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工程力学07章-1应力状态

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工程力学 材料力学M7-复杂应力状态

工程力学 材料力学M7-复杂应力状态

σ3
σ2
σ1
《材料力学》
第7章(1) 复杂应力状态
20
四、应力状态的分类
4. 简单应力状态
σ
单向应力状态
( One Dimensional State of Stresses )
τ
纯切应力状态
( ShearingState of Stresses )
《材料力学》
第7章(1) 复杂应力状态
21
例题 1
《材料力学》 第7章(1) 复杂应力状态 37
三、主平面、主应力与主方向
考查一下正应力的极值

x y
2

x y
2
cos 2 xy sin 2
将上式对α求一次导数，并令其等于零，有
x y d 2[ sin 2 xy cos 2 ] 0 d 2
二、应力的三个重要概念
应力的点的概念; 应力的面的概念; 应力状态的概念。
《材料力学》
第7章(1) 复杂应力状态
9
二、应力的三个重要概念
FQ
不同点的应力各不相同（大小、方向） ------------应力的点的概念
cos 2
F
K


2
sin 2
同一点在不同方向面上的应力也各不相同----------应力 的面的概念。
《材料力学》
第7章(1) 复杂应力状态
10
二、应力的三个重要概念
应 力
指明
哪一个面上？ 哪一点？ 哪一点？ 哪个方向面？
过一点不同方向面上应力的集合，称为这一点 的应力状态（State of the Stresses of a Given Point）。

工程力学第1节 应力状态的概念

工程力学第1节 应力状态的概念
轴 向 拉 伸 单元体的左、右表面上的正应力为： F / A
单元体的上、下侧面和前、后侧面均无应力。
圆杆在扭转时 如图所示，对于其表面 上的 B 点，可以围绕该点以 杆的横截面和径向、周向纵 截面截取代表它的单元体进 行研究。横截面上在 B 点处 的切应力： 杆在周向截面上没有应力。 式中： 又由切应力互等定理可知， MT — 横截面上的扭矩； 杆在径向截面上 B 点处应该 WP — 抗扭截面系数， 有与相等的切应力。于是此 单元体各侧面上的应力如图 T — 扭矩。
工 字
钢
实 例
如图所示，设拉杆的任一斜截面m-m与其横截面 相交成 角。采用截面法研究此斜截面上的应力，取 左边部分研究，由平衡方程可得到斜截面上的内力为
F Fห้องสมุดไป่ตู้
设杆由许多纵向 纤维组成，杆拉伸时 伸长变形是均匀的， 因此斜截面上的分布 内力必然是均匀分布 的，即各点处的应力 相等，于是
MT T B max WP WP
三、主平面、主应力、应力状态的分类 主单元体：在一般情况下，表示一点处应力状态的 应力单元体在其各个表面上同时存在有正应力和切 应力。但是可以证明：在该点处以不同方式截取的 各个单元体中，必有一个特殊的单元体，在这个单 元体的侧面上只有正应力而没有切应力。这样的单 元体称为该点处的主应力单元体或主单元体。
F F p A A
式中：p—斜截面上任一点处的 总应力，其方向沿x 轴正向；
根据斜截面面积A与横截面面积A的几何关系得到：
F p 0 cos A / cos
杆横截面上的正应力 为研究方便，将分解为沿斜 截面m-m的法线分量和切线分 量，如图c所示。分解得：
0 F / A
1）单向应力状态 2）二向应力状态

工程力学第七章应力状态

工程力学第七章应力状态

σy τ
τ x 0.2
σ y 0.4
τy σy
τ y 0.2
25
解: (1) 画应力圆 OB1 = x= - 1MPa , B1 D1 = x= - 0.2MPa,定出 D1点;
OB2 =y= - 0.4MPa 和 B2D2 = y = 0.2MPa , 定出 D2 点 .
35
250KN 解: 首先计算支反力, 并作出 梁的剪力图和弯矩图 A C 1.6m 2m QC左 = 200 kN
200KN
B
+ MC = 80 kN•m
50KN
+
36
6 4 120300 111270 8810 mm IZ 12 12 3 3
ya 135mm
S
* za
120 15 (150 7.5) 256000mm3
2
x y
o
C

