灰色预测及MATLAB实现

灰色预测作用：求累加数列、求a b的值、求预测方程、求残差clc %清屏，以使结果独立显示x=[71.1 72.4 72.4 72.1 71.4 72.0 71.6];format long; %设置计算精度if length(x(:,1))==1 %对输入矩阵进行判断，如不是一维列矩阵，进行转置变换 x=x';endn=length(x); %取输入数据的样本量z=0;for i=1:n %计算累加值，并将值赋予矩阵bez=z+x(i,:);be(i,:)=z;endfor i=2:n %对原始数列平行移位y(i-1,:)=x(i,:);endfor i=1:n-1 %计算数据矩阵B的第一列数据c(i,:)=-0.5*(be(i,:)+be(i+1,:));endfor j=1:n-1 %计算数据矩阵B的第二列数据e(j,:)=1;endfor i=1:n-1 %构造数据矩阵BB(i,1)=c(i,:);B(i,2)=e(i,:);endalpha=inv(B'*B)*B'*y; %计算参数矩阵即a b的值for i=1:n+1 %计算数据估计值的累加数列，如改为n+1为n+m可预测后m-1个值ago(i,:)=(x(1,:)-alpha(2,:)/alpha(1,:))*exp(-alpha(1,:)*(i-1))+alpha(2,:)/alpha(1,: );%显示输出预测值的累加数列endvar(1,:)=ago(1,:) %显示输出预测值for i=1:n %如改n为n+m-1，可预测后m-1个值var(i+1,:)=ago(i+1,:)-ago(i,:); %估计值的累加数列的还原，并计算出下一预测值endfor i=1:nerror(i,:)=x(i,:)-var(i,:); %计算残差endc=std(error)/std(x); %调用统计工具箱的标准差函数计算后验差的比值c ago %显示输出预测值的累加数列alpha %显示输出参数数列var %显示输出预测值error %显示输出误差c %显示后验差的比值作用：数据处理判断是否可以用灰色预测、求级比、求累加数列、求a b的值、求预测方程clc,clearx0=[71.1 72.4 72.4 72.1 71.4 72.0 71.6]'; %注意这里为列向量n=length(x0);lamda=x0(1:n-1)./x0(2:n) %计算级比range=minmax(lamda') %计算级比的范围x1=cumsum(x0) %累加运算B=[-0.5*(x1(1:n-1)+x1(2:n)),ones(n-1,1)];Y=x0(2:n);u=B\Y %拟合参数u(1)=a,u(2)=bx=dsolve('Dx+a*x=b','x(0)=x0'); %求微分方程的符号解x=subs(x,{'a','b','x0'},{u(1),u(2),x0(1)}) %代入估计参数值和初始值yuce1=subs(x,'t',[0:n-1]); %求已知数据的预测值y=vpa(x,6) %其中的6表示显示6位数字yuce=[x0(1),diff(yuce1)] %差分运算，还原数据。

