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问题-02-7-1 静电场的边值问题可分为哪几类，是否均满足唯一性定理？
解答：静电场中的典型边值条件包括3类：（1）给定场域边界上的电位值，称为第一类边值条件；（2）给定场域边界上电位的法向导数值，称为第二类边界条件；（3）部分场域边界上给定电位、另一部分场域边界上给定电位的法向导数，称为混合边界条件。
上述三类边界条件与标量电位满足的泛定方程组合成相应的边值问题。
对于第一类边值问题，电位和电场强度的解均唯一；对于第二类边值问题，电场强度的解唯一，电位的解可以相差某一常数，若选定电位参考点，则电位的解也唯一；对于混合边值问题，电位和电场强度的解均唯一。
1静电场的边值问题1．镜象法的理论依据是（）。
基本方法是在所求场域的外部放置镜像电荷以等效的取代边界表面的（）。
2．根据边界面的形状，选择适当的坐标系，如平面边界，则选直角坐标；圆柱面选圆柱坐标系；球面选球坐标。
以便以简单的形式表达边界条件。
将电位函数表示成三个一维函数的乘积，将拉普拉斯方程变为三个常微分方程，得到电位函数的通解，然后寻求满足条件的特解，称为（）3．将平面、圆柱面或球面上的感应电荷分布（或束缚电荷分布）用等效的点电荷或线电荷（在场区域外的某一位置处）替代并保证边界条件不变。
原电荷与等效点电荷（即通称为像电荷）的场即所求解，称为（），其主要步骤是确定镜像电荷的位置和大小。
4．（）是一种数值计算方法，把求解区域用网格划分，同时把拉普拉斯方程变为网格点的电位有限差分方程（代数方程）组。
在已知边界点的电位值下，用迭代法求得网格点电位的近似数值。
5．用镜像法求解电场边值问题时，判断镜像电荷的选取是否正确的根据是（）。
A．镜像电荷是否对称 B．电位所满足的方程是否未改变C．边界条件是否保持不变 D．同时选择B和C∇⨯=，其中的J（）。
6.微分形式的安培环路定律表达式为H JA．是自由电流密度B．是束缚电流密度C ．是自由电流和束缚电流密度D ．若在真空中则是自由电流密度；在介质中则为束缚电流密度7.在边界形状完全相同的两个区域内的静电场，满足相同的边界条件，则两个区域中的场分布（ ）。
A ．一定相同B ．一定不相同C ．不能断定相同或不相同8.两相交并接地导体平板夹角为α，则两板之间区域的静电场（ ）。
A ．总可用镜象法求出。
B ．不能用镜象法求出。
C ．当/n απ= 且n 为正整数时，可以用镜象法求出。
D ．当2/n απ= 且n 为正整数时，可以用镜象法求出。
9.将一无穷大导体平板折成如图的90°角，一点电荷Q 位于图中（1, π/6）点10. 两个平行于 XOY 面的极大的金属平板，两平板间的距离为 d ，电位差为。
静电场边值问题的唯一性定理摘要：静电场边值问题及其唯一性定理是一重要知识点，定理的表述和证明都涉及较多的数学知识。
由于唯一性定理的概念对于许多问题（如静电屏蔽）的确切理解有很大帮助，所以我们将给此定理一个物理上的论证，期待大家能从中有所受益. 关键词：静电场；边值；唯一性；静电屏蔽1、问题的提出实际中提出的静电学问题，大多不是已知电荷分布求电场分布，而是通过一定的电极来控制或实现某种电场分布。
这里问题的出发点（已知的前提），除给定各带电体的几何形状、相互位置外，往往是在给定下列条件之一；（1） 每个导体的电势U K ； （2） 每个导体上的总能量Q K ；其中K=1，2，……为导体的编号。
寻求的答案则是在上述条件（称为边界条件）下电场的恒定分布。
这类问题称为静电场的边值问题。
这里不谈静电场边值问题如何解决，而我们要问：给定一组边界条件，空间能否存在不同的恒定电场分布？唯一性定理对此的回答是否定的，换句话说，定理宣称：边界条件可将空间里电场的恒定分布唯一地确定下来。
2、几个引理在证明唯一性定理之前，先作些准备工作——证明几个引理。
为简单起见，我们暂把研究的问题限定为一组导体，除此之外的空间里没有电荷。
（1）引理一 在无电荷的空间里电势不可能有极大值和极小值。
用反证法。
设电势U 在空间某点P 极大，则在P 点周围的所有邻近点上梯度U ∇ρ必都指向P 点，即场强U E ∇-=ρρ的方向都是背离P 点的（见图1-1a 。
