高三数学：14.1《平面及其基本性质》教案(1)(沪教版上)

《平面的基本性质》教学设计第1课时◆教学目标了解平面的基本事实与推论，能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实，理解三个基本事实的地位与作用；会用平面的基本事实正面点共线、线共点、点线共面三个典型问题，熟悉符号语言、文字语言、图形语言之间的转换．◆教学重难点◆教学重点：掌握平面的基本事实及推论．教学难点：能用图形、文字、符号三种语言描述平面的基本事实，并能解决空间线面的位置关系问题．◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、问题导入前面我们通过几何体的学习，已经直观地认识了点、线、面之间的位置关系，从本节开始，我们将在直观认识的基础上来论证它们之间的关系，以期进一步培养大家的空间想象能力和逻辑能力．问题1：观察如图11－2－2，的凳子，把凳子看成一个平面，思考（1）如果把一个平面固定在空间中，至少需要固定几个点？（2）有多少个平面能通过空间中指定的一点？有多少平面能通过空间中指定制定的两点？引语：要解决这个问题，就需要进一步学习平面的基本事实与推论.（板书：平面的基本事实与推论）【新知探究】问题2：确定平面的依据是什么？师生活动：学生分析解题思路，给出答案．追问：基本事实1的作用是什么？预设的答案：基本事实1： 文字表示：经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面.符号表示：A ，B ，C 三点不共线⇒存在唯一的平面α使A ，B ，C ∈α图形表示：注：（1）可以简单地说成“不共线的3点确定一个平面”(2)过不共线的3点A ，B ，C 的平面，通常记作平面ABC ，用图象直观地表示平面时，为了增加立体感，习惯上讲平面用平行四边形表示.(3)如图的平面α可以看成由不共线的3点A ，B ，C 确定的，此时显然有：,,A B C ααα∈∈∈(4)如果给定的3个点同在一直线上，那么有无数个平面通过这3个点，也就是说，此时这三个点不能“确定”一个平面，例如，如果给定的3个点都在长方体的一条棱上，那么过这三个点就会有无数个平面.作用：①确定平面的依据；②判定点、线共面设计意图：通过对生活简单事实出发，通过观察分析归纳出平面基本事实．发展学生数学抽象和直观想象的核心素养．问题3：尝试与发现：这就是说，如果A B αα∈∈， ，那么直线AB α∈，如图11－2－4所示．师生活动：学生分析解题思路，给出答案追问：基本事实2的作用是什么？预设的答案：基本事实2：文字表示：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. 符号表示：A ∈α，B ∈α⇒AB ⊂α图形表示：作用：①判定直线是否在平面内；②判断一个面是否是平面注：基本事实2可以作为判断一个面是否是平面的依据：如果一个面内的任意两点所确定的直线都在这个平面内，那么这个面就是平面．例如，球面不是一个平面，因为球面上任意两点所确定的直线中，只有两个点在球面上.设计意图：培养学生分析和归纳的能力.问题4：如图11－2－6所示，当用裁纸刀裁纸时，可以认为刀锋是在一个平面内运动的．（1）裁纸刀裁出的是什么样的痕迹？（2）两个平面相交时，公共点具有什么特点？师生活动：学生分析解题思路，给出答案追问：基本事实3的作用是什么？预设的答案：基本事实3：文字表示：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号表示：P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l图形表示：注：（1）基本事实3说明，两个不重合的平面，只要有一个公共点，就一定有无数个公共点，而且这无数个公共点能构成一条直线，这条直线通常也称为两个平面的交线，如图所示，有,A a a αβ∈=；（2）在画两个平面相交时，其中一个平面被另一个平面遮住的部分应该画出虚线或不画，如图所示；（3）根据基本事实3可知，棱柱中，有公共棱的两个面所在的平面一定是相交的，而且公共棱是交线的一部分.作用：①判定两个平面相交的依据；②判定点在直线上设计意图：培养学生分析和归纳的能力. 【巩固练习】例1. 用符号语言表示下列语句，并画出图形：(1)三个平面α、β、γ相交于一点P ，且平面α与平面β交于P A ，平面α与平面γ交于PB ，平面β与平面γ交于PC ；(2)平面ABD 与平面BCD 相交于BD ，平面ABC 与平面ADC 交于AC ．师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案： (1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P ，α∩β＝P A ，α∩γ＝PB ，β∩γ＝PC ．用图形表示如图①.(2)符号语言表示：平面ABD ∩平面BDC ＝BD ．平面ABC ∩平面ADC ＝AC ．图形表示如图②.设计意图：用符号语言表示语句． 例2. 证明：两两相交且不过同一个点的3条直线必在同一个平面内.师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：证明：设直线,,AB BC AC 两两相交，交点分别是,,A B C显然，,,A B C 3点不共线，因此它们能确定一个平面α.因为,,A B αα∈∈ 那么直线AB α⊂同理,AC BC αα⊂⊂即直线,,AB BC AC 都在平面α内.设计意图：基本事实1的运用．例3. 如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 上的一点，试说明1,,D A E 3点确定的平面与平面ABCD 相交，并画出这两个平面的交线.师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：因为A ∈面1D AE ，A ∈面ABCD所以面1D AE ABCD ≠∅，即面1D AE 与面ABCD 相交．延长1D E 与DC ，设它们相交于F ，如图所示，则：F ∈直线1D E ，直线1D E ⊂面1D AE ．F ∈直线DC ，直线DC ⊂面ABCD ．则F ∈面1D AE 面ABCD ，从而AF 为面1D AE 与面ABCD 的交线，如图所示.设计意图：基本事实3的运用．【课堂小结】问题：（1）三个基本事实的作用有哪些？（2）证明几点共线的方法有哪些？（3）证明证明多线共点的方法有哪些？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：1．三个基本事实的作用基本事实1——判定点共面、线共面的依据；基本事实2——判定直线在平面内的依据；基本事实3——判定点共线、线共点的依据．2．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点．或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．3．证明多线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线．设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确平面的基本事实的有关知识．布置作业：【目标检测】1. 下列说法正确的是()A．三点可以确定一个平面B．若直线上有一个点在一个平面内，则这条直线在这个平面内C．把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面相交于一点D．如果两个平面有三个不共线的点，那么这两个平面重合设计意图：基本事实的运用．2. 若A ∈平面α，B ∈平面α，C ∈直线AB ，则( )A ．C ∈αB ．C ∉α C ．AB ⊄αD ．AB ∩α＝C设计意图：用符号语言表示语句．3. 经过空间任意三点作平面( )A ．只有一个B ．可作二个C ．可作无数多个D ．只有一个或有无数多个设计意图：基本事实的运用．4. 如图所示，在正方体1111ABCD A B C D 中．画出平面1AC 与平面1BC D 及平面1ACD 与平面1BDC 的交线．设计意图：基本事实的运用．5. 如图，已知E ，F ，G ，H 分别是四面体A －BCD 的棱AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：E ，F ，G ，H 四点共面．设计意图：基本事实的运用．参考答案： 1. D A 错误，不共线的三点可以确定一个平面；B 错误，直线上的两个点在一个平面内，则这条直线在这个平面内；C 错误，三角板所在平面与桌面所在平面相交于一条直线；D 正确，过不共线的三个点有且只有一个平面．2. A 因为A ∈平面α，B ∈平面α，所以AB ⊂α.又因为C ∈直线AB ，所以C ∈α.3. D 当三点在一条直线上时，过这三点的平面能作无数个；当三点不在同一条直线上时，过这三点的平面有且只有一个．4. 如图，∵AC BD O ⋂=，1C DC E ⋂=．∴O ∈平面1AC ，O ∈平面1BC D ．又1C ∈平面1AC ，1C ∈平面1BC D ．∴平面 1AC ⋂平面11BC D OC =．同理平面1ACD ⋂平面1BDC OE =．A A 15. 在△ABD 中，∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点，∴EH ∥BD ．同理FG ∥BD ，则EH ∥FG .故E ，F ，G ，H 四点共面．。