利用MATLAB编程预测2003年中国蔬菜产量，并对预测结果做残差检验和后验差检验，程序如下：function [X,c,error1,error2]=GM11(X0,k)% 建立函数[X,c,error1,error2]=GM11(X0,k)% 其中X0为输入序列，k为预测长度，% X为预测输出序列，c为后验差检验数，error1为残差，error2为相对误差format long;n=length(X0);X1=[];X1(1)=X0(1);for i=2:nX1(i)=X1(i-1)+X0(i); %计算累加生成序列endfor i=1:n-1B(i,1)=-0.5*(X1(i)+X1(i+1)); %计算B，Y nB(i,2)=1;Y(i)=X0(i+1);endalpha=(B'*B)^(-1)*B'*Y'; %做最小二乘估计a=alpha(1,1);b=alpha(2,1);d=b/a; %计算时间响应函数参数c=X1(1)-d;X2(1)=X0(1);X(1)=X0(1);for i=1:n-1X2(i+1)=c*exp(-a*i)+d;X(i+1)=X2(i+1)-X2(i); %计算预测序列endfor i=(n+1):(n+k)X2(i)=c*exp(-a*(i-1))+d; %计算预测序列X(i)=X2(i)-X2(i-1);endfor i=1:nerror(i)=X(i)-X0(i);error1(i)=abs(error(i)); %计算残差error2(i)=error1(i)/X0(i); %计算相对误差endc=std(error1)/std(X0); %计算后验差检验数作业陕西省农业总产值数据如下年份 1985 1986 1987 1888 1989 1990 1991 1992 1993 1994 总产值 62.9 58.8 61.4 87.2 104.9 124.8 110.7 129.0 155.3 219.03请建立灰色系统GM （1，1）模型，并预测1995-1997三年的农业总产值 在命令行输入：X0=[62.9 58.8 61.4 87.2 104.9 124.8 110.7 129.0 155.3 219.03]; k=3;[X,c,error1,error2]=GM11(X0,k) plot(1985: 1994,X0,'g*-') hold onplot(1985:1997,X)1984198619881990199219941996199850100150200250300350奥运会金牌中国预测 X0=[15,5,16,16,28,32,51,38];[X,c,error1,error2]=GM11(X0,k) plot(1:8,X0,'g*-') hold on plot(1:9,X)123456789X0=[5,16,16,28,32,51,38]; k=1;[X,c,error1,error2]=GM11(X0,k) plot(1:7,X0,'g*-') hold on plot(1:8,X)12345678X0=[16,16,28,32,51,38]; k=1;[X,c,error1,error2]=GM11(X0,k) plot(1:6,X0,'g*-') hold onplot(1: 7,X)1234567X0=[16,28,32,51,38]; k=1;[X,c,error1,error2]=GM11(X0,k) plot(1:5,X0,'g*-') hold on plot(1:6,X)1 1.52 2.53 3.54 4.555.56X0=[28,32,51,38]; k=1;[X,c,error1,error2]=GM11(X0,k) plot(1:4,X0,'g*-') hold on plot(1:5,X)1 1.52 2.53 3.54 4.55X0=[32,51,38]; k=1;[X,c,error1,error2]=GM11(X0,k) plot(1:3,X0,'g*-') hold on plot(1:4,X)1 1.52 2.53 3.54。

灰色预测专设工⑼他QA—叫吋)为原始数列.其1次累❖加生成数列为恥=妙①曲⑵，…卅何),其中X° 仇)二工* ° (0.址=1=2= -:n5-1卷定义卫的决导数为d(k) = *町(上)=x 叫咼-x cl)(Jt-l).令为数列工①的邻值生成数列.即却(去)=^(*) + (1- a)x0)(t-lX于是定义GM (L 1)的灰微分方程模型为d(k)-血⑴住)=K即或严＞(£) + “尹⑻=人⑴在式(1)中』。

＞(灼称为灰导数，我称为发展系数, 弧称为白化背景值，b称为灰作用量乜将时刻表殳二2「3「/代入(1)式有V!1「—ay=代⑶ B =Ib*- :X闵0)-Z，：］(K)1于是G\I <1»1）複至可表示为Y = Bu.現在问题归结为求sb 在值。

用一元线性回归・即最小二秦法求它们的活计值 为注二实陌上回归分析中求估计值是用软件计尊的・有标准程序求解，iOmaClab 等。

GM <1» 1>的白化晏対于G\I <1> 1）的灰微分方程（1） >如果将灰导数打（Q 的时刻 视为连绫变里"则x°）视为时问（函数卅⑺,于是*〉（Q 対血于导数里级 心2 >白化背臬值申的对应于导数卅⑴。

于是G\I （1，1）的坝徽 分方樂対应于的白微分方程为内・则数堀列X©可以塗互G\I <19 1） 且可以进行页色预测。

否朋，対数摄做适当的克换处理■如平移叢换:取C 使得鞍据列严伙）=工⑴伙）+ G 上=1,2,…,的级比都華住可吝禎盖内。

心⑴⑴ + o?i> (r)二◎ dr<2)GM mi ）质色预测的步骤1 •教摇的枪绘与处連为了ftilGAl （1,1）建複方法的可行性，亲要为已知期S 做必要的检蛉处理。

设原始教据列为了 逛=（乂°（1）*6（2）严炉00； >计算数列的级比如果所有的级比都落在可容覆盖区间 • fc =A-2,3"・如果対所有的|p 伙)|<0・1 -则认为达到较高的要求,否则 若旳所有的|。

