辅助角公式——精选推荐

辅助⾓公式

前⾔\require{AMScd} \begin{CD} f(x)=\sin x[正弦]\quad@>{a\cdot\sin x+b\cdot\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\phi)[化⼀法]}>>\quad y=A\sin(\omega x+\phi)+k[正弦

型] \end{CD}

辅助⾓公式在三⾓变换中的⾓⾊太重要了。三⾓变换中的许多变形都要由这个公式来完成最终的华丽转⾝，摇⾝⼀变为正弦型f(x)=A\sin(\omegax+\phi)+k或余弦型g(x)=A\cos(\omega x+\phi)+k，从⽽完成求周期，求值域、求单调性，求对称性，求奇偶性等等的解题要求。

辅助⾓公式

变形前的模样：3\sin x+4\cos x；\sin x+\cos x；\cfrac{\sqrt{3}}{2}sin\theta\pm\cfrac{1}{2}cos\theta；\sqrt{3}sin\theta\pm cos\theta；

抽象后的模样：a\sin\theta+b\cos\theta，其中系数a,b\in R；⼀般情形下a\neq 0，b\neq 0，

常⽤变形依据：\sin\alpha\cdot\cos\beta+\cos\alpha\cdot\sin\beta=\sin(\alpha+\beta)[此处是逆向使⽤公式；化为正弦型，不容易出错]

\cos\alpha\cdot\cos\beta+\sin\alpha\cdot\sin\beta=\cos(\alpha-\beta)[此处是逆向使⽤公式；化为余弦型，很容易出错]

具体变形过程：a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\left(\cfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin\theta+\cfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos\theta\right)

=\sqrt{a^2+b^2}(\cos\phi\cdot \sin\theta+\sin\phi\cdot \cos\theta)

=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\phi)

备注：其中辅助⾓ \phi 满⾜条件 tan\phi=\cfrac{b}{a}，由于有辅助⾓ \phi 的参与，使得原来的两种三⾓函数 \sin\theta 和 \cos\theta 的线性表⽰就可以转

化为⼀种三⾓函数[正弦或者余弦]，所以这个公式好多⼈就随⼝称之为辅助⾓公式，也有⼈称为化⼀公式。此处针对辅助⾓ \phi 主要强调其存在性⽽不是唯⼀

性，⽐如上述变形的结果 \sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\phi) ，也可以等价写成\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+2k\pi+\phi)，k\in Z，由于辅助⾓ \phi 主要强调其存在性

⽽不是唯⼀性，由最简原则可知，我们令 k=0 ，即得到结果 \sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\phi)，

在实际学习过程中，我们更多的是利⽤特殊值来简化辅助⾓公式的使⽤，⽐如\cfrac{1+\sqrt{3}}{2}\sin\theta+\cfrac{3+\sqrt{3}}{2}\cos\theta=\cfrac{1+\sqrt{3}}{2}(\sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta)=(\sqrt{3}+1)\sin(\theta+\cfrac{\pi}{3})

在教学实践中，在使⽤辅助⾓公式之前，往往多见先使⽤下述的三⾓变换[⾮常⾼频的使⽤]；

⼆倍⾓正弦公式的逆⽤：2\sin\theta cos\theta=\sin2\theta；

⼆倍⾓余弦公式的逆⽤：2\cos^2\theta-1=1-2\sin^2\theta=\cos2\theta；

然后将⼆者的结果的线性表⽰a\sin2\theta+b\cos2\theta，a，b是其相关的实数系数，再利⽤辅助⾓公式化⼀即可；

若题⽬中出现\sin(2x+\cfrac{\pi}{3})+\cos(2x+\cfrac{\pi}{3})，往往是将2x+\cfrac{\pi}{3}看做⼀个整体来变形[此时同时考查三⾓变换和整体思想]，⽐如➊ \sin(2x+\cfrac{\pi}{3})+\cos(2x+\cfrac{\pi}{3})=\sqrt{2}[\sin(2x+\cfrac{\pi}{3})\cdot \cfrac{\sqrt{2}}{2}+\cos(2x+\cfrac{\pi}{3})\cdot \cfrac{\sqrt{2}}{2}]

=\sqrt{2}\sin[(2x+\cfrac{\pi}{3})+\cfrac{\pi}{4}]=\sqrt{2}\sin(2x+\cfrac{7\pi}{12})=\sqrt{2}\cos(2x+\cfrac{\pi}{12})

➋ f(x)=\sin(2x-\theta+\cfrac{\pi}{6})-\sqrt{3}\cos(2x-\theta+\cfrac{\pi}{6})

=2\sin(2x-\theta+\cfrac{\pi}{6}-\cfrac{\pi}{3})=2\sin(2x-\theta-\cfrac{\pi}{6})；

注意：形如\sin(x+\cfrac{\theta}{2})\cdot\cos(x+\cfrac{\theta}{2})的结构，不是使⽤辅助⾓公式作变形，原因是其不符合使⽤条件；\sin(x+\cfrac{\theta}{2})\cdot\cos(x+\cfrac{\theta}{2})=\cfrac{1}{2}\sin(2x+\theta)，