❖14.1平面及其基本性质（1）
——平面及其基本性质
（一）平面的概念：
平面是“平”的，无厚度的，无边界
在空间无限延伸的图形.
（二）平面的表示（画）
方法：
水平放置
M B
正视垂直放置 C
侧视垂直放置
D
A
平面ABCD
平面
平面M
（三）点、线、面的位置关系（借用集合符号）
1、点A在直线l上，或直线l经过点A 记作：Al
点B不在直线l上 记作：B l
l
B A
B
A
l
2、点A在平面上，或平面经过点A 记作：A
点B不在平面上 记作：B
3、如果直线l上的所有点都在平面上，
那么称直线l在平面上（或平面经过直线l)
记作：l
如果直线l与平面只有一个公共点A, 那么称直线l
与平面相交于点A,或称A是直线与平面的交点
记作：l A
l
A
l
如果直线l与平面没有公共点, 那么称直线l
与平面平行 记作：l ，或l ∥
（四）平面的基本性质 公理1
如果直线l上有两个点在平面 上，那么直 线在平面 上。（直线在平面上）
用集合语言表述：
若Al, B l,且A, B ，则l
B l
A
例1、已知A , B , M 是线段AB的中点， 求证：M
3.空间三条直线相交于一点确定几个平面？ 一个或者三个
例2.已知直线 l1, l2和 l3两两相交，且三线 不共点，求证：直线 l1, l2 和 l3 在同一平面
上
证明： 已知直线 l1, l2 和 l3 两两相交，
设l1 l2 A,l2 l3 B,l3 l1 C

平面的基本性质（一）平面的基本性质是研究空间图形性质的理论基础，也是以后演绎推理的逻辑依据．平面的基本性质是通过三条公理及其重要推论来刻划的，通过这些内容的教学，使学生初步了解从具体的直观形象到严格的数学表述的方法，使学生的思维从直觉思维上升至分析思维，使学生的观念逐步从平面转向空间．一、素质教育目标（一）知识教学点平面的基本性质是通过三个与平面的特征有关的公理来规定的．1．公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．2．公理2揭示了两个平面相交的主要特征，提供了确定两个平面交线的方法．3．公理3及其三个推论是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法．4．“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．5．公理3的三个推论是以公理3为主要的推理论证的依据，是命题间逻辑关系的体现，为使命题的叙述和论证简明、准确，应将其证明过程用数学的符号语言表述．（二）能力训练点1．通过由模型示范到三条公理的文字叙述培养观察能力与空间想象能力．2．通过由公理3导出其三个推论的思考与论证培养逻辑推理能力．3．将三条定理及三个推论用符号语言表述，提高几何语言水平．（三）德育渗透点借助模型和实物来说明三个公理，进行“数学来源于实践”的唯物主义观念的教育，通过三条公理及公理3的三个推论的学习，逐步渗透事物间既有联系又有区别的观点，更由于对三个推论的证明培养言必有据，一丝不苟的学习品质和公理法思想．二、教学重点、难点、疑点及解决办法1．教学重点（1）体现平面基本性质的三条公理及其作用．（3）两条公理及公理3的三个推论中的“有且只有一个”的含义．（3）用图形语言和符号语言表述三条公理及公理3的三个推论．（4）理解用反证法和同一法证明命题的思路，并会证一些简单问题．2．教学难点（1）对“有且只有一个”语句的理解．（2）对公理3的三个推论的存在性与唯一性的证明及书写格式．（3）确定两相交平面的交线．3．解决办法（1）从实物演示中引导学生观察和实验，阐明公理的条件和结论间的直观形象，加深对“有且只有一个”语句的理解．（2）通过系列设问，帮助学生渐次展开思维和想象，理解公理的实质和作用．三、课时安排2课时．四、学生活动设计准备好两块纸板，一块薄平的泡沫板，四根长15cm左右的小竹针，其中三根一样长，一根稍短．针对三条公理设计不同的活动，对公理1，可作如下示范：把直尺的两端紧按在玻璃黑板上，完全密接；对公理2，可用两块硬纸板进行演示（如图1－9）；对公理3，使用图1－10所示的模型进行演示．五、教学步骤（一）明确目标（1）理解井熟记平面基本性质的三条公理及公理3的三个推论．（2）掌握这三个公理和三个推论的文字语言、图形语言、符号语言间的互译．（3）理解“有且只有一个”的含义，在此基础上，以公理3为主要依据，推证其三个推论．（4）能够用模型来说明有关平面划分空间的问题．（5）理解并掌握证明命题的常用方法——反证法和同一法．（二）整体感知本课以平面基本性质的三条公理及公理3的三个推论为主要内容，既有学生熟悉的事实，又有学生初次接触的证明，因此以“设问——实验——归纳”法和讲解法相结合的方式进行教学．首先，对于平面基本性质的三条公理，因为是“公理”，无需证明，教学中以系列设问结合模型示范引导学生共同思考、观察和实验，从而归纳出三条公理并加以验证．其中公理1应以直线的“直”和“无限延伸”来刻划平面的“平”和“无限延展”；公理2要抓住平面在空间的无限延展特征来讲；公理3应突出已知点的个数和位置，强调“三个点”且“不在同一直线上”．通过三条公理的教学培养学生的观察能力和空间观念，加深对“有且只有一个”语句的理解．对于公理3的三个推论的证明，学生是初次接触“存在性”和“唯一性”的证明，应引导学生以公理3为主要的推理依据进行分析，逐渐摆脱对实物模型的依赖，培养推理论证能力，证明过程不仅要进行口头表述，而且教师应进行板书，使学生熟悉证明的书写格式和符号．最后，无论定理还是推论，都要将文字语言转化为图形语言和符号语言，并且做到既不遗漏又不重复且忠于原意．三、教学重点、难点的学习与完成过程A．公理师：立体几何中有一些公理，构成一个公理体系．人们经过长期的观察和实践，把平面的三条基本性质归纳成三条公理．请同学们思考下列问题（用幻灯显示）．问题1：直线l上有一个点P在平面α内，直线l是否全部落在平面α内？问题2：直线l上有两个点P、Q在平面α内，直线l是否全部落在平面α内？（用竹针穿过纸板演示问题1，用直尺紧贴着玻璃黑板演示问题2，学生思考回答后教师归纳．）这就是公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．这里的条件是什么？结论是什么？生：条件是直线（a）上有两点（A、B）在平面（α）内，结论是：直线（a）在平面（α）内．师：把条件表示为A∈a，B∈b且A∈α，B∈α，把结论表示11）．这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面，如泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆．在这里，我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？生：不是，因为平面是无限延展的．师：对，根据公理1，直线是可以落在平面内的，因为直线是无限延伸的，如果平面是有限的，那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以平面具有无限延展的特征．现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象（演示图1－9－（1）给学生看）．问：两个平面会不会只有一个公共点？生甲：只有一个公共点．生乙：因为平面是无限延展的，应当有很多公共点．师：生乙答得对，正因为平面是无限延展的，所以有一个公共点，必有无数个公共点．那么这无数个公共点在什么位置呢？（教师随手一压，一块纸板随即插入另一块纸板上事先做好的缝隙里）．可见，这无数个公共点在一条直线上．这说明，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理2，其条件和结论分别是什么？生：条件是两平面（α、β）有一公共点（A），结论是：它们有且只有一条过这个点的直线．师：条件表示为A∈α，A∈β，结论表示为：α∩β＝a，A∈a，图形表示为图1－9－（2）或图1－12．公理2是判定两平面相交的依据，提供了确定相交平面的交线的方法．下面请同学们思考下列问题（用幻灯显示）：问题1：经过空间一个已知点A可能有几个平面？问题2：经过空间两个已知点A、B可能有几个平面？问题3：经过空间三个已知点A、B、C可能有几个平面？（教师演示图1－10给学生看，学生思考后回答，教师归纳）．这说明，经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面，即公理3，其条件、结论分别是什么？生：条件是：不在同一直线上的三点（A、B、C），结论是：过这三点（A、B、C）有且只有一个平面（α）．A∈α，B∈α，C∈α，图形表示为图1－13，公理3是确定平面位置的依据之一．以上三个公理是平面的基本性质．其中公理2和公理3中的“有且只有一个”有两层含义，在数学中，“有一个”是说明“存在”、但不唯一；“只有一个”是说明“唯一”，但不保证图形存在．也就是说，如果有顶多只有一个．因此，在证明有关“有且只有一个”语句的命题时，要证明两个方面——存在性和唯一性．B．推论师：确定一个平面的依据，除公理3外，还有它的三个推论．推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．说出推论1的条件和结论．生：条件是：一条直线和直线外一点，结论是：经过这条直线和这一点有且只有一个平面．求证：经过a和A有且只有一个平面．证明：“存在性”即存在过A、a的平面，在直线a上任取两点B、C．∴A、B、C三点不在同一直线上．∴过A、B、C三点有且只有一个平面α（公理3）．∴B∈α，C∈α．即过直线a和点A有一个平面α．“唯一性”，假设过直线a和点A还有一个平面β．∴B∈β，C∈β．∴过不共线三点A、B、C有两个平面α、β，这与公理3矛盾．∴假设不成立，即过直线a和点A不可能还有另一个平面β，而只能有一个平面α．这里证明“唯一性”时用了反证法．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．其条件、结论分别是什么？生：条件是：两条直线相交，结论是：经过这两条直线有且只有一个平面．师（板书）：已知：直线a∩直线b＝A．求证：经过a、b有且只有一个平面．证明：“存在性”．在a、b上分别取不同于点A的点B、C，得不在同一直线上的三点A、B、C，则过A、B、C三点有且只有一个平面α（公理3）．∵A∈a，B∈a，A∈α，B∈α，∴平面α是经过相交直线a、b的一个平面．“唯一性”．设过直线a和b还有另一个平面β，则A、B、C三点也一定都在平面β内．∴过不共线三点A、B、C就有两个平面α和β．∴平面α与平面β重合．∴过直线a、b的平面只有一个．这里证明唯一性时，用的是“同一法”．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．（证明作为思考题）C．练习1．下面是一些命题的叙述语（A、B表示点，a表示直线，α、β表示平面）A．∵A∈α，B∈α，∴AB∈α．B．∵a∈α，a∈β，∴α∩β=a．其中命题和叙述方法都正确的是． [ ] 2．下列推断中，错误的是[ ]D．A、B、C∈α，A、B、C∈β，且A、B、C不共3．一个平面把空间分成____部分，两个平面把空间最多分成____部分，三个平面把空间最多分成____部分．4．确定经过A、B、C三点的平面与已知平面α、β的交线．（图1－16）四、总结、扩展本课主要的学习内容是平面的基本性质，有三条公理及公理3的三推论．其中公理1用于判定直线是否在平面内，公理2用于判定两平面相交，公理3及三个推论是确定平面的依据．“确定一个平面”与“有且只有一个平面”是同义词．“有”即“存在”，“只有一个”即“唯一”．所以证明有关“有且只有一个”语句的命题时，要证两方面——存在性和唯一性．证明的方法是反证法和同一法．五、布置作业1．复习课本有关内容并预习课本例题．2．课本习题（略）．3．确定经过A、B、C三点的平面与已知平面α、β、γ的交线．4．思考题：（1）三个平面把空间可能分成几部分？（2）如何证明推论3？六、答案练习：1．D，2．C，3．图1－18．作业：3．图1－19．七、板书设计。

