第八章 第4节 直线、平面平行的判定及其性质

专题8.4 直线、平面平行的判定及性质（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理，运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题，凸显逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养．【知识点展示】（一）空间平行关系1.直线与平面平行的判定与性质a∥α，a⊂β，2.利用线面平行的定义，一般用反证法；利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)； 利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)． （二）平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β. (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b. (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.【常考题型剖析】题型一：与线、面平行相关命题的判定例1. （2023·全国·高三专题练习）已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ） A ．若m //α，m //n ，则n //α B ．若m //α，n //α，则m //n C ．若m //α，n ⊂α，则m //nD ．若m //α，m ⊂β，αβ＝n ，则m //n例2.（2022·上海静安·二模）在下列判断两个平面α与β平行的4个命题中，真命题的个数是（ ）. （1）α、β都垂直于平面r ，那么α∥β. （2）α、β都平行于平面r ，那么α∥β. （3）α、β都垂直于直线l ，那么α∥β.（4）如果l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β，那么α∥β A ．0B ．1C ．2D ．3例3．（四川·高考真题（文））下列命题正确的是（ ） A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行例4. （2022·云南师大附中模拟预测（理））若α，β是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，则下列4个推断中正确的是（ ）A ．m α∥，m β∥，n ⊂α，n m n β⊂⇒∥B ．m α⊂，n β⊂，m n αβ⇒∥∥C ．m α∥，n α∥，m β⊂，n βαβ⊂⇒∥D ．m α⊂，n β⊂，m n αβ⇒∥∥ 【方法技巧】直线、平面间平行的判定方法(1)关注是否符合判定定理与性质定理，并注意定理中易忽视的条件． (2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断． (3)利用实物进行空间想象，比较判断．(4)熟记一些常见结论，如垂直于同一条直线的两个平面平行等． 题型二：直线与平面平行的判定例5.（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 、F 、M 、N 分别是BC 、11B C 、1AA 、1CC 、1A C 的中点，给出下列四个判断：①//EF 平面1ADB ；②//EM 平面1ADB ； ③//EN 平面1ADB ； ④1//A M 平面1ADB ， 错误的序号为___________.例6.【多选题】（2017·全国·高考真题（文））如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 平行的是（ ）A．B．C．D．例7.（2023·全国·高三专题练习）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于,A B的点，直线PC 平面ABC，,E F分别是PA，PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l，求证：直线l//平面PAC【总结提升】证明直线与平面平行的方法(1)线面平行的定义：一条直线与一个平面无公共点(不相交)．(2)线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边、成比例线段出现平行线或过已知直线作一平面找其交线．注意内外平行三条件，缺一不可．题型三：线面平行性质定理的应用例8.（福建·高考真题（文））如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD 上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．例9.(2019·全国卷Ⅰ改编)如图，直四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．