完全平方公式几何意义及拔高

《完全平方公式》完全平方公式是数学中的一个重要公式，其实际应用非常广泛。

完全平方公式的概念比较简单，即对任意实数a和b，有(a+b)²=a²+2ab+b²。

完全平方公式的这个形式可以拆解开来，得到a²和b²，非常有用。

从几何角度看，完全平方公式可以简化两个线段相加的平方求和计算。

例如，将两根线段相加，然后求和再平方，即(a+b)²。

可以使用完全平方公式将这个式子简化为a²+2ab+b²。

这两者相等，可以通过数学推导证明。

完全平方公式在代数中的应用非常广泛。

例如，当我们需要展开一个含有两项的平方时，可以直接使用完全平方公式。

例如，将(a+b)²展开，得到的式子就是完全平方公式的形式。

可以通过这种方式将一个复杂的式子简化为更简单的形式。

完全平方公式还可以用于解一元二次方程，即形如ax²+bx+c=0的方程。

我们可以通过配方法（即二项式的平方）和完全平方公式来求解该方程。

首先，对方程两边进行配方法，即将方程左边看成一个完全平方，然后利用完全平方公式将其展开。

通过对比方程两边的系数，我们可以得到一个关于x的一元二次方程。

完全平方公式也广泛应用于数学推导中。

例如，我们如果需要证明一个式子具有一些性质，可以使用完全平方公式将式子进行展开，然后得到一个更加清晰、易于理解的形式。

这样，我们就可以更容易地证明该式子的性质。

完全平方公式在实际应用中也有一些具体的例子。

例如，我们可以用完全平方公式来计算矩形的对角线长。

假设一矩形的两边长分别为a和b，利用完全平方公式可以得到矩形对角线长为√(a²+b²)。

完全平方公式还可以用于计算两个数的平均数的平方。

例如，设两个数的平均数为a，差值为b，利用完全平方公式可以计算出这两个数。

我们知道两个数之差的一半为平均数，即(a+b/2)²=a²+b²/4、通过进一步整理，我们可以得到这两个数。

完全平方公式知识点：常考经典变形及同步拔高（初二数学）
完全平方公式是中学阶段（中考数学）必须掌握的重点知识。

而同学们学习了乘法公式之后，我们经常会遇到这样一类求值问题：【第一类】题目只给出两数和与两数积的值，让我们求一些相关代数值的值：
【典型例题】
【思路分析】
这类问题我们无需计算出ab的具体值，只需要利用乘法公式对已知条件进行适当变形，即可拼凑出想要的条件：
【第二类】题目只给出了一个数和其倒数的和，让我们求一些相关代数值的值：
【总结归纳】
本课以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：
【巩固练习】
答案：
1题：答案为1；2题：答案为98；3题：答案为13，其它题暂不公布答案，同学们可跟帖发布。

完全平方公式拔高题摘要：一、引言- 介绍完全平方公式- 说明完全平方公式的重要性二、完全平方公式的推导与理解- 完全平方公式的一般形式- 完全平方公式的推导过程- 完全平方公式的几何意义三、完全平方公式在实际问题中的应用- 求解二次方程- 求解平方根- 求解相关问题，如平均值、中位数等四、完全平方公式的拓展与拔高- 勾股定理与完全平方公式- 三角函数与完全平方公式- 完全平方公式在其他学科中的应用五、总结- 回顾完全平方公式的关键知识点- 强调完全平方公式在数学及实际生活中的重要性正文：一、引言完全平方公式是中学数学中一个非常重要的公式，它涉及到平方、乘法、加法等基本运算，几乎贯穿了整个中学数学的学习过程。

因此，对完全平方公式的掌握和理解程度，直接影响到学生对其他数学知识的学习和运用。

二、完全平方公式的推导与理解1.完全平方公式的一般形式完全平方公式是指(a±b)=a±2ab+b，其中a、b 为任意实数。

2.完全平方公式的推导过程我们可以通过代数方法来推导完全平方公式。

首先，将(a±b)展开得到a±2ab+b，然后通过配方法将中间的±2ab 项变形为(a+b)(a-b)，即得到完全平方公式。

3.完全平方公式的几何意义从几何角度看，完全平方公式描述了一个平面直角坐标系中点P(a,b) 到原点O 的距离平方，等于点P 到原点O 的横坐标a 的平方与纵坐标b 的平方之和，即O(0,0) 到P(a,b) 的距离平方。

