八年级数学特殊三角形单元测试1

第二章特殊三角形单元测试一、单选题（共10题；共30分）1、已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A、25海里B、30海里C、35海里D、40海里2、如图，在平面直角坐标系中，点P（﹣1，2）关于直线x=1的对称点的坐标为（）A、（1，2）B、（2，2）C、（3，2）D、（4，2）3、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若BC=9，CD=3，则△ADB的面积是（）A、27B、18C、18D、94、如图所示，∠C=∠D=90°添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（）A、AC=ADB、AB=ABC、∠ABC=∠ABDD、∠BAC=∠BAD5、在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（）A、75°B、60°C、45°D、30°6、对于命题“如果a＞b＞0，那么a2＞b2．”用反证法证明，应假设（）A、a2＞b2B、a2＜b2C、a2≥b2D、a2≤b27、图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中正方形顶点A、B在围成的正方体中的距离是（）A、0B、1C、D、8、用反证法证明命题：“如图，如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF”，证明的第一个步骤是（）A、假定CD∥EFB、已知AB∥EFC、假定CD不平行于EFD、假定AB不平行于EF9、如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M 是OP的中点，则DM的长是（）A、2B、C、D、10、在△ABC中，∠B=90°，若BC=a，AC=b，AB=c，则下列等式中成立的是（）A、a2+b2=c2B、b2+c2=a2C、a2+c2=b2D、c2﹣a2=b2二、填空题（共8题；共24分）11、用反证法证明“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设 ________12、在△ABC和△MNP中，已知AB=MN，∠A=∠M=90°，要使△ABC≌△MNP，应添加的条件是 ________ ．（只添加一个）13、如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm（茶杯装满水），则a的取值范围是________14、如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行________ 米．15、如图是一段楼梯，高BC是3米，斜边AC是5米，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯________米．16、如图所示的一块地，已知∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=25m，BC=20m，则这块地的面积为________ m2．17、在如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形的边长为7cm，则正方形a，b，c，d的面积之和是________ cm2．18、如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为60和38，则△EDF的面积为________．三、解答题（共5题；共40分）19、已知直线m、n是相交线，且直线l1⊥m，直线l2⊥n．求证：直线l1与l2必相交．20、在一个直角三角形中，如果有一个锐角为30度，且斜边与较小直角边的和为18cm，求斜边的长．21、如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东30°的方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东60°的方向以每小时6海里速度前进，两小时后，甲船到M岛，乙船到N岛，求M岛到N岛的距离．22、如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，AC=5cm，将△ABC折叠，使点C与A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于多少cm？23、如图所示，△ABC中，D为BC边上一点，若AB=13cm，BD=5cm，AD=12cm，BC=14cm，求AC的长．四、综合题（共1题；共6分）24、如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AB=16，BC=12．(1)△ABD与△CBD的面积之比为________；(2)若△ABC的面积为70，求DE的长．答案解析一、单选题1、【答案】D【考点】勾股定理的应用【解析】【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了32，24．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离。

浙教版2020八年级数学上册第二章特殊三角形单元综合能力测试题1（附答案详解）1．如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（）A．24πB．22πC．1 D．22．已知一元二次方程x2﹣6x+9=1的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为（）A．10 B．10或8 C．9 D．83．等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的底角为（）A．65°B．65°或80°C．50°或65°D．40°4．以下列选项中的数为长度的三条线段中，不能组成直角三角形的是（）A．5，12，13 B．8，15，17 C．3，4，7 D．6，8，10 5．下边的图案是由下面五种基本图形中的两种拼接而成，这两种基本图形是（）A．②⑤B．②④C．③⑤D．①⑤6．下列几组数中，为勾股数的是（）A．13，14，15B．3，4，6C．5，12，13D．0.9，1.2，1.57．O是等边△ABC内的一点，OB=1，OA=2，∠AOB=150°，则OC的长为（）A3B5C7D．38．下列三个命题：①对顶角相等；②全等三角形的对应边相等；③如果两个实数是正数，它们的积是正数.它们的逆命题成立的个数是( )A．0个B．1个C．2个D．3个9．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A 在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动．在运动过程中，点B到原点的最大距离是( ).A．6B．26C．22＋2D．2510．如图，一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是（）A．2B．3C．5D．211．在镜中看到的一串数字是“80008”，则这串数字是______________12．在∠A（0°＜∠A＜90°）的内部画线段，并使线段的两端点分别落在角的两边AB、AC 上，如图所示，从点A1开始，依次向右画线段，使线段与线段在两端点处互相垂直，A1A2为第1条线段.设AA1=A1A2=A2A3=1，则∠A =_____；若记线段A2n-1A2n的长度为a n（n为正整数），如A1A2=a1,A3A4=a2，则此时a2=_______，a n=________（用含n的式子表示）.13．轴对称图形对应点连线被________，对应角对应线段都________．14．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的腰边长为_____cm.．15．在△ABC中，AB=2，AC=3，cos∠ACB=22，则∠ABC的大小为________度．16．如图所示的一块地，已知∠ADC＝90°，AD＝12m，CD＝9m，AB＝25m，BC＝20m，则这块地的面积为____________ .17．如图，在凸四边形ABCD 中，AB=BC=BD ，∠ABC=80°，则∠ADC 等于_______18．已知点P （x ，x+y ）与点Q （5，x ﹣7）关于x 轴对称，则点P 的坐标为_____． 19．如图①，在边长为4cm 的正方形ABCD 中，点P 以每秒2cm 的速度从点A 出发，沿AB BC →的路径运动，到点C 停止.过点P 作PQ //BD ，PQ 与边AD(或边CD)交于点Q ，PQ 的长度()y cm 与点P 的运动时间x(秒)的函数图象如图②所示.当点P 运动2.5秒时，PQ 的长度是______cm ．20．如图，长方体ABCD —A 1B l C l D 1中，AD ＝3，AA l ＝4，AB ＝5，则从A 点沿表面到C l 的最短距离为______．21．如图，ABC 中，AB AC =，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 上的点，且BD CE =，DEF B ∠=∠．（1）求证：BDE ≌CEF ；（2）若40A ∠=，求EDF ∠的度数．22．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观察，距沿海某城市A正南220千米的B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心正以15千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心风力不变，若城市受到的风力达到或超过四级，则称受台风影响．（1）该城市是否会受到这次台风的影响？为什么？（2）若受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？23．在如图所示的5×5网格中，小方格的边长为1.(1)图中格点正方形ABCD的面积为________；(2)若连接AC，则以AC为边的正方形的面积为________；(3)在所给网格中画一个格点正方形，使其各边都不在格线上且面积最大，你所画的正方形面积为_____．24．在平面直角坐标系中，，点在第二象限的角平分线上，、的垂直平分线交于点.（1）求证：；（2）设交轴于点，若，求点的坐标；（3）作交轴于点，若，求点的坐标.25．如图，D 是△ABC 的BC 边上的一点，∠B =40°，∠ADC=80°．（1）求证：AD=BD ；（2）若∠BAC=70°，判断△ABC 的形状，并说明理由．26．如图1，已知A （a ，0），B （0，b ）分别为两坐标轴上的点，且a 、b 满足2)60a b b -+-=（，OC ∶OA =1∶3．（1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）若D （1，0），过点D 的直线分别交AB 、BC 于E 、F 两点，设E 、F 两点的横坐标分别为E F x x 、．当BD 平分△BEF 的面积时，求E F x x +的值；（3）如图2，若M （2，4），点P 是x 轴上A 点右侧一动点，AH ⊥PM 于点H ，在HM 上取点G ，使HG =HA ，连接CG ，当点P 在点A 右侧运动时，∠CGM 的度数是否改变？若不变，请求其值；若改变，请说明理由．27．如图，隧道的截面由半圆和长方形构成，长方形的长BC 为8m ，宽AB 为1m ，该隧道内设双向行驶的车道（共有2条车道），若现有一辆货运卡车高4m ，宽2.3m ．则这辆货运卡车能否通过该隧道？说明理由．28．如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A、B 是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是多少米？参考答案1．C【解析】【分析】连接OC ，作PE ⊥AB 于E ，MH ⊥AB 于H ，QF ⊥AB 于F ，如图，利用等腰直角三角形的性质得，∠A=∠B=45°，OC ⊥AB ，OC=OA=OB=1，∠OCB=45°，再证明Rt △AOP ≌△COQ 得到AP=CQ ，接着利用△APE 和△BFQ 都为等腰直角三角形得到PE=2AP=2CQ ，QF=2BQ ，所以PE+QF=2BC=1，然后证明MH 为梯形PEFQ 的中位线得到MH=12，即可判定点M 到AB 的距离为12，从而得到点M 的运动路线为△ABC 的中位线，最后利用三角形中位线性质得到点M 所经过的路线长．【详解】连接OC ，作PE ⊥AB 于E ，MH ⊥AB 于H ，QF ⊥AB 于F ，如图，∵△ACB 为到等腰直角三角形，∴AC=BC=2，∠A=∠B=45°， ∵O 为AB 的中点，∴OC ⊥AB ，OC 平分∠ACB ，OC=OA=OB=1，∴∠OCB=45°， ∵∠POQ=90°，∠COA=90°， ∴∠AOP=∠COQ ，在Rt △AOP 和△COQ 中A OCQ AO COAOP COQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴Rt △AOP ≌△COQ ，∴AP=CQ ，易得△APE 和△BFQ 都为等腰直角三角形，∴，BQ ，∴PE+QF=2（CQ+BQ）=2BC=22=1，∵M点为PQ的中点，∴MH为梯形PEFQ的中位线，∴MH=12（PE+QF）=12，即点M到AB的距离为12，而CO=1，∴点M的运动路线为△ABC的中位线，∴当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长=12AB=1，故选C．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、梯形的中位线、点运动的轨迹，通过计算确定动点在运动过程中不变的量，从而得到运动的轨迹是解题的关键. 2．A【解析】【分析】先求得方程的两根，再把方程两根分别为底可求得三角形的三边长，即可求得答案．