运用“综合和分析”法解决问题

谈综合法与分析法的应用综合法与分析法是数学中的重要方法，它是求解与分析数学问题思维基础，很多看似较难的问题通过合理、准确的使用综合法与分析法，都能使结论快速产生；本文再谈此两法的应用，进一步揭示两法的应用技巧，望对你的学习能有所帮助；1、使用综合法综合法是从已知出发，经过逐步推理，最后导出所要达到的结论；可以看出，若使用综合法求解问题，一定要将条件与结论结合起来，看看条件、再看看结论，如何架好从条件通往结论的桥梁？例1、设223≤≤x ，求证：83153212<-+-++x x x 证明：由于,a b R +∈时，2)2(222b a b a +≤+，得)(222b a b a +≤+ 那么，)31532(231532x x x x -+-≤-+-x 224-=)22444(222412x x x x -++≤-++82142142=+≤+=x 上述第一个不等式中等号成立的条件为：]2,23[51831532∉=⇒-=-x x x 故原不等式成立。

点评：本题的证明不重要，产生这个证明方法的思维过程很重要；你知道是怎么产生的吗？是综合法的“功劳”，请看：欲从左边证到右边，必须消去x ；如何消？只有经过平方，才能将x 从根号中“解救”出来，“解救”出来后才有消去的可能；于是在基本不等式中开始“搜索”与平方有关的不等式，慢慢的2)2(222b a b a +≤+就“浮出水面”，解法自然也就诞生了；2、使用分析法分析法是从结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件，直到找到一个明显成立的条件，这个条件可以是已知条件、公理、定理、定义等；可以看出，若使用分析法求解问题，对结论的简化与转化很重要，它是向条件靠拢的重要措施；例2、设c b a ,,为任意三角形边长，ca bc ab S c b a I ++=++=,，试证：S I S 432<≤证明：由于ca bc ab c b a c b a I 222)(22222+++++=++=S c b a 2222+++= 欲证S I S 432<≤，只需S S c b a S 423222<+++≤，只需证S c b a S 2222<++≤，即ca bc ab c b a ca bc ab 222222++<++≤++； 只需证ca bc ab c b a ++≥++222且ca bc ab c b a 222222++<++；先看ca bc ab c b a ++≥++222，只需证ca bc ab c b a 222222222++≥++，即0)()()(222≥-+-+-a c c b b a ，显然，此式成立，再看ca bc ab c b a 222222++<++，只需证0222<--+--+--ca bc c bc ab b ac ab a ；只需证0)()()(<--+--+--a b c c c a b b c b a a ；只需证c b a +<且a c b +<且b a c +<，由于c b a ,,为三角形边长，显然，结论成立； 故S I S 432<≤点评：本题从表面上看不易“征服”，但通过分析法将结论逐步转化，由看上去很难“接受”的S I S 432<≤，转化为较为亲切的ca bc ab c b a ca bc ab 222222++<++≤++，显然，这比原题的结论看上去要“舒服”多了，当然，求解也就顺畅了很多；3、综合法与分析同时使用综合法与分析法是数学中的两个“大法”，在求解具体数学问题时，不是孤立的，往往它们会联手出击；例3、试证：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，并且方向相同，那么这两个角相等；已知：如图，BAC ∠与///C A B ∠中，////B A AB且////C A AC ，且两角的方向相同；求证：=∠BAC ///C A B ∠分析：（1）BAC ∠与///C A B ∠不可能用平行线的性质，只有考虑构造两个全等的三角形，再设法证明两三角形全等；为此，分别在////,,,B A C A B A AC 上截取//E A AE =，//D A AD =，连结//,E D DE ，得到///,E D A ADE ∆∆；（2）欲证两三角形全等，只需证//E D DE =；（3）只需证//D DEE 是平行四边形，也就是/DD 平行且等于/EE ；（4）只需证“/DD 平行且等于/AA ”且“/EE 平行且等于/AA ”（5）只需证//A ADD 与//A AEE 均为平行四边形，显然这是一个成立的结论；于是：证明：由于//A ADD 是平行四边形，则/DD 平行且等于/AA ；同理，得/EE 平行且等于/AA ；于是/DD 平行且等于/EE ，那么//D DEE 是平行四边形，得//E D DE =在ADE ∆与///E D A ∆中，由于//E A AE =、//D A AD =且//E D DE =，因此，ADE ∆全等于///E D A ∆，从而=∠BAC ///C A B ∠；点评：分析法找思路较为自然，容易产生解题思路与方法，但由于是“逆行”往往叙述较为复杂；而综合法产生的解法往往又显得很突然，一时不知此法由何而来；于是，二者结合，互相弥补便成了大家提倡的，即“用分析找思路，用综合法写过程”是十分行之有效方法；好了，对于综合法与分析法，本文就谈到此，你看后有收获吗？。

