线性代数说课稿

线性代数讲稿今天我给大家介绍一下线性代数的基础知识。

在这节课中，我将向同学们介绍：什么是线性代数，线性代数有哪些分支和各个分支之间有什么关系，以及线性代数研究的主要问题是什么？现在我们先看，这节课上所用的例题，以便同学们能够更好地理解并掌握线性代数的基本概念。

1。

比较矩阵A与矩阵B，设A的秩为n， B的秩为m， A与B 的转置矩阵定义为(x__a)__(y__b)。

则称A与B相似，记作A_B， A_B 与A相似等价于B_A，记作B_A。

A与B的相似关系称为矩阵A与B 的关系。

有的书上写成A与B的形式为A_B， A与B的形式是相似关系的矩阵，秩就是矩阵A的秩，形式上不做区分。

2。

矩阵的相似对角化问题。

若A、 B为n×n矩阵，并且A为n ×n对角矩阵，那么称B经过A的相似对角化可得到A经过B的相似对角化，则称A与B相似对角化。

3。

将矩阵的乘法表示成两个矩阵的乘法，这种矩阵乘法叫作线性变换。

也可以说，通过变换可以把一个矩阵的表示形式变成另一个矩阵的表示形式。

这种矩阵乘法称为线性运算。

线性运算按行(列)顺序进行运算，结果保持不变，但逆矩阵需进行反向运算。

3。

线性表示：把一个向量或一组向量映射成矩阵的乘积。

每个向量都用数值上最小的单位来度量，这种度量方法称为线性度量。

一个向量是线性表示的充分必要条件是该向量与所有其它向量线性相关，而且只有当该向量对应的矩阵的列向量线性无关时，这个向量才是线性表示的。

4。

线性表示的性质： 1)线性表示的两个向量必须线性无关； 2)两个线性表示之间的线性映射必须是可逆的； 3)线性表示之间的两个矩阵可以相等，即它们的行(列)逆阵必须相等； 4)如果两个线性表示是相似的，则它们的矩阵是相似对角化的。

5。

向量空间：定义：设a是实数集合C上的线性无关的，可测向量组成的集合，称a为X上的线性空间。

那么A就是线性空间X上的向量空间。

线性空间X上的线性变换是一个向量空间。

《线性代数》教案一、前言1. 教学目标：使学生理解线性代数的基本概念、理论和方法，培养学生运用线性代数解决实际问题的能力。

2. 适用对象：本教案适用于大学本科生线性代数课程的教学。

3. 教学方式：采用讲授、讨论、练习相结合的方式进行教学。

二、教学内容1. 第一章：线性代数基本概念1.1 向量及其运算1.2 线性方程组1.3 矩阵及其运算1.4 行列式2. 第二章：线性空间与线性变换2.1 线性空间2.2 线性变换2.3 矩阵与线性变换2.4 特征值与特征向量3. 第三章：特征值与特征向量3.1 特征值与特征向量的定义3.2 矩阵的特征值与特征向量3.3 矩阵的对角化3.4 二次型4. 第四章：线性方程组的求解方法4.1 高斯消元法4.2 克莱姆法则4.3 矩阵的逆4.4 最小二乘法5. 第五章：线性代数在实际应用中的案例分析5.1 线性规划5.2 最小二乘法在数据分析中的应用5.3 线性代数在工程中的应用5.4 线性代数在计算机科学中的应用三、教学方法1. 讲授：通过讲解线性代数的基本概念、理论和方法，使学生掌握线性代数的基础知识。

