高三数学一轮复习导学案44排列组合

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高中数学《排列组合的复习》教学设计《排列组合的复习》教案稿教学目标1．知识目标(1）能够熟练判断所研究问题是否是排列或组合问题；（2）进一步熟悉排列数、组合数公式的计算技能；(3）熟练应用排列组合问题常见解题方法;（4）进一步增强分析、解决排列、组合应用题的能力。

2．能力目标认清题目的本质，排除非数学因素的干扰,抓住问题的主要矛盾，注重不同题目之间解题方法的联系，化解矛盾，并要注重解题方法的归纳与总结,真正提高分析、解决问题的能力。

3．德育目标(1）用联系的观点看问题；（2)认识事物在一定条件下的相互转化；（3）解决问题能抓住问题的本质。

排列、组合、二项式定理2．理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．3．理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．4．掌握二排列与组合高考重点考察学生理解问题、综合运用分类计数原理和分步计数原理分析问题和解决问题的能力及分类讨论思想．它是高中数学中从内容到方法都比较独特的一个组成部分，是进一步学习概率论的基础知识．由于这部分内容概念性强，抽象性强，思维方法新颖，同时解题过程中极易犯“重复”或“遗漏”的错误，而且结果数目较大，无法一一检验，因此学生要学好本节有一定的难度．解决该问题的关键是学习时要注意加深对概念的理解，掌握知识的内在联系和区别，严谨而周密地去思考分析问题．二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识，高考重点考查展开式及通项，难度与课本内容相当．另外利用二项式定理及二项式系数的性质解决一些较简单而有趣的小题，在高考中也时有出现．第1课时两1．分类计数原理（也称加法原理）：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝种不同的方法．2．分步计数原理（也称乘法原理）：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝种不同的方法．3．解题方法：枚举法、插空法、隔板法．(2)、(3)班分别有学生48,50,52人(1) 从中选1人当学生代表的方法有多少种？(2) 从每班选1人组成演讲队的方法有多少种？(3) 从这150名学生中选4人参加学代会有多少种方法？(4) 从这150名学生中选4人参加数理化四个课外活动小组，共有多少种方法？解：（1）48＋50＋52＝150种 （2）48×50×52＝124800种 （3）4150C （4）4150A 变式训练1：在直角坐标x －o －y 平面上，平行直线x=n ，（n=0，1，2，3，4，5），y=n ，（n=0，1，2，3，4，5），组成的图形中，矩形共有（ ）A 、25个B 、36个C 、100个D 、225个解：在垂直于x 轴的6条直线中任意取2条，在垂直于y 轴的6条直线中任意取2条，这样的4条直线相交便得到一个矩形，所以根据分步记数原理知道：得到的矩形共有22515152626=⨯=⋅C C 个， 故选D 。

高三新数学第一轮复习教案—排列、组合、二项式定理一．课标要求：1．分类加法计数原理、分步乘法计数原理通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题；2．排列与组合通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题；3．二项式定理能用计数原理证明二项式定理； 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。

二．命题走向本部分内容主要包括分类计数原理、分步计数原理、排列与组合、二项式定理三部分；考查内容：（1）两个原理；（2）排列、组合的概念，排列数和组合数公式，排列和组合的应用；（3）二项式定理，二项展开式的通项公式，二项式系数及二项式系数和。

排列、组合不仅是高中数学的重点内容，而且在实际中有广泛的应用，因此新高考会有题目涉及；二项式定理是高中数学的重点内容，也是高考每年必考内容，新高考会继续考察。

考察形式：单独的考题会以选择题、填空题的形式出现，属于中低难度的题目，排列组合有时与概率结合出现在解答题中难度较小，属于高考题中的中低档题目；预测2007年高考本部分内容一定会有题目涉及，出现选择填空的可能性较大，与概率相结合的解答题出现的可能性较大。

三．要点精讲1．排列、组合、二项式知识相互关系表2．两个基本原理（1）分类计数原理中的分类；（2）分步计数原理中的分步；正确地分类与分步是学好这一章的关键。

3．排列（1）排列定义，排列数（2）排列数公式：系m n A =)!(!m n n =n ·(n －1)…(n －m+1)；（3）全排列列：n n A =n!；（4）记住下列几个阶乘数：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；4．组合（1）组合的定义，排列与组合的区别；（2）组合数公式：C n m =)!(!!m n m n -=12)1(1)m -(n 1)-n (⨯⨯⨯-⨯+ m m n ； （3）组合数的性质①C n m =C n n-m；②r n r n r n C C C 11+-=+；③rC n r =n ·C n-1r-1；④C n 0+C n 1+…+C n n =2n ；⑤C n 0-C n 1+…+(-1)n C n n =0，即 C n 0+C n 2+C n 4+…=C n 1+C n 3+…=2n-1；5．二项式定理（1）二项式展开公式：(a+b)n =C n 0a n +C n 1a n-1b+…+C n k a n-k b k +…+C n n b n ；（2）通项公式：二项式展开式中第k+1项的通项公式是：T k+1=C n k a n-k b k ；6．二项式的应用（1）求某些多项式系数的和；（2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性。

高三数学复习教学案第六章排列、组合与概率第1课时分类计数原理、分步计数原理考纲要求：掌握分类计数原理与分步计数原理，并能运用这两个原理分析和解决一些简单的问题。

一、要点知识归纳：1、分类计数原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m 1中不同的方法，在第二类办法中有m2中不同的方法，……在第n类办法中有mn中不同的方法，那么完成这件事共有N=_____________________________中不同的方法。