三、完全平方公式在实际问题中的应用1.求解二次方程通过完全平方公式，我们可以将二次方程ax+bx+c=0 转化为(x±√(b-4ac))/2a 的形式，从而求得方程的解。

2.求解平方根完全平方公式可以帮助我们快速求解一个数的平方根，例如√(a+b) 可以转化为(a+b)/√2 或(a-b)/√2。

3.求解相关问题，如平均值、中位数等完全平方公式在求解一些实际问题，如求平均值、中位数等时也具有很大作用。

学好完全平方公式的三点提示完全平方公式是两个形式相同的多项式相乘得到的公式，它的应用十分广泛，是教材 中的重点和难点•那么如何掌握完全平方公式呢？下面给予三点提示，供参考.一、意义特征要牢记1 完全平方公式:(1) (a+b)2=a 2+2ab+b2 ; (2) (a- b)2=a 2- 2ab+b 22、 文字描述：这两个公式的左边是一个二项式的完全平方，右边是三项式，而且每一 项都是二次式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方， 而第三项是左边二项式中两项乘积的2倍(或-2倍).可用以下口诀来记忆：“头平方和尾平方，头(乘)尾两倍在中 央，中间符号是一样” •这里的“头”指的是 a , “尾”指的是b .这两个公式实质上是统一的，即都是二项式的平方展开式.其中第一个公式是基本的， 第二个公式可由第一个公式导出.如：(a-b ) 2=[a+ (-b ) ]2=a 2+2a (-b ) + (-b ) 2= a 2- 2ab+b 2.3、 完全平方公式的几何意义在图1中，大正方形的面积是(a+b)2，它等于两个小正方形的面积a 2、b 2及两个等积的 长方形面积ab 的和，因此有(a+b)2=a 2+2ab+b 2.在图2中，大正方形的面积是a 2,它等于两个小正方形的面积b 2、(a-b)2及两个等积的长方形面积(a-b)b 的和，因此有(a- b)2=a 2- 2(a-b)b-b 2= a 2-2ab+b 2.二、两个公式的区别要清楚在运用完全平方公式时，经常会出现类似于 (a+b)2=a 2+b 2、(a-b)2=a 2 -b 2的错误.要注意从以下几个方面进行区别：(1) 意义不同：(a+b)2表示数a 与数b 和的平方，(a-b)2表示数a 与数b 差的平方；而 a 2+b 2表示数a 的平方与数b 的平方和，a 2- b 2表示数a 的平方与数b 的平方差.(2) 读法不同：(a+b)2读作两数a 、b 和的平方，(a-b)2读作两数a 、b 差的平方；而a 2+b 2读作两数a 、b 平方的和，a 2- b 2读作两数a 、b 平方的差.(3) 运算顺序不同：(a+b)2的运算顺序是先算 a+b ，然后再算和的平方，(a-b)2的运算 顺序是先算a-b ，然后再算差的平方；而 a 2+b 2是先算a 2与b 2,再求和a 2+b 2，a 2-b 2是先算 a 2与b 2，再求差a 2-b 2.b a ab图2（4） 一般情况下它们的值不相等：如当a=2 , b=1时，（a+b ）2=（2+i ）2= 32=9 , (a-b)2=(2-1)2=12=1 ;而 a 2+b 2= 22+12=5, a 2- b 2= 22-12=3.三、应用方法要掌握完全平方公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式，还可以表示多项式及各种代数式.应用时要认真观察题目是否符合公式的特征和条件, 征和条件，若符合，再把公式中的字母同具体题目中的数或式对照，再逐项对照着计算；若 不符合就不能应用公式.要搞清楚公式中各项的符号，灵活地进行公式的各种变形应用.例1、计算3xy 2公式.2解： 3xyc 23xy说明：本题还可以进行如下变形:(a 2b c)2 [(a c)2 2b]2 或(a 2b c)2 [a 完全平方公式应用错例分析完全平方公式是乘法公式中的重要组成部分， 它能帮助同学们简捷、灵活的完成整式的乘法运算，但在运用公式解题的过程中， 却经常出现这样或那样的错误， 现将典型错例进行 评析.一、 漏掉“中间项” 例1 计算：（a+3）2 错解：（a+3）2=a 2+9分析：完全平方公式的结果有三项：首平方，末平方，乘积的 2倍写中央.因此，运用公式时不要漏掉乘积项.