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工程力学—第十一章弯曲应力

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工程力学第十一章弯曲应力课件

工程力学第十一章弯曲应力课件


2.两个概念 中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不 受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线。
3.推论 平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动， 距中性轴等高处，变形相等。
纵向对称面 中性层
纵向纤维间无挤压、 只受轴向拉伸和压缩。
中性轴（横截面上只有正应力）
4、需要校核切应力的几种特殊情况：
梁的跨度较短，M 较小，而Q较大时，要校核切应力。 铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相
应比值时，要校核切应力。 各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核切应力。
q=3.6kN/m
A
Q
qL
2+
L=3m
M
qL2/8
+
例2 矩形(bh=0.12m0.18m）截
P1=9kN
A
C
P2=4kN
B
D
1m 1m 1m
2.5kNm M
x -4kNm
A1
A3
y1 G
y2
A2
A4
4
例3 T 字形截面的铸铁梁受力如图，
铸铁的[sL]=30MPa，[sy]=60 MPa，
其截面形心位于G点，y1=52mm， y2=88mm， Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。 并说明T字梁怎样放置更合理？
假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应力状态。
由胡克定律知：
sx
sx
sx
E x
Ey
...... (2)
3、静力学关系：
①
Nx
AsdA
A
Ey
dA
E
A
ydA
工程力学第17讲 弯曲应力：正应力 惯性矩(完整)

工程力学第17讲 弯曲应力：正应力 惯性矩(完整)

第 11 章 弯曲应力
本章主要研究：

单辉祖:工程力学
对称弯曲正应力 对称弯曲切应力 梁的强度分析与设计 非对称弯曲应力
1
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7
引言 对称弯曲正应力 惯性矩与平行轴定理 对称弯曲切应力 梁的强度条件 梁的合理强度设计 双对称截面梁的非对称弯曲
单辉祖:工程力学
Ai yCi AyC
yC

i 1
n
A y
i 1
n
i Ci
21
A
A1 yC 1 A2 yCb 2 2
bd db
0.045 m
3. 惯性矩计算
I z I z1 I z 2
2
bd 3 d 3.0210 -6 m4 I z1 bd yC 12 2
d b3 b I z2 db d yC 5.8210 -6 m4 12 2
I z I z 1 I z 2 8.8410 6 m 4
2
4. 最大弯曲正应力
M B yC 30.5 MPa Iz M ( b d yC ) s c,max B 64.5 MPa Iz
dA 0 (b) F x 0 , s A M z 0, A ysdA M (c)
10
物理方面:
s ( y ) E ( y )
单辉祖:工程力学
s E
y

(a)
sdA 0 A
(b)
A ysdA M
yC y dA A 0 A
(c)
(a)(b)
A ydA 0
2
§1 引 言
弯曲应力与对称弯曲 本章内容
工程力学弯曲应力和内力知识点总结

工程力学弯曲应力和内力知识点总结

变形后，横截面仍为平面，且仍与纵线正交。
2. 单向受力假设
纵向纤维互不挤压，只受单向拉压。
计算方法
1. 正应力计算公式
适用于弹性变形范围内的长直梁，具体公式依据材料力学原理推导得出。
2. 切应力计算公式
复杂且因截面形状而异，需根据具体情况分析。
应用实例
1. 简支梁
一端固定铰支、另一端可动铰支的梁，是工程中常见的梁类型。
2. 悬臂梁
一端固定、另一端自由的梁，受力分析较为复杂。
3. 外伸梁
具有一个或两个外伸部分的简支梁，需考虑外伸部分的影响。
工程力学弯曲应力和内力知识点总结
知识点
描述
弯曲内力
1. 剪力
平行于横截面的内力合力，左上右下为正。
2. 与弯矩图
表示剪力、弯矩沿梁轴变化的图线，是分析梁的重要手段。
弯曲应力
1. 正应力
梁弯曲时，横截面上的正应力主要由弯矩引起。
- 纯弯曲
横截面上只有弯矩而无剪力的情况，正应力分布简单，中性层上无应力。
- 横力弯曲
横截面上既有弯矩又有剪力的情况，正应力分布复杂，需考虑切应力的影响。
2. 切应力
由剪力引起，横截面上的切应力分布规律因截面形状而异。
中性层与中性轴
1. 中性层
梁内一层纤维既不伸长也不缩短，此层纤维称为中性层。
2. 中性轴
中性层与横截面的交线，为应力分布分析的基准线。
应力假设
1. 平面假设
工程力学课件 11弯曲应力共87页文档

