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2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业：第4章 第3节 平面向量的数量积与平面向量应用举例

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2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第8章-第7节-抛物线

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第8章-第7节-抛物线
π 答案 6
第30页，共61页。
直线与抛物线的位置关系
[典题导入] (2013·辽宁高考)如图，抛物线 C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p＞0)．点 M(x0，y0)在抛物线 C2 上，过 M 作 C1 的切线，切点为 A，B(M 为 原点 O 时，A，B 重合于 O)．当 x0＝1－ 2时，切线 MA 的斜率为 －12.
第18页，共61页。
当 PA⊥l 时，|PA|＋d 最小，最小值为27， 即|PA|＋|PF|的最小值为27， 此时 P 点纵坐标为 2，代入 y2＝2x，得 x＝2， ∴P 点的坐标为(2，2)．
第19页，共61页。
[规律方法] 涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用 抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解．
第20页，共61页。
[跟踪训练] 1．(2012·安徽高考)过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于
A，B 两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________． 解析 由题意知，抛物线的焦点 F 的坐标为(1， 0)，又∵|AF|＝3，由抛物线定义知，点 A 到准线 x＝－1 的距离为 3，∴点 A 的横坐标为 2. 将 x＝2 代入 y2＝4x 得 y2＝8，由图知，y＝2 2， ∴A(2，2 2)，∴直线 AF 的方程为 y＝2 2(x－1)．
第13页，共61页。
抛物线的定义及应用
[典题导入]
(1)(2013·江西高考)已知点 A(2，0)，抛物线 C：x2＝4y
的焦点为 F，射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M，与其准线相交于点
N，则|FM|∶|MN|＝
()
A．2∶ 5
B．1∶2
C．1∶ 5
D．1∶3

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第5章 第1节 数列的概念与简单表示法

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第5章 第1节 数列的概念与简单表示法

由an与Sn的关系求通项an [典题导入] 已知数列{an}的前n项和Sn，根据下列条件分别求它们
的通项an.
(1)Sn＝2n2＋3n；(2)Sn＝3n＋1. [听课记录] (1)由题可知， 当n＝1时，a1＝S1＝2×12＋3×1＝5， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n)－[2(n－1)2＋3(n－1)]＝ 4n＋1. 当n＝1时，4×1＋1＝5＝a1， 故an＝4n＋1.
nπ C．an＝2－sin 2
)
（－1）n＋1 B．an＝ 2 （－1）n－1＋3 D．an＝ 2
[听课记录]
由
nπ an＝2－sin 2 可得
a1＝1，
a2＝2为：0，1，0，1，„，则{an}的一个通项公式为 ________． 答案
出现，这也是数列与数集的区别．
2．数列的函数特征 数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2， 3，„，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的
函数解析式，即f(n)＝an(n∈N*)．
由数列的前几项求数列的通项公式
[典题导入]
(2014· 西安五校联考)下列公式可作为数列{an}： 1， 2， 1， 2， 1，2，„的通项公式的是 ( A．an＝1
[体验高考] 1．(2013· 新课标全国Ⅰ高考)设△AnBnCn 的三边长分别为 an，bn， cn，△AnBnCn 的面积为 Sn，n＝1，2，3，„.若 b1＞c1，b1＋c1 cn＋an bn＋an ＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝ ，cn＋1＝ ，则 2 2 ( A．{Sn}为递减数列 B．{Sn}为递增数列 C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列 )

