －1x ，则x 2－1<0且x ≠0，解得－1<x <1，且x ≠0. 6．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (－1<x ≤0)－1 (0<x ≤1)，则f (3)＝________.解析 ∵f (x ＋1)＝－f (x )，则f (x )＝－f (x ＋1)＝－[－f (x ＋2)]＝f (x ＋2)，则f (x )的周期为2，f (3)＝f (1)＝－1.教师备选题1．设函数f (x )在(－∞，＋∞)上满足f (2－x )＝f (2＋x )，f (7－x )＝f (7＋x )，且在闭区间[0,7]上，只有f (1)＝f (3)＝0.(1)证明函数f (x )为周期函数；(2)试求方程f (x )＝0在闭区间[－2005,2005]上的根的个数，并证明你的结论．解析(1)由⎩⎪⎨⎪⎧f (2－x )＝f (2＋x )f (7－x )＝f (7＋x )⇒⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝f (4－x )f (x )＝f (14－x )⇒f (4－x )＝f (14－x )⇒f (x )＝f (x ＋10)∴f (x )为周期函数，T ＝10.(2)∵f (3)＝f (1)＝0, f (11)＝f (13)＝f (－7)＝f (－9)＝0 故f (x )在[0,10]和[－10,0]上均有两个解，从而可知函数y ＝f (x )在[0,2005]上有402个解， 在[－2005,0]上有400个解，所以函数y ＝f (x )在[－2005,2005]上有802个解．。

推理与证明、复数、算法1．推理方法 （1）合情推理合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳和类比是合情推理常见的方法，在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养．[问题1] 图1有面积关系：S △P A ′B ′S △P AB＝P A ′·PB ′P A ·PB ，则图2有体积关系：________.（2）演绎推理演绎推理是指如果推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．演绎推理的一般模式是“三段论”，包括：①大前提；②小前提；③结论． 2．证明方法 （1）直接证明 ①综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫综合法．综合法又叫顺推法或由因导果法． ②分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等)，这种证明方法叫分析法．分析法又叫逆推法或执果索因法．（2）间接证明——反证法一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法． （3）数学归纳法一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0 (n 0∈N *)时命题成立；②(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．上述证明方法叫做数学归纳法． [问题2] 用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设____________． 3．复数的概念对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，a 叫做实部，b 叫做虚部；当且仅当b ＝0时，复数a ＋b i(a ，b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数a ＋b i 叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，复数a ＋b i 叫做纯虚数． [问题3] 若复数z ＝lg(m 2－m －2)＋i·lg(m 2＋3m ＋3)为实数，则实数m 的值为________．4．复数的运算法则与实数运算法则相同，主要是除法法则的运用，另外复数中的几个常用结论应记熟： （1）(1±i)2＝±2i ； （2）1＋i 1－i ＝i ；1－i1＋i＝－i ；（3）i 4n ＝1；i 4n ＋1＝i ；i 4n ＋2＝－1；i 4n ＋3＝－i ；i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0；（4）设ω＝－12±32i ，则ω0＝1；ω2＝ω；ω3＝1；1＋ω＋ω2＝0.[问题4] 已知复数z ＝1－3i3＋i，z 是z 的共轭复数，则|z |＝________.5．算法（1）控制循环结构的是计数变量和累加变量的变化规律以及循环结束的条件．在解答这类题目时首先要弄清楚这两个变量的变化规律，其次要看清楚循环结束的条件，这个条件由输出要求所决定，看清楚是满足条件时结束还是不满足条件时结束．（2）条件结构的程序框图中对判断条件的分类是逐级进行的，其中没有遗漏也没有重复，在解题时对判断条件要仔细辨别，看清楚条件和函数的对应关系，对条件中的数值不要漏掉也不要重复了端点值． [问题5] 执行如图所示的程序框图，如果输出a ＝341，那么判断框中可以是( )A ．k <4?B ．k >5?C ．k <6?D ．k <7?易错点1 复数的概念不明致误例1 若z ＝sin θ－35＋⎝⎛⎭⎫cos θ－45i 是纯虚数，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4的值为( ) A ．－7 B ．7 C ．－17 D ．－7或－17易错点2 循环次数把握不准致误例2 执行下边的程序框图，若p ＝0.8，则输出的n ＝________.找准失分点 容易陷入循环运算的“黑洞”，出现运算次数的偏差而致错．易错点3 数学归纳法未用归纳假设致误例3 用数学归纳法证明等差数列的前n 项和公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d (n ∈N ＋)．找准失分点 本题的错因在于从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中，没有用到归纳假设．1．(2014·安徽)设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则zi ＋i·z 等于( )A ．－2B ．－2iC ．2D ．2i2．(2014·福建)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值等于()A ．18B ．20C ．21D ．403．复数z 满足(－1＋i)z ＝(1＋i)2，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．i 为虚数单位，复数1＋a i2＋i 为纯虚数，则实数a 等于( )A ．－2B ．－13C ．12D ．25．(2014·北京)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( )A ．2人B ．3人C ．4人D ．5人6．(2014·山东)用反证法证明命题：“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实数C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根7．若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1－z 2)i 的实部为________． 8．(2014·江苏)已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________．9．椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如下命题：AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝－b 2a 2.那么对于双曲线则有如下命题：AB 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝________.10．(2014·湖北)设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为I (a )，按从大到小排成的三位数记为D (a )(例如a ＝815，则I (a )＝158，D (a )＝851)．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b ＝________.1．V P －A ′B ′C ′V P －ABC＝P A ′·PB ′·PC ′P A ·PB ·PC 2．三角形三个内角都大于60° 3．－2 4．1 5．C1．A 2．4CBDABA 7．－20 8．21 9．b 2a 2 10．495。