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解：先求Iy
z y dA
dAdydz
Iy
z2dA z2dzdy A
A
h
b
2bdy 2
h
2 h
2
z2dzbz332h
bh3 12
2
同理：
Iz
1 12
b3h
z
o
y
b
b
h
IyzAyzdA b 2b 2ydyh 2h 2zdzy22 2bz22 2h0
2
2
例11-2 已知：如图，求：Iy、Iz、 Iyz、 IP
ρ y
I Iz Iy
3、惯性积 z
乘积 yzdA 为微面积 dA 对于一对正交轴
y、z 两轴的惯性积。
I yz yzdA A
单位：m4
y dA z
ρ
y
特点：
1）同一图形对不同的正交轴的惯性积不同； 2）在一对正交轴中只要有一个坐标轴是图形的对称轴，则
Iyz = 0
例11-1 已知：如图，求：Iy、Iz 和 Iyz
y
A
(
y
2 C
2byC
b 2 )d A
I zC 2b S zC b 2 A
SzC AyC 0 Iy IyC a2A
Iz IzC b2A
Iy IyC a2A Iyz IyCzCabA
注意: C点必须为形心
IIC(ab)2A
§11-2 平面弯曲时梁横截面上的正应力
一、纯弯曲(Pure Bending):
1 D4
64
例11-2 已知：如图，求：Iy、Iz、 IP、Iyz
z
解：对圆形图形，取扇形微
面积，用极坐标表示
dArddr zrsin yrcos
工程力学弯曲应力PPT资料94页

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ycmax yt max
M
z
σ tm ax y
σtmax Mytmax Iz
σcmax Mycmax Iz
3.横力弯曲时梁横截面上的正应力
平面假设不再成立
当：L 5
h
纯弯曲的正应力计算公式 计算横力弯曲梁横截面上的正应力
误差不超过1%。
My
IZ
Mxy
IZ
总结
假设 平面假设，单向受力假设
空心圆截面
z
z
y
y
WIz πd4/64 πd3 d/2 d/2 32
WIz b3 h/12b2 h h/2 h/2 6
WπD3(14)
32
αd D
（2）对于中性轴不是对称轴的横截面
Wz
Iz ymax
分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离
ycmax 和 ytmax 直接代入公式
σcmax
σ My Iz
一些易混淆的概念
对称弯曲与纯弯曲 对称弯曲－对称截面梁，在纵向对称面承受横向外 力时的受力与变形形式 纯 弯 曲－梁或梁段各横截面的剪力为零弯矩为常 数的受力状态
中性轴与形心轴
中性轴－横截面受拉与受压区的分界线 形心轴－通过横截面形心的纵向坐标轴
截面弯曲刚度与抗弯截面系数
弯曲刚度EI－代表梁截面抵抗弯曲变形的能力 抗弯截面系数Wz－代表梁截面几何性质对弯曲强度
中性层 受拉区
受压区 中性轴
纵向纤维既不伸长也不缩短的层—中性层 中性层与横截面的交线—中性轴
中性轴⊥截面纵向对称轴 ❖横截面间绕中性轴相对转动
拉压、扭转时横截面上应力分析过程
变形
平面假定
应变分布
物理关系
工程力学第11章(弯曲应力)

工程力学第11章(弯曲应力)

y

A
A
dA z 0
Eபைடு நூலகம்

E
A

ydA z
E

yzdA

I yz 0
I yz 0
y、z轴为截面的形心主惯性轴.
(3)
M (F ) 0 :
z

E
A
dA y M
2

E
A

ydA y

1
A
y dA
E

Iz M
M EI z
· 横力弯曲
Fs 0, M M ( x)
梁横截面上既有正应力又有切应力。
· 纯弯曲
Fs 0, M 常数
梁横截面上只有正应力无切应力。
§11-2
截面对z轴的静矩
截面（平面图形）的几何性质
一、截面的静矩与形心
S z ydA yC A
A
截面对y轴的静矩
S y zdA zC A
例：宽度b = 6mm、厚度δ= 2mm的钢带环绕在直径D = 1400mm的带轮上，已知钢带的弹性模量为E = 200GPa。试求钢带 内的最大弯曲正应力与钢带承受的弯矩。
解：钢带的变形状态同弯曲，其轴线的曲率半径 D 1.4 2 103 0.701m 2 2 2 2 横截面离中性轴最远距离 2 103 ymax 1.0 103 m 2 2 3 ymax 1 10 max E 200 109 285MPa 0.701 1 M EI z EI z 200 109 6 23 1012 M 1.414N m 12 0.701
工程力学_第11章_弯曲应力-1

