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二重积分四则运算公式二重积分是微积分中的一个重要概念，也是数学计算中常用的工具之一、它是对二元函数在一些区域上的求和，可以用来计算曲线下面的面积、质心、重心、弯矩等问题。
在进行二重积分的计算时，有四个基本的运算公式，分别是加法公式、乘法公式、换元公式和分部积分公式。
下面将详细介绍这四个公式以及它们的应用。
一、加法公式加法公式是用来计算两个区域上的二重积分的和的公式，具体形式如下：∬(R1∪R2)f(x,y)dA=∬R1f(x,y)dA+∬R2f(x,y)dA其中，R1和R2是两个不相交的区域，f(x,y)是定义在R1∪R2上的函数，dA表示面积元素。
加法公式的应用非常广泛，可以用于计算不规则区域上的积分，将区域分成若干个小区域，然后分别计算每个小区域上的积分再求和即可。
二、乘法公式乘法公式是用来计算两个函数的乘积的积分的公式，具体形式如下：∬Rf(x,y)g(x,y)dA=∬Rf(x,y)dA·∬Rg(x,y)dA其中，f(x,y)和g(x,y)是定义在区域R上的函数，dA表示面积元素。
乘法公式可以简化积分的计算，将二重积分分成两个单变量的积分，分别计算再相乘即可。
三、换元公式换元公式是用来进行变量替换的公式，可以将一个二元函数在坐标变换后的区域上的积分转化为原区域上的积分，具体形式如下：∬Rf(x,y) dA = ∬R'(f(g(u,v),h(u,v)) ，J(u,v)， du dv其中，R是原区域，R'是通过坐标变换得到的新区域，f(x,y)是定义在R上的函数，J(u,v)，是变换后的雅可比行列式。
换元公式可以简化积分的计算，通过适当的坐标变换可以将原积分转化为更简单的形式，例如将直角坐标系中的积分转化为极坐标系中的积分等。
四、分部积分公式分部积分公式是用来计算二重积分中的积分运算的公式，具体形式如下：∬R(∂f/∂x + ∂g/∂y) dA = ∮C(f dx + g dy)其中，R是区域，C是区域R的边界曲线，f(x,y)和g(x,y)是定义在R上的函数，∂f/∂x和∂g/∂y分别表示函数f和g关于x和y的偏导数。
第三讲 二重积分的换元法回顾上节内容直角坐标系下二重积分的计算本节教学内容1.二重积分的换元积分公式；2.极坐标系下二重积分的计算。
【教学目的与要求】1.掌握二重积分的换元积分公式；2.熟练掌握极坐标系下二重积分的计算。
【教学重点与难点】换元公式和极坐标系下二重积分的计算§7.3 二重积分的换元法一、二重积分的换元公式在某些情况下，利用直角坐标计算二重积分很不方便，而利用其它坐标如极坐标等可能会很容易求得结果，这就需要对直角坐标系下的二重积分进行变量代换．关于二重积分的变量代换，有如下定理．定理 设),(y x f 在D 上连续，),(),,(v u y y v u x x ==在平面uOv 上的某区域*D 上具有连续的一阶偏导数且雅可比.)Jacobi,( C.G.J 行列式0≠''''=vu vu y y x x J ， *D 对应于xOy 平面上的区域D ，则⎰⎰Df dudv J v u y v u x f dxdy y x D )],(),,([),(*⎰⎰=． （１）公式（１）称为二重积分的换元公式．二、极坐标系下二重积分的计算极坐标与直角坐标的关系为θθsin cos r y r x ==⎪⎩⎪⎨⎧ ． （２）其中，r 是极径，θ是极角．由极坐标的特殊性，以坐标原点O 向外发散的区域D ，如圆、圆环、扇形等，用极坐标表示是比较方便的，而且如果二重积分的被积函数也能够用极坐标简单表示（比如被积函数为)(22y x f +等），则利用极坐标，计算更方便．利用公式（１）可给出极坐标下二重积分的计算公式．由式（２）θθy y x x J rr''''=r r r r =+=-=)s i n (c o s c o ss i n s i n c o s 22θθθθθθ． 即r r J ==，从而极坐标系下二重积分的计算公式为⎰⎰⎰⎰=*)sin ,cos (),(D Drdrd r r f dxdy y x f θθθ． （３）例１ 计算积分dxdy e Dy x⎰⎰--22，D 是圆心在原点，半径为R 的闭圆．解 这里D ={}222),(R y x y x ≤+，在极坐标系下}20,0),{(*πθθ≤≤≤≤=R r r D ，且222r y x =+，于是dxdy e Dy x⎰⎰--22为)1(212222*220R Rr r R D r e e dr red rdrd e-----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==⎰⎰⎰⎰ππθθπ．例２ 计算二重积分⎰⎰Ddxdy x 2，D 是由圆122=+y x 及422=+y x 所围成的环形区域.解 环区域D 在极坐标系中可表示为}20,21),{(*πθθ≤≤≤≤=r r D ，所以⎰⎰⎰⎰=DDrdrd r dxdy x θθ222cos =⎰⎰πθθ203212cos dr r d π415=. 例3 计算⎰⎰--Ddxdy y x a 2224，D 是半圆周22x ax y -=及x 轴所围成的闭区域（图7-9）．