分数灰色预测matlab代码详解
分数灰色预测是一种基于灰色系统理论的非线性预测方法，通过对待预测序列的数据进行分形分析，建立分数阶微分方程模型，从而进行预测。

下面我们将详细介绍该方法的matlab代码实现过程。

1. 数据准备
首先，需要准备待预测的时间序列数据，在matlab中可以通过读取文件或手动输入的方式获取数据。

在本文中，我们将使用matlab 自带的load函数读取一个名为data.txt的文本文件中的时间序列数据。

2. 数据预处理
在进行预测之前，需要对数据进行预处理。

这包括去除噪声、平滑处理、归一化等。

在本文中，我们将采用matlab中自带的smooth 函数进行平滑处理，并使用归一化方法将数据缩放到0至1之间。

3. 模型建立
接下来，需要建立分数灰色预测模型。

在matlab中，可以使用greyest函数进行模型参数估计。

在本文中，我们将使用分数阶微分方程模型，因此需要先通过fracdiff函数估计分数阶微分系数。

4. 模型预测
有了模型之后，就可以进行预测了。

在matlab中，可以使用sim 函数进行模型仿真。

在本文中，我们将使用该函数对模型进行预测，并将预测结果可视化。

5. 结果分析
最后，需要对预测结果进行分析。

可以通过计算误差指标、绘制误差曲线等方式进行分析。

在本文中，我们将计算均方误差和平均绝对误差，并绘制预测结果和实际结果的对比图。

综上所述，以上就是分数灰色预测的matlab代码详解。

通过对上述步骤的实现，可以得到较为准确的预测结果，并帮助我们更好地了解该预测方法的原理和应用。

灰色预测心设尹曲⑴#为原始数列，其1次累＜加生成数列为炉=(孝①宀2\S,其中©=2^°:⑺卫=12…止i-1尋定文沙的灰导数为d(Jt)=玄㈣(Jt)=尤⑴的-工⑴(*-1).令尹为数列壬⑴的邻值生成数列，即尹)(町=加小(町十(1—a)x山(k-1).于是定文GM(1T1)的灰微分方程模型为d(k)+az①(上)=&_即或.严⑹+盘⑴懐)=乩⑴在式(1)中口①的称为灰导数’熬称为发展系数'弧称为白化背景值，b称为灰作用量。

将时刻表庄=23…用代入(O式有j<0)(2)-az⑴(2)=工®⑶—俺叫巧=»于是GMIL)樫型可表示为r=现在问题归结为求巧h在值。

用一元绒性回归，即最小二垂進求它们的估计值住=[]卜护跖护F奕厢上回归分析中求诂计值是用软件计算的，有标淮程博求解，如山訥甜等。

GM(1.1)的白化型对于的(1-1)的获微分方程⑴，如果将解导教矿悶的时報=%…屮观対连续叢里"则工⑴衩为时间i函敕卅®,于是-<'W耐应于导敕重级必％),白化背杲值刃(時对应于导數申⑴。

于是GM(1，1)的换微分方嗨对应于的白微分方程为写®4曲％「)=也⑵GAI(1>1)换色预刪的步叢1-數堀的椅噓弓处理为了保证©M(B1)屋複方达的可行性・需要対已却皴堀锁必要的检峻处Ho 设療皓数攥列为了-计算埶列的级比如果所有的级比都落在可容覆盖区间盂-內・则數摒列X糾可咲建立G*ICL-1)複型且可以避行页色预测。

