【精选】天津专用版高考数学总复习专题06数列分项练习含解析文

专题06 数列一．基础题组1. 【2014上海,文10】设无穷等比数列{n a }的公比为q ，若)(lim 431 ++=∞→a a a n ，则q= .【考点】无穷递缩等比数列的和.2. 【2013上海,文2】在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝30，则a 2＋a 3＝______.【答案】15　3. 【2013上海,文7】设常数a ∈R .若25()a x x+的二项展开式中x 7项的系数为－10，则a ＝______.【答案】－2　4. 【2012上海,文7】有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为V 1，V 2，…，V n ，…，则12lim ()n n V V V →∞+++=…__________.【答案】875. 【2012上海,文8】在(x －1x)6的二项展开式中，常数项等于__________．【答案】－206. 【2012上海,文14】已知1()1f xx=+，各项均为正数的数列{a n}满足a1＝1，a n＋2＝f(a n)．若a2010＝a2 012，则a20＋a11的值是__________．7. 【2012上海,文18】若π2ππsin sin sin777nnS=+++…(n∈N*)，则在S1，S2，…，S100中，正数的个数是( )A．16 B．72 C．86 D．100【答案】 C　8. 【2008上海,文14】若数列{}n a 是首项为1，公比为32a =的无穷等比数列，且{}n a 各项的和为a ，则a 的值是（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．12 Ｄ．54【答案】B9. 【2007上海,文14】数列{}n a 中，22211100010012n n n a n n n n⎧⎪⎪=⎨⎪⎪-⎩，≤≤， 则数列{}n a 的极限值（ ）Ａ.等于0Ｂ.等于1Ｃ.等于0或1Ｄ.不存在【答案】B二．能力题组1. 【2014上海,文23】（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.已知数列{}n a 满足1113,*,13n n n a a a n N a +≤≤∈=.（1）若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围；（2）若{}n a 是等比数列，且11000m a =，正整数m 的最小值，以及m 取最小值时相应{}n a 的仅比；（3）若12100,,,a a a 成等差数列，求数列12100,,,a a a 的公差的取值范围.【答案】（1）[3,6]；（2）1[,2]3；（3）k的最大值为1999，此时公差为11999d=-.【考点】解不等式（组），数列的单调性，分类讨论，等差（比）数列的前n项和.2. 【2013上海,文22】已知函数f(x)＝2－|x|，无穷数列{a n}满足a n＋1＝f(a n)，n∈N*.(1)若a1＝0，求a2，a3，a4；(2)若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值；(3)是否存在a1，使得a1，a2，…，a n，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．【答案】(1)a2＝2，a3＝0，a4＝2 ;(2)a1＝2-舍去)或a1＝2+(3) 当且仅当a1＝1时，a1，a2，a3，…构成等差数列3. 【2012上海,文23】对于项数为m的有穷数列{a n}，记b k＝max{a1，a2，…，a k}(k＝1,2，…，m)，即b k为a1，a2，…，a k中的最大值，并称数列{b n}是{a n}的控制数列．如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.(1)若各项均为正整数的数列{a n}的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的{a n}；(2)设{b n}是{a n}的控制数列，满足a k＋b m－k＋1＝C(C为常数，k＝1,2，…，m)，求证：b k＝a k(k＝1,2，…，m)；(3)设m＝100，常数a∈(12，1)，若(1)22(1)n nna an n+=--，{b n}是{a n}的控制数列，求(b1－a1)＋(b2－a2)＋…＋(b100－a100)．【答案】(1)参考解析;(2) 参考解析;(3) 2 525(1－a)4.【2011上海,文23】已知数列{a n }和{b n }的通项公式分别为a n ＝3n ＋6，b n ＝2n ＋7(n ∈N *)．将集合{x |x ＝a n ，n ∈N *}∪{x |x ＝b n ，n ∈N *}中的元素从小到大依次排列，构成数列c 1，c 2，c 3，…c n ，….(1)求三个最小的数，使它们既是数列{a n }中的项又是数列{b n }中的项；(2) c 1，c 2，c 3，…，c 40中有多少项不是数列{b n }中的项？请说明理由；(3)求数列{a n }的前4n 项和S 4n (n ∈N *)．【答案】(1)9,15,21; (2)10; (3)241233n S n n=+5. 【2010上海,文21】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n －5a n －85，n ∈N *.(1)证明：{a n －1}是等比数列；(2)求数列{S n }的通项公式，并求出使得S n ＋1＞S n 成立的最小正整数n .【答案】(1)参考解析; (2) S n ＝n ＋75·(56)n －1－90, 最小正整数n ＝156. (2009上海,文23)已知{a n}是公差为d的等差数列,{b n}是公比为q的等比数列.(1)若a n=3n+1,是否存在m、k∈N*,有a m+a m+1=a k?请说明理由;(2)若b n=aq n(a,q为常数,且aq≠0),对任意m存在k,有b m·b m+1=b k,试求a、q满足的充要条件;(3)若a n=2n+1,b n=3n,试确定所有的p,使数列{b n}中存在某个连续p项的和是数列{a n}中的一项,请证明.【答案】(1)不存在m、k∈N*, (2) a=q c,其中c是大于等于-2的整数;(3) p为奇数7. 【2008上海,文21】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分４分，第2小题满分６分，第3小题满分8分．已知数列{}n a ：11a =，22a =，3a r =，32n n a a +=+（n 是正整数），与数列{}n b ：11b =，20b =，31b =-，40b =，4n n b b +=（n 是正整数）．记112233n n n T b a b a b a b a =++++ ．（1）若1231264a a a a ++++= ，求r 的值；（2）求证：当n 是正整数时，124n T n =-；（3）已知0r >，且存在正整数m ，使得在121m T +，122m T +， ，1212m T +中有4项为100．求r 的值，并指出哪4项为100．【答案】（1）4;（2）参考解析;（3）293294297298,,,T T T T()1241.121,12241;123,12441;125,12645;127,1284;129,121044;m n n n n T m m n m m T m n m m T m r nn m m T m r n m m T m r n m m T m =-≥=++=+=++=-+-=++=+-=++=--=++=+当时，当时，当时，当时，当时，8. 【2007上海,文20】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.如果有穷数列123m a a a a ，，，，（m 为正整数）满足条件m a a =1，12-=m a a ，…，1a a m =，即1+-=i m i a a （12i m = ，，，），我们称其为“对称数列”. 例如，数列12521，，，，与数列842248，，，，，都是“对称数列”.（1）设{}n b 是7项的“对称数列”，其中1234b b b b ，，，是等差数列，且21=b ，114=b .依次写出{}n b 的每一项；（2）设{}n c 是49项的“对称数列”，其中492625,,c c c ⋅⋅⋅是首项为1，公比为2的等比数列，求{}n c 各项的和S ；（3）设{}n d 是100项的“对称数列”，其中5152100d d d ，，，是首项为2，公差为3的等差数列.求{}n d 前n 项的和n S (12100)n = ，，，.【答案】（1）25811852，，，，，，;（2）67108861;（3）参考解析9. 【2006上海,文20】（本题满分14）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。

