子环的幂零性

第四章环与域§1 环的定义一、主要内容1．环与子环的定义和例子。

在例子中，持别重要的是效域上的多项式环、n阶全阵环和线性变换环，以及集M的幂集环．2．环中元素的运算规则和环的非空子集S作成子环的充要条件：二、释疑解难1．设R是一个关于代数运算十，·作成的环．应注意两个代数运算的地位是不平等的，是要讲究次序的．所以有时把这个环记为(R，十，·)(或者就直接说“R对十，·作成一个环”)．但不能记为R，·，十)．因为这涉及对两个代数运算所要求满足条件的不同．我们知道，环的代数运算符号只是一种记号．如果集合只有二代数运算记为 ，⊕，又R对 作成一个交换群，对⊕满足结合律且⊕对 满足左、右分配律，即就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序．2．设R对二代数运算十，·作成一个环．那么，R对“十”作成一个加群，这个加群记为(R,十)；又R对“·”作成一个半群，这个乍群记为(R，·)．再用左、右分配律把二者联系起来就得环(R，十．·)．三、习题4．1解答1．2．3．4．5．6．7．8．证明：循环环必是交换环，并且其子环也是循环环．§4．2 环的零因子和特征一、主要内容１．环的左、右零因子和特征的定义与例子．2．若环R 无零因子且阶大于1，则R 中所有非零元素对加法有相同的阶．而且这个相同的阶不是无限就是一个素数．这就是说，阶大于l 且无零因子的环的特征不是无限就是一个素数． 有单位元的环的特征就是单位元在加群中的阶．3．整环(无零因子的交换环)的定义和例子． 二、释疑解难１．由教材关于零因子定义直接可知，如果环有左零因子，则R 也必然有右零因子．反之亦然．但是应注意，环中一个元素如果是一个左零因子，则它不一定是一个右零因子．例如，教材例l 中的元素⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001就是一个例子．反之，一个右零因子也不一定是一个左零因子．例如，设置为由一切方阵),(00Q y x y x ∈∀⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛对方阵普通加法与乘法作成的环．则易知⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001是R 的一个右零因子，但它却不是R 的左零因子．2.关于零因子的定义．关于零因子的定义，不同的书往往稍有差异，关键在于是否把环中的零元也算作零因子．本教材不把零元算作零因子，而有的书也把零元算作零因子．但把非牢的零因子称做真零因子．这种不算太大的差异，读者看参考书时请留意．3．关于整环的定义．整环的定义在不同的书中也常有差异．大致有以下4种定义方法： 定义1 无零因子的交换环称为整环(这是本教材的定义方法)． 定义2 阶大于l 且无零因子的交换环，称为整环． 定义3 有单位元且无零因子的交换环，称为整环．定义4 阶大于1、有单位元且无零因子的交换环，称为整环．以上4种定义中，要求整环无零因子、交换是共同的，区别就在于是否要求有单位元和阶大于1．不同的定义方法各有利弊，不宜绝对肯定哪种定义方法好或不好．这种情况也许到某个时期会得到统一．但无论如何现在看不同参考书时应留意这种差异．本教材采用定义1的方法也有很多原因，现举一例。

