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灰色建模实例
北方某城市1986-1992年交通噪声平均声级数据
序号
1 2 3 4
年份
1986 1987 1988 1989
Leq 序号
年份
Leq
71.1 5
1990
71.4
72.4 6
1991
72.0
72.4 7
1992
71.6
72.1
表：某城市近年来交通噪声数据[dB(A)]
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第一步：级比检验，建模可行性分析
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4、灰生成技术
灰色序列生成 是一种通过对原始数据的挖掘、整理来寻求数据变化 的现实规律的途径，简称灰生成。
灰生成特点 在保持原序列形式的前提下，改变序列中数据的值与 性质。一切灰色序列都能通过某种生成弱化其随机性，
显现其规律性。
灰生成的作用 1.统一序列的目标性质，为灰决策提供基础。 2.将摆动序列转换为单调增长序列，以利于灰建模。 3.揭示潜藏在序列中的递增势态，变不可比为可比序列。
(k2,3,L,7)，故可以用X ( 0 ) 作满意的GM(1, 1)
建模。
.
第二步： 用GM(1,1)建模
1. 对原始数据 X ( 0 )作一次累加：
k
x(1)(k) x(0)(m) (k1,2,L,7) m1
得：
X ( 1 ) x ( 1 )1 ,x ( 1 )2 ,L ,x ( 1 )7
.
例2 令原始序列X ( 0 )为
X ( 0 ) x ( 0 ) 1 ,x ( 0 ) 2 , x ( 0 ) 3 , x ( 0 ) 4 , x ( 0 ) 5
(1,1,1,1,1) A G O X (0 ) X (1 ) (1 ,2 ,3 ,4 ,5 )
I A G O X ( 1 ) 1 ,2 1 ,3 2 ,4 3 ,5 4
.
于是得到：
x (0) (2 ) 7 2 .4
z (1) (2) 1 107.3 1
x
(0
)
(
3
)
7
2
.4
z
(1
)
(
2
)
1
1
79.7
1
Y
x (0) (4 ) 7 2 .1
z(1 )4 1 2 x(1 )(3 )x(1 )(4 ) 2 5 1 .9 5
z(1 )51 2 x(1 )(4 )x(1 )(5 ) 3 2 3 .7
z(1 )61 2 x(1 )(5 )x(1 )(6 ) 3 9 5 .4 z(1 )71 2 x(1 )(6 )x(1 )(7 ) 4 6 7 .2
( 7 1 . 1 , 1 4 3 . 5 , 2 1 5 . 9 , 2 8 8 , 3 5 9 . 4 , 4 3 1 . 4 , 5 0 3 )
.
2. 构造数据矩阵B及数据向量Y ：
z(1 )21 2 x(1 )(1 )x(1 )(2) 107.3 z(1 )31 2 x(1 )(2 )x(1 )(3 ) 1 7 9 .3
定义 它是对AGO生成序列中相邻数据依次累 减，又称累减生成。令X ( 0 )为原序列
X ( 0 ) x ( 0 )1 ,x ( 0 )2 ,L ,x ( 0 )n
称Y 是 X ( 0 )的IAGO序列，并记为
当且仅当
YIAGOX(0)
Yy(1 ),y(2 ),L,y(n )
并y(k)Y 满足 y(k)x(0)(k)x(0)(k1)
.
注意
1. xˆ ( 0 ) ( k ) (k1,2,L,n)是原始数据序列 x ( 0 ) ( k ) (k1,2,L,n)的拟合值。
2. xˆ ( 0 ) ( k ) (k n)是原始数据序列预测值。
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问题3 如何检验GM(1,1)模型的精度？
残差： q(k)x(0)(k)x ˆ(0)(k)
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灰色预测模型
.
1、灰色系统介绍
■ 灰色系统是由华中科技大学的邓聚龙教授80 年代初所创立，在短短的三十年里已得到了长足 的发展。
■ 灰色系统研究的是“部分信息明确，部分信息 未知”的“小样本，贫信息”不确定性问题，并 依据信息覆盖，通过序列算子的作用探索事物运 动的现实规律。其特点是“少数据建模”，着重 研究“外延明确，内涵不明确”的对象。
(2),(3),L(7)
( 0 . 9 8 2 0 , 1 . 0 0 0 0 , 1 . 0 0 4 2 , 1 . 0 0 9 8 , 0 . 9 9 1 7 , 1 . 0 0 5 9 )
.
3.
