辅助角公式
Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
即asinx+bcosx=b2+a2sin(x+φ)，其中=b/a
或asinx+bcosx=b2+a2cos(x-φ)，其中tanφ=a/b
常见辅助角公式应用（t为常数）
t(sinx+cosx)=2t sin(x+4π)
=2t cos(x-4π)
t(3sinx+cosx)=2t sin(x+6π)
=2t cos(x-3π)
t(sinx+3cosx)=2t sin(x+3π)
=2t cos(x-6π)
第 1 页 共 2 页 关于辅助角公式的解说
对于辅助角公式，大家都很熟悉。公式如下：)sin(cossin22baba
其中：abtan。
但是在实际运用中，最让大家感到头疼的是关于辅助角的大小确定。下面就此公式的实际运用作如下解说。
一、辅助角使用的准备
（1） 顺序：要使正弦在前，余弦在后；
（2） 系数：分析好a、b，正弦系数为a、余弦系数为b。
二、象限的确定
（1） 当a、b都是正数时，在第一象限！
（2） 当a、b都是负数时，在第三象限！
（3） 当a是正数，b是负数时，在第四象限！
（4） 当a是负数，b是正数时，在第二象限！
（5） 规律：xyabtan，利用x、y的正负确定象限。
三、ba22的确定（系数，相当于辅助直角三角形中的斜边长）
（1） ba22的大小不管a、b符号如何，ba22始终是正数。
（2） ba22的大小与a、b顺序无关。
（3） 1||||ba时，222ba
（4） 2||||ba时，2222ba
（5） 2||1||ba，时，522ba
（6） 23||21||ba，时，122ba
（7） 36||33||ba，时，122ba
（8） 3||1||ba，时，222ba
三、角的大小确定
（1）1ab，4或45（4k） 第 2 页 共 2 页 （2）1ab，43或4（4k）
（3）33ab，6或67（6k）
（4）33ab，65或6（6k）
（5）3ab，3或34（3k）
（6）3ab，32或3（3k）
四、例说辅助角的运用
（一）75sin15sin（2015年四川高考题）来分析：
分析：先由诱导公式化为：cos15sin1575sin15sin，然后直接利用辅助角公式得：
专项突破
辅助角公式 做题前，请参考本期文章 《化零为整的辅助角公式》
１．已知函数 （ｚ）一２ｓｉｎ２（ｚ＋号）一，／ｇｃ。ｓ ２ｚ，ｚ∈［号，号］，求－厂（ｚ）的最大值．
２． ／ｋＡＢＣ中，Ａ，Ｂ，ｃ为三个内角，厂（Ｂ）一４ｃ。ｓ Ｂｓｉｎ （ ＋导）＋ ｃ。ｓ ２Ｂ－－ ２ｃｏｓ Ｂ． （１）若厂（Ｂ）一２，求角Ｂ （２）若厂（Ｂ）一 ＞２恒成立，求实数 的取值范围．
・ １７ ・ 勘｝ ｌ
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３．函数＿厂（ｚ）＝＝＝６ｃ。ｓ。警＋ ｓｉｎ ｃ 一３Ｑｏ￣０）；Ｎ一个周期内的图象如图所示，Ａ为图 象的最高点，Ｂ，Ｃ为图象与０２轴的交点，Ｊ￣ＡＡＢＣ为正三角形． （１）求∞的值及函数－厂（ｚ）的值域； （２）若 ０）＝ ，且 （一 ， ２），求 。＋ａ）ＮＮ． ＢＩ ／ ．｜ ＼Ｊｂ