• 图形表示中的平行四边形表示的是 平面中的一个局部.
平面的概念与表示
判断下列说法是否合理并说明理由： • 3张平面叠在一起比2张平面叠在一起更厚；无厚度 • 平面的边界是平行四边形；无边界 • 有一个平面的长是4米、宽是2米. 在空间延伸至无限
平面的“平”
• “平面是平的”
• 基本事实：如果直线l上有两个点在平面a上，那么直线l上的所有 点都在平面a上.
平面的“平”
• 练习：已知点A、B、C在平面a上. 证明：VABC的三条边所在直 线都在平面a上.
• 分析：命题可用集合语言叙述为“已知Aa，Ba，Ca，证明： 直线ABa，直线BCa，直线CAa. ”此即公理1的内容.
平面的“平”
• 公理1在生活中的应用：地面找平.
• 地面找平是指，通过一定的方法使建筑物 的原始地面平整度达到一定的标准，符合 国家关于地面找平的规定.
• 图中的施工人员是如何利用公理1的？
直线与平面
线面相交
线面平行
直线与平面
位置关系 线在面上 线面相交 线面平行
集合语言
la l Ia ={A} l Ia = 或 l // a
公共点个数 至无少数2个个 恰有1个 0个
What have We Learnt?
• 平面的概念与表示 • 公理1及其应用 • 直线与平面的位置关系 • 集合语言
平面及其基本性质
刍议平面的“平”
平面的概念与表示
• 生活中的平面形象 • 初中课本对平面的描述
“在数学中，平面是平的，无边无沿，……” • 无厚度、无边界、在空间延伸至无限
平面的概念与表示
• “……我们可以……把水平放置的平面画成一边是水平位置，另 一边与水平线所成的角为45度的平行四边形. ”

2.引导学生互相评价，学会欣赏他人的优点，发现他人的不足，相互促进，共同提高。
3.教师要进行全面、客观的评价，关注学生的个体差异，激发学生的学习潜能。
4.定期进行阶段性的评价，了解学生的学习进度，调整教学策略，确保教学目标的实现。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示生活中常见的平面图形，如墙面、桌面、操场等，引导学生观察和思考这些图形的特点和性质。
3.培养学生勇于面对困难和挑战，具备解决问题的信心和毅力，养成良好的学习习惯。
4.引导学生认识到数学知识在日常生活和社会发展中的重要作用，激发他们的社会责任感和使命感。
5.培养学生具备正确的价值观，将所学知识用于造福人类，为国家的科技进步和社会发展贡献力量。
三、教学策略
（一）情景创设
为了让学生更好地理解和掌握平面及其基本性质，我将创设丰富多样的教学情景，让学生在具体的情境中感受几何知识的魅力。例如，通过引入建筑设计、地图制作等实际案例，让学生体会到平面几何知识在实际生活中的应用。同时，利用多媒体教学手段，展示动态的几何图形变换，激发学生的学习兴趣，提高他们的空间想象力。
4.培养学生运用几何图形、符号和逻辑推理表达数学思维的能力，提高解题技巧。
（二）过程与方法
1.通过自主探究、小组合作等方式，引导学生积极参与课堂讨论，培养他们主动发现问题和解决问题的能力。
2.运用生活实例、实际问题等情境导入，激发学生的兴趣，使他们能够将平面几何知识与实际应用紧密结合。
3.教学过程中，注重培养学生的空间想象力和几何直观能力，提高他们对几何图形的分析和判断能力。
2.提醒学生认真完成作业，通过作业巩固所学知识，提高自己的几何素养。
五、案例亮点
1.生活化的情景导入

14.1（3）平面及其基本性质——三个公理三个推论的应用一、教学内容分析本节课的重点是三个公理三个推论的应用.在上一节概念课的基础上，让学生充分理解三个公理三个推论，能灵活运用三个公理三个推论进行证明.公理2说明了如果两个平面相交，那么它们就交于一条直线.它的作用是：①确定两个平面的交线，即先找两个平面的两个公共点，再作连线.②判定两个平面相交，即两平面只要有一个公共点即可.③判定点在直线上，即点是某两平面的公共点，线是这两平面的公共直线，则这个点在这条直线上.公理3及其三个推论是空间里确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为平面问题的条件.二、教学目标设计理解三个公理三个推论，利用三个公理三个推论来解决共面、共点、共线问题，培养严密的逻辑推理能力.三、教学重点及难点利用三个公理三个推论解决共面、共点、共线问题四、教学流程设计（一）复习上节课的概念，三个公理三个推论1）若B ,AB A C αα∈∈∈平面，平面直线，则（ A ） A 、C α∈ B 、C α∉ C 、AB α⊄ D 、AB C α⋂= 2）判断①若直线a 与平面α有公共点，则称a α⊄. （×） ②两个平面可能只有一个公共点. （×） ③四条边都相等的四边形是菱形. （×） ④若A 、B 、C α∈，A 、B 、C β∈，则,αβ重合. （×） ⑤若4点不共面，则它们任意三点都不共线. （√） ⑥两两相交的三条直线必定共面. （×） 3）下列命题正确的是（ D ）A 、两组对边分别相等的四边形是平行四边形.B 、四条线段顺次首尾连接所构成的图形一定是平面图形.C 、三条互相平行的直线一定共面.D 、梯形是平面图形.4）不在同一直线上的5点，最多能确定平面（ C ） A 、8个 B 、9个 C 、10个 D 、12个 5）两个平面可把空间分成 3或4 部分 ； 三个平面可把空间分成 4、6、7或8 部分.（二）证明 1、共面问题例1 已知直线123,,l l l 两两相交，且三线不共点. 求证：直线123,l l l 和在同一平面上. 证明：设13231213,,,,l l A l l B l l C l l A ⋂=⋂=⋂=⋂=l 3l 2B Cl 1A1312131232,1,,,l l C C l l C l B BC l l l l ααααα⎫⇒⎫⇒∈⎬⎪=⋂⇒∈⎬⎭⎪∈⎭⇒⊂∈⇒（推论）可确定平面平面同理平面（公理）平面即平面直线在同一平面上【说明】证明共面问题的基本方法是归一法和同一法.归一法：先根据公理3或其推论确定一个平面，然后再利用公理1证明其他的点或直线在这个平面内. 练习：l 4D FE l 3l 2B Cl 1A12341234123123424121212123343442,,,,,,,,,,,l l l l l l l l l l A l l B l l C l l D l l E l l C l l l l A AB B l l A l l B l l l D DE l l l E αααααααα⋂=⋂=⋂=⋂=⋂=⋂=⇒⇒⊂∈⎫⎧⇒⇒⊂⎬⎨∈⋂=⋂=⎩⎭⇒⊂⎫⎪⋂=⇒⊂⇒⊂⎬⎪⋂=⎭⇒33已知：两两相交且无三线共点。