2、分步计数原理：做一件事，完成它需要分n个步骤，做第一步有m1中不同的方法，做第二步有m2中不同的方法，……做第n步有mn中不同的方法，那么完成这件事共有N=_____________________________中不同的方法。

二、基本技能训练1、将（a1+a2）（b1+b2+b3）（c1+c2+c3+c4）展开后的项数有__________项。

2、书架的上层放有4本不同的数学书，中层放有6本不同的外语书，下层放有5本不同的语文书，从中任取一本书的不同取法的种数是__________；从书架上任取两本不同学科的书，共有____________种不同的取法。

3、如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量。

现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为__________。

4、3封信投入4个不同的信箱，共有________种不同的投法；4封信投入3个不同的信箱，共有__________种不同的投法。

设集合A中有5个不同的元素，集合B中有2个不同的元素，建立5、6、某城市的电话号码，由六位数改为七位数（首位数字均不为0），则该城市可增加_____________部电话。

三、例题分析例1、某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成。

（1）选其中1人为学生会主席，有多少种不同选择？（2）若每年级选1人为校学生会常委，有多少种不同的选择？（3）若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选择？例2、由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三位数？（1）各位上的数字允许重复？（2）各位上的数字不允许重复？例3、同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方法有多少种？四、作业1、从1到200的自然数中，各个数位上都不含8的自然数有多少个？2、设x,y∈N*，直角坐标平面内的点P的坐标为（x,y）1）若x+y≤6，这样的P点有多少个？2）若1≤x≤4，1≤y≤5，这样的P点又有多少个？第2课时排列、组合的基本问题考纲要求：1、理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质；2、能解决一些简单的问题。

第二节排列与组合［考纲传真］（教师用书独具）1.理解排列与组合的概念2理解排列数公式、组合数公式3能利用公式解决一些简单的实际问题.（对应学生用书第170页）［基础知识填充］1. 排列、组合的定义排列的定义从n个不冋兀素中取出m *n）个兀素按照一定的顺序排成一列组合的定义合成一组2.排列数、组合数的定义、公式、性质排列数组合数疋义从n个不冋兀素中取出n）个兀素的所有排列的个数从n个不冋兀素中取出m j mc n）个兀素的所有组合的个数公式A n'= n( n —1)( n -2) •••( n - m+ 1)= n!(n- ' !m An(n- 1)( n- 2)…(n-' 1)G=AT m性质A n= n!,0!= 1m n- mG= G ,C n 十C n = 1［基本能力自测］1. （思考辨析）判断下列结论的正误.（正确的打“V”，错误的打“X”）（1）所有元素完全相同的两个排列为相同排列.（）（2）两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同. （）（3）若组合式C x= C,则x = m成立.（）（4）k C n= nd】1.（）［答案］⑴X （2）V （3）X ⑷V2. （教材改编）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了毕业留言（）A. 1 560 条B . 780 条 C. 1 600 条 D. 800 条A ［由题意，得毕业留言共A4G= 1 560条.］3. （2017 •全国卷H ）安排双基自主测评I 梳理自测巩匮3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A. 12 种B. 18 种C. 24 种D. 36 种D [由题意可得其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安4X3排方式为C3 •C 2•A 1= 36（种），或列式为C3 •C 4 •C 2= 3X —2—X 2= 36（种）.故选D.]4. 某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（）A. 85B. 56C. 49D. 28C [法一（直接法）：甲、乙两人均入选，有CC2种方法，甲、乙两人只有1人入选，有C2C2种方法，由分类加法计数原理，共有dC7+ CC7= 49种选法.3法二（间接法）：从9人中选3人有C9种方法，其中甲、乙均不入选有C7种方法，所以满足条件的选排方法有C S-0= 84- 35= 49种.]5. ______________________ A, B, C, D, E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A, B可以不相邻），那么不同的排法共有种.60 [5人的全排列，B站在A的右边与A站在B的右边各占一半，所以满足条件的不同排法共1A I= 60种.](3) 法一：(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A6种排列方法，共有5XA 6=3 600(种).法二：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有A6种排法，其他有A种排法，共有A A U 3 600(种).(4) (捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A4种方法，再将女生全排列，有A；种方法，共有A4・A4= 576(种).(5) (插空法)先排女生，有A4种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A5种方法，共有A4 1 440(种).［跟踪训练］(1)在航天员进行的一项太空试验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问试验顺序的编排方法共有( )A. 34 种B. 48 种C. 96 种D. 144 种(2) (2017 •北京西城区质检)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有__________ 种.(1) C (2) 36 ［(1)程序A的顺序有A2= 2种结果，将程序B和C看作一个元素与除A外的元素排列有A A4= 48种结果，由分步乘法计数原理，试验编排共有2X48= 96种方法.(2) 记其余两种产品为D, E, A B相邻视为一个元素，先与D, E排列，有A A；种方法•再将C插入，仅有3个空位可选，共有A2A；C3= 2X 6X 3= 36种不同的摆法.］■川某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长.现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1) 只有一名女生当选；(2) 两队长当选；(3) 至少有一名队长当选；(4) 至多有两名女生当选.［解］(1)只有一名女生当选等价于有一名女生和四名男生当选•故共有(C• C4= 350 种.(2) 两队长当选，共有c2・C i= 165种.(3) 至少有一名队长当选含有两类：只有一名队长当选，有两名队长当选.故共有CL C1+ cT Cu 825种.(或采用排除法：理一C?1= 825(种)).(4) 至多有两名女生当选含有三类：有两名女生当选，只有一名女生当选，没有女生当选.故选法共有C・C+ c5 •Cs + C8= 966种.［规律方法］组合问题的常见类型与处理方法1 '‘含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取2 "至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解•［跟踪训练］~~(1)(2018 •银川质检)某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、外语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科，要求物理、化学、生物三科至少选一科，政治、历史、地理三科至少选一科，则考生选考方法种数共有()【导学号：79140342】A. 6B. 12C. 18D. 24(2)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A. 60 种B. 63 种C. 65 种D. 66 种(1) C (2)D ［(1)法一：所有选考方法可分两类：第一类可分两步，第一步，考生从物理、化学、生物三科中任选一科有C3种不同的选法，第二步，考生从政治、历史、地理三科中任选二科有C3种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有C3C3种不同的选法；第二类可分两步，第一步，考生从物理、化学、生物三科中任选二科有C3种不同的选法，第二步，从政治、历史、地理三科中任选一科有C种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有种不同的选法•根据分类加法计数原理，考生共有CC + C3d= 18种不同的选考方法，故选 c.法二：依题意，考生共有C6- 2C3= 18种不同的选考方法，故选 c.(2)共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，所以不同的取法共有c5+ c4+ C5C4= 66种.]'■■'I(1)从0,123,4,5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为()A. 300B. 216C. 180D. 162(2)(2017 •江南名校联考)将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法有()A. 240 种B. 180 种C. 150 种D. 540 种(1) C (2)C [(1)分两类：第1类，不取0，即从1,2,3,4,5 中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有C3CA4= 72个没有重复数字的四位数；第2类，取0,此时2和4只能取一个，再取两个奇数，组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有C2d(A4 —A3) = 108个没有重复数字的四位数.根据分类加法计数原理可知，满足题意的四位数共有72 + 108= 180(个).(2) 5名学生可分为2,2,1和3,1,1两组方式.当5名学生分成2,2,1时，共有1C l C3A3= 90种方法；当5名学生分成3,1,1时，共有C3A3=60种方法.由分类加法计数原理知共有90 + 60= 150种保送方法.][ 跟踪训练] (1)( 东北三省四市模拟(一)) 哈市某公司有五个不同部门，现有4 名在校大学生来该公司实习．要求安排到该公司的两个部门，且每部门安排两名，则不同的安排方案种数为( )【导学号：79140343 】A．40 B．60 C．120 D．240(2)(2017 •浙江高考)从6男2女共8名学生中选出队长1人，畐U队长1人，普通队员2 人组成 4 人服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有 __________________ 种不同的选法．( 用数字作答)2(1) B (2) 660 [从五个不同部门选取两个部门有C2种选法，将4名大学生分别安排在这两个部门有C4C2种方法，所以不同的安排方案有&丘&= 60种，故选B.(2) 法一：只有1名女生时，先选1名女生，有C2种方法；再选3名男生，有C3种方法；然后排队长、副队长位置，有A2种方法•由分步乘法计数原理，知共有Q C6A4= 480( 种)选法．有2名女生时，再选2名男生，有C2种方法；然后排队长、畐U队长位置，有A2种方法.由分步乘法计数原理，知共有C6A4= 180(种)选法.所以依据分类加法计数原理知共有480+ 180 = 660(种)不同的选法.法二：不考虑限制条件，共有A^C l种不同的选法，而没有女生的选法有AC2种，故至少有1名女生的选法有A8C2- A6C4= 840- 180 = 660(种).]（对应学生用书第171页）排列问题■-* 1有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.（1）选5人排成一排；（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；（4）全体排成一排，女生必须站在一起；（5）全体排成一排，男生互不相邻.[解]（1）从7人中选5人排列，有A7= 7X 6X 5X 4X 3= 2 520（种）.（2）分两步完成，先选3人站前排，有A7种方法，余下4人站后排，有A种方法，共有A ・A：= 5 040（种）.。

