当前位置：文档之家 › 线性代数经典例题

线性代数经典例题

  • 格式：doc
  • 大小：362.00 KB
  • 文档页数：5

1 / 5

（22）（本题满分11分）

已知111是1253102aAb的特征向量，求,ab的值，并证明A的任一特征向量均能由线性表出.

解 设是所对应的特征向量，则A，即1211531110211ab即12,53,1,2,312,abab

故211533102A由323(2(3)(2))(162)(1)(1)EA，

知1是A的三重特征根.又因312()5232101rEAr，从而1对应的线性无关的特征向量只有一个.所以A的特征向量均可由线性表出.

(23) （本题满分11分）

已知二次型)0(2332),,(32232221321axaxxxxxxxf，通过正交变换化为标准型23222152yyyf，求参数a及所用正交变换矩阵.

解 变换前后二次型的矩阵分别为3030002aaA，500020001B，由正交变换性质知，A与B相似，于是BEAE即)5)(2)(1()96)(2(22a将1(或5)代入上式，得2,042aa

2 / 5

因0a，故2a，这时320230002A其特征值分别为5,2,1321(与B的特征值相同)

当11时，解方程0)(1xAE，得1101；当22时，解方程0)(2xAE，得0012

当53时，解方程0)(3xAE，得1103

将321,,单位化，得21210111，001222，21210333

故所用正交变换矩阵为2102121021010Q.

(22) （本题满分11分）

设向量组1(,2,10)Ta，2(2,1,5)T，3(1,1,4)T，(1,,)Tbc.试问：当,,abc满足什么条件时

(1)可由123,,线性表出，且表示唯一？(2) 不能由123,,线性表出？

(3) 可由123,,线性表出，但表示不唯一？并求出一般表达式.

3 / 5

解 设有一组数123,,xxx，使得 112233xxx

对应方程组的增广矩阵作初等行变换，有2111211211021122210540015aaaabAbccb线性表出，且表示唯一.

(1)当202a，即4a时，秩()A=秩()A=3，方程组有唯一解，可由123,,

(2)当202a，即4a时，对A作初等行变换，有21010011200013bAbbc

当31bc时，秩()A秩()A，方程组无解，不能由123,,线性表出.

(3)当4a且31bc时，秩()A=秩()A=2<3，方程组有无穷多解，可由123,,线性表出，但表示不唯一.此时，解得

123,21,21ktktbkb(t为任意常数) 因此有123(21)(21)ttbb

(23)（本题满分11分）

已知矩阵2000303Aaa有特征值5，求a的值；并当0a时，正交矩阵Q，使1QAQ.

解 因5是矩阵A的特征值，则由23005023(4)002EAaaa.可得2a.

当2a时，则由矩阵A的特征多项式

4 / 5 200032(2)(5)(1)0023EA，知矩阵A的特征值是1,2,5.

由()0EAx得基础解系1(0,1,1)T 由(2)0EAx得基础解系2(1,0,0)T

由(5)0EAx得基础解系3(0,1,1)T 即矩阵A属于特征值1,2,5的特征向量分别是123,,.

由于实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，故只需单位化，有

1011,212100，301121那么，令12301011()02211022Q，则有1125QAQ.

（22）设A为三阶矩阵，123,,为3维列向量.若向量组123,,线性无关，且112322A，212322A，312322A. (1)求矩阵A的特征向量；（2）设2BAE，求B.

解 123123123122(,,)(,,)(,,)212221AAAA，因为123,,线性无关，所以123(,,)可逆，于是

1123123122(,,)(,,)212221A，即122212221AC，则A与C有相同的特征值，

5 / 5

由1222120221EC，得1235,1 于是A的特征值为1235,1

（2）1235A，A的特征值为11A，25A，35A，于是2BAE的特征值为1,11,11，故121B.（23）设实二次型123(,,)TfxxxxAx经过正交变换后得到的标准型为2221232fyyy，A是A的伴随矩阵，且向量(1,1,1)T满足A，求二次型123(,,)fxxx.

解 由于A的特征值为2,1,1，所以2(1)(1)2A.对A两边左乘A，并利用AAAE得2A，这表明是A对应于特征值2的特征相量.

取2(0,1,1)T，3(2,1,1)，则123,,两两正交，将它们分别规范化为1111(,,)333Tq，211(0,,)22Tq，3211(,,)666Tq，令123(,,)Qqqq，则Q为正交矩阵，且011101110TAQQ

所以二次型123121323(,,)222fxxxxxxxxx.

合集下载

1、线性规划经典例题

1、线性规划经典例题

线性规划

题型一：已知可行域问题

20,1218,12.16,14.16,14.52),),2,4(),4,3(),2,1(1CBAyxzABCDyxPCBAABCD的取值范围是的内部，则行四边形在平（点的三个顶点为、已知平行四边形

