高中数学 超几何分布参考教案1 北师大版选修23

2.1.3 超几何分布【教学目标】①理解超几何分布及其特点②通过超几何分布的推导过程，能加深对超几何分布对理解并会简单应用，求出简单随机变量的概率分布.【教学重点】对超几何分布的理解【教学难点】超几何分布的应用一、 课前预习问题1、一个班级有30名学生，其中有10名女生。

现从中任选3名学生当班委，令变量X 表示3名班委中女生的人数。

试求X 的概率分布。

问题2 设50件商品中有15件一等品，其余为二等品。

现从中随机选购2件，用X 表示所购2件中的一等品件数，写出X 的概率分布。

【归纳总结】：设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件)(N n ≤，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为==)(m X P 。

随机变量X 的分布列为：那么称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为n M N ,,的超几何分布.二、 课上学习例1、在含有5件次品的100件产品中，任取3件，试求：〔1〕取到的次品数X的分布列；〔2〕至少取到1件次品的概率.例2、某车间生产产品50件，其中5件次品,45件正品，今从这批产品中任意抽取2件，求抽到次品的概率。

例3、老师要从10首古诗中随机抽3首让学生背诵，规定至少要背出其中2首才能及格。

某同学只能背诵其中的6首。

试求：(1)抽到他能背诵的数量的分布表；(2)他能及格吗？及格的概率有多大？三、课后练习1.盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，〔1〕求抽出1个白球和2个红球的概率；〔2〕设其中含有白球的个数为X，求X的分布列.2.从一副不含大小王的52张扑克牌中任意抽出5张，求至少有3张A的概率。

§2 超几何分布●三维目标1．知识与技能(1)理解超几何分布及其推导过程．(2)能用超几何分布解决一些简单的实际问题．2．过程与方法通过具体实例，感受现实生活中的数学原型，经历概念的形成过程，体会概念的内涵．3．情感、态度与价值观体会数学来源于生活，也应该服务于生活，增强学习数学的兴趣．●重点难点重点：利用超几何分布求概率．难点：超几何分布的综合应用．教学时引导学生结合学习过的概率，通过例题与练习加深对超几何分布的理解，通过观察、比较、分析找出超几何分布的特点及概率求法，以强化重点，化解难点.(教师用书独具)●教学建议教学时通过例题让学生归纳总结超几何分布，通过独立自主和合作交流进一步理解超几何分布．●教学流程创设问题情境，提出问题．⇒通过引导学生回答问题，让学生掌握超几何分布．⇒通过例1及互动探究，掌握简单的超几何分布的分布列的求法⇒通过例2及变式训练掌握利用超几何模型．求相应事件的概率．⇒通过例3及变式训练掌握超几何分布的综合应用．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈、矫正.1．如何识别超几何分布？【提示】 超几何分布必须满足以下两条：(1)总数为N 件的物品只分为两类：M (M ≤N )件甲类(或次品)，其余的N －M 件为乙类(或正品)．(2)随机变量X 表示从N 件物品中任取n (n ≤N )件物品，其中所含甲类物品的件数． 2．在产品检验中超几何分布描述的是放回抽样还是不放回抽样？ 【提示】 不放回抽样．3．在超几何分布中，随机变量X 取值的最大值是M 吗？【提示】 不一定．当n ≥M 时，最大值为M ，当n <M 时，最大值为n . 1．超几何分布的概念一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC nN(其中k 为非负整数)． 如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布． 2．超几何分布的表格形式所选3人中女生人数为X ，求X 的分布列．【思路探究】 写出X 的可能取值―→ 求出每个X 对应的概率―→写出分布列【自主解答】 X 的所有可能取值为0,1,2，由题意得： P (X ＝0)＝C 34C 36＝15，P (X ＝1)＝C 24C 12C 36＝35，P (X ＝2)＝C 14C 22C 36＝15.∴X 的分布列为1．解答本题易出现P (X ＝k )算错或列表时X ＝k 与P (X ＝k )的位置不对应的错误． 2．求超几何分布的分布列，关键是求得P (X ＝k )的值，而求其值，就要先分清N ，M 和n 的值．本例中若所选3人中男生人数为X ，其他条件不变，求X 的分布列． 【解】 X 的所有可能取值为1,2,3，由题意得：P (X ＝1)＝C 14C 22C 36＝15，P (X ＝2)＝C 24C 12C 36＝35，P (X ＝3)＝C 34C 36＝15.∴X 的分布列为。

2.2超几何分布教学目标：1、理解理解超几何分布；2、了解超几何分布的应用． 教学重点：1、理解理解超几何分布；2、了解超几何分布的应用 教学过程一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量: 随机变量只能取有限个数值或可列无穷多个数值则称为离散随机变量，在高中阶段我们只研究随机变量取有限个数值的情形.3. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表4. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0≤≤A P ，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：⑴P i ≥0，i ＝1，2，…；⑵P 1+P 2+ (1)对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和即⋅⋅⋅+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ5.二、讲解新课：在产品质量的不放回抽检中，若N 件产品中有M 件次品，抽检n 件时所得次品数X=m则()m M m n N nMNC C P X m C --==.此时我们称随机变量X 服从超几何分布 1）超几何分布的模型是不放回抽样 2）超几何分布中的参数是M,N,n三、例子 例1．在一个口袋中装有30个球，其中有10个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.摸到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率是多少？ 解：由题意可见此问题归结为超几何分布模型由上述公式得411020530(4)0.029C C P X C ==≈ 例2.一批零件共100件，其中有5件次品.现在从中任取10件进行检查，求取道次品件数的分布列.课堂小节：本节课学习了超几何及其分布列 课堂练习： 课后作业：。

