八年级数学下册.1矩形第课时同步练习新版浙教版1

5.1 矩形（第2课时）课堂笔记有个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的是矩形.课时训练A组基础训练1. 下列命题中假命题是（）A. 有三个角都是直角的四边形是矩形B. 对角线相等的平行四边形是矩形C. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形D. 对角线相等的四边形是矩形2. 如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连结EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（）A. AB=BEB. DE⊥DCC. ∠ADB=90°D. CE⊥DE3. 四边形ABCD的对角线AC，BD，下面给出的三个条件中，选取两个，能使四边形ABCD是矩形，①AC，BD互相平分；②AC⊥BD；③AC=BD，则正确的选法是（）A. ①②B. ①③C. ②③D. 以上都可以4. 矩形的三个顶点坐标分别是（-2，-3），（1，-3），（-2，-4），那么第四个顶点坐标是（）A. （1，-4）B. （-8，-4）C. （1，-3）D. （3，-4）5．如图，已知四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，E，F，G，H分别是四边形ABCD各边中点. 若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为（）A． 48 B． 24C． 12 D．无法计算6. 如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到E，使CE=CD，连结AE交BC于F，∠AFC=n∠D，当n= 时，四边形ABEC是矩形.7. 在四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形. 你添加的条件是（写出一种即可）.8. 如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOD是正三角形，AD=4，则ABCD的面积为 .9. 如图，矩形ABCD中，E，F分别是AD，AB上的点，若EF=EC，EF⊥EC，DE=2，矩形的周长为16，则AE的长为 .10. 工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图1），使AB=CD，EF=GH；（2）摆放成如图2的四边形，则这时窗框的形状是形，根据的数学道理是：；（3）将直角尺靠紧窗框的一个角（如图3），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图4），说明窗框合格，这时窗框是形，根据的数学道理是： .11．如图，AB∥CD，EF交AB于E，交CD于F，且EF截AB、CD所得的两对同旁内角的平分线分别相交于G，H. 求证：四边形EGFH是矩形.12．如图，在ABCD中，E为BC的中点，连结AE并延长交DC的延长线于点F.（1）求证：AB＝CF；（2）当BC与AF满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形，并说明理由.B组自主提高13．四边形四边长分别是a，b，c，d，其中a，c为对边，且满足a2+b2+c2+d2=2ab+2cd，则顺次连结四边形各边中点所组成的四边形必是 .14. 如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，且AF=DC，连结CF.（1）求证：D是BC的中点；（2）如果AB=AC，试猜测四边形ADCF的形状，并证明你的结论.参考答案5.1 矩形（第2课时）【课堂笔记】三 平行四边形【课时训练】1—5. DBBAC6. 27. 答案不唯一. 如：∠A=90°，AC=BD 等 8. 163 9. 3 10. （2）平行四边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （3）矩 有一个角是90°的平行四边形是矩形11. ∵AB ∥CD ，∴∠AEF+∠CFE=180°，∵FG ，EG 分别平分∠CFE 和∠AEF ，∴∠GEF=21∠AEF ，∠GFE=21∠CFE ，∴∠GEF+∠GFE=90°，∴∠G=90°，同理可得∠H=90°，∵FH 平分∠EFD ，∴∠EFH=21∠EFD ，∴∠GFE+∠EFH=21∠CFE+21∠EFD=90°，∴四边形EGFH 是矩形. 12. （1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∵点F 为DC 的延长线上的一点，∴AB ∥DF ，∴∠BAE=∠CFE ，∠ECF=∠EBA ，∵E 为BC 中点，∴BE=CE ，则在△BAE 和△CFE 中，∠BAE=∠CFE ，∠EBA=∠ECF ，BE=CE ，∴△BAE ≌△CFE ，∴AB=CF.（2）满足BC ＝AF 时，四边形ABFC 是矩形. 理由：由（1）得AB=CF ，又∵AB ∥CF ，∴四边形ABFC 是平行四边形，又∵BC=AF ，∴?荀ABFC 是矩形（对角线相等的平行四边形为矩形）13. 矩形14. （1）∵AF ∥BC ，∴∠AFE=∠DBE. ∵E 是AD 的中点，∴AE=DE. 又∵∠AEF=∠DEB ，∴△AEF ≌△DEB ，∴AF=DB. ∵AF=DC ，∴DB=DC ，即D 是BC 的中点.（2）四边形ADCF 是矩形.证明：∵AF ∥DC ，AF=DC ，∴四边形ADCF 是平行四边形. ∵AB=AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC. ∴四边形ADCF 是矩形.【点拨】（1）利用平行得角相等，从而证明△AEF ≌△DEB ，由此可得BD=DC ；（2）只要利用等腰三角形“三线合一”的性质说明AD ⊥BC 即可.。

浙教版八年级下册数学矩形练习一、选择题1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）A．对角线相等B．对角相等C．对边相等D．对角线互相平分2．如图，用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线AC，BD就可以判断，其推理依据是（ ）A．矩形的对角线相等B．矩形的四个角是直角C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线相等的平行四边形是矩形3．如图，在矩形ABCD中，AO=5，CD=6，则AD的长为（ ）A．5B．6C．7D．84．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC：∠EDA=1：2，且DE=23，则AC的长度是（ ）A．25B．2C．8D．5335．如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，B的对应点为E，AE与CD相交于点F.