的最大值等于则动点，设内（含边界）的为，点且的正方形，是边长为、如图，四边形,,212RODOCOPBCDPODOABC

（注意：P在三角形ABC内，实际上描述的就是可行域问题。）

题型二：最优解是否唯一（含参）

的取值范围是）取得最小值，则，在点（仅若目标函数满足约束条件已知实数省联考）年、（aayxzyxyxyxyx432,1122,2620161

1-2.12.212.1-21.,02202202,20152或或或或的值为唯一，则实数取得最大值的最优解不若满足约束条件武汉调研）、（DCBAaaxyzyxyxyxyx题型三：目标函数含参

kzyxyxyxyxykxz，则实数的最大值为若满足，其中实数浙江卷）设、（12,04204202,20131

3.2.2.3.4,020,20152DCBAayaxzyyxyxyx，则为的最大值若满足约束条件，山东高考）已知、（

题型四：可行域含参 2.1.21.41.12,331,0.20131DCBAayxzxayyxxyxa，则的最小值是若满足约束条件，已知高等学校全国统一考试、

3.25.2.1.42,02,2015(2DCBAbyxzbxyxyyxyx的值为，则实数为的最小值且满足实数河南省郑州市二模）若、

题型五：一个很容出错的问题（多解检验）

线性规划经典例题

线性规划经典例题

高中数学-线性规划常见题型

由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。

一、求线性目标函数的取值范围

例1、 若x、y满足约束条件222xyxy，则z=x+2y的取值范围是 （ ）

A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5]

解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A

二、求可行域的面积

例2、不等式组260302xyxyy表示的平面区域的面积为 （）

A、4 B、1 C、5 D、无穷大

解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B

三、求可行域中整点个数

例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ）

A、9个 B、10个 C、13个 D、14个

解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0)xyxyxyxyxyxyxyxypppp

作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D

四、求线性目标函数中参数的取值范围

例4、已知x、y满足以下约束条件5503xyxyx，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为 （ ） x y

O

x + y = 5 x – y + 5 = 0

O y

x x=3 x y

O 2 2

x=2 y =2

x + y =2 B

A

2x + y – 6= 0 x＋y – 3 = 0

O y

x A B

C M y =2 A、－3 B、3 C、－1 D、1

解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D

线性代数例题[1]

线性代数例题[1]

行列式

例1：若12312,,,,都是四维列向量，且四阶行列式1231,m，1223n，四阶行列式32112等于多少？

例2：设A是n阶方阵，且0A，则A中( )

(A) 必有一列元素全为零；

(B) 必有两列元素成比例；

(C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合；

(D) 任一列向量是其余列向量的线性组合.

例3：设A33)(ija，ijA为ija的代数余子式，且ijAija，并且011a，求A.

例4：设四阶方阵A44)(ija，AExf)(，其中E是n阶单位矩阵，求：（1）4的系数；（2）3的系数；（3）常数项.

例5：设A为n阶方阵，E是n阶单位矩阵，EAAT，0A，计算EA.

例6：设A，B为n阶正交矩阵，若0BA，证明BA是降秩矩阵.

矩 阵

例1：设010101001A，证明当3n时，恒有EAAAnn22.

例2：设)41,31,21,1(),4,3,2,1(，TA，计算nA.

例3：设三阶方阵A，B满足关系BAABAA61，且710004100031A，求B

例4：设A是三阶方阵，21A，求*12)3(AA

例5：证明：若实对称矩阵A满足条件OA2，则OA

例6：设'EA，其中E是n阶单位矩阵，是n维非零列向量，证明：

（1）AA2的充要条件是1'；

（2）当1'时，A是不可逆矩阵.

例7：已知n阶方阵A满足3)(2AEAA，求1)(AE

例8：设8030010100100001*A，且EBAABA311，求B.

例9：设10021)(xxxxf，010000001A，求))((),(AffAf.

2024年考研数学一专题线性代数历年题目归纳

2024年考研数学一专题线性代数历年题目归纳

2024年考研数学一专题线性代数历年题目归纳

线性代数是考研数学一科目中的重要内容之一，涉及到矩阵、向量、线性方程组等多个概念和方法。了解历年考研数学一专题线性代数的题目，可以帮助考生更好地掌握该专题的重点和难点，提高解题能力。本文将对2024年考研数学一专题线性代数历年题目进行归纳，以供考生参考。

1. 矩阵运算题

矩阵的加法、减法、乘法是线性代数的基本内容，考研中常涉及到矩阵的运算性质和运算规律。如下是一道历年考研数学一专题线性代数中的矩阵运算题目：

【例题】已知矩阵A=（a_{ij}）_{m×n}，矩阵B=（b_{ij}）_{n×p}，矩阵C=（c_{ij}）_{p×k}，试证明：

(A×B)×C=A×(B×C)。

解析：首先我们需要明确矩阵的乘法运算满足结合律。对于(A×B)×C，先计算矩阵A和矩阵B的乘积，得到(m×p)的矩阵D。然后将矩阵D与矩阵C相乘，得到(m×k)的矩阵E，即(A×B)×C=E。

同样地，对于A×(B×C)，先计算矩阵B和矩阵C的乘积，得到(n×k)的矩阵F。然后将矩阵A与矩阵F相乘，得到(m×k)的矩阵G，即A×(B×C)=G。 因此，(A×B)×C=E=A×(B×C)=G，即(A×B)×C=A×(B×C)。

2. 矩阵的秩题

矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大线性无关组中所含向量的个数。在考研数学一专题线性代数中，关于矩阵的秩有很多题目，如下所示：

【例题】已知矩阵A=（a_{ij}）_{m×n}，矩阵B=（b_{ij}）_{n×p}，且秩(A)=r，秩(B)=s。试证明：

1) 秩(AB)≤min{r,s}；

2) 如果r=s，且r=min{m,n,p}，则秩(AB)=r。

解析：1) 对于秩(AB)，由矩阵乘法的定义可知，秩(AB)等于矩阵AB中非零行的最大线性无关组中所含向量的个数。根据矩阵秩的定义，矩阵A中的非零行的最大线性无关组中所含向量的个数不超过r，而矩阵B中的非零行的最大线性无关组中所含向量的个数不超过s。因此，秩(AB)≤min{r,s}。