工程力学_第11章_弯曲应力-1


(
y)
FS
16 I z
b(h02 h2 ) 2 (h2 4 y2 )
max (0)
min
(
h) 2
7
3.弯曲正应力与弯曲切应力比较
max
4l
h
max
若是分布载荷q作用下，则：
max
2l
h
max
当 l >> h 时，max >> max
8
1.实心与非薄壁截面梁
a与c 点处－单向应力
b 点处－纯剪切
9
2.薄壁截面梁
d
a 点处－纯剪切 c 与d 点处－单向应力
b 点处－ 与 联合作用
10
1.梁的强度条件
弯曲正应力强度条件： max [ ] 材料单向应力许用应力
弯曲切应力强度条件： max [ ] 材料纯剪切许用应力
2. 强度条件的应用
细长非薄壁梁 ( max max ) max [ ]
1
（1） 中性轴位置：中性轴过截面形心
（2）中性层曲率：
1 M
EI z
（Iz －惯性矩） （EI z － 截面弯曲刚度）
（3）正应力公式： ( y) My
Iz
max
M Wz
（Wz －抗弯截面系数）
2
（1）矩形截面惯性矩： IZ bh3 1264
WZ bh2 6
2、注重弯曲强度，兼顾腹板的剪切强度与稳定性
避免剪切破坏 与局部失稳
12
M ( x) [ ]－弯曲等强条件
W(x)
h( x) 6Fx
b[ ]
3FS( x) [ ] －剪切等强条件 h(x) 3F
2bh( x)
2b[ ]
工程力学-弯曲应力

工程力学-弯曲应力

6 弯曲应力1、平面弯曲梁横截面上的正应力计算。

正应力公式是在梁纯弯曲情况下导出的，并被 推广到横力弯曲的场合。

横截面上正应力公式为j zM y I σ=横截面上最大正应力公式为 max zM W σ=2、横力弯曲梁横截面上的切应力计算，计算公式为*2z QS I bτ= 该公式是从矩形截面梁导出的，原则上也适用于槽形、圆形、工字形、圆环形截面梁横截面切应力的计算。

3、非对称截面梁的平面弯曲问题，开口薄壁杆的弯曲中心。

4、梁的正应力强度条件和切应力强度条件为[]max σσ≤[]max ττ≤根据上述条件，可以对梁进行强度校核、截面设计和容许荷载的计算，与此相关的还要考虑梁的合理截面问题。

5、梁的极限弯矩6.1图6-6所示简支梁用其56a 号工字钢制成，试求此梁的最大切应力和同一截面腹板部分在与翼板交界处的切应力。

图 6.1[解] 作剪力图如图(c).由图可知，梁的最大剪力出现在AC 段，其值为max 7575000Q kN N ==利用型钢表查得，56a 号工字钢*247.7310z z S I m -=⨯,最大切应力在中性轴上。

由此得以下求该横截面上腹板与翼板交界处C 的切应力。

此时*z S 是翼板面积对中性轴的面积矩，由横截面尺寸可计算得*3435602116621()9395009.401022z S mm m -=⨯⨯-==⨯ 由型钢表查得465866z I cm =,腹板与翼板交界处的切应力为*max max max max23*max7500012600000126.47.731012.510z a z z z Q S Q MP I I dd S τ--=====⨯⨯⨯⨯a MP 6.12解题范例483750009.40108.6658661012.510fc a MP τ---⨯⨯==⨯⨯⨯6.2长为L 的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F ，已知b ＝120mm ，h ＝180mm 、L ＝2m ，F ＝1.6kN ，试求B 截面上a 、b 、c 各点的正应力。