．1 （2）平面及其基本性质——三个公理三个推论 一、教学内容分析本节的重点和难点是三个公理三个推论.三个公理和三个推论是立体几何的基础，公理1确定直线在平面上；公理2明确两平面相交于一直线；公理3及三个推论给出了确定平面的条件.这些是后面学习空间直线与平面位置关系的基础.所以让学生透彻理解这些公理和性质，把现实中的具体空间问题抽象出来，初步认识直线与平面、平面与平面之间的关系并体会立体几何的基本思想，从而培养学生的空间想象能力，有利于学生更快更好的学习立体几何. 二、教学目标设计理解平面的基本性质，能用三个公理三个推论解决简单的空间线面问题；了解一些简单的证明.培养空间想象能力，提高学习数学的自觉性和兴趣. 三、教学重点及难点三个公理，三个推论. 四、教学过程设计一、讲授新课（一）公理1如果直线l 上有两个点在平面α上，那么直线l 在平面α上. （直线在平面上）用集合语言表述：,,,A l B l A B l ααα⊂∈∈∈∈⇒≠ （二）公理2如果不同的两个平面α、β有一个公共点A ，那么α、β的交集是过点A 的直线l .（平面与平面相交）lβαA用集合语言表述：l A l A ∈=⋂⇒⋂∈且βαβα （三）公理3和三个推论公理3：不在同一直线上的三点确定一个平面.（确定平面）这里“确定”的含义是“有且仅有”ABC用集合语言表述：A ，B ，C 不共线=>A ，B ，C 确定一个平面 推论1：一条直线和直线外的一点确定一个平面. 证明：l ABC设A 是直线l 外的一点，在直线l 上任取两点B 和C ，由公理3可知A ，B 和C 三点能确定平面α.又因为点,B C α∈，所以由公理1可知B ，C 所在直线l α⊂≠，即平面α是由直线l 和点 A 确定的平面.用集合语言表述：,A l A l α∉⇒确定平面 推论2：两条相交的直线确定一个平面.用集合语言表述：,a b A a b α⋂=⇒确定平面 推论3：两条平行的直线确定一个平面. 用集合语言表述：//,a b a b α⇒确定平面 （四）例题解析例1如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是111,B C BB 的中点，问：直线EF 和BC 是否相交？如果相交，交点在那个平面内？解：111111E B C E B C EF B C F B B F B C ∈⇒∈⎫⇒⊂⎬∈⇒∈⎭≠平面平面平面 又1BC B C ⊂≠平面，则直线EF 和BC 共面；1111//EF BC BC B C EF BC EF B C E ⎫⎪⇒⎬⎪⋂=⎭与共面与相交 设直线EF 和BC 相交于点p ，则p 在直线BC 上，即点P 在平面ABCD 上. [说明]利用公理1确定直线在平面内.例2 如图，若,,,a b c a b P αβαχβχ⋂=⋂=⋂=⋂=，求证：直线C 必过点P.解：a P b P P c P c c αββαχβχχβχβχ⋂=⎫⎫∈⎧⎪⎪⋂=⇒⇒∈⋂⎬⎨⎪⇒∈∈⎬⎩⎪⋂=⎭⎪⎪⋂=⎭[结论]三个平面两两相交得到三条交线，若其中两条交于一点，另一条必过此公共点. 例3 空间三个点能确定几个平面？空间四个点能确定几个平面？解：三点共线有无数多个平面；三点不共线可以确定一个平面.所以三点可以确定一个或无数个平面.四点共线有无数个平面；有三点共线可确定一个平面；任意三点不共线能确定1个或3个平面.所以四点可以确定1个或3个或无数个平面.[说明]公理3的简单应用.例4空间三条直线相交于一点，可以确定几个平面？空间四条直线相交于一点，可以确定几个平面？ 解：三条直线相交于一点可以确定1个或3个平面； 四条直线相交于一点可以确定1个、4个或6个平面.[说明]推论2的简单应用.例5 如图，AB//CD ，,AB E CD F αα⋂=⋂=，求作BC 与平面α的交点.解：连接EF 和BC ，交点即为所求BC 与平面α的交点.（公理3和公理2） [说明]推论3的简单应用.三、课堂小结1.公理1：确定直线在平面内；2.公理2：平面与平面相交于一直线；3.公理3和三个推论确定平面的条件； 四、课后作业练习14.1（1）2 练习14.1（2）1，2，3 五、教学设计说明本章呈现了几何研究的范围从平面扩展到空间时的基本方法.把几何研究的范围从平面扩展到空间后，增加了新的对象——平面.空间几何学是平面几何学的推广，平面几何中研究点与点、点与直线、直线与直线三种位置关系；空间几何中则增加了点与平面、直线与平面、平面与平面三中位置关系.本节的主要内容是让学生理解三个公理和三个推论，运用这些公理和推论进行一些简单的证明.1D 1C 1B 1A DCBAFEαFBCDEA公理是人们在长期的生活实践的观察和检验中发现的.可以联系生活中的情景来学习三个公理，从而帮助学生学习，加深他们对公理的理解.三个公理和三个推论是空间几何学习的基础，有了这个基础，才能进一步研究空间中点与面、线与面、面与面的位置关系和度量问题.。

沪教版高中数学平面几何的基本性质教案2023一、教学目标通过本节课的学习，学生应达到以下三个目标：1.了解平面几何的基本概念；2.掌握平面几何的基本性质；3.能够运用基本性质解决实际问题。

二、教学重点平面几何的基本性质及其应用。

三、教学准备1.教科书及课堂辅助工具；2.教案、教具；3.学生作业。

四、教学过程1.引入通过一个生动有趣的例子引入平面几何的概念，激发学生的学习兴趣。

2.讲解向学生讲解平面几何的基本概念，如点、线、面等，确保学生理解并掌握这些基本概念。

3.示范展示几个典型的平面几何图形，如三角形、四边形等，并就每个图形的基本性质进行讲解和演示。

4.练习通过一些练习题，让学生运用所学的基本性质解决问题，提高学生的分析和推理能力。

5.拓展引导学生思考平面几何在实际生活中的应用，如建筑设计、地图制作等，拓宽学生的视野。

6.巩固进行一些巩固练习，检查学生对所学知识的掌握情况。

7.总结总结本节课所学内容，强调平面几何的基本性质对解决问题的重要性。

五、课堂互动通过提问、讨论和小组活动等形式，积极引导学生参与课堂互动，增加学生的学习兴趣和积极性。

六、课堂作业布置一些与所学内容相关的作业，既巩固了课堂知识，又能够培养学生的自主学习能力。

七、板书设计在黑板或白板上清晰地呈现本节课的重点内容，方便学生复习和回顾。

八、教学反思及时总结和反思本节课的教学过程，发现问题并加以改进，以提高教学效果。

通过以上教学设计，能够帮助学生全面理解和掌握平面几何的基本性质，提高他们的数学素养和解决问题的能力。

当直线l与平面α只有一个公共点A时，称直线与
平面相交于点A，记作 l A
l A

当直线l与平面α没有公共点时，称直线l与平面
α 平行，记作l 或 l // l

线与线
b
A
a

直线a与b 相交于点A：
ab A
面与面 当平面α 上所有点都在平面β 上时，称平面α与 平面β重合。
当不同的两个平面α 与β 有公共点时，将它们的 公共点的集合记为l，称平面α与平面β相交于l，
记作 l
当两个平面α 与β 没有公共点时，称平面α与
平面β平行，记作 或 //