若∠FCE=40°，则∠CAB的度数为（ ）A．15°B．20°C．25°D．40°6．如图，在▱ ABCD中，有下列条件：①AC=BD.②∠1+∠3=90°.③OB= 1AC.④∠1=∠2.其中能判定2▱ ABCD是矩形的有（ ）A．①B．①②③C．②③④D．①②③④7．如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=6，点P为平面内一点，且BP=2，点Q为CD上一个动点，则AQ+PQ的最小值为（ ）A．11B．52−2C．103−2D．138．已知，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点E是线段AB上的一个动点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到DF，过F作FG⊥CD于点G，连接EF，取EF的中点H，连接DH，AH．点E在运动过程中，下列结论：①△ADE≌△GDF；②当点H和点G互相重合时，AE=6；③∠GFH=∠ADE；④32≤AH≤72．正确的有（ ）个．A．1B．2C．3D．4二、填空题9．如图，已知▱ABCD中对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD成为一个矩形．你添加的条件是__．10．已知矩形的面积是43，其中一边长为6，则对角线长为 ．11．如图．将矩形ABCD沿直线DE折叠，顶点A落在BC边上F处，已知BE＝3，CD＝8．则BF的长是 ．12．如图，已知矩形ABCD，AB=9，AD=4，E为CD边上一点，CE=6，点P从B点出发，以每秒1个单位的速度沿着BA边向终点A运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒，则当t的值为 时，△PAE是以PE为腰的等腰三角形．三、解答题13．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，点F在边AD上，BE=DF，求证：四边形AECF是矩形.14．如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O．（1）求证∶AO=CO（2）若∠OCD=30∘，AB=3，求△AOC的面积．15．如图，在△ABC中，AC=9，AB=12，BC=15，P 为边BC上一动点，PG⊥AC 于点G，PH⊥AB 于点H.（1）求证：四边形AGPH 是矩形.（2）在点P 的运动过程中，GH 的长是否存在最小值? 若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.答案解析部分1．【答案】A【解析】【分析】矩形是一个特殊的平行四边形，因此平行四边形的性质矩形都具有，而矩形的性质：①对角线相等，②四个角是直角平行四边形不具有，据此即可得到结果。

5.1矩形一．选择题1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交与点O，以下说法错误的是（）A．∠ABC=90°B．AC=BD C．OA=OB D．OA=AD2．如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF=4，设AB=x，AD=y，则x2+（y﹣4）2的值为（）A．4B．8C．12D．163．如图，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20cm，则这个矩形的一条较短边的长度为（）A．10cm B．8cm C．6cm D．5cm4．如图，在矩形ABCD中，AF⊥BD于E，AF交BC于点F，连接DF，则图中面积相等但不全等的三角形共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对5．如图，矩形ABCD的周长是28，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，AC=10，则△DOE的周长是（）A．12B．13C．14D．156．如图，在矩形ABCD中，E为BC边的中点，∠AEC的平分线交AD边于点F，若AB=3，AD=8，则FD的长为（）A．1B．2C．3D．4二．填空题1．如图：在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知∠AOB=60°，AC=16，则图中长度为8的线段有条．（填具体数字）2．如图，矩形ABCD对角线AC=10，BC=6，则图中四个小矩形的周长和为．3．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形ABCD是矩形，顶点A、B、C、D的坐标分别为（﹣1，0），（5，0），（5，2），（﹣1，2），点E（3，0）在x轴上，点P在CD边上运动，使△OPE为等腰三角形，则满足条件的P点有个．4．如图，AB∥CD，将矩形EFGH的顶点E和F分别放在直线AB与CD上，若∠1=40°，则∠CFG的度数等于．三．解答题1．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB=AO，求∠ABD的度数．2．如图，E、F分别是矩形ABCD对角线上的两点，且BE=DF，求证：AE=CF．3．如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点O．若AO=3，∠OBC=30°，求矩形的周长和面积．参考答案一．选择题1．D【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC=OB=OD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，∴A、B、C各项结论都正确，而OA=AD不一定成立，故选D．2．D【解析】∵四边形ABCD是矩形，AB=x，AD=y，∴CD=AB=x，BC=AD=y，∠BCD=90°．又∵BD⊥DE，点F是BE的中点，DF=4，∴BF=DF=EF=4．∴CF=4﹣BC=4﹣y．∴在直角△DCF中，DC2+CF2=DF2，即x2+（4﹣y）2=42=16，∴x2+（y﹣4）2=x2+（4﹣y）2=16．故选：D．3．D【解析】根据矩形的性质求出OA=OB，AC=BD，求出AC的长，求出OA和OB的长，推出等边三角形OAB，求出AB=OA，代入求出即可．4．D【解析】∵S△ABD与S△ADF，底边为AD，高为AB，∴S△ABD=S△ADF∴S△ABD﹣S△ADE=S△ABE，∴S△ABE=S△DEF，∵S△ABF与S△BDF，底边为BF，高为AB，∴S△ABF=S△BDF，S△ADF与S△BCD，等底，等高，∴S△ADF=S△BDC，∴图中能确定面积相等但不全等的三角形共有4对，故选：C．5．A【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，AC=BD=10，∴OB=OD=BD=5，∵矩形ABCD的周长是28，∴CD+BC=14，∵点E是CD的中点，∴DE=CD，OE是△BCD的中位线，∴OE=BC，∴DE+OE=（CD+BC）=7，∴△DOE的周长=OD+DE+OE=5+7=12；故选：A．