4.2 等差数列导学案

《4.2.1 等差数列的概念》教案（第一课时）【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习等差数列的概念及其性质数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。

一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。

而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。

【教学目标与核心素养】【教学重点和难点】重点：等差数列概念的理解、通项公式的应用难点：等差数列通项公式的推导及等差数列的判定【教学过程】3.测量某地垂直地面方向上海拔地面20米起每升高100米处的大气温度（单位25,24,23,22,21解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝3.∴这个等差数列的首项a 1＝－2，公差d ＝3. (2) 法一：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋14d ＝8，a 1＋59d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6415，d ＝415.故a 75＝a 1＋74d ＝6415＋74×415＝24.法二：∵a 60＝a 15＋(60－15)d ，∴d ＝20－860－15＝415，∴a 75＝a 60＋(75－60)d ＝20＋15×415＝24.法三：已知数列{a n }是等差数列，可设a n ＝kn ＋b.由a 15＝8，a 60＝20得⎩⎪⎨⎪⎧15k ＋b ＝8，60k ＋b ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝415，b ＝4.∴a 75＝75×415＋4＝24.例2 (1)已知m 和2n 的等差中项是8，2m 和n 的等差中项是10，则m 和n 的等差中项是________．(2)已知1a ，1b ，1c 是等差数列，求证：b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋bc 也是等差数列．[思路探究] (1)列方程组―→求解m ，n ―→求m ，n 的等差中项 (2)(1)6 [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2n ＝8×2＝16，2m ＋n ＝10×2＝20，∴3(m ＋n)＝20＋16＝36，∴m ＋n ＝12，∴m ＋n2＝6.](2)[证明] ∵1a ，1b ，1c 成等差数列，∴2b ＝1a ＋1c ，即2ac ＝b(a ＋c)． ∵b ＋c a ＋a ＋b c＝cb ＋c ＋a a ＋bac＝a 2＋c 2＋b a ＋c ac ＝a 2＋c 2＋2ac ac ＝2a ＋c 2b a ＋c ＝2a ＋cb， ∴b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c成等差数列． 等差中项应用策略1.求两个数x ，y 的等差中项，即根据等差中项的定义得A ＝x ＋y2.2.证三项成等差数列，只需证中间一项为两边两项的等差中项即可，即若a ，b ，c 成等差数列，则有a ＋c ＝2b ；反之，若a ＋c ＝2b ，则a ，b ，c 成等差数列.跟踪训练2．在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c 使这五个数 成等差数列，求此数列．[解] ∵－1，a ，b ，c ，7成等差数列， ∴b 是－1与7的等差中项， ∴b ＝－1＋72＝3.又a 是－1与3的等差中项， ∴a ＝－1＋32＝1.又c 是3与7的等差中项， ∴c ＝3＋72＝5.∴该数列为：－1，1，3，5，7.2．等差数列{a n }中，已知a 2＝2，a 5＝8，则a 9＝( ) A ．8 B ．12 C ．16 D ．24 C [设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则由a 2＝2，a 5＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝2，a 1＋4d ＝8，解得a 1＝0，d ＝2，所以a 9＝a 1＋8d ＝16.故选C.] 3．已知a ＝13＋2，b ＝13－2，则a ，b 的等差中项为______．3 [a ＋b2＝13＋2＋13－22＝3－2＋3＋22＝ 3.]4.在等差数列{a n }中，已知a 5＝11，a 8＝5，则a 10＝____. 解析：(方法一)设a n ＝a 1＋(n －1)d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝a 1＋(5－1)d ，a 8＝a 1＋(8－1)d ，即⎩⎪⎨⎪⎧11＝a 1＋4d ，5＝a 1＋7d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝19，d ＝－2.∴a n ＝－2n ＋21(n ∈N *)． ∴a 10＝－2×10＋21＝1. (方法二)设公差为d ， ∵a 8＝a 5＋(8－5)×d， ∴d ＝a 8－a 53＝－2，∴a 10＝a 8＋(10－8)×d＝1. (方法三)设a n ＝An ＋B ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝5A ＋B ，a 8＝8A ＋B ，即⎩⎪⎨⎪⎧11＝5A ＋B ，5＝8A ＋B ，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝－2，B ＝21，∴a n ＝－2n ＋21，∴a 10＝1.5．若等差数列{a n }的公差d≠0且a 1，a 2是关于x 的方程 x 2－a 3x ＋a 4＝0的两根，求数列{a n }的通项公式．[解] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝a 3，a 1a 2＝a 4，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝a 1＋2d ，a 1a 1＋d ＝a 1＋3d.四、小结【教学反思】普通高中学生经过一年的高中的学习生活，已经慢慢习惯的高中的学习氛围，大部分学生知识经验已较为丰富，且对数列的知识有了初步的接触和认识，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻，应用数学公式的能力逐渐加强。

三年级语文特色作业模板甲方：__________________________乙方：__________________________11 本协议基于双方共同意愿签订，旨在明确双方权利义务，促进学生语文学习兴趣提升及能力发展。

111 协议双方为学生家长及学校教师代表。

112 家长需配合教师指导，监督学生完成作业，鼓励学生积极参与语文实践活动。

113 教师负责设计趣味性强、形式多样的语文作业，激发学生学习热情。

114 双方同意定期沟通学生学习情况，及时调整教学计划及家庭辅导策略。

12 为确保学生能够高效完成作业并从中受益，特制定以下特色作业模板：121 阅读笔记：每周选择一本课外书籍进行阅读，并完成阅读笔记。

笔记应包含书名、作者简介、主要内容概括、个人感悟四个部分。

122 诗词创作：每月尝试创作一首五言或七言绝句。

内容可围绕季节变换、节日庆典等主题展开。

13 朗诵录音：每两周选取一篇课文或古诗进行朗诵录音。

要求吐字清晰、感情充沛，并上传至班级群供同学交流学习。

14 手抄报制作：每学期至少完成一次以某个文化节日为主题的手抄报制作。

内容涵盖节日由来、习俗介绍、相关故事等。

15 课本剧表演：以小组形式选取课文改编成剧本，在课堂上进行表演。

旨在锻炼学生的语言组织能力和团队协作精神。

16 经典诵读：每天利用十分钟时间，全班齐声诵读中华经典诗词。

培养学生的文化底蕴和审美情趣。

17 汉字听写大赛：每月举行一次汉字听写比赛，考察学生对生字词的掌握程度。

18 名著共读：每学期挑选一部适合儿童阅读的经典文学作品作为全班共读书目。

通过集体讨论增进理解力。

19 家庭故事会：鼓励学生与家人一起分享日常所学知识，讲述发生在自己身边的故事，提高口语表达能力。

13 为保证特色作业顺利实施，甲乙双方需履行以下职责：131 学校应提供充足的教学资源支持，包括但不限于图书资料、多媒体设备等。

132 教师需根据学生实际水平调整作业难度，确保每位同学都能在挑战中获得成长。

必修5《等差数列》导学案撰稿：熊定磊 时间：2019-9-26【学习目标】1、通过实例理解等差数列的定义2、学会判断一组数据能否构成等差数列3、掌握并应用等差数列的通项公式，会求知道n d a a n ,,,1中的三个，求另外一个的问题【重点难点】重点：1、等差数列的概念。

2、等差数列通项公式的推倒和应用难点：等差数列“等差”特点的理解、把握和应用【学习过程】知识点一、等差数列的概念阅读课本第36到37页，尝试回答以下问题问题1：这些数列的共同点是问题2：等差数列的定义： ，其中， 叫公差，通常用 表示，可正可负可为零。