小学数学分析法与综合法练习题在小学数学的学习过程中，数学分析法和综合法都是非常重要的学习方法。

它们帮助学生更好地理解和解决各种数学问题。

本文将以练习题的形式，从分析法和综合法的角度出发，为小学生提供一些有趣的练习题，以便帮助他们提高数学解题能力。

1. 分析法分析法是一种通过分析问题的方法来解决数学问题的策略。

它要求学生仔细观察问题，找出问题的关键点和条件，然后根据这些信息进行思考和推理，最后给出正确的答案。

下面是一个使用分析法解决问题的例子：题目：在一组数中，所有的数都是偶数，除了一个数是奇数。

请问如何快速找到这个唯一的奇数？分析：根据题目可知，数的数量是一组数中的偶数加1。

偶数加1的和肯定是奇数。

因此，我们只需要找出偶数的和，然后减去给定的这组数的和，就能得到唯一的奇数。

练习题1：在一组数中，有6个数是偶数，除了两个数是奇数。

请问两个奇数的和是多少？分析：根据题目可知，数的数量是一组数中偶数的数量加2。

奇数加奇数的和是偶数，所以我们只需要找出偶数的和，然后减去给定的这组数的和，再除以2，就能得到两个奇数的和。

练习题2：在一组数中，有8个数是奇数，除了两个数是偶数。

请问两个偶数的和是多少？分析：根据题目可知，数的数量是一组数中奇数的数量加2。

奇数加奇数的和是偶数，所以我们只需要找出奇数的和，然后减去给定的这组数的和，再除以2，就能得到两个偶数的和。

2. 综合法综合法是一种将不同的解题方法综合运用的策略。

它要求学生将不同的数学知识和解题技巧进行组合，并灵活运用，以解决更加复杂和综合性的问题。

下面是一个使用综合法解决问题的例子：题目：一本书原价100元，现打75折出售后，再打9折出售。

请问最终出售的价格是多少？综合解法：首先，75折表示原价的75%，即100元 * 75% = 75元。

然后，再打9折表示现价的90%，即75元 * 90% = 67.5元。

所以最终出售的价格是67.5元。

练习题3：一件商品原价300元，现打85折出售后，再打8折出售。

关于培养学生学会用分析法和综合法分析解决问题的几点体会作者：崔怀平来源：《新课程·教育学术》2009年第02期根据新的课程标准所编写的数学教材,剔除了那些繁难偏的内容,减少了证明推理的练习。