6．C【解析】根据矩形点的性质可得AD∥BC，AD=BC，再求出BE的长度，再根据勾股定理列式求出AE的长，然后根据角平分线的定义求出∠AEF=∠CEF，根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠CEF，再求出AEF=∠AFE，根据等角对等边可得AE=AF，然后根据FD=AD ﹣AF代入数据计算即可得解．二．填空题1．6【解析】∵AC=16，四边形ABCD是矩形，∴DC=AB，BO=DO=BD，AO=OC=AC=8，BD=AC，∴BO=OD=AO=OC=8，∵∠AOB=60°，∴△ABO是等边三角形，∴AB=AO=8，∴DC=8，即图中长度为8的线段有AO、CO、BO、DO、AB、DC共6条，故答案为：6．2．28．【解析】由勾股定理，得AB===8，将五个小矩形的所有上边平移至AB，所有下边平移至CD，所有左边平移至AD，所有右边平移至BC，则五个小矩形的周长之和=2（AB+BC）=2×（6+8）=28．故答案为：28．3．3．【解析】如图，满足条件的P点有3个．故答案为：3．4．130°．【解析】延长HG交CD于M，如图所示：∵AB∥CD，∴∠2=∠1=40°，∵四边形EFGH是矩形，∴∠FGH=90°，∴∠FGM=90°，∴∠CFG=∠FGM+∠2=90°+∠40°=130°；故答案为：130°．三．解答题1．60°【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∴AO=OB，∵AB=AO，∴AB=AO=BO，∴△ABO是等边三角形，∴∠ABD=60°．2．答案见解析【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD．∴∠ABE=∠CDF．在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS）．∴AE=CF．3．答案见解析【解析】∵四边形ABCD是矩形，AO=3，∴∠ABC=90°，AD=BC，AB=DC，AO=OC，OB=OD，AC=BD，∴AC=BD=2AO=6，OB=OC，∴AB=AC=3，由勾股定理得：BC=3，∴AB=DC=3，AD=BC=3，∴矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=6+6，矩形ABCD的面积是AB×BC=3×3=9．。

5.1__矩形__第1课时矩形的性质[学生用书B36]1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( A )A．对角线相等B．对角相等C．对边相等D．对角线互相平分【解析】矩形的特殊性质：①四个角都是直角；②对角线相等．故选A.2．如图5－1－1，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法不一定成立的是(D)图5－1－1A．∠ABC＝90°B．AC＝BDC．OA＝OB D．OA＝AD3．若矩形的对角线长为4 cm，一条边长为2 cm，则此矩形的面积为(B) A．8 3 cm2B．4 3 cm2C．2 3 cm2D．8 cm2【解析】矩形的另一边长为42－22＝23(cm)，其面积为2×23＝43(cm2)．故选B.4．如图5－1－2，矩形ABCD的周长为56，对角线AC，BD交于点O，△ABO与△BCO的周长差为4，则AB的长是(C)A．12 B．22C．16 D．26【解析】∵2(AB＋BC)＝56，∴AB＋BC＝28.①又∵(AO＋OB＋AB)－(OB＋OC＋BC)＝4，OA＝OC，∴AB－BC＝4.②①＋②，得2AB＝32，∴AB＝16.故选C.图5－1－25．如图5－1－3，在矩形ABCD中(AD＞AB)，E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为F.在下列结论中，不一定正确的是(B)图5－1－3A．AB＝AF B．AF＝12ADC．△AFD≌△DCE D．BE＝AD－DF 【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∠C＝90°，AB＝CD，AD＝BC，∴∠ADF ＝∠DEC ，∵AF ⊥DE ，∴∠AFD ＝∠C ＝90°，∴在△AFD 和△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ADF ＝∠DEC ，∠AFD ＝∠C ，AD ＝DE ，∴△AFD ≌△DCE ，故C 正确； ∴AF ＝DC ，∴AB ＝AF ，故A 正确； BE ＝BC －CE ＝AD －DF ，故D 正确． 综上，B 不一定正确，故选B.6．[2018·株洲]如图5－1－4，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AC ＝10，P ，Q 分别为AO ，AD 的中点，则PQ 的长度为__2.5__． 【解析】 ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AC ＝BD ＝10，BO ＝DO ＝12BD ＝5. ∵点P ，Q 是AO ，AD 的中点， ∴PQ 是△AOD 的中位线． ∴PQ ＝12DO ＝2.5.图5－1－47．如图5－1－5，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连结AE，如果∠ADB＝30°，则∠E＝__15__度．图5－1－5【解析】如答图，连结AC.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BE，AC＝BD，且∠CAD＝∠ADB＝30°，∴∠DAE＝∠E，第7题答图又∵CE＝BD，∴CE＝CA，∴∠CAE＝∠E，∵∠CAD ＝∠CAE ＋∠DAE ， ∴∠CAD ＝2∠E ＝30°，∴∠E ＝15°.8．[2018·湘西州]如图5－1－6，在矩形ABCD 中，E 是AB 的中点，连结DE ，CE .(1)求证：△ADE ≌△BCE ；(2)若AB ＝6，AD ＝4，求△CDE 的周长．图5－1－6解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ＝BC ，∠A ＝∠B . ∵E 是AB 的中点，∴AE ＝BE . 在△ADE 与△BCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝BC ，∠A ＝∠B ，AE ＝BE ，∴△ADE ≌△BCE (SAS )；(2)∵AB ＝6，E 是AB 的中点，∴AE ＝BE ＝3. 在Rt △ADE 中，AD ＝4，AE ＝3，根据勾股定理可得DE ＝AD 2＋AE 2＝42＋32＝5.∵△ADE ≌△BCE ，∴DE ＝CE ＝5. 又∵CD ＝AB ＝6.∴DE ＋CE ＋CD ＝5＋5＋6＝16， 即△CDE 的周长为16.9．如图5－1－7，在矩形ABCD 中，连结对角线AC ，BD ，将△ABC 沿BC 方向平移，使点B 移到点C ，得到△DCE . (1)求证：△ACD ≌△EDC ；图5－1－7(2)请探究△BDE 的形状，并说明理由． 