σ x σ y
2
图 13-2
19
2
应力圆作法

(b)
在 - 坐标系内 , 选定比例尺 o 量取 OB1 = x , B1D1 = x , 得 D1点 x B1
D1

τy
σy
σx τx
τy
σx
图 13-3
τx
σy
20
量取 OB2=y , B2D2= y , 得D2 点 o y B2 D2 x B1
23
3
利用应力圆求单元体上任一 截面上的应力
从应力圆的半径 CD 1 按方位角 的转向转动 2 , 得到半径 CE , 圆周上 E 点的 ¸ 坐标 就依次为 ¸ 。
24
例题7-1

工程力学-材料力学之应力应变状态分析

工程力学-材料力学之应力应变状态分析

σ1

μσ2

σ3
0
2

1 E
σ2

σ1

σ3


0
z
y
y
z
x
x
12
(Analysis of stress-state and strain-state)
解得
σ1

σ2

(1 1 2
)
σ
3

铜块的主应力为
0.34(1 0.34) 1 - 0.342
二、各向同性材料的体积应变（The volumetric strain for isotropic materials)
构件每单位体积的体积变化, 称为体积应变用θ表示.
各向同性材料在三向应力状态下的体应变
如图所示的单元体，三个边长为 a1 , a2 , a3 变形后的边长分别为
a1(1+，a2(1+2 ，a3(1+3
对于平面应力状态（In plane stress-state）
(假设 z = 0，xz= 0，yz= 0 )
y
1 εx E (σx μσ y )
εy

1 E
(σ y

μσx )
εz

μ E
(σ
y

σx)
z

xy

xy
G
y
yx xy
x
x
y yx xy x
6
(Analysis of stress-state and strain-state)
(Analysis of stress-state and strain-state)

工程力学7第七章应力状态和应变状态分析

工程力学7第七章应力状态和应变状态分析

x y x y cos 2 x sin 2 2 2 x y sin 2 x cos 2 2
0
x y
2
(
x y
2
)
2
2
2 x
y
y
y
2
090
0
x y
2
(
x y
2
2、为什么要研究一点的应力状态 单向应力状态和纯剪切应力状态的强度计算
σmax≤ [σ] τ
max≤[τ
]
梁截面上的任意点的强度如何计算？
分析材料破坏机理
F F F F T
T
3、怎么研究一点的应力状态
单元体
•各面上的应力均匀分布





• 相互平行的一对面上 应力大小相等、符号相同
满足：力的平衡条件 切应力互等定理
§7-2 平面应力状态分析
一、解析法:
1.任意斜面上的应力 y

y

y
y
y
n
y

x
a
x

e
d
x

x
x
bz
x
x

x
e
x
x




y


f
yy
x
x

b


c
y

y

y
f t
应力的符号规定同前 α角以从x轴正向逆时针 转到斜面的法线为正
(设ef的面积为dA)
x y x y cos 2 x sin 2 2 2 x y sin 2 x cos 2 2