金榜e讲堂高三人教版数学理一轮复习直线的倾斜角与斜率直线的方程优质课赛课一等奖市公开课获奖课件

金榜e讲堂高三人教版数学理一轮复习直线的倾斜角与斜率直线的方程优质课赛课一等奖市公开课获奖课件
第27页
[跟踪训练] 3．(2014·江苏扬州一模)如图，射线 OA，OB 分别与 x 轴正半轴成
45°和 30°角，过点 P(1，0)作直线 AB 分别交 OA，OB 于 A， B 两点，当 AB 的中点 C 恰好落在直线 y＝12x 上时，求直线 AB 的方程．
第28页
解析 由题意可得 kOA＝tan 45°＝1，
都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率． 2．由斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角范围；二是要考虑
正切函数单调性． 3．用截距式写方程时，应先判断截距是否为0，若不确定，
则需要分类讨论．
第13页
直线倾斜角与斜率
[典题导入]
(1)(2014·岳阳模拟)经过两点 A(4，2y＋1)，B(2，－3)的直
线的倾斜角为34π，则 y＝
kOB＝tan(180°－30°)＝－ 33，
所以直线
lOA：y＝x，lOB：y＝－
3 3 x.
设 A(m，m)，B(－ 3n，n)，
所以 AB 的中点 Cm－2 3n，m＋2 n，
第29页
由点 C 在直线 y＝12x 上，且 A，P，B 三点共线得
mmm＋－ －2 n01＝＝12－·mn－－3n20－3n1，，解得 m＝ 3，所以 A( 3， 3)． 又 P(1，0)，所以 kAB＝kAP＝ 3－3 1＝3＋2 3， 所以 lAB：y＝3＋2 3(x－1)， 即直线 AB 的方程为(3＋ 3)x－2y－3－ 3＝0.
第44页
[体验高考] (·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中， 点A(0，3)，直线l：y＝2x－4.设圆C半径为1， 圆心在l上． (1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C 切线，求切线方程； (2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C 横坐标a取值范围．

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第6章-第2节-一元二次不等式及其解法

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第6章-第2节-一元二次不等式及其解法
Δ＞0，
即 Δ＝4a2－4(2－a)≤0 或a＜－1， g（－1）≥0.
解得－3 ≤a≤1. 所求 a 的取值范围是[－3，1]．
第24页，共42页。
[互动探究] 本题中的“x∈[－1，＋∞)改为“x∈[－1，1)”，求 a 的取值范围．
解析 令 g(x)＝x2－2ax＋2－a，
由已知，得 x2－2ax＋2－a≥0 在[－1，1)上恒成立，
第38页，共42页。
[体验高考]
1．(2013·江西高考)下列选项中，使不等式 x＜1x＜x2 成立的 x 的取
值范围是
A．(－∞，－1)
B．(－1，0)
()
C．(0，1)
D．(1，＋∞)
A [原不等式等价于xx＞2＜01，＜x3，①或xx＜ 2＞01，＞x3， ② ①无解，解②得 x＜－1.故选 A.]
【思路导析】 利用新定义化简出f(x)，并作出图象分析．
第34页，共42页。
【解析】 根据新定义写出 f(x)的解析式，数形结合求出 m 的取 值，再根据函数的图象和方程的根等条件求解． 由定义可知， f(x)＝－（（2x－x－11））x，x，x≤x＞00，. 作出函数 f(x)的图象， 如图所示．
第17页，共42页。
2．解含参数的一元二次不等式可先考虑因式分解，再对根的 大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行 分类讨论，分类要不重不漏．
第18页，共42页。
1．解下列不等式：
[跟踪训练]
(1)－3x2－2x＋8≥0； (2)ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)． 解析 (1)原不等式可化为 3x2＋2x－8≤0， 即(3x－4)(x＋2)≤0.
第26页，共42页。
[跟踪训练] 2．若关于x的不等式x2－ax－a>0的解集为(－∞，＋∞)，则实

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学理一轮复习课件：第2章第4节函数的奇偶性及周期性学习资料

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学理一轮复习课件：第2章第4节函数的奇偶性及周期性学习资料

