辅助角公式——精选推荐

专项突破　

辅助角公式　做题前，请参考本期文章　《化零为整的辅助角公式》　

１．已知函数　（ｚ）一２ｓｉｎ２（ｚ＋号）一，／ｇｃ。ｓ　２ｚ，ｚ∈［号，号］，求－厂（ｚ）的最大值．　

２．　／ｋＡＢＣ中，Ａ，Ｂ，ｃ为三个内角，厂（Ｂ）一４ｃ。ｓ　Ｂｓｉｎ　（　＋导）＋　ｃ。ｓ　２Ｂ－－　２ｃｏｓ　Ｂ．　（１）若厂（Ｂ）一２，求角Ｂ　（２）若厂（Ｂ）一　＞２恒成立，求实数　的取值范围．　

・　１７　・　勘｝　ｌ　

酣　固　ｊＩ宥

　３．函数＿厂（ｚ）＝＝＝６ｃ。ｓ。警＋　ｓｉｎ　ｃ　一３Ｑｏ￣０）；Ｎ一个周期内的图象如图所示，Ａ为图　象的最高点，Ｂ，Ｃ为图象与０２轴的交点，Ｊ￣ＡＡＢＣ为正三角形．　（１）求∞的值及函数－厂（ｚ）的值域；　（２）若　０）＝　，且　（一　，　２），求　。＋ａ）ＮＮ．　ＢＩ　／　．｜　＼Ｊｂ　

（第３题）　

４．已知向量ｎ一（ｓｉｎ　ｌｚ，ＣＯＳ　），６一（　ＣＯＳ　ｏ１３２，ＣＯＳ　ｚ），函数　（ｚ）＝２ａ・　＋２的最　小正周期为兀．（　＞Ｏ）　（１）求＿厂（ｚ）的递减区间；　（２）在△ＡＢＣ中，以，６，Ｃ分别是　Ａ，　Ｂ，　Ｃ的对边，若厂（Ａ）一４，求Ａ的值．　

・　１８　・　（命题人：孙壮志）

　一ｓｉｎ［（　）一　］一ｓｉｎ（　）ｃｏｓ　一ｃ。ｓ（　）ｓｉｎ警　，ｃ。ｓ卢一　３，ｔａｎ　一　Ｉ．所以　Ｊ一　ｔａｎ　ｔａｎ　ａ．＋棚ｔａｎ１８　棼－－１．Ｙ－ＮＮ　ａ＋＃Ｅ（暗）　号　１１．（１）因为Ｂ（一ｉ３，詈），　Ａ０ｌＢ～Ｇ￣ＣＯＳ　６ｆ　＿詈＿，ｓｉｎ口一ｉ４，ｃ。ｓ　ａ＋ｓｉｎ　—ｉ１．　（２）由已知得：　Ａ（１，ｏ），Ｐ（ｃｏｓ　０，ｓｉｎ　）所以茄＝（１＋ｃｏｓ　０，ｓｉｎ　），　ＯＡ．　ｏｑ一１＋ｃｏｓ　，又Ｓ＝ｓｉｎ　０，所以　．　ＯＱ＋ｓ—　ｓｉｎ　＋ｃ０ｓ　０＋１＝ｖｒｆｓｉｎ（　＋｛）＋１（ｏ＜　７ｃ），则　・一ＯＱ＋Ｓ的最大值为　＋１，此时岛一号．　专项突破　三角恒等变换常见错误辨析　１．在△ＡＢｃ中，因为ｃＯｓＡ＝ｉ４，ｃｏｓＢ＝＝５，所以ｏ＜Ａ＜号，ｏ＜Ｂ＜号，所以ｓｉｎＡ＝ｉ３，ｓｉｎＢ＝　１２，　所以ｃ。ｓ　Ｃ一一ｃ。ｓ（Ａ＋Ｂ）：ｓｉｎ　Ｂ・ｓｉｎ　Ｂ—ｃ。ｓ　Ａ・ｃ。ｓ　Ｂ一了３　ｘ　１２一ｉ４×　５一丽１６，所以ｓｉｎ　ｃ一　一器．　２．由ｚ，　为锐角，且ｓｉｎ　ｚ—ｓｉｎ　＝一－詈＿＜０，知０＜－ｚ＜　＜号，从而得ｚ—ｙＥ（一号，ｏ），所以　ｓｉｎ（　一　，所以ｔａｎ（　一　．　专项突破判定三角函数值的正负　１．一　．２・　．　专项突破辅助角公式　１．由题意可得厂（ｚ）：［１－ＣＯＳ　２　十号）］一　ｃ。ｓ　２ｚ一１＋ｓｉｎ　２ｚ～　ｃ。ｓ　２ｚ一１＋２ｓｉｎ　２ｚ～号），　Ｙ－ＮＮ　∈［号，号］，所以詈≤２ｚ一号≤孥，故当２　一旦３一卫２，即ｚ一　时，，（ｚ）　＝３．　２．（１），（Ｂ）＝４ｃｏｓ　Ｂ×　ｃｏｓ（号＋Ｂ）　＋　ＣＯＳ　２Ｂ－－２ｃｏｓ　Ｂ＝２ｃｏｓ　Ｂ（１＋ｓｉｎ　Ｂ）十　ＣＯＳ　２Ｂ一２ｃｏｓ　Ｂ一　２ｃ。ｓ　Ｂｓｉｎ　Ｂ＋　ｃ。ｓ　２Ｂ＝ｓｉｎ　２Ｂ＋ｆｆｆｃ。ｓ　２Ｂ＝２ｓｉｎ（２Ｂ＋号）．因为厂（Ｂ）一２，所以２ｓｉｎ（２Ｂ＋号）一２，因　为ｏ＜Ｂ＜７ｃ，所以号＜２Ｂ＋号＜　，所以ｅＢ＋－　ｇ　，Ｂ一　．　（２），（Ｂ）一ｍ＞２恒成立，即　２ｓｉｎ（２Ｂ＋号）＞２＋ｍ恒成立．因为０＜Ｂ＜Ⅱ，所以２ｓｉｎ（２Ｂ十号）∈［一２，２］，所以２＋ｍ＜一２，　＜一４．　３．（１）由已知可得：，（ｚ）　６　ＣＯＳ２警—　ｓｉｎ　ｏｘｃ一３（ｃ　ｏ）一３ｏＯｓ　ｓｉｎ　一２，／５ｓｉｎ（∽＋号）．又　由于正三角形ＡＢＣ的高为２　，则ＢＣ一４，所以，函数，（ｚ）的周期Ｔ：４Ｘ　２—８，即　一８，得　＝｛．所　以，函数，（－ｚ）的值域为［一２　，２　］．　（２）因为，（ｚ。）一　，由（１）有ｆ（ｘｏ）＝２Ｊｇｓｉｎ（　＋号）一　，即ｓｉｎ（　＋号）＝詈．由－ｚ。∈（一警，－２　），得（　＋号）∈（一号，号）．所以，即ｃ。ｓ（　＋号）　：丽一号．故　，／３　ｓｉｎ（　＋号＋号）＝ｚ，／３　ｓｉｎ［（　十号）＋号］一　・　５　・