昆明理工大学工程力学应力状态答案

昆明理工大学工程力学应力状态答案

第一章 绪论一、是非判断题1.1 材料力学的研究方法与理论力学的研究方法完全相同。

( ) 1.2 内力只作用在杆件截面的形心处。

( ) 1.3 杆件某截面上的内力是该截面上应力的代数和。

( ) 1.4 确定截面内力的截面法，适用于不论等截面或变截面、直杆或曲杆、基本变形或组合变形、横截面或任意截面的普遍情况。

( ) 1.5 根据各向同性假设，可认为材料的弹性常数在各方向都相同。

( ) 1.6 根据均匀性假设，可认为构件的弹性常数在各点处都相同。

( ) 1.7 同一截面上正应力σ与切应力τ必相互垂直。

( ) 1.8 同一截面上各点的正应力σ必定大小相等，方向相同。

( ) 1.9 同一截面上各点的切应力τ必相互平行。

( ) 1.10 应变分为正应变ε和切应变γ。

( ) 1.11 应变为无量纲量。

( ) 1.12 若物体各部分均无变形，则物体内各点的应变均为零。

( ) 1.13 若物体内各点的应变均为零，则物体无位移。

( ) 1.14 平衡状态弹性体的任意部分的内力都与外力保持平衡。

( )1.15 题1.15图所示结构中，AD 杆发生的变形为弯曲与压缩的组合变形。

( ) 1.16 题1.16图所示结构中，AB 杆将发生弯曲与压缩的组合变形。

( )二、填空题1.1 材料力学主要研究 受力后发生的 ，以及由此产生的 。

1.2 拉伸或压缩的受力特征是 ，变形特征是 。

1.3 剪切的受力特征是 ，变形特征是 。

1.4 扭转的受力特征是 ，变形特征是 。

B题1.15图题1.16图1.5 弯曲的受力特征是 ，变形特征是 。

1.6 组合受力与变形是指 。

1.7 构件的承载能力包括 ， 和 三个方面。

1.8 所谓 ，是指材料或构件抵抗破坏的能力。

所谓 ，是指构件抵抗变形的能力。

所谓 ，是指材料或构件保持其原有平衡形式的能力。

1.9 根据固体材料的性能作如下三个基本假设 ， ， 。

工程力学c材料力学部分第七章 应力状态和强度理论


无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值， 无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值，为了找 到构件内最大应力的位置和方向 需要对各点的应力情况做出分析。 最大应力的位置和方向， 到构件内最大应力的位置和方向，需要对各点的应力情况做出分析。
受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 研究一点的应力状态时， 应力状态 。研究一点的应力状态时，往往围绕该点取一个无限小 的正六面体—单元体来研究。 单元体来研究 的正六面体 单元体来研究。
σ2
σ2
σ1
σ1
σ
σ
σ3
三向应力状态
双向应力状态
单向应力状态 简单应力状态
复杂应力状态 主应力符号按代数值的大小规定： 主应力符号按代数值的大小规定：
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3
平面应力状态的应力分析—解析法 §7−2 平面应力状态的应力分析 解析法
图(a)所示平面应力单元体常用平面图形(b)来表示。现欲求 )所示平面应力单元体常用平面图形( )来表示。现欲求 垂直于平面xy的任意斜截面 上的应力 垂直于平面 的任意斜截面ef上的应力。 的任意斜截面 上的应力。
二、最大正应力和最大剪应力
σα =
σ x +σ y
2
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α
τα =
令
σ x −σ y
2
sin 2α + τ x cos 2α
dσ α =0 dα
σ x −σ y
2
sin 2α +τ x cos2α = 0
可见在 τ α
=0

工程力学-应力状态p


x
O A2
21 D1(sx ,txy)
20
C
s
A1
D2(sy , -txy)
四、最大（小）剪应力及其所在截面
t min
t max t min
s
x
s
2
y
2
t
2 xy
s max s min
2
t
max所在截面方位角1为：1
0
4
( 0 为s max所在主平面方位角)
[例3]单元体应力状态如图。试求主应力并确定主平面位置。
§7.１应力状态概述
一、引言 1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验破坏现象是怎样的？
P 铸铁拉伸
铸铁压缩
Me
P
低碳钢
铸铁
P
2、组合变形杆将怎样破坏？
P 铸铁
Me
二、一点的应力状态 通过受力构件内一点有无数个截面，这些过一点处不同方位
截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态。
三、单元体 单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小
代入公式，得斜截面上正应力：
s
sx
sy
2
sx
s y
2
cos 2
t xy
sin 2
50 30 50 30 cos 60o 20sin 60o 32.7 MPa
2
2
斜截面上剪应力：
t
sx
s y
2
sin 2
t xy
cos 2
50 30 sin 60o 20 cos 60o 2
18.7 MPa
规定：s以拉为正；
sx
t 以其对作用对象内任一点的
txy
y

《工程力学：第七章+圆轴扭转时的应力变形分析与强度和刚度设计》


工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
背 景
材
料
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
背 景
材
料
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计 一、扭转的概念 复习 Me
mA
阻抗力 偶
主动力 偶
me
受力特点：杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶，且力 偶作用面垂直于杆的轴线。 变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。 主要发生扭转变形的杆——轴。
Mx 16M x 16 1.5kN m 103 max＝ ＝ 3 ＝ ＝50.9MPa 3 4 -3 4 WP πD 1 π 90mm 10 1 0.9传动轴的强度是安全的。
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计 2．确定实心轴的直径 根据实心轴与空心轴具有同样数值的最大剪应力的要求， 实心轴横截面上的最大剪应力也必须等于 50.9MPa 。若设实 心轴直径为d1，则有
b b
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计 T 一、 扭转强度计算 变截面圆轴: max W [ ] 1、强度条件： p
max
max
对脆性材料 [ ] 对韧性材料 [ ]
b
nb