数列（文） 考查内容：本小题主要考查等差数列与等比数列的通项公式及其前项和公式、 不等式证明等基础知识，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力、 推理论证能力及综合分析、解决问题的能力。

1、已知数列的首项，通项公式（为常数），且成等差数列，求： （1）的值； （2）数列的前项的和的公式。

解：（1）由，得，又，，且，得，解得，。

（1）。

2、在数列中，，。

（1）设。

证明：数列是等差数列； （2）求数列的前项和。

解：（1），，，则为等差数列，， ，。

（2） 两式相减，得。

3、设数列的前项和为，已知 （1）证明：当时，是等比数列； （2）求的通项公式 解：由题意知，且， 两式相减得 即① （1）当时，由①知， 于是 又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。

（2）当时，由（1）知，即 当时，由由①得 因此 得。

点评：此题重点考查数列的递推公式，利用递推公式求数列的通项公式，同时考查分类讨论思想；推移脚标两式相减是解决含有的递推公式的重要手段，使其转化为不含的递推公式，从而针对性的解决；在由递推公式求通项公式是重视首项是否可以吸收是易错点，同时重视分类讨论，做到条理清晰是关键。

4、已知数列的首项，，…。

（1）证明：数列是等比数列； （2）数列的前项和。

解：（1），，， 又，，数列是以为首项，为公比的等比数列。

（2）由（1）知，即，。

设…，① 则…，② 由①—②得…，。

又…。

数列的前项和。

5、设数列满足，，，。

数列满足是非零整数，且对任意的正整数和自然数，都有。

（1）求数列和的通项公式； （2）记，求数列的前项和。

解：（1）由得，，又， 数列是首项为1公比为的等比数列，， ； 由得 ，由得 ，...， 同理，当为偶数时，；当为奇数时，； 因此，。

（2）， 当为奇数时： 当为偶数时： 令① ①×得：② ①—②得 ， 。

6、数列的通项公式为，其前项和为。

（1）求； （2）设，求数列的前项和。

2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编专题06 数列解答题1．(2022年全国甲卷理科·第17题)记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知221nn S n a n+=+．(1)证明：{}n a 是等差数列；(2)若479,,a a a 成等比数列，求n S 的最小值．【答案】(1)证明见解析：； (2)78-．解析：(1)解：因为221nn S n a n+=+，即222n n S n na n +=+①，当2n ≥时，()()()21121211n n S n n a n --+-=-+-②，①-②得，()()()22112212211n n n n S n S n na n n a n --+---=+----，即()12212211n n n a n na n a -+-=--+，即()()()1212121n n n a n a n ----=-，所以11n n a a --=，2n ≥且N*n ∈，所以{}n a 是以1为公差的等差数列．(2)解：由(1)可得413a a =+，716a a =+，918a a =+，又4a ，7a ，9a 成等比数列，所以2749a a a =⋅，即()()()2111638a a a +=+⋅+，解得112a =-，所以13n a n =-，所以()22112512562512222228n n n S n n n n -⎛⎫=-+=-=-- ⎪⎝⎭，所以，当12n =或13n =时()min 78n S =-．【题目栏目】数列\数列的综合应用\数列的综合问题【题目来源】2022年全国甲卷理科·第17题2．(2022新高考全国II 卷·第17题)已知{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-．(1)证明：11a b =；(2)求集合{}1,1500k m k b a a m =+≤≤中元素个数．【答案】(1)证明见解析； (2)9．解析：(1)设数列{}n a 的公差为d ，所以，()11111111224283a d b a d b a d b b a d +-=+-⎧⎨+-=-+⎩，即可解得，112db a ==，所以原命题得证．（2）由(1)知，112d b a ==，所以()1111121k k m b a a b a m d a -=+⇔⨯=+-+，即122k m -=，亦即[]221,500k m -=∈，解得210k ≤≤，所以满足等式的解2,3,4,,10k = ，故集合{}1|,1500k m k b a a m =+≤≤中的元素个数为10219-+=．【题目栏目】数列\数列的综合应用\数列的综合问题【题目来源】2022新高考全国II 卷·第17题3．(2022新高考全国I 卷·第17题)记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,n n S a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：121112na a a +++< ．【答案】(1)()12n n n a +=(2)见解析解析：(1)∵11a =，∴111S a ==,∴111S a =,又∵n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列，∴()121133n n S n n a +=+-=,∴()23n n n a S +=,∴当2n ≥时，()1113n n n a S --+=，∴()()112133n n n n n n a n a a S S --++=-=-,整理得：()()111nn n an a --=+,即111n n a n a n -+=-,∴31211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⨯⨯⨯⋯⨯⨯()1341123212n n n n n n ++=⨯⨯⨯⋯⨯⨯=--，显然对于1n =也成立，∴{}n a 的通项公式()12n n n a +=；(2)()12112,11n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭∴12111n a a a +++ 1111112121222311n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 【题目栏目】数列\数列的综合应用\数列的综合问题【题目来源】2022新高考全国I 卷·第17题4．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第17题)记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35244,a S a a S ==．(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)求使n n S a >成立的n 的最小值．【答案】解析:(1)由等差数列的性质可得：535S a =，则：3335,0a a a =∴=，设等差数列的公差为d ，从而有：()()22433a a a d a d d =-+=-，()()()41234333322S a a a a a d a d a a d d =+++=-+-++-=-，从而：22d d -=-，由于公差不为零，故：2d =，数列的通项公式为：()3326n a a n d n =+-=-．(2)由数列的通项公式可得：1264a =-=-，则：()()214262n n n S n n n -=⨯-+⨯=-，则不等式n n S a >即：2526n n n ->-，整理可得：()()160n n -->，解得：1n <或6n >，又n 为正整数，故n 的最小值为7．【题目栏目】数列\数列的综合应用\数列的综合问题【题目来源】2021年新高考全国Ⅱ卷·第17题5．(2021年新高考Ⅰ卷·第17题)已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n n a n a a n +⎧+=⎨+⎩为奇数为偶数(1)记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；(2)求{}n a 的前20项和．【答案】122,5b b ==；300．解析:(1)由题设可得121243212,1215b a a b a a a ==+===+=++=又22211k k a a ++=+，2122k k a a +=+，故2223k k a a +=+即13n n b b +=+即13n n b b +-=所以{}n b 为等差数列，故()21331n b n n =+-⨯=-．(2)设{}n a 的前20项和为20S ，则2012320S a a a a =++++ ，因为123419201,1,,1a a a a a a =-=-=- ，所以()20241820210S a a a a =++++- ()1291091021021023103002b b b b ⨯⎛⎫=++++-=⨯⨯+⨯-= ⎪⎝⎭．【题目栏目】数列\数列的综合应用\数列的综合问题【题目来源】2021年新高考Ⅰ卷·第17题6．(2020年新高考I 卷(山东卷)·第18题)已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==．(1)求{}n a 的通项公式；(2)记m b 为{}n a 在区间*(0,]()m m ∈N 中的项的个数，求数列{}m b 的前100项和100S ．【答案】(1)2nn a =；(2)100480S =．解析：(1)由于数列{}n a 是公比大于1的等比数列，设首项为1a ，公比为q ，依题意有31121208a q a q a q ⎧+=⎨=⎩，解得解得12,2a q ==，或1132,2a q ==(舍)，所以2nn a =，所以数列{}n a 的通项公式为2nn a =．(2)由于123456722,24,28,216,232,264,2128=======，所以1b 对应的区间为：(]0,1，则10b =；23,b b 对应的区间分别为：(](]0,2,0,3，则231b b ==，即有2个1；4567,,,b b b b 对应的区间分别为：(](](](]0,4,0,5,0,6,0,7，则45672b b b b ====，即有22个2；8915,,,b b b 对应的区间分别为：(](](]0,8,0,9,,0,15 ，则89153b b b ==== ，即有32个3；161731,,,b b b 对应的区间分别为：(](](]0,16,0,17,,0,31 ，则1617314b b b ==== ，即有42个4；323363,,,b b b 对应的区间分别为：(](](]0,32,0,33,,0,63 ，则3233635b b b ==== ，即有52个5；6465100,,,b b b 对应的区间分别为：(](](]0,64,0,65,,0,100 ，则64651006b b b ==== ，即有37个6．