华东理工大学概率论答案
【篇一：华东理工大学概率论答案-15,16】
选择题：
1. 设随机变量?密度函数为p(x)，则??3??1的密度函数p?(y)为（ a ）。
1y?1y?11y?1
) b、3p() c、p(3(y?1)) d、3p() a、p(
33333
2. 设随机变量?和?相互独立，其分布函数分别为f?(x) 与f?(y)，则 ?＝max(?,?) 的分布函数f?(z) 等于（ b ） a．max{f?(z),f?(z)}b. f?(z)f?(z)
1
c．[f?(z)?f?(z)] d. f?(z)?f?(z)?f?(z)f?(z)
2
二. 填空：
已知?～n(0,1),??? 三. 计算题
, 则?的概率密度为??(y)?
3y22?
e
?
y6
2
。
1. 已知随机变量?~u[0,2]，求???2的概率密度。
?p{?y???
解: f?(y)?p{??y}??
0?
2
y}y?0
?f?(y)?f?(?y)
??y?0?0
y?0y?0
?1
p(y)?p?(?y)?
故p?(y)??2y?
?0?
??
?1
y?0?
＝?4yy?0??0
0?y?4其他
2. 设随机变量x
求y?sin(
?
2
x)的概率分布。
x?4k?1
x?2k k?1,2,? x?4k?3
??1x??
解：由于sin()??0
2?1
?
故随机变量y的可能取值为：-1，0，1。随机变量y的p{y??1}??p{x?4k?1}?? k?1
k?1
??
124k?1
?
112??； 8115
?124
p{y?0}??p{x?2k}??
k?1
?
1111???； 2k
143k?12?122
?
?
p{y?1}??p{x?4k?3}??
k?1
k?1
?
124k?3
?
118??， 2115
于是随机变量y的分布律为：
3．设?~u(0,1) ，求? =?解：对应于? =?
ln?
ln?
的分布。
lnx
，
y?x?e
(lnx)2
?f(x) ，由于
f(x)?e
(lnx)2
1
?2lnx? 。
x
lny
当x?(0,1)时，
??1
x?f(y)?ef(x)?0 ，
lny
?1?
e??1
??(y)=??(x)|x?f?1(y)|(f(y))|??2ylny
?0?
其中当y?(??,1]时，
,y?(1,??)
,.其它y
??(y)
=0是由x?(0,1)时y?(1,??) 而导出的。
?1?
4. 设? 、?是两个相互独立且均服从正态分布n?0,?的随机变量，求 ?2?e(|???|)。
解: 由已知条件可得：???~n(0,1)，所以
e(|???|)??|x|?
??
??
e
x22
dx?
22?
??
xe
?
x22
dx??
22e
?
x22
??
?
2
?
5. 已知随机变量? 、?的概率分布分别为
?
?114
012
1
?
p{??yj}
012
1
p{??xi}
1412
而且p{???0}?1。
(1)求? 、?的联合概率分布；(2)问? 、?是否独立？ (3)
求??max(? ,?)的概率分布。
解: 由于p(???0)?1,可以得到p(???1,??1)?p(??1,??1)?0,从而 11
, p(???1,??0)?p(???1)?, 241
p(??1,??0)?p(??1)?, p(??0,??0)?p(??0)?p(??0,??1)?0,
4p(??0,??1)?p(??1)?
汇总到联合分布列,即
(2)由于p(??i,??j)?p(??i)?p(??j),故?,?不独立. (3)
p(??0)?p(???1,??0)?p(??0,??0)?
3 4
p(??1)?p(???1,??1)?p(??0,??1)?p(??1,??0)?p(??1,??1)?
6．设随机变量? 、?相互独立，其密度函数分别为
?10?x?1
p?(x)??,
0其他?求? ??的概率密度函数。
解:由?,?相互独立得联合密度函数为
?e?y
p?(y)??
?0
y?0
y?0
?e?y, 0?x?1,y?0,
p(x,y)??
?0, 其他,
密度函数中非零部分对应的(x,y)落在区域d中,利用卷积公式,
当z?1时,p?(z)?
?
1
e?(z?x)dx?(e?1)e?z,
当0?z?1时,p?(z)?当z?0时,p?(z)?0,
?
z
e?(z?x)dx?1?e?z,
?(e?1)e?z, z?1,??z
故 p?(z)??1?e,0?z?1,
?0, z?0. ?
7. 电子仪器由4个相互独立的部件li(i?1,2,3,4)组成，连接方式如图所示。设各个部件的使用寿命?i服从指数分布e(1)，求仪器使用寿命?的概率密度。
l1l3
l l
解:设各并联组的使用寿命为?j(j?1,2)，则
??min{?1,?2},?1?max{?1,?2},?2?max?{3,?4} 由?i独立同分布知?1,?2也独立同分布。现
?1?e?xf?(x)??
?0