工程力学11弯曲应力

工程力学11弯曲应力


Fs S z t t ( y) t 1 bI z

t1 s
t
y
x
s1
图c
h y h b( y ) y 2 2 2 b h2 ( y2 ) 2 4
Fs
t 矩
3Fs 4y (1 2 ) 2bh h
2
t max
3 Fs 1.5t 2 A
1、两点假设： 切应力与剪力平行； 距中性轴等距离处，切应力 相等。
s t
2、研究方法：分离体平衡。
x
y M ( x) Fs(x) dx
dx 图a Fs ( x ) 图b M(x)+d M(x)
在梁上取微段如图b； 在微段上取一块如图c，
F
x
F2 F1 t1b(dx) 0
MS z y d A A Iz
• 横向线与纵向线变形后仍正交。
2 . 假设 平截面假设：横截面变形后仍为垂直于轴线的平面，只是绕
中性轴发生转动。
单向受力假设：梁内各纵向纤维仅承受轴向拉应力或压应力。
3 . 推论
距中性轴等高处，变形相等。
横截面上只有正应力。
6
纵向对称面 中性层 中性轴
两个概念： 中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不 受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。
M
s
Fs
s max
M max s Wz
t max
t
A1 y1
C
Fs maxS z max t b Iz
M z
s t max
s c max
M max y 2 s t Iz M max y1 [s c ] Iz
《工程力学》教学课件第十一章弯曲内力

《工程力学》教学课件第十一章弯曲内力

引发裂缝扩展
弯曲内力还可能导致结构中的裂缝扩展，进一步降低结构强度。
优化措施降低弯曲内力影响
合理布置荷载
通过合理布置荷载，降低结构 受到的弯曲内力，提高结构稳 定性。
采用预应力技术
对结构施加预应力，使结构在受到荷 载作用前产生一定的反弯曲内力，从 而抵消部分外荷载产生的弯曲内力。
加强结构刚度
增加结构刚度，提高结构抵抗 弯曲内力的能力，保证结构整 体性能。
机械工程
分析机械零件在受力时的弯曲变形和应力分布，提高零件的强度和刚 度，延长使用寿命。
案例分析中问题探讨
载荷与边界条件的确定
在实际工程中，如何准确确定结构所受的载荷和边界条件是进行 内力分析的关键问题。
内力与变形的计算精度
由于实际结构的复杂性和计算方法的局限性，如何保证内力和变形 计算的精度是另一个需要探讨的问题。
优化截面形状和尺寸
通过优化截面形状和尺寸，使 得截面在受力时能够更好地抵 抗弯曲内力，提高结构强度。
06 实验验证与工程应用案例
实验验证方法介绍
1 2
载荷实验
通过对实际结构或模型施加静态或动态载荷，观 察和分析结构的变形和内力分布情况。
应变测量
利用应变片、应变计等测量工具，定量测量结构 在载荷作用下的应变值，进而推算出内力大小。
性能。
弯曲内力与材料性质关系
弹性模量
材料的弹性模量越大，梁 的抗弯刚度越大，承受弯
曲内力的能力越强。
屈服强度
材料的屈服强度越高， 梁在承受弯曲内力时越 不容易发生塑性变形。
韧性
材料的韧性越好，梁在 承受弯曲内力时越不容
易发生脆性断裂。
疲劳强度
对于承受交变弯曲内力的 梁，材料的疲劳强度也是 一个重要的考虑因素。
工程力学中的弯曲应力和弯曲变形问题的探究与解决方案