所以23451001222324252637480S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．【题目栏目】数列\数列的综合应用\数列的综合问题【题目来源】2020年新高考I 卷(山东卷)·第18题7．(2020新高考II 卷(海南卷)·第18题)已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==．(1)求{}n a 通项公式；(2)求112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋯+-．【答案】(1)2nn a =；(2)2382(1)55n n +--解析：(1)设等比数列{}n a 的公比为q (q >1)，则32411231208a a a q a q a a q ⎧+=+=⎨==⎩，整理可得：22520q q -+=，11,2,2q q a >== ，数列的通项公式为：1222n n n a -=⋅=．(2)由于：()()()1121111122112n n n n n n n n a a --++-+=-⨯⨯=--，故：112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋯+-35791212222(1)2n n -+=-+-+⋯+-⋅()()3223221282(1)5512nn n +⎡⎤--⎢⎥⎣⎦==----．【题目栏目】数列\数列的综合应用\数列的综合问题【题目来源】2020新高考II 卷(海南卷)·第18题的8．(2021年高考全国乙卷理科·第19题)记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知212n nS b +=．(1)证明：数列{}n b 是等差数列;(2)求{}n a 的通项公式．【答案】(1)证明见解析；(2)()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩．解析：(1)由已知212n n S b +=得221n nn b S b =-,且0n b ≠，12n b ≠,取1n =,由11S b =得132b =,由于n b 为数列{}n S 的前n 项积，所以1212222212121n n n b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=---,所以12112222121n b b b b b +⋅=--，所以111221n n n nb b b b +++=-,由于10n b +≠所以12121n n b b +=-，即112n n b b +-=,其中*n N ∈所以数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差等差数列;(2)由(1)可得，数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差的等差数列，()3111222n nb n ∴=+-⨯=+,22211n n n b nS b n+==-+,当n =1时，1132a S ==,当n ≥2时,()121111n n n n n a S S nn n n -++=-=-=-++,显然对于n =1不成立,∴()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩．【点睛】本题考查等差数列的证明，考查数列的前n 项和与项的关系，数列的前n 项积与项的关系，其中由1212222212121n n n b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=---,得到1121121222212121n n n b b b b b b b +++⋅⋅⋅⋅=---，进而得到111221n n n nb b b b +++=-是关键一步；要熟练掌握前n 项和，积与数列的项的关系，消和(积)得到项(或项的递推关系)，或者消项得到和(积)的递推关系是常用的重要的思想方法．【题目栏目】数列\等差、等比数列的综合应用【题目来源】2021年高考全国乙卷理科·第19题9．(2021年高考全国甲卷理科·第18题)已知数列{}n a 的各项均为正数，记n S 为{}n a 的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{}n a是等差数列：②数列是等差数列；③213aa =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】答案见解析解析：选①②作条件证明③：(0)an b a =+>，则()2n S an b =+，当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为{}n a 也是等差数列，所以()()222a b a a a b +=-+，解得0b =；所以()221n aa n =-，所以213a a =．选①③作条件证明②：因为213a a =，{}n a 是等差数列，所以公差2112d a a a =-=，所以()21112n n n S na d n a -=+==，)1n =+=，所以是等差数列．选②③作条件证明①：(0)an b a =+>，则()2n S an b =+，当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为213a a =，所以()()2323a a b a b +=+，解得0b =或43a b =-；当0b =时，()221,21n a a a a n ==-，当2n ≥时，2-1-2n n a a a =满足等差数列的定义，此时{}n a 为等差数列；当43a b =-4=3an b an a =+-03a=-<不合题意，舍去．综上可知{}n a 为等差数列．【点睛】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，等差数列的证明通常采用定义法或者等差中项法．【题目栏目】数列\数列的综合应用\数列的综合问题【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第18题10．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第17题)设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项．(1)求{}n a 的公比；(2)若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．【答案】(1)2-；(2)1(13)(2)9nn n S -+-=．【解析】(1)设{}n a 的公比为q ，1a 为23,a a 的等差中项，212312,0,20a a a a q q =+≠∴+-= ，1,2q q ≠∴=- ；(2)设{}n na 前n 项和为n S ，111,(2)n n a a -==-，21112(2)3(2)(2)n n S n -=⨯+⨯-+⨯-++- ，①23121(2)2(2)3(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=⨯-+⨯-+⨯-+--+- ，②①-②得，2131(2)(2)(2)(2)n nn S n -=+-+-++--- 1(2)1(13)(2)(2)1(2)3n n n n n ---+-=--=--，1(13)(2)9nn n S -+-∴=．【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题．【题目栏目】数列\数列的综合应用\数列的综合问题【题目来源】2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第17题11．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第17题)设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-．(1)计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明；(2)求数列{2n a n }的前n 项和S n ．【答案】(1)25a =，37a =，21n a n =+，证明见解析；(2)1(21)22n n S n +=-⋅+．解析：(1)由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=，由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，即21n a n =+，证明如下：当1n =时，13a =成立；假设n k =时，21k a k =+成立．那么1n k =+时，1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k +=-=+-=+=++也成立．则对任意的*n N ∈，都有21n a n =+成立；的(2)由(1)可知，2(21)2n nn a n ⋅=+⋅231325272(21)2(21)2n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅ ，①23412325272(21)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅ ，②由①-②得：()23162222(21)2nn n S n +-=+⨯+++-+⋅ ()21121262(21)212n n n -+-=+⨯-+⋅⨯-1(12)22n n +=-⋅-，即1(21)22n n S n +=-⋅+．【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题．【题目栏目】数列\数列的综合应用\数列的综合问题【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第17题12．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第19题)已知数列{}n a 和{}n b 满足11a =，10b =，1434n n n a a b +=-+，1434n n n b b a +=--．()1证明：{}n n a b +是等比数列，{}n n a b -是等差数列；()2求{}n a 和{}n b 的通项公式．