）这时若我们作一个很小的闭合面S 把P 点包围起来，穿过S 的电通量为0)(>⋅=⎰S d E S E ρρϕ (1)根据高斯定理，S 面内必然包含正电荷。
然而这违背了我们的前提。
因此，U 不可能有极大值。
用同样的方法可以证明，U 不可能有极小值（参见图1-1b ）。
（2）引理二 若所有导体的电势为0，则导体以外空间的电势处处为0。
因为电势在无电荷空间里的分布是连续变化的，若空间有电势大于0（或小于0）的点，而边界上又处处等于0，在空间必然出现电势的极大（或极小）值，这违背引理一。
安培环路定律1）真空中的安培环路定綁在真空的磁场中，沿任总回路取乃的线积分.其值等于真空的磁导率乘以穿过该回路所限定面枳上的电流的代数和。
即in di=^i kk=l2）•般形式的安培环路定律在任总磁场中•磁场强度〃沿任一闭合路径的线积分等于穿过该回路所包鬧而积的自由电流（不包括醱化电流）的代数和。
即B （返回顶端）边值问题1）静电场的边值问题静电场边值问题就是在给定第一类、第二类或第三类边界条件下，求电位函数®的泊松方程（沪卩=一％）或拉普拉斯方程（gp=O）定解的问題。
2）恒定电场的边值问题在恒定电场中，电位函数也满足拉普拉斯方程。
很多恒定电场的问題，都可归结为在一定条件下求竝普拉斯方程（▽?信=° ）的解答，称之为恒定电场的边值问题o3）恒定磁场的边值问题（1）磁矢位的边值问题磁矢位在媒质分界面上满足的衔接条件和它所满足的微分方程以及场域上给定的边界条件一起构成了描述恒定磁场的边值问题°对于平行平而磁场，分界而上的衔接条件是* 1 3A 1 dAn磁矢位*所满足的微分方程V2A = -pJ（2）磁位的边值问题在均匀媒质中.磁位也满足拉普拉斯方程。
磁位拉普拉斯方程和磁位在媒质分界面上满足的衔接条件以及场域上边界条件一起构成了用磁位描述恒定磁场的边值问題。
磁位满足的拉普拉斯方程= °两种不同媒质分界浙上的衔接条件边界条件1.静电场边界条件在场域的边界面s上给定边界条件的方式有：第•类边界条件（狄里赫利条件，Dirichlet）已知边界上导体的电位第二类边界条件（聂以曼条件Neumann）已知边界上电位的法向导数（即电荷而密度或电力线）第三类边界条件已知边界上电位及电位法向导数的线性组合5静电场分界而上的衔接条件% "和场*二丘"称为静迫场中分界面上的衔接条件。
前者表明.分界而两侧的电通壮密度的法线分址不连续，其不连续虽就等于分界面上的自由电荷血•密度：后者表明分界而两侧电场强度的切线分址连续。
1静电场的边值问题1•镜象法的理论依据是（）。
基本方法是在所求场域的外部放置镜像电荷以等效的取代边界表面的（）。
2•根据边界面的形状，选择适当的坐标系，如平面边界，则选直角坐标；圆柱面选圆柱坐标系；球面选球坐标。
以便以简单的形式表达边界条件。
将电位函数表示成三个一维函数的乘积，将拉普拉斯方程变为三个常微分方程，得到电位函数的通解，然后寻求满足条件的特解，称为（）3.将平面、圆柱面或球面上的感应电荷分布（或束缚电荷分布）用等效的点电荷或线电荷（在场区域外的某一位置处）替代并保证边界条件不变。
原电荷与等效点电荷（即通称为像电荷）的场即所求解，称为（），其主要步骤是确定镜像电荷的位置和大小。
4.（）是一种数值计算方法，把求解区域用网格划分，同时把拉普拉斯方程变为网格点的电位有限差分方程（代数方程）组。
在已知边界点的电位值下，用迭代法求得网格点电位的近似数值。
5•用镜像法求解电场边值问题时，判断镜像电荷的选取是否正确的根据是（）A.镜像电荷是否对称 B .电位所满足的方程是否未改变C•边界条件是否保持不变 D .同时选择B和C4 4 46.微分形式的安培环路定律表达式为' H二J，其中的J （）。
A.是自由电流密度B •是束缚电流密度C.是自由电流和束缚电流密度D.若在真空中则是自由电流密度；在介质中则为束缚电流密度7.在边界形状完全相同的两个区域内的静电场，满足相同的边界条件，则两个区域中的场分布（）。
A. —定相同 B .一定不相同 C .不能断定相同或不相同8.两相交并接地导体平板夹角为:，则两板之间区域的静电场（）。
A.总可用镜象法求出。
B.不能用镜象法求出。
C•当：•二二/n且n为正整数时，可以用镜象法求出。