预习检测：判断下列各数列是否为等差数列:(1). ，，9,7,5,31;(2). 85,90,95,100;(3). 23-21-0,21123，，，，;(4).765,321，，，， 【例1】（1）判断下列数列是不是等差数列？① 9 , 7 , 5 , 3 ，…，－2n ＋11，…；② 1 , 2 , 1 , 2 ，…；③ 1 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 ，…；④ a ，a ，a ，a ，a ，….（2）已知数列{}n a 的通项公式()*∈-=N n n a n ,32，判断这个数列是等差数列知识点二：等差数列的通项公式【例2】已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，试推导其通项公式解：方法：（叠加法）根据等差数列的定义：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-=--1142312.....n n a a a a a a a a将这 等式左右两边分别相加可得 ，即=n a 结论：等差数列{}n a 的通项公式是【例3】已知10,3,21===n d a ，求10a【巩固练习】已知2,21,31===d a a n ，求n课后检测：1、在等差数列{}n a 中,（1）已知27,12n 1==a a ，求d（2）已知8,317=-=a d ，求1a2、在等差数列{a n }中，已知a 6＝12，a 18＝36，求通项公式a n .。

4.2.1 等差数列的概念（1）导学案【学习目标】1.理解等差数列的概念2.掌握等差数列的通项公式及应用3.掌握等差数列的判定方法【学习重难点】重点：等差数列概念的理解、通项公式的应用难点：等差数列通项公式的推导及等差数列的判定【学习过程】1．等差数列的概念(1)条件：如果a，A，b成等差数列．(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．(3)满足的关系式是3.从函数角度认识等差数列{a}n Array若数列{a n}是等差数列，首项为a1，公差为d，则a n＝f (n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．(1)点(n，a n)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加三、典例解析例1.（1）已知等差数列{}的通项公式为，求{}公差和首项；（2）求等差数列8,5,2…的第20项。

求通项公式的方法(1)通过解方程组求得a 1，d 的值，再利用a n ＝a 1＋(n －1)d 写出通项公式，这是求解这类问题的基本方法．(2)已知等差数列中的两项，可用d ＝直接求得公差，再利用a n ＝a m＋(n －m )d 写出通项公式．(3)抓住等差数列的通项公式的结构特点，通过a n是关于n 的一次函数形式，列出方程组求解．跟踪训练1．(1)在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 12＝31，求首项a 1与公差d .(2)已知数列{a n }为等差数列，a 15＝8，a 60＝20，求a 75.例2 (1)已知m 和2n 的等差中项是8，2m 和n 的等差中项是10，则m 和n 的等差中项是________．(2)已知1a ，1b ，1c 是等差数列，求证：b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c也是等差数列．等差中项应用策略1.求两个数x ，y 的等差中项，即根据等差中项的定义得A ＝x ＋y 2. 2.证三项成等差数列，只需证中间一项为两边两项的等差中项即可，即若a ，b ，c 成等差数列，则有a ＋c ＝2b ；反之，若a ＋c ＝2b ，则a ，b ，c 成等差数列.跟踪训练2．在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c 使这五个数成等差数列，求此数列．当堂检测1．数列{a n}的通项公式为a n＝5－3n，则此数列()A．是公差为－3的等差数列B．是公差为5的等差数列C．是首项为5的等差数列D．是公差为n的等差数列2．等差数列{a n}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝()A．8B．12C．16D．243．已知a＝13＋2，b＝13－2，则a，b的等差中项为______．4.在等差数列{an }中，已知a5＝11，a8＝5，则a10＝____.5．若等差数列{a n}的公差d≠0且a1，a2是关于x的方程x2－a3x＋a4＝0的两根，求数列{a n}的通项公式．。

4.2.2等差数列的前n 项和公式（1） 导学案1.掌握等差数列前n 项和公式的推导方法．(难点)2.掌握等差数列的前n 项和公式，能够运用公式解决相关问题．(重点)3.掌握等差数列的前n 项和的简单性质．(重点、难点)重点： 等差数列的前n 项和的应用难点：等差数列前n 项和公式的推导方法等差数列的前n 项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数选用公式 S n ＝n(a 1+a n )2 S n ＝na 1+n(n−1)2 d功能1：已知a 1，a n 和n ，求S n. 功能2：已知S n ，n ，a 1 和a n 中任意3个，求第4个.一、新知探究据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：1＋2＋3＋…＋100=？你准备怎么算呢？高斯（Gauss，1777－1855），德国数学家，近代数学的奠基者之一. 他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做出过杰出贡献.问题1：为什么1＋100＝2＋99＝…＝50＋51呢？这是巧合吗？试从数列角度给出解释.高斯的算法：（1+100）+（2+99）+…+(50+51)=101×50=5050高斯的算法实际上解决了求等差数列：1，2，3，…，n，…前100项的和问题.等差数列中，下标和相等的两项和相等.设an ＝n，则a1＝1，a2＝2，a3＝3，…如果数列{an }是等差数列，p，q，s，t∈N*，且p＋q＝s＋t，则ap ＋aq＝as＋at可得：a1+a100=a2+a99=⋯=a50+a51问题2：你能用上述方法计算1＋2＋3＋… ＋101吗？问题3： 你能计算1＋2＋3＋… ＋n 吗？问题4：不分类讨论能否得到最终的结论呢？问题5.上述方法的妙处在哪里？这种方法能够推广到求等差数列{a n }的前n 项和吗？倒序求和法二、典例解析例6.已知数列{a n}是等差数列. （1）若a 1=7, a 50=101,求S 50； （2）若a 1=2, a 2= 52,求S 10； （3）若a 1=12，d = − 16, S n = −5,求n ；等差数列中的基本计算(1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n 项和公式中有五个量a 1，d ，n ，a n 和S n 这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a 1和d 的方程组，解出a 1和d ， 便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．(2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，常与求和公式S n ＝结合使用． 跟踪训练1 已知等差数列{a n }．(1)a 1＝56，a 15＝－32，S n ＝－5，求d 和n ； (2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d .例7.已知一个等差数列{a n } 前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？一般地，对于等差数列，只要给定两个相互独立的条件，这个数列就完全确定。