证明：MN ∥平面C 1DE .例10.如图，在直四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 为线段AD 上的任意一点(不包括A ，D 两点)，平面CEC 1∩平面BB 1D ＝FG .证明：FG ∥平面AA 1B 1B ．【总结提升】 1.思路方法：(1)通过线面平行可得到线线平行，其中一条线应是两平面的交线，要树立这种应用意识． (2)利用线面平行性质必须先找出交线． 2.易错提醒（1）在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.（2）线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理为依据，绝不能主观臆断.（3）解题中注意符号语言的规范应用. 题型四：平面与平面平行的判定与性质例11.（2023·全国·高三专题练习）已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，12AA =，E ，F 分别为棱11A B 和11A D 的中点，M 为长方体表面上任意一点．若BM ∥平面AEF ，则BM 的最大值为（ ）A．B ．C ．D ．6例12.（2020·全国·高三专题练习（文））如图，平面//α平面β，PAB △所在的平面与α，β分别交于CD 和AB ，若2PC =，3CA =，1CD =，则AB =______．例13.（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F分别为棱11,DD CC 的中点.求证：平面1//AEC 平面BDF例14.（陕西·高考真题（文））如图,四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O∥平面ABCD, 12AB AA ==.（1）证明: 平面A 1BD // 平面CD 1B 1;（2）求三棱柱ABD －A 1B 1D 1的体积.【规律方法】 1.证明面面平行的常用方法 (1)利用面面平行的定义．(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． (3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．(4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”． (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．2.面面平行的应用(1)两平面平行，构造与之相交的第三个平面，可得交线平行．(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，可用于证明线面平行．3.三种平行关系之间的转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化．专题8.4 直线、平面平行的判定及性质（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理，运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题，凸显逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养．【知识点展示】（一）空间平行关系1.直线与平面平行的判定与性质a∥α，a⊂β，2.利用线面平行的定义，一般用反证法；利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)； 利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)． （二）平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β. (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b. (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.【常考题型剖析】题型一：与线、面平行相关命题的判定例1. （2023·全国·高三专题练习）已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ） A ．若m //α，m //n ，则n //α B ．若m //α，n //α，则m //n C ．若m //α，n ⊂α，则m //n D ．若m //α，m ⊂β，αβ＝n ，则m //n【答案】D 【解析】 【分析】举例说明判断A ，B ，C ；利用线面平行的性质判断D 作答. 