【答案】()1见解析；()21122n n a n =+-，1122n n b n =-+.【官方解析】()1由题设得114()2()n n n n a b b +++=+，即111()2n n n n a b a b +++=+．又因为111a b +=，所以{}n n a b +是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得114()4()8n n n n a b a b ++-=-+，即112n n n n a b a b ++-=-+．又因为111a b -=，所以{}n n a b -是首项为1，公差为2的等差数列．()2由()1知，112n n n a b -+=，21n n a b n -=-．所以111[()()]222n n n n n n a a b a b n =++-=+-，111[()()]222n n n n n n b a b a b n =+--=-+．【分析】()1可通过题意中的1434n n n a b a +=-+以及1434n n n b a b +=--对两式进行相加和相减即可推导出数列{}n n a b +是等比数列以及数列{}n n a b -是等差数列；()2可通过()1中的结果推导出数列{}n n a b +以及数列{}n n a b -的通项公式，然后利用数列{}n n a b +以及数列{}n n a b -的通项公式即可得出结果.【解析】()1由题意可知，，，，所以，即111()2n n n n a b a b +++=+，所以数列是首项为、公比为的等比数列，，因为，所以，数列是首项、公差为等差数列，.()2由()1可知，112n n n a b -+=，，所以111[()()]222n n n n n n a a b a b n =++-=+-，111[()()]222n n n n n n b a b a b n =+--=-+.【点评】本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题.【题目栏目】数列\数列的综合应用\数列的综合问题【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第19题13．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第17题)(12分)等比数列{}n a 中，11a =，534a a =(1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 为{}n a 的前n 项和，若63m S =，求m ．(1)12n n a -=或()12n n a -=-；(2)6m =【答案】【官方解析】(1)设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=由已知得424q q =，解得0q =(舍去)，2q =-或2q =故()12n n a -=-或12n n a -=(2)若()12n n a -=-，则()123mm S --=，由63m S =，得()2188m-=-，此方和没有正整数解若12n n a -=，则21m m S =-，由63m S =，得264m =，解得6m =综上，6m =．1434n n n a a b +-=+1434n n n b b a +-=-111a b +=111a b -=1144323442n n n n n n n n a b a b b a a b ++=+=--+++-{}n n a b +112(112n n n a b -+=()11443434448n n n n n n n n a b a b b a a b ++---=+-=-+-112n n n n a b a b ++=-+-{}n n a b -12的21n n a b n -=-21n n a b n -=-【民间解析】(1)设等比数列{}n a 的公比为q ，由11a =，534a a =可得42141q q ⨯=⨯⨯，所以24q =所以2q =±当2q =时，1112n n n a a q --==；当2q =-时，()1112n n n a a q --==-(2)由(1)可知2q =±当2q =时，由()1163631m m a q S q-=⇒=-即126312m-=-，即62642m ==，所以6m =；当2q =-时，由()1163631m m a q S q-=⇒=-即()126312m--=+，即()2188m-=-，无解综上可知6m =．【题目栏目】数列\等比数列\等比数列的综合应用【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第17题14．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第17题)(12分)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求n S ，并求n S 的最小值．【答案】解析：(1)设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-．由17a =得2d =，所以{}n a 的通项公式为29n a n =-．(2)由(1)得228(4)16n S n n n =-=--．所以当4n =时，n S 取得最小值，最小值为16-．【题目栏目】数列\等差数列\等差数列的前n 项和【题目来源】2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第17题15．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第17题)已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+,其中0λ≠.(Ⅰ)证明{}n a 是等比数列,并求其通项公式;(Ⅱ)若53132S =,求λ.【答案】(Ⅰ)11(11n n a λλλ-=--;(Ⅱ)1λ=-.【解析】(Ⅰ)由题意得1111a S a λ==+,故1λ≠,111a λ=-,10a ≠.由1n n S a λ=+,111n n S a λ++=+得11n n n a a a λλ++=-,即1(1)n n a a λλ+-=.由10a ≠,0λ≠得0n a ≠,所以11n n a a λλ+=-.因此{}n a 是首项为11λ-,公比为1λλ-的等比数列,于是11()11n n a λλλ-=--.(Ⅱ)由(Ⅰ)得1()1n n S λλ=--,由53132S =得5311(132λλ-=-,即51()132λλ=-,解得1λ=-.【题目栏目】数列\等比数列\等比数列的前n 项和【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第17题16．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第17题)(本题满分12分)n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S ，=记[]=lg n nb a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg 99=1，．(I)求111101b b b ，，；(II)求数列{}n b 的前1 000项和．【答案】(1)[]1lg10b ==，[]11lg111b ==，[]101lg1012b ==；(2)1893．【解析】(1)设{}n a 的公差为d ，据已知有72128d +=，解得1d =．所以数列{}n a 的通项公式为n a n =．[]1lg10b ==，[]11lg111b ==，[]101lg1012b ==．(2)因为0,110,1,10100,2,1001000,3,1000,n n n b n n ≤<⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪=⎩所以数列{}n b 的前1000项和为1902900311893⨯+⨯+⨯=．【题目栏目】数列\等差数列\等差数列的前n 项和【题目来源】2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第17题17．(2015高考数学新课标1理科·第17题)(本小题满分12分)n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知20,24 3.n n n n a a a S >+=+(Ⅰ)求{}n a 的通项公式：(Ⅱ)设112n n n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和【答案】(Ⅰ)21n +(Ⅱ)11646n -+分析：(Ⅰ)先用数列第n 项与前n 项和的关系求出数列{n a }的递推公式，可以判断数列{n a }是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列{n a }的通项公式；(Ⅱ)根据(Ⅰ)数列{n b }的通项公式，再用拆项消去法求其前n 项和．解析：(Ⅰ)当1n =时，211112434+3a a S a +=+=，因为0n a >，所以1a =3，当2n ≥时，2211n n n n a a a a --+--=14343n n S S -+--=4n a ，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以1n n a a --=2，所以数列{n a }是首项为3，公差为2的等差数列，所以n a =21n +；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，n b =1111((21)(23)22123n n n n =-++++，所以数列{n b }前n 项和为12n b b b +++ =1111111[((()]235572123n n -+-++-++ =11646n -+．考点：数列前n 项和与第n 项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法【题目栏目】数列\数列的求和\裂项相消法求和问题【题目来源】2015高考数学新课标1理科·第17题18．(2014高考数学课标2理科·第17题)(本小题满分12分)已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+．(Ⅰ)证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(Ⅱ)证明：12111na a a ++<…+【答案】解析：(Ⅰ)由131n n a a +=+，得1113(22n n a a ++=+，且11322a +=所以{}12n a +是首相为32，公比为3的等比数列。