2. 讨论：组织学生就线性代数中的重点、难点问题进行讨论，提高学生的思维能力和解决问题的能力。

3. 练习：布置适量的练习题，让学生通过自主练习巩固所学知识，提高解题能力。

四、教学评价1. 平时成绩：考察学生的出勤、作业、课堂表现等方面，占总评的30%。

2. 期中考试：考察学生对线性代数知识的掌握程度，占总评的40%。

3. 期末考试：全面测试学生的线性代数知识水平和应用能力，占总评的30%。

五、教学资源1. 教材：推荐使用《线性代数》（高等教育出版社，同济大学数学系编）。

2. 辅助教材：可参考《线性代数教程》（清华大学出版社，谢乃明编著）。

3. 网络资源：推荐学生浏览线性代数相关网站、论坛，拓展知识面。

4. 软件工具：推荐使用MATLAB、Mathematica等数学软件，辅助学习线性代数。

《线性代数》教案一、前言1. 教学目标（1）理解线性代数的基本概念和原理；（2）掌握线性代数的基本运算方法和技巧；（3）能够应用线性代数解决实际问题。

2. 教学内容（1）线性方程组；（2）矩阵及其运算；（3）线性空间和线性变换；（4）特征值和特征向量；（5）二次型。

二、第一章：线性方程组1. 教学目标（1）理解线性方程组的定义和性质；（2）掌握线性方程组的求解方法；（3）能够应用线性方程组解决实际问题。

2. 教学内容（1）线性方程组的定义和性质；（2）线性方程组的求解方法：高斯消元法、克莱姆法则；（3）线性方程组的应用：线性规划、电路方程等。

三、第二章：矩阵及其运算1. 教学目标（1）理解矩阵的定义和性质；（2）掌握矩阵的运算方法；（3）能够应用矩阵解决实际问题。

2. 教学内容（1）矩阵的定义和性质；（2）矩阵的运算：加法、数乘、乘法；（3）矩阵的逆矩阵及其求法；（4）矩阵的应用：线性方程组、线性变换等。

四、第三章：线性空间和线性变换1. 教学目标（1）理解线性空间和线性变换的定义和性质；（2）掌握线性变换的表示方法；（3）能够应用线性变换解决实际问题。

2. 教学内容（1）线性空间的定义和性质；（2）线性变换的定义和性质；（3）线性变换的表示方法：矩阵表示、坐标表示；（4）线性变换的应用：图像处理、信号处理等。

五、第四章：特征值和特征向量1. 教学目标（1）理解特征值和特征向量的定义和性质；（2）掌握特征值和特征向量的求法；（3）能够应用特征值和特征向量解决实际问题。

2. 教学内容（1）特征值和特征向量的定义和性质；（2）特征值和特征向量的求法：幂法、矩阵对角化；（3）特征值和特征向量的应用：线性变换、振动系统等。

六、第五章：二次型1. 教学目标（1）理解二次型的定义和性质；（2）掌握二次型的标准形和规范形；（3）能够应用二次型解决实际问题。

2. 教学内容（1）二次型的定义和性质；（2）二次型的标准形和规范形：配方法、矩阵的对角化；（3）二次型的应用：最小二乘法、优化问题等。

一、课程名称：线性代数二、授课班级：XX班三、授课时间：XX课时四、教学目标：1. 让学生掌握线性代数的基本概念、性质和运算方法。

2. 培养学生运用线性代数知识解决实际问题的能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

五、教学重点与难点：1. 教学重点：线性方程组的解法、矩阵的运算、行列式、特征值与特征向量、二次型等。

2. 教学难点：线性方程组的解法、矩阵的秩、特征值与特征向量的求解、二次型的标准形等。

六、教学过程：1. 导入新课（1）回顾上一节课所学内容，引导学生回顾线性方程组的解法。

（2）提出本节课的学习目标，激发学生的学习兴趣。

2. 新课讲授（1）线性方程组的解法1）介绍高斯消元法、矩阵的初等变换、矩阵的秩等概念。

2）讲解高斯消元法的具体步骤和计算方法。

3）通过例题讲解如何运用高斯消元法求解线性方程组。

（2）矩阵的运算1）介绍矩阵的乘法、加法、数乘等运算。

2）讲解矩阵运算的法则和性质。

3）通过例题讲解如何进行矩阵运算。

（3）行列式1）介绍行列式的概念和性质。

2）讲解行列式的计算方法。

3）通过例题讲解如何计算行列式。

（4）特征值与特征向量1）介绍特征值和特征向量的概念。

2）讲解特征值的计算方法。

3）通过例题讲解如何求解特征值和特征向量。

（5）二次型1）介绍二次型的概念和性质。

2）讲解二次型的标准形和正定二次型。

3）通过例题讲解如何求解二次型。

3. 课堂练习（1）布置与新课内容相关的练习题，让学生巩固所学知识。

（2）教师巡视指导，解答学生疑问。

4. 总结与作业（1）对本节课所学内容进行总结，强调重点和难点。

（2）布置课后作业，巩固所学知识。

七、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的学习态度、参与度等。

2. 作业完成情况：检查学生的课后作业完成情况，了解学生对知识点的掌握程度。

3. 考试成绩：通过期中、期末考试，评估学生对线性代数知识的掌握程度。

八、教学反思：1. 总结本节课的教学效果，分析学生在学习过程中存在的问题。