D.当、=2 In且n为正整数时，可以用镜象法求出9.将一无穷大导体平板折成如图的90°角，一点电荷Q位于图中（1, n /6 ）点处，求所有镜像电荷的大小和位置并在图中标出10.两个平行于XOY面的极大的金属平板，两平板间的距离为d，电位差为〔。
求两板间的电位及电场分布11.两块彼此平行的半无限大接地金属板，板间距离为b,两平行板的一端另有一块电位为〔的极长的金属条，它们之间缝隙极小，但彼此绝缘。
求两板间的电位分布。
12•四块彼此绝缘（相隔极小的缝隙）的无限长金属板构成一个矩形空管，管子截面为「：「，上下两块板电位为零（接地），右侧板电位为'」，左侧板上电位的法向导数为零，即丄；。
求管内的电位分布规律。
13.求导体槽内的电位。
槽的宽度在x和z方向都为无穷大，槽由两块T形的导体构成，两块间有一狭缝，外加恒定电压-L。
14.一根半径为a,介电常数为「的无限长介质圆柱体置于均匀外电场中, 且与--相垂直。
设外电场方向为..轴方向，圆柱轴与z轴相合，求圆柱内、外的电位函数。
15.同心金属球，内外导体半径分别为a和b，内导体电位为：，外导体电位为［，空气介质填充，求该球形电容器的电容C16.均匀电场H中置一半径为a的介质球。
介质球的介电常数为一，球外空气为［。
球介质球内外的电位分布规律17.均匀电场中的金属球，一孤立导体金属球，半径为a，置于均匀电场7中。
金属球为等位体，球内电场等于零。
求外电场则为感应电荷的电场与原均匀电场之和，试求球外的电位及电场18.一个半径为a的导体球壳，沿赤道平面切割出一窄缝，在两半球壳上外加电压-I o并且使下半球壳的电位为零（接地），上半球壳的电位为-L。
计算球内的电位19•求单导线的对地电容。
一根极长的单导线与地面平行。
导线半径为a,离地高度为h，求单位长度单导线地对地电容20.两根无限长平行圆柱，半径均为a,轴线距离位D。
求两圆柱间单位长度上的电容21.一长方形界面的导体槽，槽可以视为无限长，其上有一块与相绝缘的盖板，槽的电位为零，盖板的电位为-I，求槽内的电位函数22•两平行的无限大导体平面，距离为b,其间有一极薄由y=d到y=b（-:。
上板和薄片保持电位-1.，下板保持零电位求板间电位的解。
... （p=—y设在薄片平面上，从y=0到y=d，电位线性变化，'。
提示：应用叠加原理。
把场分解成两个场相叠加：一是薄片不存在，两平行板（加电压「•）的场; 一是薄片和两个电位为零的平板间的场。
注意两个场叠加后满足题给的边界条件。
23.导体槽，底面保持电位，其余两面电位为零，求槽内的电位的解24.—长、宽、高分别为a、b、c的长方体表面保持为零电位，体积内填充密度p 二皿（一）sin（—为一■:- 的电荷。
球体积内的丨。
提示：假设-可以用三维® = E为工心狮（二_）曲（_^_）如（—）傅里叶级数表示为-■ - - - ' ■'，并将」展成相似的三维傅里叶级数，把丨和J的展式代入泊松方程：二决定系数二叱。
25.一对无限大接地平行导体板。
板间有一与z轴平行的线电荷匸，其位置为（0，d），求板间的电位函数。
26.矩形槽电位为零，槽中有一与槽平行的直线电荷讥。
求槽内的电位函数27.在均匀电场匸-二匚I中垂直于电场方向放置一导体圆柱，圆柱半径为a。
求圆柱外的电位函数和导体表面的感应电荷密度。
28.考虑一介电常数为［的无限大的介质，在介质中沿z轴方向开一个半径为a的圆柱形空腔。
沿x轴方向加一均匀电场-一，求空腔内和空腔外的电位29.—个半径为b,无限长的薄导体圆柱面被分割成四分之一圆柱面。
第二象限和第四象限的四分之一圆柱面接地，第一象限和第三象限分别保持电位 -■和一丄。
求圆柱内部的电位分布30.一无限长介质圆柱，在距离轴线"-■-处，有一与圆柱平行的线电荷「计算空间各部分的电位31.一无限长导体圆柱，在距离轴线"-'■-处，有一与圆柱平行的线电荷匚计算空间各部分的电位32 .在均匀电场E中放入半径为a导体球，设⑴导体充电至「;⑵导体上充电荷量Q 试分别计算两种情况下球外的电位分布。
33.无限大介质中外加均匀电场匚二，在介质中有一半径为a的球形空腔,求空腔中的二和空腔表面的极化电荷密度（介质的介电常数为二）34.空心导体球壳内、外半径分别为-，」，球中心放置一偶极子球壳上的电量为Q试计算球内外的电位分布和球壳上的电荷分布35.欲在一半径为a 的球上绕线圈使在球内产生均匀场，问线圈应如何绕（即求绕线密度）？（提示：计算表面电流密度' o ） 36. —半径R 的介质球带有均允极化强度丄o （1）证明：球内的电场强度是均匀P的，等于 \ ;⑵ 证明：球外的电场与一个位于球心的偶极子 「[产生的电场 相同， :37. 半径为a 的接地导体球，离球心 二"处放置一点电荷q 。