2021 年4 月Apr 2021第43 卷第2 期Vol43 No2菏泽学院学报JournalofHezeUniversity 多项式剩余类环中幂零元计数问题研究田东代（山东省菏泽市体育训练中心，山东菏泽274000）摘 要:结合多项式剩余类环中元素整除性质，利用中国剩余定理构造了多项式剩余类环与局部环直和 之间的同构映射，得到了相应的直和分解，在此基础上将一般剩余类环中幂零元计数问题进行了优化•通过 引入广义Euler 函数、多项式系数公因子等概念，提出了系数公因子为1的剩余类代表元计数方法，最后，给 出了素数幂阶剩余类环中幂零元的计数表达式.关键词：幂零元；反演公式；直和分解;局部环中图分类号:0156, 2 文献标识码:A 文章编号：1673-2103（2021 ）02-0011-051 预备知识11有限可交换环有限交换环研究是代数学的基础性工作,主要内容包括唯一性分解问题、准素理想理论和公理化体系等 方面［1］,从高次互反律、二元二次型和费马大定理等初等数论问题出发，围绕一系列经典案例展开研究，范围 涉及代数数论、代数几何与不变量理论等领域•交换环研究初期以唯一因子分解问题为主，通过对复整数环、 理想数等不同代数的精细刻画，提出了理想、序环等概念.E. Noether 通过对理想升链条件的深入分析，实现 了诺特环的公理化体系，从而建立起一般交换环理论,特别是她给出诺特环（含有限环）的结构分解定理，真 正实现了交换环理论体系质的飞跃.在理论发展比较完善之后，其不断提升的理论层次拓宽了它的应用范 围，渗透到数学的多个分支，相互间的影响和融合不断促进彼此的创新发展，呈现出未来发展的趋势.1.2有限交换环与编码设计随着20世纪通信技术的快速发展，通信编码技术对交换环理论的依赖日渐显著,具有特殊结构的有限 环（域）已成为现代编码理论的核心支撑.经典纠错码如Hamming 码、BCH 码、RS 码等23］在通信和信息领 域得到了普遍应用，已成为信息技术领域重要的基础性工作•近年来，移动通信技术的发展也对编码技术提 出了更加个性化的要求,具有编码码字多、最小距离大等特点的非线性编码技术成为研究热点，促进了有限 环上编码技术的实质性进步，极大丰富了纠错码理论的研究领域.13剩余类环由于剩余类环中仍保留了欧几里得辗转除法运算，剩余类环中元素具有因子分解特性,不可约多项式判 定与零因子、幕零元分类成为有限环中最为重要的两个基本问题•不可约多项式判别方法早期的成果主要是 Eisenstein 判别法和Berlamkamp ［,］关于多项式计数的结果，同时也出现了一些确定性判别算法和随机性 检测算法，但是都没有一个简单可行的算法思路，至今仍是一件较为复杂的工作•而零因子和幕零元的计数 问题则依赖于多项式分解问题，与不可约多项式问题有关联性.14研究思路与结果本文利用中国剩余定理，首先给出多项式剩余类环的直和分解，把一般情况下的幕零元问题转化为素数 幕阶有限交换环的幕零元问题,再通过定义一般的莫比乌斯、欧拉函数等工具,使用组合反演公式给出幕零 元的计数公式,结论刻画思路清晰,表达形式简明统一.收稿日期：2021-03-15作者简介：田东代（1962—），男，山东菏泽人，高级讲师，山东省特级教师，研究方向:数学及职业教育.2021 年荷泽学院学报第2 期2基本概念与相关成果2.1基本概念2. 1. 1 唯一分解概念没有零因子的交换环结构相对简单，其元素能唯一表示为素元的乘积，称为唯一分解整环，有关研究内 容已经十分成熟.具有零因子的交换环则难以给出统一刻画,但仍然可以表示为理想的直和分解.域上的多 项式环是整环，每个多项式都可分解成不可约多项式的乘积，两个多项式表示可能相差一个单位元.因此,一 般约定不可约多项的首项系数为1 .整数剩余类环乙狓］上的多项式环中由于系数零因子的存在，多项式表 示方式变化增多,虽然仍可以进行欧几里得除法运算，但整环中的唯一分解性不再保留，差异是乙（模n 剩 余类环）中的一个零因子.因此,多项式计数问题需要考虑分解方式的变化，下面从一些概念定义入手，给出 乙狓］中多项式的分解描述.定义 1 设多项式 f （狓）=a n x n +a n -（x n ^（ +a n —狓_2 ------a 1x 2 +a 0，式中 a n ,a n -1，…,a i , a 0 G 乙，那么多项式f （狓）的系数公因子定义为整数a ” ,a ”—，…犪 a 的最大公因子gcd （great common divisor ）,即有：gcd （f （狓））=gcd （a ” ,a ”_1,… 犪 a ）.若gcd （f 狓））为乙中的可逆元,则称f 狓）为系数公因子等于（的多项式•此时,两个系数公因子相差 一个可逆元的多项式被认为是同一多项式.多项式环乙狓］中多项式表示的标准形式.结论1任意多项式可表示为f 狓）=gcd （f 狓））f （狓）,式中f （狓）是系数公因子等于1的多项式.证明 假若多项式fQ ）有两个不同的分解 faf （狓和fO =bf 2狓）.不妨设f 狓），f 2 （狓是 两个不同的系数公因子等于1的多项式，则此时应有a = b ,否则按照定义有：gcd （f （狓））= gcd （af （狓））=a • gcd f （狓））=a • 1 = agcd （f （狓））=gcd （bf 2（狓））=b • gcd （f 2（狓））=b • 1 = b则有a = b ,矛盾.多项式剩余类环乙狓］/f 狓）元素表示的标准形式.剩余类元素一般用多项式代表元表示，记为ag （狓=a g Q ）mod （f 狓）），其中g 狓）是系数公因子等于1 的多项式,a 是乙中的元素.2.1.2 幂零元判别条件定义2多项式剩余类元素ag （）称作是幕零元，如果存在正整数加使得（g （狓））犿=0.显然,ag （5为幕零元当且仅当a 或者"为幕零元，所以剩余类环乙狓］/（f 狓））中幕零元的计数问 题可以转化为特殊多项式计数问题，即系数公因子等于1的多项式的计数问题•2.1.3多项式计数函数我们沿用文献［6］的符号与定义.定义3［］欧拉函数＜p （n ）表示模”剩余类环中与”互素的元素个数，设”=狆（狆…狆狉，狆狆2,…，狆 为两两不同的素数,那么我们有下列计数公式（欧拉函数）：狊19” = ”n （1—狆｝i =l \ 狆犻定义4［］若正整数”含有平方因子，则莫比乌斯函数“（”）的值为零,否则定义为：烄 1, n = 1认n ）=烅〔（一11s ,n =狆狆…狆，定义5［7］设f （）是多项式环F ”狓］中的”次多项式,定义9（ f ）为犉狆狓］中次数小于n 且与f （）互 素的多项式的个数，并称之为广义欧拉函数.定义6广义欧拉函数认n,m,d ）为乙狓］中系数公因子等于犱且次数小于犿的多项式的个数.结论2关于广义欧拉函数认n,m,d ）有如下结论：2021年田东代：多项式剩余类环中幂零元计数问题研究第2期衣(”犿犱)=”犿.证明首先乙狓］中所有次数小于犿的多项式总数为"犿•另一方面，可根据多项式系数公因子对多项式进行分类，分类数与”的因子个数相同，而每一个分类中元素计数公式为0(”,犿犱)，根据组合分类相加原则得到EX”犿犱)=”犿，证毕．定理1乙狓］中系数公因子等于i且次数小于犿的多项式的个数为：<p(n,m,1)=E"(””)犿•d”证明引用经典组合反演公式证明.如果有两个整数函数F(u),G(u)满足求和公式G(”)—E F(d).d l”则组合反演公式为F()—E“(””)Gd).d l”根据组合反演公式可直接得到0(”,m,1)=E"(””)d m.推论1设”=p r，则0(”，m,1)—p犿—狆犿l jj.证明利用莫比乌斯函数“(””)定义知道，当d=p u,u<(r—1)时，有“(””)=0,当d=p u, u—(r—1)，“(””)=—1；当d=p u,u=r,(”)—1;代入定理1中的公式即得推论公式.2.2相关成果关于域上的多项式剩余类环中幕零元计数问题已得到完整解决，具体如下.定理2刀设”一p r p r…p,p：,2,…，p s为不同的素数，则剩余类环乙中幕零元计数公式为：犚”=p i—i)p2—i”・(p s—i)，式中0(”)是欧拉函数.定理3m f(.狓)—p j J(x(狓)…p s()是多项式环F p(狓)中的”次多项式，其中p S x),犻—1,2,・・・s是互异首1不可约多项式，则类环F p Q)/(fQ))中幕零元的个数为：Rf=p l,—3(p j(狓)p2(狓)…p s(狓)),其中3犵狓))表示多项式犵狓)的次数.定理4［7］设f(狓)—p J{x}p22狓…p s(狓)，狆犻狓),—1,2,…,s是互异的首1不可约多项式，so p©))=”犻”=E”r，贝Q10(f)=p”(一貴)(J-貴)・"(1-貴).利用此表达式可给出幕零元计数的另外一种形式.剩余类环F p狓)/f狓)中幕零元的个数为：Rf)=----------------------------------0(犳------------()(,p n J—1)(”—1)…(”—1)2021年荷泽学院学报第2期3主要结果3.1直和分解本节将利用剩余类环中元素分解表示的特性给出具体的直和分解方法，并以此为基础讨论局部环中幕零元的计数问题.3.1.1乙的直和分解结论3[1b设”=p r p r…p,那么乙的局部直和分解为：Z”=z p；丄+z p?+…+Z p r.证明利用中国剩余定理构造环同构映射0.对于乙中任意元素a，考虑同余方程组：a a i mod p丄丄………(1a=a s mod p r s定义映射0：a—(a丄，…,a‘)，其中a,是一个小于p的整数，那么由中国剩余定理可得映射0是一一对应，且易验证其保持加法和乘法运算，从而得到一个环同构.证毕.3.1.2Z”[x]/(f r)的直和分解利用结论3同样的方法可得到乙[x b/f(x)的局部环分解结构.定理5多项式剩余类环的直和分解为：Z”[x b/f(x)=Z p丄丄[x b/(f(x))+Z p?[x b/(f(x))+----+Z fs[x b/(f(x)),式中Z p,[x b/(f(x))是剩余类环的局部子环.证明利用广义中国剩余定理构造环同构映射0.对于乙[x b/(f(x))中任意元素犵狓)，考虑多项式同余方程组：g(x)=g i(x)mod p?………(2g(x)=g s(x)mod p狉定义映射0：g(x)―(g i(x)，…,gs(x)),g i(x)，…,gs(x)是多项式，那么由中国剩余定理可得多项式同余方程组有唯一解.事实上利用p r丄，…,p r两两互素的性质知道此时存在一组整数u，…，弘满足条件：p U1+--------------pU s=1由此可证同余方程组(2)有唯一解.于是映射0是一一对应.另外，易验证其保持加法和乘法运算，从而得到一个环同构．证毕．3.1.3Zr[x]/ff(x))的幂零元计数设f(x)系数公因子为1的m次多项式.若f(x)为不可约多项式，则剩余类环Zp"[x b/(f(x))中系数公因子为1的多项式是幕零元的充分必要条件为f(x)的倍式，即零多项式.因此，只考虑可约多项式为模的情况.弓I理1设f()系数公因子为1的m次多项式，若f()为不可约多项式的方幕，设f()=p(), d(p(x))=狋则Z^lxb/CfCx))中系数公因子为1的幕零元计数个数为p mtr—p mt).证明若"是幕零元，那么显然剩余类g X)的代表元多项式gxx)与不可约p()不能互素，因此有g(x)=p(x)g i(x)，其中g i(x)是次数不大于m—t的公因子为1的多项式，由定理1得知其计数公式为0(p,m—1,1)，再由推论1得出引理公式.定理6设f()=p1(x xp r2(x)…p s(),式中p*(),i=1,2,…，s是互异不可约多项式，则ZrLxb/Cfxx))中系数公因子为1的幕零元计数公式为：<p(p r,m—t,1)=pa—pa.2021年田东代：多项式剩余类环中幂零元计数问题研究第2期式中t=3狆1(x狆2(狓)…狆(狓)).证明利用引理1,可知若"是幕零元，那么显然剩余类"的代表元多项式可表示为：g()=P1(X狆2狓)…狆狓)g1(x),于是幕零元"的计数与公因子系数为1的多项式gX)的计数对应，根据定理1得知计数公式为9(p",m—t,1).定理得证.4结语本文构造了多项式剩余类环的局部直和分解,将剩余类环中幕零元计数问题归约为局部环中的计数问题，给出了具体计数表达式.所采用的代数分析思路与组合函数计数考虑虽源于传统经典组合论内容，但也充分利用了多项式可整除性，融合了一些巧妙的论证技巧,方法上的创新性对于有限局部环特殊元素计数问题具有一定的借鉴作用，尤其是对于有限局部环上编码理论的研究有着重要的积极意义.参考文献：[1]Nathan Jacobson.Basic Algebra I[M].San Francisco：W.H.Freeman Company,1985.[2]开晓山，朱士信.有限交换环上常循环码研究[J].大学数学，2016,32⑵：1-7.[3]唐高华，李玉，张恒斌，等.一类有零因子的有限环的结构[J].广西师范大学学报(自然科学版),2015,33(1):22-29.[4]冯克勤，廖群英•有限域及其应用[M].大连:大连理工大学岀版社,011.[5]WanZ X LecturesonFiniteFieldandGaloisRings[M]Singapore：WordScientific，2003：297-322[6]冯荣权，宋春伟.组合数学[M].北京:北京大学出版社,2011.[7]田东代.剩余类环中幂零元的个数与Euler函数[J].菏泽师专学报(自然科学版)，1989(2)：11-15.On the Enumeration of Nilpotent Elements in Polynomial Residual RingsTIAN Dong-dai(Heze Sports Training Center of Shandong Province,Heze Shandong274000,China)Abstract:In this paper,the isomorphic mapping between polynomial residue class ring and direct sum of local ring is constructed by using Chinese Remainder Theorem,and the corresponding direct sum de­composition is obtained.On this basis,the enumeration problem of nilpotent elements in general residue class rings is optimized.The concepts of generalized Euler function and common factor of polynomial coef-ficientsareintroduced Itproposesthecounting methodofrepresentativeelementsofresidueclasswith common factor of1.Finally,the counting expression of nilpotent elements in residue class rings of prime powerorderisgivenKeywords：nilpotentelement;inversionformula;directsumdecomposition;localring(责任编辑:王晓知)。