【详解】解方程x2−6x+9=1可得x=2或x=4，当△ABC的底为2时，则三角形的三边长为2、4、4，满足三角形三边关系，其周长为10，当△ABC的底为4时，则三角形的三边长为4、2、2，不满足三角形三边关系，舍去，∴△ABC的周长为10.故答案选：A.【点睛】本题考查了三角形的三边关系与等腰三角形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是熟练的掌握三角形的三边关系与等腰三角形的性质以及根据因式分解法解一元二次方程.3．C【解析】【分析】已知给出了一个内角是50°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还要用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．【详解】当50°是等腰三角形的顶角时，则底角为（180°﹣50°）×=65°；当50°是底角时也可以．故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．4．C【解析】【分析】根据勾股定理逆定理逐个分析即可.如果a2+b2=c2,那么以a,b,c为边的三角形是直角三角形. 【详解】因为52+122=132;82+152=172;32+42≠72;62+82=102所以，以5，12，13；8，15，17；6，8，10为长度的三条线段能组成直角三角形，以3，4，7为长度的三条线段不能组成直角三角形.故选C【点睛】本题考核知识点：勾股定理逆定理. 解题关键点：熟记勾股定理逆定理.5．A【解析】试题分析：右边的图案中由两种基本图形拼接而成，分别是②⑤，左上方和右下方的基本图形是②，左下方和右上方的基本图形是⑤考点：图形拼接点评：本题考查图形拼接，考查学生的观察图形的能力6．C【解析】【分析】可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数，根据这个概念进行判断即可. 【详解】A：13，14，15不是整数，故其不为勾股数；B：222346+≠，故其不为勾股数；C：22251213+=，故其为勾股数；D：0.9，1.2，1.5不是整数，故其不为勾股数.故选:C.【点睛】考查勾股数的定义，熟练掌握定义是解题的关键.7．B【解析】如图，将△AOB绕B点顺时针旋转60°到△BO′C的位置，由旋转的性质，得BO=BO′，∴△BO′O为等边三角形，由旋转的性质可知∠BO′C=∠AOB=150°，∴∠CO′O=150°-60°=90°，又∵OO′=OB=1，CO′=AO=2，∴在Rt△COO′中，由勾股定理，得OC=2222+=+=．O O O C''125故选B．8．B【解析】【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再把逆命题进行判断即可．【详解】①对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题错误；②全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的两个三角形全等，正确；③如果两个实数是正数，它们的积是正数的逆命题是如果两个数的积为正数，那么这两个数也是正数，逆命题错误，也可以有都是负数，所以逆命题成立的只有一个，故选B.【点睛】本题考查了互逆命题，真命题与假命题，真命题要运用相关知识进行推导，假命题要通过举反例来进行否定.9．C【解析】【分析】点A，C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点O在到AC的中点的距离不变．本题可通过设出AC的中点坐标，根据B、D、O在一条直线上时，点B到原点O的最大可得出答案．【详解】作AC的中点D，连接OD、DB，∵OB≤OD+BD，∴当O、D、B三点共线时OB取得最大值，∵D是AC中点，∴OD=12AC=2， ∵BD=22222=2+，OD=12AC=2， ∴点B 到原点O 的最大距离为2+22， 故选D ． 【点睛】此题主要考查了两点间的距离，以及勾股定理的应用，本题的难度较大，理解D 到O 的距离不变是解决本题的关键． 10．C 【解析】∵展开后由勾股定理得：AB 2=12+（1+1）2=5， ∴AB=5， 故选C ．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键． 11．80008【解析】根据镜面对称可得这串数字是80008，故答案为：80008. 12．22.5︒ 12+ (112n -+【解析】∵A 1A 2=A 2A 3，A 1A 2⊥A 2A 3， ∴△A 1A 2A 3为等腰直角三角形， ∴∠A 2A 1A 3=45°， 又AA 1=A 1A 2， ∴∠A =∠AA 2A 1，又∠A 2A 1A 3为△AA 2A 1的外角， ∴∠A =∠AA 2A 1=12∠A 2A 1A 3=22.5°；∵AA1=A1A2=A2A3=1，∴A1A2=a1=1；在Rt△A1A2A3中，根据勾股定理得：A1A3，∴AA3=A3A4=a2=AA1+A1A3；同理AA5=A5A6=a3=AA3+A3A5（）=（）2；以此类推，a n=（）n-1．故答案为：22.5°；；（）n-1．点睛：此题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，以及三角形的外角性质，属于规律型题，锻炼了学生归纳总结的能力，是中考中常考的题型．13．对称轴垂直平分相等【解析】【分析】根据轴对称图形对应点和对应角的性质可解得此题.【详解】根据轴对称图形的性质：轴对称图形对应点连线被对称轴垂直平分，对应角对应线段都相等．【点睛】此题考查了学生轴对称图形知识，掌握轴对称图形的性质是解决此题的关键.14．5或4【解析】【分析】此题分为两种情况：5cm是等腰三角形的底边或5cm是等腰三角形的腰，然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．【详解】解：当5cm是等腰三角形的底边时，则其腰长是（13-5）÷2=4（cm），能够组成三角形；当5cm是等腰三角形的腰时，则其底边是13-5×2=3（cm），能够组成三角形．故答案为：4或5．【点睛】此题考查了等腰三角形的两腰相等的性质与三角形的三边关系，解题时要注意分类讨论思想的运用． 15．30或150 【解析】如图，作AD ⊥BC 于点D ，在Rt △ACD 中，∵AC=3、cos ∠ACB=223，∴CD=ACcos ∠ACB=3×223=22，则AD=()2222322AC CD -=-=1，①若点B 在AD 左侧，∵AB=2、AD=1，∴∠ABC=30°；②若点B 在AD 右侧，则∠AB′D=30°，∴∠AB′C=150°，故答案为30或150．16．96m 2 【解析】试题解析：如图，连接AC ．在△ACD 中，∵AD=12m ，CD=9m ，∠ADC=90°， ∴AC=15m ，又∵AC 2+BC 2=152+202=252=AB 2， ∴△ABC 是直角三角形，∴这块地的面积=△ABC 的面积-△ACD 的面积=12×15×20-12×9×12=96（平方米）． 故答案为：96m 2． 17．140° 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得1902ADB ABD ∠=︒-∠，1902CDB CBD ∠=︒-∠，由于∠ADC=∠ADB+∠CDB ，∠ABC=80°，依此即可求解．【详解】 ∵AB =BC =BD ，∴11909022ADB ABD CDB CBD ，，∠=︒-∠∠=︒-∠ ∴11909022ADC ADB CDB ABD CBD ∠=∠+∠=-∠+-∠11180()1808018040140.22ABD CBD =-∠+∠=-⨯=-=故答案为140. 【点睛】考查等腰三角形的性质以及三角形的内角和，得到190,2ADB ABD ∠=︒-∠ 190,2CDB CBD ∠=︒-∠是解题的关键.18．（5，2）【解析】试题解析：由点P （x ，x+y ）与点Q （5，x ﹣7）关于x 轴对称，得 x=5，x+y=7﹣x ． 解得x=5，y=﹣3， 点P 的坐标为（5，2）.点睛：对称点的坐标规律：关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．19．【解析】 【分析】根据运动速度乘以时间，可得P 的位置，根据线段的和差，可得CP 的长，最好根据勾股定理，可得PQ 的长度． 【详解】由题可得：点P 运动2.5秒时，P 点运动了5cm ， 此时，点P 在BC 上，853cmCP∴=-=，Rt PCQ中，由勾股定理，得223332cmPQ=+=，故答案为：32．【点睛】本题考查了动点函数图象，依据点P的位置，利用勾股定理进行计算是解题关键．20．74【解析】【分析】A点沿表面到C l共有三种情况，一是经平面AB1，A1C1，二是经平面AB1，BC1，三是经平面AC，BC1，画出三种情况下的图形，并利用勾股定理进行求解，最后比较三个结果，最小的即为答案．【详解】从A点沿表面到C l的情况可以分为以下三种：与A1B1相交，如下图示：此时174AC②与BB1相交，如下图示：此时180AC=③与BC相交，如下图示：此时190AC=综上,从A点沿表面到C l7474【点睛】考查多面体表面上的最短路径问题，利用数形结合思想，根据两点之间，线段最短，用勾股定理求解即可.21．（1）证明见解析；（2）55°．【解析】【分析】（1）根据三角形外角的性质可得到∠CEF=∠BDE，可证△BDE≌△CEF；（2）由（1）可得DE=FE，即△DEF是等腰三角形，由等腰三角形的性质可求出∠B=70°，即∠DEF=∠B=70°，从而求出∠EDF的度数．【详解】（1）∵∠DEC=∠B+∠BDE=∠CEF+∠DEF，∠DEF=∠B，∴∠CEF=∠BDE．∵AB =AC ，∴∠C =∠B ．又∵CE =BD ，∴△BDE ≌△CEF ． （2）∵△BDE ≌△CEF ，∴DE =FE ． ∴△DEF 是等腰三角形，∴∠EDF =∠EFD ． ∵AB =AC ，∠A =40°，∴∠B =70°．∵∠DEF =∠B ，∴∠DEF =70°，∴∠EDF =∠EFD =12×（180°﹣70°）=55°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、三角形的外角与内角的关系及全等三角形的判定及性质；证得三角形全等是正确解答本题的关键．22．（1）该城市会受到这次台风的影响（2）415小时（3）6.5级 【解析】试题分析：（1）求是否会受到台风的影响，其实就是求A 到BC 的距离是否大于台风影响范围的半径，如果大于，则不受影响，反之则受影响．如果过A 作AD BC ⊥于D ，AD 就是所求的线段 Rt △ABD 中，有ABD ∠的度数，有AB 的长，AD 就不难求出了．（2）受台风影响时，台风中心移动的距离，应该是A 为圆心，台风影响范围的半径为半径，所得圆截得的BC 上的线段的长即EF 得长，可通过在Rt AED △和Rt AFD 中，根据勾股定理求得．有了路程，有了速度，时间就可以求出了．（3）风力最大时，台风中心应该位于D 点，然后根据题目给出的条件判断出时几级风． 试题解析：(1)该城市会受到这次台风的影响。

浙教版八年级数学上册第二章特殊三角形单元检测（提高篇一、单选题（共10题；共20分）1.下列命题中，正确的是（）A. 过一点作已知直线的平行线有一条且只有一条B. 对角线相等的四边形是矩形C. 两条边及一个角对应相等的两个三角形全等D. 位似图形一定是相似图形2.如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC 交DE 于点F，点G 为AF 的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，则DE 的长为（）A. B. C. D.3.下列命题中真命题是（）A. 如果两个直角三角形的两条边相等，那么这两个直角三角形全等B. 如果两个直角三角形的一条边和一个锐角对应相等，那么这两个直角三角形全等C. 如果两个直角三角形的两个角对应相等，那么这两个直角三角形全等D. 如果两个直角三角形的一条直角边和斜边对应相等，那么这两个直角三角形全等4.如图，对角线AC 将正方形ABCD 分成两个等腰三角形，点E，F 将对角线AC 三等分，且AC=15，点P 在正方形的边上，则满足PE+PF=5的点P 的个数是( )A. 0B. 4C. 8D. 165.如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON 于A、B 点，若∠MON=35°，则∠GOH=（）A. 60°B. 70°C. 80°D. 90°6.如图，直角△ADB 中，∠D=90°，C 为AD 上一点，且∠ACB 的度数为，则的值可能是（）A. 10 B. 20 C. 30 D. 407.如图，在Rt△ABC 中，BC2，∠BAC30°，斜边AB 的两个端点分别在相互垂直的射线OM，ON 上滑动，下列结论：①若C，O 两点关于AB 对称，则OA；②C，O 两点距离的最大值为4；③若AB 平分CO，则AB⊥CO；④斜边AB 的中点D 运动路径的长为.其中正确的是（）A. ①②B. ①②③C. ①③④D. ①②④8.如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O，过点D 作DE∥AC，且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE 交OD 于点F，若AB＝2，∠ABC＝60° ，则AE 的长为（）A. B. C. D.9.如图，在梯形ABCD 中，AB∥CD，AD＝BC，对角线AC⊥BD，垂足为O．若CD＝3，AB＝5，则AC 的长为A. B. 4 C. D.10.如图是一块长、宽、高分别为6cm、4cm、3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（）A.cmB.cmC.cmD. ９cm二、填空题（共 6 题；共 12 分）11.如图，A （3,4），B （0,1），C 为 x 轴上一动点，当△ ABC 的周长最小时，则点 C 的坐标为________．