否则，丙軌据懺适当的叢换处理，如平移銮换：取C使得敕培列严⑹二工蚀盘)+匚用二12…”的级比都落在可啓禎盖内。

(1)残差檢验：计算相对薙差Z 建立GM (L T 1)複型不妬设少弋以m 叫唠霸足上面的要求，以它芮議堀列建立GM(1>1)型蛊(仍(i)+血C1\A)=b ・用回归分祈求得目上的估计值"于是相应的白化模型为 气^十小卄工解为工叱)=0)①—勺中1-色-⑶ 应Q于是停到预测值壬⑴(上+1)=0叫1)一勺>加+仝血二12…卫一1=aa伙而相应地得到预«=x co \t +1)=x 0)(t+l)-x a)(i)3i =1,2,-?n-l ?如果对所有的^<0.1・则认为达到鞭嵩的要求：否则，若耐所有的|^)1<0^，则认対达到一般要求©(2)级比偏差値桧验：计算能)=1-呂学©如果对所有的|，则认为达列较高的要求孑吾则若对斫有的，则认为达到一般要求O灰色预测计算实例^…;=:=-■■■■昏例北方某城市1986—1992年道路交通噪声平均声级数据见表6序号年吶寺表拆市近年来交通噪声数据[眶(应)]二諾;二319S872.4第—爭:级比检验建立丢通噪屛均声级数锯时间序列如下：4198972.1j 1990?1.4 619?17201199771.6艸=(•严①卫购(2)厂卅⑺) =(711,72.4.71.4,72.1.71.4,7UQ.71.6)些(1)求级比k(k)忠防护住T)2=(几⑵山⑶.…也⑺)g=(0.982JJ.0042J.0098-0.9917J.0056)(2)级比判断由于所有的X.(10e[0.982J.009S],k=2,3.6故可以用双0)作满意的GM(1,1)建模’第二步：GM(1,1)建模(1)对原始数据X®作一次累加，即卞⑴=(71.L143.5215.9.288359.4.431.4,503)(2)构造数据矩阵B及数据向量Y-2)—H 弋3/>1⑶讦算1T心求解得F'⑴=(工倒〔1〉_-)e 弋Q f+-1*^+1)=0＜l,U)--)£-t +-=-3092^--^+31000⑶求生咸数列值歸型齊看:n令“is 那血由上面的碉醯数可甲得，其中取菱由龙⑴(i}=恥壮曲5加得丁I —"炉閃=进悶-进德-尊(71儿72.4.72.2:72.1:71.9:71.7,71.6)^}=(s"a ＞亍⑴⑵，…，网⑺A＜第三步;模型检验•＞模型的各种检验指标值的计算结果见表工 •t*表7GM(1检验表＜序号年俯原始值模型值残差相对误差级比偏差•>1 19S6 71.1 71.1<219S7 72.4 72.4 -0.0057 0.01%0.0023 <3 19S S 72.4 72.2 0.163S 0.23%0.0203 •>4 19S9 72.1 72.1 0.0329 0.05%-O.(K H8 •>5199071.4 71.9 -0-49S4 0.7%-0.0074 <61991 72.0 71.7 0.21599 037%0.0107<71992 71.6 71.6 0.037S0.05%-0.0032于是得到目=山的餡,立欖型7-B)'1B TY=(dt0.0023 72.6573dt+0.002ix (1>=72.657^心经验证・该模型的精度较高.可进行预测和预报计算的Matlab 程序如下:仃坝测和预报n=length(x); z=0;%取输入数据的样本量for i=1:nz=z+x(i,:)be(i,:)=z; %计算累加值，并将值赋予矩阵beend for i=2:n %对y(i-1,:)=x(i,:)%对原始数列平行移位 endfor i=1：n-1%计算数据矩阵B 的第一列数据c(i,:)=-0.5*(be(i,:)+be(i+1,:)); clCjdearxO=[71H 72.472A 72J71477m c n.lengthtxO)；*'b%注意这里为列帖lamda =xD(l ：n-1),A0(2：n)%计算级比range =minmaxflamda f )%计算级比的范阖 X1=cumsum(xO)；%累加运算B=['0,5*(xl(l ；n ^l)+xl(2:n))t ones(n -1,1)]TY 二甸(2：町；口=B\Y%拟合参数u(l>=a .u(2)=bx=dsolve (+a 'x =b\f x(0)-xO^J ；%求徴分方程的特号解x =subs(xJ*a\,b r /xO ，Mu(l)P u(2)t xO(l)|)i%代入荷计痹擞值和初蜡值yucel =subs %求巳知数擁的扳测位y-vpa(x,6)奄其中的石表示显不白位数字yuce=[x0(l)T diff(yucel)]%羔分运算，还原数据 epsiIon=-yuce%计算战羞作用：求累加数列、求ab 的值、求预测方程、求残差clc %清屏，以使结果独立显示x=[71.172.472.472.171.472.071.6]; format long ;%设置计算精度if length(x(:,1))==1%对输入矩阵进行判断，如不是一维列矩阵，进行转置变换x=x endM.I-JTVorhlllst 模型endfor j=1:n-1%计算数据矩阵B的第二列数据e(j,:)=1;endfor i=1:n-1%构造数据矩阵BB(i,1)=c(i,:);B(i,2)=e(i,:);endalpha=inv(B'*B)*B'*y;%计算参数矩阵即ab的值for i=1:n+1%计算数据估计值的累加数列，如改为n+1为n+m可预测后m-1个值ago(i,:)=(x(1,:)-alpha(2,:)/alpha(1,:))*exp(-alpha(1,:)*(i-1))+alpha( 2,:)/alpha(1,:);%显示输出预测值的累加数列endvar(1,:)=ago(1,: )for i=1:n%显示输出预测值%如改n为n+m-1，可预测后m-1个值var(i+1,:)=ago(i+1,:)-ago(i,:);%估计值的累加数列的还原，并计算出下一预测值endfor i=1:nerror(i,:)=x(i,:)-var(i,:);%计算残差endc=std(error)/std(x);%调用统计工具箱的标准差函数计算后验差的比值cago alpha var%显示输出预测值的累加数列%显示输出参数数列%显示输出预测值error %显示输出误差c %显示后验差的比值作用：数据处理判断是否可以用灰色预测、求级比、求累加数列、求ab的值、求预测方程clc,clearx0=[71.172.472.472.171.472.071.6]';%注意这里为列向量n=length(x0);lamda=x0(1:n-1)./x0(2:n)%计算级比range=minmax(lamda')%计算级比的范围x1=cumsum(x0)%累加运算B=[-0.5*(x1(1:n-1)+x1(2:n)),ones(n-1,1)];Y=x0(2:n);u=B\Y%拟合参数u(1)=a,u(2)=bx=dsolve('Dx+a*x=b','x(0)=x0');%求微分方程的符号解x=subs(x,{'a','b','x0'},{u(1),u(2),x0(1)})%代入估计参数值和初始值yuce1=subs(x,'t',[0:n-1]);%求已知数据的预测值y=vpa(x,6)%其中的6表示显示6位数字yuce=[x0(1),diff(yuce1)]%差分运算，还原数据。