⾼频变形

下述的三⾓变换在教学实践和各类考试中出现的频次很⾼，需要我们烂熟于⼼：➊sin\theta\pm cos\theta=\sqrt{2}sin(\theta\pm\cfrac{\pi}{4})

➋\sqrt{2}sin\theta\pm \sqrt{2}cos\theta=2sin(\theta\pm\cfrac{\pi}{4})

➌\cfrac{\sqrt{3}}{2}sin\theta\pm\cfrac{1}{2}cos\theta=sin(\theta\pm\cfrac{\pi}{6})

➍\cfrac{1}{2}sin\theta\pm\cfrac{\sqrt{3}}{2}cos\theta=sin(\theta\pm\cfrac{\pi}{3})

➎\sqrt{3}sin\theta\pm cos\theta=2sin(\theta\pm\cfrac{\pi}{6})

➏sin\theta\pm\sqrt{3}cos\theta=2sin(\theta\pm\cfrac{\pi}{3})

➐3\sin\theta\pm 4\cos\theta=5sin(\theta\pm\phi)，其中\tan\phi=\cfrac{4}{3}

应⽤场景

应⽤于三⾓函数求周长类的题⽬中，⽐如

在\Delta ABC中，已知\angle A=\cfrac{\pi}{3}，求\sin B+\sin C的取值范围[核⼼变形，重点理解和掌握]

分析：\sin B+\sin C=\sin B+\sin(\cfrac{2\pi}{3}-B)；=\sin B+\cfrac{\sqrt{3}}{2}\cos B+\cfrac{1}{2}\sin B

=\cfrac{3}{2}\sin B+\cfrac{\sqrt{3}}{2}\cos B

=\sqrt{3}(\cfrac{\sqrt{3}}{2}\sin B+\cfrac{1}{2}\cos B)=\sqrt{3}\sin(B+\cfrac{\pi}{6})№1[三⾓函数图像性质和解三⾓形结合][2017•福州模拟]在\Delta ABC中，⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，满⾜(2b-c)\cdot cosA=a\cdot cosC。

　(1)求⾓A的⼤⼩；(考查⾓度：解三⾓形)

(2)若a=3，求\Delta ABC的周长的最⼤值。(考查⾓度：三⾓函数图像性质)

分析：(1)由(2b-c)\cdot cosA=a\cdot cosC及正弦定理，边化⾓得到，

得(2sinB-sinC)cosA=sinAcosC，

所以2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC， 所以2sinBcosA=sin(C+A)=sinB，

因为B\in (0，π)，所以sinB\neq 0，

因为A\in (0，π)，cosA=\cfrac{1}{2}，所以A=\cfrac{\pi}{3} 。(2)由(1)得A=\cfrac{\pi}{3} ，

由正弦定理得\cfrac{b}{sinB}=\cfrac{c}{sinC} =\cfrac{a}{sinA} =\cfrac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} =2\sqrt{3}，

所以b=2\sqrt{3}\cdot sinB； c=2\sqrt{3}\cdot sinC，\Delta ABC的周长：l=3+2\sqrt{3}\cdot sinB+2\sqrt{3}\cdot sinC

=3+2\sqrt{3}\cdot sinB+2\sqrt{3}\cdot sin(\cfrac{2\pi}{3}-B)

=3+2\sqrt{3}\cdot sinB+2\sqrt{3}\cdot (\cfrac{\sqrt{3}}{2}cosB+\cfrac{1}{2}sinB)

=3+3\sqrt{3}sinB+3cosB=3+6sin(B+\cfrac{\pi}{6})

因为B\in(0，\cfrac{2\pi}{3})，所以当B=\cfrac{\pi}{3} 时，\Delta ABC的周长取得最⼤值，最⼤值为9。

应⽤于三⾓函数求⾯积类的题⽬中，⽐如

在\Delta ABC中，已知\angle A=\cfrac{\pi}{3}，求sinB\cdot sinC的取值范围[核⼼变形，重点理解和掌握]

分析：sinB\cdot sinC=sinB\cdot sin(\cfrac{2\pi}{3}-B)；=\sin B(\cfrac{\sqrt{3}}{2}\cos B+\cfrac{1}{2}\sin B)

=\cfrac{\sqrt{3}}{2}\sin B\cdot \cos B+\cfrac{1}{2}\sin^2B

=\cfrac{\sqrt{3}}{4}\sin2B+\cfrac{1}{4}(2\sin^2B)

=\cfrac{\sqrt{3}}{4}\sin2B+\cfrac{1}{4}(1-\cos2B)=\cfrac{\sqrt{3}}{4}\sin2B-\cfrac{1}{4}\cos2B+\cfrac{1}{4}

=\cfrac{1}{2}(\sin2B\cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2}-\cos2B\cdot\cfrac{1}{2})+\cfrac{1}{4}Processing math: 0%