工程力学中的弯曲应力和弯曲变形问题的探究与解决方案

工程力学中的弯曲应力和弯曲变形问题的探究与解决方案引言：工程力学是研究物体受力和变形规律的学科，其中弯曲应力和弯曲变形问题是工程力学中的重要内容。

本文将探讨弯曲应力和弯曲变形问题的原因、计算方法以及解决方案，旨在帮助读者更好地理解和应对这一问题。

一、弯曲应力的原因在工程实践中，当梁、梁柱等结构承受外力作用时，由于结构的几何形状和材料的力学性质不同，会导致结构发生弯曲变形。

弯曲应力的产生主要有以下几个原因：1. 外力作用：外力作用是导致结构弯曲的主要原因之一。

例如，悬臂梁受到集中力的作用，会导致梁的一侧拉伸，另一侧压缩，从而产生弯曲应力。

2. 结构几何形状：结构的几何形状对弯曲应力有直接影响。

例如，梁的截面形状不均匀或不对称，会导致弯曲应力的分布不均匀，从而引起结构的弯曲变形。

3. 材料力学性质：材料的力学性质也是导致弯曲应力的重要因素。

不同材料的弹性模量、屈服强度等参数不同，会导致结构在受力时产生不同的弯曲应力。

二、弯曲应力的计算方法为了准确计算弯曲应力，工程力学中提出了一系列的计算方法。

其中最常用的方法是梁的弯曲方程和梁的截面应力分析。

1. 梁的弯曲方程：梁的弯曲方程是描述梁在弯曲过程中受力和变形的重要方程。

根据梁的几何形状和受力情况，可以得到梁的弯曲方程，并通过求解该方程，计算出梁在不同位置的弯曲应力。

2. 梁的截面应力分析：梁的截面应力分析是通过分析梁截面上的应力分布情况，计算出梁在不同位置的弯曲应力。

该方法根据梁的几何形状和材料的力学性质，采用静力学平衡和弹性力学理论，计算出梁截面上的应力分布，并进一步得到梁的弯曲应力。

三、弯曲变形问题的解决方案针对弯曲变形问题，工程力学提出了一系列的解决方案，包括结构改进、材料选择和加固措施等。

1. 结构改进：对于存在弯曲变形问题的结构，可以通过改进结构的几何形状，增加结构的刚度，从而减小结构的弯曲变形。

例如，在梁的设计中，可以增加梁的截面尺寸或改变梁的截面形状，以增加梁的抗弯刚度。

材料力学弯曲应力

材料力学弯曲应力材料力学是研究材料在外力作用下的变形和破坏规律的一门学科，而弯曲应力是材料在受到弯曲载荷时所产生的应力。

弯曲应力的研究对于工程结构设计和材料选用具有重要意义。

本文将从弯曲应力的概念、计算公式、影响因素等方面进行详细介绍。

弯曲应力是指在材料受到弯曲载荷作用下，横截面上的应力分布情况。

在弯曲过程中，材料上部受到压应力，下部受到拉应力，而中性面则不受应力影响。

根据梁的理论，弯曲应力与弯矩、截面形状以及材料性质有关。

在工程实践中，我们通常使用梁的弯曲应力公式来计算弯曲应力的大小。

梁的弯曲应力公式可以表示为：\[ \sigma = \frac{M \cdot c}{I} \]其中，σ为弯曲应力，M为弯矩，c为截面中性轴到受拉或受压纤维的距离，I为截面的惯性矩。

从公式中可以看出，弯曲应力与弯矩成正比，与截面形状和材料性质有关，截面越大，惯性矩越大，弯曲应力越小。

影响弯曲应力的因素有很多，主要包括载荷大小、截面形状、材料性质等。

首先是载荷大小，当外力作用在梁上时，产生的弯矩大小将直接影响弯曲应力的大小。

其次是截面形状，截面形状不同将导致截面惯性矩不同，进而影响弯曲应力的大小。

最后是材料性质，材料的弹性模量、屈服强度等参数也会对弯曲应力产生影响。

在工程实践中，我们需要根据具体的工程要求和材料性质来选择合适的截面形状和材料类型，以使得结构在受到弯曲载荷时能够满足强度和刚度的要求。

同时，还需要合理设计结构，减小弯曲应力集中的区域，避免出现应力集中而导致的破坏。

综上所述，弯曲应力是材料在受到弯曲载荷时产生的应力，其大小与弯矩、截面形状和材料性质有关。

在工程实践中，我们需要根据具体的工程要求和材料性质来计算和分析弯曲应力，以保证结构的安全可靠。

同时，合理设计结构和选择合适的材料也是降低弯曲应力的重要手段。

希望本文对于弯曲应力的理解和应用能够有所帮助。

工程力学第十一章弯曲应力


Q
+
– x
qL 2
Qmax 1.5 5400 t max 1.5 A 0.12 0.18 0.375MPa 0.9MPa [t ]
应力之比
+ M
qL2 8
s max M max 2 A L 16.7 46 t max Wz 3Q h
例题5
F
l
悬臂梁由三块木板粘接 50 而成。跨度为1m。胶合面 z50 的许可剪应力为0.34MPa， 50 木材的〔σ〕= 10 MPa， 100 [τ]=1MPa，求许可载荷。
P1=9kN A C 1m 1m
P2=4kN B D 1m
Ｃ
y1
z
y2
例2 T 字形截面的铸铁梁受力如
图，其截面形心位于C点， y1=52mm， y2=88mm， 截面对形心轴的惯性矩 Iz=763cm4 ，试计算梁内的最大
解：画弯矩图并求危面内力
RA 2.5kN ; RB 10.5kN
L=3m
qL 2
Q
+
–
Qmax
M max
+ M
qL 3600 3 5400 N 2 2
qL2 3600 32 4050Nm 8 8
45
qL 8
2
q=3.6kN/m
A
求最大应力并校核强度
L=3m
qL 2
M max 6M max 6 4050 B s max 2 Wz bh 0.12 0.182 6.25MPa 7MPa [s ]
15
(2)两个概念
①中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤 维不受拉应力和压应力，此层称中性层。 ②中性轴：中性层与横截面的交线。