分 次 环01级 高媛鞍山师范学院数学系 114005引言：近年来，分次环已经成为研究其它类环的基本工具。

由于分次环的各种性质的分散不便于查找，本文阐述了分次环的几种性质相互关系及分次代数与分次环的关系。

1.基本概念这一节，我们介绍在本文中经常用到的基本概念。

一个有单位元的半群就称为Monoid ，以下用G 来表示Monoid ，其中单位元记作e 。

定义1.1设G 是个Monoid ，结合环R （未必有1）是G-分次环，如果x x GR R ∈=⊕，其中x R 是R 的加法子群{}x R x G ∈，且对于,x y G ∀∈有x y xy R R R ⊆。

其中x R ，x G ∀∈，称为x x GR R ∈=⊕的x-分量。

x G h(R)=x R ∈⋃中元素，称为R 的齐次元素，对于任意x x G a R R ∈∈=⊕，a 可以唯一地写成x x Ga a ∈=∑，其中x x a R ∈，且其中只有有限个0x a ≠，易见，e-分量e R 是R 的一个子环，如果R 有1时，e 1R ∈。

例如：令F 表示任何数域，G 表示非负整数集。

关于数的加法构成Monoid ，其单位元为0，则n 元多项式环12[,,]n x x GR F x x x R ∈==⊕为G-分次环其中0R F =。

对于任何自然数i,i R ={i 次齐次多项式}⋃{0}。

因为G 为有单位元的半群i R ={i 次齐次多项式}⋃{0}。

所以有对任意,,i x y z R ∈,有(())(())x y z x y z ∂++=∂++，得(x+y)+z=x+(y+z)。

可得i R 为半群，且i R 有单位元。

i y R ∀∈有逆-x ，则i R 为子加群。

i j ij R R R ⊆.显然，{0},i j R R i j ⋂=≠，则 x x GR R ∈=⊕为G-分次环。

定义1. 2，G-分次环x x GR R ∈=⊕的子环A 称为分次子环，如果()x x GA R A ∈=⊕⋂。

博士学位论文由幂等元和可逆元生成的相关环的结构STRUCTURE OF RINGS GENERATED BY IDEMPOTENTS AND UNITS李春娜2012年9月国内图书分类号：O153.3国际图书分类号：512学校代码：10213密级：公开理学博士学位论文由幂等元和可逆元生成的相关环的结构博士研究生：李春娜导师：游宏教授副导师：周毅强教授申请学位：理学博士学科：基础数学所在单位：数学系答辩日期：2012年9月授予学位单位：哈尔滨工业大学Classified Index:O153.3U.D.C.:512Dissertation for the Doctoral Degree in ScienceSTRUCTURE OF RINGS GENERATED BY IDEMPOTENTS AND UNITSCandidate:Li ChunnaSupervisor:Prof.You HongAssociate Supervisor:Prof.Zhou YiqiangAcademic Degree Applied for:Doctor of ScienceSpecialty:Fundamental MathematicsAffiliation:Department of MathematicsDate of Defence:September,2012Degree-Conferring-Institution:Harbin Institute of Technology摘要摘要在环论中，研究环中幂等元和可逆元常常被作为研究环的重要手段。