【详解】如图，长方体1111ABCD A B C D -中，平面1111D C B A 视为平面α，对于A ，直线AB 视为m ，直线11A B 视为n ，满足m //α，m //n ，而n ⊂α，A 不正确；对于B，直线AB视为m，直线BC视为n，满足m//α，n//α，而m与n相交，B不正确；A D视为n，满足m//α，n⊂α，显然m与n是异面直线，C不正确；对于C，直线AB视为m，直线11对于D，由直线与平面平行的性质定理知，D正确.故选：D例2.（2022·上海静安·二模）在下列判断两个平面α与β平行的4个命题中，真命题的个数是（）.（1）α、β都垂直于平面r，那么α∥β.（2）α、β都平行于平面r，那么α∥β.（3）α、β都垂直于直线l，那么α∥β.（4）如果l、m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，那么α∥βA．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】【分析】由面面平行的判定定理及其相关结论分析可得结果.【详解】由面面平行的判定定理分析可知（1）错，（2），（3），（4）正确.故选：D例3．（四川·高考真题（文））下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C【解析】【详解】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确.例4. （2022·云南师大附中模拟预测（理））若α，β是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，则下列4个推断中正确的是（ ）A ．m α∥，m β∥，n ⊂α，n m n β⊂⇒∥B ．m α⊂，n β⊂，m n αβ⇒∥∥C ．m α∥，n α∥，m β⊂，n βαβ⊂⇒∥D ．m α⊂，n β⊂，m n αβ⇒∥∥【答案】A【解析】【分析】利用线面，面面位置关系逐项分析即得.【详解】对于A ，如图，n ⊂α，n n βαβ⊂⇒⋂=，结合m α，m β，可知m n ∥，故A 正确；对于B ，如图，m ，n 可能异面，故B 错误；对于C ，如图，α，β可能相交，故C 错误；对于D ，如图，αβ，可能相交，故D 错误.故选：A ．【方法技巧】直线、平面间平行的判定方法(1)关注是否符合判定定理与性质定理，并注意定理中易忽视的条件．(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．(3)利用实物进行空间想象，比较判断．(4)熟记一些常见结论，如垂直于同一条直线的两个平面平行等．题型二：直线与平面平行的判定例5.（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 、F 、M 、N 分别是BC 、11B C 、1AA 、1CC 、1A C 的中点，给出下列四个判断：①//EF 平面1ADB ；②//EM 平面1ADB ；③//EN 平面1ADB ；④1//A M 平面1ADB ，错误的序号为___________.【答案】①②④【解析】【分析】连接DE 、1A E 、CE 、EF 、EM 、EN 、1A M 、FM ，证明出平面1//A CE 平面1AD B ，利用面面平行的性质结合假设法可判断①②③④的正误.【详解】连接DE 、1A E 、CE 、EF 、EM 、EN 、1A M 、FM ，在三棱柱111ABC A B C -中，因为11//BB CC 且11BB CC =，所以，四边形11BB C C 为平行四边形，则11//BC B C 且11BC B C =，D 、E 分别为BC 、11B C 的中点，则1//CD B E 且1CD B E =，故四边形1CDB E 为平行四边形，则1//CE B D ，CE ⊄平面1ADB ，1B D ⊂平面1ADB ，故//CE 平面1ADB ，同理可证四边形1BB ED 为平行四边形，则11////DE BB AA ，11DE BB AA ==，则四边形1AA ED 为平行四边形，所以，1//A E AD ，1A E ⊄平面1ADB ，AD ⊂平面1ADB ，则1//A E 平面1ADB ，1CE A E E =，故平面1//A CE 平面1AD B ，EN ⊂平面1A CE ，则//EN 平面1ADB ，③对；对于①，若//EF 平面1ADB ，EF EN E =，则平面//EFN 平面1ADB ，因为过点E 且与平面1ADB 平行的平面只有一个，矛盾，故①错，同理可知，②④均错.故答案为：①②④.例6.【多选题】（2017·全国·高考真题（文））如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 平行的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】BCD【解析】【分析】利用线面平行判定定理逐项判断可得答案．