§2 超几何分布学习目标 重点难点1.通过实例，理解超几何分布及其特点．2．通过对实例的分析，掌握超几何分布的导出过程．3．能会用超几何分布解决简单的实际问题.重点：理解超几何分布的概念．难点：超几何分布列的应用.超几何分布一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品，从中任取n (n ≤N )件产品．用x 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (x ＝k )＝C k M C n －k N －MC n M(其中k 为非负整数)．如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称x 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布． 预习交流如何正确理解超几何分布？提示：(1)超几何分布是不放回的抽样；(2)超几何分布中各参数k ，n ，M ，N 的意义分别为：k 是取出的次品件数，n 是取出的产品数，M 是产品中的次品数，N 是产品总数．1．超几何分布的实例某班共50名学生，其中35名男生，15名女生，随机从中抽取5名同学参加学生代表大会，所抽取的5名学生代表中，求女生人数X 的分布列．思路分析：由题意知女生人数X 服从超几何分布，其中N ＝50，M ＝15，n ＝5.利用超几何分布的概率公式求解．解：从50名学生中随机抽取5人共有C 550种方法，没有女生的取法是C 015C 535，恰有1名女生的取法为C 115C 435，恰有2名女生的取法为C 215C 335，恰有3名女生的取法为C 315C 235，恰有4名女生的取法为C 415C 135，恰有5名女生的取法为C 515C 035.因此，抽取5名学生代表中，女生人数X X 0 1 2 3 4 5P C 015C 535C 550 C 115C 435C 550 C 215C 335C 550 C 315C 235C 550 C 415C 135C 550 C 515C 035C 550从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回地任取3件，求取得次品数X 的分布列．解：设随机变量x 表示取出次品的个数，则X 服从参数N ＝15，M ＝2，n ＝3的超几何分布． 它的可能的取值为0,1,2，相应的概率依次为：P (x ＝0)＝C 02C 313C 315＝2235，P (x ＝1)＝C 12C 213C 315＝1235，P (x ＝2)＝C 22C 113C 315＝135.所以X 的分布列为：X 0 1 2 P2235 1235 135应用超几何分布的概率公式求解，关键是透彻理解超几何分布的意义，即明确k ，n ，N ，M 的实际意义及所取的相应数值．2．超几何分布的实际应用从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测试．试求出选3名同学中，至少有一名女同学的概率．思路分析：由题目可知选出的女同学人数服从参数N ＝10，M ＝4，n ＝3的超几何分布，根据超几何分布概率公式直接求，也可用间接法求解．解：设选出的女同学人数为X ，则X 的可能取值为0,1,2,3，且X 服从参数为N ＝10，M ＝4，n ＝3的超几何分布，于是选出的3名同学中，至少有一名女同学的概率为：P (X ≥1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝C 14C 26C 310＋C 24C 16C 310＋C 34C 06C 310＝56或P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 04C 36C 310＝56.生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品，采购方接收该批产品的原则是：从该批产品中任取5箱产品进行检验，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品，问该批产品被接收的概率是多少？解：以50箱为一批产品，从中随机抽取5箱，用X 表示“5箱中的不合格产品的箱数”，则X 服从参数N ＝50，M ＝2，n ＝5的超几何分布，这批产品被接收的条件是任取的5箱中没有不合格或只有1箱不合格，所以被接收的概率为：P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 02C 548C 550＋C 12C 448C 550＝243245≈%. 所以该批产品被接收的概率是%.超几何分布是离散型随机变量的分布列中较常见的一种模型，要理解P (X ＝k )＝C k M Cn －k N －M Cn N(其中k 为非负整数)，先求出概率值，列出分布列，再求符合题意的概率．1．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X 表示取得次品的个数，则P (X ＜2)＝( )．A ．715B ．815C ．1415 D ．1 答案：C解析：由题意知X 取0,1,2且服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝3，n ＝2.即P (X ＜2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 03C 27C 210＋C 13C 17C 210＝715＋715＝1415.2．100张奖券中有4张有奖，从这100张奖券中任取2张，则2张都中奖的概率是( )．A ．150B ．125C ．1825D ．14 950 答案：C解析：由题意知中奖的奖券数X 可取0,1,2，服从超几何分布，N ＝100，M ＝4，n ＝2，∴2张都中奖的概率为P (X ＝2)＝C 24C 096C 2100＝1825.3．把X ，Y 两种遗传基因冷冻保存，若X 有30个单位，Y 有20个单位，且保存过程中有2个单位的基因失效，则X ，Y 两种基因各失效1个单位的概率是( )．A ．2449B ．125C ．130D ．1600答案：A解析：由题意知服从超几何分布，则X ，Y 两种基因各失效1个单位的概率为C 130C 120C 250＝2449.4．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选2台，其中两种型号都齐全的概率是__________．答案：35解析：由题意知服从超几何分布，其中两种型号都齐全的概率为C 13C 12C 25＝35.5．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n 张，为了使这n 张彩票里至少有一张中奖的概率大于，n 至少为多少？解：设随机变量X 表示“抽出中奖票的张数”，则X 服从超几何分布，其中N ＝50，M ＝2，X 可取0,1,2，∴P (X ≥1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 12C n －148C n 50＋C 22C n －248C n 50＞，解得n ≥15.∴n 至少为15时，至少有一张中奖的概率大于.。