很多环正是根据其中元素与幂等元、可逆元的关系来确定其分类与命名的，例如布尔环、除环、clean环和2-good环等。

如果一个环可由其幂等元和可逆元生成，这类环往往都具有很好的性质，并可广泛应用于其他领域，具有较高的研究价值。

本文针对几类与幂等元、可逆元密切相关的环进行了讨论，主要包括满足GM条件的环、clean环和左p.p.环。

第四章环与域§1 环的定义一、主要容1．环与子环的定义和例子。

在例子中，持别重要的是效域上的多项式环、n阶全阵环和线性变换环，以与集M的幂集环．2．环中元素的运算规那么和环的非空子集S作成子环的充要条件：二、释疑解难1．设R是一个关于代数运算十，·作成的环．应注意两个代数运算的地位是不平等的，是要讲究次序的．所以有时把这个环记为(R，十，·)(或者就直接说“R对十，·作成一个环〞)．但不能记为R，·，十)．因为这涉与对两个代数运算所要求满足条件的不同．我们知道，环的代数运算符号只是一种记号．如果集合只有二代数运算记为 ，⊕，又R对 作成一个交换群，对⊕满足结合律且⊕对 满足左、右分配律，即就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序．2．设R对二代数运算十，·作成一个环．那么，R对“十”作成一个加群，这个加群记为(R,十)；又R对“·〞作成一个半群，这个乍群记为(R，·)．再用左、右分配律把二者联系起来就得环(R，十．·)．三、习题4．1解答1．2．3．4．5．6．7．8．证明：循环环必是交换环，并且其子环也是循环环．§4．2 环的零因子和特征一、主要容１．环的左、右零因子和特征的定义与例子．2．假设环R 无零因子且阶大于1，那么R 中所有非零元素对加法有一样的阶．而且这个一样的阶不是无限就是一个素数．这就是说，阶大于l 且无零因子的环的特征不是无限就是一个素数． 有单位元的环的特征就是单位元在加群中的阶．3．整环(无零因子的交换环)的定义和例子． 二、释疑解难 １．由教材关于零因子定义直接可知，如果环有左零因子，那么R 也必然有右零因子．反之亦然．但是应注意，环中一个元素如果是一个左零因子，那么它不一定是一个右零因子．例如，教材例l 中的元素⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001就是一个例子．反之，一个右零因子也不一定是一个左零因子．例如，设置为由一切方阵),(00Q y x y x ∈∀⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛对方阵普通加法与乘法作成的环．那么易知⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001是R 的一个右零因子，但它却不是R 的左零因子．2.关于零因子的定义．关于零因子的定义，不同的书往往稍有差异，关键在于是否把环中的零元也算作零因子．本教材不把零元算作零因子，而有的书也把零元算作零因子．但把非牢的零因子称做真零因子．这种不算太大的差异，读者看参考书时请留意．3．关于整环的定义．整环的定义在不同的书中也常有差异．大致有以下4种定义方法： 定义1 无零因子的交换环称为整环(这是本教材的定义方法)． 定义2 阶大于l 且无零因子的交换环，称为整环． 定义3 有单位元且无零因子的交换环，称为整环．定义4 阶大于1、有单位元且无零因子的交换环，称为整环．以上4种定义中，要求整环无零因子、交换是共同的，区别就在于是否要求有单位元和阶大于1．不同的定义方法各有利弊，不宜绝对肯定哪种定义方法好或不好．这种情况也许到某个时期会得到统一．但无论如何现在看不同参考书时应留意这种差异．本教材采用定义1的方法也有很多原因，现举一例。