灰色系统预测GM(1,1)模型及其Matlab 实现预备知识（1）灰色系统白色系统是指系统内部特征是完全已知的;黑色系统是指系统内部信息完全未知的;而灰色系统是介于白色系统和黑色系统之间的一种系统，灰色系统其内部一部分信息已知,另一部分信息未知或不确定。

(2)灰色预测 灰色预测，是指对系统行为特征值的发展变化进行的预测，对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行的预测,也就是对在一定范围内变化的、与时间序列有关的灰过程进行 预测。

尽管灰过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此得到的数据集合具备潜在的规律。

灰色预测是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。

目前使用最广泛的灰色预测模型就是关于数列预测的一个变量、一阶微分的ＧＭ（1，1)模型。

它是基于随机的原始时间序列，经按时间累加后所形成的新的时间序列呈现的规律可用一阶线性微分方程的解来逼近。

经证明，经一阶线性微分方程的解逼近所揭示的原始时间序列呈指数变化规律。

因此，当原始时间序列隐含着指数变化规律时，灰色模型GM(1,1)的预测是非常成功的。

1 灰色系统的模型GM(1,１）１．1 GM(1，1)的一般形式设有变量X (0)={X (0)(i ）,i ＝1,2,．..，n}为某一预测对象的非负单调原始数据列，为建立灰色预测模型:首先对X（0)进行一次累加（１—ＡGO ， Acum ｕl ａt ｅｄ Ge ｎeｒa ｔｉng Opera ｔo ｒ)生成一次累加序列: X (1)={X（1）(k ),k =1，2,…,n}其中X (1）(k )＝∑=ki 1X (0）(i)＝X (1)(ｋ-１）+ X （0）(ｋ) (1)对X（1)可建立下述白化形式的微分方程：dtdX )1(十)1(aX =u (2)即G Ｍ（１，1)模型。

上述白化微分方程的解为(离散响应): ∧X（1)(k +１)＝(X (０)(1)－a u ）ake -+au (3）或∧X （1）（k )=(X (0）(1)-a u ))1(--k a e +au （４)式中：k 为时间序列，可取年、季或月。