辅助⾓公式

辅助⾓公式 编辑辅助⾓公式辅助⾓公式是李善兰先⽣提出的⼀种⾼等三⾓函数公式，使⽤代数式表达为asinx+bcosx=√(a2+b2)sin[x+\arctan(b/a)]。（a>0）

中⽂名

辅助⾓公式

别 称

三⾓函数辅助⾓公式

表达式

asinx+bcosx=√(a2+b2)sin(x+\arctan(b/a))

提出者

李善兰

提出时间

19世纪

应⽤学科

数学、物理

适⽤领域范围

数学、物理学

⽬录

1. 1 综述

2. ? 推导3. ? 记忆1. ? 疑问

2. 2 提出者

3. 3 公式应⽤

1. ? 例12. ? 例23. ? 例3综述

编辑推导对于f(x)=asinx+bcosx(a>0)型函数，我们可以如此变形

，设点(a,b)为某⼀⾓φ(-π/2

，因此

就是所求辅助⾓公式。

⼜因为

，且-π/2

，于是上述公式还可以写成

该公式也可以⽤余弦来表⽰（针对b>0的情况）

，设点(b,a)为某⼀⾓θ(-π/2

，因此

同理，

，上式化成

若正弦和余弦的系数都是负数，不妨写成f(x)=-asinx-bcosx，则

再根据诱导公式

得记忆很多⼈在利⽤辅助⾓公式时，经常忘记反正切到底是b/a还是a/b，导致做题出错。其实有⼀个很⽅便的记忆技巧，就是不管⽤正弦还是余弦来表⽰asinx+bcosx，分母的位置永远是你⽤来表⽰函数名称的系数。

例如⽤正弦来表⽰asinx+bcosx，则反正切就是b/a（即正弦的系数a在分母）。如果⽤余弦来表⽰,那反正切就要变成a/b（余弦的系数b在分母）。疑问为什么在推导辅助⾓公式的时候要令辅助⾓的取值范围为(-π/2,π/2)？其实是在分类讨论a>0或b>0的时候，已经把辅助⾓的终边限定在⼀、四象限内了，此时辅助⾓的范围是(2kπ-π/2,2kπ+π/2)(k是整数)。⽽根据三⾓函数的周期性可知加上2kπ后函数值不变，况且在(-π/2,π/2)内辅助⾓可以利⽤反正切表⽰，使得公式更加简洁明了。