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝DC ，AC ＝BD ，AD ＝BC ，∠ADC ＝∠ABC ＝90°， 由平移的性质得DE ＝AC ，CE ＝BC ＝AD ， ∠DCE ＝∠ABC ＝∠ADC ＝90°，在△ACD 和△EDC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝EC ，∠ADC ＝∠ECD ，CD ＝DC ，∴△ACD≌△EDC(SAS)；(2)△BDE是等腰三角形，理由如下：∵AC＝BD，DE＝AC，∴BD＝DE，∴△BDE是等腰三角形．10．[2018春·永定校级月考]如图5－1－8，矩形ABCD中，AC，BD相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠CAE＝15°，求∠BOE的度数．图5－1－8解：∵AE平分∠BAD交BC于E，∴∠BAE＝45°，∴AB＝BE，∵∠CAE＝15°，∴∠BAO＝60°，∴∠ACB＝30°，又∵OA＝OB，∴△BOA是等边三角形，∴OB＝AB＝BE，∴△BOE是等腰三角形，且∠OBE＝∠OCB＝30°，∴∠BOE＝12×(180°－30°)＝75°.11．如图5－1－9，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F.(1)求证：△AEF ≌△CDF ； (2)求DF 的长．图5－1－9解：(1)证明：∵矩形ABCD 沿对角线AC 对折，使△ABC 落在△AEC 的位置， ∴AE ＝AB ，∠E ＝∠B ＝90°， 又∵四边形ABCD 为矩形， ∴AB ＝CD ，∴AE ＝DC ，∵在△AEF 与△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AFE ＝∠CFD ，∠E ＝∠D ，AE ＝CD ，∴△AEF ≌△CDF (AAS )；(2)∵△AEF ≌△CDF ，∴AF ＝CF ， ∵四边形ABCD 为矩形， ∴AD ＝BC ＝6，CD ＝AB ＝4， 设F A ＝x ，则FC ＝x ，DF ＝6－x ， 在Rt △CDF 中，CF 2＝CD 2＋DF 2，即x2＝42＋(6－x)2，解得x＝13 3，则DF＝6－x＝5 3.12．如图5－1－10，在矩形ABCD中，已知AD＞AB.在边AD上取点E，使AE ＝AB，连结CE.过点E作EF⊥CE，与边AB或其延长线交于点F.猜想：如图①，当点F在边AB上时，线段AF与DE的大小关系为__AF＝DE__；探究：如图②，当点F在边AB的延长线上时，EF与边BC交于点G.请判断线段AF与DE的大小关系并说明理由．图5－1－10解：探究：AF＝DE.理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD，∴∠F＋∠AEF＝90°，∵EF⊥CE，∴∠CEF＝90°，∴∠AEF＋∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠F，∵AE＝AB，∴AE＝CD，在△AFE 和△DEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠F ＝∠DEC ，∠A ＝∠D ，AE ＝DC ，∴△AFE ≌△DEC (AAS )，∴AF ＝DE .第2课时矩形的判定1．[2018·丹江口模拟]下列说法不正确的是(C)A．有一个角是直角的平行四边形是矩形B．有三个角是直角的四边形是矩形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形2．[2018·上海]已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是(B)A．∠A＝∠B B．∠A＝∠CC．AC＝BD D．AB⊥BC【解析】∵∠A＝∠B，AD∥BC，∴∠A＝∠B＝90°，故A选项能判断；∵∠A ＝∠C是一组对角相等，任意平行四边形都具有的性质，故B选项不能判断；∵对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项能判断，∵AB⊥BC，∴∠B＝90°，故D选项能判断．3．[2019·长清区期末]四边形ABCD的对角线AC，BD互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是(B)A．AB＝CD B．AC＝BDC．AB＝BC D．AC⊥BD【解析】可以添加的条件是AC＝BD.理由如下：∵四边形ABCD的对角线AC，BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．4．如图5－1－11，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，连结EB，EC，DB.添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是(B)A．AB＝BE B．BE⊥DCC．∠ADB＝90°D．CE⊥DE图5－1－11【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD綊BC，∵DE＝AD，∴DE綊BC，∴四边形DBCE为平行四边形．A．若AB＝BE，又∵AB＝CD，∴CD＝BE，∴四边形DBCE为矩形，故此选项正确；C．若∠ADB＝90°，∴∠EDB＝90°，∴四边形DBCE为矩形，故此选项正确；D．若CE⊥DE，∴∠DEC＝90°，∴四边形DBCE 为矩形，故此选项正确．故选B.5．[2018·宁波模拟]如图5－1－12，在▱ABCD 中，E ，F 为BC 上两点，且BE ＝CF ，AF ＝DE ，求证：图5－1－12(1)△ABF ≌△DCE ；(2)四边形ABCD 是矩形．证明：(1)∵BE ＝CF ，BF ＝BE ＋EF ，CE ＝CF ＋EF ，∴BF ＝CE .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝DC .在△ABF 和△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DC ，BF ＝CE ，AF ＝DE ，∴△ABF ≌△DCE (SSS )；(2)∵△ABF ≌△DCE ，∴∠B ＝∠C .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD .∴∠B ＋∠C ＝180°.∴∠B ＝∠C ＝90°.∴四边形ABCD是矩形．6．如图5－1－13，已知▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，△AOB是等边三角形，AB＝4 cm.(1)求证：▱ABCD是矩形；(2)求▱ABCD的面积．图5－1－13解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，△AOB是等边三角形，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴AC＝BD，∴▱ABCD是矩形；(2)∵AB＝4，在Rt△ABC中，由题意可知，AC＝8，则BC＝43，＝4×43＝163(cm2)．