线性代数试讲教案第一章：线性代数简介1.1 线性代数的定义与意义介绍线性代数的定义和基本概念解释线性代数在数学和实际应用中的重要性1.2 向量空间与线性映射介绍向量空间的概念和性质介绍线性映射的定义和性质1.3 矩阵与行列式介绍矩阵的定义和基本运算介绍行列式的定义和性质第二章：线性方程组2.1 线性方程组的定义介绍线性方程组的定义和基本概念解释线性方程组在实际应用中的重要性2.2 高斯消元法介绍高斯消元法的步骤和原理通过例子演示高斯消元法的应用2.3 矩阵的逆介绍矩阵的逆的定义和性质讲解如何通过矩阵的逆来解线性方程组第三章：线性变换3.1 线性变换的定义介绍线性变换的定义和基本概念解释线性变换在数学和实际应用中的重要性3.2 线性变换的矩阵表示介绍线性变换的矩阵表示方法解释如何通过矩阵来表示线性变换3.3 线性变换的性质介绍线性变换的性质和判定条件解释线性变换的奇偶性等概念第四章：特征值与特征向量4.1 特征值与特征向量的定义介绍特征值和特征向量的定义和基本概念解释特征值和特征向量在数学和实际应用中的重要性4.2 求解特征值和特征向量讲解如何求解矩阵的特征值和特征向量通过例子演示求解过程4.3 特征值和特征向量的应用介绍特征值和特征向量在解决问题中的应用解释特征值和特征向量在图像处理、物理等领域的作用第五章：二次型5.1 二次型的定义介绍二次型的定义和基本概念解释二次型在数学和实际应用中的重要性5.2 二次型的标准形介绍二次型的标准形的定义和性质讲解如何将一般二次型化为标准形5.3 二次型的判定定理介绍二次型的判定定理和性质解释二次型的正定性、负定性和不定性的概念第六章：线性空间与线性独立6.1 线性空间的定义与性质介绍线性空间的概念和基本性质解释线性空间在数学和实际应用中的重要性6.2 线性独立与基底介绍线性独立的概念和判定方法讲解如何找到线性空间的基底6.3 维度与秩介绍维度和秩的概念及其关系解释维度和秩在解决问题中的应用第七章：向量组的线性相关性7.1 向量组的线性相关性定义介绍向量组的线性相关性的概念和基本性质解释向量组的线性相关性在数学和实际应用中的重要性7.2 向量组的线性相关性的判定讲解如何判定向量组是否线性相关通过例子演示判定过程7.3 极大线性无关组与基底介绍极大线性无关组的概念和性质解释如何找到向量组的基底第八章：特征值与特征向量的应用8.1 特征值和特征向量的应用概述概述特征值和特征向量在数学和实际应用中的重要性解释特征值和特征向量在不同领域中的应用8.2 二次型与特征值讲解二次型与特征值的关系解释如何利用特征值和特征向量解决二次型问题8.3 线性变换与特征值介绍线性变换与特征值的关系解释如何利用特征值和特征向量研究线性变换第九章：二次型的几何意义9.1 二次型的几何意义概述概述二次型的几何意义及其在数学和实际应用中的重要性解释二次型与几何问题之间的关系9.2 二次型的标准形与几何形状讲解二次型的标准形与几何形状的关系解释如何通过标准形分析二次型的几何性质9.3 二次型的正定性及其应用介绍二次型的正定性的概念和性质解释二次型的正定性在几何中的应用第十章：线性代数在实际应用中的例子10.1 线性代数在工程中的应用介绍线性代数在工程领域中的应用例子解释线性代数在解决工程问题中的作用10.2 线性代数在计算机科学中的应用介绍线性代数在计算机科学领域中的应用例子解释线性代数在计算机图形学、机器学习等领域的应用10.3 线性代数在其他领域的应用介绍线性代数在其他领域中的应用例子解释线性代数在经济学、生物学等领域的应用第十一章：线性代数的进一步应用11.1 最小二乘法介绍最小二乘法的原理和应用解释如何利用线性代数中的矩阵和方程组解决最小二乘问题11.2 线性规划介绍线性规划的基本概念和解法解释如何将线性规划问题转化为线性代数问题求解11.3 控制理论介绍控制理论中的线性系统和状态空间表示解释线性代数在控制理论中的应用和意义第十二章：特征值和特征向量的进一步讨论12.1 特征值的扰动分析讲解特征值对参数变化的敏感性分析解释如何利用特征值分析线性系统的稳定性和动态行为12.2 特征向量的正交性介绍特征向量的正交性和施密特正交化方法解释特征向量正交性在几何和物理中的应用12.3 特征值和特征向量的谱理论介绍谱理论的基本概念和性质解释谱理论在数学物理中的重要性和应用第十三章：线性代数软件与应用13.1 MATLAB与线性代数介绍MATLAB软件在线性代数计算中的应用解释如何使用MATLAB进行矩阵运算和线性方程组求解13.2 Python与线性代数介绍Python语言在线性代数计算中的应用解释如何使用Python库（如NumPy）进行矩阵运算和线性代数问题求解13.3 线性代数在科学研究中的应用介绍线性代数在科学研究中的典型应用案例解释线性代数工具在数据分析、图像处理等领域的作用第十四章：线性代数的历史与发展14.1 线性代数的历史回顾回顾线性代数的发展历程和关键人物解释线性代数在数学发展中的地位和影响14.2 现代线性代数的研究方向介绍线性代数当前的研究热点和方向解释线性代数在现代数学和应用数学中的作用14.3 线性代数的未来展望探讨线性代数在未来可能的发展趋势解释线性代数在解决新兴问题和挑战中的潜力第十五章：综合练习与拓展阅读15.1 综合练习题提供一个线性代数综合练习题集解释如何通过练习题巩固线性代数知识和技能15.2 拓展阅读材料推荐线性代数相关的拓展阅读材料解释如何通过拓展阅读深入理解和研究线性代数15.3 线性代数的实际案例研究介绍线性代数在实际案例研究中的应用解释线性代数在解决复杂问题和创新发展中的作用重点和难点解析重点：1. 线性代数的基本概念和向量空间性质。