材料力学07弯曲应力

e
x
y
z
P
P
s
M
Q
e
*
弯曲中心的确定:
(1) 双对称轴截面，弯心与形心重合
(2) 反对称截面，弯心与反对称中心重合
(3) 若截面由两个狭长矩形组成，弯心与两矩形长中线交点重合
(4) 求弯心的普遍方法：
C
C
Qy
e
C
C
*
ss
ss
§7-6 考虑材料塑性的极限弯矩
（一）物理关系：
全面屈服后,平面假设不再成立;仍做纵向纤维互不挤压假设
每单元在立面上呈T型双悬臂
*
成昆线 旧庄河 一号桥
（一个单元）
中国铁路上首次采用悬臂拼装法施工的预应力混凝土桥， 主跨为24+48+24(m) 铰接悬臂梁。
*
厂房大梁、 车辆叠板簧、 闸门主梁 鱼腹式吊车梁、桥 阶梯轴…… 龙门刨横梁
*
若使受弯构件每一横截面的最大正应力均相等 或： 挖掘机－手臂 等强度条件： ——等强度梁
取微段dx
z
y
b
h
x
M
dx
x
——两截面内力
分离部分
2、公式推导：
y
Q
——平衡分析……
M+dM
均匀分布
与侧边平行
周边 —— 互等定理
( Sheariog Stresses on Cross Section of Beam )
*
两截面M 不等——
左侧面
右侧面
顶平面
(∵切应力互等 )
平面假设：
（由表及里，由线到面）
(不受拉压应力)
内必有一层既无伸长也无缩短，
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y
y
1.主应力与主平面: 正应力的极值（极大、极小）
对(1)式第一式求导, 得:
ddx
2[yxxy
22
sin
2
2ycos2xcos2xy s]in
20
x
y
2
x
y
2
cos 2
x sin 2
x
y
2
sin 2
x
cos 2
---（1）
单元体上剪应力为零的平面，称为主平面； 该面上的正应力称为主应力。
2
cos 2 x sin 2
--- (3)
由(3)2 + (2)2得:
(
x
y
2
)2
2
(
x
y
2
)2
2 x
--- (4)
半径:
1 2
( x y )2 4 x2
圆心:
(
x
y
,
0)
2
应力圆
R 1 2
x y
2
4
2 x
R
c
x y
2
应力圆的应用 y
点面对应
y
A x x
a
c
转向、二倍角对应
y
xA A'
x
x
z
z
zx
xz
zy yz
xy
yx
y
y
二向应力状态
Biaxial Stress State
z 0 yz 0
x
zx 0
定义：在一个单元体上， 两个主应力均不为0，则 称该单元体所代表的点 处于二向应力状态。
y
yx
xy
x
y
y
x
x
y
τyx
τxy
x
单向应力状态 ( Uniaxial Stress State )
得：tg 2 0
2 x x
y
---（2）
由(2)可解出: 0 相差90o的两个根，说明：
出现主应力的两个面相互垂直。 由(2)可表示出sin20、cos20 代入(1)第一式，得：
max x y
min
2
(
x
2
y
)2
Hale Waihona Puke 2 x---（3）
主方向：
tg 2 0
2 x x
y
---（2）
主应力作用面与主方向配对法则:
y
)2
2 x
主方向：
tg 2 0
2 x x
y
45o : max ;
45o : min ;
等价流出的剪 应力流方向
2.平面主剪应力: 剪应力的极值（极大、极小）
对(1)式第二式求导,经推导得:
tg 21
x 2 x
y
---（4）
max min
(
x
2
y
)2
2 x
---（5）
N
A
3、按照杆件受力的特点，在横截面上画出相应的应力；
4、画出单元体其他各面上的应力；
右视图
M
M
M
T
T
Wt
T
Wt
弯曲梁上一点的单元体，剪力和弯矩都不为0，在横截面 上，既有剪应力也有正应力
dx
弯曲梁上四个点的单元体。四个点在横截面上，既有 剪应力也有正应力
P
P
z
P
z
max
Q.SZ max IZb
max
M Wz
max
M Wz
M y
Iz
QS
z
Izb
l
S
F
a
y
1
4
z
2
x
3
S平面应力分析
1
1
Mx Wt
x1
Mz Wz
z
z
yy
1
2 3
4
4
Mz
4
Mx Wt
xx
Mx
3
3
Mx Wt
x3
Mz Wz
应力状态的分类
三向应力状态
( Triaxial Stress State )