12.在△ ABC 中，AB=AC ，CD=CB ，若∠ ACD=42°，则∠ BAC=________°．13.如图，在△ ABC 中，AD 和 BE 是高，∠ ABE=45°，点 F 是 AB 的中点，AD 与 FE ，BE 分别交于点 G 、H ， ∠ CBE=∠ BAD ．有下列结论：①FD=FE ；②AH=2CD ；③BC•AD= AE2；④S △ ABC =2S △ ADF． 其中正确结论的序号是________．（把你认为正确结论的序号都填上）14.如图，在△ ABC 中，AB=AC=15，点 D 是 BC 边上的一动点（不与 B ，C 重合），∠ ADE=∠ B=∠ α，DE 交 AB 于点 E ，且 tan ∠ α= ， 有以下的结论：①△ ADE ∽ △ ACD ；②当 CD=9 时，△ ACD 与△ DBE 全等； ③△ BDE 为直角三角形时，BD 为 12 或；④0＜BE≤， 其中正确的结论是 ________（填序号）15 题15.有一面积为 5 的等腰三角形，它的一个内角是 30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为________． 16.如图，在四边形，中， ，若于点则________.三、综合题（共 7 题；共 88 分）17. 与有公共顶点（顶点均按逆时针排列），，，点是的中点，连接，，并延长交直线，连接.（1）如图，当时，求证：①；②是等腰直角三角形.时，画出相应的图形（画一个即可），并直接指出（2）当是何种特殊三角形.18.通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例．原题：如图①，点分别在正方形的边上，，连接，试说明理由，则（1）思路梳理因为，所以把绕点逆时针旋转90°至，点，可使共线．.请证明．与重合．因为，所以根据________，易证（2）类比引申如图②，四边形.若________，得中，，，点分别在边上，都不是直角，则当与满足等量关系时，仍然成立，请证明．（3）联想拓展如图③，在中，，点均在边上，且.猜想应满足的等量关系，并写出证明过程．19.已知抛物线c的顶点为A（﹣1，4），与y轴的交点为D（0，3）．1（1）求c的解析式；1（2）若直线l：y=x+m与c仅有唯一的交点，求m的值；11（3）若抛物线c关于y轴对称的抛物线记作c，平行于x轴的直线记作l：y=n．试结合图形回答：当122n为何值时，l与c和c共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点；212（4）若c与x轴正半轴交点记作B，试在x轴上求点P，使△PAB为等腰三角形．220.如图，正方形ABCD的边长为3cm，P，Q分别从B，A出发沿BC，AD方向运动，P点的运动速度是1cm/秒，Q点的运动速度是2cm/秒，连接A，P并过Q作QE⊥AP垂足为E．（1）求证：△ABP∽△QEA；（2）当运动时间t为何值时，△ABP≌△QEA；（3）设△QEA的面积为y，用运动时刻t表示△QEA的面积y（不要求考t的取值范围）．（提示：解答（2）（3）时可不分先后）21.已知△ABC是边长为4的等边三角形，BC在x轴上，点D为BC的中点，点A在第一象限内，AB与y 轴的正半轴交与点E，已知点B（﹣1，0）．（1）点A的坐标：________，点E的坐标：________；（2）若二次函数y=﹣x+bx+c过点A、E，求此二次函数的解析式；2（3）P是线段AC上的一个动点（P与点A、C不重合）连结PB、PD，设L是△PBD的周长，当L取最小值时。

考试时间：120分钟满分：100分一、选择题（每题5分，共50分）1. 在三角形ABC中，∠A=90°，∠B=45°，则∠C的度数是：A. 45°B. 90°C. 135°D. 180°2. 在直角三角形中，若一条直角边的长度是3cm，斜边的长度是5cm，则另一条直角边的长度是：A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm3. 一个等腰三角形的底边长为6cm，腰长为8cm，则这个三角形的周长是：A. 14cmB. 18cmC. 20cmD. 24cm4. 在一个等边三角形中，每个内角的度数是：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°5. 若一个三角形的三边长分别为3cm、4cm、5cm，则这个三角形是：A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 不规则三角形6. 在三角形ABC中，AB=AC，则∠B和∠C的关系是：A. ∠B=∠CB. ∠B>∠CC. ∠B<∠CD. 无法确定7. 若一个三角形的三个内角分别为60°、60°、60°，则这个三角形是：A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 不规则三角形8. 在直角三角形中，若一个锐角的度数是30°，则另一个锐角的度数是：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°9. 一个等腰三角形的底边长为8cm，高为6cm，则这个三角形的面积是：A. 24cm²B. 32cm²C. 40cm²D. 48cm²10. 若一个三角形的三个内角分别为90°、45°、45°，则这个三角形是：A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 不规则三角形二、填空题（每题5分，共50分）1. 在直角三角形中，若一个锐角的度数是30°，则另一个锐角的度数是__________。

【期末优化训练】浙教版2022-2023学年八上数学第2章特殊三角形测试卷1（解析版）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】A、不是轴对称图形，故此选项符合题意；B、是轴对称图形，故此选项不合题意；C、是轴对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，故此选项不合题意.故答案为：A.2．判断下列几组数据中，可以作为直角三角形的三条边的是()A．6，15，17B．7，12，15C．13，15，20D．7，24，25【答案】D【解析】直角三角形的三条边满足勾股定理的逆定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方，要判断三个数是否能是勾股数，只要验证一下，两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方，等于就是直角三角形，否则就不是。

A，62+152≠172，不符合；B，72+122≠152，不符合；C，132+152≠202，不符合；D，72+242=252，符合．故选D.3．下列命题的逆命题是假命题的是（）A．直角三角形两锐角互余B．全等三角形对应角相等C．两直线平行，同位角相等D．角平分线上的点到角两边的距离相等【答案】B【解析】A．直角三角形的两锐角互余的逆命题是两锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题；B．全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题；C．两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题；D．角平分线上的点到角两边的距离相等的逆命题是到角两边的距离相等的点在角平分线上，是真命题．故答案为：B．4．若一个等腰三角形的一条边是另一条边的k倍，我们把这样的等腰三角形叫做“k倍边等腰三角形”．如果一个等腰三角形是“4倍边等腰三角形”，且周长为18cm，则该等腰三角形底边长为（）A．12cm B．12cm或2cm C．2cm D．4cm或12cm【答案】C【解析】设该等腰三角形的较短边长为xcm（x＞0），则较长边长为4xcm．①当xcm为腰时，∵x+x＜4x，∴x，x，4x不能组成三角形；②当4xcm为腰时，4x，4x，x能够组成三角形，∵4x+4x+x＝18，∴x＝2，∴该等腰三角形底边长为2cm.故答案为：C.5．如图，一个圆柱形花瓶上下底面圆上有相对的A，B两点，现要用一根金色铁丝装饰花瓶，金色铁丝沿侧面缠绕花瓶一圈，并且经过A ，B 两点．若花瓶高16cm ，底面圆的周长为24cm ，则需要金色铁丝的长度最少为（ ）A ．20cmB ．8√13cmC ．16√13cmD ．40cm 【答案】D【解析】将圆柱体展开如图，点A 为展开图长方形一边的中点，BC 为底面圆周长的一半，∴BC =12cm ，在Rt △ABC 中，AB 2=AC 2+BC 2，∴AB =√AC 2+BC 2=√162+122=20cm ， ∴需要金色铁丝的长度最少为20×2=40cm ， 故答案为：D ．6．如图，在等边△ABC 的AC ，BC 边上各取一点P ，Q ，使AP=CQ ，AQ ，BP 相较于O ，若OB=2则B 点到AQ 的距离等于（ ）A ．1B ．2C ．√3D ．32【答案】C【解析】 △ABC 是等边三角形∴△BAP ＝△ACQ ＝60°，AB ＝AC ∵在△ABP 和△ACQ 中∵AB ＝AC ，△BAP ＝△ACQ ，AP ＝CQ ∴△ABP△△CAQ （SAS ） ∴△ABP ＝△CAQ ，∵△BAQ ＋△CAQ ＝60°∴△BAQ ＋△ABP ＝60° ∵△BOQ ＝△BAQ ＋ABP ∴△BOQ ＝60° 如图：过点B 作BE△AQ 于点E ，∴△BEA=90°，在Rt△BEO 中，△AOE=60°， ∴△OBE=30°， ∴OE=12BO=1，∴BE=√BO 2−OE 2=√22−12=√3即B点到AQ的距离等于√3.故答案为：C.7．如图，在四边形ABCD中，△DAB＝△BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4．若S1＝48，S2+S3＝135，则S4＝（）A．183B．87C．119D．81【答案】B【解析】连接BD，∵△DAB＝△BCD＝90°，∴BD2=DC2+BC2=AD2+AB2，∴S3+S2=S4+S1=135；∴S4=135-48=87.故答案为：B8．如图，在△ABC中，点D在边BC上，且满足AB=AD=DC，过点D作DE⊥AD，交AC 于点E.设∠BAD=α，∠CAD=β，∠CDE=γ，则（）A．2α+3β=180°B．3α+2β=180°C．β+2γ=90°D．2β+γ=90°【答案】D【解析】∵AB=AD=DC，∠BAD=α，∴∠B=∠ADB，∠C=∠CAD=β，∵DE⊥AD，∴∠ADE=90°，∴∠CAD+∠AED=90∘∵∠CDE=γ，∠AED=∠CDE+∠C∴∠AED=γ+β∴2β+γ=90∘故答案为：D.9．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，△BAC＝△DAE＝90°，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中，正确的结论有（）①CE＝BD；②△ADC是等腰直角三角形；③△ADB＝△AEB；④S四边形BCDE＝12BD•CE；⑤BC2+DE2＝BE2+CD2．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，∵△BAD=△BAC+△CAD=90°+△CAD，△CAE=△DAE+△CAD=90°+△CAD，∴△BAD=△CAE，∴△ABD△△ACE（SAS），∴CE=BD，△ABD=△ACE，故①正确；∴△BCG+△CBG=△ACB+△ABC=90°，在△BCG中，△BGC=180°-（△BCG+△CBG）=180°-90°=90°，∴BD△CE，∴S四边形BCDE=S△BCE+S△DCE=12CE·BG+12CE·DG=12BD•CE，故④正确；由勾股定理，在Rt△BCG中，BC2=BG2+CG2，在Rt△DEG中，DE2=DG2+EG2，∴BC2+DE2=BG2+CG2+DG2+EG2，在Rt△BGE中，BE2=BG2+EG2，在Rt△CDG中，CD2=CG2+DG2，∴BE2+CD2=BG2+CG2+DG2+EG2，∴BC2+DE2=BE2+CD2，故⑤正确；从题干信息没有给出AC=AD，所以只有AE∥CD时，∠DAE=∠ADC=90°，无法说明AE∥CD，更不能说明CD=AD，故②错误；∵△ABD△△ACE，∴△ADB=△AEC，∵条件不足以证明△CAE≌△BAE，∴△AEC与△AEB相等无法证明，∴△ADB=△AEB不一定成立，故③错误；综上所述，正确的结论有①④⑤共3个．故答案为：C.10．如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，A点坐标(6，0)，B点坐标(3，-3)，动点P从A点出发，沿x轴正方向运动，连接BP，以BP为直角边向下作等腰直角三角形BPC，△PBC=90°，连结OC，当OC=10时，△OCP的面积为()A．16√2B．64C．32D．36【答案】C【解析】过点C作CE△y轴于点E，过点B作BF△x轴于点F，延长FB交CE于点D，∴△OFD=△EOF=△OEC=90°，∴四边形OEDF是矩形，∴OF=DE，OE=DF，∵点B（3，-3），点A（6，0），∴OF=AF=BF=DE=3，∵△PBC是等腰直角三角形，∴PB=BC，△PBC=90°，∴△FPB+△FBP=90°，△FBP+△DBC=90°，∴△DBC=△FPB，在△FBP和△DCB中{∠BFP=∠BDC ∠FPB=∠DBC PB=BC∴△FBP△△DCB（AAS），∴BF=DC=3，PF=BD，∴CE=DE+CD=3+3=6；在△COE中OE=DF=√OC2−CE2=√102−62=8∴BD=PF=DF-BF=8-3=5，∴OP=OF+PF=3+5=8，∴S△COP=12OP·DF=12×8×8=32.故答案为：C二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11．下列条件：①△C ＝△A －△B ；②△A ：△B ：△C ＝5△2△3；③a ＝35c ，b ＝45c ；④a△b△c ＝1△2：√3，则能确定△ABC 是直角三角形的条件有 个． 