排列、组合、二项式定理与概率知识梳理教学重、难点作业完成情况典题探究例1若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )． A ．60种 B ．63种 C ．65种 D ．66种例2现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能全是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( )． A ．232 B ．252 C ．472 D ．484例3在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( )． A.16 B.13 C.23 D.45例4 ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 6的展开式中x 3的系数为________(用数字作答)．演练方阵A 档（巩固专练）1．从甲、乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是（ ） A ．12 B ．24 C ．36 D ．482．某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起， 那么不同的停放方法的种数为（ ）A ．16B ．18C ．24D ．323．学校组织高一年级4个班外出春游，每个班从指定的甲、乙、丙、丁四个景区中任选一个游览，则恰有两个班选择了甲景区的选法共有（ ）种A.2243∙AB.2324A A ∙C.2243∙CD.2324A C ∙ 4．有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定.技术人员对它们进行一一测试，直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次就结束测试的方法种数是（ ） A. 16 B. 24 C. 32 D. 485．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（ ） A.14B.24C.28D.486． 6的二项展开式中，常数项是（ ） A.10 B.15 C.20 D.307．若21()nx x-展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为（ ）A.84-B.84C.36-D.36 8．6(2)x -的展开式中，3x 的系数是_____．（用数字作答） 9．在261(3)x x+的展开式中，常数项为______.(用数字作答)10．设5260126(1)(12)-+=+++鬃?x x a a x a x a x ，则2a = 。