大学数学说课稿线性代数基础教学大学数学说课稿：线性代数基础教学一、引言数学作为一门基础学科，对于大学生的综合素质培养具有重要作用。

而线性代数作为数学的重要分支之一，是理工科专业以及计算机科学等领域的基础课程，对学生培养抽象思维、逻辑思维和问题解决能力有着重要意义。

本次说课将结合大学线性代数教学的特点，着重介绍线性代数基础教学的流程和方法。

二、教学目标1. 知识目标：使学生掌握线性代数基础知识，包括向量、矩阵、行列式等内容；2. 能力目标：培养学生抽象思维、逻辑思维和问题解决能力；3. 情感目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的数学思维能力。

三、教学重点与难点1. 教学重点：向量空间的定义与性质、线性方程组的求解方法；2. 教学难点：线性空间的概念理解、线性变换的理解与应用。

四、教学内容与教学方法1. 教学内容：(1) 向量空间的定义与性质：向量的线性组合、线性相关性与线性无关性等；(2) 线性方程组的求解方法：高斯消元法、矩阵的初等变换等；2. 教学方法：(1) 讲授法：结合具体例子和图示，介绍向量空间的定义与性质；(2) 实例演练法：通过解决一些实际问题，巩固学生对线性方程组求解方法的理解与应用能力。

五、教学流程1. 导入：通过提问或引用实例，引发学生对线性代数的兴趣，了解线性代数在现实生活中的应用；2. 知识点讲解：(1) 向量空间的定义与性质：通过讲解向量的线性组合、线性相关性与线性无关性等概念，引导学生理解向量空间的概念；(2) 线性方程组的求解方法：通过讲解高斯消元法、初等变换等方法，指导学生掌握线性方程组的求解过程；3. 实例演练：(1) 向量空间实例：通过具体的向量空间实例，引导学生应用向量空间的定义与性质，进行相关练习；(2) 线性方程组实例：选择一些简单的线性方程组实例，与学生一起进行高斯消元法和初等变换的演练；4. 总结与拓展：(1) 总结本节课的教学内容，强调学生应掌握的重要概念和解题技巧；(2) 拓展教学内容，提出一些相关的数学问题，激发学生的思考和求解能力。

文档第一章 行列式本章说明与要求:行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分支上都有着广泛的应用．在本章里我们主要讨论下面几个问题：(1) 行列式的定义；(2) 行列式的基本性质及计算方法；(3) 利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则)．本章的重点是行列式的计算，要求在理解n 阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n 阶行列式．计算行列式的基本思路是：按行(列)展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公因式，从而简化计算．常用的行列式计算方法和技巧有：直接利用定义法，化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法．行列式在本章的应用是求解线性方程组(克莱姆法则)．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件． 。