§2超几何分布[对应学生用书P23]已知在8件产品中有3件次品，现从这8件产品中任取2件，用X 表示取得的次品数． 问题1：X 可能取哪些值？ 提示：0,1,2.问题2：“X ＝1”表示的试验结果是什么？P (X ＝1)的值呢？ 提示：任取2件产品中恰有1件次品．P (X ＝1)＝C 13C 15C 28.问题3：如何求P (X ＝k )？(k ＝0,1,2)提示：P (X ＝k )＝C k 3C 2－k 5C 28.超几何分布一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件是次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC nN(其中k 为非负整数)． 如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布．(1)超几何分布，实质上就是有总数为N 件的两类物品，其中一类有M (M ≤N )件，从所有物品中任取n 件，这n 件中所含这类物品的件数X 是一个离散型随机变量，它取值为k时的概率为P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC n N①(k ≤l ，l 是n 和M 中较小的一个)．(2)在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式①求出X 取不同值时的概率P ，从而写出X 的分布列．[对应学生用书P23][例1] 个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．现一次从中摸出5个球，若摸到4个红球1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率．[思路点拨] 若以30个球为一批产品，则球的总数30可与产品总数N 对应，红球数10可与产品中总的不合格产品数对应，一次从中摸出5个球，即n ＝5，这5个球中红球的个数X 是一个离散型随机变量，X 服从超几何分布．[精解详析] 若以30个球为一批产品，其中红球为不合格产品，随机抽取5个球，X 表示取到的红球数，则X 服从超几何分布．由公式得P (X ＝4)＝C 410C 5－420C 530＝70023751≈0.0295， 所以获一等奖的概率约为2.95%.[一点通] 解决此类问题的关键是先判断所给问题是否属于超几何分布问题，若是，则可直接利用公式求解，要注意M ，N ，n ，k 的取值．1．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则正好取到1件次品的概率是( ) A.2845 B.1645 C.1145D.1745解析：由题意10件产品中有2件次品，故所求概率为P ＝C 12C 18C 210＝1645.答案：B2．设10件产品中，有3件次品，现从中抽取5件，用X 表示抽得次品的件数，则X 服从参数为________(即定义中的N ，M ，n )的超几何分布．答案：10,3,53．从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测试．试求出选3名同学中，至少有一名女同学的概率．解：设选出的女同学人数为X ，则X 的可能取值为0,1,2,3，且X 服从参数为N ＝10，M ＝4，n ＝3的超几何分布，于是选出的3名同学中，至少有一名女同学的概率为：P (X ≥1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝C 14C 26C 310＋C 24C 16C 310＋C 34C 06C 310＝56或P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 04C 36C 310＝56.[例2] (10分)变量X 表示所选3人中女生的人数，求X 的分布列及P (X <2)．[思路点拨] 可以将8人看作8件“产品”，3名女生看作3件“次品”，任选3人中女生的人数可看作是任取3件“产品”中所含的“次品”数．[精解详析] 由题意分析可知，随机变量X 服从超几何分布．其中N ＝8，M ＝3，n ＝3，(2分)所以P (X ＝0)＝C 35C 03C 38＝528，P (X ＝1)＝C 25C 13C 38＝1528，P (X ＝2)＝C 15C 23C 38＝1556，P (X ＝3)＝C 05C 33C 38＝156. (8分)从而随机变量X 的分布列为X ＝k 0 1 2 3 P (X ＝k )52815281556156所以P (X <2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝528＋1528＝57.(10分)[一点通] 解答此类题目的关键在于先分析随机变量是否服从超几何分布，如果满足超几何分布的条件，则直接利用超几何分布概率公式来解．当然，本例也可通过古典概型解决．4．(重庆高考改编)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列．(注：若三个数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，则称b 为这三个数的中位数．)解：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为p ＝C 34＋C 33C 39＝584. (2)X 的所有可能值为1,2,3，且P (X ＝1)＝C 24C 15＋C 34C 39＝1742，P (X ＝2)＝C 13C 14C 12＋C 23C 16＋C 33C 39＝4384， P (X ＝3)＝C 22C 17C 39＝112，故X 的分布列为5．某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求其员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元．令X 表示此人选对A 饮料的杯数．假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．(1)求X 的分布列；(2)用Y 表示新录用员工的月工资，求Y 的分布列． 解：(1)X 的所有可能取值为0,1,2,3,4.P (X ＝k )＝C k 4C 4－k 4C 48(k ＝0,1,2,3,4)． 则X 的分布列为X ＝k 0 1 2 3 4 P (X ＝k )170167036701670170(2)令Y 表示新录用员工的月工资，则Y 的所有可能取值为2 100,2 800,3 500. 则P (Y ＝3 500)＝P (X ＝4)＝170， P (Y ＝2 800)＝P (X ＝3)＝835，P (Y ＝2 100)＝P (X ≤2)＝5370，则Y 的分布列为1．超几何分布描述的是不放回抽样问题，从形式上看超几何分布的模型，其产品有较明显的两部分组成．2．在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出随机变量X 取k 时的概率P (X ＝k )，从而列出随机变量X 的分布列．[对应课时跟踪训练(十)]1．一个小组有6人，任选2名代表，求其中甲当选的概率是( ) A.12 B.13 C.14D.15解析：设X 表示2名代表中有甲的个数，X 的可能取值为0,1， 由题意知X 服从超几何分布，其中参数为N ＝6，M ＝1，n ＝2，则P (X ＝1)＝C 11C 15C 26＝13.答案：B2．在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于( )A.27 B.38 C.37D.928解析：黑球的个数X 服从超几何分布，则至少摸到2个黑球的概率P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝C 23C 15C 38＋C 33C 05C 38＝27.答案：A3．某12人的兴趣小组中，有5名“三好生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X 表示这6人中“三好生”的人数，则C 35C 37C 612是表示的概率是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ＝3)C ．P (X ≤2)D ．P (X ≤3)解析：6人中“三好生”的人数X 服从超几何分布，其中参数为N ＝12，M ＝5，n ＝6，所以P (X ＝3)＝C 35C 37C 612.答案：B4．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张A 的概率为( )A.C 34C 248C 552B.C 348C 24C 552C ．1－C 148C 44C 552D.C 34C 248＋C 44C 148C 552解析：设X 为抽出的5张扑克牌中含A 的张数．则P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝C 34C 248C 552＋C 44C 148C 552.答案：D5．某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为________．解析：至少有1名女生当选包括1男1女，2女两种情况，概率为C 13C 17＋C 23C 210＝815. 答案：8156．知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，小张抽4题，则小张抽到选择题至少2道的概率为________．解析：由题意知小张抽到选择题数X 服从超几何分布(N ＝10，M ＝6，n ＝4)， 小张抽到选择题至少2道的概率为：P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝C 26C 24C 410＋C 36C 14C 410＋C 46C 04C 410＝3742.答案：37427．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，求X 的分布列．解：由题意知，旧球个数X 的所有可能取值为3,4,5,6.则P (X ＝3)＝C 33C 312＝1220，P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220，P (X ＝5)＝C 29C 13C 312＝108220＝2755，P (X ＝6)＝C 39C 312＝84220＝2155.所以X 的分布列为8．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X 的分布列． (2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张． ①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值Y 元，求Y 的分布列．解：(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X 的取值只有0和1两种情况． P (X ＝1)＝C 14C 110＝410＝25，则P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)＝1－25＝35.因此X 的分布列为(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．故所求概率P ＝C 14C 16＋C 24C 06C 210＝3045＝23. ②Y 的所有可能取值为0,10,20,50,60，且P (Y ＝0)＝C 04C 26C 210＝1545＝13，P (Y ＝10)＝C 13C 16C 210＝1845＝25，P (Y ＝20)＝C 23C 06C 210＝345＝115，P (Y ＝50)＝C 11C 16C 210＝645＝215，P (Y ＝60)＝C 11C 13C 210＝345＝115.因此随机变量Y 的分布列为Y ＝k 0 10 20 50 60 P (Y ＝k )1325115215115。