有一点推理证明的练习题,也就是二三步的事。

使学生从繁琐的思考中解放了出来。

由于证明推理练习题的减少,使得利用综合法分析法解决问题的机会相对减少了。

但是利用综合法、分析法分析问题、解决问题,培养学生分析综合能力,还是必不可少的。

因为分析法综合法不仅是推证习题,更重要的是以后的工作生活中都要用到这些方法。

掌握了这些方法会使学生受用一生。

我们要充分利用课本练习中所给的练习素材,教会学生用综合分析的方法解决问题。

综合法是由“已知”推出“未知”,每一步都是由“已知”看可知,条理清楚,容易表述。

对于一些一因一果的问题,用综合法方便。

例如,已知速度和运动时间,求路程。

路程=速度×时间。

但对于一因可生数果,果又可以做因,有在生新果。

枝繁果茂,以致枝歧难穷,造成在繁多的事理中,选择适当的论证根据往往不易决定。

而分析法从结论出发,是由“未知”推向“已知”,其中每一步都是由“未知”“要知”看“需知”,执果索因,逐步逆推。

根据明确,便于思考。

所以在探索上,分析法优于综合法。

但是由于分析法思路头绪总是逆推,不易表述,所以,在表述推理过程时,综合法优于分析法。

两种方法各有优点和缺点,在实际中与综合运用相辅相成。

总之,分析法便于思考,综合法便于表述,各有优劣。

我们要明白,两者可优势互补相辅相成,不必拘于某一形式,非得从已知推得结论或从结论追索到已知条件。

可以两头并进,只有中间某一地方会合起来了,双向贯通了,就可把二者结合起来用了。

实际当中往往是用分析法探索,用综合法表述。

分析法虽然叙述麻烦,说话拗口,表达思想不如综合法简单明了,但在日常工作和生活中解决困难,大多用这种方法。

只是我们没有认真感觉和总结,有条理地记叙下来而已。

主题活动二分析法和综合法解决问题从求解的问题出发，正确选择所需要的两个条件，依次推导，一直到问题得到解决的解题方法叫分析法。

用分析法解应用题时，如果解题所需要的两个条件，（或其中的一个条件）是未知的，就要分别求解找出这两个（或一个）条件，一直到所需要的条件都是已知的为止。

分析法适于解答数量关系比较复杂的应用题。

综合法和分析法是解应用题时常用的两种基本方法。

在解比较复杂的应用题时，由于单纯用综合法或分析法时，思维会出现障碍，所以要把综合法和分析法结合起来使用。

我们把分析法和综合法结合起来解应用题的方法叫做分析-综合法。

例1 玩具厂计划每天生产200件玩具，已经生产了6天，共生产1260件。

问平均每天超过计划多少件？练习四月上旬，甲车间制造了257个机器零件，乙车间制造的机器零件是甲车间的2倍。

四月上旬两个车间共制造多少个机器零件？例2 某车间要生产180个机器零件，已经工作了3天，平均每天生产20个。

剩下的如果每天生产30个，还需要几天才能完成？练习王老师买了24本笔记本和6支铅笔，共花了960元钱。

已知每支铅笔8元，每本笔记本多少钱？例3 仓库里共有化肥2520袋，两辆车同时往外运，共运30次，每次甲车运51袋。

每次甲车比乙车多运多少袋？练习把595千克梨装在纸箱中，先装7箱，每箱装梨20千克，其余的梨每箱装35千克。

这些梨共装多少箱？练习某发电厂五月份用煤3200吨，比四月份节约了158吨，六月份又比五月份节约了105吨。

问六月份比四月份少用煤多少吨？*例4运输队要把600吨化肥运到外地，计划每天运22吨。

运了15天以后，剩下的化肥要在10天内运完。

这样每天要比原计划多运多少吨？练习某鞋厂原计划30天做皮鞋13500双，实际上每天比原计划多做50双。

问这个鞋厂提前几天完成原计划的任务？练习甲、乙两队同时开凿一条2160米长的隧道，甲队从一端起，每天开凿20米，乙队从另一端起，每天比甲队多开凿5米。

⼩学数学解应⽤题的综合法与分析法⼩学数学解应⽤题的综合法与分析法［知识要点］１．⼀步计算的加（减）应⽤题与两不计算的加减应⽤题之间的关系。

⑴将两道有联系的⼀步计算的应⽤题合成⼀道两步计算的复合应⽤题；⑵将⼀道两步计算的加减应⽤题分解成两道⼀步计算的应⽤题；⑶将⼀道⼀步计算的应⽤题，改变其中的某个条件（已知条件或问题），使其变成⼀道两步计算的应⽤题。

２．⽤“分析法”和“综合法”解两步计算的加减应⽤题。

［范例解析］某些有联系的两道简单应⽤题，可以合并成⼀道两步计算的应⽤题。

例1⑴学校买来红纸382张，绿纸295张，⼀共买回多少张纸？⑵学校买回红纸和绿纸677张，做花⽤去488张，还剩多少张？分析第⼀题要求“⼀共买回多少张纸？”就是求382张红纸和295张绿纸的和。

算式是：382＋295 = 677（张）第⼆题要求“还剩多少张？”就得从红、绿纸的总数中减去“⽤去了488张”。

算式是：677－488 = 189（张）可以看出，第⼀题中所求的问题，正好是第⼆题中的⼀个条件，于是⼀变，把这两个有的简单应⽤题变成⼀个两步计算的应⽤题⑶学校买回红纸382张，绿纸295张，做花⽤去488张，还剩多少张？分析要求“还剩多少张？”必须先求出“⼀共买回多少张纸？”这个中间隐含的问题，⽽这个中间隐含的问题可以根据“买来红纸382张”和“绿纸295张”这两个条件来求。

求出了⼀共买来多少张纸，⼜已知“做花⽤去了488张”就可以求“还剩多少张纸？”算式是：382＋295－488= 677－488= 189（张）⼀道两步计算的应⽤题，也可以分解成两个有联系的简单应⽤题。