（第３题）
４．已知向量ｎ一（ｓｉｎ ｌｚ，ＣＯＳ ），６一（ ＣＯＳ ｏ１３２，ＣＯＳ ｚ），函数 （ｚ）＝２ａ・ ＋２的最 小正周期为兀．（ ＞Ｏ） （１）求＿厂（ｚ）的递减区间； （２）在△ＡＢＣ中，以，６，Ｃ分别是 Ａ， Ｂ， Ｃ的对边，若厂（Ａ）一４，求Ａ的值．
・ １８ ・ （命题人：孙壮志）
一ｓｉｎ［（ ）一 ］一ｓｉｎ（ ）ｃｏｓ 一ｃ。ｓ（ ）ｓｉｎ警 ，ｃ。ｓ卢一 ３，ｔａｎ 一 Ｉ．所以 Ｊ一 ｔａｎ ｔａｎ ａ．＋棚ｔａｎ１８ 棼－－１．Ｙ－ＮＮ ａ＋＃Ｅ（暗） 号 １１．（１）因为Ｂ（一ｉ３，詈）， Ａ０ｌＢ～Ｇ￣ＣＯＳ ６ｆ ＿詈＿，ｓｉｎ口一ｉ４，ｃ。ｓ ａ＋ｓｉｎ —ｉ１． （２）由已知得： Ａ（１，ｏ），Ｐ（ｃｏｓ ０，ｓｉｎ ）所以茄＝（１＋ｃｏｓ ０，ｓｉｎ ）， ＯＡ． ｏｑ一１＋ｃｏｓ ，又Ｓ＝ｓｉｎ ０，所以 ． ＯＱ＋ｓ— ｓｉｎ ＋ｃ０ｓ ０＋１＝ｖｒｆｓｉｎ（ ＋｛）＋１（ｏ＜ ７ｃ），则 ・一ＯＱ＋Ｓ的最大值为 ＋１，此时岛一号． 专项突破 三角恒等变换常见错误辨析 １．在△ＡＢｃ中，因为ｃＯｓＡ＝ｉ４，ｃｏｓＢ＝＝５，所以ｏ＜Ａ＜号，ｏ＜Ｂ＜号，所以ｓｉｎＡ＝ｉ３，ｓｉｎＢ＝ １２， 所以ｃ。ｓ Ｃ一一ｃ。ｓ（Ａ＋Ｂ）：ｓｉｎ Ｂ・ｓｉｎ Ｂ—ｃ。ｓ Ａ・ｃ。ｓ Ｂ一了３ ｘ １２一ｉ４× ５一丽１６，所以ｓｉｎ ｃ一 一器． ２．由ｚ， 为锐角，且ｓｉｎ ｚ—ｓｉｎ ＝一－詈＿＜０，知０＜－ｚ＜ ＜号，从而得ｚ—ｙＥ（一号，ｏ），所以 ｓｉｎ（ 一 ，所以ｔａｎ（ 一 ． 专项突破判定三角函数值的正负 １．一 ．２・ ． 专项突破辅助角公式 １．由题意可得厂（ｚ）：［１－ＣＯＳ ２ 十号）］一 ｃ。ｓ ２ｚ一１＋ｓｉｎ ２ｚ～ ｃ。ｓ ２ｚ一１＋２ｓｉｎ ２ｚ～号）， Ｙ－ＮＮ ∈［号，号］，所以詈≤２ｚ一号≤孥，故当２ 一旦３一卫２，即ｚ一 时，，（ｚ） ＝３． ２．（１），（Ｂ）＝４ｃｏｓ Ｂ× ｃｏｓ（号＋Ｂ） ＋ ＣＯＳ ２Ｂ－－２ｃｏｓ Ｂ＝２ｃｏｓ Ｂ（１＋ｓｉｎ Ｂ）十 ＣＯＳ ２Ｂ一２ｃｏｓ Ｂ一 ２ｃ。ｓ Ｂｓｉｎ Ｂ＋ ｃ。ｓ ２Ｂ＝ｓｉｎ ２Ｂ＋ｆｆｆｃ。ｓ ２Ｂ＝２ｓｉｎ（２Ｂ＋号）．因为厂（Ｂ）一２，所以２ｓｉｎ（２Ｂ＋号）一２，因 为ｏ＜Ｂ＜７ｃ，所以号＜２Ｂ＋号＜ ，所以ｅＢ＋－ ｇ ，Ｂ一 ． （２），（Ｂ）一ｍ＞２恒成立，即 ２ｓｉｎ（２Ｂ＋号）＞２＋ｍ恒成立．因为０＜Ｂ＜Ⅱ，所以２ｓｉｎ（２Ｂ十号）∈［一２，２］，所以２＋ｍ＜一２， ＜一４． ３．（１）由已知可得：，（ｚ） ６ ＣＯＳ２警— ｓｉｎ ｏｘｃ一３（ｃ ｏ）一３ｏＯｓ ｓｉｎ 一２，／５ｓｉｎ（∽＋号）．又 由于正三角形ＡＢＣ的高为２ ，则ＢＣ一４，所以，函数，（ｚ）的周期Ｔ：４Ｘ ２—８，即 一８，得 ＝｛．所 以，函数，（－ｚ）的值域为［一２ ，２ ］． （２）因为，（ｚ。）一 ，由（１）有ｆ（ｘｏ）＝２Ｊｇｓｉｎ（ ＋号）一 ，即ｓｉｎ（ ＋号）＝詈．由－ｚ。∈（一警，－２ ），得（ ＋号）∈（一号，号）．所以，即ｃ。ｓ（ ＋号） ：丽一号．故 ，／３ ｓｉｎ（ ＋号＋号）＝ｚ，／３ ｓｉｎ［（ 十号）＋号］一 ・ ５ ・