matlab灰色预测模型函数Matlab是一种广泛应用于科学计算和工程领域的软件工具，它提供了许多函数和工具箱，用于数据分析和建模。

其中一个重要的函数是灰色预测模型函数，它可以用来预测和分析时间序列数据。

本文将介绍灰色预测模型函数的原理和应用，并通过一个示例来演示其使用方法。

灰色预测模型是一种基于灰色系统理论的预测方法，它适用于样本数据较少、不完整或不规律的情况。

在灰色预测模型中，数据被分为两类：发展数据和规律数据。

发展数据是指拥有较完整信息的数据，规律数据是指缺乏完整信息的数据。

通过对规律数据进行处理和建模，可以预测未来数据的趋势和变化。

在Matlab中，可以使用灰色预测模型函数进行数据预测和分析。

该函数可以通过输入历史数据和需要预测的时间步长来生成预测结果。

具体的使用方法如下：1. 导入数据：首先需要导入需要预测的时间序列数据。

可以使用Matlab中的数据导入函数来读取数据文件或手动输入数据。

2. 数据预处理：对导入的数据进行预处理，包括去除异常值、平滑数据等。

可以使用Matlab中的数据处理函数来完成这些操作。

3. 构建灰色模型：使用灰色预测模型函数来构建灰色模型。

该函数需要输入历史数据和需要预测的时间步长。

4. 模型评估：对构建的灰色模型进行评估，包括计算预测误差、拟合度等指标。

可以使用Matlab中的统计函数来完成这些计算。

5. 预测结果：根据构建的灰色模型，可以生成未来数据的预测结果。

可以使用Matlab中的预测函数来完成这一步骤。

下面通过一个示例来演示灰色预测模型函数的使用方法。

假设我们有一个销售数据的时间序列，我们希望预测未来三个月的销售额。

首先，我们需要导入销售数据，并进行数据预处理。

然后，我们可以使用灰色预测模型函数来构建灰色模型。

最后，我们可以通过预测函数来生成未来三个月的销售额预测结果。

在实际操作中，我们可能还需要对模型进行参数调优和模型选择。

可以使用交叉验证等方法来选择最优的参数和模型。

数学建模-灰⾊预测模型GM（1,1）_MATLAB %GM(1,1).m%建⽴符号变量a(发展系数)和b(灰作⽤量)syms a b;c = [a b]';%原始数列 AA = [174, 179, 183, 189, 207, 234, 220.5, 256, 270, 285];%填⼊已有的数据列！n = length(A);%对原始数列 A 做累加得到数列 BB = cumsum(A);%对数列 B 做紧邻均值⽣成for i = 2:nC(i) = (B(i) + B(i - 1))/2;endC(1) = [];%构造数据矩阵B = [-C;ones(1,n-1)];Y = A; Y(1) = []; Y = Y';%使⽤最⼩⼆乘法计算参数 a(发展系数)和b(灰作⽤量)c = inv(B*B')*B*Y;c = c';a = c(1);b = c(2);%预测后续数据F = []; F(1) = A(1);for i = 2:(n+10) %这⾥10代表向后预测的数⽬，如果只预测⼀个的话为1F(i) = (A(1)-b/a)/exp(a*(i-1))+ b/a;end%对数列 F 累减还原,得到预测出的数据G = []; G(1) = A(1);for i = 2:(n+10) %10同上G(i) = F(i) - F(i-1); %得到预测出来的数据enddisp('预测数据为：');G%模型检验H = G(1:10); %这⾥的10是已有数据的个数%计算残差序列epsilon = A - H;%法⼀：相对残差Q检验%计算相对误差序列delta = abs(epsilon./A);%计算相对误差Qdisp('相对残差Q检验：')Q = mean(delta)%法⼆：⽅差⽐C检验disp('⽅差⽐C检验：')C = std(epsilon, 1)/std(A, 1)%法三：⼩误差概率P检验S1 = std(A, 1);tmp = find(abs(epsilon - mean(epsilon))< 0.6745 * S1);disp('⼩误差概率P检验：')P = length(tmp)/n%绘制曲线图t1 = 1995:2004;%⽤⾃⼰的，如1 2 3 4 5...t2 = 1995:2014;%⽤⾃⼰的，如1 2 3 4 5... plot(t1, A,'ro'); hold on;plot(t2, G, 'g-');xlabel('年份'); ylabel('污⽔量/亿吨');legend('实际污⽔排放量','预测污⽔排放量'); title('长江污⽔排放量增长曲线'); %都⽤⾃⼰的grid on;。