练习
1.正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平
面 A1C1,A1B1,B1C1,分别记作、、，试用适当的符号填空.
(1)A1______, _B1_______ (2)B1______, _C1_______ (3)A1______,_D1 _______
点与线
点与面
Q
P
P l 点Ｐ在直线l上：
（直线经过点P）
点Q不 在直线l上： Q l
A 点A 在平面a内：
（平面经过点A）
点B 在平面a外： B
线与面
直线l在平面α上： 直线l上所有的点都在平面α 上，即直线l在平
面α 上，或平面α 经过直线l，记作： l
l

直线l在平面α外：
平面的表示：平面M，平面N 平面α ，平面β 平面ABCD
平面的直观图画法： 通常用平行四边形来表示平面。
M 正视图
M 竖直放置
水ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ放置
相交平面的画法
注意： 看得见的线用实线，看不见的线用虚线； 交线用实线。

14．1 （2）平面及其基本性质——三个公理三个推论上海市南洋中学 金霞一、教学内容分析本节的重点和难点是三个公理三个推论.三个公理和三个推论是立体几何的基础，公理1确定直线在平面上；公理2明确两平面相交于一直线；公理3及三个推论给出了确定平面的条件.这些是后面学习空间直线与平面位置关系的基础.所以让学生透彻理解这些公理和性质，把现实中的具体空间问题抽象出来，初步认识直线与平面、平面与平面之间的关系并体会立体几何的基本思想，从而培养学生的空间想象能力，有利于学生更快更好的学习立体几何.二、教学目标设计理解平面的基本性质，能用三个公理三个推论解决简单的空间线面问题；了解一些简单的证明.培养空间想象能力，提高学习数学的自觉性和兴趣.三、教学重点及难点三个公理，三个推论.四、教学过程设计一、讲授新课（一）公理1如果直线l 上有两个点在平面α上，那么直线l 在平面α上.（直线在平面上）用集合语言表述：,,,A l B l A B l ααα⊂∈∈∈∈⇒≠（二）公理2如果不同的两个平面α、β有一个公共点A ，那么α、β的交集是过点A 的直线l .（平面与平面相交）用集合语言表述：l A l A ∈=⋂⇒⋂∈且βαβα（三）公理3和三个推论公理3：不在同一直线上的三点确定一个平面.（确定平面）这里“确定”的含义是“有且仅有”用集合语言表述：A ，B ，C 不共线=>A ，B ，C 确定一个平面推论1：一条直线和直线外的一点确定一个平面.证明：设A 是直线l 外的一点，在直线l 上任取两点B 和C ，由公理3可知A ，B 和C 三点能确定平面α.又因为点,B C α∈，所以由公理1可知B ，C 所在直线l α⊂≠，即平面α是由直线l 和点 A 确定的平面.用集合语言表述：,A l A l α∉⇒确定平面推论2：两条相交的直线确定一个平面.用集合语言表述：,a b A a b α⋂=⇒确定平面推论3：两条平行的直线确定一个平面.用集合语言表述：//,a b a b α⇒确定平面（四）例题解析例1如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是111,B C BB 的中点，问：直线EF 和BC 是否相交？如果相交，交点在那个平面内？解：111111E B C E B C EF B C F B B F B C ∈⇒∈⎫⇒⊂⎬∈⇒∈⎭≠平面平面平面 又1BC B C ⊂≠平面，则直线EF 和BC 共面； 1111//EF BC BC B C EF BC EF B C E ⎫⎪⇒⎬⎪⋂=⎭与共面与相交设直线EF 和BC 相交于点p ，则p 在直线BC 上，即点P 在平面ABCD 上.[说明]利用公理1确定直线在平面内.例2 如图，若,,,a b c a b P αβαχβχ⋂=⋂=⋂=⋂=，求证：直线C 必过点P.解：a P b P P c P c c αββαχβχχβχβχ⋂=⎫⎫∈⎧⎪⎪⋂=⇒⇒∈⋂⎬⎨⎪⇒∈∈⎬⎩⎪⋂=⎭⎪⎪⋂=⎭[结论]三个平面两两相交得到三条交线，若其中两条交于一点，另一条必过此公共点. 例3 空间三个点能确定几个平面？空间四个点能确定几个平面？解：三点共线有无数多个平面；三点不共线可以确定一个平面.所以三点可以确定一个或无数个平面.四点共线有无数个平面；有三点共线可确定一个平面；任意三点不共线能确定1个或3个平面.所以四点可以确定1个或3个或无数个平面. 1D 1C 1B 1A D CB A F E[说明]公理3的简单应用.例4空间三条直线相交于一点，可以确定几个平面？空间四条直线相交于一点，可以确定几个平面？解：三条直线相交于一点可以确定1个或3个平面；四条直线相交于一点可以确定1个、4个或6个平面.[说明]推论2的简单应用.例5 如图，AB//CD ，,AB E CD F αα⋂=⋂=，求作BC 与平面α的交点.解：连接EF 和BC ，交点即为所求BC 与平面α的交点.（公理3和公理2）[说明]推论3的简单应用.三、课堂小结1.公理1：确定直线在平面内；2.公理2：平面与平面相交于一直线；3.公理3和三个推论确定平面的条件；四、课后作业练习14.1（1）2练习14.1（2）1，2，3五、教学设计说明本章呈现了几何研究的范围从平面扩展到空间时的基本方法.把几何研究的范围从平面扩展到空间后，增加了新的对象——平面.空间几何学是平面几何学的推广，平面几何中研究点与点、点与直线、直线与直线三种位置关系；空间几何中则增加了点与平面、直线与平面、平面与平面三中位置关系.本节的主要内容是让学生理解三个公理和三个推论，运用这些公理和推论进行一些简单的证明. αFB CDE A公理是人们在长期的生活实践的观察和检验中发现的.可以联系生活中的情景来学习三个公理，从而帮助学生学习，加深他们对公理的理解.三个公理和三个推论是空间几何学习的基础，有了这个基础，才能进一步研究空间中点与面、线与面、面与面的位置关系和度量问题.。

8.家校合作，共同关注：与家长保持密切联系，共同关注学生的学习情况，形成家校共育的良好氛围。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
在导入新课阶段，我将采用生活实例引发学生思考，激发他们的学习兴趣。首先，我会展示一些常见的平面图形，如书本、桌面、窗户等，并提问：“这些图形有什么共同特点？”引导学生回顾平面几何的基本概念。接着，我会提出更具挑战性的问题：“如何用数学语言描述平面内的直线与直线、直线与平面的位置关系？”从而引出本节课的主题——平面及其基本性质。
（五）总结归纳，500字
在总结归纳阶段，我会带领学生回顾本节课所学内容，强调以下要点：
1.平面的基本概念和表示方法。
2.平面几何的基本性质，如直线与直线、直线与平面的位置关系。
3.平面几何在现实生活中的应用。
同时，我会鼓励学生提出疑问，解答他们的困惑。最后，布置课后作业，要求学生在课后进一步巩固所学知识。通过本节课的教学，使学生掌握平面及其基本性质，提高他们的数学素养和解决问题的能力。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：平面几何基本性质的理解与应用，包括平面内的直线与直线、直线与平面的位置关系，以及相关计算方法。
2.难点：培养学生空间想象力和逻辑思维能力，能将平面几何知识应用于解决实际问题。
（二）教学设想
1.创设情境，激发兴趣：通过引入生活中的实际问题，如建筑图纸、地理信息系统等，让学生感受到平面几何在实际生活中的应用，从而激发他们的学习兴趣。
a.课本习题第1题、第2题，回顾点、线、面的基本概念。
b.课本习题第4题，巩固空间几何图形的识别和性质。
作业要求：
1.认真完成每一道题目，注重解题过程和思路。
2.遇到问题时，积极思考，可以与同学讨论，共同解决问题。

独怆然而涕下。 二、平面的表示方法及画法
小结
• 平面及其基本性质 （类比平面几何相关概念） • 公理1
公理 1
如果直线 l上有两个点在平面 第一节 平面及其基本性质（1）
平面ABCD或平面AC 前不见古人,
後不见来者。
平面ABCD或平面AC
上，那么直线 l 在平面 上。 陈子昂
平面在空间无限延伸类似于—— 前不见古人,
後不见来者。
前不见古人,
後不见来者。
二、平面的表示方法及画法
平面没有厚度类似于——
後不见来者。
登幽州台歌 前不见古人, 後不见来者。 三、空间的点、直线和平面 二、平面的表示方法及画法 如果直线 上有两个点在平面 上，那么直线 在平面 上。
陈子昂 第十四章 空间直线与平面
第一节 平面及其基本性质（1） 前不见古人,
後不见来者。
前不见古人, 平面在空间无限延伸类似于——
第十四章 空间直线与平面 第一节 平面及其基本性质（1）
平面ABCD或平面AC
三、空间的点、直线和平面
第十四章 空间直线与平面
第一节 平面及其基本性质（1）
陈子昂
登幽州台歌
二、平面的表示方法及画法
图形语言:
A
B
M
文字语言: 平面M
α
平面
D
C
平面ABCD或平面AC
D A
E
C B
G F
三、空间的点、直线和平面
1、点与直线的关系
点在直线上 点不在直线上
集合语言
第十四章 空间直线与平面
第一节 平面及其基本性质（1）
给我们直线的形象： 没有粗细，无限延伸 光线
斑马线
给我们平面的形象