(2)设偶函数 f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且 f(2)＝0，则不等式
f（x）＋f（－x）
x
>0
的解集为
()
A．(－2，0)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(0，2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－2，0)∪(0，2)
[听课记录] ∵f(x)为偶函数， ∴f（x）＋xf（－x）＝2f（xx）>0. ∴xf(x)>0. ∴xf（>0x，）>0或xf（<0x，）<0. 又 f(－2)＝f(2)＝0，f(x)在(0，＋∞)上为减函数， 故 x∈(0，2)或 x∈(－∞，－2)． 答案 B
()
A．奇函数
B．偶函数
C．增函数
D．周期函数
D [当x∈[0，1)时，画出函数图象(图略)，再左右扩展知
f(x)为周期函数．故选D.]
2．(2013·湖南卷)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)
＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于
()
A．4
B．3
C．2
D．1
B [∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
答案 0
(2)(2014·晥南八校联考)已知定义在R上的奇函数满足f(x)＝x2 ＋ 2x(x≥0) ， 若 f(3 － a2)>f(2a) ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ________． 解析 因为f(x)＝x2＋2x在[0，＋∞)上是增函数， 又因为f(x)是R上的奇函数， 所以函数f(x)是R上的增函数， 要使f(3－a2)>f(2a)，只需3－a2>2a，解得－3<a<1. 答案 (－3，1)
[规律方法] 函数奇偶性的应用 (1)已知函数的奇偶性求函数的解析式． 利用奇偶性构造关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式． (2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数． 常常采用待定系数法：利用f(x)±f(－x)＝0产生关于字母的恒 等式，由系数的对等性可得知字母的值． (3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区 间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调 性相反．

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：选修4-4-第1节-坐标系

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：选修4-4-第1节-坐标系
答案 2
第15页，共48页。
[关键要点点拨]
1 ． 平 面 直 角 坐 标 系 中 任 意 一 点 P(x ， y) 在 伸 缩 变 换
x′＝λ·x，λ>0 y′＝u·y，u>0
的作用下对应到点 P′(x′，y′)．
2．极坐标系中，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，
特别地，极点 O 的坐标为(0，θ)(θ∈R)．
第36页，共48页。
[跟踪训练] 3．(2014·海口市调研)已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为
ρ＝2，ρ2－2 2ρcosθ－4π＝2. (1)把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
第37页，共48页。
解析 (1)ρ＝2⇒ρ2＝4， 所以 x2＋y2＝4. 因为 ρ2－2 2ρcosθ－π4＝2， 所以 ρ2－2 2ρcosθcosπ4＋sinθsinπ4＝2. 所以 x2＋y2－2x－2y－2＝0.
第13页，共48页。
解得xy＝＝－1，1， 故交点(－1,1)的极坐标为 2，34π.
答案
2，34π
第14页，共48页。
5．在极坐标系中，圆 ρ＝4cos θ 的圆心 C 到直线 ρsinθ＋π4＝2 2 的距离为________． 解析 注意到圆 ρ＝4cos θ 的直角坐标方程是 x2＋y2＝4x，圆 心 C 的坐标是(2,0)．直线 ρsinθ＋π4＝2 2的直角坐标方程是 x ＋y－4＝0，因此圆心(2,0)到该直线的距离等于|2＋02－4|＝ 2.
第19页，共48页。
∴y＝2μsin4λx＋π4.
与 y＝sin2x＋π4对比知，2μ4＝ λ＝12. ， ∴μ＝2，λ＝21. 所以所求伸缩变换为x′＝12x，

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第2章 第12节 导数的应用(一)


17 得 x＝1.比较 f(0)＝－4，f(1)＝－ 3 ， 10 f(2)＝－ 3 . 17 可知最小值为－ 3 . 答案 17 － 3
5．已知a>0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数， 则a的最大值是________．
解析 f′(x)＝3x2－a在x∈[1，＋∞)上f′(x)≥0，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0， 即f(x)在(1，＋∞)上单调递增． 从而函数f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝21， 在x＝1处取得极小值f(1)＝－6.
运用导数解决函数的最值问题 [典题导入] 已知函数f(x)＝(x－k)ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[0，1]上的最小值．
点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧 f′(x)＜0 ，右侧 f′(x)＞0 ，则点a叫做函数y＝f(x) 的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
2．函数的极大值：
函数y ＝f(x)在点 x ＝b的函数值f(b) 比它在点x ＝b附近的其
他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧 f′(x)＞0 ，右侧 f′(x)＜0 ，则点b叫做函数y＝
[规律方法]
求可导函数单调区间的一般步骤和方法 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它在定义域内的一切实数根； (3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实 数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数 f(x)的定 义区间分成若干个小区间；
(2)若函数f(x)在R上单调递减，
则f′(x)≤0对x∈R都成立，
即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≤0对x∈R都成立． ∵ex＞0，∴x2－(a－2)x－a≥0对x∈R都成立． ∴Δ＝(a－2)2＋4a≤0， 即a2＋4≤0，这是不可能的．