第2课时等差数列的性质1.等差数列的性质(1)等差数列通项公式的推广通项公式通项公式的推广a n＝a1＋(n－1)d(揭示首末两项的关系)a n＝a m＋(n－m)d (揭示任意两项之间的关系)(2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m＋a n＝□01a p＋a q.①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，a m＋a n＝□022a k.②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋a n＝a2＋□03a n－1＝…＝a k＋□04a n－k＋1＝….2．等差数列的常用结论(1)若数列{a n}是公差为d的等差数列，则下列数列：①{c＋a n}(c为任一常数)是公差为□05d的等差数列．②{ca n}(c为任一常数)是公差为□06cd的等差数列．③{a n＋a n＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为□072d的等差数列．(2)若数列{a n}，数列{b n}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pa n＋qb n}(p，q是常数)是公差为□08pd1＋qd2的等差数列．(3)等差数列{a n}中每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是□09等差数列．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在等差数列{a n}中，若m＋n＝r，m，n，r∈N*，则a m＋a n＝a r.()(2)若数列{a n}是等差数列，则a1，a3，a5，a7，a9是等差数列．()(3)两个等差数列的和仍是等差数列．()答案 (1)× (2)√ (3)√ 2．做一做(1)(教材改编P 39T 5)已知等差数列{a n }中，a 2＋a 4＝6，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝( )A ．30B ．15C ．5 6D ．106(2)在等差数列{a n }中，a 3＝2，公差d ＝－1，则a 10＝________. (3)若等差数列{a n }中，a 5＝a ，a 10＝b ，则a 15＝________. 答案 (1)B (2)－5 (3)2b －a 解析 (1)∵数列{a n }为等差数列，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝(a 1＋a 5)＋(a 2＋a 4)＋a 2＋a 42＝52(a 2＋a 4)＝52×6＝15.探究1 等差数列的性质应用例1 等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值是( ) A ．20 B ．22 C ．24 D ．－8答案 C解析 解法一：由a 1＋3a 8＋a 15＝120，可得5a 1＋35d ＝120，即a 1＋7d ＝24，又2a 9－a 10＝a 1＋7d ，所以2a 9－a 10＝24.解法二：因为a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120，所以a 8＝24，而2a 9－a 10＝a 10＋a 8－a 10＝a 8＝24.[变式探究] 若本例中条件不变，求a 3＋a 13的值又如何？ 解 由例题解知，a 8＝24，由等差数列的性质知a 3＋a 13＝2a 8＝48. 拓展提升等差数列性质的应用技巧(1)适用情景已知等差数列的两项和，求其余几项和或者求其中某项． (2)常用性质利用已知m ，n ，p ，q ∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q 或若m ＋n ＝2r ，则a m ＋a n ＝2a r 将题目条件转化．【跟踪训练1】 (1)已知{a n }为等差数列，a 4＋a 7＋a 10＝30，则a 3－2a 5的值为( )A ．10B ．－10C ．15D ．－15(2)等差数列{a n }中，已知a 2＋a 3＋a 10＋a 11＝36，则a 5＋a 8＝________.答案 (1)B (2)18解析 (1)∵a 4＋a 7＋a 10＝3a 7＝30，∴a 7＝10， 而a 3－2a 5＝a 3－(a 3＋a 7)＝－a 7＝－10. (2)解法一：根据题意，有(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋(a 1＋9d )＋(a 1＋10d )＝36， ∴4a 1＋22d ＝36，则2a 1＋11d ＝18.而a 5＋a 8＝(a 1＋4d )＋(a 1＋7d )＝2a 1＋11d ，因此，a 5＋a 8＝18.解法二：根据等差数列性质，可得a 5＋a 8＝a 3＋a 10＝a 2＋a 11＝36÷2＝18. 探究2 灵活设项求解等差数列例2 (1)三个数成等差数列，它们的和为21，它们的平方和为155，求这三个数；(2)已知四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，求这四个数．解 (1)设这三个数为a －d ，a ，a ＋d . 则⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝21，(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝155，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝7，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，d ＝－2，∴这三个数为5,7,9或9,7,5.(2)设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧a －3d ＋a －d ＋a ＋d ＋a ＋3d ＝28，(a －d )(a ＋d )＝40， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝7，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，d ＝－3.∴这四个数依次为－2,4,10,16或16,10,4，－2. 拓展提升常见设元技巧(1)当等差数列{a n }的项数n 为奇数时，可设中间一项为a ，再用公差为d 向两边分别设项：…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，….(2)当等差数列{a n }的项数n 为偶数时，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，再以公差为2d 向两边分别设项：…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，这样可减少计算量．【跟踪训练2】 已知单调递增的等差数列{a n }的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{a n }的通项公式．解 解法一：根据题意，设等差数列{a n }的前三项分别为a 1，a 1＋d ，a 1＋2d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＝21，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝231，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝21，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝231， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝11，d ＝－4.因为数列{a n }为单调递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝4，从而等差数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －1.解法二：由于数列{a n }为等差数列，因此可设前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝21，(a －d )a (a ＋d )＝231，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＝21，a (a 2－d 2)＝231，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝7，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，d ＝－4.由于数列{a n }为单调递增数列，因此⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，d ＝4，从而a n ＝4n －1.探究3 等差数列的综合应用例3 在△ABC 中，若lg (sin A )，lg (sin B )，lg (sin C )成等差数列，并且三个内角A ，B ，C 也成等差数列，试判断该三角形的形状．解 由A ，B ，C 成等差数列，得2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π， ∴3B ＝π，∴B ＝π3.∵lg (sin A )，lg (sin B )，lg (sin C )成等差数列， ∴2lg (sin B )＝lg (sin A )＋lg (sin C )， 即sin 2B ＝sin A sin C ，∴sin A sin C ＝34.又∵cos(A ＋C )＝cos A cos C －sin A sin C ，cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ， ∴sin A sin C ＝－12[cos(A ＋C )－cos(A －C )]． ∴－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 2π3－cos (A －C )＝34. ∴14＋12cos(A －C )＝34. ∴cos(A －C )＝1. ∵A －C ∈(－π，π)，∴A －C ＝0，即A ＝C ＝π3， ∴A ＝B ＝C .故△ABC 为等边三角形． 拓展提升等差数列与三角函数结合，一般需要根据等差数列的定义、性质等得到三角恒等式，然后运用三角恒等知识变形、化简，得到有关的恒等式，进而求解相关问题．【跟踪训练3】 (1)若关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0和x 2－x ＋b ＝0(a ≠b )的4个根可组成首项为14的等差数列，则a ＋b 的值为( )A.38B.1124C.1324D.3172(2)在等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝10，a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 98＝20，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝________.答案 (1)D (2)30解析 (1)设4个根构成的等差数列为{a n }．由于两方程对应二次函数f (x )＝x 2－x ＋a ，g (x )＝x 2－x ＋b 的对称轴均为x ＝12.由根的对称性可判断，a 1与a 4是同一方程的根，a 2与a 3是另一方程的根．于是，a 1＋a 4＝1，又a 1＝14，所以a 4＝34，则公差d ＝13(a 4－a 1)＝16，于是a 2＝512，a 3＝712，所以a ＋b ＝a 1a 4＋a 2a 3＝316＋512×712＝3172.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 98＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＋33d ，又a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝10，a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 98＝20，∴33d ＝10.∴a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝(a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 98)＋33d ＝20＋10＝30. 探究4 等差数列的实际应用例4 某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解 由题意可知，设第1年获利为a 1，第n 年获利为a n ，则a n －a n －1＝－20(n ≥2，n ∈N *)，每年获利构成等差数列{a n }，且首项为a 1＝200，公差d ＝－20，所以a n ＝a 1＋(n －1)×d ＝200＋(n －1)×(－20)＝－20n ＋220.若a n <0，则该公司经销这一产品将亏损，由a n ＝－20n ＋220<0，解得n >11，即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损．拓展提升解决等差数列实际问题的步骤(1)将已知条件翻译成数学语言，将实际问题转化为数学问题； (2)构建等差数列模型，由条件确定a 1，d ，n ，a n ； (3)利用通项公式或等差数列的性质求解； (4)将所求问题还原到实际问题中．【跟踪训练4】 如图所示，三个正方形的边AB 、BC 、CD 的长组成等差数列，且AD ＝21 cm ，这三个正方形的面积之和是179 cm 2.(1)求AB 、BC 、CD 的长；(2)以AB 、BC 、CD 的长为等差数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？解 (1)设公差为d (d >0)，BC ＝x ， 则AB ＝x －d ，CD ＝x ＋d .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(x －d )＋x ＋(x ＋d )＝21，(x －d )2＋x 2＋(x ＋d )2＝179，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝7，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，d ＝－4(舍去)．