灰色预测作用：求累加数列、求a b的值、求预测方程、求残差clc %清屏，以使结果独立显示x=[71.1 72.4 72.4 72.1 71.4 72.0 71.6];format long; %设置计算精度if length(x(:,1))==1 %对输入矩阵进行判断，如不是一维列矩阵，进行转置变换x=x';endn=length(x); %取输入数据的样本量z=0;for i=1:n %计算累加值，并将值赋予矩阵bez=z+x(i,:);be(i,:)=z;endfor i=2:n %对原始数列平行移位y(i-1,:)=x(i,:);endfor i=1:n-1 %计算数据矩阵B的第一列数据c(i,:)=-0.5*(be(i,:)+be(i+1,:));endfor j=1:n-1 %计算数据矩阵B的第二列数据e(j,:)=1;endfor i=1:n-1 %构造数据矩阵BB(i,1)=c(i,:);B(i,2)=e(i,:);endalpha=inv(B'*B)*B'*y; %计算参数矩阵即a b的值for i=1:n+1 %计算数据估计值的累加数列，如改为n+1为n+m可预测后m-1个值ago(i,:)=(x(1,:)-alpha(2,:)/alpha(1,:))*exp(-alpha(1,:)*(i-1))+alpha(2,:)/alp ha(1,:);%显示输出预测值的累加数列endvar(1,:)=ago(1,:) %显示输出预测值for i=1:n %如改n为n+m-1，可预测后m-1个值var(i+1,:)=ago(i+1,:)-ago(i,:); %估计值的累加数列的还原，并计算出下一预测值endfor i=1:nerror(i,:)=x(i,:)-var(i,:); %计算残差endc=std(error)/std(x); %调用统计工具箱的标准差函数计算后验差的比值cago %显示输出预测值的累加数列alpha %显示输出参数数列var %显示输出预测值error %显示输出误差c %显示后验差的比值作用：数据处理判断是否可以用灰色预测、求级比、求累加数列、求a b的值、求预测方程clc,clearx0=[71.1 72.4 72.4 72.1 71.4 72.0 71.6]'; %注意这里为列向量n=length(x0);lamda=x0(1:n-1)./x0(2:n) %计算级比range=minmax(lamda') %计算级比的范围x1=cumsum(x0) %累加运算B=[-0.5*(x1(1:n-1)+x1(2:n)),ones(n-1,1)];Y=x0(2:n);u=B\Y %拟合参数u(1)=a,u(2)=bx=dsolve('Dx+a*x=b','x(0)=x0'); %求微分方程的符号解x=subs(x,{'a','b','x0'},{u(1),u(2),x0(1)}) %代入估计参数值和初始值yuce1=subs(x,'t',[0:n-1]); %求已知数据的预测值y=vpa(x,6) %其中的6表示显示6位数字yuce=[x0(1),diff(yuce1)] %差分运算，还原数据。

现有给定数据（见表1），每一组编程的同学先熟悉灰色预测)1,1(GM 的算法，根据算法过程（分步完成）编写相应的程序。

要求：
1.程序能够由编程者的需求不同预测出给定数据后任意n 年的值；
2.程序能够求出给定数据与预测数据的残差；
3.程序能够画出初始数据与预测数据的对比图，注意图的格式，黑白；
4.程序能够求出数据矩阵B 及数据向量Y ；
5程序能够得出求预测值的方程即：
c me k x nk +=+)1(^
其中，c n m 、、均为需用程序求解出来的系数；
6.程序中重要的程序语句用‘%’注明语义；
表1 给定数据。

使用Matlab技术进行灰色系统建模的基本方法灰色系统理论是一种具有实用价值和应用广泛的预测和决策分析方法。

在实际应用中，利用Matlab技术来进行灰色系统建模更加高效和方便。

本文将介绍使用Matlab技术进行灰色系统建模的基本方法和步骤，帮助读者深入了解和掌握这一技术。

一、Matlab在灰色系统建模中的应用Matlab是一种功能强大的科学计算软件，具有数据处理、绘图和模拟仿真等丰富的功能，因此在灰色系统建模中得到了广泛应用。

Matlab提供了各种灰色系统建模工具和函数，可以快速、准确地进行系统建模和分析。

因此，掌握Matlab的使用，对于进行灰色系统建模具有重要意义。

二、数据预处理在进行灰色系统建模之前，需要对原始数据进行预处理，以提高后续建模的准确性和可靠性。

数据预处理包括数据清洗、数据平滑和数据归一化等步骤。

Matlab 提供了丰富的数据处理函数和工具，可以快速、灵活地完成这些操作。

1. 数据清洗数据清洗是指删除或修正含有噪声、异常值或缺失值的数据。

Matlab中可以使用滤波函数、插值函数和替换函数等方法对数据进行清洗。

例如，可以使用median函数对数据进行中值滤波，去除噪声干扰。

另外，使用interp1函数进行数据插值，可以填补缺失值，使数据更加完整。

2. 数据平滑数据平滑是指通过降低数据的波动性，使其更具有连续性和稳定性。

Matlab中常用的数据平滑方法包括移动平均法、指数平滑法和小波平滑法等。

移动平均法通过计算滑动窗口内数据的平均值，来平滑原始数据。

指数平滑法则采用指数加权平均的方式，对数据进行平滑处理。

小波平滑法则利用小波分析的方法，对数据进行平滑处理。

3. 数据归一化数据归一化是指将不同量纲或取值范围的数据，转换为统一的尺度。

常用的归一化方法包括最小-最大归一化和Z-score归一化等。

最小-最大归一化将数据线性映射到[0,1]的范围内，使数据具有统一的尺度和可比性。

Z-score归一化则通过计算数据与均值的偏差，除以标准差，将数据标准化为均值为0，标准差为1的分布。

建立GM（1，1）模型对产品销售额预测祁诗阳冯晓凯申静某大型企业1999年至2004年的产品销售额如下表，试建立GM(1,1预测模型，并预测2005年的产品销售额。