选择题的解法【题型特点概述】高考数学选择题主要考查对基础知识的理解、基本技能的熟练程度、基本计算的准确性、基本方法的正确运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面，注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，能充分考查灵活应用基础知识、解决数学问题的能力．选择题是属于“小灵通”题，其解题过程“不讲道理”，所以解答选择题的基本策略是：充分地利用题干和选择支两方面的条件所提供的信息作出判断．先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解，对于具有多种解题思路的，宜选最简解法等．解题时应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏．初选后认真检验，确保准确．解数学选择题的常用方法，主要分直接法和间接法两大类．直接法是解答选择题最基本、最常用的方法，但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答，因此，我们还要研究解答选择题的一些技巧．总的来说，选择题属小题，解题的原则是：小题巧解，小题不能大做． 方法一 直接法直接法就是从题干给出的条件出发，进行演绎推理，直接得出结论．这种策略多用于一些定性的问题，是解选择题最常用的策略．这类选择题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成的，可直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则等通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，然后与选择支对照，从而作出相应的选择．例1 数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，且对任意正整数m 、n ，都有a m ＋n ＝a m ·a n ，若S n <a 恒成立，则实数a 的最小值为( ) A ．12 B ．23 C ．32D ．2思维升华 直接法是解答选择题最常用的基本方法．直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案．平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，准确把握题目的特点．用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出错．将函数y ＝sin 2x (x ∈R )的图象分别向左平移m (m >0)个单位、向右平移n (n >0)个单位所得到的图象都与函数y ＝sin(2x ＋π3)(x ∈R )的图象重合，则|m －n |的最小值为( )A ．π6B ．5π6C ．π3D ．2π3方法二 特例法特例检验(也称特例法或特殊值法)是用特殊值(或特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从而做出正确的选择．常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．特例检验是解答选择题的最佳方法之一，适用于解答“对某一集合的所有元素、某种关系恒成立”，这样以全称判断形式出现的题目，其原理是“结论若在某种特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真”，利用“小题小做”或“小题巧做”的解题策略．例2 （1）等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为( ) A ．130 B ．170 C ．210 D ．260（2）如图，在棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P 、Q 满足A 1P ＝BQ ，过P 、Q 、C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )A ．3∶1B ．2∶1C ．4∶1 D.3∶1思维升华 特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点： 第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解．已知O 是锐角△ABC 的外接圆圆心，∠A ＝60°，cos B sin C ·AB →＋cos C sin B·AC →＝2m ·AO →，则m 的值为( )A ．32 B ． 2 C ．1 D ．12方法三 排除法(筛选法)例3 函数y ＝x sin x 在[－π，π]上的图象是()思维升华 排除法适应于定性型或不易直接求解的选择题．当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案．它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法．函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,16]，a 变动时，方程b ＝g (a )表示的图形可以是()方法四 数形结合法(图解法)在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来，通过对规范图形或示意图形的观察分析，将数的问题(如解方程、解不等式、判断单调性、求取值范围等)与某些图形结合起来，利用图象的直观性，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决，这种方法称为数形结合法． 例4 函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|＋2cos πx (－2≤x ≤4)的所有零点之和等于( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8思维升华 本题考查函数图象的应用，解题的关键是将零点问题转化为两图象的交点问题，然后画出函数的图象找出零点再来求和．严格地说，图解法并非属于选择题解题思路范畴，但它在解有关选择题时非常简便有效．运用图解法解题一定要对有关函数的图象、方程曲线、几何图形较熟悉．图解法实际上是一种数形结合的解题策略．过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( ) A ．33 B ．－33 C ．±33D ．－ 3 方法五 估算法由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程．因此，有些题目，不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次． 例5 若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为( ) A ．34 B ．1 C ．74 D ．2思维升华 “估算法”的关键是确定结果所在的大致范围，否则“估算”就没有意义．本题的关键在于所求值应该比△AOB 的面积小且大于其面积的一半．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5(π2<θ<π)，则tan θ2等于( )A ．m －39－mB ．m －3|9－m |C ．13D ．51．解选择题的基本方法有直接法、排除法、特例法、估算法、验证法和数形结合法．但大部分选择题的解法是直接法，在解选择题时要根据题干和选择支两方面的特点灵活运用上述一种或几种方法“巧解”，在“小题小做”、“小题巧做”上做文章，切忌盲目地采用直接法．2．由于选择题供选答案多、信息量大、正误混杂、迷惑性强，稍不留心就会误入“陷阱”，应该从正反两个方向肯定、否定、筛选、验证，既谨慎选择，又大胆跳跃．3．作为平时训练，解完一道题后，还应考虑一下能不能用其他方法进行“巧算”，并注意及时总结，这样才能有效地提高解选择题的能力．例1A 变式训练1 C例2 (1)C (2)B 变式训练2 A 例3 A 变式训练3 B 例4 C 变式训练4 B 例5 C 变式训练5 D。

第一章 1.2 第2课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．有下列四个命题：①“若x＋y＝0、则x、y互为相反数”的逆命题；②“若a＞b、则a2＞b2”的逆否命题；③“若x≤－3、则x2＋x－6＞0”的否命题；④“若a b是无理数、则a、b是无理数”的逆命题．其中真命题的个数是()A．0B．1C．2 D．3答案 B2．“a>1”是“1a<1”的()A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既非充分也非必要条件答案 B3．“a＝－3”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[－3、＋∞)上为增函数”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A4．与命题“若a∈M、则b∉M”等价的命题是()A．若a∉M、则b∉M B．若b∉M、则a∈MC．若a∉M、则b∈M D．若b∈M、则a∉M答案 D解析命题的逆否命题．5．已知a、b是实数、则3a＜3b是log3a＜log3b的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析由题知、3a＜3b⇔a＜b、log 3a＜log3b⇔0＜a＜b.故3a＜3b是log3a＜log3b 的必要不充分条件．故选B.6．若向量a＝(x,3)(x∈R)、则“x＝4”是“|a|＝5”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案 A解析当x＝4时、a＝(4,3)、则|a|＝5；若|a|＝5、则x＝±4.故“x＝4”是“|a|＝5”的充分而不必要条件．7．“m<14”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的()A．充分非必要条件B．充分必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件答案 A解析 一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解 ⇔Δ＝1－4m ≥0⇔m ≤14.