所以AB ＝3(cm)，BC ＝7(cm)，CD ＝11(cm)．(2)正方形的边长组成首项是3，公差是4的等差数列{a n}，所以a10＝3＋(10－1)×4＝39.a210＝392＝1521(cm2)．所求正方形的面积为1521 cm2.[规律小结]1.等差数列的公差与斜率的关系(1)一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，斜率k＝f(x2)－f(x1) x2－x1(x1≠x2)．当k＝0时，对于常数函数f(x)＝b，上式仍然成立．(2)等差数列{a n}的公差本质上是相应直线的斜率．如a m，a n是等差数列{a n}的任意两项，由a n＝a m＋(n－m)d，类比直线方程的斜率公式得d＝a n－a mn－m(m≠n)．2.等差数列的“子数列”的性质若数列{a n}是公差为d的等差数列，则(1){a n}去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的等差数列；(2)奇数项数列{a2n－1}是公差为2d的等差数列；偶数项数列{a2n}是公差为2d的等差数列；(3)若{k n}成等差数列，则{akn}也是等差数列；(4)从等差数列{a n}中等距离抽取项，所得的数列仍为等差数列，当然公差可能也随之发生变化．3.等差数列两项和的性质若{a n}为等差数列，若m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q，特别地，若m＋n＝2p，则a m＋a n＝2a p.(m，n，p，q∈N*)[走出误区]易错点⊳弄错等差数列中项的序号而致误[典例]已知等差数列{a n}中，a9＋a10＝a，a19＋a20＝b，则a99＋a100＝()A.8a－9b B．9b＋8a C．9b－8a D．8b－7a[错解档案]选D，令a9＋a10＝b1，a19＋a20＝b2，则b1，b2，b3，…，b9构成新的等差数列，a 99＋a 100＝b 9＝b 1＋8d ＝a ＋8(b －a )＝8b －7a .[误区警示] 由已知条件中项的下标的关系，构造出新的等差数列{b n }，而a 99＋a 100应为b 10，本题弄错项数致误．[规范解答] C解法一：由上述分析可知a 99＋a 100＝b 10＝b 1＋9d ＝9b －8a .解法二：将相邻两项和a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，…，a 99＋a 100分别记为b 1，b 2，b 3，…，b 50，可知{b n }为等差数列，设此数列的公差为d ， 则d ＝b 10－b 510－5＝b －a 5.∴a 99＋a 100＝b 50＝b 5＋45d ＝a ＋b －a5×45＝9b －8a .[名师点津] (1)熟练掌握等差数列的性质，尤其是对各项的下标存在的关系以及所具有的性质的掌握；(2)在解答有关等差数列的问题时，要明确数列所求的项与已知条件之间的关系.1．等差数列{a n }中，a 6＋a 9＝16，a 4＝1，则a 11＝( ) A ．64 B ．30 C ．31 D ．15答案 D解析 解法一：∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 6＋a 9＝16，a 4＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋13d ＝16，a 1＋3d ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝2，∴a 11＝a 1＋10d ＝15. 解法二：∵6＋9＝4＋11，∴a 4＋a 11＝a 6＋a 9＝16， ∴a 11＝15.2．若{a n }为等差数列，且a 1＋a 4＋a 7＝45，a 2＋a 5＋a 8＝39，则a 3＋a 6＋a 9＝( )A ．39B ．20C ．19.5D ．33答案 D解析 ∵a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝45，∴a 4＝15，∵a 2＋a 5＋a 8＝3a 5＝39，∴a 5＝13，∴d ＝a 5－a 4＝－2，a 6＝a 5＋d ＝11，∴a 3＋a 6＋a 9＝3a 6＝3×11＝33.故选D.3．已知(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的4个根组成首项为14的等差数列，则|m －n |＝________.答案12解析 由已知设4个根分别为14，14＋d ，14＋2d ，14＋3d ，且14＋14＋3d ＝14＋d ＋14＋2d ＝2，解得d ＝12，∴这 4个数分别为14，34，54，74，由韦达定理知：m ＝14×74，n ＝34×54，或m ＝1516，n ＝716，∴|m －n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪716－1516＝12.4．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于________．答案 100解析 设{a n }、{b n }的公差分别为d 1，d 2，∴(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2，∴{a n ＋b n }为等差数列，又∵a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝100，∴a 37＋b 37＝100.5．成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．解 设这四个数为a －3d 、a －d 、a ＋d 、a ＋3d ， 则由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －3d ＋a －d ＋a ＋d ＋a ＋3d ＝26，(a －d )(a ＋d )＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132，d ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132，d ＝－32.所以这四个数为2、5、8、11或11、8、5、2.A 级：基础巩固练一、选择题1．如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝( ) A ．14 B ．21 C ．28 D ．35答案 C解析 ∵a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12，∴a 4＝4. 又a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4＝28.2．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( ) A ．a 1＋a 101>0 B ．a 2＋a 100<0 C ．a 3＋a 100≤0 D ．a 51＝0 答案 D解析 由题设a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝101a 51＝0， ∴a 51＝0.3．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得面包数成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的1份为( )A.53B.103C.56D.116答案 A解析 设五个人分得的面包为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，(d >0)，则(a －2d )＋(a －d )＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝5a ＝100，∴a ＝20，由17 (a ＋a ＋d ＋a ＋2d )＝a －2d ＋a －d 得3a ＋3d ＝7(2a －3d )，∴24d ＝11a ，∴d ＝556，∴最小的一份为a －2d ＝20－1106＝53.故选A.4．在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a k ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4，则k 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 B解析 因为a 1＝0，d ≠0，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4a 1＋6d ＝6d ＝a 7.故选B. 二、填空题5．已知等差数列{a n }满足a 1＝1，公差为d ，a 3>0，当且仅当n ＝3时，|a n |取得最小值，则公差d 的取值范围是_________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－25解析 ∵a 3>0，当且仅当n ＝3时|a n |取最小值， ∴a 4<0，且a 4＋a 3<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋2d >0，1＋3d <0，1＋2d ＋1＋3d <0，解得－12<d <－25.6．若{a n }是等差数列，a 15＝8，a 60＝20，则a 75＝________. 答案 24解析 ∵a 60＝a 15＋45d ，∴d ＝415，∴a 75＝a 60＋15d ＝20＋4＝24.7．如果有穷数列a 1，a 2，…，a m (m 为正整数)满足条件：a 1＝a m ，a 2＝a m －1，…，a m ＝a 1，则称其为“对称”数列．例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列{c n }中c 11，c 12，…，c 21是以1为首项，2为公差的等差数列，则c 2＝________.答案 19解析 因为c 11，c 12，…，c 21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c 20＝c 11＋9d ＝1＋9×2＝19，又{c n }为21项的对称数列，所以c 2＝c 20＝19. 三、解答题8．等差数列{a n }的公差d ≠0，试比较a 4a 9与a 6a 7的大小．解 设a n ＝a 1＋(n －1)d ，则a 4a 9－a 6a 7＝(a 1＋3d )·(a 1＋8d )－(a 1＋5d )(a 1＋6d )＝(a 21＋11a 1d ＋24d 2)－(a 21＋11a 1d ＋30d 2)＝－6d 2<0，所以a 4a 9<a 6a 7.9．四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．解 设四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d .据题意得，(a －3d )2＋(a －d )2＋(a ＋d )2＋(a ＋3d )2＝94⇒2a 2＋10d 2＝47.① 又(a －3d )(a ＋3d )＝(a －d )(a ＋d )－18⇒8d 2＝18⇒d ＝±32代入①得a ＝±72.故所求四数为8,5,2，－1或1，－2，－5，－8或－1,2,5,8或－8，－5，－2,1.10．已知数列{a n }满足a n ＋1＝1＋a n3－a n (n ∈N *)，且a 1＝0.(1)求a 2，a 3的值； (2)是否存在一个实常数λ，使得数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －λ为等差数列，请说明理由．解 (1)因为a 1＝0，a n ＋1＝1＋a n3－a n(n ∈N *)，所以a 2＝1＋a 13－a 1＝1＋03－0＝13，a 3＝1＋a 23－a 2＝1＋133－13＝12.(2)假设存在一个实常数λ， 使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －λ为等差数列， 则1a 1－λ，1a 2－λ，1a 3－λ成等差数列， 所以2a 2－λ＝1a 1－λ＋1a 3－λ， 所以213－λ＝10－λ＋112－λ，解之得λ＝1.因为1a n ＋1－1－1a n －1＝11＋a n3－a n－1－1a n －1＝3－a n2(a n －1)－1a n －1＝1－a n 2(a n －1)＝－12， 又1a 1－1＝－1，所以存在一个实常数λ＝1，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －λ是首项为－1，公差为－12的等差数列．B 级：能力提升练1．已知两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，则这两个数列中有多少个共同的项？解 设用两数的公共项组成的新数列为{a n }，则{a n }是首项为11的等差数列，而两个数列公差分别为3和4，则{a n }的公差为d ＝3×4＝12.∴a n ＝11＋(n －1)×12＝12n －1.数列5,8,11，…与3,7,11，…第100项分别为302与399. ∴a n ≤302，即n ≤25.25. ∴所给数列有25个共同的项．2．设各项均为正数的无穷数列{a n }和{b n }满足：对任意n ∈N *都有2b n ＝a n＋a n ＋1且a 2n ＋1＝b n b n ＋1.(1)求证：{b n }是等差数列；(2)设a 1＝1，a 2＝2，求{a n }和{b n }的通项公式． 解 (1)证明：a 2n ＋1＝b n b n ＋1得a n ＋1＝b n b n ＋1，∴a n ＝b n －1b n 代入2b n ＝a n ＋a n ＋1， 得2b n ＝b n －1b n ＋b n b n ＋1， ∴2b n ＝b n －1＋b n ＋1，∴{b n }是等差数列．(2)由a 1＝1，a 2＝2得b 1＝a 1＋a 22＝32.又由a 2n ＋1＝b n b n ＋1得a 22＝b 1b 2，∴b 2＝a 22b 1＝83，∴b 1＝32＝62，b 2＝83＝263.∴{b n }的公差d ＝b 2－b 1＝66. ∴b n ＝62＋(n －1)·66＝66(n ＋2)， ∴b n ＝16(n ＋2)2，∴a 2n ＝b n －1b n ＝16(n ＋1)2·16(n ＋2)2， ∴a n ＝16(n ＋1)(n ＋2)．。