【答案】4【解析】①∵△C=△A -△B ，△A ＋△B ＋△C ＝180°，∴△A ＝90°，故△ABC 是直角三角形； ②∵△A ：△B ：△C ＝5：2：3，△A ＋△B ＋△C ＝180°，∴△A ＝90°，故△ABC 是直角三角形； ③∵a= 35 c ，b= 45c ，∴a 2+b 2=c 2，∴△c=90°，故△ABC 是直角三角形；④∵a ：b ：c ＝1：2：√3，∴a 2＋c 2＝b 2，∴△B=90°，故△ABC 是直角三角形. 故答案为：4.12．如图，把长方形纸条依次沿着线段EF 、HI 折叠，且EF ∥HI ， 得到“Z”字形图案．已知∠DFE =60°，AE =2cm ，要使点H ，点K 分别在AD 和EF 的延长线上（不与D ，F 重合），则AB = cm ．【答案】10【解析】如图，连接DH ，FK ，点H ，点K 分别在AD 和EF 的延长线上（不与D ，F 重合），点M 为EH 延长线上一点．在长方形纸条ABCD 中，∠A =∠ADC =90°，AB ∥CD ， ∴∠DFE =∠BEF =60°，EH ∥FI ， 由折叠可知：∠GEF =∠BEF =60°， ∴∠AEG =60°， ∴∠AHE =30°，∴AE =12EH ，∵EH ∥FI ，∴∠EHI +∠GEF =180°， ∴∠EHI =120°， ∴∠MHI =60°，由折叠可知：∠JHI =∠MHI =60°， ∴∠EHK =60°， ∵∠GEF =60°， ∴∠EKH =60°，∴ΔEHK 是等边三角形， ∴EH =HK =EK ，∵AE =12EH ，AE =2cm∴EH =HK =EK =4cm ，由折叠可知：AE +EH +HK =AB ， ∴AB =2+4+4=10cm ， 故答案为：10.13．如图，在△ABC 中，△C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分△CAB 交BC 于D ，DE△AB 于E ，且AB ＝8cm ，则△BED 的周长是 .【答案】8cm【解析】∵△C ＝90°，AD 平分△CAB ，DE△AB ， ∴CD ＝DE ，在△ACD 和△AED 中， {AD =AD CD =DE，∴△ACD△△AED （HL ）， ∴AC ＝AE ，∴△BED 的周长＝DE+BD+BE ， ＝BD+CD+BE ， ＝BC+BE ， ＝AC+BE ， ＝AE+BE ， ＝AB ，∵AB ＝8cm ，∴△BED 的周长是8cm. 故答案为：8cm. 14．如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，在Rt △ABC 中，若直角边AC =6，BC =5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是 ．【答案】76【解析】依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x ， 则x 2=122+52=169， 解得：x =13，∴“数学风车”的外围周长(13+6)×4=76． 故答案为：76.15．如图，在Rt△ABC 中，AC ＝BC ＝1，D 是斜边AB 上一点（与点A ，B 不重合），将△BCD 绕着点C 旋转90°到△ACE ，连结DE 交AC 于点F ，若△AFD 是等腰三角形，则AF 的长为 .【答案】12或√2−1【解析】∵Rt△ABC 中，AC=BC=1， ∴△CAB=△B=45°，∵△BCD 绕着点C 旋转90°到△ACE ， ∴△ECD=90°，△CDE=△CED=45°，①AF=FD 时，△FDA=△FAD=45°， ∴△AFD=90°，△CDA=45°+45°=90°=△ECD=△DAE ， ∵EC=CD ，∴四边形ADCE 是正方形， ∴AD=DC ，∴AF= 12AC= 12×1= 12；②AF=AD 时，△ADF=△AFD=67.5°，∴△CDB=180°-△ADE -△EDC=180°-67.5°-45°=67.5°， ∴△DCB=180°-67.5°-45°=67.5°， ∴△DCB=△CDB ， ∴BD=CB=1，∴AD=AB -BD= √2−1， ∴AF=AD= √2−1，故答案为： 12或 √2−1.16．如图，已知△ABC 中，△ACB=90°，O 为AB 的中点，点E 在BC 上，且CE=AC ，△BAE=15°，则△COE= 度．【答案】75【解析】∵△ACB=90°，CE=AC ，∴△CAE=△AEC=45°， ∵△BAE=15°，∴△CAB=60°，∴△B=30°，∵△ACB=90°，O 为AB 的中点，∴CO=BO=AO= 12AB ，∴△AOC 是等边三角形，△OCB=△B=30°，∴AC=OC=CE ， ∴△COE=△CEO= 12×（180°-30°）=75°.故答案为：75.三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17．在如图所示的6×6的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．（1）请你在图1中画一个以格点为顶点，面积为6个平方单位的等腰三角形： （2）请你在图2中画一个以格点为顶点，一条直角边边长为√10的直角三角形． （3）请你在图3中画出△ABC 的边BC 上的高AD ，△ACB 的角平线CE 【答案】（1）解：如图（1）解：如图 （2）解：如图， （3）解：如图AD ，CE 就是所求作的图形.18．如图，ΔABC 为任意三角形，以边AB 、AC 为边分别向外作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接CD 、BE ，CD 、BE 相交于点P.（1）试说明：ΔDAC ≌ΔBAE ； （2）求∠BPC 的度数. 【答案】（1）解：∵ΔABD 和ΔACE 都是等边三角形， ∴AD =AB ，AC =AE ，∠DAB =∠EAC =60°， ∴∠DAC =∠BAE =60°+∠BAC ， 在ΔDAC 和ΔBAE 中，{AD =AB∠DAC =∠BAE AC =AE，∴ΔDAC ≌ΔBAE(SAS).（2）解：由（1）得∠ADC =∠ABE ，∴∠BPC =∠PBD +∠PDB =∠ABD +∠ABE +∠PDB =∠ABD +∠ADC +∠PDB =∠ABD +∠ADB ， ∵∠ABD =∠ADB =60°， ∴∠BPC =120°. 19．已知 △ABC ， AB =AC ，点 D 在线段 BC 上，点 E 在线段 AC 上.设 ∠BAD =α ， ∠CDE =β .（1）如果 ∠B =60° ， α=20° ， β=10° 那么 △ADE 是什么特殊三角形？请说明理由. （2）猜想 α 与 β 之间有什么关系时，使得 AD =AE ，并进行证明. 【答案】（1）解： △ADE 等腰三角形，理由是： ∵AB =AC ， ∠B =60° ， α=20° ， ∴∠BAC =∠B =∠C =60° ∴∠DAE =60°−α=40° . ∵∠ADC =∠B +α=80° ， ∴∠ADE =∠ADC −β=70° .∵∠AED =∠C +β=70° ， ∴∠ADE =∠AED ∴AD =AE∴△ADE 是等腰三角形（2）解：要使 AD =AE ，则需 ∠ADE =∠AED ， ∵∠ADE =∠ADC −β=∠B +α−β ， ∠AED =∠C +β ，又∵∠B =∠C ， ∠ADE =∠AED ， ∴∠B +α−β=∠C +β . ∴α=2β .20．如图，在等边△ABC 中，AB =AC =BC =10厘米，DC =4厘米，如果点M 以3厘米/秒的速度运动从点C 到点B 运动.（1）经过多少秒后，△CDM 是等边三角形？（2）若点N 在线段BA 上由B 点向A 点运动.点N 和点M 同时出发，若点N 的运动速度与点M 的运动速度相等.当两点的运动时间为多少时，△BMN 是一个直角三角形？（3）若点N 的运动速度与点M 的运动速度不相等，点N 从点B 出发，点M 以原来的运动速度从点C 同时出发，都是顺时针沿△ABC 三边运动，经过20秒，点M 与点N 第一次相遇，则点N 的运动速度是多少厘米/秒？ 【答案】（1）解：设经过t 秒后，△CDM 是等边三角形，则CM=3t ， ∴CM =DC =4， ∴3t =4，∴t =43，答：经过43秒后，△CDM 是等边三角形；（2）解：设运动时间为t 秒，△BMN 是直角三角形有两种情况： ①当∠NMB =90°时， ∵∠B =60°，∴∠BNM =90°−∠B =90°−60°=30°， ∴BN =2BM ，∴3t =2×(10−3t)，∴t =209；②当∠BNM =90°时， ∵∠B =60°，∴∠BMN =90°−∠B =90°−60°=30°， ∴BM =2BN ，∴10−3t =2×3t ，∴t =109，综上，当t =209或t =109时，△BMN 是直角三角形；（3）解：分两种情况讨论：若点M 运动速度快，则3×20−10=20V N ， 解得：V N =2.5；若点N 的运动速度快，则20V N −20=3×20， 解得：V N =4；答：点N的运动速度是2.5厘米/秒或4厘米/秒.21．已知△ACB为直角三角形，∠ACB=90°，作CD⊥AB，AF平分∠CAB，点M、N分别为AC、EF的中点，且AC=6，BC=8.（1）求证：CE=CF；（2）求证：MN∥AB；（3）请你连接DN，并求线段DN的长.【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°，∴∠CAF+∠AFC=90°，∵CD⊥AB∴∠ADC=90°，∴∠EAD+∠AED=90°，∵∠CEF=∠AED，∴∠EAD+∠CEF=90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠EAD，∴∠CEF=∠AFC，∴CE=CF；（2）证明：如图，连接CN，由（1）可知△CEF是等腰三角形，∵N为EF的中点，∴CN⊥EF，∴∠ANC=90°，∴ΔACN是直角三角形，∵M是AC的中点，∴MN=12AC.∵AM=12AC∴AM=MN，∴∠MAN=∠MNA.∵AF平分∠CAB∴∠MAN=∠NAD，∴∠MNA=∠NAD，∴MN∥AD；（3）解：延长CN交AB于点G，连接DN，∵MN ∥AG ，M 是 AC 的中点，∴N 是 CG 的中点，∴MN =12AG ， 在 Rt △CDG 中， DN =12CG ； ∵∠ACB =90° ， AC =6，BC =8 ，∴AB =√AC 2+BC 2=√82+62=10 ，∵S △ABC =12AC ⋅BC =12AB ⋅CD ， 即： 6×8=10CD ，∴CD =245， ∴AD =√AC 2−CD 2=√62−(245)2=185 ， ∵MN =12AC ， ∴AG =AC =6，∴DG =AG −AD =6−185=125， ∴CG =√CD 2+DG 2=√(245)2+(125)2=12√55， ∴DN =12CG =65√5 . 22．如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，三边上分别有点E 、D 、F ，使得AE ＝BD ＝CF ，过点E作EP△DF ，垂足为点P（1）求证：△BDE△△CFD ；（2）求△DEP 的度数；（3）当点E 、D 、F 分别在三边BA 、CB 及AC 的延长线上时，过点E 作EP△DF ，垂足为点P ，若AE ＝BD ＝CF ＝2，若△BDE 的周长为19，求DP 的长.【答案】（1）证明：∵△ABC 是等边三角形，∴△B=△C=60°，AB=BC ，∵AE=BD=CF ，∴AB -AE=BC -BD ，即BE=CD ，∴△BDE△△CFD （SAS ）；（2）解：由（1）得△BDE△△CFD ，∴△BED=△CDF ，又∵△EDC=△B+△BED，∴△ EDP+△CDF=△B+△BED，∴△ EDP=△B=60°，∵EP△DF，∴△EPD=90°，∴△ DEP=30° ；（3）解：∵△ABC边长为6，AE=BD =2，∴BE=AB+AE=8，又∵△BDE的周长为19，∴ DE=19-BD-BE=9，∵△ABC是等边三角形，∴△ABC=△ACB=60°，BA=CB，∴△EBD=180°-△ABC=180°-△ACB=△DCF=120°，又∵BD=AE，∴BA+AE=CB+BD，即BE=CD，∴△BDE△△CFD（SAS），∴△DEB=△FDC，∵△EBC=△EDB+△DEB=60°，∴△EDB+△FDC=60°，即△EDP=60°，又∵EP△DF ，∴△EPD=90°，∴△ DEP=30°，∴DE=2DP，∴DP= 4.5.23．定义：过三角形的顶点作一条射线与其对边相交，将三角形分成两个三角形，若得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“和谐分割线”．（1）下列三角形中，不存在“和谐分割线”的是（只填写序号）．①等边三角形；②顶角为150°的等腰三角形；③等腰直角三角形．（2）如图1，在△ABC中，△A＝60°，△B＝40°，直接写出△ABC被“和谐分割线”分得到的等腰三角形顶角的度数；（3）如图2，△ABC中，△A＝30°，CD为AB边上的高，BD＝4，E为AD的中点，过点E作直线l交AC于点F，作CM△l于M，DN△l于N．若射线CD为△ABC的“和谐分割线”．求CM+DN 的最大值．【答案】（1）①（2）解：∵∠A=60°，∠B=40°，∴∠ACB=180°−60°−40°=80°，如图，当EC＝EA时，△AEC＝60°，当FC＝FB时，△BFC＝100°，当BC＝BG时，△B＝40°．如图，当AC＝AR时，△CAR＝20°，当CA＝CW时，△C＝80°，如图，当BC＝BQ时，△CBQ＝20°，综上所述，满足条件的等腰三角形的顶角的度数为：20°，40°，60°，80°或100°；（3）解：如图2中，作AG△l于点G．∵CD为AB边上的高，∴△CDB＝△CDA＝90°．∴△ACD＝90°﹣△A＝60°．∴△CDA不是等腰三角形．∵CD为△ABC的“友好分割线”，∴△CDB和△CDA中至少有一个是等腰三角形．∴△CDB是等腰三角形，且CD＝BD＝4．∵△BAC＝30°，∴AC＝2CD＝8．∵DN△l于N，∴△DNE＝△AGE＝90°．∵E为AD的中点，∴DE＝AE．