当m <14时、m ≤14成立、但m ≤14时、m <14不一定成立、故选A.8．设{a n }是等比数列、则“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 由题可知、若a 1<a 2<a 3、 即⎩⎨⎧ a 1<a 1q a 1q <a 1q 2、当a 1>0时、 解得q >1、此时数列{a n }是递增数列、当a 1<0时、解得0<q <1、此时数列{a n }是递增数列；反之、若数列{a n }是递增数列、则a 1<a 2<a 3成立、所以“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的充分必要条件、故选C.二、填空题9．(1)命题“等腰三角形的两内角相等”的逆命题是“________________________”．(2)命题“两个奇数之和一定是偶数”的否命题是“________________________”．(3)命题“正方形的四个角相等”的逆否命题是“________________________”．答案 (1)若一个三角形的两个内角相等、则这个三角形是等腰三角形(2)若两个数不都是奇数、则它们的和不一定是偶数(3)四个角不全相等的四边形不是正方形10． a 、b 为非零向量、“a ⊥b ”是“函数f (x )＝(x a ＋b )(x b －a )为一次函数________条件．答案 必要不充分解析 f (x )＝x 2a ·b ＋x (b 2－a 2)－a ·b当a ⊥b 时、a ·b ＝0f (x )＝x (b 2－a 2)若|a |≠|b |为一次函数若|a |＝|b |为常数、∴充分性不成立．当f (x )为一次函数∴a ·b ＝0且b 2－a 2≠0∴a ⊥b 且|a |≠|b |∴必要性成立．11．命题A ∩B ＝A 是命题∁U B ⊆∁U A 的________条件．答案 充要12．命题“若m >0、则关于x 的方程x 2＋x －m ＝0有实根”与它的逆命题、否命题、逆否命题中、真命题的个数是________．答案 2解析 原命题及其逆否命题为真命题．三、解答题13．写出命题“若x ≥2且y ≥3、则x ＋y ≥5”的逆命题、否命题、逆否命题、并判断其真假．答案 略解析 原命题：“若x ≥2且y ≥3、则x ＋y ≥5”、为真命题．逆命题：“若x ＋y ≥5、则x ≥2且y ≥3”、为假命题．否命题：“若x <2或y <3、则x ＋y <5”、其为假命题．逆否命题：“若x ＋y <5、则x <2或y <3”、其为真命题．14．已知命题p ：|x －2|<a (a >0)、命题q ：|x 2－4|<1、若p 是q 的充分不必要条件、求实数a 的取值范围．答案 0<a ≤5－2解析 由题意p ：|x －2|<a ⇔2－a <x <2＋a 、q ：|x 2－4|<1⇔－1<x 2－4<1⇔3<x 2<5⇔－5<x <－3或3<x < 5.又由题意知p 是q 的充分不必要条件．所以有⎩⎪⎨⎪⎧ －5≤2－a 2＋a ≤－3a >0 ①或⎩⎪⎨⎪⎧ 3≤2－a 2＋a ≤5a >0 ②、由①得a 无解；由②解得0<a ≤5－2.15．已知f (x )是(－∞、＋∞)内的增函数、a 、b ∈R 、对命题“若a ＋b ≥0、则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．”(1)写出其逆命题、判断其真假、并证明你的结论；(2)写出其逆否命题、判断其真假、并证明你的结论．答案 略分析 题干中已知函数的单调性、利用函数单调性大多是根据自变量取值的大小推导函数值的大小、当已知两个函数值的关系时、也可以推导自变量的取值的大小．多个函数值的大小关系、则不容易直接利用单调性、故可考虑利用四种命题的关系寻求原命题的等价命题．解 (1)逆命题：已知函数f (x )是(－∞、＋∞)内的增函数、a 、b ∈R 、若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )、则a ＋b ≥0.(用反证法证明)假设a ＋b <0、则有a <－b 、b <－a .∵f (x )在(－∞、＋∞)上是增函数、∴f (a )<f (－b )、f (b )<f (－a )．∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )、这与题设中f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )矛看、故假设不成立．从而a ＋b ≥0成立．逆命题为真．(2)逆否命题：已知函数f (x )是(－∞、＋∞)内的增函数、a 、b ∈R 、若f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )、则a ＋b <0.原命题为真、证明如下：∵a ＋b ≥0、∴a ≥－b 、b ≥－a .又∵f (x )在(－∞、＋∞)内是增函数、∴f (a )≥f (－b )、f (b )≥f (－a )．∴f(a)＋f(b)≥f(－b)＋f(－a)＝f(－a)＋f(－b)．∴原命题为真命题．∴其逆否命题也为真命题．拓展练习·自助餐1．(1)“x>y>0”是“1x<1y”的________条件．答案充分不必要解析1x<1y⇒xy·(y－x)<0、即x>y>0或y<x<0或x<0<y.(2)“tan θ≠1”是“θ≠π4”的________条件．答案充分不必要解析题目即判断θ＝π4是tan θ＝1的什么条件、显然是充分不必要条件．2．“α＝π6＋2kπ(k∈Z)”是“cos2α＝12”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由α＝π6＋2kπ(k∈Z)、知2α＝π3＋4kπ(k∈Z)、则cos2α＝cos π3＝12成立、当cos2α＝12时、2α＝2kπ±π3、即α＝kπ±π6(k∈Z)、故选A.3．若a1、a2、a3均为单位向量、则a1＝(33、63)是a1＋a2＋a3＝(3、6)的________条件．答案必要不充分解析由题意可知、|a1|＝|a2|＝|a3|＝1、若a1＋a2＋a3＝(3、6)、则|a1＋a2＋a3|＝3＝|a1|＋|a2|＋|a3|、a1、a2、a3共线且方向相同、即a1＝a2＝a3＝(33、63)；若a1＝(33、63)、当a1、a2、a3不全相等时、a1＋a2＋a3≠(3、6)、故为必要不充分条件．4．△ABC中“cos A＝2sin B sin C”是“△ABC为钝角三角形”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析cos A＝－cos(B＋C)＝－cos B cos C＋sin B sin C＝2sin B sin C、∴cos(B－C)＝0.∴B －C ＝π2.∴B ＝π2＋C ＞π2、故为钝角三角形、反之显然不成立、故选B.5 .设M 、N 是两个集合、则“M ∪N ≠∅”是“M ∩N ≠∅”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件答案 B解析M ∪N ≠∅、不能保证M 、N 有公共元素、但M ∩N ≠∅、说明M 、N 中至少有一元素、∴M ∪N ≠∅.故选B.教师备选题1．对于数列{a n }、“a n ＋1＞|a n |(n ＝1,2、…)”是“{a n }为递增数列”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 因为a n ＋1＞|a n |⇒a n ＋1＞a n ⇒{a n }为递增数列、但{a n }为递增数列⇒a n ＋1＞a n 推不出a n ＋1＞|a n |、故“a n ＋1＞|a n |(n ＝1,2…)”是“{a n }为递增数列”的充分不必要条件、选B.2．已知A ＝{x ||x －1|≥1、x ∈R }、B ＝{x |log 2x ＞1、x ∈R }、则x ∈A 是x ∈B 的________条件．答案 必要非充分条件解析 A ＝{x |x ≥2或x ≤0}、B ＝{x |x ＞2}、由x ∈A ⇒/ x ∈B 、但由x ∈B ⇒x ∈A .3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝p n ＋q (p ≠0、p ≠1)、则{a n }为等比数列的充要条件是________．答案 q ＝－14．已知A 为xOy 平面内的一个区域．命题甲：点(a 、b )∈{(x 、y )|⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0x ≥03x ＋y －6≤0}； 命题乙：点(a 、b )∈A .如果甲是乙的充分条件、那么区域A 的面积的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 设⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋2≤0x ≥03x ＋y －6≤0所对应的区域如右图所示的阴影部分PMN 为集合B .由题意、甲是乙的充分条件、则B ⊆A 、所以区域A 面积的最小值为S △PMN ＝ 12×4×1＝2.故选B.。