2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式：·如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B =+U ． ·如果事件A B ，相互独立，那么()()()P AB P A P B =．·球的体积公式34π3V R =，其中R 表示球的半径．·圆锥的体积公式13V Sh=，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，则A B =I （ ）A. {}1,2,3,4B. {}2,3,4C. {}2,4D. {}12. 设,a b ∈R ，则“33a b =”是“33a b =”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 下列图中，相关性系数最大的是（ ）的A. B.C. D.4. 下列函数是偶函数的是（ ）A. 22e 1x x y x -=+B. 22cos 1x x y x +=+ C. e 1x xy x -=+D. ||sin 4ex x xy +=5. 若0.30.3 4.24.2 4.2log 0.2a b c -===，，，则a b c ，，的大小关系为（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. c a b >>D. b c a >>6. 若,m n 为两条不同的直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是（ ） A 若//m α，n ⊂α，则//m nB. 若//,//m n αα，则//m nC. 若//,αα⊥m n ，则m n ⊥D. 若//,αα⊥m n ，则m 与n 相交7. 已知函数()()πsin303f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．则函数在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最小值是（ ）A. B. 32-C. 0D.328. 双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ） A. 22182y x -=B. 22184x y -=C. 22128x y -=D. 22148x y -=9. 一个五面体ABC DEF -．已知AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．并已知123AD BE CF ===，，．则该五面体的体积为（ ）.A.B.12+C.D.12- 第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10. 已知i是虚数单位，复数))i 2i +⋅-=______．11. 在63333x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，常数项为______．12. 22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为______．13. ,,,,A B C D E 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.（1）甲选到A 的概率为______；已知乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为______．14. 在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点， 1,2CE DE BE BA BC ==+u u r u u r u u u r λμ，则λμ+=______；若F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ⋅u u u r u u u r的最小值为______．15. 若函数()21f x ax =--+有唯一零点，则a 取值范围为______．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤的的16. 在ABC V 中，92cos 5163a Bbc ===，，． （1）求a ； （2）求sin A ； （3）求()cos 2B A -．17. 已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，1A A ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，其中12,1AB AA AD DC ====．N 是11B C 的中点，M 是1DD 的中点．（1）求证1//D N 平面1CB M ；（2）求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值； （3）求点B 到平面1CB M 的距离．18. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S △． （1）求椭圆方程．（2）过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤u u r u u u r 恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．19. 已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为n S ．若1231,1a S a ==-． （1）求数列{}n a 前n 项和n S ；（2）设11,2,kn n k k k n a b b k a n a -+=⎧=⎨+<<⎩，11b =，其中k 是大于1的正整数．（ⅰ）当1k n a +=时，求证：1n k n b a b -≥⋅；（ⅱ）求1nS i i b =∑．20. 设函数()ln f x x x =．（1）求()f x 图象上点()()1,1f 处的切线方程； （2）若()(f x a x ≥在()0,x ∞∈+时恒成立，求a 取值范围；（3）若()12,0,1x x ∈，证明()()121212f x f x x x -≤-．参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，则A B =I （ ）A. {}1,2,3,4B. {}2,3,4C. {}2,4D. {}1【答案】B 【解析】【分析】根据集合交集的概念直接求解即可. 【详解】因为集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =， 所以{}2,3,4A B =I ， 故选：B2. 设,a b ∈R ，则“33a b =”是“33a b =”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，33a b =和33a b =都当且仅当a b =，所以二者互为充要条件. 故选：C.3. 下列图中，相关性系数最大的是（ ）的A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】由点的分布特征可直接判断【详解】观察4幅图可知，A 图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，r 值相比于其他3图更接近1. 故选：A4. 下列函数是偶函数的是（ ）A. 22e 1x x y x -=+B. 22cos 1x x y x +=+ C. e 1x xy x -=+D. ||sin 4e x x xy +=【答案】B 【解析】【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【详解】对A ，设()22e 1x x f x x -=+，函数定义域为R ，但()112e 1f ---=，()112e f -=，则()()11f f -≠，故A 错误；对B ，设()22cos 1x x g x x +=+，函数定义域为R ， 且()()()()()2222cos cos 11x x x x g x g x x x -+-+-===+-+，则()g x 为偶函数，故B 正确； 对C ，设()e 1x xh x x -=+，函数定义域为{}|1x x ≠-，不关于原点对称， 则()h x 不是偶函数，故C 错误；对D ，设()||sin 4e x x x x ϕ+=，函数定义域为R ，因为()sin141e ϕ+=，()sin141eϕ---=， 则()()11ϕϕ≠-，则()x ϕ不是偶函数，故D 错误. 故选：B. 5. 若0.30.3 4.24.2 4.2log 0.2a b c -===，，，则a b c ，，的大小关系为（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. c a b >>D. b c a >>【答案】B 【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可. 【详解】因为 4.2x y =在R 上递增，且0.300.3-<<， 所以0.300.30 4.2 4.2 4.2-<<<，所以0.30.30 4.21 4.2-<<<，即01a b <<<， 因为 4.2log y x =在(0,)+∞上递增，且00.21<<， 所以 4.2 4.2log 0.2log 10<=，即0c <， 所以b a c >>， 故选：B6. 若,m n 为两条不同的直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若//m α，n ⊂α，则//m n B. 若//,//m n αα，则//m n C. 若//,αα⊥m n ，则m n ⊥ D. 若//,αα⊥m n ，则m 与n 相交【答案】C 【解析】【分析】根据线面平行的性质可判断AB 的正误，根据线面垂直的性质可判断CD 的正误. 【详解】对于A ，若//m α，n ⊂α，则,m n 平行或异面，故A 错误. 对于B ，若//,//m n αα，则,m n 平行或异面或相交，故B 错误. 