定义：在一个单元体上， 三个主应力均不为0，则 称该单元体所代表的点 处于三向应力状态。
3、τ：沿单元边界，顺时针绕
x
t
n
x dA
单元为正。
y
参加平衡的量
y
——应力乘以其作用的面积
二向应力状态的解析法
Fn 0 :
x
t
n
dA ( x dAcos ) cos
( x dAcos ) sin ( y dAsin ) cos
x dA y
y
( y dAsin ) sin 0
□ 应力状态的概念 □ 应力状态的分析方法 □ 广义虎克定律 □ 材料的破坏形式 强度理论
§7-1 应力状态的概念
■ 问题的提出
P
P
弯曲: M y 扭转 : T
Iz
Ip
cos2
sin 2
2
应力随点的位置变化 应力随截面的方位变化
•地震荷载作用下的墙体破坏
说明:
破坏面与受力 方向可能不一致。
注意到： x y
又三角公式：cos2 1 cos 2 , sin2 1 cos 2
2
2
整理得:
x
y
2
x
y
2
cos 2
x sin 2
---（1）
x
y
2
sin 2
x
cos 2
其中: , ---任意斜截面应力
---斜截面法向n与
t
x
x dA
n
x轴正向夹角
x , y , x ---正截面应力
推论:
对同一点:一 个方向上满足强度 要求,并不能说明已 经安全。
应力状态的初步概念：
过一点处不同方向面上的应力(正应力和切应力)可以有不 同的组合形式。
研究应力状态的目的：研究应力随点和面的变化规律，
以确定最大正应力σmax和最大剪应力τmax 。
研究应力状态的方法：截取单元体；施用截面法。
■ 截取单元体
体。 单元体很小，可以认为:
(1)各个面上的应力均匀分布；
(2)相互平行的平面上，应力大小和性质完全相同。
■ 基本变形原始单元体的画法（各侧面应力已知的单元体）
P
P
1、截取无限小六面体作为单元体；
1）截取横截面； 2）在横截面上平行于边缘截取小矩形； 3）从横截面开始缘截取小立方体；
2、分析单元体各个面的含义，分清哪个面是横截面；
30 50 30 50 cos 60 (20) sin 60 52.32MPa
30
2
2
30 50 sin 60 (20) cos 60 18.66MPa
60
2
2）主应力，主平面
max 30 50
min
2
30 50 2 2
202
62.4MPa 17.6MPa
从构件中截取一个三维方向尺寸无限小的正六面体（单元体）
单
元
dy 体
受
力
dz
特 征
dx
１．应力在每个侧面上均布；
２．相互平行的面上应力等值、 反向。
■ 原始单元体（各侧面应力已知的单元体）
M y
Iz
QS
z
梁
Izb
T
轴
Ip
杆
■ 施用截面法（用截面法找到特殊截面）
N A
M y
Iz
QS
z
梁
Izb
0的平面
通过同一点所取截面方向不同，应力的大小也不 同。应力既是点的位置的函数，也是过该点的截面方 位的函数。
通过同一点不同方位截面上的应力的集合称为该
点的应力状态。
应力是定义在“点”上的 p dF , dN , dQ
dA
dA
dA
材料力学中的“点”是物理点,不是几何点,
有大小和形状，通常用正六面体表示，称为单元
说明:
(1) 出现主剪应力的两个面相互垂直。
(2) 主剪应力的作用面上,正应力不一定为0。
讨论: •由(2)和(4)可知:
tg20
tgx22xy 0y
,
tgtg2211
x1
2 xy
y
推知: 2 0 与 21 相差90o ， 0与1相差45o
• (3)式中两式相减与(4)式比较:
max min
max
22
my in
maxx2
y
2
2 xy
• (3)式中两式相加:
mmmmianiaxnx
maxx2mx yi2nyx2
x
xyy
2 y
2
2
2 xy
--- (3)
--- (4) ---（3）
例：讨论单向应力状态
x , y xy 0
x
2
x
2
cos2
x
cos2
x
2
sin 2
45o
:
2
(1) 将原单元体上的剪应力等效汇合成两对流出和 流入的剪应力流。
(2) 最大主应力σmax的作用面偏向于流出的剪应力
流方向。
例：纯剪切应力状态及其主应力
等价流出的剪 应力流方向
等价流入的剪 应力流方向
x , x y 0
等价流入的剪 应力流方向
主应力：max x y
min
2
(
x
2
单向应力状态 纯剪应力状态
§7-2 二向（平面）应力状态分析