超几何分布-北师大版选修2-3教案一、知识背景超几何分布（hypergeometric distribution）是离散随机变量的一种，描述从有限个物品中抽出固定数量的物品，其中有指定种类的物品数量的概率分布。

它在统计学中有广泛的应用，例如在品质控制中，抽检商品的次数以及在实验设计中选定目标人群的样本数量。

二、教学目标•理解超几何分布的概念、特点、条件和性质；•掌握超几何分布的基本计算方法和公式应用；•能够解答超几何分布的实际问题，如品质控制的样本检测等；•培养学生的逻辑思维能力和应用数学知识解决实际问题的能力。

三、教学内容1. 超几何分布的概念和特点超几何分布指从总数为N（不放回）的物品中，其中有m个种类的物品共k 个，随机抽取n个物品，其中有m0个种类的物品的个数X的分布律，用H(n, m, k)表示。

因此，超几何分布的性质为：•该分布实验不满足独立性；•分布变量的取值只能是非负整数；•总体中有k个成功物品，n个样本，成为超几何分布的参数。

2. 超几何分布的计算方法和公式超几何分布的概率函数公式为：其中，C表示组合数。

3. 超几何分布的应用品质控制中，经常需要检验样本是否达到质量标准。

对于超过某个标准值的样本，则认为该样本不符合质量要求。

超几何分布在此类问题中应用广泛。

四、教学方法•讲授法：通过讲解概念、公式和解题方法，让学生掌握超几何分布的知识；•举例法：通过实际问题，让学生在操作中掌握超几何分布的应用方法；•配套练习：在课堂上或课后布置超几何分布的练习题，检验学生掌握程度。