2015年全国统一高考数学总复习试卷（理科）（3）一、等差数列、等比数列的基本公式和基本性质1．（5分）设等差数列{a n}的前n的和为S n，若S9=72，则a2+a4+a9=．2．（5分）设f（n）=2+24+27+210+…+23n+10（n∈N），则f（n）等于（）A．B．C．D．二、数列的通项公式与递推公式3．（5分）设{a n}满足：a1=2，a n+1=S n+n，n∈N*，求数列{a n}的通项公式．4．（20分）已知数列{a n}满足：a1=1，n∈N*．（1）若a n=2a n+n+1，求数列的通项a n．+1=2a n+4n+2，求数列的通项a n．（2）若a n+1=，求数列的通项a n．（3）若a n+1（4）若a n=a n2+2a n，求数列的通项a n．+1三、数列求和5．（24分）设函数f（x）=a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n（x∈R，n∈N*），且对一切正整数n都有f（1）=n2成立（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和P n；（3）求证：f（）＜1（4）设数列{}的前n项和为R n，求证：R n≤﹣．四、数列与数学归纳法6．（9分）数列{a n}中，前n项和为S n，a1≠a2，S n=pna n．（1）求p的值；（2）确定数列{a n}是否为等差数列或等比数列．五、数列与函数综合题7．（15分）已知数列{a n}满足：a n+1=f（a n），n∈N*．（1）f（x）=x﹣sinx，0＜a1＜1，求证：0＜a n+1＜a n＜1；（2）f（x）=x3﹣x2++，试确定一个首项a1，使得数列{a n}为单调数列，并证明你的结论；（3）f（x）=（x2+3），a1＞0，若对一切n∈N*，都有a n+1＞a n，求a1的取值范围．六、数列与不等式综合题8．（5分）n∈N*，证明不等式：++…+＞﹣．9．（13分）数列{a n}，a n≥0，a1=0，a n+12+a n+1﹣1=a n2，n∈N*．（1）求证：a n＜1；（2）求证：数列{a n}递增；（3）求证：++…+＜3．七、数列中的自主定义问题10．（20分）若数列{x n}满足对任意的m∈N*（m≤n），都有{x n}的前m项和等于前m项积（前1项和及前1项积均等于首项x1），则称数列{x n}为“和谐数列”．（1）已知数列{a n}是首项a1=2的“和谐数列”，求a3的值；（2）设数列{a n}是项数不少于3的递增的正整数数列，证明{a n}不是“和谐数列”；（3）若数列{}是“和谐数列”，且0＜a1＜1；①试求a n与a n的递推关系；+1②证明对任意的n∈N*，都有0＜a n＜1成立．八、均值不等式11．（10分）（1）若正数a，b满足a≥4，ab=a+b+3，则ab的取值范围是多少？（2）已知a＞0，b＞0，4a+b=1，求+的最小值．九、线性规划12．（10分）设不等式组表示的平面区域为W（1）若k=2，M（x，y）为区域W内的动点，求x+2y的最大值；（2）区域W内部的整点的个数有多少？（整点是指横、纵坐标都是整数的点）．2015年全国统一高考数学总复习试卷（理科）（3）参考答案与试题解析一、等差数列、等比数列的基本公式和基本性质1．（5分）设等差数列{a n}的前n的和为S n，若S9=72，则a2+a4+a9=24．【分析】先由S9=72用性质求得a5，而3（a1+4d）=3a5，从而求得答案．【解答】解：∵∴a5=8又∵a2+a4+a9=3（a1+4d）=3a5=24故答案是24【点评】本题主要考查等差数列的性质及项与项间的内在联系．2．（5分）设f（n）=2+24+27+210+…+23n+10（n∈N），则f（n）等于（）A．B．C．D．【分析】首先根据题意分析出f（n）是首项为2，公比为8的等比数列的前n+4项和，然后由等比数列前n项和公式求之即可．【解答】解：由题意知，f（n）是首项为2，公比为8的等比数列的前n+4项和，所以f（n）==．故选：D．【点评】本题考查等比数列的定义及前n项和公式．二、数列的通项公式与递推公式3．（5分）设{a n}满足：a1=2，a n+1=S n+n，n∈N*，求数列{a n}的通项公式．【分析】由已知数列递推式可得a n=S n﹣1+（n﹣1）（n≥2），与原递推式作差后构造等比数列{a n+1}，然后由等比数列的通项公式求得数列{a n}的通项公式．=S n+n，得【解答】解：由a n+1a n=S n﹣1+（n﹣1）（n≥2），两式作差可得a n﹣a n=a n+1，+1即a n=2a n+1（n≥2），+1∴a n+1=2（a n+1）（n≥2），+1∴数列{a n+1}从第二项起，构成公比为2的等比数列，∵a1=2，∴a2=a1+1=3，则a2+1=4．∴，．∴．【点评】本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了等比数列的通项公式，是中档题．4．（20分）已知数列{a n}满足：a1=1，n∈N*．（1）若a n=2a n+n+1，求数列的通项a n．+1=2a n+4n+2，求数列的通项a n．（2）若a n+1=，求数列的通项a n．（3）若a n+1=a n2+2a n，求数列的通项a n．（4）若a n+1+n+3=2（a n+n+2），则数列{a n+n+2}是以【分析】（1）由原递推式变形可得a n+1a1+1+2=4为首项，以2为公比的等比数列，由等比数列的通项公式可求数列的通项a n；（2）把已知递推式两边同时除以2n+1，然后分别取n=1、2、…、n﹣1，再利用累加法，分组后由等比数列的前n项和即可求得答案；（3）把已知递推式两边取倒数，然后构造等比数列{}，求其通项公式后可得数列的通项a n；+1）=2lg（a n+1），（4）由已知递推式可得，两边取对数得lg（a n+1可得数列{lg（a n+1）}是以lg2为首项，以2为公比的等比数列，求其通项公式后可得数列的通项a n．【解答】解：a1=1，=2a n+n+1，得a n+1+n+3=2（a n+n+2），（1）由a n+1∴数列{a n+n+2}是以a1+1+2=4为首项，以2为公比的等比数列，则a n+n+2=4×2n﹣1=2n+1，∴；（2）由a n=2a n+4n+2，得，+1∴，，，…，累加得：==，∴；（3）由a n=，得，+1即，∵，∴数列{}构成以2为首项，以﹣6为公比的等比数列，则，∴，则；（4）由a n=a n2+2a n，得，+1两边取对数得lg（a n+1）=2lg（a n+1），+1∵lg（a1+1）=lg2≠0，∴数列{lg（a n+1）}是以lg2为首项，以2为公比的等比数列，则，∴，则．【点评】本题考查数列递推式，训练了由数列递推式构造等比数列求数列的通项公式，考查了累积法求数列的通项公式，属中档题．三、数列求和5．（24分）设函数f（x）=a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n（x∈R，n∈N*），且对一切正整数n都有f（1）=n2成立（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和P n；（3）求证：f（）＜1（4）设数列{}的前n项和为R n，求证：R n≤﹣．【分析】（1）设数列{a n}的前n项和为S n，由于对一切正整数n都有f（1）=n2成立，可得S n=n2，利用递推式即可得出．（2）利用“裂项求和”即可得出；（3）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出；（4）当n=1时，经过验证成立；当n≥2时，==．利用“裂项求和”与不等式的性质即可得出．【解答】（1）解：设数列{a n}的前n项和为S n，∵对一切正整数n都有f（1）=n2成立，∴S n=a1+a2+…+a n=n2，当n=1时，a1=S1=1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1，当n=1时上式成立，∴a n=2n﹣1．（2）解：由（1）可得：==，∴数列{}的前n项和P n=+…+==．（3）证明：=+++…+，=++…++，∴=+…+﹣=﹣﹣=，∴=1﹣＜1．（4）证明：当n=1时，=1=，当n≥2时，==．∴R n＜1+=＜，综上可得：R n≤﹣．【点评】本题考查了递推式、“裂项求和”、“错位相减法”、等比数列的前n项和公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．四、数列与数学归纳法6．（9分）数列{a n}中，前n项和为S n，a1≠a2，S n=pna n．（1）求p的值；（2）确定数列{a n}是否为等差数列或等比数列．【分析】（1）由题设条件知若p=1时，a1=a2，与已知矛盾，故p≠1，则a1=0．n=2时，（2p﹣1）a2=0，则p=；（2）由题设条件知．则，…，．由此可知{a n}是以a2为公差，以a1为首项的等差数列．【解答】解：（1）当n=1时，a1=pa1，若p=1时，a1+a2=2pa2=2a2，∴a1=a2，与已知矛盾，故p≠1．则a1=0．当n=2时，a1+a2=2pa2，∴（2p﹣1）a2=0．∵a1≠a2，故p=；（2）由已知S n=na n，a1=0．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=na n﹣（n﹣1）a n﹣1．∴．则，…，．∴=n﹣1．则a n=（n﹣1）a2，∴a n﹣a n﹣1=a2．故{a n}是以a2为公差，以a1为首项的等差数列．【点评】本题考查数列递推式，训练了由S n求a n的问题，体现了运动变化的思想方法，属中档题．五、数列与函数综合题7．（15分）已知数列{a n}满足：a n+1=f（a n），n∈N*．（1）f（x）=x﹣sinx，0＜a1＜1，求证：0＜a n+1＜a n＜1；（2）f（x）=x3﹣x2++，试确定一个首项a1，使得数列{a n}为单调数列，并证明你的结论；（3）f（x）=（x2+3），a1＞0，若对一切n∈N*，都有a n+1＞a n，求a1的取值范围．【分析】（1）求导f′（x）=1﹣cosx≥0，从而可得函数f（x）是增函数，从而利用数学归纳法证明；（2）当a1=0时，可得数列{a n}为单调递增数列，再利用（1）中的方法证明即可；（3）结合（1），根据f（x）=（x2+3）在（0，+∞）上是增函数，从而只需使a2＞a1，从而解得．【解答】证明：（1）∵f（x）=x﹣sinx，∴f′（x）=1﹣cosx≥0，∴函数f（x）是增函数，当n=1时，∵0＜a1＜1，∴a2=f（a1）=a1﹣sina1＜a1，∴0＜a2＜a1，假设n=k时命题成立，即0＜a k＜a k＜1；+1当设n=k+1时，∵函数f（x）是增函数，即f（0）＜f（a k）＜f（a k）＜1；+1＜a k+1＜1；即0＜a k+2综上所述，0＜a n＜a n＜1．