平面三公理教学设计一、教学内容解析本节课是上海教育出版社出版的高三年级第一学期数学第14章空间直线与平面14.1平面及其基本性质的第一课时．“平面三公理”是高中立体几何教学的第一堂课．立体几何，将研究对象从平面图形拓展至空间图形，完成由二维平面向三维空间的转化，同时通过立体几何的教学，提升学生的空间认知水平，发展学生的空间想象能力、逻辑推理能力、分析问题和解决问题的能力．“平面”是现实世界存在着的客观事物形态的数学抽象，在立体几何中是一个描述而不定义的原始概念，具有生活中的事物所没有的无限性，是把三维空间图形转化为二维平面图形的主要媒介，也是将平面几何知识向空间拓展的奠基石，在立体几何与平面几何问题的转化过程中具有重要的桥梁作用．在平面几何中，通过研究点、直线的位置关系来认识平面图形．在立体几何中则是通过研究点、直线、平面的位置关系来认识空间图形. 平面的“平”的特征是利用直线与平面、平面与平面的位置关系来刻画的，这是教学的重点. 在探讨位置关系的过程中，通过公共点的个数来刻画不同的直线与平面、平面与平面位置关系并给出相应的定义，这些定义反过来又可以作为判定相关位置关系的依据. 但“直线在平面上”，“两个相交平面”，“两个重合平面”这三种情况下公共点个数都是无穷多个，不适合作为判定依据，那么这时就需要引入更加有效的判定准则, 也就是平面的三个公理，这是这节课的核心.三个公理不仅大量存在于我们的生活中，并且是后续章节的性质、定理的出发点，通过三个公理的应用示例可以体会数学来源于生活而又回馈于生活的应用价值.在平面的教学过程中，熟悉如何用文字语言、图形语言、符号语言去表达空间问题,将为今后的立体几何学习打下基础.“平面三公理”这节内容在不同的教材和专著中有不同的处理方法:(1)在人教版教材中将“不在同一直线上的三点确定一个平面.”作为公理2，而将“如果两个不同的平面,αβ有一个公共点A，那么,αβ的交集是过点A的直线l.”作为公理3. 和上教版教材相比，在公理出现顺序上不同，文字表述也略有差异，并且选取了不同的例子.(2)在法国数学家阿达玛(Hadamard,1865-1963)的《几何学教程立体几何》中，有不同的处理方法. 他将教材中的公理1作为平面的描述性说明，而公理2则可以推出，被作为定理，将公理3中前半部分稍作修改：“过空间中任意三点有一个平面”作为公理，后半部分“过空间中不共线三点只有一个平面”作为定理.二、教学目标设置教学目标1. 知道现实平面与抽象平面概念的联系与区别；能够用文字语言、图形语言和符号语言表述平面以及空间的点、直线和平面及其位置关系.2. 发现和理解平面的三条公理，并会在简单情形下应用它们作为推理的依据.3. 从身边的实例中发现平面的三条公理，体会数学在生活中的价值.了解公理体系的发展历史.教学重点发现和理解平面的三条公理.教学难点通过公共点个数分析直线与平面、平面与平面位置关系.三、学生学情分析学生在小学和初中初步接触了一些立体图形，比如上海教育出版社六年级数学第二学期“长方体的再认识”就直观地介绍了长方体中有关两条直线、直线和平面、平面和平面的位置关系.另外，学生在高一地理课中已经接触到诸如球体等几何体的概念，学生通过高中各科学习也具备了一定的转化能力和解决问题的能力．因此，在本节课之前，学生已经具备了较为完整的平面几何知识与简单的立体几何认知能力. 但由于本节课的教学内容——平面基本性质，对学生来说较为抽象，如果能借助一些直观的教具进行演示实验，就会事半功倍. 所以我们采用硬纸片和竹签这样的实物来加强学生的空间位置认知是必要的.“公理”对学生来说，并不是新名词；“定理”更是学生初中学习平面几何的过程中非常熟悉的名词，这两个名词作为概念最早出现在上教版八年级数学第一学期的“几何证明”中. 学生已有欧氏几何公理体系的初步概念，现在学习平面三公理，实际上是面对空间中的公理体系．这里需要为学生简单介绍公理体系的发展历史和相关特点，使学生能够更加全面地了解公理体系.本课的学习主体为市实验性示范性高中的学生，他们是基础知识扎实、思维活跃、敢于创新的学生群体.鉴于上述原因，本节课的定位是：通过学生自己动手操作，构建立体几何的基础——平面的三条公理，体现以逻辑性知识为主的立体几何第一课的特点．（说明：由于高三学生已学习过此内容，故借校、借班（高二学生）进行授课，学校由市里决定、班级由抽签决定，本节课为上海市决赛课）四、教学策略分析（一）平面概念引入1.通过平静的湖面和广场的地面来感知平面的“平”的特征，并让学生观察身边的事物. 利用已经学过的“直线”概念，抽象出“平面”的概念.设计说明：通过现实中的事物对平面的“平”的特征有一个直观的感知，并理解数学中的平面概念是从这些例子中抽象出来的，这是两者间的联系与区别，在引导学生时，借助现实中平面的例子，为思考数学中平面的问题提供帮助.2.回顾初中六年级第二学期第八章“长方体的再认识”中平面的表示方法.设计说明: 平面的表示方法在六年级第二学期已经学过，但由于时间间隔比较长，这个部分起到复习的作用. 强调平行四边形代表整个平面，也就是用有限图形表示无限图形. 并利用长方体的画法给出不同放置方法的平面的画法.（二）平面基本性质1.利用教具（代表平面的硬纸板和代表直线的竹签）讨论直线与平面、平面与平面的位置关系.设计说明：让学生充分发挥主观能动性. 在利用硬纸板和竹签的过程中，潜移默化地学会利用身边的事物来思考数学问题的方法. 这样不仅形象而且克服了用平面图形呈现立体图形的局限性.在讨论过程中，引导学生借鉴平面几何中已知结论来类比空间中的对应问题.由于探讨平面与平面的位置关系时，需要两块硬纸板，可以培养同学的协作能力.2.通过线面关系、面面关系的讨论归纳总结出平面的三条公理.设计说明：这个环节中线面关系、面面关系是明线，位置关系的判定是暗线. 通过有无穷多个公共点的位置关系，公共点数不宜作为判定依据，是否可以将公共点数的限制放宽.然后通过实践操作和日常经验引出平面的三条公理，这样处理条理清晰，使学生明白并不是随意选择三个正确的命题作为公理，而是可以将这三个命题作为判定点、直线、平面位置关系的依据. 在此过程中可使学生不断巩固用文字语言、图形语言和集合语言表示点、线、面的关系，以及三种语言间的相互转化. 通过实验操作，加深学生对公理来源于人们长期的实践经验的印象. 最后总结，通过点、线、面的位置关系归纳出了这三条公理，即平面的基本性质，实际上刻画了平面的“平”的特征.（三）三公理的应用1.利用平面三公理解决问题1与问题2.设计说明：通过这两道习题巩固加强学生对三公理的理解，会使用公理作为简单情形下推理的依据，同时培养分析立体几何问题的能力，增强空间想象能力. 2.从望远镜的支架、信箱、三角剖分这几幅图片中发现隐藏在身边的平面三公理. 设计说明：通过这几个具体例子，加深同学对三条公理的印象. 同时也让学生体会到数学不是抽象的逻辑游戏，而是扎根于我们的日常生活中，从而了解平面三公理的应用价值.人脸3D建模告诉我们可以用许多平面来逼近其他面，所以平面在所有面中是最基本的，这也就是我们研究平面的原因.（四）公理体系发展简单介绍公理体系的发展历史.设计说明：了解公理体系的发展，公理体系所具有的三个重要特征相容性、独立性、完全性（分别代表：正确的，最简的，完整的）.并且回到公理的出发点——人们长期的实践，指出公理具有局限性，引起感兴趣的同学在课后思考和查阅课外书.（五）课堂反思小结思考题：圆柱侧面的问题.设计说明：通过思考圆柱侧面上两点连线并不在面上，从反面的角度进一步凸显平面的“平”，并引起学生对除“平面”以外的“面”的兴趣.但由于牵涉到“面”的概念，学生现阶段的理解能力还不能都达到，所以作为课后思考.五、教学过程（一）平面概念引入1.通过图片建立平面的直观印象,发现身边平面的例子,请学生类比直线的特征，进而总结平面的特征.2.复习初中阶段学习过的平面的图形表示方法，并强调平行四边形代表整个平面.从长方体出发了解不同放置平面的画法.（二）平面基本性质首先介绍用符号语言表示点与直线、点与平面的关系．而后组织学生分组讨论，以公共点个数为线索，通过操作、实验发现直线与平面、平面与平面的位置关系，并给出相应的定义，并由此引出平面三公理.1.直线与平面的位置关系我们可以根据公共点个数（也就是定义）来判定直线与平面的位置关系，但在“直线在平面上”的情况下要验证有无穷多个点，这明显是不可行的,所以需要更有效的判定方法，继而归纳出公理1.公理1 如果在直线l 上有两个点在平面α上，那么直线l 在平面α上.符号表示：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒Ü.公理1可以作为判定直线在平面上的依据.公理1实际上就将立体几何中的直线转化为了平面几何中的直线.2.平面与平面的位置关系通过分析相交平面和重合平面的判定方法，归纳出公理2和公理3.公理2如果不同的两个平面,αβ有一个公共点A ，那么,αβ的交集是过点A 的直线l .符号表示：, , A l l αβαβαβ≠∈⇒=是直线,A l ∈.公理3 不在同一直线上的三点确定一个平面.符号表示：,,A B C 是不共线的三点，那么存在唯一的平面α使得,,A B C α∈. 公理2和公理3可以分别作为两平面相交和两平面重合的判定依据.3.介绍“直线在面上”和“两个平面相交”的作图方法.（三）三公理的应用1.问题1：如图，一条直线上有三个点,,A B C ,其中,A B 两点在平面α上，那么C 点在平面α上吗？分析：,A B 两点在平面α上，根据公理1可知直线AB 在平面α上，所以C 点在平面α上.2.问题2: 如图，平面β上的三点,,A B C 不共线，并且不在平面α上，直线 ,,BC AB AC 与平面α交于,,D E F 三点，试判断这三点的位置关系.分析：根据公理1,,,D E F 在平面β上,所以平面α和平面β有公共点，根据公理2，这些点在一条直线上，所以,,D E F 三点共线.3.望远镜：根据公理3，望远镜三个支架的着地点确定一个平面，这个平面和水平面基本吻合，确保了望远镜的稳定性.（忽略重心）4.邮箱：在投递信件的过程中，信件所在平面和信箱正面所在平面有公共点，根据公理2，它们的交集是一条直线,也就是信箱的口子.5.三角剖分：根据公理3，人脸上不共线的三点都可确定一个平面，这样就可以得到许多的平面，而人脸可以由这些平面的局部拼接近似得出，说明平面可以逼近其它的面，在所有面中这个方法可用于人脸识别.（四）公理体系的发展简单介绍公理体系的发展历史及特点.1. 德国数学家希尔伯特（1863-1943）在公理体系发展史中的作用.2. 公理体系的三个重要特征.（五）课堂反思小结1.平面的概念和平面的表示（文字、图形、符号）；2.直线与平面、平面与平面的位置关系；3.平面的三条公理，刻画了平面的“平”的特征.思考题：将一张纸卷起来形成一个“面”，在这个面上任取两个点，过这两点的直线在这个“面”上吗？（六）课后作业1.为什么三角形、梯形一定是平面图形？n n 条直线两两相交，确定这n条直线的位置关系.2.如果(3)3.三条两两平行的直线最多确定几个平面？请画出示意图(可以参考两个相交平面的画法).“平面三公理”课的点评“平面三公理（平面及其基本性质(1)）”这节课有两大亮点：一、逻辑主线清晰，公理化思想突出利用平面几何中两直线公共点个数和他们位置关系间的联系，来讨论空间中的直线与平面、平面与平面的位置关系。