高三排列组合（讲案）【教学目标】一、计数原理1.分类计数—加法原理：完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有1m种方法，在第二类办法中有2m种方法，……，在第n类办法中有n m种方法．那么，完成这件事共有123....nN m m m m种方法．(也称加法原理)2.分步计数—乘法原理：完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有1m种方法，做第二步有2m种方法，……，做第n步有n m种方法．那么，完成这件事共有123....nN m m m m种方法．(也称乘法原理)3.两个原理的区别在于一个和分类有关，一个和分步有关.①如果完成一件事有n类办法，且这n类办法是相互独立的，无论哪一类办法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法原理.分类时要注意满足两条基本原则：第一，完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；第二，分别属于不同类的两种方法是不同的方法. 前者保证不遗漏，后者保证不重复.②如果完成一件事，需要分n个步骤，各步骤相互独立又不可或缺，求完成这件事的方法种数，就用分步乘法原理.【例题讲解】★☆☆例1：例1．从甲地到乙地一天有汽车8班，火车3班，轮船2班，某人从甲地到乙地，他共有____________种不同的走法.★☆☆练1. 一个三层书架，分别放置语文书3本，数学书5本，英语书4本，从中取出一本，则不同的取法有__________种.★★☆练2：某日，从甲城市到乙城市的火车共有10个车次，飞机共有2个航班，长途汽车共有12个班次,若该日小张只选择这3种交通工具中的一种，则他从甲城市到乙城市共有A．12种选法B．14种选法C．24种选法D．22种选法★★☆例2：某座四层大楼共有三个大门，楼内有两个楼梯，那么由楼外到这座大楼的第四层共有（）种走法.A.12B.24C.6D.36★☆☆练1：集合A有n个元素，则集合A的子集的个数为__________★☆☆练2：某体育馆有5个门供球迷出入，某球迷从其中一任意一门进入，另外一门走出，则不同的进出方法有A.16种B.20种C.25种D.32种★★☆例3：4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每入限报其中的一个运动队，则不同的报名方法种数是_____________.★☆☆练1：2只猫把5只老鼠捉光，不同的捉法有__________种.★★☆例4：如图，用5种不同颜色给图中的A，B，C，D四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有种．★★☆练1：如图，花坛内有5个花池，有5种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种一种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案的种数为A.180B.240C.360D.420【题型知识点总结】1. 分类相加和分步相乘的本质区别：能否“一步到位”，一次解决，即为分类相加；几步完成，分步相乘2. 在涂色模型中，分析清楚题目条件，颜色是都用完还是不用全部用上二、排列数与组合数的运算1. 排列与组合的概念排列定义: 从n 个不同元素中取出m m n 个元素, 按照一定顺序成一列.组合定义: 从n 个不同元素中取出m m n 个元素, 合成一组.2. 排列数与组合数（1）排列数的定义：从n 个不同元素中取出m m n 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，所有不同排列的个数，叫作从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用mn A 表示．（2）组合数的定义：从n 个不同元素中取出m m n 个元素合成一组，叫作从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，所有不同组合的个数，叫做从n 个元素中取出m 个元素的组合数，用mn C 表示． 3．排列数、组合数的公式及性质排列数: *!1211,!mnn A n n n n m n m n mN nm规定: 0!=1 1221!nnA n n n n组合数: m nC =*121!1,!!!n n n n m n n m n mN m nm m规定：01n nn C C性质：mn mnnC C 11=m mm n nn C C C【例题讲解】★★☆例1： 例1. 解方程4321140xx A A★★☆练1．解方程3221326x x x A A A★★☆例2．解不等式2886m m A A★★☆练2．解不等式2886xx A A★☆☆例3．解方程：1231313x x C C★☆☆练3．解方程：233323110x x x x xC C A【题型知识点总结】1. 注意： mn C 的计算，若,2n m通常把m n C 转化为n mn C 进行计算更为简便2. 易错点：排列组合数的上下标的范围3. 计算简便：上标是字母，用阶乘形式表示和化简会更简便上标是一个不大的数字，那么两种表示方法都可以三、排列组合综合题型【例题讲解】（1）排列组合基础问题★☆☆例1： 一名老师和四名学生站成一排照相，学生请老师站在正中间，则不同的站法为 A ．4种 B ．12种 C ．24种 D ．120种★☆☆练1：现有6人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人，那么不同的排法共有 A ．30种 B ．360种 C ．720种 D ．1440种★☆☆例2：三年一班有20位学生，毕业时要求每两人均要合一张影（每两人只拍一张），则一班一共会拍__________张双人合影.（答案用数字表示）★☆☆练1：从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有A. 140种B. 123种C. 35种D. 34种（2）特殊元素/位置优先考虑★☆☆例1：5个人排成一排，甲不在排头或排尾，共有多少种排法？★☆☆练1：六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）种A. 192B. 216C. 240D. 288★☆☆练2：用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位偶数有___________个（用数字作答）★★☆练3：由数字0,1,2,3,4,5组成的没有重复数字的6位数，其中个位数字小于十位数字的数共有（）个A.210 B.300 C.464 D.600（3）相邻捆绑问题★☆☆例1：现有甲、乙等五个人站在一排，若甲、乙两人相邻，则有________种不同的排法.★☆☆练1：现有7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.★☆☆练2：在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施六个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则在该实验中程序顺序的编排方法共有A．144种B．96种C．48种D．34种（4）不相邻插空问题★☆☆例1：现在有甲、乙等五人站成一排，若甲、乙两人不相邻，则有_______种不同排法.★☆☆练1：的节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？★☆☆练2：马路上亮着一排编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10盏路灯，为节约用电，现要求把其中三盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法种数为__________.★☆☆练3：现有2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是______________.（5）定序问题★★☆例1：现在有甲、乙等五人站成一排，若甲必须站在乙的左边，有_______种不同站法.★★☆练1：2名老师，3名男生，3名女生站成一排照相留念,若3名女生身高都不等，从左到右女生必须由高到矮的顺序站，共有___________种站法．（最终结果用数字表示）★★☆练2某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后立即进行.那么安排这6项工程的不同排法种数是 .（6）相同元素排列问题★★☆例1：有5张卡片，分别写着数字“1”，“1”，“2”，“3”，“6”，则这5张卡片能组成__________个不同的4位数.（用数字作答）★★☆练1：现有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________________种不同的方法.