高中数学选修2-3：超几何分布(1)

2.2 超几何分布教学目标1．通过实例，理解超几何分布及其特点；2．通过对实例的分析，掌握超几何分布列及其导出过程，并能简单的应用．教学重点，难点:理解超几何分布的概念，超几何分布列的应用．教学过程一．问题情境1．情境：在产品质量管理中，常常通过抽样来分析合格品和不合格品的分布，进而分析产品质量．假定一批产品共件，其中有件不合格品，随机取出的件产品中，不合格品数的概率分布如何？2．问题：用怎样的数学模型刻画上述问题？二．学生活动以，，为例，研究抽取件产品中不合格品数的概率分布．三．建构数学从件产品中随机抽取件有种等可能基本事件．表示的随机事件是“取到件不合格品和件合格品”，依据分步计数原理有种基本事件，根据古典概型，．类似地，可以求得取其他值时对应的随机事件的概率，从而得到不合格品数的概率对一般情形，一批产品共件，其中有件不合格品，随机取出的件产品中，不合格品数的分布如下表所示：其中．一般地，若一个随机变量的分布列为，其中，，，，…，，，则称服从超几何分布，记为，并将记为．说明：（1）超几何分布的模型是不放回抽样；（2）超几何分布中的参数是，，．四．数学运用1．例题：例1．高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有个红球，个白球，这些球除颜色外完全相同．现一次从中摸出个球，（1）若摸到个红球个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率．（2）若至少摸到个红球就中奖，求中奖的概率．解：（1）若以个球为一批产品，其中红球为不合格产品，随机抽取个球，表示取到的红球数，则服从超几何分布．由公式得，所以获一等奖的概率约为．（2）根据题意，设随机变量表示“摸出红球的个数”，则服从超几何分布，的可能取值为，，，，，，根据公式可得至少摸到个红球的概率为：，故中奖的概率为．例2．生产方提供箱的一批产品，其中有箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取箱产品进行检测，若至多有箱不合格产品，便接收该批产品．问：该批产品被接收的概率是多少？解：以箱为一批产品，从中随机抽取箱，用表示“箱中不合格产品的箱数”，则服从超几何分布．这批产品被接收的条件是箱中没有不合格的箱或只有箱不合格，所以被接收的概率为，即．答：该批产品被接收的概率是（约为）．说明：（1）在超几何分布中，只要知道、和，就可以根据公式，求出取不同值时的概率，从而列出的分布列．（2）一旦掌握了的分布列，就可以算出相应试验的很多事件的概率，从而就完全掌握了该试验．思考：该批产品中出现不合格产品的概率是多少？例3．张彩票中只有张中奖票，今从中任取张，为了使这张彩票里至少有一张中奖的概率大于，至少为多少？解：设随机变量表示“抽出中奖票的张数”，则服从超几何分布，根据公式可得至少有一张中奖的概率，解得．答：至少为张．2．练习：课本第51页练习第1，2题．五．回顾小结：1．超几何分布的特点；2．超几何分布列的简单应用．六．课外作业：课本第52页习题2.2第4题．中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

高中几个重要的随机变量分布列一．超几何分布超几何分布是统计学上一种离散型随机变量的概率分布.它描述了由有限个物件中抽出n 个物件,成功抽出指定种类的物件的个数（不归还）的概率分布.我们所使用的人教版教材选修2-3中通过一个例题归纳超几何分布的。

我们再复习一下这个例题：例1．在含有 5 件次品的 100 件产品中，任取 3 件，试求： (1)取到的次品数X 的分布列； (2)至少取到1件次品的概率．解： (1)由于从 100 件产品中任取3 件的结果数为310C ，从100 件产品中任取3件，其中恰有k 件次品的结果数为3595k k C C -，那么从 100 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件次品的概率为35953100(),0,1,2,3k kC C P X k k C -===。

所以随机变量 X 的分布列是X123P035953100C C C125953100C C C 215953100C C C 305953100C C C(2)根据随机变量X 的分布列，可得至少取到 1 件次品的概率P ( X ≥1 ) = P ( X = 1 ) + P ( X = 2 ) + P ( X = 3 ) ≈0.138 06 + 0. 005 88 + 0. 00006 = 0. 144 00 .超几何分布的概念：一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X 件次品数，则事件 {X=k ｝发生的概率为(),0,1,2,,k n k M N MnNC C P X k k m C --=== ,其中m i n {,}m M n =，且,,,,n N M N n M N N*≤≤∈．称分布列 X1…mP 0nM N Mn NC C C - 11n M N Mn NC C C -- …m n m M N Mn NC C C --为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布. 关于这个概念我们要掌握：(1) 从含有次品的一批产品中不放回地抽出一定数量的样品，则其中所含的次品数X 是一个随机变量，它服从超几何分布;(2)当X k =时，概率计算公式(),0,1,2,,k n k M N MnNC C P X k k m C --=== 二．二项分布：1.独立重复试验的概率公式：一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率()(1)k k n kn n P k C p p -=-．它是[](1)np p -+展开式的第1k +项 3.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件发生的概率是P ，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是kn k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）． 于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ 01 … k … nPnn q p C 00111-n n q p C … kn k k n q p C - …q p C n n n由于kn k k n q p C -恰好是二项展开式011100)(q p C q p C q p C q p C p q n n n k n k k n n n n n n +++++=+--中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数.关于这个概念，我们重点掌握两点：(1)判断：在n 次独立重复试验中事件A （在一次试验中发生的概率为p ）发生的次数~(,)B n p ξ; (2)分布列求解：kn kkn n qp C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．例2．某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．解：依题意，随机变量ξ～B (2，5%)．所以，P (ξ=0)=02C (95%)2=0.9025，P (ξ=1)=12C (5%)(95%)=0.095，P (2=ξ)=22C (5%)2=0.0025．因此，次品数ξ的概率分布是ξ0 1 2P 0.9025 0.095 0.0025三．二项分布与超几何分布辨析1.二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决．在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的．下面举例进行对比辨析．例3.袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求：（1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列；（2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列．解：（1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1，2，3．又由于每次取到黑球的概率均为21105=，3次取球可以看成3次独立重复试验，则1~35X B⎛⎫⎪⎝⎭，．0331464(0)55125P X C⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴；12131448(1)55125P X C⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；21231412(2)55125P X C⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；3033141(3)55125P X C⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因此，X的分布列为X0 1 2 3P6412548125121251125（2）不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为０，1，2，且有：03283107(0)15C CP YC===；12283107(1)15C CP YC===；21283101(2)15C CP YC===．因此，Y的分布列为Y0 1 2P715715115辨析：通过此例可以看出：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型．因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的． 2.超几何分布与二项分布的区别与联系(1)判断方法：从含有次品的一批产品中不放回地抽出一定数量的样品，则其中所含的次品数ξ是一个随机变量，它服从超几何分布：在一次随机试验中某事件发生的概率为p ,在n 次独立重复实验中，该事件发生的次数ξ为一个随机变量，它服从以n ，p 为参数的二项分布，即~(,)B n p ξ。