+1（2）当a1=0时，可得数列{a n}为单调递增数列，证明如下：∵f（x）=x3﹣x2++，∴f′（x）=3x2﹣2x+，∵△=4﹣4×3×＜0，∴函数f（x）是增函数，当n=1时，a1=0，a2=，故a1＜a2，假设当n=k时，a k＜a k+1；当n=k+1时，∵函数f（x）是增函数，∴f（a k）＜f（a k+1），＜a k+2；即a k+1＞a n．综上所述，对一切n∈N*，都有a n+1故数列{a n}为单调递增数列．（3）∵f（x）=（x2+3）在（0，+∞）上是增函数，∴若使对一切n∈N*，都有a n＞a n，+1只需使a2＞a1，∵a2=（a12+3），∴a2﹣a1=（a12+3）﹣a1=，∴a1＜1或a1＞3，又∵a1＞0，∴0＜a1＜1或a1＞3．【点评】本题考查了导数的综合应用及数列的应用，同时考查了数学归纳法的应用．六、数列与不等式综合题8．（5分）n∈N*，证明不等式：++…+＞﹣．【分析】根据不等式的特点，利用放缩法进行证明即可．【解答】证明：==﹣，故++…+=﹣（++…+），故++…+＞﹣．则等价为++…+＜，∴要证明原不等式成立，只需要证明上述不等式成立即可．∵﹣＜﹣2（﹣），∴++…+＜2（﹣+﹣+…+﹣）=2（﹣）＜，故原不等式成立．【点评】本题主要考查不等式的证明，根据不等式的关系，利用放缩法是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．9．（13分）数列{a n}，a n≥0，a1=0，a n+12+a n+1﹣1=a n2，n∈N*．（1）求证：a n＜1；（2）求证：数列{a n}递增；（3）求证：++…+＜3．【分析】（1）由题意得a n+1=，令f（x）=，故a n+1=f（a n），从而利用数学归纳法证明；（2）由（1）知a n+1=f（a n），且f（x）=在（0，+∞）上单调递增，从而利用数学归纳法证明；（3）由题意可判断1+a k＞，（k=2，3，…，n），从而可得（1+a2）（1+a3）…（1+a n）＞，从而求等比数列前n项和即可．【解答】证明：（1）∵a n+12+a n+1﹣1=a n2，∴a n+1=，令f（x）=，故a n+1=f（a n），易知f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（1）=1；下面利用数学归纳法证明：①∵a n≥0，a1=0，a n+12+a n+1﹣1=a n2，∴a1=0，a2=，②假设当n=k时，a k＜1，当n=k+1时，a n+1=f（a n）＜f（1）=1，故当n=k+1时结论也成立，故a n＜1；=f（a n），（2）由（1）知，a n+1且f（x）=在（0，+∞）上单调递增，易知a1＜a2＜1，假设a k＜a k+1＜1，则f（a k）＜f（a k+1）＜f（1）=1，＜a k+2＜1，即a k+1故数列{a n}递增；（3）∵a1=0，a2=，∴1+a2＞，＜a k＜1，又∵a k﹣1∴1+a k＞，（k=2，3，…，n），∴（1+a2）（1+a3）…（1+a n）＞，故++…+＜1+++…+=3（1﹣）＜3．【点评】本题考查了数列的应用及数学归纳法的应用，同时考查了放缩法的应用．七、数列中的自主定义问题10．（20分）若数列{x n}满足对任意的m∈N*（m≤n），都有{x n}的前m项和等于前m项积（前1项和及前1项积均等于首项x1），则称数列{x n}为“和谐数列”．（1）已知数列{a n}是首项a1=2的“和谐数列”，求a3的值；（2）设数列{a n}是项数不少于3的递增的正整数数列，证明{a n}不是“和谐数列”；（3）若数列{}是“和谐数列”，且0＜a1＜1；①试求a n与a n的递推关系；+1②证明对任意的n∈N*，都有0＜a n＜1成立．【分析】（1）由新定义，先求a2，再求a3；（2）运用反证法证明，假设{a n}是“和谐数列”，结合递增数列，即可得证；（3）①讨论n=1，n＞1，运用“和谐数列”的定义，结合下标变换作差相减即可得到；②运用数学归纳法证明，注意运用二次函数的值域的求法，即可得证．【解答】解：（1）由数列{a n}是首项a1=2的“和谐数列”，可得a1+a2=a1a2，即有2+a2=2a2，解得a2=2，再由a1+a2+a3=a1a2a3，即为2+2+a3=4a3，解得a3=；（2）证明：假设{a n}是“和谐数列”，即有1≤a1＜a2＜a3＜…＜a k（k≥3），即a1+a2+a3+…+a k=a1a2a3…a k（k≥3），若a1=1，则1+a2＞a2=1•a2矛盾；若a1≥2，则2≤a1＜a2＜a3＜…＜a k（k≥3），由a1，a2，a3，…，a k为正整数，即有a1≥2，a2≥3，a3≥4，…，a k﹣1≥k，即有a1a2a3…a k≥2•3•4…k•a k=k!•a k≥ka k＞a1+a2+a3+…+a k对于k≥3成立，矛盾．综上可得，{a n}不是“和谐数列”；（3）①当n=1时，可得+=，即有a2=1﹣a1；当n＞1时，可得++…+=•…，将n换为n+1可得，++…++=•…•，=a1a2…a n，两式相减可得1﹣a n+1即有1﹣a n=a1a2…a n﹣1，=a n（1﹣a n）=a n﹣a n2，两式相除可得1﹣a n+1即为a n=﹣a n（1﹣a n）+1；+1=；综上可得，a n+1②证明：运用数学归纳法证明对任意的n∈N*，都有0＜a n＜1成立．当n=1时，0＜a1＜1，a2=1﹣a1，即有0＜a2＜1；假设n=k时，（k≥2），有0＜a k＜1，=a k2﹣a k+1=（a k﹣）2+，当n=k+1时，由a k+1由0＜a k＜1，可得≤（a k﹣）2+＜1，即有0＜a k+1＜1．即对n=k+1也成立．故对任意的n∈N*，都有0＜a n＜1成立．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查反证法和数学归纳法的运用，考查推理能力和运算能力，属于中档题．八、均值不等式11．（10分）（1）若正数a，b满足a≥4，ab=a+b+3，则ab的取值范围是多少？（2）已知a＞0，b＞0，4a+b=1，求+的最小值．【分析】（1）将a的最小值代入求出b的值，从而求出ab的取值范围；（2）把+看成（+）×1的形式，把“1”换成4a+b，整理后积为定值，然后用基本不等式求最小值．【解答】解：（1）若正数a，b满足a≥4，ab=a+b+3，则a=4时：b=，此时ab=，故ab的取值范围是[，+∞）；（2）∵+=（+）×（4a+b）=4+++1≥5+2=9，等号成立的条件为=．所以+的最小值为9．【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，解决（2）题的关键是“1”的代换．九、线性规划12．（10分）设不等式组表示的平面区域为W（1）若k=2，M（x，y）为区域W内的动点，求x+2y的最大值；（2）区域W内部的整点的个数有多少？（整点是指横、纵坐标都是整数的点）．【分析】（1）把k=2代入不等式组，画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数求得x+2y的最大值；（2）由题意可知，当k=0时可行域为直线；当k≠0时，通过把可行域变形，得到正方形区域求整点个数．【解答】解：（1）当k=2时，不等式组为，对应的平面区域如图，联立，解得B（6，4），令z=x+2y，化为y=﹣，由图可知，当直线y=﹣过B时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为6+2×4=14．∴x+2y的最大值为14；（2）由题意，当k=0时，原不等式化为，即y=0，平面区域为直线y=0，区域W内部的整点的个数有无数个；当k≠0时，不等式组表示的平面区域W如图，，，则BC长度为4．当OC过整点个数分别为1、2、3、4、5时，区域W内部的整点的个数分别为：21、22、23、24、25．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，（2）中改变可行域形状求整点是该题的难点，属于难题．。

第二章 2.1 第1课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．下列表格中的x 与y 能构成函数的是( ) A.x 非负数 非正数 y 1 －1B.x 奇数 0 偶数 y 1 0 －1C.x 有理数 无理数 y 1 －1D.x 自然数 整数 有理数 y 1 0 －1答案 C解析 A 中0既是非负数又是非正数；B 中0又是偶数；D 中自然数也是整数，也是有理数．2．函数y ＝11－1x的定义域是( ) A ．{x |x ∈R 且x ≠0} B ．{x |x ∈R 且x ≠1}C ．{x |x ∈R 且x ≠0且x ≠1}D ．{x |x ∈R 且x ≠0或x ≠1} 答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ≠01－1x ≠0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0x ≠1，故选C 3．已知集合M ＝{－1,1,2,4}，N ＝{0,1,2}，给出下列四个对应法则：①y ＝x 2，②y ＝x ＋1，③y ＝2x ，④y ＝log 2|x |，其中能构成从M 到N 的函数的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④ 答案 D解析 对于①、②，M 中的2,4两元素在N 中找不到象与之对应，对于③，M 中的－1,2,4在N 中没有象与之对应．故选D.4．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( )A ．