对于C ，//,αα⊥m n ，过m 作平面β，使得s βα=I ，因为m β⊂，故//m s ，而s α⊂，故n s ⊥，故m n ⊥，故C 正确.对于D ，若//,αα⊥m n ，则m 与n 相交或异面，故D 错误. 故选：C .7. 已知函数()()πsin303f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．则函数在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最小值是（ ）A. B. 32-C. 0D.32【答案】A 【解析】【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得()sin2f x x =-，再整体求出,126⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππx 时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解. 【详解】()()πsin3sin 3πsin 33f x x x x ωωω⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭，由2ππ3T ω==得23ω=， 即()sin2f x x =-，当,126⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππx 时，ππ2,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 画出()sin2f x x =-图象，如下图， 由图可知，()sin2f x x =-在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递减，所以，当π6x =时，()min πsin 3f x =-=故选：A8. 双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ） A. 22182y x -=B. 22184x y -=C. 22128x y -=D. 22148x y -=【答案】C 【解析】【分析】可利用12PF F △三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设2PF m =，由面积公式求出m ，由勾股定理得出c ，结合第一定义再求出a .【详解】如下图：由题可知，点P 必落在第四象限，1290F PF ∠=︒，设2PF m =，211122,PF F PF F θθ∠=∠=，由21tan 2PF k θ==，求得1sin θ=，因为1290F PF ∠=︒，所以121PF PF k k ⋅=-，求得112PF k =-，即21tan 2θ=，2sin θ=，由正弦定理可得：121212::sin :sin :sin 902PF PF F F θθ=︒=则由2PF m =得1122,2PF m F F c ===，由1212112822PF F S PF PF m m =⋅=⋅=V 得m =，则2122PF PF F c c =====由双曲线第一定义可得：122PF PF a -==a b ===所以双曲线的方程为22128x y -=.故选：C9. 一个五面体ABC DEF -．已知AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．并已知123AD BE CF ===，，．则该五面体的体积为（ ）A.B.12+ C.D.12- 【答案】C 【解析】【分析】采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可.【详解】用一个完全相同的五面体HIJ LMN -（顶点与五面体ABC DEF -一一对应）与该五面体相嵌，使得,D N ；,E M ;,F L 重合，因为AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．1,2,3AD BE CF ===， 则形成的新组合体为一个三棱柱，该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为1322314+=+=+=，212111142ABC DEF ABC HIJ V V --==⨯⨯⨯=. 故选：C.第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10. 已知i 是虚数单位，复数))i 2i +⋅-=______．【答案】7【解析】【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.【详解】))i 2i 527+⋅-=+-+=-.故答案为：7-.11. 在63333x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为______．【答案】20 【解析】【分析】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可.【详解】因为63333x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为()63636216633C 3C ,0,1,,63rrr r r r r x T x r x ---+⎛⎫⎛⎫===⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令()630r -=，可得3r =， 所以常数项为0363C 20=. 故答案为：20.12. 22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为______．【答案】45##0.8 【解析】【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A 及AF 的方程，从而可求原点到直线AF 的距离.【详解】圆22(1)25-+=x y 的圆心为()1,0F ，故12p=即2p =， 由()2221254x y y x⎧-+=⎪⎨=⎪⎩可得22240x x +-=，故4x =或6x =-（舍）， 故()4,4A ±，故直线()4:13AF y x =±-即4340x y --=或4340x y +-=， 故原点到直线AF 的距离为4455d ==， 故答案为：4513. ,,,,A B C D E 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.（1）甲选到A 的概率为______；已知乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为______． 【答案】 ①.35②. 12【解析】【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求甲选到A 的概率；采用列举法或者条件概率公式可求乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率. 【详解】解法一：列举法 从五个活动中选三个的情况有：,,,,,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE ,共10种情况，其中甲选到A 有6种可能性：,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ， 则甲选到A 得概率为：63105P ==； 乙选A 活动有6种可能性：,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ， 其中再选则B 有3种可能性：,,ABC ABD ABE ，故乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为31=62. 解法二：设甲、乙选到A 为事件M ，乙选到B 为事件N ，则甲选到A 的概率为()2435C 3C 5P M ==；乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为()()()133524351C 2C C P MN C P N M P M === 故答案为：35；12 14. 在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点， 1,2CE DE BE BA BC ==+u u r u u r u u u r λμ，则λμ+=______；若F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ⋅u u u r u u u r的最小值为______．【答案】 ①.43②. 518-【解析】【分析】解法一：以{},BA BC u u u r u u u r 为基底向量，根据向量的线性运算求BE u u u r，即可得λμ+，设BF BE k =u u u r u u r ，求,AF DG u u u r u u u r ，结合数量积的运算律求AF DG ⋅u u u r u u u r 的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE u u u r ，即可得λμ+，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，求,AF DG u u u r u u u r ，结合数量积的坐标运算求AF DG ⋅u u u r u u u r 的最小值.