五、教学内容安排第一课时•教学内容：超几何分布的概念和特点；•教学重点：超几何分布的性质；•教学难点：掌握超几何分布的条件。

第二课时•教学内容：超几何分布的计算方法和公式；•教学重点：掌握超几何分布的公式和应用；•教学难点：掌握超几何分布的计算方法。

第三课时•教学内容：超几何分布的应用；•教学重点：学习超几何分布在品质控制中的应用；•教学难点：掌握超几何分布在实际问题中的运用。

2.2 超几何分布教学目标1．通过实例，理解超几何分布及其特点；2．通过对实例的分析，掌握超几何分布列及其导出过程，并能简单的应用． 教学重点，难点:理解超几何分布的概念，超几何分布列的应用． 教学过程 一．问题情境 1．情境：在产品质量管理中，常常通过抽样来分析合格品和不合格品的分布，进而分析产品 质量．假定一批产品共N 件，其中有M 件不合格品，随机取出的n 件产品中，不合格品数X 的概率分布如何？2．问题：用怎样的数学模型刻画上述问题？ 二．学生活动以100N =，5M =，10n =为例，研究抽取10件产品中不合格品数X 的概率分布． 三．建构数学从100件产品中随机抽取10件有10100C 种等可能基本事件．{}2X =表示的随机事件是“取到2件不合格品和8件合格品”，依据分步计数原理有28595C C 种基本事件，根据古典概型， 2859510100(2)C C P X C ==． 类似地，可以求得X 取其他值时对应的随机事件的概率，从而得到不合格品数X 的对一般情形，一批产品共件，其中有件不合格品，随机取出的件产品中，不合格品数X 的分布如下表所示：其中min(,)l n M =．一般地，若一个随机变量X 的分布列为()r n r M N MnNC C P X r C --==， 其中0r =，1，2，3，…，l ，min(,)l n M =，则称X 服从超几何分布，记为(,,)XH n M N ，并将()r n r M N MnNC C P X r C --==记为(;,,)H r n M N ． 说明：（1）超几何分布的模型是不放回抽样； （2）超几何分布中的参数是M ，N ，n ． 四．数学运用 1．例题：例1．高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．现一次从中摸出5个球，（1）若摸到4个红球1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率． （2）若至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率．解：（1）若以30个球为一批产品，其中红球为不合格产品，随机抽取5个球，X 表示取到的红球数，则X 服从超几何分布(5,10,30)H ．由公式得4541020530700(4;5,10,30)0.029523751C C H C -==≈， 所以获一等奖的概率约为2.95%．（2）根据题意，设随机变量X 表示“摸出红球的个数”，则X 服从超几何分布(5,10,30)H ，X 的可能取值为0，1，2，3，4，5，根据公式可得至少摸到3个红球的概率为：324150102010201020555303030(3)(3)(4)(5)0.1912C C C C C C P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++≈， 故中奖的概率为0.1912．例2．生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品．问：该批产品被接收的概率是多少？解：以50箱为一批产品，从中随机抽取5箱，用X 表示“5箱中不合格产品的箱数”，则X 服从超几何分布(5,2,50)H ．这批产品被接收的条件是5箱中没有不合格的箱或只有1箱不 合格，所以被接收的概率为(1)P X ≤，即0514248248555050243(1)245C C C C P X C C ≤=+=． 答：该批产品被接收的概率是243245（约为0.99184）．说明：（1）在超几何分布中，只要知道N 、M 和n ，就可以根据公式，求出X 取不同m 值时的概率()P X m =，从而列出X 的分布列．（2）一旦掌握了X 的分布列，就可以算出相应试验的很多事件的概率，从而就完全掌握了该试验．思考：该批产品中出现不合格产品的概率是多少？例3．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n 张，为了使这n 张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n 至少为多少？解：设随机变量X表示“抽出中奖票的张数”，则X服从超几何分布(,2,50)H n，根据公式可得至少有一张中奖的概率11222482485050(1)0.5n nn nC C C CP XC C--≥=+>，解得15n≥．答：n至少为15张．2．练习：课本第51页练习第1，2题．五．回顾小结：1．超几何分布的特点；2．超几何分布列的简单应用．六．课外作业：课本第52页习题2.2第4题．。

超几何分布与二项分布数学组冯媛媛【教学目标】1了解超几何分布与二项分布的概率模型2掌握超几何分布与二项分布的概率模型的区别【教学重点】超几何分布与二项分布的应用【教学难点】超几何分布与二项分布的概率模型的区别【课前预习根底导学】超几何分布：在产品质量的不放回抽检中，假设N件产品中有M件次品，抽检n件时所得次品数X= 那么,N,n上述超几何分布记作X~Hn，M，N。

二项分布：二项分布应满足独立重复试验：①每一次试验中只有两种结果〔要么发生，要么不发生〕②任何一次试验中发生的概率P都一样③每次试验间是相互独立的互不影响的n次独立重复试验中发生次的概率是上述二项分布记作【典题剖析领悟新知】超几何分布与二项分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决．在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的．袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求：〔1〕有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列；〔2〕不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列；解：〔1〕有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1，2，3．又由于每次取到黑球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，那么〔2〕不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为０，1，2，且有：辨析：通过此例可以看出：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样时，取出一个那么总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型．因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的．【合作探究一】某人参加一次英语考试，在备选题的10道试题中能答出其中的4道题，规定每次考试从备选题中随机抽取3题进行测试，求答对题数的分布列及数学期望？解：由题意得，，，服从参数为,,的超几何分布故的分布列点评：这是一道超几何分布的题目，学生在做的时候容易把它看到是二项分布问题，把事件发生的概率看做是。

高二年级数学学科导教案
课题：超几何分布列学案（第2讲）
【教学目标】
1、通过实例，理解超几何分布及其特点；
2、掌握超几何分布列及其导出过程；
3、通过对实例的分析，会进行简单的应 【教学重点】
超几何分布的理解；分布列的推导
【教学难点】
具体应用
【教学方法】多媒体教学
【教学课时】2课时
■ 【教学流程】
一、课前预习指导：复习引入
1、随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示
2. 离散型随机变量: 随机变量 只能取有限个数值
或可列无穷多个数值 则称 为离散随机变量，在高中阶段我们只研究随机变量 取有限个数值的情形.
3. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…， ξ取每一个值x i （i=1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表
ξ
x 1 x 2 … x i … P P 1 P 2 … P i …
为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列
4. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0≤≤A P ，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随备注：。