平面及其基本性质【学习目标】1．理解公理三的三个推论。

2．进一步掌握“点线共面”的证明方法。

3．将三条定理及三个推论用符号语言表述，提高几何语言水平。

4．通过公理3导出其三个推论的思考与论证培养逻辑推理能力。

【学习重难点】1．用反证法和同一法证明命题的思路。

2．对公理3的三个推论的存在性与唯一性的证明及书写格式。

【学习过程】一、复习预习1．平面的概念：_________________________________________________。

2．平面的画法及其表示方法：通常把平行四边形的锐角画成45，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画。

②一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面AC等。

3．空间图形是由点、线、面组成的。

点、线、面的基本位置关系如下表所示：b aAa b A =直线a 、b 交于A 点。

aαa α⊂直线a 在平面α内。

a αa α=∅直线a 与平面α无公共点。

aAαa A α=直线a 与平面α交于点A 。

l αβ=平面α、β相交于直线l 。

α⊄a αa a α=∅或a A α=4．平面的基本性质。

公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的______都在这个平面内。

推理模式：A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭。

如图示：应用：是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是______。

公理1说明了平面与曲面的本质区别。

通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“____________”来描述平面的“____________”，它既是判断____________，又是检验____________的方法。

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条____________的直线。

推理模式：A l A ααββ∈⎫⇒=⎬∈⎭且A l ∈且l 唯一如图示：应用：①确定两相交平面的交线位置； ②判定点在直线上。

即: A 1．几何里的平面有以下几个特点
例1：如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.
AB 14.
B (((222)))先 如 先由果由其一其中个中一平一部面部分被分点另点、一、线个线确平确定面定一遮一个挡个平住平面，面为αα，，了其其增余余强点点它、、的线线立确确体定定感另另，一一把个个被平平遮面面挡ββ部，，分再再用证证平平面面画αα出与与来ββ重重．合合如，，图A即即②用用. ““同同一一B法法””；；
相交平面画法
β β
α α
画两个平面相交 时,当一个平面 的一部分被另一 个平面遮住时, 应把被遮住的部 分画成虚线或不 画.
思考
如图，把三角板的一个角立在课桌 面上，三角形所在的平面与课桌所在 的平面是否只相交与一点B？为什么？
B
公理2：若两个平面有一个公共点， 则它们还有其他公共点，这些公共点 的集合是一条过这个公共点的直线.
举例
例1：如图，用符号表示下列图形中点、 直线、平面之间的位置关系.
B
A
β
b
α
a
l
(1)
(2)
解：在(1)中， l, a A, a B
在(2)中， l,a ,b ,a l P,b l P
1．“平面 α 内有一条直线 a，则这条直线上的一点 A
必在这个平面内”用符号语言描述正确的是 ( )
[精解详析] 已知：如图所 示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝ C.
求证：直线l1、l2、l3在同一 平面内．
证法1：(纳入平面法) ∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2. 又∵l2⊂ α，∴B∈α. 同理可证C∈α.
又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂ α. ∴直线l1、l2、l3在同一平面内．

