- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x , 或x A ( n ). 记为 lim n A n
n
数， 若当n无限增大时, xn不趋近于一个确定的常
则称数列 { x n }的极限不存在， 或称数列发散.
11
数列的极限
5. 数列极限的概念 无限增大时, x n 是否无限接近于某一 问题 当 n
确定的数值?
n 1 ( 1 ) 研 究{ 数 1 列} 当 n 时的变 .化 n 1 1 1 1 1 1 ,1 ,1 ,1 , 1 , 2 3 4 5
(Advanced Mathematics)
数学是科学的大门和钥匙.
— 培根
1
第二节 函数极限(一) --极限的概念
数列的极限 函数的极限
第一章
函数与极限
2
函数极限
一、数列的极限 1.数列: 按照自然数顺序排列的一列数, 一般式为:
x x 简记为 { x n } 1, x 2, n,
一般项
则 A 是 称 f 函 ( x ) 当 x 数 x 个常数A， ( 或 x ) 0
时的极限. 记作：
x x 0
或 lim f( x ) A ). lim f(x )A .(
x
若在x的某种趋向下, f ( x)并不无限接近一个常数
则称: 在x的该种趋向下 f ( x ) 极限不存在.
n 例： 2 ,4 ,8 , ,2 , ;
{2 n }
1 { n} 2
1 1 1 1 , , , , n , ; 2 4 8 2
n 1
n1 {( 1 ) } 1 , 1 , 1 , , ( 1 ) , ;
n 1 14 n ( 1 ) n (1)n1 2 , , , , , ; { } 23 n n
x
x
x
arctan x是否存在? 例 讨论极限 lim
x
解 显然有
lim arctan x , lim arctan x , x 2 x 2
19
函数极限
注 (1) 讨论函数极限， 须先明确自变量变化趋势.
(2) y 一个常数， 极限存在，若否，不存在.
x x 0， (3) x x0时 ， 即 xx0的 空 心 邻 域
lim f(x )A 与 f (x)在 x0是否有定义无关 . x x
0
20
函数的极限
lim f(x )A lim f(x )A lim f ( x ) A 且
3
数列的极限
数列的(两种)几何表示法: (1) 数轴上一个点列.
x1
x3
x2 标函数或下标函数
(2) 平面上一串分离的点. xn 不可将这串点连成曲线. o
· ·· 1 2 3 4 ·
n
4
函数极限
2. 关注:
数列的变化趋势
例：刘徽创“割圆术”， 计算圆的周长l 正六边形(6 211 ) 的周长 l 1
n 1
n 1
图形：
文字： 当n无限增大时, ( 1)
n1
不趋于一个常数
(极限不存在)
n 1 lim ( 1 ) 不存在 符号： n
9
函数极限
n n { 2 列 } : 2 , 4 , 8 , , 2 , 例4 数
图形：
文字：当n无限增大时, 2 n 不趋于一个常数 (极限不存在)
13
数列的极限
1 | xn 1 | n
1 1 1 1 给定 ,由 , 只要 n 100 时 , 有x 1 , n 100 n 100 100
1 1 给定 , 只要 1 , n 1000 时 ,有x n 1000 1000
1 1 给定 , 只要 1 , n 10000 时 ,有x n 10000 10000
n
如果数列没有极限, 就说数列发散(diverge).
15
函数的极限
二、函数的极限
x 在无穷远点的极限 x x
在一点的极限
xx xx x x0
0 0
17
函数极限
1. 定性定义:
若当 x x 或 x ) 时， 函数f(x)无限趋近于一 0(
21 ( 6 2 )的周长 l 2 正十二边形 正 6 2n1边形的周长 l n 当n无限增大时，l n 无限趋近于l
R
ln l n 时， 记：当
5
注
用无限接近（极限）方法，可实现：
近似 量变 直
精确 质变
曲
6
函数极限
例3
数列 {( 1 )} : 1 , 1 , 1 , , ( 1 ),
18
函数极限
例:
y
1 设 y x
y
1 x
O
1
1 1 y 0，记 lim 0 . 当 x 时， x x x 1 1 y 1，记 lim 1. 当 x 1 时， x 1 x x 1 y ，极限不存在 x 0 时， x当 x 1 1 不存在； 或 lim . 记 lim x 0 x x 0 x
n n lim 2 不存在 ( 记 : l i m 2 ) 符号： n n
10
函数极限
4. 数列极限的定性描述
设有数 {x 列 xn无限趋近于 n}, 若当n无限增大时，
一个确定的常数A, 则称常数A为数列 { x n } 当n无限
增大时的极限，或称数列 { x n } 收敛于A.
1 任给 定 0 ,只要 有 x 1 成立 . n N ( [ ]) 时 , n
14
数列的极限
N定义 n N 时 , 0, N , 当
恒有 x n a 那末就称常数a是数列 x n 的极限(limit), 或称数列 x n 收敛于a. 记为 lim x ,或 x a( n ). n a n
当n无限增大时, x n 无限接近于1.
12
数列的极限
n 1 ( 1 ) 研 究{ 数 1 列} 当 n 时的变 .化 n 当n无限增大时, x n 无限接近于1.
“无限接近”
(1)n1 1 ( 1 ) 1 |x | 1 n n n
x 1可以要多么小就多么小,只要n充分大 n 1 小到什么要求. 则要看 x n