第四章数列4.2.1等差数列的概念第1课时等差数列的概念及通项公式一、教学目标1.理解并掌握等差数列、等差中项的概念，能判断一个数列是否为等差数列.2.经历由等差数列的递推公式推导通项公式的过程，掌握等差数列的通项公式，并掌握其与一次函数之间的关系.3.对等差数列的通项公式进行简单应用，体会函数与方程的思想在研究等差数列时的重要意义.二、教学重难点重点：掌握等差数列的定义，等差数列的通项公式.难点：掌握等差数列的通项公式，并进行简单应用.三、教学过程（一）创设情境观察下列现实生活中的数列，回答后面的问题。

1、我国有用12生肖纪年的习惯，例如，2017年是鸡年，从2017年开始，鸡年的年份为2017，2029，2041，2053，2065，2077，…；①2、我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为275，270，265，260，255，250，…；②3、2020年1月中，每个星期日的日期为5，12，19，26.③思考：观察数列①②③你能发现他们的规律吗？师生活动：独自思考，并汇报交流.答：对于数列2017，2029，2041，2053，2065，2077，…；①我们发现：2029=2017+12，2041=2029+12，2053=2041+12，…换一种写法就是：2029-2017=12，2041-2029=12，2053-2041=12，…如果用{a n}表示数列①，则有：a2−a1=12,a3−a2=12,a4−a3=12,⋯对于数列①，有这样的规律：数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数12.同样数列②满足从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数-5.数列③满足从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数7.设计意图：通过三个例子，让学生研究三个数列的共性，从而引出等差数列的定义.（二）探究新知任务1：探究等差数列的概念．探究：什么是等差数列，你能给出等差数列的定义吗？师生活动：教师提出问题，学生自主探究，尝试通过上述实例总结等差数列的定义，并交流分享.总结：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．对定义的理解：等差数列的定义中的几个关键词是“从第2项起”，“同一个常数”思考：如果在数a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A应满足什么条件？师生活动：独自思考，并汇报交流.答：由等差数列定义，有A−a=b−A,所以2A=a+b，即A=a+b.2此时，我们把A叫做a和b的等差中项.a和b的等差中项是它们的算术平均数.任务2：探究等差数列的通项公式．探究：你能根据等差数列的概念写出它的递推公式吗？师生活动：教师引导学生利用等差数列的概念，尝试写出递推公式.设数列{a n}的首项为a1，公差为d，则由定义可得：－a n＝d.a n＋1思考1：你能根据递推公式，推导出等差数列的通项公式吗？答：设一个等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,根据等差数列的定义，可得a n+1−a n=d所以a2−a1= d,a3−a2= d, a4−a3= d,…于是a2=a1+ d,a3=a2+ d=(a1+ d) + d=a1+ 2d,a4=a3+ d=(a1+ 2d) + d=a1+ 3d,……归纳可得a n=a1+(n−1) d(n≥2)当n=1时，上式为a1=a1+(1−1) d=a1，这就是说,上式当时也成立.因此，首项为a1,公差为d的等差数列{a n}的通项公式为a n=a1+(n−1) d思考2：还有什么其他方法，推导等差数列的通项公式吗？a n−a n−1=da n−1−a n−2=da n−2−a n−3=d⋯⋯a3−a2=da2−a1=d一共有n−1个等式，将它们进行累加，有a n−a1=(n−1)d，即a n=a1+(n−1)d 思考3：由等差数列的通项公式可以看出，要求a n，需要哪几个条件？答：只要求出等差数列的首项a1和公差d，代入公式a n=a1+(n−1)d即可.设计意图：用不完全归纳法和累加法求出等差数列的通项公式，并且了解由等差数列的基本量：首项和公差，就可以求出通项公式，让学生自己分析、推导、得出结论，可以培养学生归纳、概括的能力，提高思维能力.任务3：探究等差数列与一次函数的关系.探究：观察等差数列的通项公式，它和哪一类函数有关？师生活动：小组交流，并汇报交流.答：由于a n=a1+(n−1)d=dn+(a1−d)，当d=0时，a n=a1常用函数.当d≠0时，a n是一次函数f(x)=dx+(a1−d),当x=n时的函数值，即a n=f(n).思考1：等差数列{a n}的图像与一次函数f(x)=dx+(a1−d)(xϵR)的图像有什么关系？师生活动：教师提出问题，学生自主探究，通过画图得出函数与数列之间的关系，引导学生用函数的知识来研究通项公式，学会类比思想的应用，得到数列学习的路线.答：数列{a n}的图像是落在一次函数f(x)=dx+(a1−d)图像上的一系列点。

4.2.2 等差数列的前n项和公式（第二课时）【学习目标】（1）能熟练处理与等差数列的相关量之间的关系；（2）用函数的思想解决数列的最大（小）项、和的最大（小）值问题；（3）会利用等差数列的性质灵活解决与之相关的问题.【知识复习】1、等差数列的通项公式：a n=a1+(n−1)d2、等差数列前n项和的公式：S n=n(a1+a n)2S n=na1+n(n−1)2d【例题精讲】例1(课本例8)（实际应用）某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位. 问第1排应安排多少个座位.跟踪训练11、某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，获奖者可以选择2000元的奖金；第二种，从12月20日到第二年的1月1日，每天道商场领取奖品，第1天领取的奖品价值为100元，第2天为110元，以后逐天增加10元。