有限交换环上的Chowla定理马宁;彭国华【摘要】设R=｛r0,r1,…,rn-1}是一个有限含幺交换环,若对于r0,r1,…,rn-1的任意排列s0,s1,…,sn-1都有{risi｜0≤i≤n-1｝≠R,则称R为M-环.讨论了M-环的基本性质,利用有限交换环的结构定理,得到了R为M-环的判定条件.这些结论将整数环上关于剩余系的Chowla定理推广到M-环上,进而统一证明了Chowla定理以及孙琦和旷京华给出的代数整数环上的Chowla定理.此外还给出有限交换环上置换多项式一个结论的简单证明.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(041)003【总页数】3页(P296-298)【关键词】完全剩余系;有限交换环;M-环;置换多项式【作者】马宁;彭国华【作者单位】四川大学数学学院,四川成都610064;四川大学数学学院,四川成都610064【正文语种】中文【中图分类】O151948年,Vijayaraghavan等[1]证明了一个关于整数环上的完全剩余系的定理：设整数q>2，r1,r2,…,rn和s1,s2,…,sn分别是模q的两组完全剩余系，则r1s1,r2s2,…,rnsn不是模q的完全剩余系．1954年，Coles等[2]利用数学归纳法又给出这一定理的一个简单证明．1987年，孙琦等[3]将这一定理推广到了Dedekind整环中．本文将Chowla定理推广到一般有限含幺交换环．为此，定义了M-环，还讨论了这类有限交换环的基本性质及判定的充要条件．设R={r0,r1,…,rn-1}是一个有限含幺交换环，始终假定r0=0，相应地r1,r2,…,rn-1是R中的全体非零元素．若s0,s1,…,sn-1是r0,r2,…,rn-1的任意一个排列且s0≠0, 则存在k≥1使得sk=0.此时r0s0=rksk=0，集合S={risi|0≤i≤n-1}至多含有n-1个元素，从而S≠R．这表明，只要R不是零环[4]，则总存在r0,r1,…,rn-1的一个排列s0,s1,…,sn-1，使得S≠R．对于集合S={risi|0≤i≤n-1}，是否总有S≠R成立？定义一个有限含幺交换环R为M-环，如果对于R中全体元素的任意一个排列s0,s1,…,sn-1，总有{risi|0≤i≤n-1}≠R．假设s0=0且R=Fq是q元有限域，q为一个素数的方幂，那么环R的乘法群注意到方程Xq-1-1=0的解集为R×，有若S=R，则必然有另一方面，所以q必为偶数．若q为2的方幂，即R=F2m，m是正整数，则Frobenius映射σ(x)=x2是R上的自同构．取si=ri，i=0,1,…,q-1，则有这表明R不是M-环．定理 1 有限域是M-环的充要条件是它的特征为奇数．设R=R1⊕R2⊕…⊕Rm是有限含幺交换环R的一个直和分解．对0≤i≤n-1，可以令ri=(ri1,ri2,…,rim)，si=(si1,si2,…,sim)，其中,rij,s ij∈Rj，1≤j≤m．所以S=R当且仅当Sj={rijsij|0≤i≤n-1}=Rj对每个1≤j≤m均成立．于是，有定理 2 设R为有限含幺交换环，则R是M-环的充要条件是其直和因子中至少有一个是M-环．如下的结构性质保障了可以将一般的有限交换环分解成一些小的环的直和．引理 1 任意有限含幺交换环可分解为有限交换局部环的直和．证明设R是一有限含幺交换环，P1,P2,…,Pm是R的全部素理想，则每个商环是有限整环，也是有限域．所以每个Pi是极大理想且i≠j时，Pi和Pj互素．故Pi∩Pj=P iPj．另一方面，R的幂零根所以R的Jacobson根但Nil(R)中的每个元素均为幂零元，J(R)是幂零理想．因此存在正整数t使得注意到i≠j时，理想和仍然互素．由交换环的中国剩余定理[4]，有≅⊕⊕…⊕即得R≅⊕⊕…⊕其中每个环是局部环，其极大理想为根据定理2和引理1，只需要讨论有限局部交换环何时是M-环．引理 2 若一个有限局部交换环不是域，则它是M-环．证明设R={r1,r2,…,rn}是有限局部交换环．若R不是M-环，则存在r1,r2,…,rn的一个排列s1,s2,…,s n使得S={risi|0≤i≤n}=R．设P是R的唯一极大理想且|P|=k，则R恰有k个不可逆元，且Jacobson根J(R)=P为幂零理想．因此存在正整数n0使得Pn0=(0)．不失一般性，可设r1,r2,…,rk∈P, rk+1,rk+2,…,rn∈R×,则必有s1,s2,…,sk∈P且sk+1,sk+2,…,sn∈R×．否则，若存在j0>k，sj0∈P，则有r1s1,r2s2,…,rksk,rj0sj0∈P且这些元素两两不同.这与R 恰有k个不可逆元的假设矛盾．于是P={r1s1,…,rksk}⊆P2，从而P=P2，故P=Pn0=(0)．这表明零理想是极大理想，R必为域，与假设矛盾．定理 3 设R为有限含幺交换环，则R是M-环的充要条件是R不能分解为特征为2的有限域的直和．证明由引理1，R=R1⊕R2⊕…⊕Rm，其中Ri(1≤i≤m)是有限交换局部环．若R不能被分解为特征为2的有限域的直和，则存在1≤i0≤m，使得Ri0不是域或者Ri0是奇特征的有限域．根据定理1和引理2，Ri0是M-环．再由定理2可知，R 是M-环．反之，若R是特征为2的有限域的直和，则由定理1和定理2可知，R不是M-环．注 1 若为剩余类环，其中Z为整数环，m≠2为正整数，则定理3就是整数环上的Chowla定理[1]．若OK是数域K的Dedekind整环，I为OK的理想且I≠P1P2…Ps，其中P1,P2,…,Ps为不同的素理想且每个Pi∩Z=2Z，则孙琦等在文献[3]中的结果，正是定理3中取时的特殊情况．注 2 根据定理1，奇特征的有限域是M-环，但奇特征并不是得到M-环的必要条件．换句话说，特征为2的有限交换环也可能是M-环．例如，设环它的特征显然为2，且有唯一的非零极大理想(X)mod(X3)，从而R是局部环，但不是域．根据引理2，R是M-环．下面考虑定理3在置换多项式方面的应用．环R上的多项式f(X)∈R[X]称为R的置换多项式，如果对应的多项式函数f:R→R诱导出R中元素的一个置换．有关有限交换环上的置换多项式及其应用的讨论，可参考文献[5-10]．因为一个置换多项式可以产生环中元素的一个置换，所以立即得到以下推论.推论 1 M-环上的两个置换多项式的乘积不再是置换多项式．参考文献[1] VIJAYARAGHAVAN T, CHOWLA S. On complete residue sets[J]. Q J Math,1948,19(1)：193-199.[2] COLES W, OLSON F. A note on complete residue systems[J]. Am Math Monthly,1954,61(9)：662-622.[3] 孙琦，旷京华. 关于代数数域中的完全剩余系[J]. 数学学报,1987,30(2)：226-228.[4] ATIYAH M, MACDONALD I. Introduction to commutative algebra[M]. New Jersey:Addison-Wesley,1969.[5] BINI G, FLAMINI F. Finite commutative rings and their applications[M]. New York: Spring Science and Business Media,LLC,2002.[6] 孙琦,万大庆. 置换多项式及其应用[M]. 沈阳:辽宁教育出版社,1987.[7] LIDL R, NIEDERREITER H. Finite Fields[M]. Encyclopedia Math Appl 20.Cambridge:Cambridge Univ Press,1997.[8] COHEN S D. Permutation Group Theory and Permution Polynomials in Algebras and Combintorics[M]. Hong Kong:Springer-Verlag,1997.[9] FRISCH S. Polynomial functions on finite commutative rings[M]. Lecture Notes in Pure and Appl Mathematics 205.New York:Dekker,1999.[10] ZHANG Q. Polynomial functions and permutation polynomials over some finite commutative rings[J]. J Number Theory,2004,105(1):192-202.。