（用数字作答）★★☆例2：24瓶啤酒从箱子里全部取出，一次只能拿3瓶或者4瓶，取出啤酒的方式有____种.★★☆练1：从一楼上到二楼需要上10级台阶，他每次只能上1级或2级，则小明从一楼上到二楼有_______种不同的方法.（7）平均分组问题★★☆例1：6本不同的书平均分成3组，有________种分组方案★★☆练1：数学活动小组由12名同学组成，现将12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案的种数为_________________.（用数字作答）★★☆例2：将4名司机和8名售票员分配到4辆不同的公交车上，每辆车上分别有1名司机和2名售票员，可能的分配方案种数是_________.（用数字作答）★★☆练1：将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有_______种(用数字作答).（8）不同元素分配问题★★☆例1：某校安排4个班到3个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方式有_____________种.（用数字作答）★★☆练1：有5名工人，分别要在明天、后天、大后天三天中选择一天休息，且每天至少有一人休息，则不同的安排方式有______________种.（用数字作答）★★☆例2：4名大学生到三家单位应聘，每名大学生至多被一家单位录用，则每家单位至少录用一名大学生的情况有A.24种B.36种C.48种D.60种★★☆练1：将五种不同植物全部种到如图的六块试验田中，要求相邻（有公共边）的试验田不能种同一种植物，共有______________种种法.（9）相同元素分配问题（挡板法）★★☆例1：将10个学生干部的培训指标分配给7个不同的班级，每班至少分到一个名额，不同的分配方案共有_______种.x y z，则（1）这个方程的正整数解的组数为___________;（2）这个方程的自然★★☆练1：方程10数解的组数为_____________.★★☆练2：现有10个完全相同的球，要放入1号、2号、3号三个盒子中，要求每个盒中的球数不小于盒号数，则有_____________种不同的放法.（9）逆向思维的方法01239这十个数字可以组成___________个没有重复数字的三位数.★★☆例1：用，，，★★☆练1：有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有2个空位相邻的不同坐法是__________．【题型知识点总结】1. 要读懂题意，明确解题的突破口，选择合理简洁的标准处理事件；在用计数原理解题时，如果遇到既有分类又有分步的问题，仅用一种原理不能解决，分析时一定要分清主次，选择其一作为主线.2. 解题时要注意题目中条件的限定，比如范围、先后顺序等，再去确定所用的方法【课后练习】【巩固练习】★☆☆1：设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2、3、3、4条路，只从一面上山，而从任意一面下山，走法最多时是A ．从东边上山B ．从西边上山C ．从南边上山D ．从北边上山★☆☆2：某校教学大楼共有5层，每层均有2个楼梯，则由一楼至五楼的不同走法共有A ．42种B ．25种C ．10种D ．7种★★☆3：用红.黄.蓝三种颜色去涂图中标号为1,2,3,,9的9个小正方形，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1,5,9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法有 种．★★☆4： 古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序，用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成____________组.★★☆5： 商店失窃，警察审讯4名犯罪嫌疑人，他们当然不会承认是自己偷的,都说是其余3人中的某一个人偷的，他们的供述结果互不相同,共有____________种不同的供述结果.★★☆6：已知56711710mm m C C C ，求8m C★★☆7：若22018182018x A C ，则x __________．★★☆8：已知33210n n AA ，那么n __________．★★☆9：下列等式中，错误的是A ．111m m n n nA AB ．!2!1n n n nC ．!m m n n A C nD ．11m m n n A A n m★★☆10：若328m m A C ，则mA ．8B ．7C ．6D ．5★★☆11：4个男生与3个女生站成一排照相，则男生和女生互相间隔排列的方法有A ．144种B ．72种C ．24种D ．6种★★☆12：山城农业科学研究所将5种不同型号的种子分别试种在5块并成一排的试验田里，其中A,B 两型号的种子要求试种在相邻的两块试验田里，且均不能试种在两端的试验田里，则不同的试种方法数为A ．12B ．24C ．36D ．48★★☆13：8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为A ．8289A AB ．8289AC C ．8287A AD ．8287A C★★☆14：三名老师与四名学生排成一排照相，如果老师不相邻，则不同的排法有（ ）种A ．144B ．1440C ．150D ．188★★☆15：把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在右图图案中的1,2,3,4,5,6,7所示的位置上，其中三盆兰花不能放在一条直线上，则不同的摆放方法为A.2680种B.4320种C.4920种D.5140种★★☆16：7个人站成一排，其中甲一定站在最左边，乙和丙必须相邻，一共有______种不同排法★★☆17：从4种不同的蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，则不同的种植方法的种数是_________.★★☆18：将甲、乙等5位同学分别保送到A,B,C三所大学就读，则每所大学至少有1位同学的不同保送方法有A. 240种B.180种C.150种D.540种【拔高练习】★★☆1：720所有的正约数有_______个★★★2：四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有A. 288种B.264种C. 240种D.168种★★☆3：某电子元件电路有一个由三节电阻串联组成的回路，共有6个焊点，若其中某一焊点脱落，电路就不通，现在回路不通，焊点脱落情况可能有A.5种B.6种C.63种D.64种★★☆4将A,B,C,D,E五种不同的文件放入一排编号依次为1,2,3,4,5,6,7的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件.若文件A,B必须放入相邻的抽屉内，文件C,D也必须放入相邻的抽屉内，则不同的放置方法有________________种.★★★5有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”“立定跳远”“肺活量”“握力”“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午个测试一个项目，且不重复.若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人，则不同的安排方式共有_______种.★★☆5：某单位安排7位员工在春节期间大年初一到初七值班，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在初一，丁不排在初七，则不同的安排方案共有_______★★★6：2018北京两会期间，有甲、乙、丙、丁、戊5位国家部委领导人要去3个分会场发言（每个分会场至少1人），其中甲和乙要求不在同一分会场，甲和丙必须在同一分会场，则不同的安排方案共有______________种.（用数字作答）★★★7：将1，2，3，4，5，这五个数字放在构成“W”型线段的5个端点位置，要求下面的两个数字分别比和它相邻的上面两个数字大，这样的安排方法种数为．★★★8：有5个匣子，每个匣子有一把钥匙，并且钥匙不能通用，如果在每一个匣子内各放入一把钥匙，然后把匣子全部锁上，要求砸开一个匣子后，能继续用钥匙打开其余4个匣子，那么钥匙的放法有种．★★★9：如图，有7个白色正方形方块排成一列，现将其中4块涂上黑色，规定从左往右数，无论数到第几块，黑色方块总不少于白色方块的涂法有种．★★★10：四根绳子上共挂有10只气球，绳子上的球数依次为1，2，3，4，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是．（用数字表示）★★★11：从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中，任取两个偶数和两个奇数组成没有重复数字的四位数．试问：（1）能组成多少个四位数？（2）两个偶数字相邻的四位数有几个？（3）两个偶数字不相邻的四位数有几个？（所有结果均用数值表示）。