在△DNE和△AGE中，{∠AGE=∠DNE DE=AE∠DEN=∠AEG∴△DNE△△AGE（ASA），∴DN＝AG．在Rt△AGF和Rt△CMF中，△CMF＝△AGF＝90°，∴CM≤CF，AG≤AF，∴CM+AG≤CF+AF，即CM+AG≤AC，∴CM+DN≤8，∴CM+DN的最大值为8．【解析】（1）根据“友好分割线”的定义可知，如图，等腰直角三角形，顶角为150°的等腰三角形存在“友好分割线”．等边三角形不存在“友好分割线”．故答案为：①；24．定义：若a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2＝2c2，则称△ABC为“方倍三角形”.（1）对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是.A．①一定是“方倍三角形”B．②一定是“方倍三角形”C．①②都一定是“方倍三角形”D．①②都一定不是“方倍三角形”（2）若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜边AB＝√3，则该三角形的面积为；（3）如图，△ABC中，△ABC＝120°，△ACB＝45°，P为AC边上一点，将△ABP沿直线BP进行折叠，点A落在点D处，连接CD，AD.若△ABD为“方倍三角形”，且AP＝√2，求△PDC的面积.（2）√22（3）解：由题意可知：△ABP△△DBP，∴BA＝BD，△ABP＝△DBP，根据“方倍三角形”定义可知：BA2+BD2＝2AD2＝2BA2，∴AD＝AB＝BD，∴△ABD为等边三角形，△BAD＝60°，∴△ABP＝△DBP＝30°，∴△PBC＝90°，∵△CPB＝45°，∴△APB＝180°﹣45°＝135°，∴△DPC＝90°，∵△ABC＝120°，△ACB＝45°，∴△BAC＝15°，∴△CAD＝45°，∴△APD为等腰直角三角形，∴AP＝DP＝√2，∴AD＝2，延长BP交AD于点E，如图，∵△ABP＝△PBD，∴BE△AD，PE＝12AD＝AE＝1，∴BE＝√AB2−AE2=√4−1＝√3，∴PB＝BE﹣PE＝√3﹣1，∵△CPB＝△PCB＝45°，∴△PBC为等腰直角三角形，∴PC＝√2PB＝√6﹣√2，∴S△PDC＝12×PC•PD＝12×（√6﹣√2）× √2＝√3﹣1.【解析】（1）对于①等边三角形，三边相等，设边长为a，则a2+a2＝2a2，根据“方倍三角形”定义可知：等边三角形一定是“方倍三角形”；对于②直角三角形，三边满足关系式：a2+b2＝c2，根据“方倍三角形”定义可知：直角三角形不一定是“方倍三角形”；（2）设Rt△ABC其余两条边为a，b，则满足a2+b2＝3，根据“方倍三角形”定义，还满足：a2+3＝2b2，联立解得{a=1b=√2，则Rt△ABC的面积为：√22；故答案为：√22；。

浙教版八年级上册数学第二章特殊三角形一、选择题1．下列关于体育运动的图标是轴对称图形的为（ ）A．B．C．D．2．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）A．∠A＝∠C－∠B B．a2＝b2－c2C．a：b：c＝2：3：4D．a＝34，b＝54，c＝13．等腰三角形的顶角是50°，则这个三角形的底角的大小是（ ）A．50°B．65°或50°C．65°D．80°4．在锐角△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则BC的长度为（ ）A．16B．15C．14D．135．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）A．直角都相等B．全等三角形的对应角相等C．在Rt△ABC中，30°角所对的边是斜边的一半D．在△ABC中，a、b、c为三角形三边的长，若a2=(b+c)(b―c)，则△ABC是直角三角形6．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝60°，点D在AB边上，DE⊥AB，并与AC边交于点E．如果AD＝1，BC＝6，那么CE等于（ ）A．5B．4C．3D．27．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CD的长为（ ）A ．1cmB ．43cmC ．53cmD ．2cm8．《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为x 尺，根据题意，可列方程为（ ）A ．x 2+42=102B ．(10―x)2+42=102C ．(10―x)2+42=x 2D ．x 2+42=(10―x)29．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于 12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是①AD 是∠BAC 的平分线；②∠ADC=60°；③点D 在AB 的中垂线上；④S △DAC ：S △ABC =1：3.A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，在△ABC 中，AB =2，∠B =60°，∠A =45°，点D 为BC 上一点，点P 、Q 分别是点D 关于AB 、AC 的对称点，则PQ 的最小值是（ ）A．6B．8C．4D．2二、填空题11．在三角形ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则AC的长为 .12．命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是 ．13．小明同学将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件是 ．14．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC= °．15．如图，在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M，P是直线MN上一动点，点H 为BC中点．若BC=5，△ABC的面积是30，则PB+PH的最小值为 ．16．如图，等边△ABC中，BF是AC边上中线，点D为BF上一动点，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF周长最小时，则∠CFE的大小是 ．三、解答题17．如图，AB⊥BC于点B，AD⊥DC于点D，BC=DC．求证：∠1=∠2．18．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AC=5，BC=9，AD=4，求AB的长．19．如图，△ABC中，CA=CB，D是AB的中点，∠B=42°，求∠ACD的度数．20．如图所示，若MP和NQ 分别垂直平分AB和AC．（1）若△APQ的周长为12，求BC的长；（2）∠BAC=105°，求∠PAQ 的度数．21．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D在AC边上，BD＝AB．（1）求△ABC的面积；（2）求AD的长．22．（1）如图1，点D、E分别是等边△ABC边AC、AB上的点，连接BD、CE，若AE=CD，求证：BD=CE （2）如图2，在（1）问的条件下，点H在BA的延长线上，连接CH交BD延长线于点F，．若BF=BC，求证：EH=EC．23．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=16，D是AC上的一点，CD=3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点P的运动时间为t，连接AP．（1）当t=3秒时，求AP的长度；（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；（3）过点D作DE⊥AP于点E，连接PD，在点P的运动过程中，当PD平分∠APC时，直接写出t的值．答案解析部分1．【答案】A2．【答案】C3．【答案】C4．【答案】C5．【答案】C6．【答案】B7．【答案】B8．【答案】D9．【答案】D10．【答案】A11．【答案】2612．【答案】同位角相等，两直线平行13．【答案】∠A=60°（答案不唯一）14．【答案】3015．【答案】1216．【答案】90°17．【答案】证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC∴∠B=∠D=90°又∵在Rt△ABC和Rt△ADC中AC=AC BC=DC，∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)．∴∠1=∠2．18．【答案】21319．【答案】48°20．【答案】（1）12；（2）30°．21．【答案】（1）解：过点A作AM⊥BC于点M，如图所示：∵AB ＝AC ，AM ⊥BC ，∴M 是BC 的中点，∵AB ＝5，BC ＝6，∴BM ＝CM ＝3，∴AM ＝AB 2―BM 2=52―32＝4，∴△ABC 的面积＝12BC•AM ＝12×6×4＝12；（2）解：过点B 作BN ⊥AC 于点N ，如图所示：∵BD ＝AB ，∴AN ＝DN ＝12AD ，∵△ABC 的面积＝12AC•BN ＝12×5•BN ＝12；∴BN ＝245，AN ＝AB 2―BN 2=75∴AD ＝2AN ＝145．22．【答案】（1）证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC=AC ，∠A=∠ABC=∠BCA.∴在△AEC 和△CDB 中AE =CD ∠EAC =∠DCB AC =CB∴△AEC ≌△CDB （SAS ）∴BD=CE.（2）证明：如图：由（1）△AEC≌△CDB，∴∠ACE=∠CBD.∴60°－∠ACE=60°－∠CBD，即∠ABD=∠ECB.∵BC=CF，∴∠BCF=∠BFC，又∵∠BCF=∠ECB+∠ECH，∠BFC=∠ABD+∠H，∴∠ECH=∠H，∴EH=EC.23．【答案】（1）241（2）当△ABP为等腰三角形时，t的值为45、16、5；（3）当t的值为5或11时，PD平分∠APC．。

特殊三角形单元培优卷一、选择题（每题3分，共30分）1．若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（ ）A．9 B．7C．12 D．9或122．如图，等边△ABC的边长为4，点E是边AB的中点，且BE=CF，则CD的长为（ ）第2题图第4题图第5题图A．4B．3C．2D．1 3．在△ABC中，∠ABC=30°，AB边长为4，AC边的长度可以，1、2、3、4、5中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是（ ）.A．3个B．4个C．5个D．6个4．如图，△ABC的面积为6，AB=5，AD平分∠BAC．若E，F分别是AC，AD上的动点，则FE+FC的最小值（ ）A．245B．125C．52D．35．如图，等边△ABC中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点，BP=AQ=4，QD=3，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为（ ）A．7B．8C．10D．12 6．如图：点C在AB上，△DAC、△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M，N，则下列结论①AE=DB，②CM=CN，③△CMN为等边三角形，④MN//BC.正确的有个．（ ）第6题图第7题图第8题图A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4.若已知AC×BC=12，则S1+S2+S3+S4的值为（ ）A．18B．24C．25D．36 8．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED=90∘；②∠ADE=∠CDE；③DE=BE；④AD=AB+CD，四个结论中成立的是（ ）A．①②④B．①②③C．③④D．①③9．如图，已知∠AOB=120°，点D是∠AOB的平分线上的一上定点，点E，F分别在射线OA和射线OB上，且∠EDF=60°.下列结论：①△DEF是等边三角形；②四边形DEOF的面积是一个定值；①当DE⊥OA时，△DEF的周长最小；④当DE∥OB时，DF也平行于OA. 其中正确的个数是（ ）第9题图第10题图A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，任意画一个∠A=60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，以下结论：①∠BPC=120°；②AP平分∠BAC；③AP=PC；④BD+CE=BC；⑤SΔPBA：SΔPCA=AB：AC，正确的有（ ）A．5个B．4个C．3个D．2个二、填空题（每题4分，共24分）11．如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积之和为 .第11题图第13题图第14题图12．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为52°，则该三角形的底角的度数为 .13．如图，在△ACD中，∠ACD=90°，∠A=30°，AC=b，CD=a，以C为圆心，CD为半径画弧，交斜边AD于点B，AB=c，则下列说法正确的是 .(填序号)①△BCD是等边三角形，②a+c<b，③a=c，④b=2a14．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=55°，M，N分别是边BC，CD上的动点，当△AMN的周长最小时，∠MAN= °．15．如图，在△ABC中，AH是高，AE//BC，AB=AE，在AB边上取点D，连接DE，DE=AC，若S△ABC=5S△ADE，BH=1，则BC= ．第15题图第16题图16．如图，有一直角三角形纸片ABC，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，CD⊥AB于点D．