§超几何分布已知在件产品中有件次品，现从这件产品中任取件，用表示取得的次品数．问题：可能取哪些值？提示：.问题：“＝”表示的试验结果是什么？(＝)的值呢？提示：任取件产品中恰有件次品．(＝)＝.问题：如何求(＝)？(＝)提示：(＝)＝.超几何分布一般地，设有件产品，其中有(≤)件是次品．从中任取(≤)件产品，用表示取出的件产品中次品的件数，那么(＝)＝(其中为非负整数)．如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称服从参数为，，的超几何分布．()超几何分布，实质上就是有总数为件的两类物品，其中一类有(≤)件，从所有物品中任取件，这件中所含这类物品的件数是一个离散型随机变量，它取值为时的概率为(＝)＝①(≤，是和中较小的一个)．()在超几何分布中，只要知道，和，就可以根据公式①求出取不同值时的概率，从而写出的分布列．[例]高三()除颜色外完全相同．现一次从中摸出个球，若摸到个红球个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率．[思路点拨]若以个球为一批产品，则球的总数可与产品总数对应，红球数可与产品中总的不合格产品数对应，一次从中摸出个球，即＝，这个球中红球的个数是一个离散型随机变量，服从超几何分布．[精解详析]若以个球为一批产品，其中红球为不合格产品，随机抽取个球，表示取到的红球数，则服从超几何分布．由公式得(＝)＝＝≈，所以获一等奖的概率约为.[一点通]解决此类问题的关键是先判断所给问题是否属于超几何分布问题，若是，则可直接利用公式求解，要注意，，，的取值．．一批产品共件，次品率为，从中任取件，则正好取到件次品的概率是( )解析：由题意件产品中有件次品，故所求概率为＝＝.答案：．设件产品中，有件次品，现从中抽取件，用表示抽得次品的件数，则服从参数为(即定义中的，，)的超几何分布．答案：．从名男同学和名女同学中随机选出名同学参加一项竞技测试．试求出选名同学中，至少有一名女同学的概率．解：设选出的女同学人数为，则的可能取值为，且服从参数为＝，＝，＝的超几何分布，于是选出的名同学中，至少有一名女同学的概率为：(≥)＝(＝)＋(＝)＋(＝)＝＋＋＝或(≥)＝－(＝)＝－＝.[例](分)人中女生的人数，求的分布列及(<)．[思路点拨]可以将人看作件“产品”，名女生看作件“次品”，任选人中女生的人数可看作是任取件“产品”中所含的“次品”数．[精解详析]由题意分析可知，随机变量服从超几何分布．其中＝，＝，＝，(分)。

高中数学第二章概率2超几何分布教学案北师大版选修2_3已知在82件，用X表示取得的次品数．问题1：X可能取哪些值？提示：0,1,2.问题2：“X＝1”表示的试验结果是什么？P(X＝1)的值呢？提示：任取2件产品中恰有1件次品．P(X＝1)＝.问题3：如何求P(X＝k)？(k＝0,1,2)提示：P(X＝k)＝.超几何分布一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件是次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝(其中k为非负整数)．如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为N，M，n的超几何分布．(1)超几何分布，实质上就是有总数为N件的两类物品，其中一类有M(M≤N)件，从所有物品中任取n件，这n件中所含这类物品的件数X是一个离散型随机变量，它取值为k时的概率为P(X＝k)＝①(k≤l，l是n和M中较小的一个)．(2)在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式①求出X取不同值时的概率P，从而写出X的分布列．[例装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．现一次从中摸出5个球，若摸到4个红球1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率．[思路点拨] 若以30个球为一批产品，则球的总数30可与产品总数N对应，红球数10可与产品中总的不合格产品数对应，一次从中摸出5个球，即n＝5，这5个球中红球的个数X是一个离散型随机变量，X服从超几何分布．[精解详析] 若以30个球为一批产品，其中红球为不合格产品，随机抽取5个球，X表示取到的红球数，则X服从超几何分布．由公式得P(X＝4)＝＝≈0.0295，所以获一等奖的概率约为2.95%.[一点通] 解决此类问题的关键是先判断所给问题是否属于超几何分布问题，若是，则可直接利用公式求解，要注意M，N，n，k 的取值．1．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则正好取到1件次品的概率是( )A.B.1645C.D.1745解析：由题意10件产品中有2件次品，故所求概率为P＝＝.。