高三数学总复习高考复习科目：数学 高中数学总复习（九）一、两个原理.1. 乘法原理、加法原理.2. 可以有重复元素．．．．．．．的排列. 从m 个不同元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m ·m ·… m = m n.. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ 二、排列.1. ⑴对排列定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.⑵相同排列：如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.⑶排列数：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示.⑷排列数公式： ),,()!(!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=+--=Λ注意：!)!1(!n n n n -+=⋅ 规定0! = 1111--++=⋅+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11--=m n m n nA A 规定10==n n n C C 2. 含有可重元素．．．．．．的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于!!...!!21k n n n n n =.三、组合.1. ⑴组合：从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.⑵组合数公式：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n mmmn m n -=+--==Λ⑶两个公式：①;m n n m n C C -= ②mn m n m n C C C 11+-=+①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n-m个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合.（或者从n+1个编号不同的小球中，n 个白球一个红球，任取m 个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有1m n 111m n C C C --=⋅一类是不含红球的选法有m n C ）②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m 个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中再取m-1个元素，所以有C1-m n ，如果不取这一元素，则需从剩余n 个元素中取出m 个元素，所以共有C mn 种，依分类原理有mn m n m n C C C 11+-=+.⑷排列与组合的联系与区别.联系：都是从n 个不同元素中取出m 个元素. 区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系. ⑸①几个常用组合数公式nn n n n n C C C 2210=+++Λλ 11111121153142011112++--++++++-+=+==++=+++=+++k n k n k n kn m n m m n m m m m m m n n n n n n n n C n C k nCkC C C C C C C C C C C C ΛΛΛ②常用的证明组合等式方法例.i. 裂项求和法. 如：)!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n Λ（利用!1)!1(1!1n n n n --=-）ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.v. 递推法（即用m n m n m n C C C 11+-=+递推）如：413353433+=+++n n C C C C C Λ. vi. 构造二项式. 如：n n n n n n C C C C 222120)()()(=+++Λ证明：这里构造二项式n n n x x x 2)1()1()1(+=++其中n x 的系数，左边为22120022110)()()(n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C +++=⋅++⋅+⋅+⋅--ΛΛ，而右边nn C 2= 四、排列、组合综合.1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型： ①直接法. ②排除法.③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n 个不同元素排成一列，要求其中某)(n m m ≤个元素必相邻的排列有m m m n m n A A ⋅+-+-11个.其中11+-+-m n m n A 是一个“整体排列”，而m m A 则是“局部排列”.又例如①有n 个不同座位，A 、B 两个不能相邻，则有排列法种数为-2n A 2211A A n ⋅-. ②有n 件不同商品，若其中A 、B 排在一起有2211A A n n ⋅--. ③有n 件不同商品，若其中有二件要排在一起有112--⋅n n n A A . 注：①③区别在于①是确定的座位，有22A 种；而③的商品地位相同，是从n 件不同商品任取的2个，有不确定性.④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”. ⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n 个元素进行全排列有n n A 种，)(n m m π个元素的全排列有m m A 种，由于要求m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n 个元素排成一列，其中m 个元素次序一定，共有m mn n A A 种排列方法.⑦平均法：若把kn 个不同元素平均分成k 组，每组n 个，共有kknnn n k n kn AC C C Λ)1(-⋅.注意：分组与插空综合. 例如：n 个元素全排列，其中某m 个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？有mmm m n m n m n A A A /1+---⋅，当n – m+1 ≥m, 即m ≤21+n 时有意义. ⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.例如：124321=+++x x x x 的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为4321,,,x x x x 显然124321=+++x x x x ，故（4321,,,x x x x ）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解),,,(4321y y y y ，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数311C . ⑨定位问题：从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列规定某r 个元素都包含在内，并且都排在某r 个指定位置则有r k r n r r A A --.⑩指定元素排列组合问题.i. 从n 个不同元素中每次取出k 个不同的元素作排列（或组合），规定某r 个元素都包含在内 。