用分离变量法 求电位分布38. —根密度为匚长为2a 线电荷沿z 轴放置，中心在原点上。
证明：对于 r>a 的点，有 厂’" " 。
提示：将线电荷分为线 元―一，按点电荷写出r>z 的的球坐标的展开式，再积分39. —半径a 的细导线圆环，环与xy 平面重合，中心在原点上。
环上总电荷量 为Q 证明：空间任意点电位为40. —点电荷q 与无限大导体平面距离为d ,如果把它移到无穷远处，需要做多 少功？41. 一电荷量为q 质量为m 的小带电体，放置在无限大导体平面下方，与平面距 离h o 求q 的值以使带电体上受到的静电力与重力相平衡 （设比」八匸叫衣，h ， 0.02m ）o<Pi = 2 4兀卫 一；（孑乌伽0）+諮）垢（c 。
询十…] 2 a 8 a 急[1-£ A a 乌伽越+ 紗耳(cos 6)+…]r <a r>a42.(1)证明：一个点电荷q和一个带有电荷量Q半径为R的导体球之间的力是Q RD3 R当q与Q同号，且■/:" 一」「成立时F表现为吸引力43.两点电荷(+Q)和(-Q)位于一个半径为a的导电求直径的延长线上，分别距球心D 和(-D)。
2我(1)证明：镜像电荷构成一偶极子，位于球心，偶极距为—“；亘⑵ 令D和Q分别趋于无穷，同时保持匚“不变，计算球外的电场arcwh(b(X-/严a」。
提示：利用虚位移法46.一个二维静电场，电位函数为，边界条件为上100V下50V左0V右100V,将正方形场域分成20个正方形网格。
有16个内部网格点。
假定16个网格点的初始值都定为零，试用超松弛法确定16个内网格点的电位值。
(本题最好在计算机上求解)47.电荷均匀分布于两平行的圆柱面间的区域中，密度为p ,两圆柱半径分别为a和b,轴线相距c,且a+c v b,如图所示，求空间各区域的电位移和电场强度。
ff - Q *D 丸呦,式中D是q到球心的距离。
(2)证明:44.一与地面平行架设的圆界面导线，半径为a,悬挂高度为h。
证明：导线与地间的单位长度上的电容为arcosh45.上题中设导线与地间电压为U。
证明：地对导线单位长度的作用力为48. 半径为a 的球中充满密度p (r)的体电荷，已知电位移分布为厂？ + 加2 r - a a 5 + Aa 4 、 --------- r - a 八 其中A 为常数，试求电荷密度p (r)。
49.验证下列标量函数在它们各自坐标中满足^ 2© =0求：(1) sin(kx)sin(ly)exp(-hz)其中 h2= k2+ 12 ； (2) rn [cos (n © )+ Asin (n ©)]圆柱坐标；(3) r — ncos (n ©) 圆柱坐标；(4) rcos ©球坐球；(5) r — 2cos © 球坐球。
50. 已知y >0的空间中没有电荷，下列几个函数中哪些可能是电位函数解?(1) expycoshx ；(2) exp(-y)cosx ；(3) 汰、、｛(4) sinxsinysinz51.中心位于原点，边长为L的电介质立方体极化强度矢量•’j 求：(1)计算面和体束缚电荷密度；(2)证明总的束缚电荷为零。
52.平行板电容器的长、宽为a和b,板间距离为d o电容器的一半厚度(0〜d/2) 用介电常数为£的电介质填充。
(1)板上外加电压U0,求板上的自由电荷面密度、束缚电荷；(2)若已知极板上的自由电荷总量Q,求此时极间电压和束缚电荷;(3)求电容器的电容量53.在介电常数£的无限大均匀介质中，开有如下的空腔，求各个空腔中的E和D;(1)平行于E的针形开腔;(2)底面垂直于E的薄盘形空腔;54.考虑一电导率不为零的电介质(丫，£)，设其介质特性和导电特性都是不均匀的。
证明当介质中有恒定电流J时，体积内将出现自由电荷，体密度为P p?若有则进一步求出p p55.两层介质的同轴电缆，介质分界面为同轴的圆柱面，内导体半径为a；分界面半径为b，外导体内半径为c；两层介质的介电数为£ 1和£ 2，漏电导为丫 1 和丫2。