工程力学 第十一章 弯曲应力2


ty
y 1 n' b
y m e1
d M F e x d A S ( ) z S y dx e e1 y d At 'bd x y ( d )d A
1
1
ty
1
t'

n
m
M x d M d M x
Iz
Iz
0
t ' t y
2
§11－4 对称弯曲切应力
S z ( ) yC [( h y )b ] [ h 1 ( h y )] 1[( h / 2) 2 y 2 ] 2 2 2 2 2
3 bh Iz 12
ty
t max
bh 3 FS 1.5t 2 bh
[(h / 2) y ]
2
2
§5-4
弯曲剪应力
M
max
中性轴不是对称轴 ( M )max
( M ) max
§11－5 梁的强度条件
一、正应力强度条件
危险截面： 等直梁： （A）通常：
M
max
（B）单对称轴梁（脆性材料）：
( M )max ( M ) max
§11－5 梁的强度条件 例3 铸铁梁的受载情况以及截面尺寸如图所示。铸铁材料的许用 拉应力 [ ] [ l ] [ t ] 40 MPa ，许用压应力[ ] [ y ] [ c ] 100 MPa 试按正应力强度条件校核梁的强度 F 20 kN
0
d )d A
Fs S z ( ) ty I zb 2．横截面上切应力的计算公式： 1' 1 Fs S z ( ) e1 1 d M t ' x d A y I zb d x I zb z

工程力学材料力学弯曲应力截面计算与校核


4. 工字形截面 查型钢表，A=bh=140cm2，选用50c号（A=139cm2）
Wz = 2080cm
3
s max
M max = = 14.42MPa 11 Wz
HOHAI UNIVERSITY
例 一T形截面外伸梁及其所受荷载如图所示。求最大拉应 力及最大压应力，并画出最大拉应力截面的正应力分布图。
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q=20kN/m
A D 4m 40 +
220 C 2m 60
B
c yc=180 x
60
z
280
1.5m
22.5 M/kN· m
y
m MB=-40kN· m MD=22.5kN· M D ytD D max s = = 21.7MPa t max D截面 上部受压、下部受拉 Iz D yt max = 180mm D M y I z = 186.6 106 m 4 D B c max 14 s = = 12.1MPa D c max yc max = 100mm Iz B、D截面为危险截面
My s = Iz
Iz
抗弯截面系数
smax =
M Wz
8
HOHAI UNIVERSITY
对于剪切弯曲梁，这时两个基本假设并不成立。但实验和理 论分析表明，当l/h（跨高比）较大（>5）时，采用该正应 力公式计算的误差很小，满足工程的精度要求。 这时
s
=
M(x)y Iz Mmax Wz
M(x) 1 = ρ( x ) E Iz
* 3 3 Sz = 70 60 220 = 924 10 mm 1
1 =
* FQ S z 1
I zd

工程力学-弯曲应力


1 M
r EIz 1/r 为中性层弯曲变形后的曲率。
14
s
z
∴ 将 EIz 称为梁的抗弯刚度。
σE y
(b)
ρ
Oy M
yzz s
s
y
dA
将上式带入( b) ： s E y Ey M My
r
EIz Iz
∴
s

My Iz
表示：梁横截面上的 s 与 M 成正比，与
反比，沿截面高度呈线性分布。
M
dq r
M
1
2
ab 的伸长：
O1
O2
D ab = ab – ab = (r + y)dq –r dq = ydq a
yb
1
2
ab 的正应变： Dab ydq y ab rdq r
O
ε y
(a) 为横截面上正应变分布规律。
z
ρ
y
(a) 式表示：纵向纤维的正应变与其离中性层的距离 y 成正比。


