线性代数典型例题

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. 线性代数

第一章行列式

典型例题

一、利用行列式性质计算行列式

二、按行（列）展开公式求代数余子式

已知行列式412343344615671122D，试求4142AA与4344AA.

三、利用多项式分解因式计算行列式

1．计算221123122313151319xDx.

2．设()xbcdbxcdfxbcxdbcdx，则方程()0fx有根_______.x

四、抽象行列式的计算或证明

1.设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]AB，其中234,,,,均为四维列向量，且已知行列式||2,||3AB,试计算行列式||.AB

2.设A为三阶方阵，*A为A的伴随矩阵，且1||2A，试计算行列式1*(3)22.AAOOA

3.设A是n阶(2)n非零实矩阵，元素ija与其代数余子式ijA相等，求行列式||.A

4.设矩阵210120001A,矩阵B满足**2ABABAE,则||_____.B

5.设123,,均为3维列向量，记矩阵

123123123123(,,),(,24,39)AB .

. 如果||1A，那么||_____.B

五、n阶行列式的计算

六、利用特征值计算行列式

1.若四阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为1111,,,2345，则行列式1||________.BE

2.设A为四阶矩阵，且满足|2|0EA,又已知A的三个特征值分别为1,1,2，试计算行列式*|23|.AE

第二章矩阵

典型例题

一、求逆矩阵

1.设,,ABAB都是可逆矩阵，求：111().AB

2.设0002100053123004580034600A，求1.A

二、讨论抽象矩阵的可逆性

1.设n阶矩阵A满足关系式320AAAE,证明A可逆，并求1.A

2.已知322,22AEBAAE,证明B可逆，并求出逆矩阵。

3.设TAExy,其中,xy均为n维列向量，且2Txy,求A的逆矩阵。

4.设,AB为n阶矩阵，且EAB可逆，证明EBA也可逆。

三、解矩阵方程

1.设矩阵111111111A，矩阵X满足*12AXAX,求矩阵X. .

. 2.已知矩阵100011110,101111110AB，且矩阵X满足

AXABXBAXBBXAE，求X.

四、利用伴随矩阵进行计算或证明

1.证明下列等式

(1)**()()TTAA； (2)若||0A,则1**1()()AA；

（3）||0A,则1**1[()][()]TTAA；

(4) ||0A,则*1*()(0,nkAkAkAn为阶矩阵）；

（5）若,AB为同阶可逆矩阵，则***()ABBA.

2.设矩阵33()ijAa满足*TAA,若111213,,aaa为三个相等正数，则11_______.a

五、关于初等矩阵和矩阵的秩（看教材）

第三章矩阵

典型例题

一、判断向量组的线性相关性

1.设12(,,,)(1,2,,;)Tiiiinirrn是n维实向量，且12,,,r线性无关，已知12(,,,)Tnbbb是线性方程组

111122121122221122000nnnnrrrnnaxaxaxaxaxaxaxaxax

的非零解向量，试判断向量组12,,,,r的线性相关性。

2.设12,,,n是n个n维的线性无关向量，11122nnnkkk，其中12,,,nkkk全不为零，证明121,,,n中任意n个向量均无关。

3.设A为43矩阵，B为33矩阵，且0AB,其中111121230012A，证明B的.

. 列向量组线性相关。

4.设121,,,n为1n个线性无关的n维列向量，1和2是与121,,,n均正交的n维非零列向量，证明（1）1、2线性相关；（2）121,,,n，1线性相关。

二、把一个向量用一组向量线性表示

证明线性方程组111122121122221122000nnnnmmmnnaxaxaxaxaxaxaxaxax的解都是

11220nnbxbxbx的解的充要条件是是12,,,m的线性组合，其中12(,,,)nbbb，12(,,,)(1,2,,)iiiinim.

三、求向量组的秩

1.给定一个向量组，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。

2.已知向量组（1）123,,；（2）1234,,,；（3）1235,,,.如果各向量组的秩分别是3、3、4，证明：向量组12354,,,的秩为4.

四、有关矩阵秩的命题

1.设A为mn实矩阵，证明：()().TRARAA

2.设A为n阶方阵，且满足22AAE，证明：(2)()RAERAEn.

综合题

1. 设A为mn矩阵，B为()nnm矩阵，且已知0AB，(),()RAmRBnm，设是满足0Ax的一个n维向量，证明：存在唯一的一个()nm维列向量，使B.

2.已知随机变量01~0.250.75X，0.51PY，又n维向量123,,线性无关，求向量122331,2,XY线性相关的概率。

第四章线性方程组

典型例题 .