不能将完全平方公式与平方差公式混淆.正解：（a+3）2=a 2+6a+9 二、 “中间项”漏乘2例2计算(2y+ — ) 22 11 1错解：(2y+) 2 = 4y 2+2y X + —变形后是否符合公式的特 分析：把 3xy 2看成 a , 1 _x 22y 看成 b ,原式即为两项差的平方， 然后套用完全平方差c 23xy31 x y4例 2、计算：（a-2b-c ） 2分析：可以把 24 =9x y3x 3y（a-2b ）看作公式中 a , 把c 看作公式中的 b ,然后套用完全平方差公式. 解：（a 2b c)2[(a 2b) c]2 (a 2b)2 2(a 2b)c c 2=a 24ab24b 2ac 4bc2 2a 4b4ab 2ac4bc .(2b c)]212 2 4分析：没有理解完全平方公式的中间项“2ab”中2的意义，2y中的2表示首项的一部分，不是乘积的2倍.防止发生这样错误的关键是要将题目中项与公式中的项进行对应，一定要找准哪个代表字母a,哪个代表字母b.正解：(2y+- ) 2 = 4y2+2 2y - +- = 4y2+2y+ —2 2 4 4三、“―”处理错误例3计算(-t-1) 2错解：(-t-1)2=t2 -2t+1 或(-t-1) 2= 士+2t+1分析：本题可以看成首项-t与末项1的差的平方，应把-t看做一个整体.正解：(-t-1) 2=(-t) 2-2 (-t) X 1 +12= t2+ 2t+1.四、系数未平方例4计算(3x-2y) 2错解：(3x-2y) 2=3x2-12xy+2y 2分析：首项3x与末项2y都应看成一个整体进行平方.正解：(3x-2y) 2 = (3x) 2-12xy+(2y) 2 = 9x2-12xy+4y 2五、问题考虑不全面例5已知x2-2mx+1是一个完全平方式，则m= _____错解：因为12= 1由乘积项—2mx=2x X 1得m=-1 .分析：错解忽略了另一种情况：因为(-1) 2=1，由一2mx=2x X (-1)得m=1，所以m= 土1.正解：m= 土 1.六、运算顺序错误例6 计算2(a-)2错解：2(a- b ) 2=(2a-b) 2分析：由乘方的定义知：2(a-b) 2=2(a-b)(a-b)=(2a-b) (a- b),这与(2a-b)2的结果是不2 2 2 2相等的•因此，应按照运算顺序先算乘方，再算乘除进行化简.b 1 1正解：2(a- ) 2=2(a2-ab+ b2)=2a2-2ab+ b2.2 4 2总之，运用完全平方公式进行整式的运算时，应牢固掌握公式的实质，并与其它相关法则、运算顺序有机的结合，才能简便、准确地进行整式的运算.完全平方公式学习导航湖北吴育弟2 2 2 2 2 21•完全平方公式有两个：(a b) a 2ab b ,(a b) a 2ab b •即，两数和(或差)的平方，等于这两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍•这两个公式叫做完全平方公式.它们可以合写在一起，为(a b)2a22ab b2.记忆口诀： 首平方、尾平方，2倍乘积在中央 2•公式的条件是：两数和的平方或两数差的平方3•公式的结果是：这两数的平方和，加上（或减去）这两数积的2倍.4•公式的特征是：左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项 的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的 母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等代数式 式的结构特征，就可以运用这一公式•5.完全平方公式的几何意义 如图1，大正方形的面积可以表示为（a b ）2，也可以表示为2 2 2 2S S | S || S i” S iv ，同时 S a ab ab b a 2ab b .从而验证了完全平方公式（a b ）2 a 2 2ab b 2.6•完全平方公式重难点重点1 （ 1）公式右边是这两个数的平方和与这两个数乘积的2倍的和（差）2（2） （a b ）的计算，可以看做是（a b ）（a b ），由多项式与多项式的乘法展开、合并同类项，可以得到公式。