例2⼀条公路长1280⽶，⼯程队上午修了370⽶，下午修了392⽶，还剩多少⽶没有修？分析根据“上午修了370⽶”和“下午修了392⽶”，可以求修了多少⽶，⼜已知“⼀条公路长1280⽶”，就可以求“还剩多少⽶没有修？”算式是：1280－（370＋392）= 1280－762= 518（张）上题⼀变，把这个两步计算的应⽤题分解成了两个有联系的简单应⽤题。

用“综合法”和“分析法”解答复合应用题所谓的应用题是根据生产和日常生活中的实际问题用文字或语言表示数量关系的题目。

应用题通常分为简单应用题和复合应用题两类，用两步或两步以上的运算解答的应用题就是复合应用题。

复合应用题是由两个或两个以上的一步计算应用题组合而成的，所以它的数量关系比较复杂，解题思路和解题办法也就比较复杂，因此重视和掌握复合应用题的解题方法是解复合应用题的关键。

下面，笔者就用“综合法”和“分析法”解答复合应用题谈谈自己的一点体会。

“综合法”就是从应用题的已知条件出发，从条件和条件之间的关系、条件和问题之间的关系入手，逐步推出所求的问题。

例：某农场有两个果园共30亩，第一个果园收苹果3500箱，第二个果园收苹果2800箱，每箱苹果重100千克。

平均每亩收苹果多少千克？用“综合法”分析：已知第一个果园收的箱数和第二个果园收的箱数，可求出两个果园共收的总箱数；已知每箱的重量和总箱数，可求出总产量；已知总产量和总亩数，可求出亩产量。

“分析法”是从应用题的问题出发，根据数量关系探求解答这个问题需要具备的条件，如果题中没有给出所需的条件，就提出新的问题，再探求解答这个新问题需要具备的条件，直到所找的条件在应用题里都是已知的为止。

上题用“分析法”分析：要求每亩产量，必须知道“总产量”和“总亩数”。

题中总亩数已知而总产量题里没有给；要求出总产量，必须知道每箱的重量和总箱数，又每箱重量已知而总箱数题中没有直接给出；要求总箱数，必须知道第一个果园收的箱数（3500箱）和第二个果园收的箱数（2800箱），这些都是已知条件。

分析完毕。

“综合法”适用于数量关系比较简单、比较直接的较简单的应用题，一般是一步、两步，最多是三步应用题。

综合法是按分析过程从前往后列出算式。

“分析法”适用于数量关系比较复杂、比较隐蔽、步骤较多的题目，一般都是三步以上应用题。

分析法要从后往前，逆向写出算式。

复合应用题的解答，首先要认真审题，紧扣题中的重点句子、关键词语来理解题意。

浅谈在解数学题时如何运用综合法与分析法发表时间：2017-07-19T16:00:18.897Z 来源：《教育学》2017年5月总第119期作者：蔡丹颖[导读] 本文将对综合法和分析法在解数学题时的具体应用进行分析，解读它们各自的优缺点、区别以及联系。

华南师范大学广东广州510631摘要：在解数学题时，依据从条件入手或从结论入手，将之划分为综合法和分析法。

本文将对综合法和分析法在解数学题时的具体应用进行分析，解读它们各自的优缺点、区别以及联系。

关键词：综合法分析法优缺点综合法：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，它是由因导果，又称为顺推证法。

分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判断一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，它是执果索因，又称为倒推证法。

一、综合法例1：在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC是等边三角形。

思路分析：从条件中三个内角A，B，C成等差数列，可知B满足B= ，即2B=A+C，又三角形的内角和为180°可知，3B=180°，可以解得B=60°，从另一个条件入手，△ABC的三条边a，b，c成等比数列，可知b满足b2=ac，此时，涉及到B，b2，ac，自然地想到跟余弦定理有关：b2=a2+c2-2ac cosB，即ac=a2+c2-ac，变形得（a+c）2=0,解得a=c，前面已知b2=ac，b>0，解得a=b=c，所以△ABC是等边三角形。

二、分析法例2:设a>b>0，求证：< - ab< 。

思路分析：这道题中条件只有a>b>c，从这个条件出发，我们很难再往下证明,因此我们考虑运用分析法，先从< - ab< 入手，第一、三项是分数的形式，但是中间一项- ab却不是分数的形式，所以我们将中间那一项通分，转化为，我们观察到第一、三项的分子都是（a-b）2，且（a-b）2跟( a- b)2有联系，（a-b）2=[( a+ b)( a- b)]2，要证原不等式,即证：<< ，化简得：<1< ，即证： <1< ，即证： < =1= < ，此时，根据条件，设a>b>0，可以知道a> b>0，< =1= < 成立，再逆推证明原不等式成立即可。