nil-α-相容环魏杰;董珺【摘要】给出nil-α-相容环的定义,讨论nil-α-相容环与相关环之间的关系.研究nil-α-相容环的相关性质和基本扩张.特别地,推广已有的相关结论.【期刊名称】《兰州理工大学学报》【年(卷),期】2015(041)001【总页数】6页(P154-159)【关键词】nil-α-相容环;α-相容环;α-刚性环;nil-半交换环;α-skew π-Armendariz 环【作者】魏杰;董珺【作者单位】兰州工业学院基础学科部,甘肃兰州730050;兰州工业学院基础学科部,甘肃兰州730050【正文语种】中文【中图分类】O153.3文中所有的环都是指有单位元的结合环.称R为约化环，如果没有非零幂零元.设α是R的自同态，称α是环R的刚性自同态，如果aα（a）＝0，则有a＝0，a∈R.称R为α-刚性环，如果R存在刚性自同态α.已知α-刚性环是约化环.称环R为α-相容环，如果对任意的a，b∈R，若ab＝0，则aα（b）＝0.已知R是α-刚性环当且仅当R是约化的α-相容环.本文中，对环的自同态α和任意的a，b∈R，考虑如下条件：若ab∈nil（R），则aα（b）∈nil（R）.显然，α-刚性环及α-相容环满足此性质.因此称具有此性质的环为nil-α-相容环.例1说明nil-α-相容环不一定是α-相容环（α-刚性环）.本文，讨论nilα-相容环与α-相容环，α-刚性环，约化环，阿贝尔环的关系.研究此类环的相关性质和其上的矩阵环，多项式环，平凡扩张等.讨论在nil-半交换条件下，nilα-相容环与α-skewπ-Armendariz环的关系.推广半交换环与弱α-skew Armendariz环的相关结论.文中采用记号nil（R）表示R的幂零元集.1 基本概念及性质定义1 称环R是nil-α-相容环，如果对任意的a，b∈R，若ab∈nil（R），则aα（b）∈nil（R）.显然，nil-α-相容环的不变子环是nil-α-相容环.由定义可看出，α-相容环（因此α-刚性环）是nil-α-相容环.例1说明nil-α-相容环不一定是α-相容环（α-刚性环）.例1 设，其中Z，Q分别是整数环和有理数环.定义α：R→R为则α是R 的自同构.由文献［1］中例1，R不是α-刚性环.1）R 是nil-α-相容环.令∈nil（R），则a＝0或b＝0.若a＝0，则∈nil（R）.若b＝0，则同理可证.2）R不是α-相容环.事实上，取A＝∈R，则Aα（B）＝0.但AB≠0.注意到α-刚性环是约化环.自然会猜想nil-α-相容环是约化环.但例2否定了这一点. 例2 设R是α-刚性环.令设α是R的自同态，将α扩张为R4上的自同态：（aij）＝（α（aij）），则R4 是nil-相容环.但R4 不是约化环.证明由于R是α-刚性环，故R是α-相容环，从而R 是nil-α-相容环.注意到Rn是Tn（R）的子环，故由定理1可知对任意n，Rn是nil-α--相容环.但由文献［2］中例1.3，R4不是半交换环，因此R4不是约化环.同样，通过例3可得约化环不一定是nil-α-相容环.例3 令R＝Z2⊕Z2，其中Z2是整数模2环.则R是交换的约化环.定义α：R→R为α（（a，b））＝（b，a），则α是R 的自同构.但R不是nil-α-相容环.事实上，（1，2）（2，1）＝（0，0）∈nil（R），但命题1 设α是环R的一个单同态.则R是α-刚性环当且仅当R是约化的nil-α-相容环.证明只需证充分性：设R是约化的nil-α-相容环.对任意的a∈R，若aα（a）＝0，则由R是nil-α-相容环得α（a）∈nil（R）.由于R 是约化环，故α（a）＝0.而α是R的单同态.从而a＝0，即R是α-刚性环.推论1 R是α-刚性环当且仅当R是约化的α-相容环.例1及下面例子表明条件“R是约化环”和“α是单同态”不是多余的.例4 设F是域，R ＝F［x］是F上的多项式环.定义α：R→R为α（f（x））＝f （0），f（x）∈R.则R是交换整环，从而是约化环且α不是单同态.若f（x）g （x）∈nil（R），f（x），g（x）∈R，则由R 是约化环可得f（x）g（x）＝0.从而f（x）＝0或g（x）＝0，因此f（x）＝0或α（g（x））＝0.故有f（x）α（g（x））＝0∈nil（R），即R是nil-α-相容环.但R不是α-刚性环.因为对0≠f （x）∈R有f（x）α（f（x））＝0.引理1 设R是nil-α-相容环且对任意a，b∈R，有以下几条成立：1）若ab∈nil（R），则对任意的正整数m，n，有aαm（b）∈nil（R），αn （a）b∈nil（R）.2）若存在正整数k，使得αk（a）b∈nil（R），则ab∈nil（R）.3）若存在正整数t，使得aαt（b）∈nil（R），则ab∈nil（R）.证明可由定义直接验证.命题2 设R是nil-α-相容环且nil（R）是R的理想.则对R的任意中心幂等元e，有α（e）＝e.证明设e2＝e∈R是中心的，则有e（1-e）＝0，故由引理1，α（e）（1-e）∈nil（R）.因此存在正整数k使得0＝（α（e）（1-e））k＝α（e）（1-e）.从而有α（e）＝α（e）e.同理可得，（1-e）e＝0，α（1-e）e＝0，所以α（e）e ＝e，从而α（e）＝e.命题3 设R是阿贝尔环（幂等元都是中心的）且α（e）＝e，e2＝e∈R.则以下等价：1）R 是nil-α-相容环.2）eR 和（1-e）R 都是nil-α-相容环.证明 1）⇒2）显然.2）⇒1）设a，b∈R使得ab∈nil（R）.则eab∈nil（R），（1-e）ab∈nil （R）.由于eR 和（1-e）R 都是nil-α-相容环，故存在正整数m和n使得设k＝Max｛m，n｝，则因此（aα（b））k＝0，aα（b）∈nil（R）.从而R 是nil-α-相容环.推论2 设α环R 的自同态且e1，e2，…，en是R的正交中心幂等元使得α（ei）＝ei，i＝1，2，…，n.则R 是nil-α-相容环⇔eiR 是nil-α-相容环.2 nil-α-相容环的扩张设α是R的自同态，Tn（R）表示R上的n×n上三角矩阵环.定义α-：Tn（R）→Tn（R）为定理1 设α是R的自同态.则以下等价：1）R 是nil-α-相容环.2）对任意的正整数n，Tn（R）是nil--相容环.证明只需证1）⇒2）.设使得AB∈nil（Tn（R））.则存在正整数m 使得因此，aiibii∈nil（R），1≤i≤n.由于R 是nil-α-相容环，故存在正整数ki 使得（aiiα（bii）＝0.令k＝max｛ki｝，1≤i≤n.则（B））k ＝从而，（A（B））km∈nil（Tn（R））.即Tn（R）是nil-相容环.推论3 环R是nil-α-相容环当且仅当对任意的正整数n，R［x］／（xn）是 nil--相容环.其中（xn）表示R［x］中由xn生成的理想.证明注意到R［x］／（xn）同构于环其中，ai∈R，i＝0，1，…，n-1.又S 是Tn（R）的子环，所以由定理1知结论成立.自然要问，nil-α-相容环上的全矩阵环是否是nil-相容环？下面例子否定了这一点：例5 设Z是整数环且Mat2（Z）是Z上的2×2全矩阵环，则Z是nil-α-相容环.定义α：R→R为显然α是一个环同态.注意到但是不是幂零元.因此 Mat2（Z）不是nil-相容环.给定一个环和双模RMR.R通过M 的平凡扩张是环T（R，M）＝R⊕M，其运算是通常的加法和如下的乘法：（r1，m1）（r2，m2）＝（r1r2，r1m2＋m1r2）.T（R，M）与所有形如的矩阵构成的环同构，r∈R，m∈M.运算按通常矩阵的运算.令α是环R的自同态，T（R，R）是平凡扩张.可将α扩张为T（R，R）上的自同态：T（R，R）→T（R，R）推论4 设α是环R 的自同态.则T（R，R）是nil-相容环当且仅当R 是nil-α-相容环.3 nil-α-相容环与相关环的关系文献［3］中，称环R 是α-skewπ-Armendariz环，如果使得则对任意0≤i≤m，0≤j≤n有aiαi（bj）∈nil（R）.文献［4］中，称R 是nil-半交换环，如果对任意a，b∈nil（R），若ab＝0，则aRb＝0.显然，半交换环是nil-半交换环，文献［4］中例子表明反之不然.令Ⅰ是环R 的理想，对于R的自同态α，若α（Ⅰ）⊆Ⅰ，则：R／Ⅰ→R／Ⅰ，α-（a＋Ⅰ）＝α（a）＋Ⅰ是商环R／Ⅰ的自同态.由文献［5］中的例5知，当R／Ⅰ和Ⅰ都是半交换环时R不一定是半交换环，但文献［6］中定理3.6表明R却是弱Armendariz环.事实上，更一般地，可证明若R是nil-α-相容环，Ⅰ是环R 的nil-半交换理想且满足α（Ⅰ）⊆Ⅰ使得R／Ⅰ是α--skewπ-Armendariz环，则R是α-skewπ-Armendariz环.引理2［4］设R 是nil-半交换环.则nil（R）是R的理想.定理2 设R是nil-α-相容环，若Ⅰ是环R的nil-半交换理想且满足α（Ⅰ）⊆Ⅰ使得R／Ⅰ是-skewπ-Armendariz环，则R 是α-skewπ-Armendariz环.