你认为哪种领奖方式获奖者受益更多？2、虎甲虫以爬行速度闻名，下表记录了一只虎甲虫连续爬行n s（n=1,2,…,100）时爬行的距离.（1）你能建立一个数列模型，近似地表示这只虎甲虫连续爬行的距离与时间之间的关系吗？（2）利用建立的模型计算，这只虎甲虫连续爬行1 min能爬多远（精确到0.01m）？它连续爬行10m 需要多长时间（精确到0.1s ）?例2（研究等差数列前n 项和公式的性质）探究：如果数列{a n }的前n 项和为S n =pn 2+qn +r ，其中p,q,r 为常数，且p ≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，则它的首项与公差分别是什么？证：当n≥2时，a n =S n -S n-1=pn 2+qn+r-p(n-1)2-q(n-1)-r=2pn-p+q 当n=1时，a 1=S 1=p+q+r当r ≠0时，a 1不满足a n =2pn-p+q ，此时数列不是等差数列. 当且仅当r =0时，a 1满足a n =2pn-p+q ，此时该数列是等差数列.故只有当r=0时该数列才是等差数列, 其中首项a 1=p+q, 公差d=2p(p≠0).跟踪训练2-1已知数列{a n }的n 项和为S n =14n 2+23n +3 ,求数列{a n }的通项公式.解：当n ≥2时，a n =S n −S n−1=14n 2+23n +3−[14(n −1)2+23(n −1)+3]=12n +512当n =1时，a 1=S 1=14+23+3=4712，不满足上式故数列{a n }的通项公式为a n ={4712,n =112n +512,n ≥2证明：∵S n =na 1+n (n−1)2d =d 2n 2+(a 1−d2)n∴S n n =d 2n +(a 1−d2) ∴S n n −S n−1n −1=d 2n +(a 1−d 2)−[d 2(n −1)+(a 1−d 2)]=d2故{Snn }是公差为d2的等差数列.跟踪训练2-2 已知S n是等差数列{a n}的前n项和.}是等差数列；（1）证明：{S nn}的前n项和，若S4=12,S8=40，求T n.（2）设T n为数列{S nn证明：∵S m=a1+a2+⋯+a m∴S2m−S m=a m+1+a m+2+⋯+a2m=(a1+a2+⋯+a m)+m2d S3m−S2m=a2m+1+a2m+2+⋯+a3m=(a m+1+a m+2+⋯+a2m)+m2d ∴(S2m−S m)−S m=(S3m−S2m)−(S2m−S m)=m2d∴S m,S2m−S m,S3m−S2m构成等差数列，公差为m2d.跟踪训练2-31.已知等差数列{a n}的n项和为S n,且S10＝310,S20＝1220，求S30.解：∵数列{a n}为等差数列，∴S10，S20－S10，S30－S20也成等差数列，∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，即2×(1 220－310)＝310＋S30－1 220，∴S30＝2 730.证明：a mb n=2a m 2b n=a 1+a 2m−1b 1+b 2n−1=(2m−1)(a 1+a 2m−1)212m−1(2n−1)(b 1+b 2n−1)212n−1=(2n−1)S 2m−1(2m−1)T 2n−1跟踪训练2-41.已知{a n },{b n }均为等差数列，其前n 项和分别为S n ,T n ，且S n T n=2n+2n+3，则a 5b 5＝__53__.2、设等差数列{b n }的前n 项和为T n . 若a n b n=5n+2n+3，则 S5T5=__176__；证明： S 2n =2n (a 1+a 2n )2=n (a 1+a 2n )=n (a n +a n+1)，S 偶−S 奇=(a 2−a 1)+(a 4−a 3)+⋯+(a 2n −a 2n−1)=ndS 偶S 奇=n (a 2+a 2n )2n (a 1+a 2n−1)2=a 2+a 2n a 1+a 2n−1=2a n+12a n =a n+1a n.跟踪训练2-51.一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，则公差d =______.解：由条件{S 奇+S 偶=354S 偶S 奇=3227) ，解得{S 偶=192S 奇=162)∴ 由S 偶−S 奇=6d 得 d =5证明：S 2n+1=(2n+1)(a 1+a 2n+1)2=(2n+1)2a n+12=(2n +1)a n+1S 奇−S 偶=a 1+(a 3−a 2)+(a 5−a 4)+⋯+(a 2n+1−a 2n )=a 1+nd =a n+1S 偶S 奇=n (a 2+a 2n )2(n +1)(a 1+a 2n+1)2=n (a 2+a 2n )(n +1)(a 1+a 2n+1)=n n +1.跟踪训练2-61、项数为奇数的等差数列{a n }，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数．解：设等差数列{a n }共有(2n ＋1)项，则奇数项有(n ＋1)项，偶数项有n 项，中间项是第(n ＋1)项，即a n ＋1，∴S 奇S 偶＝12(a 1＋a 2n ＋1)(n ＋1)12(a 2＋a 2n )n ＝(n ＋1)a n ＋1na n ＋1＝n ＋1n ＝4433＝43，解得n ＝3.∵S 奇＝(n ＋1)a n ＋1＝44，∴a n ＋1＝11.∴这个数列的中间项为11，共有2n ＋1＝7(项)．例3（课本例9）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=10，公差d =−2，则S n 是否存在最大值？若存在，求S n 的最大值及取得最大值时n 的值；若不存在，请说明理由.【总结】求等差数列{a n }的前n 项和S n 的最值的方法 1.前n 项和公式法利用S n =An 2+Bn 进行配方，求二次函数的最值，此时n 应取最接近−B 2A的正整数值；2.通项公式法利用等差数列的增减性及a n 的符号变化(1)当a 1>0,d <0时，数列前面有若干项为正, 此时所有正项的和为S n 的最大值. 此时由a n ≥0且a n+1≤0求n 的值；(2)当a 1<0,d >0时，数列前面有若干项为负, 此时所有负项的和为S n 的最小值. 此时由a n ≤0 且a n+1≥ 0求n 的值；注意：当数列的项中有数值为0时，n应有两解.跟踪训练31、已知等差数列-4.2，-3.7，-3.2，…的前n项和为S n，S n是否存在最大（小）值？如果存在，求出取得最值时n的值.，前n项和为S n. 求S n取得最小值时n的值.2、已知数列{a n}的通项公式为a n=n−22n−15【课后作业】（1）《把关题》第6-7页；（2）《把关题》第8-9页.【板书设计】一、选择题1.已知数列{a n }满足a n ＝26－2n ，则使其前n 项和S n 取最大值的n 的值为( ) A.11或12 B.12 C.13D.12或13答案 D 解析 ∵a n ＝26－2n ，∴a n －a n －1＝－2， ∴数列{a n }为等差数列.又a 1＝24，d ＝－2，∴S n ＝24n ＋n （n －1）2×(－2)＝－n 2＋25n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522＋6254.∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 最大.2.若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和最大时，n 的值为( ) A.6 B.7 C.8D.9答案 B 解析 因为a n ＋1－a n ＝－3，所以数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列，所以a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .设前k 项和最大，则有⎩⎨⎧a k ≥0，a k ＋1≤0，所以⎩⎨⎧22－3k ≥0，22－3（k ＋1）≤0，即193≤k ≤223. 因为k ∈N *，所以k ＝7.故满足条件的n 的值为7.3.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安四百二十里，良马初日行九十七里，日增一十五里；驽马初日行九十二里，日减一里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.问：几日相逢？( ) A.4日 B.3日 C.5日D.6日答案 A 解析 由题意，可知良马第n 日行程记为a n ，则数列{a n }是首项为97，公差为15的等差数列，驽马第n 日行程记为b n ，则数列{b n }是首项为92，公差为－1的等差数列，则a n ＝97＋15(n －1)＝15n ＋82，b n ＝92－(n －1)＝93－n .因为数列{a n }的前n 项和为n （97＋15n ＋82）2＝n （179＋15n ）2，数列{b n }的前n 项和为n （92＋93－n ）2＝n （185－n ）2，∴n （179＋15n ）2＋n （185－n ）2＝840，整理得14n 2＋364n －1 680＝0，即n 2＋26n －120＝0，解得n ＝4(n ＝－30舍去)，即4日相逢.4.若在数列{a n }中，a n ＝43－3n ，则当S n 取最大值时，n ＝( ) A.13 B.14 C.15D.14或15答案 B 解析 ∵数列{a n }中，a n ＝43－3n ，∴a 1＝40，∴S n ＝n （40＋43－3n ）2是关于n 的二次函数，函数图象是开口向下的抛物线上的一些横坐标为正整数的点，对称轴为n ＝836，又n 为正整数，与836最接近的一个正整数为14，故S n 取得最大值时，n ＝14.故选B.5.