完全平方公式的几何意义
完全平方公式是指一元二次方程ax2+bx+c=0的一种解法，其中可将根式表示为：x1=(-b+√(b2-4ac))/(2a)，x2=(-b-√(b2-4ac))/(2a)。

本文主要讨论此方程的几何意义：
根据了解，双曲线的公式可表示为：x2/a2-y2/b2=1，看似非常复杂的双曲线，其实只要将参数a、b、c不断变化，就能绘制出不同的双曲线图。

事实上，完全平方公式不仅和双曲线有直接关系，而且还与标准椭圆有关联。

研究发现，从完全平方公式中求出的两个根x1,x2，它们可从不同的角度来看：
通俗来讲，椭圆是一种特殊的圆形，是以圆心为中心，以任意两点为焦点画圆得到的。

完全平方公式可以帮助求出椭圆的三点，也就是圆心、焦点以及中心点得到的一条直线。

据理论分析，完全平方公式的根式可以求出平行四边形的两条对角线上的点，同时这也意味着，通过完全平方公式可以快速计算出一个平行四边形的面积。

总结：完全平方公式不仅可以求解一元二次方程，而且还与双曲线、标准椭圆和平行四边形有着深层次的关系，其中椭圆可以帮助理解根式x1,x2是椭圆轴上的端点，而双曲线可以理解x1,x2是顶点；同样完全平方公式可以快速计算平行四边形的面积。

完全平方公式知识点完全平方公式是高中数学中常用的一个重要公式，它在解决二次方程相关问题时起到了关键作用。

它的形式为：若a是实数，那么二次方程ax^2+bx+c=0的解为x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。

完全平方公式的应用范围很广泛，涉及到解方程、求根、求解问题等多个方面。

接下来我们将从不同角度来讲解完全平方公式的相关知识点。

一、完全平方公式的推导过程完全平方公式的推导过程相对简单，我们可以通过配方法将二次方程化简为完全平方的形式，从而得到该公式。

具体推导过程如下：对于二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以通过配方法将其化简为(a·x^2+b·x+c)=a(x^2+(b/a)·x+(c/a))=a((x+(b/2a))^2-(b/2a)^2+c/a)=a(x+(b/2a))^2+(c-b^2/4a)。