提出者编辑

李善兰，原名李⼼兰，字竟芳，号秋纫，别号壬叔。出⾝于读书世家，其先祖可上溯⾄南宋末年京都汴梁（今河南开封）⼈李伯翼。⽣于1811年 1⽉22⽇，逝世于1882年12⽉9⽇，浙江海宁⼈，是中国近代著名的数学家、天⽂学家、⼒学家和植物学家，创⽴了⼆次平⽅根的幂级数展开式[1] （就是现在的⾃然数幂求和公式）。他研究各种三⾓函数，反三⾓函数和对数函数的幂级数展开式，这是李善兰也是19 世纪中国数学界最重⼤的成就。[1] 在19世纪把西⽅近代物理学知识翻译为中⽂的传播⼯作中﹐李善兰作出了重⼤贡献。他的译书也为中国近代物理学的发展起了启蒙作⽤。同治七年，李善兰到北京担任同⽂馆天⽂﹑算学部长﹐执教达13年之久﹐为造就中国近代第⼀代科学⼈才作出了贡献。 李善兰为近代科学在中国的传播和发展作出了开创性的贡献。

辅助角公式2010-4-7

一、教学目标

1、会将cossinba（a、b不全为零）化为只含有正弦的一个三角比的形式

2、能够正确选取辅助角和使用辅助角公式

二、教学重点与难点 辅助角公式的推导与辅助角的选取

三、教学过程

1、复习•引入 两角和与差的正弦公式

sin=_________________________________

sin=_________________________________

口答：利用公式展开sin4=_____________________

反之,若要将22sincos22化简为只含正弦的三角比的形式，则可以是22sincos22=_____________________________

尝试：将以下各式化为只含有正弦的形式，即化为)sin(A0A的形式

（1）31sincos22 （2）sin3cos

2、辅助角公式•推导

对于一般形式cossinba（a、b不全为零），如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式？

22222222sincos(sincos)sin()abababababab

其中辅助角由2222cossinaabbab确定，即辅助角（通常20）的终边经过点(,)ab

------------------我们称上述公式为辅助角公式，其中角为辅助角。 3、例题•反馈

例１、试将以下各式化为)sin(A0A的形式.

（1）31sincos22 （2）cossin

（3）2sin6cos （4）cos4sin3

例2、试将以下各式化为)sin(A（),[,0A）的形式.

辅助角公式

1、推导过程

变形得为利用 两角和差公式 化简，设-π/2

（注意到 a >0 ）

则其等价于 tanφ=b/a

则即

其中 tanφ=b/a

若令则

（ b>0 ）

其等价于 tanφ=a/b

则即

其中 tanφ=a/b

注意：两种令法中初相用了同一个字符φ表示，但含义不同，要区分。

2、分析意义

我们需要分析公式中每一个量的意义。

先看等式左边 是 两个分别 增大（或减小）一定倍数 的正弦与 余弦函数 的和。

再看等式右边 是 一个 增大（或减小）一定倍数 并且被 改变了 初相

的 正弦函数 。

从代数意义上讲，辅助角公式是为了 将几个同频率的正弦型函数求和，转化为一个单独的正弦型函数而诞生的。

频率相同意味着ω 相同，所以对于辅助角公式而言，为了方便起见，我们只讨论ω=1 时的特殊情况。

在这种情况下，对于一个正弦型函数，我们只有A（增大的倍数）与φ

（初相） 两个量需要讨论。

我们可以把A 看作大小，把φ 看作角度。而角度和大小恰是 极坐标系 确定位置的两个要素。

辅助角公式与极坐标系有什么关系吗？

简化验证

简化问题，使a=b=1 ，得

而在极坐标系中平面向量的加即为

两者之间有异曲同工之妙。

即sin 与 cos 都只是 单位向量 ，

而 a、b 两者是单位向量的变化幅度，

是两向量和的模，φ 则是和向量与横轴的夹角。

推广延伸

之前的验证只是 在a=b=1下 进行的。其实，这一结果具有普适性。

注：这种几何意义同样适合推导 诱导公式 等 部分 三角函数恒等变换

公式，但三角函数间 乘法 不等价 于单位向量间点乘（即数量积 ）。

3、 疑问

为什么在推导辅助角公式的时候要令 辅助角 的取值范围为(-π/2,π/2) ？

其实是在分类讨论a>0或b>0的时候，已经把辅助角的终边限定在一、四象限内了，此时辅助角的范围是(2kπ-π/2,2kπ+π/2)(k∈Z) 。而根据三角函数的周期性可知加上2kπ 后 函数值 不变，况且在(-π/2,π/2)