本章的重点：行列式性质；行列式的计算。

本章的难点：行列式性质；高阶行列式的计算；克莱姆法则。

1.1 二阶与三阶行列式行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．因此我们首先讨论解方程组的问题．设有二元线性方程组 ⎩⎨⎧=+=+22221211112111b x a x a b x a x a(1)用加减消元法容易求出未知量x 1，x 2的值，当a 11a 22 – a 12a 21≠0 时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=211222112112112211222112122211a a a a a b b a x a a a a b a a b x (2)这就是一般二元线性方程组的公式解．但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源．我们称4个数组成的符号2112221122211211a a a a a a a a -=为二阶行列式．它含有两行，两列．横的叫行，纵的叫列．行列式中的数叫做行列式的元素．从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号．文档根据定义，容易得知(2) 中的两个分子可分别写成222121212221a b a b b a a b =-，221111211211b a b a a b b a =-，如果记 22211211a a a a D =，2221211a b a b D =，2211112b a b a D =则当D ≠0时，方程组(1) 的解(2)可以表示成2221121122212111a a a a a b a b DD x ==， 2221121122111122a a a ab a b a DD x ==， (3)象这样用行列式来表示解，形式简便整齐，便于记忆．首先(3) 中分母的行列式是从(1) 式中的系数按其原有的相对位置而排成的．分子中的行列式，x 1的分子是把系数行列式中的第1列换成(1)的常数项得到的，而x 2的分子则是把系数行列式的第2列换成常数项而得到的．例1 用二阶行列式解线性方程组 ⎩⎨⎧=+=+231422121x x x x解：这时 0214323142≠=⨯-⨯==D ， 5243132411-=⨯-⨯==D ，3112221122=⨯-⨯==D ， 因此，方程组的解是 2511-==D D x ，2322==D D x ，对于三元一次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (4)作类似的讨论，我们引入三阶行列式的概念．我们称符号312213332112322311322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++= (5)为三阶行列式，它有三行三列，是六项的代数和．这六项的和也可用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素的乘积取正号，从右上角到左下角三个元素的乘积取负号．例2 532134212-1062012242301325)4(123223)4(211532=-+--+==⨯⨯-⨯-⨯-⨯⨯-⨯⨯-+⨯⨯+⨯⨯=文档令 333231232221131211a a a a a aa a a D =3332323222131211a a b a a b a a b D =，3333123221131112a b a a b a a b a D =， 3323122221112113b a a b a a b a a D =． 当 D ≠0时，(4)的解可简单地表示成D D x 11=，D Dx 22=，DD x 33= (6)它的结构与前面二元一次方程组的解类似．例3 解线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=+-423152302321321321x x x x x x x x x解：28231523112=---=D ，132345211101=---=D ，472415131022=--=D ，214311230123=-=D ．所以，281311==D D x ，284722==D D x ，43282133===D D x ． 例4 已知010100=-a bb a，问a ，b 应满足什么条件？(其中a ，b 均为实数)．解：2210100b a a b b a +=-，若要a 2+b 2=0，则a 与b 须同时等于零．因此，当a =0且b =0时给定行列式等于零．为了得到更为一般的线性方程组的求解公式，我们需要引入n 阶行列式的概念，为此，先介绍排列的有关知识．1.2 排列在n 阶行列式的定义中，要用到排列的某些知识，为此先介绍排列的一些基本知识． 定义1由数码1，2，…，n 组成一个有序数组称为一个n 级排列．例如，1234是一个4级排列，3412也是一个4级排列，而52341是一个5级排列．由数码1，2，3组成的所有3级排列为：123，132，213，231，312，321共有3!=6个．数字由小到大的n 级排列1234…n 称为自然序排列．定义2在一个n 级排列i 1i 2…i n 中，如果有较大的数 i t 排在较小的数 i s 的前面(i s <i t )， 则称i t 与i s 构成一个逆序，一个n 级排列中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记作N (i 1i 2…i n )．文档例如， 在4 级排列3412中， 31，32，41，42，各构成一个逆序数，所以，排列3412的逆序数为N (3412)=4．同样可计算排列52341的逆序数为N (52341)=7．容易看出， 自然序排列的逆序数为0．定义3 如果排列i 1i 2…i n 的逆序数N (i 1i 2…i n )是奇数，则称此排列为奇排列，逆序数是偶数的排列则称为偶排列．例如，排列3412是偶排列．排列52341是奇排列． 自然排列123…n 是偶排列．定义4 在一个n 级排列i 1…i s …i t …i n 中， 如果其中某两个数i s 与i t 对调位置，其余各数位置不变，就得到另一个新的n 级排列i 1…i t …i s …i n ，这样的变换称为一个对换，记作(i s ，i t )．如在排列3412中，将4与2对换， 得到新的排列3214． 并且我们看到：偶排列3412经过4与2的对换后，变成了奇排列3214． 反之，也可以说奇排列3214经过2与4的对换后，变成了偶排列3412．一般地，有以下定理：定理1 任一排列经过一次对换后，其奇偶性改变．定理2 在所有的n 级排列中(n ≥2)，奇排列与偶排列的个数相等，各为2!n 个．1.3 n 阶行列式本节我们从观察二阶、三阶行列式的特征入手．引出n 阶行列式的定义． 已知二阶与三阶行列式分别为2112221122211211a a a a a a a a -=111213212223112233122331132132112332122133132231313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++--- 其中元素a ij 的第一个下标i 表示这个元素位于第i 行，称为行标，第二个下标j 表示此元素位于第j 列，称为列标．我们可以从中发现以下规律：(1) 二阶行列式是2！项的代数和，三阶行列式是3！项的代数和；(2) 二阶行列式中每一项是两个元素的乘积，它们分别取自不同的行和不同的列，三阶行列式中的每一项是三个元素的乘积，它们也是取自不同的行和不同的列；(3) 每一项的符号是：当这一项中元素的行标是按自然序排列时，如果元素的列标为偶排列，则取正号；为奇排列，则取负号．作为二、三阶行列式的推广我们给出n 阶行列式的定义．定义1 由排成n 行n 列的n 2个元素a ij (i ，j =1，2，…，n )组成的符号nnn n nn a a a a a a a a a 212222111211文档称为n 阶行列式．它是n !项的代数和，每一项是取自不同行和不同列的n 个元素的乘积，各项的符号是：每一项中各元素的行标排成自然序排列，如果列标的排列为偶排列时，则取正号；为奇排列，则取负号．