【详解】对于选项A，OQ∥AB，OQ与平面MNQ是相交的位置关系，故AB和平面MNQ不平行，故A错误；对于选项B，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ，故B正确；对于选项C，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故C正确；对于选项D，由于AB∥CD∥NQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故D正确；故选：BCD例7.（2023·全国·高三专题练习）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，,E F 分别是PA ，PC 的中点.记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，求证：直线l //平面PAC【答案】证明见解析【解析】【分析】先通过//EF AC 可得出//EF 平面ABC ，再利用线面平行的性质即可证明.【详解】因为,E F 分别是,PA PC 的中点，所以//EF AC ，又因为AC ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ，所以//EF 平面ABC ，又EF ⊂平面BEF ，平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，所以//EF l ，而l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ，所以//l 平面P AC .【总结提升】证明直线与平面平行的方法(1)线面平行的定义：一条直线与一个平面无公共点(不相交)．(2)线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边、成比例线段出现平行线或过已知直线作一平面找其交线．注意内外平行三条件，缺一不可． 题型三：线面平行性质定理的应用例8.（福建·高考真题（文））如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．【解析】【分析】根据直线与平面平行的性质定理可得//EF AC ,再根据E 为AD 的中点可得F 为CD 的中点,从而根据三角形的中位线可得.【详解】如图:因为//EF 平面1AB C ,EF ⊂平面DABC ,且平面1A C B 平面ABCD AC =,所以//EF AC ,又因为E 为AD 的中点,所以F 为CD 的中点, 所以12EF AC =,因为正方体的棱长为2.所以AC =所以EF =故答案为.例9.(2019·全国卷Ⅰ改编)如图，直四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．证明：MN∥平面C1DE.【答案】见解析【解析】证明:连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝12B1C．又因为N为A1D的中点，所以ND＝12A1D．由题设知A1B1//=DC，可得B1C//=A1D，故ME//=ND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED．又MN⊄平面C1DE，ED⊂平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.例10.如图，在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1∩平面BB1D＝FG.证明：FG∥平面AA1B1B．【答案】见解析【解析】证明：在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D．又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1∩平面BB1D＝FG，所以CC1∥FG.因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.而BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B．【总结提升】1.思路方法：(1)通过线面平行可得到线线平行，其中一条线应是两平面的交线，要树立这种应用意识．(2)利用线面平行性质必须先找出交线．（1）在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.（2）线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理为依据，绝不能主观臆断.（3）解题中注意符号语言的规范应用.题型四：平面与平面平行的判定与性质例11.（2023·全国·高三专题练习）已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，12AA =，E ，F 分别为棱11A B 和11A D 的中点，M 为长方体表面上任意一点．若BM ∥平面AEF ，则BM 的最大值为（ ）A．B ．C ．D ．