排列组合复习课导学案排列组合复习课导学案编制：迟德龙⼀、学习⽬标：1.进⼀步理解和应⽤分步计数原理和分类计数原理。

2.掌握解决排列组合问题的常⽤策略;能运⽤解题策略解决简单的综合应⽤题。

提⾼学⽣解决问题分析问题的能⼒3.学会应⽤数学思想和⽅法解决排列组合问题. ⼆、知识梳理： 1、加法原理1.分类计数原理(加法原理)完成⼀件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的⽅法，在第2类办法中有m 种不同的⽅法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的⽅法，不同的⽅法． 2、乘法原理分步计数原理（乘法原理）完成⼀件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的⽅法，做第2步有m 种不同的⽅法，…，做第n 步有n m 3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理⽅法相互独⽴，任何⼀种⽅法都可以独⽴地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的⽅法完成事件的⼀个阶段，不能完成整个事件． 4、排列数的计算5、组合数的计算6、组合数的性质7、常见的⽅法：（1）特殊元素、特殊位置优先考虑（2）捆绑法（3）插孔法（4）间接法（5）挡板法（6）先选后排（7）平均分租（8）定序问题⽤除法（9）整体分类局部分步（10）列举法（11）先分组再排列 8、常见题型（1）站排问题（2）分配问题（3）数字问题（4）涂⾊问题（5）⼏何问题9、解决排列组合综合性问题的⼀般过程如下: （1）.认真审题弄清要做什么事（2）.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进⾏,确定分多少步及多少类。