[0,1]B ．[0,1)C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1) 答案 B解析 要使g (x )有意义，则⎩⎨⎧0≤2x ≤2x －1≠0，解得0≤x <1，故定义域为[0,1)，选B.5．定义x ⊙y ＝3x －y ，则a ⊙(a ⊙a )等于( ) A ．－a B ．3a C ．a D ．－3a 答案 C解析 由题意知：a ⊙a ＝3a －a ，则a ⊙(a ⊙a )＝3a －(a ⊙a )＝3a －(3a －a )＝a .选C.6．设定义在R 上的函数y ＝f (x )满足f (x )·f (x ＋2)＝12，且f (2010)＝2，则f (0)等于( )A ．12B ．6C ．3D ．2 答案 B解析 ∵f (x ＋2)＝12f (x )，∴f (x ＋4)＝12f (x ＋2)＝f (x )．∴f (x )的周期为4，f (2010)＝f (4×502＋2)＝f (2)＝2.又f (2)＝12f (0)，∴f (0)＝122＝6.7．图中的图象所表示的函数的解析式为( )A ．y ＝32|x －1|(0≤x ≤2) B ．y ＝32－32|x －1|(0≤x ≤2) C ．y ＝32－|x －1|(0≤x ≤2) D ．y ＝1－|x －1|(0≤x ≤2) 答案 B解析 当x ∈[0,1]时，y ＝32x ＝32－32(1－x )＝32－32|x －1|；当x ∈[1,2]时，y ＝32－01－2(x －2)＝－32x ＋3＝32－32(x －1)＝32－32|x －1|.因此，图中所示的图象所表示的函数的解析式为y ＝32－32|x －1|.8．定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )b (a >b )，则函数f (x )＝1⊕2x 的图象是( )答案 A 解析 f (x )＝1⊕2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (1≤2x )2x(1>2x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x ≥0)2x (x <0)，结合图象，选A .9已知蟑螂活动在如图所示的平行四边形OABC 内，现有一种利用声波消灭蟑螂的机器，工作时，所发出的圆弧型声波DFE 从坐标原点O 向外传播，若D 是DFE 弧与x 轴的交点，设OD ＝x (0≤x ≤a )，圆弧型声波DFE 在传播过程中扫过平行四边形OABC 的面积为y (图中阴影部分)，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )答案 D解析 本题主要考查应用函数知识解决实际问题的能力．由图象知，函数先增得快，后增得慢，故选D.二、填空题10．如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝________.答案 2解析 由图及题中已知可得 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2(x －2)，0≤x ≤2x －2，2<x ≤6，f (0)＝4，f (f (0))＝f (4)＝2.11．下图中建立了集合P 中元素与集合M 中元素的对应f .其中为映射的对应是________．答案 (2)(5)解析 (1)中：P 中元素－3在M 中没有象．(3)中，P 中元素2在M 中有两个不同的元素与之对应．(4)中，P 中元素1在M 中有两个不同的元素与之对应．12．(07·北京)已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出则f [g (1)]的值为________；满足f [g (x )]>g [f (x )]的x 的值是________． 答案 1,213．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos π3x ，(x ≤2000)x －100，(x >2000)，则f [f (2010)]＝________.答案 －1解析 由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos π3x ，(x ≤2000)x －100，(x >2000)， 得f (2010)＝2010－100＝1910，f (1910)＝2cos(π3×1910)＝2cos(636π＋2π3)＝2cos 2π3＝－1，故f [f (2010)]＝－1.三、解答题14．一个圆柱形容器的底面直径为d cm ，高度为h cm ，现以S cm3/s 的速度向容器内注入某种溶液，求容器内溶液高度y (cm)与注入时间t (s)的函数关系式及定义域．15．下图是一个电子元件在处理数据时的流程图：(1)试确定y 与x 的函数关系式； (2)求f (－3)，f (1)的值； (3)若f (x )＝16，求x 的值． 答案(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ (x ＋2)2，x ≥1，x 2＋2，x <1.(2)11,9 (3)2或－14 解析(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋2)2，x ≥1，x 2＋2，x <1.(2)f (－3)＝(－3)2＋2＝11；f (1)＝(1＋2)2＝9.(3)若x ≥1，则(x ＋2)2＝16， 解得x ＝2或x ＝－6(舍去)． 若x <1，则x 2＋2＝16， 解得x ＝14(舍去)或x ＝ －14.综上，可得x ＝2或x ＝－14.16．函数f (x )对一切实数x ，y 均有f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x 成立，且f (1)＝0.(1)求f (0)的值； (2)求f (x )的解析式．答案 (1)－2 (2)f (x )＝x 2＋x －2 解析 用赋值法(1)由已知f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)·x . 令x ＝1，y ＝0，得f (1)－f (0)＝2. 又∵f (1)＝0，∴f (0)＝－2.(2)令y ＝0，得f (x )－f (0)＝(x ＋1)x ， ∴f (x )＝x 2＋x －2.拓展练习·自助餐1．下图中，能表示函数y ＝f (x )的图象的是( )答案 D解析对于A、B两图，可以找到一个x与两个y对应的情形；对于C图，当x＝0时，有两个y值对应；对于D图，每个x都有唯一的y值对应．因此，D 图可以表示函数y＝f(x)，选D.2．定义：区间[x1，x2](x1＜x2)的长度为x2－x1.已知函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1,2]，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为___________________．答案 1解析[a，b]的长度取得最大值时[a，b]＝[－1,1]，区间[a，b]的长度取得最小值时[a，b]可取[0,1]或[－1,0]，因此区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为1.3．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( )答案 C解析 函数在[0，π]上的解析式为 d ＝12＋12－2×1×1×cos l ＝2－2cos l ＝4sin 2l 2＝2sin l 2.在[π，2π]上的解析式为d ＝2－2cos (2π－l )＝2sin l2，故函数的解析式为d ＝2sin l2，l ∈[0,2π]．探究 这类题目也是近年来的一个小热点．解决的基本方法有二：一是通过分析变化趋势或者一些特殊的点，采用排除法；二是求出具体的函数解析式．4．设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x －1，x ≤0，x ，x >0.若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是________．答案 (－∞，－2)∪(1，＋∞)解析 当x 0≤0时，由－x 0－1>1得x 0<－2，∴x 0<－2；当x 0>0时，由x 0>1，∴x 0>1，∴x 0的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞)．5．国家以前规定个人稿费纳税的办法是：不超过800元的不纳税；超过800元不超过4000元的按超过800元的部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿费的11%纳税．(1)根据上述规定建立某人所得稿费x (元)与纳税额y (元)之间的函数关系式；(2)某人出了一本书，共纳税660元，则这个人的稿费是多少元？解析 (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (0≤x ≤800)，0.14(x －800) (800<x ≤4000)0.11x (x >4000).(2)令0.14(x －800)＝660，得x ＝551427≈5514.29∉(800,4000]． 令0.11x ＝660，得x ＝6000∈(4000，＋∞)． 故稿费是6000元．探究 本类题是分段函数的应用中最常见的问题，写解析式时按规定的税率表达即可，应注意超过4000元的要按全部稿费的11%纳税，第(2)问则利用了方程的方法来求解．教师备选题1．函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为( ) A ．(－4，－1) B ．(－4,1) C ．