∴S▱ABCD7．[2018·罗平二模]如图5－1－14，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OE ＝OF.(1)求证：△BOE≌△DOF；(2)若BD＝EF，连结DE，BF，判断四边形EBFD的形状，并说明理由．图5－1－14第7题答图解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB ＝OD ，在△BOE 和△DOF 中，⎩⎪⎨⎪⎧OE ＝OF ，∠BOE ＝∠DOF ，OB ＝OD ，∴△BOE ≌△DOF ；(2)四边形EBFD 是矩形．理由：如答图，连结DE ，BF ，∵OB ＝OD ，OE ＝OF ，∴四边形BEDF 是平行四边形，又∵BD ＝EF ，∴平行四边形BEDF 是矩形．8．[2019·温州一模]已知：如图5－1－15，在▱ABCD 中，DE 平分∠ADB ，交AB 于E ，BF 平分∠CBD ，交CD 于F .(1)求证：△ADE ≌△CBF ；(2)当AD 与BD 满足什么关系时，四边形DEBF 是矩形？请说明理由．图5－1－15解：(1)证明：∵AD ＝BC ，∠A ＝∠C ，AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠CBD ，∵DE 平分∠ADB ，BF 平分∠CBD ，∴∠ADE ＝∠CBF ，在△ADE 与△CBF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ADE ＝∠CBF ，AD ＝BC ，∠A ＝∠C ，∴△ADE ≌△CBF (ASA )；(2)当AD ＝BD 时，四边形DEBF 是矩形．理由：∵△ADE ≌△CBF ，∴DE ＝BF ，∵∠EDB ＝∠DBF ，∴DE ∥BF ，∴四边形DEBF是平行四边形，∵DE平分∠ADB，AD＝BD，∴DE⊥BE，∴∠DEB＝90°，∴平行四边形DEBF是矩形．9．如图5－1－16，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和点G，H.(1)求证：△PHC≌△CFP；(2)证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们之间面积的关系．图5－1－16解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形．∴DC∥AB，AD∥BC，又∵EF∥AB，AD∥GH，∴EF∥CD，BC∥GH，∴∠CPF＝∠HCP，∠CPH＝∠PCF，在△PHC 和△CFP 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠HCP ＝∠FPC ，PC ＝CP ，∠CPH ＝∠PCF ，∴△PHC ≌△CFP (ASA )；(2)证明：由(1)知AB ∥EF ∥CD ，AD ∥GH ∥BC ，∴四边形PEDH 和四边形PFBG 都是平行四边形．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝∠B ＝90°.∴四边形PEDH 和四边形PFBG 都是矩形．面积关系：S 四边形PEDH ＝S 四边形PFBG (提示：△PHC ≌△CFP ，△AEP ≌PGA ，△DAC ≌△BCA )．10．如图5－1－17①，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，经过点O 的直线与边AB 相交于点E ，与边CD 相交于点F .① ②图5－1－17(1)求证：OE ＝OF ；(2)如图②，连结DE ，BF ，当DE ⊥AB 时，在不添加其他辅助线的情况下，直接写出腰长等于12BD 的所有的等腰三角形．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，AB ∥CD ，OB ＝OD ，∴∠OAE ＝∠OCF ，在△OAE 和△OCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠OAE ＝∠OCF ，OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF ，∴△AOE ≌△COF (ASA )，∴OE ＝OF ；(2)∵OE ＝OF ，OB ＝OD ，∴四边形DEBF 是平行四边形，∵DE ⊥AB ，∴∠DEB ＝90°，∴四边形DEBF 是矩形，∴BD ＝EF ，∴OD ＝OB ＝OE ＝OF ＝12BD ，∴腰长等于12BD 的所有的等腰三角形为△DOF ，△FOB ，△EOB ，△DOE .11．如图5－1－18，延长▱ABCD 的边DC 到点E ，使CE ＝DC ，连结AE ，交BC 于点F ，连结AC ，BE .(1)求证：BF ＝CF ；(2)若AB ＝2，AD ＝4，且∠AFC ＝2∠D ，求▱ABCD 的面积．图5－1－18 解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，BC＝AD，∵CE＝DC，∴AB＝EC，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形，∴BF＝CF；(2)由(1)知四边形ABEC是平行四边形，∴F A＝FE，FB＝FC.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D. 又∵∠AFC＝2∠D，∴∠AFC＝2∠ABC.∵∠AFC＝∠ABC＋∠BAF，∴∠ABC＝∠BAF，∴F A＝FB，∴F A＝FE＝FB＝FC，∴AE＝BC，∴四边形ABEC是矩形，∴∠BAC＝90°，∵BC＝AD＝4，∴AC＝BC2－AB2＝42－22＝23，＝AB·AC＝2×23＝4 3.∴S▱ABCD。

矩形同步练习一、判断题(每题2分，共4分)1．一组对边相等，另一组对边平行，对角线相等的四边形是矩形。

( )2．有三个角相等的四边形是矩形。

( )二、填空题(每题4分，共32分)1．矩形ABCD的对角线相交于O，若∠AOB＝100°，则∠OAB＝°2．四边形ABCD的对角线相交于O，OA＝OB＝OC＝OD，则它是形，若∠AOB＝60°，那么AB∶AC ＝3．矩形的短边长为5cm，长边是短边的2倍，则矩形的周长是，面积等于4．矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和是15，则对角线长为，短边长为。

5．如图，矩形的周长为24cm，一边中点与对边两顶点边线成直角，则矩形的两邻边分别为cm和cm。