§2 超几何分布自主整理一般地，设有N 件产品，其中有M(M≤N)件次品.从中任取n(n≤N)件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的个数，那么P(X=k)=______________(其中k 为非负整数). 如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X 服从参数为______________的超几何分布.高手笔记1.超几何分布，实质上就是有总数为N 件的两类物品，其中一类有M(M≤N)件，从所有物品中任取n 件，这n 件中所含这类物品的件数X 是一个离散型随机变量，它取值为k 时的概率为P(X=k)=nNkn MN k m C C C --①(k≤l，l 是n 和M 中较小的一个). 2.在超几何分布中，只要知道N 、M 和n ，就可以根据公式①求出X 取不同值时的概率P ，从而列出X 的分布列. 名师解惑1.如何判断随机变量X 是否服从超几何分布？ 剖析：判断超几何分布时必须满足以下两条： (1)总数为N 件的物品只分为两类：M(M≤N)件甲类(或次品)，其余的N-M 件为乙类(或正品). (2)随机变量X 表示从N 件物品中任取n(n≤N)件物品，其中所含甲类物品的件数.2.当随机变量X 服从参数为N 、M 、n(M≤N，n≤N)的超几何分布时，X 的所有可能取值有哪些？剖析：当N-M≥n 时，X 的所有可能取值为：0,1,2，…，l(l 为M 与n 中较小的一个)，例如(1)从10件产品(含有4件次品)中取3件，其中含有的次品数X 的所有可能取值为0，1,2，3.(2)从10件产品(含有2件次品)中取3件，其中含有的次品数X 的所有可能取值为0，1,2. 当N-M<n 时，X 的所有可能取值为n+M-N ，n+M-N+1，n+M-N+2，…，l(l 为M 与n 中较小的一个). 例如：(1)从10件产品(含8件次品)中取4件，其中含有的次品数X 的所有可能取值为2,3，4.(2)从10件产品(含5件次品)中取8件，其中含有的次品数X 的所有可能取值为3,4，5. 讲练互动【例1】从含有5件次品的100件产品中，任取3件，试求： (1)取到的次品件数X 的分布列； (2)至少取到1件次品的概率. 分析：根据题意，取到的次品件数X 为离散型随机变量，且X 服从参数为N=100，M=5，n=3的超几何分布.解：(1)∵X 服从参数为N=100，M=5，n=3的超几何分布，它的可能取值为0，1,2，3，由公式P(X=k)=nNk n MN k M C C C --(其中k 为非负整数)，可得随机变量X 的分布列为：(2)根据随机变量X 的分布列，可得至少取到1件次品的概率为：P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)≈0.138 06+0.005 88+0.000 06=0.144 00. 故至少取到1件次品的概率约为0.144 00.绿色通道:准确找出随机变量X 的取值，是解决此类问题的关键. 变式训练1．从5名男生和3名女生中任选3人参加奥数训练，设随机变量X 表示所选3人中女生的人数.(1)求X 的分布列；(2)求“所选3人中女生人数X>1”的概率.解：(1)X 可能取的值为0，1,2，3，P(X=k)=38353C C C kk -∙，k=0,1，2,3.(2)由(1)，“所选3人中女生人数X>1”的概率为 P(X>1)=P(X=2)+P(X=3)=725615615=+. 【例2】在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率.分析：由题意知，摸到红球个数X 为离散型随机变量，且X 服从参数为N=30，M=10，n=5的超几何分布.解：∵X 服从超几何分布，且X 的可能取值为0，1,2，3,4，5，则至少摸到3个红球的概率为：P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=5300205105301204105302203103C C C C C C C C ++≈0.191 2. 故中奖的概率约为0.191 2.绿色通道:由超几何分布的概念、公式以及上述两例我们知道：第一，当研究的事物涉及二维离散型随机变量(比如：次品、两类颜色等问题)时的概率分布可视为一个超几何分布；第二，在超几何分布中，只要知道参数N 、M 、n 就可以根据公式求出X 取不同值时的概率，进而列出X 的分布列. 变式训练2.从一批有13个正品和2个次品的产品中任意取3个，求抽得次品数X 的分布列，并求P(21≤X≤25). 分析：先弄清楚随机变量X 的取值，符合超几何分布，运用超几何分布的概率计算. 解：X 的可能取值为0，1,2.P(X=0)=3522315313=C C ，P(X=1)=351231521312=C C C ， P(X=2)=.35131511322=C C CP(2≤X≤2)=P(X=1)+P(X=2)=35.【例3】某商场庆“五一”举行促销活动，活动期间凡在商场购物满88元的顾客，凭发票都有一次摸奖机会，摸奖规则如下：准备了10个相同的球，其中有5个球上印有“奖”字，另外5个球上无任何标志，摸奖前在盒子里摇匀，然后由摸奖者随机地从中摸出5个球，奖品按摸出的球中含有带“奖”字球个数规定如下表：(1)若某人凭发票摸奖一次，求中奖的概率；(2)若某人凭发票摸奖一次，求奖品为自行车的概率.分析：可以将10个球看作10件“产品”，5个印有“奖”字的球可以看作5件“次品”，任意取5个球中印有“奖”字的球数可以看作是任取5件“产品”中所含“次品”数. 解：(1)设X 为摸取5个球中印有“奖”字的球的个数，则X 服从参数为N=10，M=5，n=5的超几何分布.X 的可能取值为0，1,2，3,4，5，则X 的分布列为：P(X=k)=510555C C C kk -(k=0,1，2,3，4,5)， 若要获得奖品，只需X≥2，则P(X≥2)=1-P(X<2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-.12611351045155105505=-C C C C C C (2)若要获得自行车，必须X=5，则P(X=5)=2521510555=C C C . 绿色通道:由上面的计算可以看出，顾客获得奖品的概率为126113≈0.896 8，希望很大.但获得自行车的概率为2521≈0.004 0，希望不大.. 变式训练3．已知某社区的10位选民代表中有5位支持候选人A ，现随机采访他们中间的4位，求其中至少有2名支持候选人A 的概率.解：P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-.423141035154104505=-C C C C C C 教材链接［P 40思考交流］下列随机变量X 是否服从超几何分布，如果服从，那么各分布的参数分别是多少？(1)一个班级共有45名同学，其中女生20人，现从中任选7人，其中女生的人数为X ； (2)从一副扑克牌(去掉大、小王，共52张)中取出n 张牌，取出的黑桃的张数为X. 答：(1)X 服从参数为N=45，M=20，n=7的超几何分布. (2)X 服从参数为N=52，M=13，n(n≤52)的超几何分布.。