证明令使得则从而另一方面，注意到满足：故由R／Ⅰ是-skewπ-Armendariz环知对任意i，j，存在nij∈N 使））nij＝0，即（aiαi（bj））nij∈Ⅰ.下证对于任意i，j有aiαi（bj）∈nil（R）.为此对i＋j 运用数学归纳法.易知a0b0∈nil（R）.即结论对i＋j＝0成立.假设存在1≤k≤m＋n使得当i＋j＜k时aiαi（bj）∈nil（R），下证当i＋j＝k时，aiαi（bj）∈nil （R）.令p＝n0k，则（a0bk）p∈Ⅰ.由归纳假设知a0bk-1∈nil（R），从而由R 是nil-α-相容环知：令（a0α（bk-1））t＝0，则（α（bk-1）a0）t＋1＝0.因此因为并且bk （a0bk）pa1∈Ⅰ，故即继续这一过程，可知：即因此类似地由引理1可得由引理2知nil（Ⅰ）是Ⅰ的理想，故对公式∈ nil（R），从右边同乘以（a0bk）p＋1 可得即从而a0bk∈nil（R）.令q＝n1，k-1，则（a1α（bk-1））q∈Ⅰ.类似于上述证明可得假设（a0bk）s＝0，则（a0bk）s （a1α（bk-1））q＋1 ＝0.由（a0α（bk-1）q∈Ⅰ且Ⅰ 是nil-半交换的，故即因此从公式∈ nil（R）的右边同乘以（a1α（bk-1））q＋1 得即a1α（bk-1）∈nil（R）.类似地，可证a2α2（bk-2）∈nil（R），…，akαk （b0）∈nil（R）.因此当i＋j＝k时aiαi（bj）∈nil（R）.故对任意0≤i≤m，0≤j≤n有aiαi（bj）∈nil（R）.即R 是α-skewπ-Armendariz环.下面说明nil-α-相容环，nil-半交换环不一定是α-skewπ-Armendariz环.注1 令R＝Z2⊕Z2，其中Z2是整数模2环.则R是半交换环，从而是nil-半交换环.且在例3中，证明了R是nil-α-相容环.但R不是α-skewπ-Armendariz环.事实上，取p＝（1，0）＋（1，0）x，q＝（0，1）＋（1，0）x∈R［x；α］，虽然pq∈nil（R）［x；α］，但有（1，0）α（（0，1））＝（1，0）∉nil （R）.即R 不是αskewπ-Armendariz环.有下面结论：定理3 设R是nil-α-相容环.若R是nil-半交换环，则R是α-skewπ-Armendariz 环.证明令使得则从而以下将证对于任意i，j有aiαi（bj）∈nil（R）.为此对i＋j运用数学归纳法证明.易知a0b0∈nil（R），即结论对i＋j＝0成立.假设存在1≤k≤m＋n使得当i＋j＜k时aiαi（bj）∈nil（R），下证当i＋j＝k时，aiαi（bj）∈nil（R）.注意到由归纳假设知对于u＋s＜k有asαs（bu）∈nil（R），从而由引理1知，对任意非负整数ω有即αω＋s（bu）as∈nil（R）.从式（1）的右边同乘以a0，得a0bka0＋a1α（bk-1）a0＋… ＋akαk（b0）a0 ∈nil（R）则由引理2知a0bka0∈nil（R），从而a0bk∈nil（R）.另一方面，从式（1）的右边同乘以a1，可得a0bka1＋a1α（bk-1）a1＋… ＋akαk（b0）a1 ∈nil（R）注意到引理1，有即a1α（bk-1）∈nil（R）.继续这一过程，可知i＋j＝k时aiαi（bj）∈nil（R）.从而，对于任意0≤i≤m，0≤j≤n有aiαi（bj）∈nil（R）.即R是α-skewπ-Armendariz环.已知半交换环是弱Armendariz环.α-刚性环是弱α-skew Armendariz环.引理3 设R是nil-半交换的α-相容环且若a0，a1，…，an∈nil（R），则f（x）∈nil（R［x；α］）.证明假设＝0，i＝0，1，…，n.记k＝m0＋m1＋…＋mn＋1.则有其中aij∈｛a0，a1，…an，j＝1，…k.考虑易知存在at∈｛a0，a1，…an ｝使得在式（2）中at出现的次幂大于mt，现不妨令在式（2）中at出现的次数为j1＋j2＋…＋jl（＞mt），则可将式（2）写成其中p1，p2，…，pq≥0且bi 是（aij）｜aij≠a0，j＝1，…，k｝中的一些元素的乘积或等于1.因为＋j2＋…＋jl ＝0.并且R是nil-半交换的α-相容环，从而nil （R）是R的理想.故有从而因此即f（x）∈nil（R［x；α］）.设α是R的自同态.定义α-：R ［x］→R ［x］为显然是 R ［x］的自同态.由诱导的 R ［x］／（xn）的子同态也记为α-.Hong ［9］等在命题8中证明了若R是α-刚性环，则 R ［x］／（xn）是-skew Armendariz环.对于弱α-skew Armendariz环，可得下面结论.定理4 设R是nil-半交换的nil-α-相容环.则对任意正整数n，R ［x］／（xn）是-skewπ-Armendariz环.证明用u表示 R ［x］／（xn）中的元素，则其中u和R中的元素可交换且有un＝0.设f，g∈R ［u ］［y］使得fg∈nil（R ［u］）［y；］假设其中因为fg∈nil（R［u］）［y］，所以在R ［y；］中有其中对s＋t做数学归纳法证明.对任意的0≤i≤p，0≤j≤q和任意的s，t，当s＋t＝0，1，…n-1时，有）∈nil（R）.若s＋t＝0，则s＝t＝0.即u0v0＝0.由定理2有）∈nil（R），0≤i≤p，0≤j≤q现在假设对任意的0≤i≤p，0≤j≤q和任意的s，t，当s＋t＜k时，有）∈nil（R），k≤n-1.下证对任意的0≤i≤p，0≤j≤q和任意的s，t，当s＋t＝k 时，有）∈nil（R）.从公式u0vk＋u1vk-1＋…＋ukv0＝0，可得如果s≥1，则k-s＜k.因此，由归纳假设∈nil（R）.由于R是nil-半交换及引理2有且给公式∈nil（R）右乘以，则有从而∈nil（R）.给公式右乘以，则有∈nil（R）.同理可证∈nil（R），…∈nil （R）.因此对任意的s，t，当s＋t＝k以及对任意的0≤i≤p，0≤j≤q满足i＋j＝0时，有）∈nil（R）.假设l≤p＋q时，对任意的s，t满足s＋t＝k时以及对任意的0≤i≤p，0≤j≤q满足i＋j＜l时）∈nil（R）.下证对任意的s，t满足s＋t＝k时以及对任意的0≤i≤p，0≤j≤q满足i＋j＝l时，有）∈nil（R）.若t＜k，则由归纳假设，nil（R），故由引理1，对任意的非负整数）∈nil（R）.因此∈nil（R）.如果i≥1，则l-i＜l.由对p＋q的归纳假设可得，对任意的i≥1∈nil（R），这样对任意的非负整数r，有）∈nil（R）.因此给公式右乘以.则由引理1和引理2可得nil（R）.所以∈nil（R）.同理可证对任意的s，t 满足s＋t＝k时以及对任意的0≤i≤p，0≤j≤q满足i＋j＝l时，有）∈nil（R）.因此由归纳假设，对任意的0≤i≤p，0≤j≤q和任意的s，t，当满足s＋t＝0，1，…，n-1时nil（R）.又因为由引理2，有再由引理3，即证明 R ［x］／（xn）是-skewπ-Armendariz环.已知R是强正则环当且仅当R是半素的半交换左（或右）P-内射环.文献［7］中给出（J，K）-（m，n）-内射环的定义，是否可得下面结论：R是强正则环当且仅当R是半素的半交换右（J，K）-（m，n）-内射环.致谢：本文得到兰州工业学院科技计划项目（10K-11）的资助，在此表示感谢. 参考文献：［1］ HONG C Y，KIM N K，KWAK T K.On skew armendariz rings［J］.Comm Algebra，2003，31（1）：103-122.［2］ KIM N K，LEE Y.Extensions of reversible rings［J］.J Pure Appl Algebra，2003，185：207-223.［3］ HABIBI M，MOUSSAVI A.On nil skew armendariz rings［J］.A-sian-European Journal of Mathematics，2012，5（2）：1-16.［4］ MOHAMMADI R，MOUSSAVI A，ZAHIRI M.On nil-semicommutative rings［J］.International Electronic J of Algebra，2012，11：20-37.［5］ HUH C，LEE Y，SMOKTUNOWICZ A.Armendariz rings and semicommutative rings［J］.Comm Algebra，2002，30（2）：751-761. ［6］ LIU Z K，ZHAO R Y.On weak armendariz rings［J］.Comm Algebra，2006，34（7）：2607-2616.［7］董珺，祁忠斌.（m，n）-内射环的推广［J］.兰州理工大学学报，2008，34（3）：168-171.。