【详解】解法一：因为12CE DE =，即23CE BA =u u r u u r ，则13BE BC CE BA BC =+=+u u u r u u r u u u u r r u u u r ，可得1,13λμ==，所以43λμ+=；由题意可知：1,0BC BA BA BC ==⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，因为F 为线段BE 上的动点，设[]1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+∈u u u r u u u r u u u r u u u r，则113AF AB BF AB k BE k BA k BC ⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u uu r u u u r ，又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC ⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur ，可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur22111563112329510k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又因为[]0,1k ∈，可知：当1k =时，AF DG ⋅u u u r u u u r取到最小值518-； 解法二：以B 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()()11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，可得()()11,0,0,1,,13BA BC BE ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ，因为(),BE BA BC λμλμ=+=-u u u r u u u r u u u r ，则131λμ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩，所以43λμ+=；因为点F 在线段1:3,,03BE y x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦上，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，且G 为AF 中点，则13,22a G a -⎛⎫-⎪⎝⎭， 可得()131,3,,122a AF a a DG a +⎛⎫=+-=--⎪⎝⎭u u u r u u u r ， 则()()22132331522510a AF DG a a a +⎛⎫⎛⎫⋅=+---=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ，且1,03a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以当13a =-时，AF DG ⋅u u u r u u u r 取到最小值为518-；故答案为：43；518-.15. 若函数()21f x ax =--+有唯一零点，则a 的取值范围为______．【答案】()(1-⋃【解析】【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数()g x =与()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，则两函数图象有唯一交点，分0a =、0a >与0a <进行讨论，当0a >时，计算函数定义域可得x a ≥或0x ≤，计算可得(]0,2a ∈时，两函数在y 轴左侧有一交点，则只需找到当(]0,2a ∈时，在y 轴右侧无交点的情况即可得；当0a <时，按同一方式讨论即可得. 【详解】令()0f x =，即21ax =--， 由题可得20x ax -≥，当0a =时，x ∈R，有211=--=，则x =±当0a >时，则23,2121,ax x a ax ax x a ⎧-≥⎪⎪=--=⎨⎪-<⎪⎩，即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩有唯一交点，由20x ax -≥，可得x a ≥或0x ≤，当0x ≤时，则20ax -<，则211ax ax =--=-， 即()22441x ax ax -=-，整理得()()()2242121210a xax a x a x ⎡⎤⎡⎤---=++--=⎣⎦⎣⎦，当2a =时，即410x +=，即14x =-，当()0,2a ∈，12x a =-+或102x a=>-（正值舍去），当()2,a ∈+∞时，102x a =-<+或102x a=<-，有两解，舍去， 即当(]0,2a ∈时，210ax --+=在0x ≤时有唯一解， 则当(]0,2a ∈时，210ax --+=在x a ≥时需无解， 当(]0,2a ∈，且x a ≥时，由函数()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩关于2x a =对称，令()0h x =，可得1x a =或3x a =，且函数()h x 在12,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在23,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 令()g x y ==，即2222142a x y a a ⎛⎫- ⎪-⎭=⎝， 故x a ≥时，()g x 图象为双曲线()222214y x a a -=右支的x 轴上方部分向右平移2a 所得， 由()222214y x a a-=的渐近线方程为22a y x x a =±=±， 即()g x 部分的渐近线方程为22a y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其斜率为2，又(]0,2a ∈，即()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩在2x a ≥时的斜率(]0,2a ∈，令()0g x ==，可得x a =或0x =（舍去）， 且函数()g x 在(),a +∞上单调递增，故有13a aa a ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解得1a <<，故1a <<符合要求；当a<0时，则23,2121,ax x a ax ax x a ⎧-≤⎪⎪=--=⎨⎪->⎪⎩，即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩有唯一交点，由20x ax -≥，可得0x ≥或x a ≤，当0x ≥时，则20ax -<，则211ax ax =--=-， 即()22441x ax ax -=-，整理得()()()2242121210a xax a x a x ⎡⎤⎡⎤---=++--=⎣⎦⎣⎦，当2a =-时，即410x -=，即14x =， 当()2,0a ∈-，102x a =-<+（负值舍去）或102x a=-， 当(),2a ∈-∞时，102x a =->+或102x a=>-，有两解，舍去， 即当[)2,0a ∈-时，210ax --+=在0x ≥时有唯一解， 则当[)2,0a ∈-时，210ax --+=在x a ≤时需无解， 当[)2,0a ∈-，且x a ≤时，由函数()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩关于2x a =对称，令()0h x =，可得1x a =或3x a =，且函数()h x 在21,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在32,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 同理可得：x a ≤时，()g x 图象为双曲线()222214y x a a -=左支的x 轴上方部分向左平移2a 所得， ()g x 部分渐近线方程为22a y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其斜率为2-，又[)2,0a ∈-，即()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩在2x a <时的斜率[)2,0a ∈-，令()0g x ==，可得x a =或0x =（舍去），的且函数()g x 在(),a -∞上单调递减，故有13a aa a⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解得1a <<-，故1a <<-符合要求；综上所述，()(1a ∈-U . 故答案：()(1-⋃.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数()f x 的零点问题转化为函数()g x =与函数()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩的交点问题，从而可将其分成两个函数研究.三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16. 在ABC V 中，92cos 5163a Bbc ===，，． （1）求a ； （2）求sin A ； （3）求()cos 2B A -． 【答案】（1）4（2（3）5764【解析】【分析】（1）2,3a t c t ==，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sin B ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos A ，则得到sin A ；（3）法一：根据大边对大角确定A 为锐角，则得到cos A ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可. 【小问1详解】设2,3a t c t ==，0t >，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，为即229254922316t t t t =+-⨯⨯⨯，解得2t =（负舍）； 则4,6a c ==. 