(3).确定每⼀步或每⼀类是排列问题(有序)还是组合(⽆序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.(4).解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握⼀些常⽤的解题策略三、基础训练1、7名学⽣站成⼀排，4男3⼥（1）甲不站在排头（2）甲⼄两⼈必须相邻（3）甲⼄两⼈不能相邻（4）甲不站在排头⼄不站在排尾（5）甲必须站在⼄的左边（6）甲⼄丙三⼈的顺序⼀定（7）⼥⽣相邻（8）男⽣相邻（9）⼥⽣不相邻（10）男⽣不相邻（11）男⽣和⼥⽣相间⽽站（12）恰有两名⼥⽣相邻四、例题精选：⼀.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.练习题:7种不同的花种在排成⼀列的花盆⾥,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆⾥，问有多少不同的种法？⼆.相邻元素捆绑策略例2. 7⼈站成⼀排 ,其中甲⼄相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.练习题:某⼈射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在⼀起的情形的不同种数为 20三.不相邻问题插空策略例3.⼀个晚会的节⽬有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节⽬不能连续出场,则节⽬的出场顺序有多少种？练习题：某班新年联欢会原定的5个节⽬已排成节⽬单，开演前⼜增加了两个新节⽬.如果将这两个新节⽬插⼊原节⽬单中，且两个新节⽬不相邻，那么不同插法的种数为 30四.定序问题倍缩空位插⼊策略例4.7⼈排队,其中甲⼄丙3⼈顺序⼀定共有多少不同的排法练习题:10⼈⾝⾼各不相等,排成前后排，每排5⼈,要求从左⾄右⾝⾼逐渐增加，共有多少排法？五.重排问题求幂策略例5.把6名实习⽣分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法练习题：1．某班新年联欢会原定的5个节⽬已排成节⽬单，开演前⼜增加了两个新节⽬.如果将这两个节⽬插⼊原节⽬单中，那么不同插法的种数为 422. 某8层⼤楼⼀楼电梯上来8名乘客⼈,他们到各⾃的⼀层下电梯,下电梯的⽅法87六.多排问题直排策略例6.8⼈排成前后两排,每排4⼈,其中甲⼄在前排,丙在后排,共有多少排法练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2⼈就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2⼈不左右相邻，那么不同排法的种数是七.排列组合混合问题先选后排策略例7.有5个不同的⼩球,装⼊4个不同的盒内,每盒⾄少装⼀个球,共有多少不同的装法.练习题：⼀个班有6名战⼠,其中正副班长各1⼈现从中选4⼈完成四种不同的任务,每⼈完成⼀种任务,且正副班长有且只有1⼈参加,则不同的选法有种⼋.⼩集团问题先整体后局部策略例8.⽤1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？练习题：１.计划展出10幅不同的画,其中1幅⽔彩画,４幅油画,５幅国画, 排成⼀⾏陈列,要求同⼀品种的必须连在⼀起，并且⽔彩画不在两端，那么共有陈列⽅式的种数为2. 5男⽣和５⼥⽣站成⼀排照像,男⽣相邻,⼥⽣也相邻的排法有种九.元素相同问题隔板策略例9.有10个运动员名额，分给7个班，每班⾄少⼀个,有多少种分配⽅案？练习题：1．10个相同的球装5个盒中,每盒⾄少⼀有多少装法？49C2 .100x y z w+++=求这个⽅程组的⾃然数解的组数3103C⼗.正难则反总体淘汰策略例10.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这⼗个数字中取出三个数，使其和为不⼩于10的偶数,不同的取法有多少种？练习题：我们班⾥有43位同学,从中任抽5⼈,正、副班长、团⽀部书记⾄少有⼀⼈在内的抽法有多少种?⼗⼀.平均分组问题除法策略例11 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？练习题：1 将13个球队分成3组,⼀组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？（）2.10名学⽣分成3组,其中⼀组4⼈, 另两组3⼈但正副班长不能分在同⼀组,有多少种不同的分组⽅法（）3.某校⾼⼆年级共有六个班级，现从外地转⼊4名学⽣，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排⽅案种数为______（）⼗⼆. 合理分类与分步策略例12.在⼀次演唱会上共10名演员,其中8⼈能能唱歌,5⼈会跳舞,现要演出⼀个2⼈唱歌2⼈伴舞的节⽬,有多少选派⽅法练习题：1.从4名男⽣和3名⼥⽣中选出4⼈参加某个座谈会，若这4⼈中必须既有男⽣⼜有⼥⽣，则不同的选法共有34⼗三.构造模型策略例13. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满⾜条件的关灯⽅法有多少种？练习题：某排共有10个座位，若4⼈就坐，每⼈左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？练习题:某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表⽰马路，从A ⾛到B 的最短路径有多少种？()⼗四.实际操作穷举策略例14.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒⼦,现将5个球投⼊这五个盒⼦内,要求每个盒⼦放⼀个球，并且恰好有两个球的编号与盒⼦的编号相同,有多少投法练习题：1.同⼀寝室4⼈,每⼈写⼀张贺年卡集中起来,然后每⼈各拿⼀张别⼈的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配⽅式有多少种？ (9)⼗五.数字排序问题查字典策略例15．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的⽐324105⼤的数？解:297221122334455=++++=A A A A A N练习:⽤0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从⼩到⼤排列起来,第71个数是 3140⼗六、涂⾊问题例16.如图⼀,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜⾊中的某⼀种,允许同⼀种颜⾊使⽤多次,但相邻区域必须涂不同颜⾊,则不同涂⾊⽅法种数为( ) A. 180 B. 160 C. 96 D. 60图四若变为图⼆,图三，图四呢?2.给图中区域涂⾊,要求相邻区域不同⾊,现有4种可选颜⾊,则不同的着⾊⽅法有种五、⾼考链接 1、（2013年普通⾼等学校招⽣统⼀考试⼭东数学（理）试题）⽤0,1,…,9⼗个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为（） A ．243 B ．252 C ．261 D ．2792．（2013年普通⾼等学校招⽣统⼀考试福建数学（理））满⾜{},1,0,1,2a b ∈-,且关于x 的⽅程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为（）A ．14B ．13C ．12D ．103．（2013年⾼考四川卷（理））从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别为,a b ,共可得到lg lg a b -的不同值的个数是（）A ．9B ．10C ．18D ．20图⼀图⼆图三B A 543214、（2013年上海市春季⾼考数学）从4名男同学和6名⼥同学中随机选取3⼈参加某社团活动,选出的3⼈中男⼥同学都有的概率为________(结果⽤数值表⽰).5．（2013年普通⾼等学校招⽣统⼀考试浙江数学（理））将F E D C B A ,,,,,六个字母排成⼀排,且BA ,均在C 的同侧,则不同的排法共有________种(⽤数字作答)6．（2013年普通⾼等学校招⽣统⼀考试重庆数学（理））从3名⾻科.4名脑外科和5名内科医⽣中选派5⼈组成⼀个抗震救灾医疗⼩组,则⾻科.脑外科和内科医⽣都⾄少有⼈的选派⽅法种数是___________(⽤数字作答) 7（2013年⾼考北京卷（理））将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4⼈,每⼈⾄少1张,如果分给同⼀⼈的2张参观券连号,那么不同的分法种数是_________.8．（2013年普通⾼等学校招⽣统⼀考试⼤纲版数学（理））6个⼈排成⼀⾏,其中甲、⼄两⼈不相邻的不同排法共有____________种.(⽤数字作答).9、（2010全国卷2理数）（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡⽚放⼊3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡⽚放⼊同⼀信封，则不同的⽅法共有（A ）12种（B ）18种（C ）36种（D ）54种10、（2010全国卷2⽂数）（9）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡⽚放⼊3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡⽚放⼊同⼀信封，则不同的⽅法共有（A ） 12种 (B) 18种 (C) 36种 (D) 54种11、（2010重庆⽂数）（10）某单位拟安排6位员⼯在今年6⽉14⽇⾄16⽇（端午节假期）值班，每天安排2⼈，每⼈值班1天. 若6位员⼯中的甲不值14⽇，⼄不值16⽇，则不同的安排⽅法共有（A ）30种（B ）36种（C ）42种（D ）48种12、某单位安排7位员⼯在10⽉1⽇⾄7⽇值班，每天1⼈，每⼈值班1天，若7位员⼯中的甲、⼄排在相邻两天，丙不排在10⽉1⽇，丁不排在10⽉7⽇，则不同的安排⽅案共有A. 504种B. 960种C. 1008种D. 1108种13、（2010北京理数）（4）8名学⽣和2位第师站成⼀排合影，2位⽼师不相邻的排法种数为（A ）8289A A （B ）8289A C （C ） 8287A A （D ）8287A C14、（2010四川理数）（10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（A ）72 （B ）96 （C ） 108 （D ）14415、（2010全国卷1理数）(6)某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，⼀位同学从中共选3门.若要求两类课程中各⾄少选⼀门，则不同的选法共有 (A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种16、（2010四川⽂数）（9）由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是（A ）36 （B ）32 （C ）28 （D ）2417、（2010湖南理数）7、在某种信息传输过程中，⽤4个数字的⼀个排列（数字允许重复）表⽰⼀个信息，不同排列表⽰不同信息，若所⽤数字只有0和1，则与信息0110⾄多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为A.10 B.11 C.12 D.15 18、（2010湖北理数）8、现安排甲、⼄、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每⼈从事翻译、导游、礼仪、司机四项⼯作之⼀，每项⼯作⾄少有⼀⼈参加。