年份1999 2000 2001 2002 2003 2004销售额2.673.13 3.25 3.36 3.56 3.72(亿元有题目知构造累加生成序列对作紧邻均值生成编程如下：x=[2.67 5.8 9.05 12.41 15.97 19.69];z(1=x(1;for i=2:6z(i=0.5*(x(i+x(i-1;endformat long gz结果如下：z =Columns 1 through 42.67 4.235 7.425 10.73Columns 5 through 614.19 17.83因此于是构造B矩阵和Y矩阵如下：对参数进行最小二乘估计，采用matlab编程完成解答如下：B=[[-4.235 -7.425 -10.73 -14.19 -17.83]',ones(5,1];Y=[3.13 3.25 3.36 3.56 3.72]';format long ga=inv(B'*B*B'*Y结果如下：a =-0.04396098154759662.92561659879905即=-0.044，u=2.96 =-66.55则GM(1,1白化方程为预测模型为：1、关联度检验法：采用matlab编程得到模拟序列for i=1:6X(i=69.22*exp(0.044*(i-1-66.55;endformat long gx(1=X(1;for i=2:6x(i=X(i-X(i-1;endX结果如下：x =Columns 1 through 42.673.11367860537808 3.25373920141375 3.40010005288617 Columns 5 through 63.55304456012134 3.71286887145915因此模拟序列为求模拟序列和原始序列的相关度初始化，即将该序列所有数据分别除以第一个数据。

function GM1_1(X0)%format long ;X0=input('请输入实测数据');%实测值[m,n]=size(X0);X1=cumsum(X0); %累加X2=[];for i=1:n-1X2(i,:)=X1(i)+X1(i+1);endB=-0.5.*X2 ;t=ones(n-1,1);B=[B,t] ; % 求B矩阵YN=X0(2:end) ;Pt=YN./X1(1:(length(X0)-1)) %对原始数据序列X0进行准光滑性检验， %序列X0的光滑比P(t)=X0(t)/X1(t-1)A=inv(B.'*B)*B.'*YN.' ;a=A(1)u=A(2)c=u/a ;b=X0(1)-c ;X=[num2str(b),'exp','(',num2str(-a),'k',')',num2str(c)];strcat('X(k+1)=',X)%syms k;for t=1:length(X0)k(1,t)=t-1;endkY_k_1=b*exp(-a*k)+c;for j=1:length(k)-1Y(1,j)=Y_k_1(j+1)-Y_k_1(j);endXY=[Y_k_1(1),Y] %预测值CA=abs(XY-X0) ; %残差数列Theta=CA %残差检验绝对误差序列XD_Theta= CA ./ X0 %残差检验相对误差序列AV=mean(CA); % 残差数列平均值R_k=(min(Theta)+0.5*max(Theta))./(Theta+0.5*max(Theta)) ;% P=0.5R=sum(R_k)/length(R_k) %关联度Temp0=(CA-AV).^2 ;Temp1=sum(Temp0)/length(CA);S2=sqrt(Temp1) ; %绝对误差序列的标准差%----------AV_0=mean(X0); % 原始序列平均值Temp_0=(X0-AV_0).^2 ;Temp_1=sum(Temp_0)/length(CA);S1=sqrt(Temp_1) ; %原始序列的标准差TempC=S2/S1*100; %方差比C=strcat(num2str(TempC),'%') %后验差检验 %方差比%----------SS=0.675*S1 ;Delta=abs(CA-AV) ;TempN=find(Delta<=SS);N1=length(TempN);N2=length(CA);TempP=N1/N2*100;P=strcat(num2str(TempP),'%') %后验差检验 %计算小误差概率m=input('请输入预测期数:');for g=1:(length(X0)+m)v(1,g)=g-1;endvm=b*exp(-a*v)+c;for j=1:length(v)-1l(1,j)=m(j+1)-m(j);endxyz=[m(1),l]%预测值disp(['小误差概率为：',num2str(P)]);disp(['后验方差比为：',num2str(C)]);disp(['预测值为：',num2str(xyz)]);。