由此可得，原二次方程的解为x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。

二、完全平方公式的含义和应用完全平方公式的含义在于，它可以将一个二次方程转化为一个完全平方的形式，使得求解过程更加简便。

在实际应用中，完全平方公式常被用来求解二次方程的根，解决与二次方程相关的各种问题。

1. 求解二次方程的根完全平方公式可以帮助我们求解任意形式的二次方程的根。

通过将二次方程化简为完全平方的形式，我们可以直接得到方程的解。

2. 求解几何问题在几何问题中，完全平方公式也有重要的应用。

例如，求解一个矩形的对角线长度时，我们可以将其转化为一个二次方程，并利用完全平方公式求解。

3. 解决实际问题完全平方公式不仅仅在数学问题中有应用，它还可以帮助我们解决一些实际问题。

例如，在物理学中，通过将一些物理量表示为二次方程的形式，再利用完全平方公式求解，可以得到一些有用的结果。

三、完全平方公式的注意事项在应用完全平方公式时，我们需要注意以下几点：1. 判断二次方程是否适合使用完全平方公式。

完全平方公式及其应用吴敏【期刊名称】《数学学习》【年(卷),期】2003(000)005【摘要】乘法公式是初中数学的重要内容之一 ,它在中学数学中有着广泛的应用 ,特别是其中的完全平方公式 ,有较强的灵活性和技巧性 .如能正确掌握这个公式 ,将会给解题带来较大方便 .为了帮助大家对完全平方公式及其应用有更深入的理解 ,下面就此内容作系统归纳并精选出一些例题 ,供大家参考 . 一、概念理解完全平方公式:(a±b) 2 =a2 ± 2ab +b2 .这就是说 ,两数和 (或差 )的平方 ,等于它们的平方和 ,加上 (或者减去 )它们的积的 2倍 .这个公式叫做乘法的完全平方公式 .完全平方公式可以由下图的面积关系来解释 :公式的结构特征 :左边是二项式的完全平方 ,右边是三项式 ,如果左边二项式各项分别用前项、后项代表 ,那么右边三项可以记作 :前项平方、后项平方、前后项乘积 2倍在中央 ;符号 :由二项式系数符号来确定 ,二项式系数同号 ,则各项系数为正 ;二项式系数符号异号 ,则中间项系数为负 ,其余两项系数为正号 .二、完全平方公式的应用( 1 )在运用完全平方公式解题时 ,应注意掌握公式的特征 ,明确公式中的“两数” .在(a±b) 2 =a2 ± 2ab+b2 中 ,字母a ,b可以表示一个...【总页数】2页(P)【作者】吴敏【作者单位】海口市义龙中学【正文语种】中文【中图分类】G63【相关文献】1.基于“整体观”的乘法公式教学与思考--以“完全平方公式”新授课教学为例[J], 周伟星2.在“综合与实践”活动中学习公式——以“完全平方公式”的教学为例 [J], 杭秉全3.利用习题教学培养数学思维——以《平方差公式和完全平方公式》习题教学为例[J], 王秋冬4.利用习题教学培养数学思维——以《平方差公式和完全平方公式》习题教学为例[J], 王秋冬5.浅谈乘法公式的教学设计与思考——以完全平方公式为例 [J], 曹友成;邓琳因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

完全平方公式几何解释
嘿，你知道完全平方公式吗？那可是数学里超级重要的东西呢！就
好像是一把神奇的钥匙，能打开好多数学难题的大门。

咱就说那个（a+b）²吧，它展开就是 a²+2ab+b²。

这咋理解呢？咱可
以想象一下哈，有一个边长为 a 的正方形，还有一个边长为 b 的正方形，它们俩紧挨在一起，那它们组成的大图形的面积不就是（a+b）²嘛！而这个大图形又可以分成三部分，一个边长为 a 的正方形面积是 a²，
一个边长为 b 的正方形面积是 b²，还有两个长为 a 宽为 b 的长方形，
面积就是 2ab 呀，这不就和完全平方公式对上了嘛！
再看看（a-b）²=a²-2ab+b²，也能找到类似的解释呀！就好像是从那
个大正方形里去掉一个小正方形，剩下的部分的面积就是（a-b）²嘛。

你想想，这完全平方公式是不是很有意思？就像我们生活中的好多
事情一样，看似复杂，其实只要找到了合适的角度去理解，就变得简
单明了啦！数学可不就是这样嘛，到处都藏着惊喜等着我们去发现呢！
我觉得完全平方公式的几何解释真的太妙了，它让抽象的公式变得
具体可视，让我们能更直观地理解和掌握它。