(－1,1) D ．(－1,1] 答案 C解析 由⎩⎨⎧－x 2－3x ＋4＞0x ＋1＞0得－1＜x ＜1，即该函数的定义域是(－1,1)，选C.2．测量大气温度T 时，发现在高空11千米以内，离地面距离越远，温度T 越低，大约每升高1千米降温6℃，在11千米以外的上空，其温度几乎不变．如果地面温度为19℃，则T 与h 之间的函数关系是________．答案 T ＝⎩⎨⎧19－6h ，0≤h ≤11，－47，h >113．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎨⎧b ，a ≥b ，a ，a <b ，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域是________．答案 (－∞，1]解析 由题意得f (x )＝⎩⎨⎧x ， x ≤1，2－x ，x >1.画函数f (x )的图象得值域是(－∞，1]．4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ≤0)4sin x (0<x ≤π)，则集合M ＝{x |f (f (x ))＝0}中元素的个数是________．答案 5解析 结合函数表达式知若f (f (x ))＝0得f (x )＝0或f (x )＝π.若f (x )＝0，则x ＝0或x ＝π；若f (x )＝π，则x 2＝π(x ≤0)⇒x ＝－π或4sin x ＝π(0<x ≤π)⇒有2个根．故集合M 中有5个元素．5．已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R )，则f (2010)＝________.答案 12解析 因为f (1)＝14，令x ＝1，y ＝0，得4f (1)f (0)＝f (1)＋f (1)，所以f (0)＝12.令y ＝1，得4f (x )f (1)＝f (x ＋1)＋f (x －1)，即f (x )＝f (x ＋1)＋f (x －1)，所以f (x ＋1)＝f (x ＋2)＋f (x )．所以f (x ＋2)＝－f (x －1)，即f (x ＋3)＝－f (x )．所以f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x )，所以f (x )周期为6，故f (2010)＝f (0)＝12.6．为了预防甲型H1N1型流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式y ＝(116)t －a (a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为__________________________________．(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．答案 (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t ，0≤t ≤0.1，116t －0.1，t >0.1 (2)0.6 解析 (1)设y ＝kt ，由图象知y ＝kt 过点(0.1,1)，则1＝k ×0.1，k ＝10，∴y ＝10t (0≤t ≤0.1)；由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a 过点(0.1,1)，得1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1160.1－a ，解得a ＝0.1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1(t >0.1) (2)由⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1≤0.25＝14得t ≥0.6， 故至少需经过0.6小时学生才能回到教室．。

第三章 3.2 第2课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．函数y＝x3－3x的单调递减区间是()A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．(－1,1) D．(－∞，－1)，(1，＋∞)答案 C解析∵y′＝3x2－3，∴由3x2－3<0得－1<x<1.故选C.2．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是()A．(－∞，2) B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋∞)答案 D解析函数f(x)＝(x－3)e x的导数为f′(x)＝[(x－3)e x]′＝1·e x＋(x－3)·e x＝(x －2)·e x，由函数导数与函数单调性关系得：当f′(x)>0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f′(x)＝(x－2)·e x>0解得：x>2.3．函数f(x)＝ln x－ax(a>0)的单调递增区间为()A．(0，1a) B．(1a，＋∞)C．(－∞，1a) D．(－∞，a)答案 A解析由f′(x)＝1x－a>0得0<x<1 a，∴f(x)的单调递增区间为(0，1 a)．4．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是()答案 A解析依题意，f′(x)在[a，b]上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项中的图象，只有A满足，故选A.5．已知函数f(x)(x∈R)的图象上任一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x0－2)(x20－1)(x－x0)，那么函数f(x)的单调减区间是()A．[－1，＋∞) B．(－∞，2]C．(－∞，－1)和(1,2) D．[2，＋∞)答案 C解析 根据函数f (x )(x ∈R )的图象上任一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(x 0－2)(x 20－1)(x －x 0)，可知其导数f ′(x )＝(x －2)(x 2－1)＝(x ＋1)(x －1)(x －2)，令f ′(x )<0得x <－1或1<x <2.因此f (x )的单调减区间是(－∞，－1)和(1,2)．6．设f (x )、g (x )在[a ，b ]上可导，且f ′(x )>g ′(x )，则当a <x <b 时，有( ) A ．f (x )>g (x ) B ．f (x )<g (x )C ．f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )D ．f (x )＋g (b )>g (x )＋f (b ) 答案 C解析 ∵f ′(x )>g ′(x )，∴[f (x )－g (x )]′>0， ∴f (x )－g (x )在[a ，b ]上是增函数． ∴f (a )－g (a )<f (x )－g (x )， 即f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )．7．设f (x )、g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x )＞0，且f (－3)·g (－3)＝0，则不等式f (x )·g (x )＜0的解集是( )A ．(－3,0)∪(3，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3) 答案 D解析 f (x )、g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数 ∴f (x )·g (x )为奇函数 x ＜0时，f ′(x )·g (x )＋f (x )g ′(x )＞0 即x ＜0时，[f (x )·g (x )]′＞0 ∴f (x )·g (x )为增函数，且f (－3)·g (－3)＝0 根据函数性质可知，f (x )·g (x )＜0的解集为 (－∞，－3)∪(0,3)8．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f (12)，c ＝f (3)，则( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．b <c <a 答案 B解析 由f (x )＝f (2－x )可得对称轴为x ＝1，故f (3)＝f (1＋2)＝f (1－2)＝f (－1)， 又x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，可知f ′(x )>0，即f (x )在(－∞，1)上单调递增，f (－1)<f (0)<f (12)，即c <a <b . 二、填空题9．函数y ＝x －2sin x 在(0,2π)内的单调增区间为________．答案 (π3，5π3)∴函数y ＝x －2sin x 在(0,2π)内的增区间为(π3，5π3)．10．已知y ＝13x 3＋bx 2＋(b ＋2)x ＋3在R 上不是单调递增函数，则b 的范围是________．答案 b <－1或b >2解析 假设y ＝13x 3＋bx 2＋(b ＋2)x ＋3在R 上是单调递增函数，则f ′(x )＝y ′≥0恒成立．即x 2＋2bx ＋b ＋2≥0恒成立，所以Δ＝4b 2－4(b ＋2)≤0成立，解得－1≤b ≤2，故所求为b >2或b <－1.11．函数f (x )的定义域为R ，且满足f (2)＝2，f ′(x )>1，则不等式f (x )－x >0的解集为________答案 (2，＋∞)解析 令g (x )＝f (x )－x ∴g ′(x )＝f ′(x )－1由题意知g ′(x )>0，∴g (x )为增函数 ∵g (2)＝f (2)－2＝0∴g (x )>0的解集为(2，＋∞)．