F，G分别是线段AD，BD上的点，H，Ⅰ分别是线段AC，BC上的点，沿HF，GI折叠，使点A，B恰好都落在线段CD上的点E处．当FG=EG时，AF的长是 ．三、综合题（17-19每题6分，20-21题每题8分，22题12分，共46分）17．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5，求：（1）△ABC的周长；（2）△ABC是否是直角三角形？为什么？18．在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF.（1）求证：BE=BF；（2）若∠CAE=30°，求∠ACF度数.19．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且∠ABD＝∠ACD，∠EAD＝∠BAC.（1）求证：AE＝AD；（2）若∠ACB＝65°，求∠BDC的度数.20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=8，BC=6，E，F分别是直线AC，AB上的动点，连结EF.（1）求CD的长.（2）若点E在边AC上，且3AE=2CE，EF⊥AC，求证：CF平分∠ACD.（3）是否存在点E，F，使得以C，E，F为顶点的三角形与△CDF全等?若不存在，请说明理由；若存在，求出所有符合条件的DF的长.21．在△ABC中，∠B=40°，∠ACB=110°，D为边BC延长线上一点，连接AD．（1）如图1，当∠D=∠B时，求证：AB=CD；（2）如图2，当∠D=2∠B时，求证：AB=AD+CD；、（3）如图3，当AB=CD时，求证：∠D=∠B．22．概念学习规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”.从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”.（1）理解概念如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”（2）概念应用如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°.求证：CD为△ABC的等角分割线.（3）在△ABC中，∠A=42°，CD是△ABC的等角分割线，直接写出∠ACB的度数.答案解析部分1-5．【答案】CDCBC6-10．【答案】DAACB11．【答案】6412．【答案】71°或19°13．【答案】①③14．【答案】7015．【答案】5216．【答案】2517．【答案】（1）解：∵AD⊥BC，AD＝12，BD＝16∴AB= AD2+BD2=122+162=20同理：AC= AD2+CD2=122+52=13∴△ABC的周长为AC+BC+AB=AC+BD+DC+AB=13+16+5+20=54；（2）解：∵BC2=（BD+DC）2=212=441，AB2=202=400，AC2=132=169 ∴BC2≠AB2+ AC2∴△ABC不是直角三角形．18．【答案】（1）证明：∵∠ABC=90°，∴∠CBF=∠ABE=90°，在Rt△ABE和Rt△CBF中{AE=CFAB=BC，∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)，∴BE=BF.（2）解：∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠CAB=∠ACB=45°，又∵∠BAE=∠CAB−∠CAE=45°−30°=15°，由（1）知：Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF=∠BAE=15°，∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=15°+45°=60°.19．【答案】（1）证明：∵∠BAC＝∠EAD∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC即：∠BAE＝∠CAD在△ABE 和△ACD 中{∠ABD =∠ACD AB =AC ∠BAE =∠CAD，∴△ABE ≌△ACD （ASA ），∴AE ＝AD ；（2）解：∵∠ACB ＝65°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝65°，∴∠BAC ＝180°﹣∠ABC ﹣∠ACB ＝180°﹣65°﹣65°＝50°，∵∠ABD ＝∠ACD ，∠AOB ＝∠COD ，∴∠BDC ＝∠BAC ＝50°.20．【答案】（1）解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB =62+82=10.∵CD ⊥AB 于点D ，∴S △ABC =12AC·BC =12AB·CD ，∴ 10CD=6×8，即CD =245.（2）解：如图1，∵3AE=2CE ，AC=8，CD =245，∴CE =35×8=245，即CE=CD.∵CD ⊥AB ，EF ⊥AC ，∴∠CDF=∠CEF=90°.∵CF=CF ，∴△CEF ≌△CDF(HL)，∴∠ECF=∠DCF ，∴CF平分∠ACD.（3）解：存在点E，F，使得以C，E，F为顶点的三角形与△CDF全等.由题意，以C，E，F为顶点的三角形与△CDF全等，CF是公共边，有四种情形：①如图2，若点E，F在线段AC，AD上.当CE=CD，∠CDF=∠CEF=90°时，∵CF=CF，∴△CEF≌△CDF，∴CE=CD=245，AE=8−245=165.∵EF=FD，EF2+AE2=AF2，∴FD2+(165)2=(325−FD)2，∴FD=125.②如图3，若点E，F在射线AC，AB上.同①可得△CEF≌△CDF，∴CE=CD=245，AE=8+245=645.∵EF=FD，EF2+AE2=AF2，∴FD2+(645)2=(FD+325)2，∴FD=485.③如图4，若点E在线段AC上，点F在线段BD上.当EF=CD，∠CDF=∠CEF=90°时，∵CF=CF，∴△CEF≅△FDC，∴EF=CD=245，CE=FD.∵E F2+A E2=A F2，∴(245)2+(8−FD)2=(325+FD)2，∴FD=85.④如图5，若点E在射线CA上，点F在射线BA上.当EF=CD，∠CDF=∠CEF=90°时，∵CF=CF，∴△CEF≅△FDC，此时△ACD≅△AFE，∴FD=AF+AD=AC+AD=8+325=725.综上，所有符合条件的DF的长是85，125，485，725.21．【答案】（1）证明：∵∠ACB=110°，∴∠ACD=180°−∠ACB=70°，∵∠D=∠B=40°，∴AB=AD，∠CAD=180°−∠D−∠ACD=70°，∴∠ACD=∠CAD，∴CD=AD，∴AB=CD；（2）证明：如图所示，在AB上截取一点E使得AE=AD，连接CE，∵∠ACB=110°，∴∠ACD=180°−∠ACB=70°，∵∠D=2∠B=80°，∴∠CAD=180°−∠ACD−∠ADC=30°，∵∠BAC=180°−∠B−∠ACB=30°，∴∠CAE=∠CAD，又∵AE=AD，AC=AC，∴△CAE≌△CAD(SAS)，∴CD=CE，∠AEC=∠D，∵∠AEC=∠D=2∠B=∠B+∠BCE，∴∠B=∠BCE，∴BE=CE，∴BE=CD，∵AB=AE+BE∴AB=AD+CD；（3）证明：如图所示，在射线CD上取一点H，使得AB=AH，连接AH，∴∠B=∠AHB由（1）同理可证明AB=CH，又∵AB=CD，∴CH=CD，∴点H和点D重合，∴∠B=∠ADB．22．【答案】（1）解：△ABC与△ACD，△ABC与△BCD，△ACD与△BCD是“等角三角形”；（2）证明：∵在△ABC中，∠A=40°，∠B=60°∴∠ACB=180°−∠A−∠B=80°∵CD为角平分线，∠ACB=40°，∴∠ACD=∠DCB=12∴∠ACD=∠A，∠DCB=∠A，∴CD=DA，∵在△DBC中，∠DCB=40°，∠B=60°，∴∠BDC=180°−∠DCB−∠B=80°，∴∠BDC=∠ACB，∵CD=DA，∠BDC=∠ACB，∠DCB=∠A，∠B=∠B，∴CD为△ABC的等角分割线；（3）解：∠ACB的度数为111°或84°或106°或92°.。

八年级冀教版数学《特殊三角形》测试卷考生注意：1．本试卷共6页，总分100分，考试时间90分钟．题号一二三总分21 22 23 24 25 26 27得分一、选择题（本大题共10个小题；每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在题中的括号内）1．等腰三角形两边长为4和8，它的周长是_____．（）A 16B 18C 20D 16或182．等腰三角形的一个外角为140º，则它的底角为（）A 100ºB 40ºC 70ºD 70º或40º3. 直角三角形中，若斜边长为5cm,周长为12cm,则它的面积为（）A 、12㎝²B 、6㎝²C 、8㎝²D 、9㎝²4. 如图，D为等边三角形ABC的AC边上一点，BD=CE, ∠1=∠2，那么三角形ADE是（）A、钝角三角形B、等腰三角形C、等边三角形D、直角三角形5．三角形三边长分别为6、8、10，那么它的最短边上的高为（）A、 4 B 、5 C 、6 D 、86．边长为7、24、25的三角形ABC内有一点P到三边的距离相等，则这个距离是（）A、1 B 、3 C 、4 D 、67．.如图，△ABC中，AB=AC,∠C=30º，AB的垂直平分线交BC于E,则下列结论正确的是（）得分阅卷人A、BE=½CEB、BE=1/3CEC、BE=¼CED、不能确定8. 如图，在等边△ABC 中，AC=9，点O在AC上，且AO=3,点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD,要使点D恰好落在BC上，则AP的长是( )A、4 B 、5 C 、6 D 、89. 如图，△ABC中，∠B=∠C,FD⊥BC,DE⊥AB, ∠AFD=158°,则∠EDF等于（）A、68° B 、58°C 、78°D 、86°10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,点D是斜边AB的中点，DE⊥AC于E,若DE=2,CD=25，则BE的长为（）A、42 B 、32C 、33D 、8得分阅卷人二、填空题（本大题共10个小题；每小题2分，共20分．把答案写在题中横线上）11．等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则其底边上的高为______.12．在△ABC中，AB=AC,BD是∠ABC的平分线，且BD=AD,则∠A=_____ 13．E、F分别是Rt△ABC的斜边AB上的两点，AF=AC，BE=BC，则∠ECF=______14. 有一根长7cm的木棒，要放进长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm的木箱，_______(填“能”或“不能”)放进去。

八年级上册数学单元测试题第2章特殊三角形一、选择题1．已知在△ABC和△DFE中，∠A=∠D=90°，则下列条件中不能判定△ABC和△DEF 全等的是（）A．AB=DE，AC=DF B．AC=EF,BC=DF C．AB=DE，BC=FE D．∠C=∠F，BC=FE 答案：B2．下列图形：①线段；②角；③数字7；④圆；⑤等腰三角形；⑥直角三角形．其中轴对称图形是（）A．①②③④B．①③④⑤⑥C．①②④⑤D．①②⑤答案：C3．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（）A．过顶点的直线B．底边上的高所在的直线C．顶角平分线所在的直线D．腰上的高所在的直线答案：C4．我们知道，等腰三角形是轴对称图形，下列说法中，正确的是（）A．等腰三角形顶角的平分线所在的直线是它的对称轴B．等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴C．等腰三角形底边上的高线所在的直线是它的对称轴D．以上都对答案：D5．如图，∠A =15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠DEF 等于（）A．90°B．75°C．60°D．45°答案：C6．如果△ABC是等腰三角形，那么∠A，∠B的度数可以是（）A．∠A=60°，∠B=50°B．∠A=70°，∠B=40°C．∠A=80°，∠B=60°D．∠A=90°，∠B=30°答案：B7．在一个直角三角形中，有两边长为6和8，下列说法正确的是（）A．第三边一定为10 B．三角形周长为25C．三角形面积为48 D．第三边可能为10答案：D8．如图，将圆桶中的水倒入一个直径为40cm，高为55cm的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线的夹角为45o．若使容器中的水与圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为（）A．10cm B．20cm C．30cm D．35cm答案：D9．如图AB=AC，DE⊥AB，DF⊥AC，AD⊥BC，则图中的全等三角形有（）A．1对B．2对C．3对D．4对答案：C10．三角形内到三角形各边的距离都相等的点必在三角形的（）A．中线上B．平分线上C．高上D．中垂线上答案：B11．等腰三角形的“三线合一”是指（）A．中线、高、角平分线互相重合B．腰上的中线、腰上的高、底角的平分线互相重合C．顶角的平分线、中线、高线三线互相重合D．顶角的平分线、底边上的高及底边上的中线三线互相重合答案：D12．如图，在ΔABC中，AC=DC=DB，∠ACD=100°，则∠B等于（）A．50°B．40°C．25°D．20°答案：D13．如图，在等边ABC △中，9AC =，点O 在AC 上，且3AO =，点P 是AB 上一动点，连结OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60得到线段OD ．要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．