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为a n ，则a 1＝( ) A.35 B.32 C.23D.38答案 A 解析 由题意可知，九个儿子的年龄成公差d ＝－3的等差数列，且九项之和为207.故S 9＝9a 1＋9×82d ＝9a 1－108＝207，解得a 1＝35. 二、填空题6.在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时，S n 取得最大值，则公差d 的取值范围是________. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－78解析由题意，当且仅当n ＝8时，S n 有最大值，可知⎩⎨⎧d <0，a 8>0，a 9<0，即⎩⎨⎧d <0，7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78. 7.若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，数列{a n }的前n 项和最大.答案 8解析 ∵a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，∴a 8>0. ∵a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，∴a 8>0，a 9<0. 故前8项的和最大.8.已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＝40，则a 3·a 8的最大值为________. 答案 16解析 ∵正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＝10（a 3＋a 8）2＝40，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3>0，a 8>0，a 3＋a 8＝40×210＝8，∴a 3·a 8＝a 3(8－a 3)＝－a 23＋8a 3＝－(a 3－4)2＋16≤16.当且仅当a 3＝4时取等号. 三、解答题9.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12＞0，S 13＜0. (1)求公差d 的取值范围；(2)问前几项的和最大？并说明理由. 解 (1)∵a 3＝12，∴a 1＝12－2d .∵S 12＞0，S 13＜0，∴⎩⎨⎧12a 1＋66d ＞0，13a 1＋78d ＜0，即⎩⎨⎧24＋7d ＞0，3＋d ＜0，∴－247＜d ＜－3.即d 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－247，－3.(2)∵S 12＞0，S 13＜0，∴⎩⎨⎧a 1＋a 12＞0，a 1＋a 13＜0，∴⎩⎨⎧a 6＋a 7＞0，a 7＜0，∴a 6＞0，又由(1)知d ＜0. ∴数列前6项为正，从第7项起为负.∴数列前6项和最大.10.流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感.据统计，11月1日该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人.到11月30日止，该市在这30日内感染该病毒的患者总共8 670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数.解 设第n 天新患者人数最多，则从第n ＋1天起该市医疗部门采取措施，于是，前n 天流感病毒感染者总人数构成一个首项为20，公差为50的等差数列的n 项和，S n ＝20n ＋n （n －1）2×50＝25n 2－5n (1≤n ≤30，n ∈N )，而后30－n 天的流感病毒感染者总人数，构成一个首项为20＋(n －1)×50－30＝50n －60，公差为－30，项数为30－n 的等差数列.其和T n ＝(30－n )·(50n －60)＋（30－n ）（29－n ）2×(－30)＝－65n 2＋2 445n －14 850.依题设构建方程有S n ＋T n ＝8 670，即25n 2－5n ＋(－65n 2＋2 445n －14 850)＝8 670.化简，得n 2－61n ＋588＝0，解得n ＝12或n ＝49(舍去)，第12天的新患者人数为20＋(12－1)×50＝570(人).故11月12日，该市感染此病毒的新患者人数最多，这一天的新患者人数为570人.11.《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈.头节高五寸①，头圈一尺三②，逐节多三分③，逐圈少分三④.一蚁往上爬，遇圈则绕圈.爬到竹子顶，行程是多远？”(注释：①第一节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺； ③每节比其下面的一节多0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺) 问：此民谣提出的问题的答案是( ) A.61.395尺 B.61.905尺 C.72.705尺D.73.995尺答案 A 解析 设从地面往上，每节竹长为a 1，a 2，a 3，…，a 30，∵每节竹节间的长相差0.03尺，∴{a n }是以a 1＝0.5为首项，以d ′＝0.03为公差的等差数列.由题意知竹节上一圈比下一圈细0.013尺，设从地面往上，每圈周长为b 1，b 2，b 3，…，b 30，可得{b n }是以b 1＝1.3为首项，d ＝－0.013为公差的等差数列.∴一蚂蚁往上爬，遇圈则绕圈，爬到竹子顶，行程S 30＝(a 1＋a 2＋…＋a 30)＋(b 1＋b 2＋…＋b 30)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫30×0.5＋30×292×0.03＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤30×1.3＋30×292×（－0.013）＝61.395，故选A. 12.已知{a n }是等差数列，首项为a 1，其公差d <0，前n 项和为S n ，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和为T n .(1)若a 1＝－4d ，则当n ＝________时，T n 有最大值；(2)若当且仅当n ＝6时，T n 有最大值，则a 1d 的取值范围是________.答案 8或9 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－52解析 易知S n n ＝d 2n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2， 若a 1＝－4d ，则S n n ＝d 2n －92d ，由⎩⎪⎨⎪⎧S n n ≥0，S n ＋1n ＋1≤0，解得8≤n ≤9. 即n ＝8或9时，T n 有最大值；若当且仅当n ＝6时，T n 有最大值，则⎩⎪⎨⎪⎧S 66＝a 1＋52d >0，S 77＝a 1＋3d <0，d <0，解得－3<a 1d <－52. 13.某电站沿一条公路竖立电线杆，相邻两根电线杆的距离都是50 m ，最远一根电线杆距离电站1 550 m ，一汽车每次从电站运出3根电线杆供应施工.若该汽车往返运输总行程为17 500 m ，共竖立多少根电线杆？第一根电线杆距离电站多少米？解 由题意知汽车逐趟(由近及远)往返运输行程组成一个等差数列，记为{a n }， 则a n ＝1 550×2＝3 100，d ＝50×3×2＝300，S n ＝17 500.由等差数列的通项公式及前n 项和公式，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（n －1）×300＝3 100， ①na 1＋n （n －1）2×300＝17 500. ② 由①得a 1＝3 400－300n .代入②得n (3 400－300n )＋150n (n －1)－17 500＝0，整理得3n 2－65n ＋350＝0，解得n ＝10或n ＝353(舍去)，所以a 1＝3 400－300×10＝400.故汽车拉了10趟，共拉电线杆3×10＝30(根)，最近的一趟往返行程400 m ，第一根电线杆距离电站12×400－100＝100(m).所以共竖立了30根电线杆，第一根电线杆距离电站100 m.14.(多选题)首项为正数，公差不为0的等差数列{a n }，其前n 项和为S n ，现有下列四个命题，其中正确的命题有( )A.若S 10＝0，则S 2＋S 8＝0B.若S 4＝S 12，则使S n >0的n 的最大值为15C.若S 15>0，S 16<0，则{S n }中S 8最大D.若S 7<S 8，则S 8<S 9答案 BC 解析 对于A ，若S 10＝0，则S 10＝（a 1＋a 10）·102＝0， 则a 1＋a 10＝0，即2a 1＋9d ＝0，则S 2＋S 8＝(2a 1＋d )＋(8a 1＋28d )＝10a 1＋29d ≠0，A 不正确；对于B ，若S 4＝S 12，则S 12－S 4＝0，即a 5＋a 6＋…＋a 11＋a 12＝4(a 8＋a 9)＝0，由于a 1>0，则a 8>0，a 9<0，则有S 15＝15（a 1＋a 15）2＝15a 8>0，S 16＝16（a 1＋a 16）2＝16（a 8＋a 9）2＝0，故使S n >0的n 的最大值为15，B 正确； 对于C ，若S 15>0，S 16<0，则S 15＝15（a 1＋a 15）2＝15a 8>0， S 16＝16（a 1＋a 16）2＝8(a 8＋a 9)<0，则有a 8>0，a 9<0，故{S n }中S 8最大，故C 正确；对于D ，若S 7<S 8，即a 8＝S 8－S 7>0，而S 9－S 8＝a 9，不能确定其符号，D 错误.。