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第3章 第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数


1 根据已知条件2lR＝S 扇，
2S扇 则扇形的周长为：l＋2R＝ R ＋2R≥4 S扇， 2S扇 当且仅当 R ＝2R， l 即 R＝ S扇时等号成立，此时 l＝2 S扇，α＝R＝2， 因此当扇形的圆心角为 2 弧度时，扇形的周长取到最小值．
【创新探究】 三角函数线的应用 (2014·抚州一中月考)已知sin α＜sin β，那么下
是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对 集合中的参数k赋值来求得所需角． 2．已知角α的终边位置，确定形如kα，π±α等形式的角终边 的方法：先表示角 α 的范围，再写出 kα 、 π±α 等形式的角范
围，然后就k的可能取值讨论所求角的终边位置．
[跟踪训练] 1．(1)给出下列四个命题： 3π ①－ 4 是第二象限角； 4π ② 3 是第三象限角； ③－400°是第四角限角； ④－315°是第一象限角． 其中正确的命题有 ( )
A．1个 C．3个
B．2个 D．4个
(2) 如果角α是第二象限角，则π－α角的终边在第 ________象
限．
解析
3π 4π π (1)－ 4 是第三象限角，故①错误. 3 ＝π＋3，
4π 从而 3 是第三象限角正确．－400° ＝－360° －40° ， 从而③正确．－315° ＝－360° ＋45° ，从而④正确．
利用时要注意准确理解并作出角在各象限内的三角函数
线．同时，注意三角函数线的方向代表三角函数值的正负， 其长度代表三角函数值的大小．
[体验高考] 1．(2011· 课标全国高考)已知角 θ 的顶点与原点重合，始边与 x 轴 的正半轴重合，终边在直线 y＝2x 上，则 cos 2θ ＝ 4 A．－5 3 C.5 3 B．－5 4 D.5 ( )

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第8章-第5节-椭圆


5－m＞0， C [由方程表示椭圆知m＋3＞0，
5－m≠m＋3，
解得－3＜m＜5 且 m≠1.]
第8页，共62页。
3．(2012·淮南五校联考)椭圆x92＋4＋y2 k＝1 的离心率为45，则 k 的值
为
A．－21
B．21
()
C．－1295或 21
D.1295或 21
第9页，共62页。
C [若 a2＝9，b2＝4＋k，则 c＝ 5－k， 由ac＝45，即 53－k＝54，得 k＝－1295； 若 a2＝4＋k，b2＝9，则 c＝ k－5， 由ac＝45，即 4k－＋5k＝54，解得 k＝21.]
第26页，共62页。
[跟踪训练]
2．(1)(2014·合肥一中最后冲刺)已知点 F1，F2 是椭圆 x2＋2y2＝2 的
两个焦点，点 P 是该椭圆上的一个动点，那么|P→F1＋P→F2|的最小 值是( )
A．0
B．1
C．2
D．2 2
C [由椭圆 x2＋2y2＝2，可得x22＋y2＝1，则 c＝1.
第33页，共62页。
因为 A(－ 3，0)，B( 3，0)， 所以A→C·D→B＋A→D·C→B＝(x1＋ 3，y1)·( 3－x2，－y2)＋(x2＋ 3， y2)·( 3－x1，－y1) ＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1) ＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2＝6＋22k＋2＋31k22. 由已知得 6＋22k＋2＋3k122＝8，解得 k＝± 2.
(ⅰ)求O→A·O→B的最值； (ⅱ)求证：四边形 ABCD 的面积为定值． 解析 (1)由题意 e＝ac＝ 22，a42＋b22＝1.又 a2＝b2＋c2，解得 a2＝8， b2＝4，椭圆的标准方程为x82＋y42＝1.