. 一、基本概念题（解的判定、性质、结构）

二、含有参数的线性方程组的求解

三、抽象线性方程组求解

1.已知线性方程组：1111221,222112222,221122,2200()0nnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxax

的一个基础解系为11121,221222,212,2(,,,),(,,,),,(,,,).TTTnnnnnnbbbbbbbbb试写出线性方程组：1111221,222112222,221122,2200()0nnnnnnnnnbybybybybybybybxby的通解，并说明理由。

2.已知4阶方阵12341234(,,,),,,,A均为4维列向量，其中234,,线性无关，1232，如果1234，求线性方程组Ax的通解。

四、讨论两个方程组的公共解

1.设线性方程组123123212302040xxxxxaxxxax与方程12321xxxa有公共解，求a的值及所有公共解。

2.已知下列非齐次线性方程组124123412326()4133xxxxxxxxxx，1234234345()21121xmxxxnxxxxxt

（1）求解方程组()，用其导出组的基础解系表示通解；

（2）当方程组()中的参数,,mnt为何值时，方程组()与()同解。

3.设,AB都是n阶级矩阵，且()()rArBn，证明齐次方程组0Ax与0Bx有非零公共解。

五、讨论两个方程组解之间的关系

1. 0Ax与0TAAx的解的关系。

2.设有齐次线性方程组0Ax与0Bx，其中,AB都是mn矩阵，现有4个命题：

①若0Ax的解均是0Bx的解，则()()rArB； .

. ②若()()rArB，则0Ax的解均是0Bx的解；

③若0Ax与0Bx同解，则()()rArB；

④若()()rArB，则0Ax与0Bx同解。

以上命题中正确的是：(A) ①② (B) ①③ (C) ②④ (D) ③④

六、已知方程组的解，反求系数矩阵或系数矩阵中的参数

1.设121201101Attt，且方程组0Ax的基础解系含有2个线性无关的解向量，求0Ax的通解。

2.设12112010131,1,11101Abac，如果是Axb的一个解，试求Axb的通解。

七、有关基础解系的讨论

1.设12,,,s为线性方程组0Ax的一个基础解系，

1112221223121,,,sstttttt

其中12,tt为实常数，试问12,tt满足什么关系时，12,,,s也为0Ax的一个基础解系？

2.若矩阵A的秩为r，其r个列向量为某一齐次线性方程组的一个基础解系，B为r阶非奇异矩阵，证明：AB的r个列向量也是该齐次线性方程组的一个基础解系。

3.设*是非齐次线性方程组Axb的一个解，12,,,nr是其导出组的一个基础解系，证明：

（1）*12,,,,nr线性无关；

（2）****12,,,,nr是方程组Axb的1nr个线性无关的解；

（3）方程组Axb的任一解x，都可以表示为这1nr个解的线性组合，而且组合系数之和为1.

八、有关0AB的应用

1.已知方阵12221311A，三阶方阵0B满足0AB，试求的值。 .

. 2.已知3阶矩阵A的第一行是(,,)abc，,,abc不全为零，矩阵12324636Bk（k为常数），且0AB，求线性方程组0Ax的通解。

综合题

1.设矩阵(),()1ijnnAarAn，证明：存在常数k，使得*2*()AkA.

2.已知n维向量12,,,n中，前1n个向量线性相关，后1n个向量线性无关，又12n矩阵12[,,,]nA是n阶矩阵，证明方程组Ax必有无穷多解，且其任一解12(,,,)Tnaaa中必有1na.

3.设n阶方阵A的列向量组为12,,,n，n阶方阵B的列向量组为：

12231,,,n

试问当()rAn时，齐次线性方程组0Bx是否有非零解？并证明你的结论。

4.设A为mn矩阵，B为ns矩阵，且()rAn，证明：()().rABrB

5.设33()ijAa是实矩阵，满足：

（1）(,1,2,3)ijijAaij，其中ijA为元素ija的代数余子式；

（2）331a；（3）1A

求非齐次线性方程组(0,0,1)TAx的解。

6.已知1234(,,,)A是4阶矩阵，1234,,,是4维列向量，若方程组Ax的通解是(1,2,2,1)(1,2,4,0)TTk，又3214(,,,)B，求方程组12Bx的通解。

典型例题

一个省的文化系统如果能肩负起继承当地文化传统的使命，那么这个省的文化底蕴就会得到保持，而不至于中断和流失。

崇安髭蟾是武夷山区特有的两栖类珍稀动物，生活在海拔一千米左右的高山溪水中，最初因五十年前在崇安发现而得名。

我仔细观察了公园里的那棵长了几百年的大柏树。

许多老师昨天在休息室里都热情地同他交谈。

要是一篇作品里的思想有问题，那么文字即使很不错，也是要不得的。

对于自己的路,他们在探索着,他们在判断着，他们在寻找着，他们在思考着。

随着改革开放的进一步深入，我国人民的消费观念、消费水平和消费方式都有了明显的提高和转变。

在学校师资不足的情况下，他主动挑起了为请假的老师代课的任务，获得了大家的一致好评。

只有恪守学术道德，就会消除学术腐败，净化学术界。

论干部和群众，毫不例外，都必须遵守社会主义法制。

关于《品三国》，粗粗一看，似乎与其他同类的书没有多大的区别，但反复品读，就会发现其意味深长。

依据纪律处罚的办法，决定给予该队员停止参加今年余下所有甲级队比赛资格，并罚款人民币4万元。

领导的这一决定非常英明，非常及时，非常好，好极了，我们坚决拥护。

时光的流逝不能让我淡忘对故乡浓浓的思念，反之，随着年龄的增长，对故乡的思念愈发日久弥坚。

对于那些知法犯法的党政干部，我们必须依法给以严厉的法律制裁。

世界上第一次对子午线测量的是在我国唐代天文学家僧一行的倡议和领导下进行的。

我们向政府提意见是人民的责任。

中国人民自从接受了马列主义思想之后，中国的革命在毛泽东的领导下，大大改了样子。

近日新区法院审结了这起案件，违约经营的小张被判令赔偿原告好路缘商贸公司经济损失和诉讼费三千多元。（04全国)