4.2.1 等差数列的概念（2）导学案1.能用等差数列的定义推导等差数列的性质.2.能用等差数列的性质解决一些相关问题.3.能用等差数列的知识解决一些简单的应用问题.重点：等差数列的性质及其应用难点：等差数列的性质的推导1．等差数列的概念文字语言如果一个数列从第_2_项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示符号语言a n＋1－a n＝d(d为常数，n∈N*)(1)条件：如果a，A，b成等差数列．(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．(3)满足的关系式是a＋b＝2A.3.等差数列的通项公式；an＝a1＋(n－1)d，n∈N*；4.通项公式的应用；一、典例解析例3.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值会减少d(d为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定d的范围.等差数列在实际生产生活中也有非常广泛的作用.将实际问题抽象为等差数列问题，用数学方法解决数列的问题，再把问题的解回归到实际问题中去，是用数学方法解决实际问题的一般过程.跟踪训练1. 孟子故里邹城市是我们的家乡，它曾多次入选中国经济百强县.经济的发展带动了市民对住房的需求.假设该市2019年新建住房400万平方米，预计在以后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米.那么该市在第（ ）年新建住房的面积开始大于820万平方米？A.2026B. 2027C. 2028D.2029例4. 已知等差数列{a n } 的首项a 1＝2，d =8,在{a n} 中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{b n}. (1)求数列{b n} 的通项公式. (2) b 29是不是数列{a n } 的项？若是，它是{a n} 的第几项？若不是 ，请说明理由.对于第（2）小题，你还有其他解法吗？等差数列的性质如果在一个等差数列的每相邻两项之间都插入 k(k ∈N ∗)个合适的数，仍然可以构成一个新的等差 数列.例5. 已知数列{a n } 是等差数列，p,q,s,t ∈N ∗,且 p +q =s +t求证:a p +a q =a s +a t例5 是等差数列的一条性质，右图是它的一种情形.你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？通过上节课我们知道等差数列对应的点分布在一条直线上，那么你能从直线斜率的角度来解释这一性质吗？1．在等差数列{a n}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则3a9－a13的值为()A．20B．30 C．40 D．502．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元．3．已知数列{a n}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77且a k＝13，则k＝________.4．在首项为31，公差为－4的等差数列中，绝对值最小的项是________.5．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数.1) 应用等差数列解决生活中实际问题的方法.2) 等差数列的每相邻两项之间都插入k(k∈N∗)个合适的数，仍然可以构成一个新的等差数列.3) 等差数列{a n}，p,q,s,t∈N∗, 若p+q=s+t，则a p+a q=a s+a t参考答案：知识梳理学习过程一、典例解析例3.分析：该设备使用n年后的价值构成数列{an }，由题意可知，an＝an－1－d (n≥2). 即：an－an－1＝－d.所以{an}为公差为－d的等差数列.10年之内（含10年），该设备的价值不小于（220×5%=）11万元；10年后，该设备的价值需小于11万元．利用{an}的通项公式列不等式求解．解：设使用n年后，这台设备的价值为an 万元，则可得数列{an}．由已知条件，得a n ＝an －1－d （n ≥2）． 所以数列{a n}是一个公差为－d 的等差数列. 因为a 1＝220－d ，所以a n＝220－d ＋(n －1)(－d )＝220－nd .由题意，得a 10≥11，a 11＜11.即：{220－10d ≥11220－11d ＜11解得19<d ≤20.9 所以，d 的求值范围为19<d ≤20.9跟踪训练1. C 解：设从2019年开始，该市每年新建住房面积为a n 万平方米.由题意可知{a n } 是等差数列，首项a 1=400 ，公差d =50 所以a n =400+(n −1) 50=50 n +350令50 n +350>820，解得n >475由于n ∈N ∗，则n ≥10,2019+(10−1)=2028所以该市在2028年 建住房面积开始大于820万平方米.例4. 分析：（1） {a n }是一个确定的数列，只要把a 1 ，a 2表示为{b n}中的项，就可以利用等差数列的定义得出的通项公式；（2）设{a n }中的第n 项是{b n }中的第c n 项，根据条件可以求出n 与c n 的关系式，由此即可判断b 29是否为{a n}的项. 解：（1）设等差数列{b n }的公差为d.∵b 1=a 1, b 5=a 2, ∴ b 5− b 1 =a 2 − a 1=8∵b 5− b 1 =4d ′, ∴4d ′ =8, d ′ =2,∴b n =2+(n −1) 2=2n所以数列{b n }的通项公式是b n =2n（2）数列{a n }的各项依次是数列{b n }的第1,5,9,13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列{c n }，则c n =4n − 3令4n − 3=29, 解得:n =8所以， b 29是数列的第8项对于第（2）小题，你还有其他解法吗？例5. 分析：利用等差数列的中的两个基本量 a 1, d ,再根据等差数列的定义写出a p ，a q ，a s ，a t ，即可得证.证明：设数列{a n } 的公差为d ,则a p =a 1+(p −1) d,a q =a 1+(q −1) d,a s =a 1+(s −1) d,a t =a 1+(t −1) d,所以: a p +a q =2a 1+(p +q −2) d,a s +a t =2a 1+(s +t −2) d ,因为p +q =s +t ，所以a p +a q =a s +a t .例5 通过上节课我们知道等差数列对应的点分布在一条直线上，那么你能从直线斜率的角度来解释这一性质吗？思路：a p −a s p−s =a t −a q t−q∵p +q =s +t ,∴ p −s =t −q∴a p −a s =a t −a q ∴a p +a q =a s +a t达标检测1．【答案】C [∵a 3＋a 11＝a 5＋a 9＝2a 7，∴a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝5a 7＝100，∴a 7＝20.∴3a 9－a 13＝3(a 7＋2d )－(a 7＋6d )＝2a 7＝40.]2． 23.2 [根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km 时，每增加1 km ，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{a n }来计算车费．令a 1＝11.2，表示4 km 处的车费，公差d ＝1.2，那么当出租车行至14 km 处时，n ＝11，此时需要支付车费a 11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．]3．【答案】18 [∵a 4＋a 7＋a 10＝3a 7＝17，∴a 7＝173. 又∵a 4＋a 5＋…＋a 13＋a 14＝11a 9＝77，∴a 9＝7.故d ＝a 9－a 79－7＝7－1732＝23. ∵a k ＝a 9＋(k －9)d ＝13，∴13－7＝(k －9)×23，∴k ＝18.]4． 【答案】－1 [可求得数列的通项公式为a n ＝35－4n .则当n ≤8时a n >0；当n ≥9时a n <0. 又a 8＝3，a 9＝－1.故绝对值最小的项为a 9＝－1.]5．【答案】法一：设这三个数为a ，b ，c (a <b <c )，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2b ＝a ＋c a ＋b ＋c ＝18a 2＋b 2＋c 2＝116，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝6，c ＝8. 法二：设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ， 由已知得 ⎩⎪⎨⎪⎧ (a －d )＋a ＋(a ＋d )＝18， ①(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝116， ② 由①得a ＝6，代入②得d ＝±2，∵该数列是递增的，∴d ＝－2舍去，∴这三个数为4,6,8.。