这就像是给我们打开了
一扇窗，让我们能看到数学不一样的风景，难道不是吗？。

完全平方公式拓展完全平方公式是指形如(a+b)^2=a^2+2ab+b^2的计算公式。

它是数学中的一条基本公式，用于求解平方和的展开形式。

在实际问题求解中，完全平方公式有广泛的应用，可以帮助我们简化计算，快速得到结果。

本文将对完全平方公式进行拓展，探讨其应用和推广。

首先，我们来介绍几何方法。

在几何方法中，我们可以用正方形的面积来解释完全平方公式。

具体而言，我们可以将一个正方形的边长表示为a+b，其中a和b是两个边长。

那么，这个正方形的面积就是(a+b)^2、另一方面，我们可以将这个正方形分成三个部分，分别是两个面积为a^2和b^2的小正方形，以及两个面积为ab的矩形。

因此，这个正方形的面积也可以表示为a^2+2ab+b^2、通过对比这两种表示方法，我们可以得到完全平方公式的展开形式。

其次，我们来介绍代数方法。

在代数方法中，我们可以通过代数运算对完全平方公式进行推导。

假设我们要计算(a+b)^2的值，那么我们可以将其展开成为a^2+2ab+b^2、这个过程可以通过平方运算和代数运算来完成。

具体而言，我们可以先将(a+b)^2表示为(a+b)(a+b)，然后利用分配律将这个乘法展开，最后使用合并同类项和简化运算得到展开形式。

这个推导过程是基于数学运算的性质和规律，是一种常用的求解方法。

完全平方公式在数学中有广泛的应用。

首先，它可以用于计算平方和的展开形式。

这在代数表达式的展开、多项式的乘法和因式分解等问题中都有应用。

通过将复杂的表达式展开成为简单的项，我们可以更好地理解和分析问题，帮助我们做出正确决策。

其次，完全平方公式还可以用于解决实际问题。

在实际问题中，我们经常需要计算两个数的平方和或平方差。

例如，在几何学和物理学中，我们经常需要计算两个向量的模的平方和或平方差。

通过运用完全平方公式，我们可以将这个计算问题简化成为更简单的形式，从而快速得到结果。

这在模拟分析、优化设计和数据处理等领域具有重要意义。

完全平方公式的几何解释虽然这个公式的推导过程比较复杂，但它的几何解释却非常简单明了。

要理解这个几何解释，我们需要先了解一些基本数学知识。

首先，我们知道，一元二次方程通常可以用来表示一个抛物线。

这个抛物线的形状和方向，取决于a的正负。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

这个抛物线的顶点，就是它的最高点或最低点，也就是它的对称轴与某轴的交点。

基于这个知识，我们可以从几何角度理解完全平方公式。

具体来说，当一个一元二次方程有解时，也就意味着它的抛物线与某轴有交点。

而这个交点，就是它的两个解。

当这个方程的判别式b²-4ac是一个完全平方数时，对应的抛物线与某轴有两个交点，也就意味着这个抛物线与某轴相交两次。

这时，我们可以通过计算这两个交点的坐标，来得到完全平方公式的解。

简单来说，我们只需要求出这个抛物线的对称轴和交点距离的差值的一半，就是解的值。

在数学中，这个差值就是判别式的平方根。

由于判别式是一个完全平方数，它的平方根就是一个整数。

我们只需要求出这个整数，然后将其除以2a，就可以得到解的值。

这个几何解释的好处是，可以帮助我们更好地理解完全平方公式的本质。

同时，它还可以帮助我们更好地理解其他数学概念和原理，如函数的最值、对称性、坐标系等。

总的来说，完全平方公式的几何解释可谓是简单、直观、易于理解。

它不仅可以帮助我们掌握数学知识，还可以培养我们的几何直觉和数学思维能力。

因此，学习完全平方公式时，我们不妨从几何角度入手，加深我们对数学的理解和认识。

完全平方公式（提高）【学习目标】1. 能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解.2. 会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式；3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.【要点梳理】要点一、公式法——完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即()2222a ab b a b ++=+，()2222a ab b a b -+=-. 形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.（4）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.【高清课堂400108 因式分解之公式法 知识要点】要点二、因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 要点三、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．【典型例题】类型一、公式法——完全平方公式【高清课堂400108 因式分解之公式法 例4】1、分解因式：（1）22363ax axy ay -+-； （2）42242a a b b -+； （3）2222216(4)x y x y -+； （4）4224816a a b b -+． 【答案与解析】解：（1）222223633(2)3()ax axy ay a x xy y a x y -+-=--+=--．（2）42242222222()[()()]()()a a b b a b a b a b a b a b -+=-=+-=+-．（3）2222216(4)x y x y -+ 22222222(4)(4)(44)(44)xy x y xy x y xy x y =-+=++--22222(2)[(44)](2)(2)x y x xy y x y x y =+--+=-+-．