12．已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，f (－4)，f (4π3)，f (－5π4)的大小关系为______(用“<”连接)．答案 f (4π3)<f (－4)<f (－5π4)．解析 f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，当x ∈[5π4，4π3]时，sin x <0，cos x <0，∴f ′(x )＝sin x ＋x cos x <0，则函数f (x )在x ∈[5π4，4π3]时为减函数，∴f (4π3)<f (4)<f (5π4)，又函数f (x )为偶函数，∴f (4π3)<f (－4)<f (－5π4)． 三、解答题13．求函数f (x )＝x (e x－1)－x 22的单调区间．解 f (x )＝x (e x －1)－12x 2，f ′(x )＝e x －1＋x e x －x ＝(e x －1)(x ＋1)．当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，－1]，[0，＋∞)上单调递增，在[－1,0]上单调递减．14．已知函数f (x )＝ax ＋x ＋(a －1)ln x ＋15a ，其中a <0，且a ≠－1.讨论函数f (x )的单调性．解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝－ax 2＋1＋a －1x ＝(x ＋a )(x －1)x 2.①若－1<a <0，则当0<x <－a 时，f ′(x )>0；当－a <x <1时，f ′(x )<0；当x >1时，f ′(x )>0，故f (x )分别在(0，－a )，(1，＋∞)上单调递增，在(－a,1)上单调递减．②若a <－1，同①可得f (x )分别在(0,1)，(－a ，＋∞)上单调递增，在(1，－a )上单调递减．15．已知f (x )＝e x －ax －1. (1)求f (x )的单调增区间；(2)若f (x )在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；(3)是否存在a ，使f (x )在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解析 f ′(x )＝e x －a .(1)若a ≤0，f ′(x )＝e x －a ≥0恒成立，即f (x )在R 上递增． 若a >0，e x －a ≥0，∴e x ≥a ，x ≥ln a . ∴f (x )的单调递增区间为(ln a ，＋∞)．(2)∵f (x )在R 内单调递增，∴f ′(x )≥0在R 上恒成立， ∴e x －a ≥0，即a ≤e x 在R 上恒成立， ∴a ≤(e x )min .又∵e x >0，∴a ≤0.(3)由题意知e x －a ≤0在(－∞，0]上恒成立， ∴a ≥e x 在(－∞，0]上恒成立． ∵e x 在(－∞，0]上为增函数， ∴x ＝0时，e x 最大为1，∴a ≥1.同理可知e x －a ≥0在[0，＋∞)上恒成立， ∴a ≤e x 在[0，＋∞)上恒成立，∴a ≤1. 综上可知：a ＝1即存在a ＝1满足条件．16．已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋k2x 2(k ≥0)．(1)当k ＝2时，求曲线 y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求f (x )的单调区间．解析 (1)当k ＝2时，f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2，f ′(x )＝11＋x－1＋2x .由于f (1)＝ln 2，f ′(1)＝32，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.(2)f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x，x ∈(－1，＋∞)．当k ＝0时，f ′(x )＝－x1＋x.所以，在区间(－1,0)上，f ′(x )>0；在区间(0，＋∞)上，f ′(x )<0. 故f (x )的单调递增区间是(－1,0)，单调递减区间是(0，＋∞)．当0<k <1时，f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x＝0，得x 1＝0，x 2＝1－kk >0.所以，在区间(－1,0)和(1－kk ，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间(0，1－kk )上， f ′ (x )<0；故f (x )的单调递增区间是(－1,0)和(1－k k ，＋∞)，单调递减区间是(0，1－kk )．当k ＝1时，f ′(x )＝x 21＋x.故f (x )的单调递增区间是(－1，＋∞)．当k ＞1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x＝0，得x 1＝1－kk ∈(－1,0)，x 2＝0.所以，在区间(－1，1－k k )和(0，＋∞)上，f ′(x )＞0；在区间(1－kk ，0)上，f ′(x )＜0，故f (x )的单调递增区间是(－1，1－k k )和(0，＋∞)，单调递减区间是(1－kk ，0)．拓展练习·自助餐1若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是先增后减的函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是( )答案 C解析 根据题意f ′(x )在[a ，b ]上是先增后减的函数，则在函数f (x )的图象上，各点的切线斜率是先随x 的增大而增大，然后随x 的增大而减小，由四个选项的图形对比可以看出，只有选项C 满足题意．2．若函数f (x )的导函数f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则函数f (x ＋1)的单调递减区间是( )A ．(2,4)B ．(－3，－1)C ．(1,3)D ．(0,2) 答案 D解析 由f ′(x )＝x 2－4x ＋3＝(x －1)(x －3)知，当x ∈(1,3)时，f ′(x )<0.函数f (x )在(1,3)上为减函数，函数f (x ＋1)的图象是由函数y ＝f (x )图象向左平移1个单位长度得到的，所以(0,2)为函数y ＝f (x ＋1)的单调减区间．3．设曲线y ＝x 2＋1在其任一点(x ，y )处切线斜率为g (x )，则函数y ＝g (x )·cos x 的部分图象可以为( )答案 A解析 g (x )＝2x ∴y ＝2x ·cos x 此函数为奇函数，排除B 、D当x ∈(0，π2)时，y >0，排除C 选A.4．若函数y ＝a (x 3－x )的递减区间为(－33，33)，则a 的取值范围是( ) A ．a ＞0 B ．－1＜a ＜0 C ．a ＞1 D ．0＜a ＜1 答案 A解析 y ′＝a (3x 2－1)解3x 2－1＜0得 －33＜x ＜33∴f (x )＝x 3－x 在(－33，33)上为减函数∴a ＞05．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)函数y ＝f (x )的图象在x ＝4处的切线的斜率为32，若函数g (x )＝13x 3＋x 2[f ′(x )＋m2]在区间(1,3)上不是单调函数，求m 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝a (1－x )x (x >0)，当a >0时，f (x )的单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为[1，＋∞)； 当a <0时，f (x )的单调递增区间为[1，＋∞)，单调递减区间为(0,1]； 当a ＝0时，f (x )不是单调函数．(2)由f ′(4)＝－3a 4＝32，得a ＝－2，则f (x )＝－2ln x ＋2x －3，∴g (x )＝13x 3＋(m2＋2)x 2－2x ， ∴g ′(x )＝x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(1,3)上不是单调函数，且g ′(0)＝－2<0，故m 的取值范围是(－193，－3)．6．设函数f (x )＝e x －1－x －ax 2. (1)若a ＝0，求f (x )的单调区间；(2)若当x ≥0时f (x )≥0，求a 的取值范围．解析 (1)a ＝0时，f (x )＝e x －1－x ，f ′(x )＝e x －1.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，0)单调减少，在(0，＋∞)单调增加．(2)f ′(x )＝e x －1－2ax .由(1)知e x ≥1＋x ，当且仅当x ＝0时等号成立．故f ′(x )≥x －2ax ＝(1－2a )x ，从而当1－2a ≥0，即a ≤12时，f ′(x )≥0(x ≥0)，而f (0)＝0，于是当x ≥0时， f (x )≥0.由e x >1＋x (x ≠0)可得e －x >1－x (x ≠0)，从而当a >12时，f ′(x )<e x －1＋2a (e －x －1)＝e －x(e x －1)(e x －2a )，故当x ∈(0，ln 2a )时，f ′(x )<0，而f (0)＝0，于是当x ∈(0，ln 2a )时，f (x )<0，综合得a 的取值范围为(－∞，12]。