6【答案】C【解析】【分析】由面面平行的性质结合题意可确定点M 所在的平面，再由平面几何的性质即可确定BM 的值为最大值时的位置，即可求解【详解】如图所示，取G ，H 分别为棱11B C 和11D C 的中点，连接11,,,BG DH BD B D ,由题意易知1111,BF B D GH B D ∥∥，所以BF GH ∥；又易知AF BG ∥，故可以证明平面BGHD ∥平面AEF ；又BM ∥平面AEF ，由面面平行的性质可知M ∈平面BGHD ，所以由题意可知M 在等腰梯形BGHD 四条边上运动，过点H 作HQ BD ⊥，交BD 于点Q ，由题意可知BD GH DH BG DQ ====所以HQ BQ BD DQ =-=所以BH又BD BH ==，所以故当M 与D 点重合时，BM 的值为最大值，此时BM BD ==例12.（2020·全国·高三专题练习（文））如图，平面//α平面β，PAB △所在的平面与α，β分别交于CD 和AB ，若2PC =，3CA =，1CD =，则AB =______． 【答案】52【解析】【分析】根据面面平行的性质，证得//CD AB ，结合CD PC AB PA =，即可求解. 【详解】由题意，平面//α平面β，PAB △所在的平面与α，β分别交于CD 和AB ， 根据面面平行的性质，可得//CD AB ，所以CD PC AB PA =， 因为2PC =，3CA =，1CD =，所以15522CD PA AB PC ⋅⨯===.故答案为：52. 例13.（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11,DD CC 的中点.求证：平面1//AEC 平面BDF【答案】证明见解析【解析】【分析】根据1//DF EC ，可证明1//EC 平面BDF ；又//BF AE ，可得//AE 平面BDF .进而根据线面平行证明面面平行.【详解】证明：在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11,DD CC 的中点， 所以11111,22DE DD C F CC ==. 因为11CC DD =，且11//CC DD ，所以1DE C F =，且1//DE C F ，所以四边形1DEC F 是平行四边形，所以1//DF EC 又DF ⊂平面BDF ，1EC ⊄平面BDF ，所以1//EC 平面BDF .同理，//BF AE ，又BF ⊂平面BDF ，AE ⊄平面BDF ， 所以//AE 平面BDF .又1AE EC E ⋂=，1,AE EC ⊂平面1AEC ，所以平面1//AEC 平面BDF 例14.（陕西·高考真题（文））如图,四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O∥平面ABCD, 1AB AA =（1）证明: 平面A 1BD // 平面CD 1B 1;（2）求三棱柱ABD －A 1B 1D 1的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】【详解】试题分析：（1）要证明1A C ⊥平面11BB D D ，只要证明1A C 垂直于平面11BB D D 内的两条相交直线即可，由已知可证出1A C ⊥BD ，取11B D 的中点为1E ，通过证明四边形11A OCE 为正方形可证1A C ⊥1E O ．由线面垂直的判定定理问题得证；（2）由已知1A O 是三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的高，由此能求出三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的体积 试题解析：（Ⅰ）∵四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB=AA 1=，由棱柱的性质可得BB 1和DD 1平行且相等，故四边形BB 1D 1D 为平行四边形，故有BD 和B 1D 1平行且相等．而BD 不在平面CB 1D 1内，而B 1D 1在平面CB 1D 1内，∴BD ∥平面CB 1D 1．同理可证，A 1BCD 1为平行四边形，A 1B ∥平面CB 1D 1．而BD 和A 1B 是平面A 1BD 内的两条相交直线，故有平面A 1BD ∥平面CD 1B 1 ．（Ⅱ）由题意可得A 1O 为三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的高．三角形A 1AO 中，由勾股定理可得A 1O===1，∴三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的体积V=S △ABD •A 1O=•A 1O=×1=1．【规律方法】1.证明面面平行的常用方法 (1)利用面面平行的定义．(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．(4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”．(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．2.面面平行的应用(1)两平面平行，构造与之相交的第三个平面，可得交线平行．(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，可用于证明线面平行．3.三种平行关系之间的转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化．。