级比判断：(k)en21,
2 en1
由于所有的 ( k ) [ 0 . 7 7 8 8 0 0 7 8 3 ,1 . 2 8 4 0 2 5 4 1 7 ] ，
A G O X (0 ) X (1 ) (1 ,3 ,4 .5 ,7 .5 )
10
9
8
X (0)
7
6
5
4
3
2
1
0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
10
9
8 7
X (1)
6
5
4
3
2
1
0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
.
2. 逆累加生成算子（IAGO）
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GM(1,1)的符号含义：
G
M
( 1,
1)
Grey 灰色
Model 模型
1阶方程
1个变量
.
定义1 设 X ( 0 ) x ( 0 )1 ,x ( 0 )2 ,L ,x ( 0 )n ，和 X ( 1 ) x ( 1 )1 ,x ( 1 )2 ,L ,x ( 1 )n ，则称
x(0)(k)ax(1)(k)b
称Z (1 ) 为X (1 ) 的MEAN序列，并记为
Z(1)M E A NX(1)
当且仅当
Z ( 1 ) z ( 1 )1 ,z ( 1 )2 ,L ,z ( 1 )n
并且每个z(1)(k)Z(1) 满足下述关系
.
z(1)k1 2 x(1)(k)x(1)(k1)
例3 对于X(1) (1,2,3,4,5)，有
.
注意：原始序列 X ( 0 ) x ( 0 )1 ,x ( 0 )2 ,L ,x ( 0 )n
必是非负的，其中x(0) (k) 0，k1,2,L,n。
若原始序列 X ( 0 )不是非负的，则需要对 X 中 ( 0 )
的元素做平移变换，即令 x+ (0)(k)x(0)(k)
其中 0 ，k1,2,L,n。
预测值
真实值
相对误差：
q(k)
x(0)(k)x ˆ(0)(k)
(k)x(0)(k) 100% x(0)(k) 100%
平均相对误差： (avg) 1
n
(k)
n1k2
精度： p01(avg)100%
.
建立灰色预测模型的一般步骤
第一步：级比检验，建模可行性分析。 第二步：数据变换处理。 第三步： 用GM(1,1)建模。 第四步：模型检验。
M E A N Z ( 1 ) z ( 1 ) ( 1 ) ,z ( 1 ) ( 2 ) ,z ( 1 ) ( 3 ) ,z ( 1 ) ( 4 )
0 . 5 ( 1 2 ) , 0 . 5 ( 2 3 ) , 0 . 5 ( 3 4 ) , 0 . 5 ( 4 5 ) 1.5,2.5,3.5,4.5
(白化方程)
x(1)(t)x(0)(1)baeak
b a
.
3、解得时间响应序列为：
xˆ(1)(k1)x(0)(1)b aˆˆeaˆk
bˆ aˆ
(k2,3,L,n)
4、 原始数据序列 X ( 0 )的预测值：
x ˆ(0)(k 1 )x ˆ(1 )(k 1 )x ˆ(1 )(k)1 ea ˆ x(0)(1 )b a ˆˆ e a ˆk
的级比满足
(k)(en21,
2
en1)
时，序列 X (1) 可做GM(1,1)建模。
.
5、GM（1，1）模型
灰色理论认为系统的行为现象尽管是朦胧的，数据 是复杂的，但它毕竟是有序的，是有整体功能的。 灰数的生成，就是从杂乱中寻找出规律。同时，灰 色理论建立的是生成数据模型，不是原始数据模型。 因此，灰色预测的数据是通过生成数据的GM(1,1) 模型所得到的预测值的逆处理结果。
(1,1,1,1,1)
这表明
I A G O X ( 1 ) I A G O (A G O X (0 ))算子（MEAN）
定义 它是将AGO序列中前后相邻两数取平均数， 以获得生成序列。令X (1 )为X ( 0 )的AGO序列
X ( 1 ) x ( 1 )1 ,x ( 1 )2 ,L ,x ( 1 )n
.
4. 级比生成算子
定义 设序列X ( 0 ) x ( 0 )1 ,x ( 0 )2 ,L ,x ( 0 )n ，则称
(k)
x(0) (k 1) x(0) (k) ,
k2,3,L,n.
为序列 X (1 ) 的级比。
检验准则 设序列 X ( 0 ) x ( 0 )1 ,x ( 0 )2 ,L ,x ( 0 )n
显然，由此得到的累加生成序列 X (1) 和均 值生成序列 Z (1 ) 都是非负的。
.
问题1
关于GM(1,1)模型 x(0)(k)az(1)(k)b的参
数a和b如何确定？
若P (a, b)T为参数列，且
x (0)(2 )
Y
x
(0
)
(
3
)
M
x
(
0
)
(
n
)