美国政府表示仍然支持强势美元，但这到底只是嘴上说说还是要采取果断措施，经济学家对此的看法是否定的。

近视患者都应当接受专业医师的检查，选择合适的眼镜，切忌不要因为怕麻烦、爱漂亮而不戴眼镜。

虽然现在所学的一些专业课，对我们很陌生，学起来比较吃力，不过我相信，在老师的帮助下，只要下苦功，就一定能够学好。

线性代数复习题3

第三章向量

【基本要求】

1.理解n维向量的概念。

2.理解向量组线性相关与线性无关的定义,并了解有关的重要结论。

3.理解向量组的极大线性无关组与向量组的秩的概念.

4.知道矩阵的秩与向量组的秩的关系。

5.知道n维向量空间、基、维数、坐标、基变换与坐标变换、过渡矩阵等概念。

6.掌握线性无关的向量组正交单位化的方法。了解正交矩阵的概念与性质。

【主要内容】

一、n维向量的概念与运算：

),,,(,),,(2121nnbbbaaa

由加法及数乘运算可引出线性组合、线性相关等概念，由内积可引出单位化、正交化等问题。

二、极大线性无关组与等价：

① 等价是向量组之间的一种关系，具有传递性、对称性及反身性；

② 任一向量组和它的极大无关组等价。

③ 同一向量组的任意两个极大无关组等价。

④ 两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同。

⑤ 向量组s,,,21的任意两个极大无关组所含向量的个数相同。

三、极大线性无关组与等价：

① n个n维向量线性相关以这n个n维向量以行或列构成的n阶行列式等于零；1n个n维向量一定线性相关。

② s,,,21线性无关向量方程0xxxss2211只有零解

向量组的秩srs),,,(21 每一个向量ia都不能用其余1s个向量线性表出。

③ 设A为n阶矩阵，则

0AA的行（列）向量线性无关n)A(R，0AA的行（列）向量相关.

四、向量组线性相关性的一系列结论：

① 如果向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表出，则r(Ⅰ)r(Ⅱ)；特别的，等价的线性代数辅导

向量组有相同的秩。

② 秩相同的向量组不一定等价。如

)2,0(),1,0()0,2(),1,0(2121与有相同的秩，但是这两个向量组并不等价。但如果)I(可以由)II(线性表示，且)II(R)I(R，则)I(与)II(等价。

直线运动典型例题A

典型例题透析

类型一——对参考系的理解

参考系的选取虽然具有任意性，但在结合物理情景的具体选项中是唯一的，要在熟练掌握参考系概念的基础上，做好理解、辨别。

1、有这样的词句“满眼风波多闪烁，看山恰似走来迎，仔细看山山不动，是船行。”其中“看山恰似走来迎”和“是船行”所选的参考系分别是（）

A．船和山 B．山和船 C．地面和山 D．河岸和流水

思路点拨：明确参考系概念和定义方式，是解题关键。

解析：船中乘客观看其它物体的运动情况时，是以自己所乘的船为参考系的，故能出现“看山恰似走来迎”的景象，“是船行”是以相对山不动的河岸或地面等为参考系的，故正确选项为A。

答案：A

总结升华：不管是静止的物体还是运动的物体都可以被选作参考系，但是，一旦被选为参考系后均认为是静止的，这也说明静止是相对的。

举一反三

【变式】甲物体以乙物体为参考系是静止的，甲物体以丙物体为参考系又是运动的，那么，以乙物体为参考系，丙物体的运动情况是（）

A．一定是静止的 B．一定是运动的

C．运动或静止都有可能 D．条件不足，无法判断

答案：B

解析：根据机械运动描述的相对性，可知选项B正确。

类型二——位移和路程

位移是矢量，只关心初、末位置，方向由初位置指向末位置，解答位移问题时，不要忘记说明方向；路程是标量，关心的是运动轨迹。

2、一支队伍匀速前进，通信员从队尾赶到队首传达命令后又立即返回40 m到达队尾时，队尾已前进了200 m，在整个过程中，通信员共用了40s，则全过程中通信员通过的路程是多少？位移为多少？平均速度大小为多少？

思路点拨：画出通信员运动示意图是解题关键。

解析：如图所示，轨迹为通信员所通过的路程，可见通信员所通过的路程为280 m；位移x=200 m，同队伍前进方向相同。平均速度。