第4节 直线、平面平行关系的判定与性质一、直线与平面平行1.已知直线a,b,平面α,则以下三个命题: ①若a ∥b,b ⊂α,则a ∥α; ②若a ∥b,a ∥α,则b ∥α; ③若a ∥α,b ∥α,则a ∥b. 其中真命题的个数是( A ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:对于命题①,若a ∥b,b ⊂α, 则应有a ∥α或a ⊂α,所以①不正确;对于命题②,若a ∥b,a ∥α,则应有b ∥α或b ⊂α,因此②也不正确;对于命题③,若a ∥α,b ∥α,则应有a ∥b 或a 与b 相交或a 与b 异面,因此③是错误的.综上,在空间中,以上三个命题都是错误的.故选A.2.如果一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和平面平行吗? (不一定,可能平行可能在平面内)3.如果一条直线和一个平面平行,那么这条直线和这个平面的任意一条直线都平行吗? (不一定,平行或异面) 二、平面与平面平行(2)能否由线面垂直推证面面平行?提示:(1)可以,只需一平面内两相交直线分别平行于另一平面内的两相交直线,则两平面平行.(2)可以,只需两平面垂直于同一直线,即得面面平行.质疑探究2:如果一个平面内有无数条直线都平行于另一个平面,那么两个平面一定平行吗?提示:不一定.如果这无数条直线都平行,则这两个平面就不一定平行,可能相交,此时无数条直线都平行于交线.练习1.平面α∥平面β的一个充分条件是( D)(A)存在一条直线a,a∥α,a∥β(B)存在一条直线a,a⊂α,a∥β(C)存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α(D)存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α解析:对于选项A,当α、β两平面相交,直线a平行于交线时,满足要求,故A不对;对于B,两平面α、β相交,当a在平面α内且a平行于交线时,满足要求,但α与β不平行,故B错;对于C,同样在α与β相交,且a、b分别在α、β内且与交线都平行时满足要求,故C错;故只有D正确,因为a、b异面,a∥β,故在β内一定有一条直线a'与a平行且与b相交,∴a'∥α,又∵b∥α,a'与b相交,∴α∥β.故选D.2.已知m、n是两条不重合的直线,α、β、γ是三个两两不重合的平面,给出下列命题:①若m∥α,n∥α,m∥β,n∥β,则α∥β;②若m、n是相交直线,且m∥α,m∥β,n∥α,n∥β,则α∥β;③若m∥α,α∥β,m∥n,则n∥β;④若n∥α,n∥β,α∩β=m,那么m∥n.其中正确命题的序号是.解析:命题①中,直线m,n不一定相交,即命题①不正确;由两相交直线m,n可确定一平面且同时平行于α、β,得α∥β,故②正确.③命题存在n⊂β情况.即命题③不正确;由线面关系可知命题④正确.则正确命题的序号为②④.答案:②④3.如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线与另一个平面平行吗?(平行)一．借助几何模型判断与平行相关命题【例1】已知m,n是两条不同直线,α,β, γ是三个不同平面,下列命题中正确的是( )(A)若m∥α,n∥α,则m∥n(B)若m∥n,n⊂α,则m∥α(C)若m∥α,m∥β,则α∥β(D)若α∥β,α∥γ,则β∥γ解析:m,n平行于α,m,n可以相交也可以异面,如图中正方体的棱A1B1,B1C1都与底面ABCD平行,但这两条棱相交,故选项A不正确;在正方体中AB∥A1B1,A1B1⊂平面A1B1BA,而AB不平行于平面A1B1BA,故B错;正方体的棱B1C1既平行于平面ADD1A1,又平行于平面ABCD,但这两个平面是相交平面,故选项C不正确;由平面与平面平行的传递性,得D正确.故选D.变式训练11:已知直线a、b和平面α、β、γ,且a⊂α,b⊂β,则平面α∥平面β的一个必要不充分条件是( )(A)a∥β,b∥α(B)a∥b(C)a∥γ,b∥γ (D)a⊥γ,b⊥γ解析:用正方体模型分析可得四个答案均不能推出α∥β,而α∥β一定有a∥β,b∥α,故选A.二．直线与平面平行的判定【例2】如图所示,已知S是正三角形ABC所在平面外的一点,且SA=SB=SC,SG 为△SAB上的高,D、E、F分别是AC、BC、SC的中点,证明:SG∥平面DEF.证明:法一连接CG交DE于点H,连接FH,如图所示.∵D为AC中点,E为BC中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥AB.在△ACG中,D是AC的中点,且DH∥AG.∴H为CG的中点.又F为SC中点,∴FH是△SCG的中位线,∴FH∥SG.