64
d
4
d d3
2 32
C ry z
z dA
y
箱形截面的惯性矩：
B
20
由组合图形的惯性矩公式：
b
Iz

Iz A1
Iz A2
1 12
BH
3
1 bh3 12
H
C
h
z
Wz

Iz ymax

1 BH 3 1 bh3
12
12
H

1 (BH 3 bh3 ) 6H
2
y
空心圆截面的惯性矩：
Oy M
zs
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应力，并用σu表示；
工作应力：根据分析计算所得构件之应力；
许用应力：对于由一定材料制成的具体构件，工作
应力的最大容许值，并用［σ］表示；
许用应力值与极限应力的关系：
＝ u
n 式中，n为大于1的因数，称为安全系数。塑性材料的安 全系数通常为1.5－2.2；脆性材料的安全系数通常为3.0－ 5.0，甚至更大。
第一节 引言
对称弯曲：常见的梁往往至少具有一个对称面， 而外力则作用在该对称面内。梁的变形对称于 对称面的变形形式称为对称弯曲。
第二节 对称弯曲正应力
问题的提出：
P
➢如何简化出火车车轮轴的计算模型? ➢如何计算火车车轮轴内的应力? ➢如何设计车轮轴的横截面?
第二节 对称弯曲正应力
平面弯曲( Plane Bending)
二、强度条件及其工程应用
解题一般步骤
➢ 用静力学平衡条件求出外力；
➢
画们出的剪数力值图，和 以弯便矩确图定并可确能定危险FQ面m。ax、M
作用面以及它
max
➢ 根据危险面上内力的实际方向，确定应力分布以及 max 的作用点，综合考虑材料的力学性能，确定可能的危
险点。
➢ 根据危险点的应力状态，区分脆性材料与塑性材料， 选择合适的设计准则，解决不同类型的强度问题即强 度校核、截面形状与尺寸设计、确定许用荷载。
第二节 对称弯曲正应力
❖ 静力学平衡方面
横截面上内力系为垂直于 M 横截面的空间平行力系。
这一力系向坐标原点O简化， 得到三个内力分量。
N dA 0
A
M y zdA 0
A
M z ydA M
A
dN dA dM y zdA dM z ydA
zM
O
dA x
dA
y
z
y
第二节 对称弯曲正应力
d
d
dx
M
M
O1
O2
b1
b2
直梁纯弯曲时纵向线段的线应变与它到中性层的距离成正比。
第二节 对称弯曲正应力
❖ 物理方面 （ Hooke 定律）
E
由上推导 y
M
中性轴 z
O
x
故 E y
y
结论：直梁纯弯曲时横截面上任意一点的弯曲正应力，
与它到中性层的距离成正比。
即沿截面高度，弯曲正应力与正应变均沿截面高度线性变化， 在中性轴各点处为零，在梁截面最外边缘各点处取得最大值。
心轴，空心轴内外径比为0.6。求空心轴和实心轴的重量
比。
Ｄ1 解：（1）确定空心轴尺寸
Ｄ
ｄ1
由
32
maaxx
D13 (1
M Wz
0.64 )
7.9
104
D1 210 mm
（2）比较两种情况下的重量比(面积比)：
A空 A实
4
D12 (1 D2
2)
2102 (1 0.62 ) 2002
0.7
荷集度q=1000kN/m，许用应力 ＝140 MPa ，试确定轴径。
解：画出轴的计算 简图及弯矩图
计算可知 FA=FD=700kN
Mmax=455kN.m
MB=MC=210kN.m
二、强度条件及其工程应用
根据式 max
M max Wz
及
d3
Wz 32
弯曲正应力强度条件为
32M
d3
二、强度条件及其工程应用
应用实例1
一承受均布载荷的梁，其跨度为L＝200mm，梁截面的直径
为d=25mm，许用弯曲应力［ ］＝150MPa。试决定沿梁每
米长度上可能承受的最大载荷q为多少？
RA
A
q
l
解： 求最大弯矩
M max
1 8
ql2
RB
B
确定梁的抗弯截面模量
WZ
d 3 32
3.14 0.0253 32
由此得
d
3
32M
可知，圆轴的
于是有 取
32(455103 N m)
d1 3 (140106 Pa) 0.321m
d2
3
32(210103 N m)
(140106 Pa)
0.248 m
d1 320 mm d 2 250 mm
二、强度条件及其工程应用
应用实例4
下图a所示外伸梁，用铸铁制成，横截面为倒T字形， 并承受集度为q的均布载荷作用。试校核梁的强度。
➢了解强度失效的类型及失效的原因，使学生对变形 与材料的物性关系有更进一步的认识。
➢为充分发挥材料的力学性能，在弯曲变形中，对由 塑性材料构成的构件采用对称截面，对由脆性材料 构力与许用压应力。