于是得nnn n nn a a a a a a a a a 212222111211＝∑n j j j 21n n nj j j j j j N a a a 212121)()1(- (1)其中∑nj j j 21表示对所有的n 级排列j 1j 2…j n 求和．(1)式称为n 阶行列式按行标自然顺序排列的展开式．)(21)1(n j j j N -n nj j j a a a 2121称为行列式的一般项．当n =2、3时，这样定义的二阶、三阶行列式与上面§1.1中用对角线法则定义的是一致的．当n =1时，一阶行列为|a 11|= a 11．如当n =4时，4阶行列式44342414434241333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a ，表示4！=24项的代数和，因为取自不同行、不同列4个元素的乘积恰为4！项．根据n 阶行列式的定义，4阶行列式为44342414434241333231232221131211 a a a a a a a a a a a a a a a a ∑-４４４＝j j j j j j j j j j j N a a a a 213214321321)()1( 例如a 14a 23a 31a 42行标排列为1234，元素取自不同的行；列标排列为4312，元素取自不同的列，因为N (4312)=5，所以该项取负号，即–a 14a 23a 31a 42是上述行列式中的一项．为了熟悉n 阶行列式的定义，我们来看下面几个问题． 例1 在5阶行列式中，a 12a 23a 35a 41a 54这一项应取什么符号？解：这一项各元素的行标是按自然顺序排列的，而列标的排列为23514．因 N (23514)=4 故这一项应取正号．例2 写出4阶行列式中，带负号且包含因子a 11a 23的项． 解：包含因子a 11a 23项的一般形式为４４j j j j N a a a a 34332311)13()1(-，按定义，j 3可取2或4，j 4可取4或2，因此包含因子a 11a 23的项只能是a 11a 23a 32a 44或a 11a 23a 34a 42 ，但因 N (1324)=1为奇数，N (1342)=2为偶数 所以此项只能是 –a 11a 23a 32a 44．例3 计算行列式hg vu f e y x dc ba 0000文档解 这是一个四阶行列式，按行列式的定义，它应有4!=24项．但只有以下四项adeh ，adfg ，bceh ，bcfg 不为零．与这四项相对应得列标的4级排列分别为1234，1243，2134和2143，而N (1234)=0，N (1243)=1，N (2134)=1和N (2143)=2，所以第一项和第四项应取正号，第二项和第三项应取负号，即hg v u f e y x d c ba 0000= adeh –adfg –bceh +bcfg 例4 计算上三角形行列式 nnnn a a a a a a D 21221211 0=其中a ii ≠０ (i =1， 2，…， n )． 解：由n 阶行列式的定义，应有n !项，其一般项为n nj j j a a a 2121但由于D 中有许多元素为零，只需求出上述一切项中不为零的项即可．在D 中，第n 行元素除a nn 外，其余均为０．所以j n =n ；在第n –1行中，除a n–1n –1和a n –1n 外，其余元素都是零，因而j n –1只取n –1、n 这两个可能，又由于a nn 、a n –1n 位于同一列，而j n =n ．所以只有j n –1 = n –1．这样逐步往上推，不难看出，在展开式中只有a 11a 22…a nn 一项不等于零．而这项的列标所组成的排列的逆序数是N (12…n )=0故取正号．因此，由行列式的定义有nnnn a a a a a a D 21221211==a 11a 22…a nn 即上三角形行列式的值等于主对角线上各元素的乘积．同理可求得下三角形行列式nnn n a a a a a a021222111=a 11a 22…a nn 特别地，对角形行列式nna a a 0002211=a 11a 22…a nn 上(下)三角形行列式及对角形行列式的值，均等于主对角线上元素的乘积．例5 计算行列式0000001121n n n a a a -解 这个行列式除了a 1n a 2n –1…a n 1这一项外，其余项均为零，现在来看这一项的符号，列标的n 级排列为n (n –1)…21，N (n (n –1)…21)= (n –1)+ (n –2)+…+2+1=2)1(-⋅n n ，所以文档0000001121n n n a a a -=11212)1()1(n n n n n a a a ---同理可计算出000112222111211n n na a a a a a a -=nnnn n nn na a a a a a 112121000-- =11212)1()1(n n n n n a a a --- 由行列式的定义，行列式中的每一项都是取自不同的行不同的列的n 个元素的乘积，所以可得出：如果行列式有一行(列)的元素全为0，则该行列式等于0．在n 阶行列式中，为了决定每一项的正负号，我们把n 个元素的行标排成自然序排列，即n nj j j a a a 2121．事实上，数的乘法是满足交换律的，因而这n 个元素的次序是可以任意写的，一般地，n 阶行列式的项可以写成n n j i j i j i a a a 2211 其中i 1i 2…i n ，j 1 j 2…j n 是两个n 阶排列，它的符号由下面的定理来决定．1.4 行列式的性质当行列式的阶数较高时，直接根据定义计算n 阶行列式的值是困难的，本节将介绍行列式的性质，以便用这些性质把复杂的行列式转化为较简单的行列式(如上三角形行列式等)来计算．将行列式D 的行列互换后得到的行列式称为行列式D 的转置行列式，记作D T，即若nnn n n n a a a a a a a a a D212222111211=， 则nnnnn n T a a a a a a a a a D212221212111=．反之，行列式D 也是行列式D T的转置行列式，即行列式D 与行列式D T互为转置行列式．性质１ 行列式D 与它的转置行列式D T的值相等． 性质２ 交换行列式的两行(列)，行列式变号．例１ 计算行列式053704008000051753603924--=D 解：将第一、二行互换，第三、五行互换，得0504008053070392417536)1(2---=D文档推论 若行列式有两行(列)的对应元素相同，则此行列式的值等于零． 性质３ 行列式某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．即nnn n in i i n nnn n in i i n a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a211111211211111211= 此性质也可表述为：用数k 乘行列式的某一行(列)的所有元素，等于用数k 乘此行列式． 推论：如果行列式中有两行(列)的对应元素成比例，则此行列式的值等于零．性质４ 如果行列式的某一行 (列)的各元素都是两个数的和，则此行列式等于两个相应的行列式的和，即nnn n in i i n nnn n in i i n nnn n in in i i i i n a a a c c c a a a a a a b b b a a a a a a c b c b c b a a a21211121121211121121221111211+=+++ 性质5 把行列式的某一行 (列)的所有元素乘以数k 加到另一行(列)的相应元素上，行列式的值不变．即nnn n sn s s in i i n a a a a a a a a a a a a D21212111211= nnn n snin s i s i in i i n a a a a ka a ka a ka a a a a a a2122112111211+++作为行列式性质的应用，我们来看下面几个例子．例2 计算行列式 3111131111311113=D 解：这个行列式的特点是各行４个数的和都是６，我们把第２、３、４各列同时加到第１列，把公因子提出，然后把第１行×(–1)加到第２、３、４行上就成为三角形行列式．