又SG⊄平面DEF,FH⊂平面DEF,∴SG∥平面DEF.法二∵E为BC中点,F为SC中点,∴EF 为△SBC 的中位线, ∴EF ∥SB.∵EF ⊄平面SAB,SB ⊂平面SAB, ∴EF ∥平面SAB.同理可证,DF ∥平面SAB,又EF ∩DF=F, ∴平面SAB ∥平面DEF, 又SG ⊂平面SAB, ∴SG ∥平面DEF.变式训练21:如图,在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,点N 在BD 上,点M 在B 1C 上,且CM=DN.求证:MN ∥平面AA 1B 1B.证明:如图,作ME ∥BC,交BB 1于E. 作NF ∥AD,交AB 于F,连接EF, 则EF ⊂平面AA 1B 1B. ∵BD=B 1C,DN=CM, ∴B 1M=BN. 又BC ME =C B M B 11,AD NF =BDBN, ∴BC ME =BD BN =AD NF. ∴ME=NF.又ME ∥BC ∥AD ∥NF,∴四边形MEFN 为平行四边形. ∴MN ∥EF.∴MN ∥平面AA 1B 1B.三．平面与平面平行的判定【例3】 在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,M 、N 、P 分别是C 1C 、B 1C 1、C 1D 1的中点,求证:平面PMN ∥平面A 1BD.证明:法一 如图,连接B 1D 1、B 1C. ∵P 、N 分别是D 1C 1、B 1C 1的中点, ∴PN ∥B 1D 1. 又B 1D 1∥BD, ∴PN ∥BD.又PN ⊄平面A 1BD,BD ⊂平面A 1BD, ∴PN ∥平面A 1BD. 同理MN ∥平面A 1BD, 又PN ∩MN=N,∴平面PMN ∥平面A 1BD. 法二 如图,连接AC 1、AC. ∵ABCD A1B 1C 1D 1为正方体, ∴AC ⊥BD.又CC 1⊥平面ABCD,∴AC1⊥BD.同理可证AC1⊥A1B,∴AC1⊥平面A1BD.同理可证AC1⊥平面PMN,∴平面PMN∥平面A1BD.变式训练31:如图所示,三棱柱ABC A1B1C1,D是BC上一点,且A1B∥平面AC1D,D1是B1C1的中点,求证:平面A1BD1∥平面AC1D.证明:如图所示,连接A1C交AC1于点E,∵四边形A1ACC1是平行四边形,∴E是A1C的中点, 连接ED,∵A1B∥平面AC1D,平面A1BC∩平面AC1D=ED,∴A1B∥ED,∵E是A1C的中点, ∴D是BC的中点.又∵D1是B1C1的中点,∴BD1∥C1D,A1D1∥AD.又∵A1D1∩BD1=D1,∴平面A1BD1∥平面AC1D.四．直线与平面平行、平面与平面平行的性质【例4】如图所示,平面α∥平面β,点A∈α、C∈α,点B∈β,D∈β,点E,F分别在线段AB、CD上,且AE∶EB=CF∶FD.(1)求证:EF∥β;(2)若E,F分别是AB、CD的中点,AC=4,BD=6,且AC、BD所成的角为60°,求EF 的长. (1)证明:①当AB,CD在同一平面内时,∵AE∶EB=CF∶FD,∴EF∥BD,又EF⊄β,BD⊂β,∴EF∥β.②当AB与CD异面时,设平面ACD∩β=DH,连接AH,BH,取DH=AC,∵α∥β,α∩平面ACDH=AC,∴AC∥DH,∴四边形ACDH是平行四边形.在AH上取一点G,使AG∶GH=CF∶FD,连接GE、GF,又∵AE∶EB=CF∶FD,∴GF∥HD,EG∥BH,∴GF∥β,EG∥β,又EG∩GF=G,∴平面EFG∥平面β,而EF⊂平面EFG,∴EF∥β.综上,EF∥β.(2)解:如图所示,连接AD,取AD 的中点M,连接ME,MF, ∵E,F 分别为AB,CD 的中点, ∴ME ∥BD,MF ∥AC,且ME=21BD=3,MF=21AC=2,∴∠EMF 为AC 与BD 所成的角(或其补角), ∴∠EMF=60°或120°, ∴在△EFM 中, EF=EMFMF ME MF ME ∠⋅⋅-+cos 222=212322322⨯⨯⨯±+ =613±,即EF=7或EF=19.变式训练41:如图,在棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,E 、F 、P 、Q 分别是BC 、C 1D 1、AD 1、BD 的中点. (1)求证:PQ ∥平面DCC 1D 1; (2)求证:EF ∥平面BB 1D 1D.证明:法一 (1)连接AC 、CD 1,AC ∩BD=Q. ∵P 、Q 分别为AD 1、AC 的中点, ∴PQ ∥CD 1.又CD 1⊂平面DCC 1D 1, PQ ⊄平面DCC 1D 1, ∴PQ ∥平面DCC 1D 1. (2)取B 1D 1的中点Q 1, 连接BQ 1、FQ 1,则有FQ 121B 1C 1,又BE 21B 1C 1,∴BE FQ 1.∴四边形BEFQ 1是平行四边形. ∴EF ∥BQ 1.又EF ⊄平面BB 1D 1D, BQ 1⊂平面BB 1D 1D. ∴EF ∥平面BB 1D 1D.