2 超几何分布学习目标 1.理解超几何分布的概念.2.掌握超几何分布的公式．知识点超几何分布已知在10名学生中，有4名男生，现任选3人，用X表示选到的男生的人数．思考1 X可能取哪些值？思考2 “X＝2”表示的试验结果是什么？P(X＝2)的值呢？思考3 如何求P(X＝k)(k＝0,1,2,3)?梳理超几何分步一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝__________________(其中k为非负整数)．如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为____________的超几何分布．特别提醒：(1)超几何分布，实质上就是有总数为N的两类物品，其中一类有M(M≤N)件，从所有物品中任取n件，则这n件中所含这类物品的件数X是一个离散型随机变量，它取值为k时的概率为P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N(k≤l，l是n和M中较小的一个)．(2)在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据超几何分布的公式求出X取不同值时的概率P，从而写出X的分布列．类型一超几何分布概念的理解例1 从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，求取得次品数ξ的分布列，并求至少取得一件次品的概率．反思与感悟解决此类问题的关键是判断所给问题是否属于超几何分布问题，而求其分布列的关键是求得P(ξ＝k)的组合关系式．跟踪训练1 高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．现一次从中摸出5个球，若摸到4个红球1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率．类型二求超几何分布的分布列例2 某大学志愿者协会有6名男同学、4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列．反思与感悟解答此类题目的关键在于先分析随机变量是否服从超几何分布，如果满足超几何分布的条件，则直接利用超几何分布概率公式求解．当然，此类题目也可通过古典概型解决．跟踪训练2 端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列．类型三超几何分布的应用例3 50张彩票中只有2张有奖，今从中任取n张，为了使这n张彩票中至少有一张中奖的概率大于0.5，则n至少为多少？反思与感悟 利用超几何分布的知识可以解决与概率有关的问题，其关键是将实际问题转化为超几何分布的模型．在利用超几何分布的模型时，将实际问题与超几何分布的模型进行比较，认清实质，把问题涉及的对象转化为“产品”“次品”进行分析．跟踪训练3 生产方提供一批50箱的产品，其中有2箱不合格．采购方接收该批产品的条件是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品，则该批产品被接收的概率是多少？1．下列随机事件中的随机变量X 服从超几何分布的是( ) A ．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数为XB ．从7名男生、3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为XC ．某射手的命中概率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为XD ．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，X 是首次摸出黑球时的已摸次数2．在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X 表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X 服从超几何分布，其参数为( ) A ．N ＝15，M ＝7，n ＝10 B ．N ＝15，M ＝10，n ＝7 C ．N ＝22，M ＝10，n ＝7 D ．N ＝22，M ＝7，n ＝103．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则正好取到1件次品的概率是( ) A.2845 B.1645 C.1145 D.17454．设袋中有80个红球、20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为( )A.C 480C 610C 10100 B.C 680C 410C 10100 C.C 480C 620C 10100D.C 680C 420C 101005．从5名男生和3名女生中任选3人参加奥运会火炬接力活动．若随机变量X 表示所选3人中女生的人数，求X 的分布列及P (X <2)．1．超几何分布描述的是不放回抽样问题，从形式上看超几何分布的模型，其产品由较明显的两部分组成．2．在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出随机变量X 取k 时的概率P (X ＝k )，从而列出随机变量X 的分布列．答案精析问题导学 知识点思考1 0,1,2,3.思考2 任选3人中恰有2人为男生， P (X ＝2)＝C 24C 16C 310.思考3 P (X ＝k )＝C k 4C 3－k6C 310.梳理 C k M C n －kN －MC n N N ，M ，n题型探究例1 解 依题意得，ξ服从超几何分布，其中N ＝15，M ＝2，n ＝3. ξ的可能取值为0,1,2，相应的概率依次为 P (ξ＝0)＝C 02C 313C 315＝2235，P (ξ＝1)＝C 12C 213C 315＝1235，P (ξ＝2)＝C 22C 113C 315＝135.所以ξ的分布列为故至少取得一件次品的概率为P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＝1235＋135＝1335.跟踪训练1 解 若以30个球为一批产品，其中红球为不合格产品，随机抽取5个球，X 表示取到的红球数，则X 服从超几何分步． 由公式得P (X ＝4)＝C 410C 5－420C 530＝1003 393≈0.029 5，所以获一等奖的概率约为2.95%.例 2 解 (1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则P (A )＝C 13·C 27＋C 03·C 37C 310＝4960，所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3. P (X ＝k )＝C k 4·C 3－k6C 310(k ＝0,1,2,3)， P (X ＝0)＝C 04C 36C 310＝16，P (X ＝1)＝C 14C 26C 310＝12，P (X ＝2)＝C 24C 16C 310＝310，P (X ＝3)＝C 34C 06C 310＝130，其分布列为跟踪训练2 解 (1)设A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P (A )＝C 12C 13C 15C 310＝14.(2)X 的所有可能值为0,1,2，且 P (X ＝0)＝C 38C 310＝715，P (X ＝1)＝C 12C 28C 310＝715，P (X ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.综上可知，X 的分布列为例3 解 设随机变量X 表示“抽出中奖彩票的张数”，则X 服从参数为N ＝50，M ＝2，n 的超几何分布，可得至少有一张中奖的概率为P (X ≥1)＝C 12C n －148C n 50＋C 22C n －248C n 50>0.5，又n ∈N ＋，且n ≤50，解得n ≥15.所以n 至少为15.跟踪训练3 解 从50箱产品中随机抽取5箱，用X 表示“5箱中不合格产品的箱数”，则X 服从参数为N ＝50，M ＝2，n ＝5的超几何分布．这批产品被接收的条件是5箱全合格或只有1箱不合格，所以被接收的概率为P (X ≤1)＝C 02C 548C 550＋C 12C 448C 550＝243245.所以该批产品被接收的概率为243245.当堂训练1．B 2.A 3.B 4.D5．解 由题意分析可知，随机变量X 服从超几何分布，其中N ＝8，M ＝3，n ＝3. 随机变量X 的可能取值为0,1,2,3.所以P (X ＝0)＝C 35C 03C 38＝528，P (X ＝1)＝C 25C 13C 38＝1528，P (X ＝2)＝C 15C 23C 38＝1556，P (X ＝3)＝C 05C 33C 38＝156.故随机变量X 的分布列为所以P (X <2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝28＋28＝7.。