分析法与综合法在数学教学中的应用在科学发展的初期，数学被包含在哲学的母体之中。

逻辑学是研究思维的逻辑形式、基本规律与方法的学科，它与数学有着十分密切的关系。

在它的发展过程中，不断借用数学的思想方法，反过来又促进数学的发展。

《数学分抑）是大学相关专业十分重要的基础课程，蕴含着丰富的逻辑思维原理与方法。

《数学分析》充分运用了分析与综合的逻辑思维方法，其基本概念一极限的定义，被称之为典型的分析语言，即是分析与综合的体现，其中包含了一些全称判断与特称判断，由此构成一个复合判断。

极限的概念与方法，贯穿于《数学分析》的始终，既是教学的重点，也是教学的难点，其教学历来受到特别的重视。

因此，在《数学分析）教学中，运用逻辑学的原理与方法，对提高教学质量有着非常重要的意义。

1分析与综合分析法与综合法则就是常用的普通逻辑思维方法。

分析法就是把繁杂的事物或过程分解成各个部分、局部或阶段，然后用边缘化、恒定的观点逐个对其研究，从而得出结论事物的微观性质；而综合法则就是把事物的各个部分或阶段的微观性质有机资源整合在一起，把握住事物的整体、宏观性质。

通常人们往往将这两者先后融合出来，达至重新认识事物的目的。

概念、推论、推理小说就是思维的基本形式，因而数学概念就是教学中首先必须著重的对象。

《数学分析》的基本概念，比如音速、微分、分数的定义都使用了分析与综合的方法。

下面以音速与定分数的概念为基准表明。

（1)极限考虑数列极限lima?=a,{an}趋近于a是一个无穷的复杂过程，把这一过程分解为：n※'+丫ian—a01ian—a0.01ian—a…对于上述每个变化阶段，用孤立、静止的观点研究它们，所得条件是自变量n必须大于某个正整数。

这样的变化阶段有很多很多，它们具有上述类似的特征，运用逻辑量词符号，将其综合、概括起来即为：ve>0，3正整数n,当n>n时，都有ian—ae（2)的定分数的定分数("f(x)dx的几何背景厚边由曲线y=f(x)o0)，xg丨a,b]与直线x=a,jb'x=b,y=0所围起的曲边梯形的面积。

如何在教学中使用分析法和综合法[摘要] 众所周知,培养数学的思维能力是至关重要的。

思维的形式包括观察、比较、分析、归纳、综合等。

在思维过程中,最常用的就是分析法和综合法。

所谓分析法,就是从结论(定理、公式等)出发,通过逻辑推理和演算,不断追索使结论成立的原因,即“由果追因”。

所谓综合法就是“由因导果”,即根据已有的条件不断地推理和演算,最终导出结论。

这两种方法必须在解题过程中,充分交错,灵活运用。

一般来讲,我们需先采用分析法,理清解决问题的思路,再用综合法进行归纳,给出问题一个清晰的解答过程。

只有这样,才能有效地避免在解答问题过程中盲人骑瞎马,左冲右突,解题杂乱无章的现象。

在教学过程中无论是讲授定理的证明,还是问题的计算等,我们也常需要将分析法和综合法有机结合起来。

下面将就本人如何利用分析法和综合法讲授波动方程初边值问题求解的一点体会做一简单介绍, 以飨读者。

[关键词] 波动方程D’Alembert公式奇延拓波的反射原理本文重点讨论在四分之一平面上的波动方程的如下初边值问题:(1)具有初始条件(2)及边界条件(3)众所周知,问题(1)-(3)可用波的反射原理来求解。

其解的表达式可写成如下形式(见参考文献[4,8]):当时(4)当时,(5)我们知道,一般教科书中都是将初始值函数和从奇延拓到整个实轴,获得如下奇函数:(6)然后应用D’Alembert公式写出辅助Cauchy问题(1), (6)的解:。

(7)再利用解的奇偶性质获得初边值问题(1)-(3)的解的表达式(4)-(5)。

解的奇偶性质如下:性质:Cauchy问题(1), (6)的解满足(8)以上解法属典型的综合法,虽然清晰明了,但不易理解解题的来龙去脉, 难于抓住解决问题的本质。

下面谈谈如何利用分析法来求解该问题。

分析法:人们认识客观世界总是从已知的出发,去探索未知的。

数学研究也是如此,也是利用已知的去推导未知的。

关于波动方程的求解,我们知道Cauchy问题的解可由D’Alembert公式表示。