【例】 四棱锥A BCDE 的侧面ABC 是等边三角形,EB ⊥平面ABC,DC ⊥平面ABC,BE=1,BC=CD=2,F 是棱AD 的中点. (1)求证:EF ∥平面ABC; (2)求四棱锥A BCDE 的体积.(1)证明:取AC 中点M,连接FM,BM.因为F 是AD 中点, 所以FM ∥DC,且FM=21DC=1,因为EB ⊥平面ABC,DC ⊥平面ABC, 所以EB ∥DC, 所以FM ∥EB, 又因为EB=1, 所以FM=EB,所以四边形BEFM 是平行四边形, 所以EF ∥BM.因为EF ⊄平面ABC,BM ⊂平面ABC, 所以EF ∥平面ABC.(2)解:取BC 中点N,连接AN. 因为AB=AC, 所以AN ⊥BC,因为EB ⊥平面ABC, 所以AN ⊥EB,因为BC 与EB 是底面BCDE 内的相交直线, 所以AN ⊥底面BCDE,由(1)得,底面BCDE 为直角梯形, 故S 梯形BCDE =()2BCDC EB⋅+=3,在等边△ABC 中,BC=2, 所以AN=3,所以ABCDE V 棱锥-=31S 梯形BCDE ·AN=3.练习1．若直线a ∥直线b ，且a ∥平面α，则b 与α的位置关系是( )A ．一定平行B ．不平行C ．平行或相交D ．平行或在平面内 解析 直线在平面内的情况不能遗漏，所以正确选项为D.2．设m 、n 表示不同直线，α、β表示不同平面，则下列结论中正确的是( )． A ．若m ∥α，m ∥n ，则n ∥αB ．若m ⊂α，n ⊂β，m ∥β，n ∥α，则α∥βC ．若α∥β，m ∥α，m ∥n ，则n ∥βD ．若α∥β，m ∥α，n ∥m ，n ⊄β，则n ∥β解析 A 选项不正确，n 还有可能在平面α内，B 选项不正确，平面α还有可能与平面β相交，C 选项不正确，n 也有可能在平面β内，选项D 正确． 3. a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出四个命题 ①⎭⎬⎫α∥c β∥c ⇒α∥β ②⎭⎬⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β③⎭⎬⎫α∥c a ∥c ⇒a ∥α ④⎭⎬⎫a ∥γα∥γ⇒α∥a其中正确的命题是( ) A ．①②③ B ．①④ C ．②D ．①③④解析 ②正确．①错在α与β可能相交．③④错在a 可能在α内．答案 C 4．设m ，n 是平面α内的两条不同直线；l 1，l 2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是( )．A ．m ∥β且l 1∥αB ．m ∥l 1且n ∥l 2C ．m ∥β且n ∥βD ．m ∥β且n ∥l 2解析 对于选项A ，不合题意；对于选项B ，由于l 1与l 2是相交直线，而且由l 1∥m 可得l 1∥α，同理可得l 2∥α故可得α∥β，充分性成立，而由α∥β不一定能得到l 1∥m ，它们也可以异面，故必要性不成立，故选B ；对于选项C ，由于m ，n 不一定相交，故是必要非充分条件；对于选项D ，由n ∥l 2可转化为n ∥β，同选项C ，故不符合题意，综上选B.5．已知a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题： ①⎭⎬⎫a ∥cb ∥c ⇒a ∥b ；② ⎭⎬⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ；③⎭⎬⎫α∥c β∥c ⇒α∥β； ④⎭⎬⎫α∥c a ∥c ⇒a ∥α；⑤⎭⎬⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β；⑥⎭⎬⎫α∥γa ∥γ⇒a ∥α.其中正确的命题是________(将正确命题的序号都填上)．解析 ②中a 、b 的位置可能相交、平行、异面；③中α、β的位置可能相交． 答案 ①④⑤⑥6．如图所示，两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB 且AM ＝FN ，求证：MN ∥平面BCE .证明 过M 作MG ∥BC ，交AB 于点G ，如图所示，连接NG . ∵MG ∥BC ，BC ⊂平面BCE ，MG ⊄平面BCE ， ∴MG ∥平面BCE .又BG GA ＝CM MA ＝BNNF，∴GN ∥AF ∥BE ，同样可证明GN ∥平面BCE . 又MG ∩NG ＝G ， ∴平面MNG ∥平面BCE .又MN ⊂平面MNG ，∴MN ∥平面BCE .7．如图所示，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，直线l 是平面AB 1D 1与下底面ABCD 所在平面的交线．求证：l ∥平面A 1BD .证明 ∵平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ，且平面A 1B 1C 1D 1∩平面AB 1D 1＝B 1D 1，平面ABCD ∩平面AB 1D 1＝l ，∴l ∥B 1D 1.又B 1D 1∥BD ， ∴l ∥BD .又l ⊄平面A 1BD ，BD ⊂平面A 1BD ， ∴l ∥平面A 1BD .。