解 在极坐标系中，域D 可表示为}20,cos 20),{(*πθθθ≤≤≤≤=a r r D ，于是⎰⎰--Ddxdy y x a 2224⎰⎰-=*224D rdrd r a θ图7－10图7－9⎰⎰-=20cos 20224πθθa rdr r a d=⎰-=-20333)322(38)sin 1(38ππθθa d a ．例4 计算⎰⎰Dxydxdy ，其中D {}x y x y y x 21,0),(22≤+≤>=．解 区域D 见图7－10（阴影部分），在极坐标下*D {}0,cos 21),(πθθθ≤≤≤≤=r r ,于是⎰⎰Dxydxdy ⎰⎰⋅⋅=*sin cos D rdrd r r θθθ⎰⎰=3cos 213sin cos πθθθθdr r dθθθθπd r cos 214041sin cos 3⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰θθθθπd )41cos 4(sin cos 04⎰-=图7—11 θθθπcos )cos 41cos 4(305d --=⎰169cos 64cos 81062=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=πθθ． 例5 计算⎰⎰Ddxdy ，其中D 为椭圆12222=+by a x 所围成的闭区域．解 作广义极坐标变换⎩⎨⎧==.sin ,cos θθbr y ar x 其中πθ20,0,0,0≤≤≥>>r b a ，在此代换下，与D 相应的区域{}πθθ20,10),(*≤≤≤≤=r r D雅可比行列式 θθy y x x J rr ''''=abr br b ar a =-=θθθθcos sin sin cos ，从而⎰⎰Ddxdy ab abrdr d drd J D πθθπ===⎰⎰⎰⎰120*．由二重积分的几何意义，ab π即为椭圆12222=+by a x 所围成的面积．例6 计算⎰⎰Ddxdy y x 22，其中D 是由曲线2,1==xy xy 和直线xy x y 4,==所围成的第一象限的区域（图7－11）．解 该积分利用直角坐标或极坐标比较麻烦，根据积分区域，作变换.,v x y u xy ==⎩⎨⎧ 即 ⎪⎩⎪⎨⎧==.,v u x uv y 可得v J 21=． 于是⎰⎰D dxdy y x 22dv v du u dudv v u D ⎰⎰⎰⎰==41212212121*[]2ln 37ln 312141213=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=v u ．三、广义二重积分前面我们讨论的都是有界区域D 上有界函数的二重积分．若将积分区域推广到无界区域，或者被积函数有无穷型间断点，则有广义二重积分．其定义与计算与一元函数的广义积分类似． 定义 设函数),(y x f z =在xOy 平面上的无界区域D 上连续．在D 上任取一有界区域1D ，则),(y x f z =在1D 上的二重积分存在，若此积分当D D →1时的极限存在，则称该极限为无界区域D 上的广义二重积分，即⎰⎰⎰⎰→=11),(lim ),(D DD Dd y x f d y x f σσ．可以证明，若),(y x f z =在D 上不变号，则广义二重积分的值与D D →1的方式无关．例7 证明概率积分π=⎰∞+∞--dx e x 2．证明 考虑广义二重积分σd e Dy x⎰⎰--22，其中D 是xOy 平面．取1D 为圆心在原点，半径为R 的圆，当D D →1时，+∞→R ．根据例1求得的结果，σd e Dy x ⎰⎰--22=DD →1limππ=-=-+∞→--⎰⎰)1(lim 2122R R D y x e dxdy e ．另一方面，令{}R y R x y x D ≤≤=,),(2（图7－12）， 则当D D →2时，+∞→R ．dxdy e dxdy e D y x DD Dy x⎰⎰⎰⎰--→--==222222limπ图7－12⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰----+∞→R R R R y x R dy e dx e 22lim2222lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰∞+∞----+∞→dx e dx e x R R x R ，于是 π=⎰∞+∞--dx e x 2．若函数),(y x f z =在xOy 平面上的有界区域D 上有无穷间断点，或在D 内的某一条曲线上有无穷间断点，此时，可取D D ⊂1，而),(y x f 在1D 上连续，定义广义二重积分⎰⎰⎰⎰→=11),(lim),(D DD Dd y x f d y x f σσ．例8 计算广义积分,22⎰⎰+Dyx d σ其中，{}222),(R y x y x D ≤+=．解 对于被积函数来说，点)0,0(为其无穷间断点．设R a <<0，则在环型区域1D {}2222),(R y x a y x ≤+≤=上，被积函数连续，且当D D →1时，0→a ，于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰→→=+=+R aa D DD Drdr rd yx d yx d 22022221lim lim11πθσσR a R a ππ2)(2lim 0=-=→．小结1.二重积分的换元积分公式；2.极坐标系下二重积分的计算。