具体计算如下：i 行×k 加 到第s 行文档例3 计算行列式0112012120112110-----=D 例4 试证明：011=++++=cb a d b a dc da cb dc b a D １１例5 计算n +1阶行列式 xa a a a x a a a a x a a a a xD n n n321212121=例6 解方程0)1(11111)2(111112111111111111=------x n xn x x例7 试证明奇数阶反对称行列式 000021212112=---=nnnna a a a a a D证：D 的转置行列式为00021212112n nnn Ta a a a a a D ---=，从D T中每一行提出一个公因子(–1)，于是有D a a a a a a D n nnnnnT )1(000)1(21212112-=----=，但由性质1知道D T =D文档∴ D =(–1)nD 又由n 为奇数，所以有D = –D ，即 2D =0， 因此 D =0．1.5 行列式按一行(列)展开本节我们要研究如何把较高阶的行列式转化为较低阶行列式的问题，从而得到计算行列式的另一种基本方法——降阶法．为此，先介绍代数余子式的概念．定义 在n 阶行列式中，划去元素a ij 所在的第i 行和第j 列后，余下的元素按原来的位置构成一个n –1阶行列式，称为元素a ij 的余子式，记作Ｍij ．元素a ij 的余子式Ｍij 前面添上符号(–1)i+j称为元素a ij 的代数余子式，记作A ij ．即A ij ＝(–1)i +jM ij ．例如：在四阶行列式44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a D =中a 23的余子式是M 23=444241343231141211a a a a a a a a a 而 A 23=(–1)2+3M 23= –444241343231141211a a a a a a a a a 是a 23的代数余子式． 定理１ n 阶行列式D 等于它的任意一行(列)的元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即D =a i 1A i 1+a i 2A i 2+…+a in A in (i =1，2，…，n )或 D =a 1j A 1j +a 2j A 2j +…+a nj A nj (j=1，2，…，n )．定理２ n 阶行列式D 中某一行(列)的各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式的乘积之和等于零，即：a i 1A s 1+a i 2A s 2+…+a in A sn =0 (i ≠s )或 a 1j A 1t +a 2j A 2t +…+a nj A nt =0 (j ≠t )．定理1表明，n 阶行列式可以用n –1阶行列式来表示，因此该定理又称行列式的降阶展开定理．利用它并结合行列式的性质，可以大大简化行列式的计算．计算行列式时，一般利用性质将某一行(列)化简为仅有一个非零元素，再按定理1展开，变为低一阶行列式，如此继续下去，直到将行列式化为三阶或二阶．这在行列式的计算中是一种常用的方法．例１ 计算行列式 5101242170131312-----=D文档例３ 计算yy x x D -+-+=1111111111111111，其中 xy ≠０．例４ 试证 ∏≤<≤-----=ni j j in nn n n n n a aa a a a a a a a a a a a 111312112232221321)(1111(1)式中左端叫范德蒙行列式．结论说明，n 阶范德蒙行列式之值等于a 1， a 2， …， a n ，这n 个数的所有可能的差a i –a j (1≤j<i ≤n )的乘积．例５ 计算n 阶行列式1232110000010000010000001n nn n n x x x D x a a a a a a x------=-+例6 证明22211211222112112221222112111211222112110000b b b b a a a a b b c c b b c c a a a a ⋅=（拉普拉斯展开） 本例题的结论对一般情况也是成立的，即mmm m mk m m mk kk k k k b b b c c c b b b c c c a a a a a a212111211112112111211000000mmm m m kk k k k b b b b b b a a a a a a21112112111211⋅=文档1.6 克莱姆法则前面我们已经介绍了n 阶行列式的定义和计算方法，作为行列式的应用，本节介绍用行列式解n 元线性方程组的方法——克莱姆法则．它是§１中二、三元线性方程组求解公式的推广．设含有n 个未知量n 个方程的线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212*********(1)它的系数a ij 构成的行列式 nnn n nna a a a a a a a a D212222111211=称为方程组(1)的系数行列式．定理１ (克莱姆法则) 如果线性方程组(1)的系数行列式D ≠０，则方程组(1)有唯一解：, , , ,2211DD x D Dx D D x n n ===(2) 其中D j (j=1，2，…，n ，)是D 中第j 列换成常数项b 1，b 2，…，b n ，其余各列不变而得到的行列式．这个法则包含着两个结论：方程组(1)有解，解唯一．下面分两步来证明． 第一步：在D ≠０的条件下，方程组(1)有解，我们将验证由(2)式给出的数组 , , ,21DD D D D D n 确实是方程组(1)的解．第二步：若方程组有解，必由(2)式给出，从而解是唯一的．例１ 解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=-++-=+-+=+-+24664284333521234321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解：因为0172130011500011012312619012130011012314616284323521231≠=----=----=------=D所以方程组有唯一解，又,04626284323321211 ,34461228442353123121=-----=-=-----=D D852616484333521231 ,17421624432352113143=-----==---=D D ．文档即得唯一解：51785,11717 ,0170 ,217344321======-=-=x x x x ． 注意：用克莱姆法则解线性方程组时，必须满足两个条件：一是方程的个数与未知量的个数相等；二是系数行列式D ≠０．当方程组(1)中的常数项都等于０时，称为齐次线性方程组．即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a称为齐次线性方程组．显然，齐次线性方程组(3)总是有解的，因为x 1=0， x 2=0，…， x n =0必定满足(3)，这组解称为零解，也就是说：齐次线性方程组必有零解．在解x 1=k 1， x 2=k 2，…， x n =k n 不全为零时，称这组解为方程组(3)的非零解． 定理2 如果齐次线性方程组(3)的系数行列式D ≠０，则它只有零解． 推论 如果齐次线性方程组(3)有非零解，那么它的系数行列式D ＝０．例2 若方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++02003213213211x bx x x bx x x x x a 只有零解，则a 、b 应取何值？解：由定理２知，当系数行列式D ≠０时，方程组只有零解，)1(1211111a b bb aD -==所以，当a ≠1且b ≠０时，方程组只有零解．第二章矩阵说明与要求:矩阵是一个表格，作为表格的运算与数的运算既有联系又有区别．要熟练掌握矩阵的加法、乘法与数量乘法的运算规则，并熟练掌握矩阵行列式的有关性质．线性方程组的一些重要性质都反映在它的系数矩阵和增广矩阵上，所以我们可以通过矩阵来求解线性方程组，通过矩阵来判断解的情况等．但是矩阵的应用不仅限于线性方程组，而是多方面的．因此矩阵在线性代数中是一个重要而且应用广泛的概念正确理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质及矩阵可逆的充要条件．会用伴随矩阵求矩阵的逆．熟练掌握用初等变换求逆矩阵的方法．。