8答案：C14．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm ，正方形A 的边长为6cm 、B 的边长为5cm 、C 的边长为5cm ，则正方形D 的边长为（ ）A ．B ．4cmCD ．3cm答案：A15．如图，△ABC 中，AB=AC ，过AC 上一点作DE ⊥AC ，EF ⊥BC ，若∠BDE=140°，则∠DEF= （ ）A ．55°B ．60C ．65°D ．70°答案：C16．在等腰直角三角形ABC 中，AB=AC=2, D 为腰AB 的中点，过点D 作DE ⊥AB 交BC 边于点E ，则BE 等于（ ）A ． 1B ．2CD ．2答案：C17．三角形的三边长a、b、c满足等式（22+-=，则此三角形是（）a b c ab()2A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形答案：B二、填空题18．和对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边直角边”或“”．解析：斜边，直角边，HL19．如图，在△ABC 中，AB=AC，D 是AC 上的一点，使 BD=BC=AD，则∠A = ．解析：36°20．如图，△ABC是等边三角形，中线BD、CE相交于点0，则∠BOC= ．解析：120°21．如图,将一等边三角形剪去一个角后，∠1+∠2= ．解析：240°22．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠ACD=52°，则∠BDC= ．解析：97°23．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=5，D是AB的中点，△BCD的周长是l8，则AB的长是．解析：1324．等腰三角形两边的长是两个连续的偶数，周长为20，则该等腰三角形的腰长是．解析：625．已知△ABC的三边长分别是8 cm，10 cm ，6 cm，则△ABC的面积是 cm2．解析：2426．如图，AB⊥BC，BC⊥CD，当时，Rt△ABC≌Rt△DCB(只需写出一个条件).解析：答案不唯一，如AB=CD27．有一个角等于70°的等腰三角形的另外两个角的度数是．解析：55°，55°或70°，40°28．如图，B、C是河岸两点，A是对岸一点，测得∠ABC=45°，BC=60m ，∠ACB=45°，则点A到岸边BC的距离是 m．解析：3029．三角形中，和顶角相邻的外角的平分线和底边的位置关系是 .解析：平行30．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1+∠2+∠3＝ .解析：135°31．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，CD⊥AB，交AB于D，若AB=a，则CD= ．32．在△ABC中，∠A = 60°，若要使它为等边三角形，则需补充条件： (只需写出一个条件).解析：答案不唯一，如∠B=60°33．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm ，则正方形A、B、C、D的面积的和为 cm2．解析：49三、解答题34．等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，则这个等腰三角形的顶角的度数为多少?并说明理由．解析：45°或l35°35．如图，在△ABC中，∠1=∠2，AB=AC=10，BD=4，求△ABC的周长．解析：2836．如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，说明：△ABC是等腰三角形．解析：说明△ABD≌△△ACD37．如图，在△ABC 中，∠ABC= 50°，∠ACB=70°，延长 CB 至D使 BD=BA，延长BC 至E使 CE=CA. 连结 AD、AE，求△ADE 各内角的度数.解析：∠D=25°，∠E=35°，∠DAF=120°38．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AD=AE，DE∥BC，试说明AB=AC．解析：说明∠B=∠C39．取出一张长方形的纸，沿一条对角线折叠，如图所示，问：重叠部分是一个什么三角形?并说明理由．解析：等腰三角形，说明∠ABD=∠C′DB=∠BDC40．如图，C表示灯塔，轮船从A处出发以每小时21海里的速度向正北(AN方向)航行，在A处测得么∠NAC=30°，3小时后，船到达B处，在B处测得么∠NBC=60°，求此时B到灯塔C的距离．解析：63海里41．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AE是△ABC中与∠BAC相邻的外角的平分线，且AE∥BC，则△ABC是等边三角形吗?为什么?解析：△ABC是等边三角形．说明三个内角都是60°42．如图，在等边△ABC中，点D、E分别是边AB，AC的中点，说明BC=2DE的理由．解析：说明△ADE是等边三角形43．如图，陈华同学想测量一个无法直接测量的深沟的宽度(即图中A、B之间的距离)，他从点B出发，沿着与直线AB成80°角的BC方向(即∠CBD=80°)前进至C，在C处测得∠C=40°，他量出BC的长为20米，于是就说这深沟的宽度也为20米，你认为陈华同学的说法对吗?你能说出理由吗?解析：陈华同学的说法正确，理由略44．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=5∠B．求∠A和∠B的度数．解析：∠A=75°,∠B=15°45．如图，AD是△ABCD的高，点E在AC边上，BE交AD于点F，且AC=BF，AD=BD,试问BE与AC有怎样的位置关系？请说明理由.解析：BE与AC互相垂直，即BE⊥AC．理由：∵AD是△ABC的高，∴∠ADC=∠BDF=90°．∴△ADC和△BDF都是直角三角形．∵AC=BF，AD=BD，∴Rt△ADC≌Rt△BDF（HL)，∴∠C=∠DFB．∵∠DBF+∠FBD=90°，∴∠C+∠FBD=90°，∴∠BEC=90°，即BE⊥AC．46．如图所示，小明在距山脚下C处500 m的D处测山高，测得∠ADB=15°，又测得∠ACB=30°，求山的高度AB．解析：250 m47．如图，在△ABC 中，AB=AC=41 cm ，D 是AC 上的点，DC= 1cm ，BD=9 cm ，求△ABC 的面积．解析：184．5 cm 248．仅用一块没有刻度的直角三角板能画出任意角的平分线吗?(1)小明想出了这样的方法：如图所示，先将三角板的一个顶点和角的顶点0重合，一条直角边与OA 重合，沿另一条直角边画出直线1l ，再将三角板的同一顶点与0重合，同一条直角边与0B 重合，又沿另一条直角边画出直线2l ，1l 与2l 交于点P ，连结OP ，则0P 为∠AOB 的平分线，你认为小明的方法正确吗?为什么?(2)你还有别的方法吗?请叙述过程并说明理由．解析：(1)正确，理由略；(2)略49．如图，AB=CD，DF⊥AC于F，BE⊥AC于E，AE=CF，则BE=DF，请你说明理由．解析：说明Rt△ABE≌Rt△CDF50．如图①所示是某立式家具(角书橱)的横断面，请你设计一个方案(角书橱高2 m，房间高2．6 m，所以不必从高度方面考虑方案的设计)，按此方案，可使该家具通过图②中的长廊搬人房间，在图②中把你设计的方案画成草图，并通过近似计算说明按此方案可把家具搬人房间的理由．(注：搬运过程中不准拆卸家具，不准损坏墙壁)解析：如图放置，可求得 1.41 1.45≈<，所以能通过51．如图，△ABC中，∠ABC=100°,AM=AN，CN=CP，求∠MNP的度数．解析：40°52．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠A的平分线．试说明AC+CD=AB成立的理由．解析：略53．如图，在5×5 的正方形网格中，小正方形的边长为 1，横、纵线的交叉点称为格点，以AB为其中一边作等腰三角形，使得所作三角形的另一个顶点也在格点上，可以作多少个？请一一作出.解析：如图所示．可以作8个54．如图，△ACB 和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB= ∠ECD = 90°，D为 AB边上的一点，试说明：(1)△ACE≌△BCD；(2) AD2+BD2=DE2.解析：(1)∵∠ACB=∠ECD=90°，∴∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠ACE，即∠BCD=∠ACE，∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∴AC=BC，DC=EC，∴△ACE≌△BCD．(2)∵△ACB是等腰直角三角形，∴∠B=∠BAC=45°．∵△ACE≌△BCD，∴∠CAE=∠B=45°，∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°．∴△ADE是直角三角形，∴AD2+AE2=DE2．由(1)知，AE=BD，∴AD2+BD2=DE2．55．如图，已知△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E，使CE=CD．试判断△DEB是不是等腰三角形，并说明理由．解析：△DEB是等腰三角形．说明∠E=∠DBC=30°。

2022-2023学年浙教版八年级数学上册《第2章特殊三角形》单元综合测试题（附答案）一．选择题（共10小题，满分40分）1．下面说法错误的个数有（）（1）全等三角形对应边上的中线相等．（2）有两条边对应相等的等腰直角三角形全等．（3）一条斜边对应相等的两个直角三角形全等．（4）两边及其一边上的高也对应相等的两个三角形全等．A．1个B．2个C．3个D．4个2．观察下面A，B，C，D四幅图，其中与如图成轴对称的是（）A．B．C．D．3．如图，∠BAC＝110°，若A，B关于直线MP对称，A，C关于直线NQ对称，则∠P AQ 的大小是（）A．70°B．55°C．40°D．30°4．如图案分别表示“福”“禄”“寿”“喜”，其中不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．如图，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠BAC＝150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有如下结论：①∠EAD＝90°；②∠BOE＝60°；③OA平分∠BOC；④EA＝ED；⑤BP＝EQ．其中正确的结论个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个6．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（）A．105°B．115°C．120°D．130°7．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，BC的长为半径画弧交AC于点C、E，再分别以点C与点E为圆心，大于CE长的一半为半径画弧，两弧交于点F，连接BF交AC于点D，若∠A＝50°，则∠CBD的大小是（）A．25°B．40°C．50°D．65°8．已知射线OC平分∠AOB，点P、M、N分别在射线OC、OA、OB上，且PM＝PN，PE ⊥OA于点E，若∠PNO＝110°，则∠EPM的度数为（）A．20°B．35°C．55°D．70°9．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；④当∠BAD ＝30°时，BD＝CE．其中正确的结论的个数是（）A．1B．2C．3D．410．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC边中点，则下列结论不正确的是（）A．∠B＝∠C B．AD⊥BC C．∠BAD＝∠CAD D．AB＝2BC二．填空题（共6小题，满分24分）11．如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于O，AO的延长线交BC于F，则图中全等的直角三角形有对．12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，点D是BC上一动点（点D与点B不重合），连接AD，作B关于直线AD的对称点E，当点E在BC的下方时，连接BE、CE，则CE的取值范围是；△BEC面积的最大值为．13．如图，△APT与△CPT关于直线PT对称，∠A＝∠APT，延长AT交PC于点F，当∠A ＝°时，∠FTC＝∠C．14．如图，已知AB＝CB，要使四边形ABCD成为一个轴对称图形，还需添加一个条件，你添加的条件是．（只需写一个，不添加辅助线）15．如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的△ABC为格点三角形，在图中最多能画出个格点三角形与△ABC成轴对称．16．如图，∠A＝∠C＝90°，且AB＝AC＝4，D，E分别为射线AC和射线CF上两动点，且AD＝CE，当BD+BE有最小值时，则△BDE的面积为．三．解答题（共7小题，满分56分）17．如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．18．如图，直线l1∥l2，直线l3交直线l1于点B，交直线l2于点D，O是线段BD的中点．过点B作BA⊥l2于点A，过点D作DC⊥l1于点C，E是线段BD上一动点（不与点B，D 重合），点E关于直线AB，AD的对称点分别为P，Q，射线PO与射线QD相交于点N，连接PQ．（1）求证：点A是PQ的中点；（2）请判断线段QN与线段BD是否相等，并说明理由．19．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，点A关于直线BC的对称点为P，连接PB并延长．过点C作CD⊥AC，交射线PB于点D．（1）如图①，∠ACB为钝角时，补全图形，判断AC与CD的数量关系：；（2）如图②，∠ACB为锐角时，（1）中结论是否仍成立，并说明理由．