强诣零Armendariz环崔书英【摘要】结合环尺称为强诣零Armendariz的如果对于R[x]中任意两个多项式f(x),g(x)当f(x)g(x)∈Nil*+(R)[x]时,有ab∈Nil*(尺),这里a,b分别是f(x),g(x)的任何系数,而N*(R)为R的素根.证明了强诣零Armendariz环R的素根与上诣零根一致;强诣零Armendariz环足诣零Amlendariz环;证明了R是强诣零Amaendariz 环当且仪当R的每个子环是强诣零Armendariz环,当且仪当R的多项式环R[x]是强诣零Armendariz环,当且仪当R的上三角矩阵环Tn(R)是强诣零Armendariz 环;R是强诣零Armendariz环当且仪当R/Nil*(R)是Armendariz环.并推广了弱Armendariz环的两个结果.【期刊名称】《邯郸学院学报》【年(卷),期】2010(020)003【总页数】5页(P30-34)【关键词】Armendariz环;诣零Armendariz环;强诣零Armendariz环;弱Armendariz环【作者】崔书英【作者单位】山东工商学院数学与信息科学学院,山东,烟台,264005【正文语种】中文【中图分类】O1531 引言本文中的环如无特别声明指含有单位元的结合环而子环未必含有单位元。

我们用N(R)表示环R的幂零元的集合 ,Nil*(R)表示R的素根 ,Nil*(R)表示R的上诣零根。

环R上的n阶全矩阵环记为Mn (R),而n阶上三角矩阵环记为Tn(R),R的多项式环则表示为R[x]。

令I是环R的理想我们用表示f(x)在R/I[x]中的标准同态像，其中环R称为Armendariz的，如果对任意的f (x),g(x)∈ R[x]当 f(x)g(x)=0时有ab=0其中a,b分别是 f (x),g(x)的任意系数。

有很多文章研究Armendariz环及其它的推广。

循环环的幂等元在计算机科学中，幂等性是一个重要的概念。

幂等操作是指无论执行多少次，结果都是一样的操作。

循环环的幂等元是指在循环环中，存在一个元素，对其进行多次操作后，结果仍然保持不变。

想象一下，你身处一个迷宫中，迷宫中的房间构成了一个循环环。

你手里拿着一把钥匙，这把钥匙可以解开迷宫中的门。

你希望找到一个房间，对其进行多次操作后，房间的状态不会改变。

这样，你就可以利用这个房间来进行休息或者处理其他事务，而不用担心房间的状态发生变化。

你开始探索迷宫，经过了一个又一个房间。

你发现了一个特殊的房间，这个房间有一个魔法力量，使得对其进行多次操作后，房间的状态保持不变。

你感到非常惊喜，因为这意味着你找到了循环环中的幂等元。

在这个幂等元所在的房间中，你可以安心地休息一段时间。

你可以在这里补充体力，思考下一步的计划，或者进行其他有趣的活动。

无论你在这个房间中停留多久，房间的状态都不会发生任何改变。

这个幂等元的存在让你感到无比幸运。

在迷宫中找到一个稳定的地方，对你来说意味着不再感到迷茫和无助。

你可以利用这个房间来重新组织思路，重新规划行动路线。

在这个幂等元所在的房间里，你感受到了一种安宁和舒适。

你可以放下所有的负担，尽情享受这个短暂的宁静时刻。

在这里，你可以暂时忘记迷宫的复杂和不确定性，专注于自己内心的平静和宁愿。

然而，你也明白，这个幂等元只是迷宫中的一小部分。

在其他的房间里，你仍然需要面对各种挑战和困难。

但是，你有了这个幂等元的支持，你更加坚定和自信。

你决定离开这个幂等元所在的房间，继续你的探索之旅。

你带着对幂等元的感激和敬畏之情，继续向前。

你知道，无论遇到多少困难和挫折，你都可以找到一片稳定的土地，暂时停下脚步，重新调整自己。

循环环的幂等元是迷宫中的一抹亮色，是你在无数次尝试和失败后的希望和激励。

它让你相信，无论面对多少困难，你都可以找到稳定和安全的地方。

这个幂等元的存在，让你在迷宫中找到了一丝希望和勇气。

无论是在计算机科学中，还是在现实生活中，我们都需要循环环的幂等元。