14.1（4）平面及其基本性质——截面一、教学内容分析本节课的重点是利用三个公理三个推论作图.在上一节证明课的基础上，让学生充分理解三个公理三个推论，能灵活运用三个公理三个推论进行作图，作图的过程实质上就是证明的过程.作图重点利用是公理2，公理说明了如果两个平面相交，那么它们就交于一条直线.它的作用是：①确定两个平面的交线，即先找两个平面的两个公共点，再作连线.②判定两个平面相交，即两平面只要有一个公共点即可.③判定点在直线上，即点是某两平面的公共点，线是这两平面的公共直线，则这个点在这条直线上. 二、教学目标设计理解三个公理三个推论，利用三个公理三个推论来解决和画出面与面的交线. 三、教学重点及难点利用三个公理三个推论作图，画面与面的交线或截面. 四、教学流程设计五、教学过程设计（一）讲授新课例1 已知：l αβ⋂=,γαβ与的交线解： 分析：AB AB ,AB DA B A B AB l l αγαγαα≠≠∈∈∴=⋂⊂⊂∴、，、，l 与不平行与相交，设交点为ABlαβD,C CD D l l D D D ββγγβγβγβγ≠≠∴∈⊂∴∈∈⊂∴∈∴∈⋂∈⋂∴=⋂又D AB,AB 又练习： 1） 画出过画出过A 、B 、C 三点的平面,γαβ与的交线 2） 画出过画出过A 、B 、C 三点的平面M 与,,αβγ的交线例2 如图，P 、Q 、R 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、AD 、BC 上的点，且PQ与BD 不平行，画出平面PQR 与平面BCD 的交线.例3 在长方体1111ABCD A B C D -中，画出 1) 平面1111B D D AC D 与平面的交线AαβABCαβγABCD PQRO2) 平面1111B B D A C A 与平面的交线1）111111111111 D A C D B D D A C D B D D=OD ∈⋂∴⋂面面面面 ∴OD 即为平面1111B D D AC D 与平面的交线2）111111111111E A C B AB D F A C B AB D A C B AB D EF∈⋂∈⋂∴⋂=面面面面面面 ∴EF 即为平面1111B B D A C A 与平面的交线例4 在正方体ABCD —A ’B ’C ’D ’中的棱A ’B ’，BB ’，D ’C ’分别有三点. 1） M 、P 、N 过三点作截面，确定其与各平面的交线;2）正方体中，画出过其中三条棱的重点P 、Q 、R 的平面截正方体的截面.AB例5、M 、N 、P 分别为C ’D ，AD ，CC ’的中点. 1）过MNP 三点作正方体的截面，画出截面;A 1C1AA BCD 1BE1C1DF2） 计算截面的周长.1）∴截面为MGNFE 即为所求2）111111MD D H EC=CK=21316aHGD HNDGD HD ND HN GD CF a==∆∆∴==∴==GM 6G a EF ∆=∴=1在Rt MD 中，ME =HND KDN GN=NF ∆≅∆∴又1101HN 23HDHG HN HD HGGN=∴==∴=∴==2a =+=周长+2 （二）课堂小结作图主要是利用是公理2，①确定两个平面的交线，即先找两个平面的两个公共点，再作连线.②判定两个平面相交，即两平面只要有一个公共点即可.③判定点在直线上，即点是某两平面的公共点，线是这两平面的公共直线，则这个点在这条直线上.A'AB（三）布置作业 补充作业1、画出过已知三点M 、N 、P 的截面CB1A2、如图所示过，正方体1111ABCD A B C D ,E,F 为AD 、AB 上的中点 （1）求作正方体的对角线1A C 与截面11EFB D 的交点 （2）能分析这个截面的有关性质、结论吗？ 六、教学设计说明本节课从复习三个公理三个推论的概念导入，通过对例题的剖析讲解，作图的过程实质上就是证明的过程，是三个公理三个推论的实际应用.C 1A C。

• 平面的“平”如同直线的“直”.
平面的“平”
自然语言 点A在直线l上/直线l经过点A
点B不在直线l上
点A在平面a 上/平面a 经过点A 点B不在平面a 上
直线l在平面a 上/平面a 经过直线l
集合语言 Al Bl
Aa Ba la
平面的“平”
• 基本事实：如果直线l上有两个点在平面a上，那么直线l上的所 有点都在平面a上.
• 公理1：若Al，Bl，且Aa，Ba，则la. • 根据公理1，要判定直线l在平面a 上，不用验证l上所有的点都
在a 上，只需找出l与a 的两个公共点.
平面的“平”
• 例：已知Aa，Ba，M是线段AB的中点. 求证：Ma.
• 分析：公理1表明直线AB上所有的点都在平面a 上，而M是直线 AB上的点之一，所以也应在平面a 上.
• 图中的施工人员是如何利用公理1的？
直线与平面
线面相交
线面平行
直线与平面
位置关系 线在面上 线面相交 线面平行
集合语言
la l Ia ={A} l Ia = 或 l // a
公共点个数 至无少数2个个 恰有1个 0个
What have We Learnt?
• 平面的概念与表示 • 公理1及其应用 • 直线与平面的位置关系 • 集合语言
脚踏实地过好每一天，最简单的恰恰是最难的。拿梦想去拼，我怎么能输。只要学不死，就往死里学。我会努力站在万人中央成为别人的光。行为决定性格， 性格决定命运。不曾扬帆，何以至远方。人生充满苦痛，我们有幸来过。如果骄傲没有被现实的大海冷冷拍下，又怎么会明白要多努力才能走到远方。所有的 豪言都收起来，所有的呐喊都咽下去。十年后所有难过都是下酒菜。人生如逆旅，我亦是行人。驾驭命运的舵是奋斗，不抱有一丝幻想，不放弃一点机会，不 停止一日努力。失败时郁郁寡欢，这是懦夫的表现。所有偷过的懒都会变成打脸的巴掌。越努力，越幸运。每一个不起舞的早晨，都是对生命的辜负。死鱼随 波逐流，活鱼逆流而上。墙高万丈，挡的只是不来的人，要来，千军万马也是挡不住的既然选择远方，就注定风雨兼程。漫漫长路，荆棘丛生，待我用双手踏 平。不要忘记最初那颗不倒的心。胸有凌云志，无高不可攀。人的才华就如海绵的水，没有外力的挤压，它是绝对流不出来的。流出来后，海绵才能吸收新的 源泉。感恩生命，感谢她给予我们一个聪明的大脑。思考疑难的问题，生命的意义；赞颂真善美，批判假恶丑。记住精彩的瞬间，激动的时刻，温馨的情景， 甜蜜的镜头。感恩生命赋予我们特有的灵性。善待自己，幸福无比，善待别人，快乐无比，善待生命，健康无比。一切伟大的行动和思想，都有一个微不足道 的开始。在你发怒的时候，要紧闭你的嘴，免得增加你的怒气。获致幸福的不二法门是珍视你所拥有的、遗忘你所没有的。骄傲是胜利下的蛋，孵出来的却是 失败。没有一个朋友比得上健康，没有一个敌人比得上病魔，与其为病痛暗自流泪，不如运动健身为生命添彩。有什么别有病，没什么别没钱，缺什么也别缺 健康，健康不是一切，但是没有健康就没有一切。什么都可以不好，心情不能不好；什么都可以缺乏，自信不能缺乏；什么都可以不要，快乐不能不要；什么 都可以忘掉，健身不能忘掉。选对事业可以成就一生，选对朋友可以智能一生，选对环境可以快乐一生，选对伴侣可以幸福一生，选对生活方式可以健康一生。 含泪播种的人一定能含笑收获一个有信念者所开发出的力量，大于个只有兴趣者。忍耐力较诸脑力，尤胜一筹。影响我们人生的绝不仅仅是环境，其实是心态 在控制个人的行动和思想。同时，心态也决定了一个人的视野、事业和成就，甚至一生。每一发奋努力的背后，必有加倍的赏赐。懒惰像生锈一样，比操劳更 消耗身体。所有的胜利，与征服自己的胜利比起来，都是微不足道。所有的失败，与失去自己的失败比起来，更是微不足道挫折其实就是迈向成功所应缴的学 费。在这个尘世上，虽然有不少寒冷，不少黑暗，但只要人与人之间多些信任，多些关爱，那么，就会增加许多阳光。一个能从别人的观念来看事情，能了解 别人心灵活动的人，永远不必为自己的前途担心。当一个人先从自己的内心开始奋斗，他就是个有价值的人。没有人富有得可以不要别人的帮助，也没有人穷 得不能在某方面给他人帮助。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫幼稚。不要总在过去的回忆里缠绵，昨天的太阳，晒不干今天的衣裳。今天做别人不 愿做的事，明天就能做别人做不到的事。到了一定年龄，便要学会寡言，每一句话都要有用，有重量。喜怒不形于色，大事淡然，有自己的底线。趁着年轻， 不怕多吃一些苦。这些逆境与磨练，才会让你真正学会谦恭。不然，你那自以为是的聪明和藐视一切的优越感，迟早会毁了你。无论现在的你处于什么状态， 是时候对自己说：不为模糊不清的未来担忧，只为清清楚楚的现在努力。世界上那些最容易的事情中，拖延时间最不费力。崇高的理想就像生长在高山上的鲜 花。如果要搞下它，勤奋才能是攀登的绳索。行动是治愈恐惧的良药，而犹豫、拖延将不断滋养恐惧。海浪的品格，就是无数次被礁石击碎又无数闪地扑向礁 石。人都是矛盾的，渴望被理解，又害怕被看穿。经过大海的一番磨砺，卵石才变得更加美丽光滑。生活可以是甜的，也可以是苦的，但不能是没味的。你可