20．如图，直线a⊥b，请你设计两个不同的轴对称图形，使a、b都是它的对称轴．21．如图，△ABC在正方形网格中，已知网格的单位长度为1，点A，B，C均在格点上，按要求回答下列问题：（1）分别写出点A，B，C的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）请在这个坐标系内画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于y轴对称．22．在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．设∠BAC＝α，∠BCE＝β．（1）如图（1），点D在线段BC上移动时，①角α与β之间的数量关系是；②若线段BC＝2，点A到直线BC的距离是3，则四边形ADCE周长的最小值是；（2）如图（2），点D在线段BC的延长线上移动时，①请问（1）中α与β之间的数量关系还成立吗？如果成立，请说明理由；②线段BC、DC、CE之间的数量是．23．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝2∠ABD，当△BDC是等腰三角形时，求：∠DBC 的度数．参考答案一．选择题（共10小题，满分40分）1．解：（1）全等三角形对应边上的中线相等．正确；（2）有两条边对应相等的等腰直角三角形一定全等．正确；（3）一条斜边对应相等的两个直角三角形不一定全等．错误；（4）两边及其一边上的高也对应相等的两个三角形一定全等．错误；故选：B．2．解：与已知图形成轴对称的图形是选项C：．故选：C．3．解：∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝70°，∵A，B关于直线MP对称，A，C关于直线NQ对称，又∵MP，NQ为AB，AC的垂直平分线，∴∠BAP＝∠B，∠QAC＝∠C，∴∠BAP+∠CAQ＝70°，∴∠P AQ＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ＝110°﹣70°＝40°故选：C．4．解：第一个图形不是轴对称图形，第二、三、四个图形是轴对称图形，故选：A．5．解：∵△ABD和△ACE是△ABC的轴对称图形，∴∠BAD＝∠CAE＝∠BAC，AB＝AE，AC＝AD，∴∠EAD＝3∠BAC﹣360°＝3×150°﹣360°＝90°，故①正确；∴∠BAE＝∠CAD＝（360°﹣90°﹣150°）＝60°，由翻折的性质得，∠AEC＝∠ABD＝∠ABC，又∵∠EPO＝∠BP A，∴∠BOE＝∠BAE＝60°，故②正确；∵△ACE≌△ADB，∴S△ACE＝S△ADB，BD＝CE，∴BD边上的高与CE边上的高相等，即点A到∠BOC两边的距离相等，∴OA平分∠BOC，故③正确；只有当AC＝AB时，∠ADE＝30°，才有EA＝ED，故④错误；在△ABP和△AEQ中，∠ABD＝∠AEC，AB＝AE，∠BAE＝60°，∠EAQ＝90°，∴BP＜EQ，故⑤错误；综上所述，结论正确的是①②③共3个．故选：B．6．解：过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接BE′，如图，此时BE+EF最小．∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠B′AD＝25°，∴∠AE′F′＝65°，∵BB′⊥AD，∴∠AGB＝∠AGB′＝90°，∵AG＝AG，∴△ABG≌△AB′G（ASA），∴BG＝B′G，∠ABG＝∠AB′G，∴AD垂直平分BB′，∴BE＝BE′，∴∠E′B′G＝∠E′BG，∵∠BAC＝50°，∴∠AB′F′＝40°，∴∠ABE＝40°，∴∠BE′F′＝50°，∴∠AE′B＝115°．故选：B．7．解：∵AB＝AC，∠A＝50°，∴∠ACB＝（180°﹣50°）÷2＝65°，由题意可知，BC＝BE，∴∠BEC＝∠ACB＝65°，∴∠CBE＝180°﹣65°×2＝50°，∴∠CBD＝∠CBE＝25°．故选：A．8．解：连接MN，∵射线OC平分∠AOB，PM＝PN，∴OP⊥MN，∠MOP＝∠NOP，∴∠MPO＝∠NPO，在△MOP与△NOP中，，∴△MOP≌△NOP（ASA），∴∠OMP＝∠PNO＝110°，∴∠EPM＝∠OMP﹣∠OEP＝110°﹣90°＝20°．故选：A．9．解：①∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝40°，∴∠BAD＝180°﹣40°﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣40°﹣∠ADB，∴∠BAD＝∠CDE；故①正确；②∵D为BC中点，AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠CDE＝50°，∵∠C＝40°，∴∠DEC＝90°，∴DE⊥AC，故②正确；③∵∠C＝40°，∴∠AED＞40°，∴∠ADE≠∠AED，∵△ADE为等腰三角形，∴AE＝DE，∴∠DAE＝∠ADE＝40°，∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠BAD＝60°，或∵△ADE为等腰三角形，∴AD＝DE，∴∠DAE＝∠AED＝70°，∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠BAD＝30°，故③错误，④∵∠BAD＝30°，∴∠CDE＝30°，∴∠ADC＝70°，∴∠CAD＝180°﹣70°﹣40°＝70°，∴∠DAC＝∠ADC，∴CD＝AC，∵AB＝AC，∴CD＝AB，∴△ABD≌△DCE（ASA），∴BD＝CE；故④正确；故选：C．10．解：A．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，故A不符合题意；B．∵AB＝AC，点D是BC边中点，∴AD⊥BC，故B不符合题意；C．∵AB＝AC，点D是BC边中点，∴∠BAD＝∠CAD，故C不符合题意；所以排除A，B，C，故选：D．二．填空题（共6小题，满分24分）11．解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∵AC＝AB，∵∠CAE＝∠BAD，∴△AEC≌△ADB（AAS）；∴CE＝BD，∵AC＝AB，∴∠CBE＝∠BCD，∵∠BEC＝∠CDB＝90°，∴△BCE≌△CBD（AAS）；∴BE＝CD，∴AD＝AE，∵AO＝AO，∴Rt△AOD≌Rt△AOE（HL）；∵∠DOC＝∠EOB，∴△COD≌△BOE（AAS）；∴OB＝OC，∵AB＝AC，∴CF＝BF，AF⊥BC，∴△ACF≌△ABF（SSS），△COF≌△BOF（SSS），综上所述，共有6对全等的直角三角形．故答案是：6．12．解：∵B、E关于AD对称，∴AE＝AB＝4，则可知E点在以A点为圆心、AE为半径的圆上，如图，在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，则BC＝5，当E点与B点重合时，有CE最长，即为5；又∵B、E不重合，∴CE＜5，当E点移动到F点时，使得A、C、F三点共线，此时CF最短，且为CF＝AF﹣AC＝4﹣3＝l，即CE最短为l，即CE的取值范围为：1≤CE＜5；当点E移动到使得AE⊥BC时，A点到BC的距离最短，则E点到BC的距离最大，则此时△BCE的面积最大，设AE交BC于点G点，利用面积可知AB×AC＝BC×AG，∴AG＝2.4，∵AE＝AB＝4，∴EG＝4﹣2.4＝1.6，∴△BCE的面积最大值为：1.6×5×＝4，∴△BCE的面积的最大值为4；故答案为：1≤CE＜5；4．13．解：∵△APT与△CPT关于直线PT对称，∴∠A＝∠C，TA＝TC，∠APT＝∠CPT，∵∠A＝∠APT，∴∠A＝∠C＝∠APT＝∠CPT，∵∠FTC＝∠C，∴∠AFP＝∠C+∠FTC＝2∠C＝2∠A，∵∠A+∠APF+∠AFP＝180°，∴5∠A＝180°，∴∠A＝36°，故答案为：36°．14．解：AD＝CD，理由：在△ABD与△CBD中，，∴△ABD≌△CBD，∴四边形ABCD是一个轴对称图形，故答案为：AD＝CD．15．解：如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称．故答案为：6．16．解：过点B作BE⊥CF于点N，∵∠A＝∠C＝90°，且AB＝AC＝4，∴四边形ACNB是正方形，∴AC＝CN，∵AD＝CE，∴CD＝NE△BEN≌△NDC，∴BE＝DN，延长BA到M．使得AM＝AB，则B，M关于AC对称，∴BD＝MD，∴BD+BE＝MD+DN，最小时，M，N，D三点共线，此时D为AC的中点，△BDE的面积为：0.5×（2+4）×4﹣0.5×4×2﹣0.5×2×2＝6．故答案为：6．三．解答题（共7小题，满分56分）17．证明：（1）在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°AC＝BD，BC为公共边，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；（2）△OBC是等腰三角形，∵Rt△ABC≌Rt△DCB，∴∠ACB＝∠DBC，∴OB＝OC，∴△OBC是等腰三角形．18．（1）证明：连接AE．∵点E关于直线AB，AD的对称点分别为P，Q，∴AP＝AE，AQ＝AE，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴AP＝AQ，∵AB⊥l2，∴∠2+∠3＝90°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，∴P，A，Q三点在同一条直线上，∴点A是PQ的中点．（2）解：结论QN＝BD，理由如下：连接PB．∵点E关于直线AB，AD的对称点分别为P，Q，∴BP＝BE，DQ＝DE，∠5＝∠6，∠7＝∠8，∵l1∥l2，DC⊥l1，∴DC⊥l2，∴∠7+∠9＝90°，∴∠8+∠10＝90°，∴∠9＝∠10，又∵AB⊥l2，DC⊥l2，∴AB∥CD，∴∠6＝∠9，∴∠5+∠6＝∠9+∠10，即∠OBP＝∠ODN，∵O是线段BD的中点，∴OB＝OD，又∠BOP＝∠DON，在△BOP和△DON中，∴△BOP≌△DON（AAS），∴BP＝DN，∴BE＝DN，∴QN＝DQ+DN＝DE+BE＝BD．19．解：（1）结论：AC＝CD．理由：如图①中，设AB交CD于O，∵A，P关于BC对称，CA＝CP，∴∠A＝∠P，∠ABC＝∠CBP＝45°，∴∠ABP＝∠ABD＝90°，∵AC⊥CD，∴∠ACO＝∠DBO＝90°，∵∠AOC＝∠DOB，∴∠D＝∠A，∴∠D＝∠P，∴CD＝CP，∴AC＝CD．故答案为：AC＝CD．（2）（1）中结论不变．理由：如图②中，∵A，P关于BC对称，CA＝CP，∴∠A＝∠P，∠ABC＝∠CBP＝45°，∴∠ABP＝∠ABD＝90°，∵AC⊥CD，∴∠ACD＝∠DBA＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝180°，∴∠A+∠BDC＝180°，∵∠CDP+∠BDC＝180°，∴∠A＝∠CDP∴∠CDP＝∠P，∴CD＝CP，∴AC＝CD．20．解：如下图所示：（答案不唯一）．21．解：（1）由图知，A（0，3）、B（﹣4，4）、C（﹣2，1）；（2）△ABC的面积为3×4﹣×2×2﹣×1×4﹣×2×3＝5，答：△ABC的面积为5；（3）如图所示，△A1B1C1即为所求．22．解：（1）①α+β＝180°；理由如下：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC∴∠CAE＝∠BAD，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠BAC+∠ABD+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠ACE+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠BCE＝180°，即α+β＝180°，故答案为：α+β＝180°；②由①知，△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，AD＝AE，∴CD+CE＝BD+CD＝BC＝2，当AD⊥BC时，AD最短，即四边形ADCE周长的值最小，∵点A到直线BC的距离是3，∴AD＝AE＝3，∴四边形ADCE周长的最小值是2+3+3＝8，故答案为：8；（2）①成立，理由如下：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ACD＝∠ABD+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，∴∠BAC＝∠DCE，∴∠BAC+∠BCE＝∠DCE+∠BCE＝180°，即α+β＝180°；②∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，∵BD＝BC+CD，∴CE＝BC+CD，故答案为：CE＝BC+CD．23．解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C．①当BD＝CD时，∠C＝∠CBD＜∠ABC，故不成立；②当BD＝BC时，∠C＝∠BDC＝∠A+∠ABD，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴∠A+∠A+∠ABD+∠A+∠ABD＝180°，∴3∠A+2∠ABD＝180°，4∠A＝180°，∴∠A＝45°，∴∠ABD＝22.5°，∴∠ABC＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ACD＝45°；③当CB＝CD时，∠CBD＝∠CDB＝∠A+∠ABD，设∠ABD＝x，∴∠A＝2x，∴∠CBD＝∠CDB＝3x，∴∠ABC＝∠C＝4x，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴2x+4x+4x＝180°，∴x＝18°，∴∠DBC＝54°；综上所述：∠DBC的度数为54°或45°．。