6．如图，矩形ABCD的周长是56，对角线相交于O，△OAB与△OBC的差是4，则AD＝7．矩形的对角线AC、BD相交于O，∠AOB＝2∠BOC，若AC＝6cm，则AD ＝8．如图，矩形ABCD的对角线相交于O点，AE⊥BD，垂足为E，若∠DAE ＝4∠BAE，则∠EAC＝三、选择题(每题4分，共16分)1．矩形具有而一般平行四边形不一定具有的特征是( )A．对边相等B．对角相等C．对角线相等 D．对角线互相平分2．具备下列条件的四边形，不能断定四边形是矩形的是( )A．三个角都是直角B．四个角都相等C．对角线相等的平行四边形D．对角线垂直且相等3．如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝30，E、F三等分AC，则△ABE 的面积是( )A．60 B．100 C．150 D．2004．在ABCD 中，增加下列条件中的一个，就能断定它是矩形的是( )A．∠A＋∠C＝180°B．AB＝BC C．AC⊥BD D．AC＝2AB四、解答题(每题12分，共48分)1．如图，BO是直角△ABC斜边上的中线，请以O点为旋转中心，将△ABC旋转180°得一四边形ABCD，试判断ABCD是什么四边形，试说明BO＝12AC2．如图，矩形ABCD中，E是AD中点，⑴判断△BCE是什么三角形？为什么？⑵若∠EBC＝70°，求∠BEC的度数。

（浙教版)八年级下册第五章特殊的平行四边形第一节矩形同步习题一、单选题1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( ) A ．对角线互相垂直 B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．对角相等2．检查一个门框（已知两组对边分别相等）是不是矩形，不可用的方法是（ ） A ．测量两条对角线是否相等 B ．用重锤线检查竖门框是否与地面垂直 C ．测量两条对角线是否互相平分D ．测量门框的三个角是否都是直角3．如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOB ＝60°，AO ＝4，则AB 的长是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．84．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AD ＝DB ，CD ＝4，则AB 等于（ ）A ．8B ．6C ．4D ．25．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，BD 是AC 的中线，BD=5，则以下结论正确的是（ ）A ．5AB = B ．10AB =C ．10BC =D ．10AC =6．已知：如图，矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝12，对角线AC 、BD 相交于点O ，点P 是线段AD 上任意一点，且PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，则PE +PF 等于（ ）A ．6013B ．5013C ．185D ．1257．如图，在直角坐标系中，将矩形OABC 沿OB 对折，使点A 落在A 1处，已知AB=1，则点A 1的坐标是（ ）A ．32)B ．3)C ．(32D ．(128．矩形ABCD 与CEFG ，如图放置，点B ，C ，E 共线，点C ，D ，G 共线，连接AF ，取AF 的中点H ，连接GH ．若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH=（ ）A ．1B ．23C D 9．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，P 为边BC 上一动点（P 不与B 、C 重合），PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的取值范围是( )A ．3013≤AM ＜6 B ．5≤AM ＜12 C ．125≤AM ＜12D ．125≤AM ＜6 10．如图所示，矩形ABCD 中，AE 平分BAD ∠交BC 于E ，15CAE ︒∠=，则下面的结论：①ODC ∆是等边三角形；②=2BC AB ；③135AOE ︒∠=；④AOE COE S S ∆∆=，其中正确结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．如图，在平行四边形ABCD 中，添加一个条件________使平行四边形ABCD 是矩形.12．矩形的两条对角线的夹角为60，较短的边长为12cm ，则对角线长为________cm ．13．如图，已知在ABC ∆中，90,ACB ∠=︒CD 是AB 边上的中线，6AB =，则CD 的长度是_______．14．如图，E 是矩形ABCD 的对角线的交点，点F 在边AE 上，且DF ＝DC ，若∠ADF ＝25°，则∠ECD ＝___°．15．矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∠AOD ＝120°，AC ＝8，则△ABC 的周长为_____． 16．如图，矩形ABCD 中将其沿EF 翻折后，D 点恰落在B 处，∠BFE = 65°，则∠AEB =____________.17．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，且BA ＝6，AC ＝8，点D 是斜边BC 上的一个动点，过点D 分别作DM ⊥AB 于点M ，DN ⊥AC 于点N ，连接MN ，则线段MN 的最小值为_____．18．如图，将平行四边形ABCD 的边DC 延长到E ，使CE CD =，连接AE 交BC 于F ，AFC n D ∠∠=，当n =______时，四边形ABEC 是矩形．19．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90º，BC ＝4，E 、F 分别是BC ，AC 的中点，延长BA 到点D ，使AD=12AB ，则DF=_______．20．如图，点P 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作EF ∥BC ，分别交AB ，CD 于点E ，F ，连接PB ，PD ．若AE ＝2，PF ＝8.则图中阴影部分的面积为___．三、解答题21．如图，在矩形ABCD 中，AE ∥BD ，且交CB 的延长线于点E ，求证：∠EAB ＝∠CAB ．22．已知：在矩形ABCD 中，BD 是对角线，AE BD ⊥于点E ，CF BD ⊥于点F ．求证：AE CF =23．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AC ＝5，AB ＝12，∠BAC 的平分线与BC 的垂直平分线DG 交于点D ，DE ⊥AC 的延长线于点E ，DF ⊥AB 于点F ．（1）求证：CE ＝BF ； （2）求DG 的长．24．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AO ＝CO ，BO ＝DO ，且∠ABC +∠ADC ＝180°．（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）若∠ADF ：∠FDC ＝3：2，DF ⊥AC ，求∠BDF 的度数．25．如图，ABCD 的面积为60DAB ︒∠=.点P 从点D 出发，以每秒1个单位的速度向点C 运动:点Q 从点B 同时出发，以每秒3个单位的速度向点A 运动.规定其中一个点到达端点时，另一个点也随之停止运动。