（4）4224222222816(4)[(2)(2)](2)(2)a a b b a b a b a b a b a b -+=-=+-=+-．【总结升华】（1）提公因式法是因式分解的首选法．多项式中各项若有公因式，一定要先提公因式，常用思路是：①提公因式法；②运用公式法．（2）因式分解要分解到每一个因式不能再分解为止．举一反三：【变式】分解因式：（1）224()12()()9()x a x a x b x b ++++++．（2）22224()4()()x y x y x y +--+-．【答案】解：（1）原式22[2()]22()3()[3()]x a x a x b x b =++⋅+⋅+++22[2()3()](523)x a x b x a b =+++=++．（2）原式22[2()]22()()()x y x y x y x y =+-⋅+⋅-+- 22[2()()](3)x y x y x y =+--=+．2、分解因式：22(33)(35)1x x x x +++++．【思路点拨】若将括号完全展开，所含的项太多，很难找到恰当的因式分解的方法，通过观察发现：将相同的部分23x x +作为一个整体，展开后再进行分解就容易了．【答案与解析】解：22(33)(35)1x x x x +++++22[(3)3][(3)5]1x x x x =+++++ 222(3)8(3)16x x x x =++++22(34)x x =++．【总结升华】在因式分解中要注意整体思想的应用，对于式子较复杂的题目不要轻易去括号． 举一反三：【变式】若x ，y 是整数，求证：()()()()4234x y x y x y x y y +++++是一个完全平方数.【答案】解：()()()()4234x y x y x y x y y +++++ ()()()()4423x y x y x y x y y =+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦22224(54)(56)x xy y x xy y y =+++++令2254x xy y u ++=∴上式2422222(2)()(55)u u y y u y x xy y ++=+=++即()()()()4222234(55)x y x y x y x y y x xy y +++++=++类型二、配方法分解因式 3、用配方法来解决一部分二次三项式因式分解的问题，如：()()()()()()222282118191313 24x x x x x x x x x --=-+--=--=-+--=+-那该添什么项就可以配成完全平方公式呢？我们先考虑二次项系数为1的情况：如2x bx +添上什么就可以成为完全平方式？ 2222()2222b b b x bx x x x ⎛⎫⎛⎫++=+⋅⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因此添加的项应为一次项系数的一半的平方.那么二次项系数不是1的呢？当然是转化为二次项系数为1了.分解因式：2352x x +-.【思路点拨】提出二次项的系数3，转化为二次项系数为1来解决.【答案与解析】 解：如2252352333x x x x ⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭222555233663x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 25493636x ⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 2257366x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 575736666x x ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()1323x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 【总结升华】配方法，二次项系数为1的时候，添加的项应为一次项系数的一半的平方. 二次项系数不是1的时候，转化为二次项系数为1来解决.类型三、完全平方公式的应用【高清课堂 因式分解之公式法 例5】4、若a 、b 、c 为三角形的三边边长，试判断222222()4a b c a b +--的正负状况．【答案与解析】解：222222222222()4(2)(2)a b c a b a b c ab a b c ab +--=+-++-- 2222[()][()]a b c a b c =+---()()()()a b c a b c a b c a b c =+++--+--．依三角形两边之和大于第三边，知0a b c +->，0a b c -+>，0a b c --<，故222222()40a b c a b +--<．【总结升华】将原式分解因式，再根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边来判断每个因式的正负.举一反三：【变式】若△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ,且满足222166100a b c ab bc --++=， 求证：2a c b +=.【答案】解：22216610a b c ab bc --++()()()22222269251035a ab b b bc c a b b c =++--+=+-- 所以()()22350a b b c +--= ()()2235a b b c +=- 所以3(5)a b b c +=±-所以28a c b b c a +==-或因为△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，c a b -<，所以8b c a b =-<，矛盾，舍去.所以2a c b +=.。