《线性代数》教案一、前言1. 教学目标：使学生理解线性代数的基本概念和性质，掌握线性代数的基本运算和应用，提高学生解决实际问题的能力。

2. 教学内容：本章主要介绍线性代数的基本概念、线性方程组、矩阵及其运算、线性空间和线性变换。

3. 教学方法：采用讲解、案例分析、练习相结合的方法，引导学生主动探究、积极参与，培养学生的逻辑思维和抽象思维能力。

二、第一节线性代数的基本概念1. 教学目标：使学生了解线性代数的发展历程，理解向量、线性方程组、线性空间等基本概念。

2. 教学内容：a. 线性代数的起源和发展；b. 向量的定义和性质；c. 线性方程组的解法；d. 线性空间的定义和性质。

3. 教学方法：通过讲解和案例分析，让学生了解线性代数的历史背景，通过练习，巩固基本概念。

三、第二节线性方程组1. 教学目标：使学生掌握线性方程组的求解方法，会运用线性方程组解决实际问题。

2. 教学内容：a. 线性方程组的矩阵表示；b. 高斯消元法求解线性方程组；c. 克莱姆法则；d. 线性方程组在实际问题中的应用。

3. 教学方法：通过讲解和练习，使学生掌握线性方程组的求解方法，培养学生解决实际问题的能力。

四、第三节矩阵及其运算1. 教学目标：使学生理解矩阵的概念，掌握矩阵的运算规则，会运用矩阵解决实际问题。

2. 教学内容：a. 矩阵的定义和性质；b. 矩阵的运算（加法、数乘、乘法）；c. 逆矩阵的概念和性质；d. 矩阵的应用。

3. 教学方法：通过讲解和练习，使学生掌握矩阵的基本运算，培养学生解决实际问题的能力。

五、第四节线性空间和线性变换1. 教学目标：使学生了解线性空间和线性变换的概念，理解它们在数学和其他领域的应用。

2. 教学内容：a. 线性空间的概念和性质；b. 线性变换的定义和性质；c. 线性变换的应用。

3. 教学方法：通过讲解和案例分析，使学生了解线性空间和线性变换的基本概念，培养学生的抽象思维能力。

六、第五节行列式1. 教学目标：使学生理解行列式的概念，掌握行列式的计算方法，会运用行列式解决实际问题。