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第5章-第1节-数列的概念与简单表示法

第29页，共44页。
[互动探究] 在本例条件下，设 bn＝ann，则 n 为何值时，bn 取得最小值？并求 出最小值． 解析 bn＝ann＝n2－21nn＋20＝n＋2n0－21， 令 f(x)＝x＋2x0－21(x>0)，则 f′(x)＝1－2x02 ， 由 f′(x)＝0 解得 x＝2 5或 x＝－2 5(舍)．
1，2，…的通项公式的是
A．an＝1
B．an＝（－12）n＋1
()
C．an＝2－sinn2π
D．an＝（－1）2 n－1＋3
第14页，共44页。
[听课记录] 由 an＝2－sinn2π可得 a1＝1， a2＝2，a3＝1，a4＝2，….
答案 C
第15页，共44页。
[互动探究] 若本例中数列变为：0，1，0，1，…，则{an}的一个通项公式为 ________． 答案 an＝01（ （nn为 为奇 偶数 数） ）.，或 an＝1＋（2－1）n或 an＝1＋co2s nπ
第32页，共44页。
[跟踪训练]
3．数列{an}的通项 an＝n2＋n 90，则数列{an}中的最大值是
A．3 10
B．19
()
1
10
C.19
D. 60
C
[an＝n＋19n0，由基本不等式得，n＋19n0≤2
1， 90
由于 n∈N*，易知当 n＝9 或 10 时，an＝119最大．]
第33页，共44页。
第17页，共44页。
[跟踪训练] 1．写出下面数列的一个通项公式．
(1)3，5，7，9，…； (2)12，34，78，1156，3312，…； (3)3，33，333，3 333，…； (4)－1，23，－13，34，－15，36，….
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课时作业
一、选择题
1．若向量a ＝(x ＋1，2)和向量b ＝(1，－1)平行，则|a ＋b|＝
( ) A.10 B.102
C. 2
D.22
C [依题意得，－(x ＋1)－2×1＝0，得x ＝－3，
故a ＋b ＝(－2，2)＋(1，－1)＝(－1，1)，
所以|a ＋b|＝（－1）2＋12＝ 2.]
2．已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－4，7)，则a 在b 方向上的投影为
( )
A.13
B.135
C.65
D.655
D [依题意得，向量a 在b 方向上的投影为a·b |b|＝2×（－4）＋3×7（－4）2＋72
＝655.] 3．已知非零向量a ，b 满足|a ＋b|＝|a －b|＝233|a|，则a ＋b 与a －b 的夹角θ为
( )
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
B [将|a ＋b|＝|a －b|两边同时平方得a·b ＝0；
将|a －b|＝233|a|两边同时平方得b2＝13a2，
所以cos θ＝（a ＋b ）·（a －b ）|a ＋b|·|a －b|
＝a2－b243a2
＝12. 又0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.]
4．(2012·湖南高考)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC →＝1，则BC ＝
( )
A. 3
B.7
C ．2 2 D.23
A [∵A
B →·B
C →＝1，且AB ＝2，
∴1＝|AB →||BC →|cos(π－B)，∴|BC →|cos B ＝－12.
在△ABC 中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B ， 即9＝4＋BC2－2×2×⎝⎛⎭
⎫－12.∴BC ＝ 3.]
5．(2014·石家庄模拟)已知平面向量a ，b ，|a|＝1，|b|＝3，且|2a ＋b|＝7，则向量a 与向量a ＋b 的夹角为
( )
A.π2
B.π3
C.π6 D ．π
B [∵|2a ＋b|2＝4|a|2＋4a·b ＋|b|2＝7，
|a|＝1，|b|＝3，
∴4＋4a·b ＋3＝7，
a·b ＝0，∴a ⊥b.
如图所示，a 与a ＋b 的夹角为∠COA ，
∵tan ∠COA ＝|CA||OA|＝3，
∴∠COA ＝π3，即a 与a ＋b 的夹角为π3.]
6．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝3BD →，|AD →|＝1，
则AC →·AD →＝
( ) A ．2 3
B ．3 3 C.32 D. 3
D [建系如图．
设B(xB ，0)，D(0，1)，
C(xC ，yC)，
BC →＝(xC －xB ，yC)，