第5章特殊平行四边形5．1 矩形(一)1．在矩形ABCD中，其中三个顶点的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(5，3)，则第四个顶点的坐标是(A)A. (0，3)B. (3，0)C. (0，5)D. (5，0)2．如图，在矩形纸片ABCD中，E是AD的中点，且AE＝1，BE的垂直平分线MN恰好过点C，则AB的长为(C)A．1 B. 2C. 3 D．2【解】提示：连结EC，则EC＝BC＝AD＝2AE＝2.（第2题）(第3题)3．如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上．若矩形ABCD和矩形AEFC 的面积分别是S1，S2，则S1，S2的大小关系是(B)A．S1>S2B．S1＝S2C．S1<S2D．3S1＝2S2(第4题)4．如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片折叠，使点B恰好落在CD边上的中点F处，折痕为AE.若CD＝6，则AE等于(A)A．43B．3 3C．42D．8(第5题)5．如图，矩形ABCD的周长为20 cm，AC交BD于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F，连结CE，则△CDE的周长为(D)A．5 cm B．8 cmC．9 cm D．10 cm6．如图，E是矩形ABCD的边AD的延长线上一点，且AD＝DE，连结BE交CD于点O，连结AO，则下列结论不正确的是(A)(第6题)A. △AOB≌△BOCB. △BOC≌△EODC. △AOD≌△EODD. △AOD≌△BOC(第7题)7．如图，已知矩形纸片ABCD 的长为8，宽为6，把纸片对折，使点A 与点C 重合，求折痕EF 的长．【解】 连结AC ，AE ，CF ，设AC 与EF 交于点O ，由题意可得EF 是AC 的中垂线， ∴AE ＝EC.设AE ＝EC ＝x ，则BE ＝8－x. ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠B ＝90°，AO ＝OC ＝12AC.在Rt △ABE 中，AB 2＋BE 2＝AE 2， 即62＋(8－x)2＝x 2， 解得x ＝254.∵∠B ＝90°，AB ＝6，BC ＝8， ∴AC ＝AB 2＋BC 2＝62＋82＝10. ∴AO ＝12AC ＝5.在Rt △AOE 中，AO 2＋OE 2＝AE 2， 即OE 2＝AE 2－AO 2， ∴OE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2542－52＝154. 易证△AOF ≌△COE(ASA)， ∴OE ＝OF.∴EF ＝2OE ＝152.(第8题)8．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且DE ＝CF ，连结OE ，OF.求证：OE ＝OF.【解】 ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠ADC ＝∠BCD ＝90°， AC ＝BD ，OD ＝12BD ，OC ＝12AC ，∴OD ＝OC ， ∴∠ODC ＝∠OCD ，∴∠ADC －∠ODC ＝∠BCD －∠OCD ， 即∠EDO ＝∠FCO. 在△ODE 与△OCF 中，∵⎩⎨⎧DE ＝CF ，∠EDO ＝∠FCO ，OD ＝OC ，∴△ODE ≌△OCF(SAS)． ∴OE ＝OF.(第9题)9．如图，在矩形ABCD中，F是BC上一点，连结AF，AF＝BC，DE⊥AF，垂足为E，连结DF.求证：(1)△ABF≌△DEA.(2)DF是∠EDC的平分线．【解】(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AFB.∵DE⊥AF，∴∠DEA＝∠B＝90°.∵AF＝BC，∴AF＝AD，∴△ABF≌△DEA(AAS)．(2)由(1)知△ABF≌△DEA，∴AB＝DE.∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，DC＝AB.∴DC＝DE.∵DF＝DF，∴Rt△DEF≌Rt△DCF(HL)，∴∠EDF＝∠CDF，即DF是∠EDC的平分线．10．如图，矩形OABC 的顶点A ，C 在坐标轴上，顶点B 的坐标是(4，2)，若直线y ＝mx －1恰好将矩形分成面积相等的两部分，则m 的值为(A)A. 1B. 0.5C. 0.75D. 2【解】 ∵直线y ＝mx －1恰好将矩形分成面积相等的两部分， ∴直线y ＝mx －1经过矩形的对角线交点(2，1)． 把点(2，1)代入y ＝mx －1，得m ＝1.(第10题) (第11题)11．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P 是AD 上一点，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，则PE ＋PF 等于(B)A.75B.125C.135D.145【解】 提示：连结PO ，过点A 作AG ⊥BD 于点G ，求得AG ＝125，利用面积公式(等积法)可求得，PE ＋PF ＝AG ＝125.(第12题)12．如图，在矩形ABCD 中，AB BC ＝35，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交边AD 于点E.若AE ·ED＝43，则矩形ABCD 的面积为__5__． 【解】 连结BE ，则BE ＝BC ，设AB ＝3x ，则由AB BE ＝35，得BE ＝BC ＝5x.∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ＝BC ＝5x ，∠A ＝90°.在Rt △ABE 中，由勾股定理，得AE ＝4x ， 则ED ＝5x －4x ＝x. ∵AE ·ED ＝43，∴4x ·x ＝43，解得x ＝33(负值舍去)， 则AB ＝3x ＝3，BC ＝5x ＝533，∴矩形ABCD 的面积＝AB ·BC ＝3×533＝5.13．一次数学课上，老师请同学们在一张长为18 cm ，宽为16 cm 的矩形纸板上，剪下一个腰长为10 cm 的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其他两个顶点在矩形的边上，求剪下的等腰三角形的面积．【解】 分三种情况：①如解图①，在△AEF 中，AE ＝AF ＝10 cm ， ∴S △AEF ＝12AE ·AF ＝12×10×10＝50(cm 2)．(第13题解)②如解图②，在△AGH 中，AG ＝GH ＝10 cm ， ∴BG ＝AB －AG ＝16－10＝6(cm)． 根据勾股定理，得BH ＝8 cm.∴S △AGH ＝12AG ·BH ＝12×10×8＝40(cm 2)．③如解图③，在△AMN 中，AM ＝MN ＝10 cm ， ∴MD ＝AD －AM ＝18－10＝8(cm)． 