辅助角公式2010-4-7
一、教学目标
1、会将cossinba（a、b不全为零）化为只含有正弦的一个三角比的形式
2、能够正确选取辅助角和使用辅助角公式
二、教学重点与难点 辅助角公式的推导与辅助角的选取
三、教学过程
1、复习•引入 两角和与差的正弦公式
sin=_________________________________
sin=_________________________________
口答：利用公式展开sin4=_____________________
反之,若要将22sincos22化简为只含正弦的三角比的形式，则可以是22sincos22=_____________________________
尝试：将以下各式化为只含有正弦的形式，即化为)sin(A0A的形式
（1）31sincos22 （2）sin3cos
2、辅助角公式•推导
对于一般形式cossinba（a、b不全为零），如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式？
22222222sincos(sincos)sin()abababababab
其中辅助角由2222cossinaabbab确定，即辅助角（通常20）的终边经过点(,)ab
------------------我们称上述公式为辅助角公式，其中角为辅助角。 3、例题•反馈
例１、试将以下各式化为)sin(A0A的形式.
（1）31sincos22 （2）cossin
（3）2sin6cos （4）cos4sin3
例2、试将以下各式化为)sin(A（),[,0A）的形式.
第1页 第2页 高一数学 教案
课题： 辅助角公式 课型：新授课 课时：1
学习目标：
1、能推导出辅助角公式的一般形式
2．运用公式灵活解决综合题目
重点： 辅助角公式的掌握．
难点： 辅助角公式的熟练运用
教 学 过 程
教学内容 设计意图
一、 复习引入
两角和与差的正弦公式
sin=_________________________________
sin=_________________________________
二、新课探究
利用公式展开sin4=_____________________
反之,若要将22sincos22化简为只含正弦的三角比的形式，则可以是22sincos22=_____________________________
尝试：将以下各式化为只含有正弦的形式，即化为)sin(A0A的形式
（1）31sincos22 （2）sin3cos
练习：试将以下各式化为)sin(A（),[,0A）的形式.
（1）sincos （2）sincos （3）3sincos
一般地,asin+bcos 是否可以化为一个角的三角函数形式呢?
合作探究：化sincosab为一个角的一个三角函数的形式.
三、典例示范
例1、化3sincos为一个角的一个三角函数的形式.
例2、化下列三角函数式为一个角的一个三角函数的形式．
（１）3sincos；
（２）26sin()cos()6363．
变式训练3sincosyxx的值域___________________