BD →＝(－xB ，1)，
∵BC →＝3BD →，∴xC －xB ＝－3xB ⇒xC ＝(1－3)·xB ，yC ＝3，AC →＝((1－3)xB ，3)，AD →＝
(0，1)，AC →·AD →＝ 3.]
二、填空题
7．(2014·“江南十校”联考)若|a|＝2，|b|＝4，且(a ＋b)⊥a ，则a 与b 的夹角是________． 解析 设向量a ，b 的夹角为θ.
由(a ＋b)⊥a 得(a ＋b)·a ＝0，
即|a|2＋a·b ＝0，
∵|a|＝2，∴a·b ＝－4，
∴|a|·|b|·cos θ＝－4，
又|b|＝4，∴cos θ＝－12，
即θ＝2π3.∴向量a ，b 的夹角为2π3.
答案 2π3
8．(2012·新课标全国卷)已知向量a ，b 夹角为45°，且|a|＝1，|2a －b|＝10，则|b|＝________．
解析 ∵a ，b 的夹角为45°，|a|＝1，
∴a·b ＝|a|·|b|·cos 45°＝22|b|，
∴|2a －b|2＝4－4×22|b|＋|b|2＝10.∴|b|＝3 2.
答案 3 2
9．(2013·天津高考)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE
→＝1，则AB 的长为__________．
解析 如图所示，在平行四边形ABCD 中，
AC →＝AB →＋AD →，
BE →＝BC →＋CE →＝－12AB →＋AD →.
所以AC →·BE →＝(AB →＋AD →)·⎝⎛⎭
⎫－12AB →＋AD → ＝－12|AB →|2＋|AD →|2＋12AB →·AD → ＝－12|AB →|2＋14|AB →|＋1＝1，
解方程得|AB →|＝12(舍去|AB →|＝0)，
所以线段AB 的长为12.
答案 12
三、解答题
10．已知a ＝(1，2)，b ＝(－2，n)，a 与b 的夹角是45°.
(1)求b ；
(2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c.
解析 (1)∵a·b ＝2n －2，|a|＝5，|b|＝n2＋4，
∴cos 45°＝2n －25·n2＋4＝22， ∴3n2－16n －12＝0(n>1)．
∴n ＝6或n ＝－23(舍)．∴b ＝(－2，6)．
(2)由(1)知，a·b ＝10，|a|2＝5.
又∵c 与b 同向，故可设c ＝λb(λ>0)．
∵(c －a)·a ＝0，∴λb·a －|a|2＝0.
∴λ＝|a|2b·a ＝510＝12.
∴c ＝12b ＝(－1，3)．
11．已知|a|＝4，|b|＝8，a 与b 的夹角是120°.
(1)计算：①|a ＋b|，②|4a －2b|；
(2)当k 为何值时，(a ＋2b)⊥(ka －b)?
解析 由已知得，a·b ＝4×8×⎝⎛⎭
⎫－12＝－16. (1)①∵|a ＋b|2＝a2＋2a·b ＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，
∴|a ＋b|＝4 3.
②∵|4a －2b|2＝16a2－16a·b ＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768， ∴|4a －2b|＝16 3.
(2)∵(a ＋2b)⊥(ka －b)，∴(a ＋2b)·(ka －b)＝0，
∴ka2＋(2k －1)a·b －2b2＝0，即16k －16(2k －1)－2×64＝0.∴k ＝－7. 即k ＝－7时，a ＋2b 与ka －b 垂直．
12．设在平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α)(0°≤α<360°)，b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，32. (1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；
(2)当向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求α的大小．
解析 (1)证明：因为(a ＋b)·(a －b)＝|a|2－|b|2＝(cos2α＋sin2α)－⎝⎛⎭
⎫14＋34＝0， 所以a ＋b 与a －b 垂直． (2)由|3a ＋b|＝|a －3b|，两边平方得
3|a|2＋23a ·b ＋|b|2＝|a|2－23a ·b ＋3|b|2，
所以2(|a|2－|b|2)＋43a ·b ＝0.
而|a|＝|b|，所以a·b ＝0， 则⎝⎛⎭
⎫－12×cos α＋32×sin α＝0，即cos(α＋60°)＝0， 所以α＋60°＝k·180°＋90°，
即α＝k·180°＋30°，k ∈Z.
又0°≤α＜360°，则α＝30°或α＝210°.。