第二节 对称弯曲正应力
纯弯曲时的基本假设
➢平截面假设( Plane Assumption )
(a) 变形前为平面的横截面 变形后仍为平面
(b) 仍垂直于变形后梁的轴线
横截面上无剪应力
➢ 单向受力假设：梁内各纵向“纤维”仅承受轴向拉
应力或压应力。纵向纤维间无正应力即纵向纤维无
挤压
横截面上只有轴向正应力
已知载荷集度q=25 N/mm，截面形心离底边与顶边的距
离分别为 y1=45mm与y2=95mm，惯性
矩
Iz 8.84 10 -6 m,4
许用拉应力 t 35 MPa ，许用压应力 c 140 MPa 。
二、强度条件及其工程应用
解（1）危险截面与危险点判断 梁的弯矩图如下所示，由图知截面D（最大正弯矩）、
➢脆性材料梁强度条件公式：
max
M ymax IZ
（11－22）
二、强度条件及其工程应用
工程应用方法（解决三类问题）
➢ 校核强度
已知梁（杆）截面尺寸、许用应力及所受外 力时，判断梁（杆）是否能安全工作。
即
max
M WZ
max
（塑性材料）
或
max
M ymax IZ
（脆性材料）
第二节 对称弯曲正应力
❖ 中性层：根据平面假设，当梁弯曲时，部分 “纤维”伸长，部分“纤维”缩短，由伸长到 缩短区，其间必存在一长度不变的过渡层称为 中性层。
❖中性轴： 中性层与横 截面的交线。
综上所述，纯弯曲时梁的所有横截面仍保持为平面，并绕中 性轴作相对转动，而所有纵向“纤维”则均处于单向受力状 态。
可增加到多大？
q 0.5kN / m
解： 求最大弯矩
M max
1 8
ql 2
A
4m B
M max
1 8
0.5 42
1kN m
由强度条件知：Mmax WZ
WZ
d 3 32
1 103 12 106
d 3
32
解得
d 3
32 1 103 3.14 12 106
0.095m 95mm
若直径增加一倍，则：
工程力学
彭雅轩 2020年4月3日
第十一章 弯曲应力
对称弯曲正应力 梁的强度条件 梁的合理强度设计
第一节 引言
弯曲切应力：梁弯曲时 横截面上的切应力。
弯曲正应力：梁弯曲时 横截面上的正应力。
组合变形:两种或两种以上的基本变形形式的组合。 常见的组合变形: ❖弯曲与轴向拉压组合， ❖弯曲与扭转组合， ❖以及弯曲、轴向拉压与扭转的组合。
t，c
MB yc IZ
(3.13103 N m) (0.095m) 3.36107 Pa 33.6MPa 8.8410-6 m4
由此得
c，max a＝59.8MPa c t，max c＝33.6MPa t
可见，梁的弯曲强度符合要求。
二、强度条件及其工程应用
小 结
WZ
D3 32
2d 3
32
3.14 2 0.0953
32
0.673103 m3
1 8
ql 2
WZ
即
1 q 42 0.673103 12106 8
载荷q变为
q 4038N / m 4.038kN / m
二、强度条件及其工程应用
应用实例3
图 a 所示圆截面轴AD，中段BC承受均布载荷作用。已知载
4
由此可见，载荷相同、 max相等的条件下，
采用空心轴节省材料。
第十一章 弯曲应力 第三节 梁的强度条件
重点要求：
➢ 失效的分类及相关概念
➢ 强度条件及其工程应用
一、失效与许用 应力相关概念
一、失效与许用应力相关概念
失效——
由于材料的力学行为而使构件 丧失正常功能的现象.
一、失效与许用应力相关概念
即危险点。
二、强度条件及其工程应用
（2）强度校核
由式
max
M ymax IZ
得，a，b，c三点处的弯曲正应力分别为：
c，a
MD ya IZ
(5.56103 N m) (0.095m) 5.98107 Pa 59.8MPa 8.8410-6 m4
t，b
MD yb IZ
(5.56103 N m) (0.045m) 2.83107 Pa 28.3MPa 8.8410-6 m4
工程允许误差为小于或等于5％。
二、强度条件及其工程应用
➢ 选择截面形状及尺寸
已知梁（杆）所受外力及许用应力时，根据强 度条件确定梁（杆）所需截面形状及尺寸。
即
Wz
M max
二、强度条件及其工程应用
➢ 确定承载能力 已知梁（杆）截面尺寸和许用应力时，确定梁
（杆）所能承受的许可载荷：
M max Wz
截面B（最大负弯矩）两截面均为危险截面。
二、强度条件及其工程应用
由弯矩图及截面D、截面B的弯曲正应力分布图知截面D的 a点及截面B的d点处均受压；而截面D的b点及截面B的c点均 受拉。