根据勾股定理，得DN ＝6 cm.∴S △AMN ＝12AM ·DN ＝12×10×6＝30(cm 2)．综上所述，剪下的等腰三角形的面积为50 cm 2或40 cm 2或30 cm 2.(第14题)14．如图，将一个长和宽分别为8和4的矩形纸片ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，求折痕EF 的长．【解】 由折叠知∠AEF ＝∠FEC ，AE ＝CE. 设BE ＝x ，则AE ＝CE ＝8－x. 在Rt △ABE 中，BE 2＋AB 2＝AE 2， 即x 2＋42＝(8－x)2， 解得x ＝3. ∴BE ＝3，AE ＝5. 过点F 作FH ⊥BC 于点H.∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ∥BC ， ∴∠AFE ＝∠FEC ， ∴∠AEF ＝∠AFE ，∴AF ＝AE ＝5，∴BH ＝AF ＝5， ∴EH ＝5－3＝2.在Rt △EFH 中，EF ＝22＋42＝20＝2 5.15．已知矩形的对角线长为10，而它的两邻边a ，b 的长满足m 2＋a 2m －12a ＝0，m 2＋b 2m －12b ＝0(m ≠0)，求矩形的周长．【解】 根据m 2＋a 2m －12a ＝0，m 2＋b 2m －12b ＝0(m ≠0)可得a ，b 恰为方程mx 2－12x ＋m 2＝0的两个根，∴a ＋b ＝12m，ab ＝m.∵a 2＋b 2＝(10)2，即(a ＋b)2－2ab ＝10，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 2－2m ＝10， ∴m 3＋5m 2－72＝0，∴(m －3)(m 2＋8m ＋24)＝0，∴m －3＝0或m 2＋8m ＋24＝0.∵m 2＋8m ＋24＝(m ＋4)2＋8>0，∴m 2＋8m ＋24≠0.∴m ＝3.∴矩形的周长为2(a ＋b)＝24m ＝8.16．阅读以下材料，然后解决问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形这条边所对的顶点在矩形这条边的对边上，那么称这样的矩形为三角形的友好矩形．如图①所示，矩形ABEF 即为△ABC 的友好矩形．显然，当△ABC 是钝角三角形时，其友好矩形只有一个．(1)仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的友好平行四边形．(2)如图②，若△ABC 为直角三角形，且∠C ＝90°，在图②中画出△ABC 的所有友好矩形，并比较这些矩形面积的大小．(3)若△ABC 是锐角三角形，且BC ＞AC ＞AB ，在图③中画出△BAC 的所有友好矩形，指出其中周长最小的矩形并加以证明．(第16题)【解】(1)如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，且三角形这条边所对的顶点在平行四边形这条边的对边上，那么称这样的平行四边形为三角形的友好平行四边形．(第16题解①)(2)此时共有2个友好矩形，如解图①中的矩形BCAD，矩形ABEF.易知矩形BCAD，矩形ABEF的面积都等于△ABC的面积的2倍，∴△ABC的友好矩形的面积相等．(3)此时共有3个友好矩形，如解图②中的矩形BCDE，矩形CAFG及矩形ABHK，其中的矩形ABHK 的周长最小．证明如下：(第16题解②)易知这三个矩形的面积相等，令其为S ，设矩形BCDE ，矩形CAFG 及矩形ABHK 的周长分别为L 1，L 2，L 3，△ABC 的边长BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，则L 1＝2S a ＋2a ，L 2＝2S b ＋2b ，L 3＝2S c＋2c ， ∴L 1－L 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2S a ＋2a －⎝ ⎛⎭⎪⎫2S b ＋2b ＝2(a －b)·ab －S ab. ∵ab ＞S ，a ＞b ，∴L 1－L 2＞0，即L 1＞L 2.同理，L 2＞L 3，∴L 3最小，即矩形ABHK 的周长最小．。

初中数学浙教版八年级下册5.1 矩形（1）同步训练一、基础夯实（共9题；共28分）1.如图，在矩形AOBC中，A(-2，0)，B(0，1)．若正比例函数y=kx的图象经过点C，则k的值为（）A. -B.C. -2D. 22.如图，矩形ABCD的对角线交于点O．若∠BAO=55°，则∠AOD等于( )A. 110°B. 115°C. 120°D. 125°3.矩形不一定具有的性质是（）A. 对角线互相平分B. 对角线互相垂直C. 对角线相等D. 是轴对称图形4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法不一定成立的是（）A. ∠ABC=90°B. AC=BDC. OA=OBD. OA=AD5.如图，矩形的对角线，交于点，，，则的长为（）A. 4cmB. 4cmC. 2cmD. 2cm6.已知一个矩形的对角线的长为4，它们的夹角是60°，则这个矩形的较短的边长为________，面积为________.7.如图,矩形ABCD中,点E,F分别是AB,CD的中点,连接DE和BF,分别取DE,BF的中点M,N,连接AM, CN,MN,若AB=2,BC=3,则图中阴影部分的面积为________.8.如图，E为矩形ABCD内一点，且EB=EC，求证：AE=ED．9.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，DE∥AC交BA的延长线于点E.（1）求证：BD＝DE；（2）若∠ACB＝30°，BD＝8，求四边形BCDE的面积.二、提高特训（共6题；共13分）10.如图,已知矩形ABCD的对角线AC的长为10cm,连接各边中点E,F,G,H得四边形EFGH,则四边形EFGH的周长为( ).A. 20cmB. 20 cmC. 20 cmD. 25 cm11.如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列条件中不能判定四边形ABCD为矩形的是（）A. AB=ADB. OA=OBC. AC=BDD. DC⊥BC12.如图，将两根相同的矩形木条沿虚线剪开得到四根完全一样的木条，然后重新围城一个矩形画框．已知矩形木条的两边分别为，且，则围城的矩形画框的内框的面积为（）A. B. C. D.13.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E.若∠ADE＝22.5°，BD=4，则OE的长为________.14.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC.若∠AOB＝60°，则∠COE的大小为________ .15.如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥AD于点F，OF＝2cm，AE⊥BD于点E，且BE﹕BD＝1﹕4，求AC的长.答案解析部分一、基础夯实二、提高特训。