【小问2详解】法一：因为B为三角形内角，所以sin B ===， 再根据正弦定理得sin sin a b A B =，即4sin A =，解得sin A =法二：由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯，因为()0,πA ∈，则sin A ==小问3详解】法一：因为9cos 016B =>，且()0,πB ∈，所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由（2）法一知sin B =， 因为a b <，则A B <，所以3cos 4A ==，则3sin 22sin cos 24A A A ===，2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭ ()1957cos 2cos cos 2sin sin 281664B A B A B A -=+=⨯+=.法二：3sin 22sin cos 24A A A ===， 则2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭，因为B为三角形内角，所以sin B ===【所以()9157cos 2cos cos 2sin sin 216864B A B A B A -=+=⨯=17. 已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，1A A ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，其中12,1AB AA AD DC ====．N 是11B C 的中点，M 是1DD 的中点．（1）求证1//D N 平面1CB M ；（2）求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值； （3）求点B 到平面1CB M 的距离． 【答案】（1）证明见解析（2（3 【解析】【分析】（1）取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得1N//D MP ，结合线面平行判定定理即可得证；（2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解. 【小问1详解】取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，由N 是11B C 的中点，故1//NP CC ，且112NP CC =， 由M 是1DD 的中点，故1111122D M DD CC ==，且11//D M CC ， 则有1//D M NP 、1D M NP =，故四边形1D MPN 是平行四边形，故1//D N MP ， 又MP ⊂平面1CB M ，1D N ⊄平面1CB M ， 故1//D N 平面1CB M ； 【小问2详解】以A 为原点建立如图所示空间直角坐标系，有()0,0,0A 、()2,0,0B 、()12,0,2B 、()0,1,1M 、()1,1,0C 、()11,1,2C ，则有()11,1,2CB =-u u u r 、()1,0,1CM =-u u u u r 、()10,0,2BB =u u u r，设平面1CB M 与平面11BB CC 的法向量分别为()111,,m x y z =r 、()222,,n x y z =r，则有111111200m CB x y z m CM x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u r r u u u u r r ，1222122020n CB x y z n BB z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩u u u r r u u u r r ， 分别取121x x ==，则有13y =、11z =、21y =，20z =， 即()1,3,1m =r 、()1,1,0n =r，则cos ,m n m n m n ⋅===⋅r rr rr r ，故平面1CB M 与平面11BB CC； 【小问3详解】由()10,0,2BB =u u u r ，平面1CB M 的法向量为()1,3,1m =r，则有1BB m m ⋅==u u u r r r即点B 到平面1CB M . 18. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S △． （1）求椭圆方程． （2）过点30,2⎛⎫-⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤u u r u u u r 恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．【答案】（1）221129x y +=（2）存在()30,32T t t ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭，使得0TP TQ ⋅≤u u r u u u r 恒成立.【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.（2）设该直线方程为：32y kx =-，()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t ， 联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用,k t 表示TP TQ ⋅u u r u u u r，再根据0TP TQ ⋅≤u u r u u u r 可求t 的范围.【小问1详解】因为椭圆的离心率为12e =，故2a c =，b =，其中c 为半焦距，所以()()2,0,0,,0,A c B C ⎛- ⎝，故122ABC S c =⨯=△故c =a =，3b =，故椭圆方程为：221129x y +=.【小问2详解】若过点30,2⎛⎫-⎪⎝⎭的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：32y kx =-， 设()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t ，由22343632x y y kx ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩可得()223412270k x kx +--=， 故()222Δ144108343245760k kk=++=+>且1212221227,,3434k x x x x k k+==-++ 而()()1122,,,TP x y t TQ x y t =-=-u u r u u u r，故()()121212123322TP TQ x x y t y t x x kx t kx t ⎛⎫⎛⎫⋅=+--=+---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭u u r u u u r()()22121233122k x x k t x x t ⎛⎫⎛⎫=+-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22222731231342342k k k t t k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯--+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2222222327271812332234k k k t t t k k ⎛⎫----++++ ⎪⎝⎭=+ ()22223321245327234t t k t k ⎛⎫⎡⎤+--++- ⎪⎣⎦⎝⎭=+， 因为0TP TQ ⋅≤u u r u u u r 恒成立，故()223212450332702t t t ⎧+--≤⎪⎨⎛⎫+-≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得332t -≤≤. 若过点30,2⎛⎫-⎪⎝⎭的动直线的斜率不存在，则()()0,3,0,3P Q -或()()0,3,0,3P Q -， 此时需33t -≤≤，两者结合可得332t -≤≤. 综上，存在()30,32T t t ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭，使得0TP TQ ⋅≤u u r u u u r 恒成立.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.19. 已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为n S ．若1231,1a S a ==-． （1）求数列{}n a 前n 项和n S ；（2）设11,2,kn n k k k n a b b k a n a -+=⎧=⎨+<<⎩，11b =，其中k 是大于1的正整数．（ⅰ）当1k n a +=时，求证：1n k n b a b -≥⋅； （ⅱ）求1nS i i b =∑．【答案】（1）21n n S =-（2）①证明见详解；②()131419nn S ii n b=-+=∑ 【解析】【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为0q >，根据题意结合等比数列通项公式求q ，再结合等比数列求和公式分析求解；（2）①根据题意分析可知12,1k k n a b k -==+，()121n k k b -=-，利用作差法分析证明；②根据题意结合等差数列求和公式可得()()1211213143449k k k k i i b k k ---=⎡⎤=---⎣⎦∑，再结合裂项相消法分析求解. 【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为0q >，因为1231,1a S a ==-，即1231a a a +=-，可得211q q +=-，整理得220q q --=，解得2q =或1q =-（舍去），所以122112nn n S -==--.【小问2详解】 （i ）由（1）可知12n n a -=，且N*,2k k ∈≥，当124kk n a +=≥=时，则111221111k k k k k a n n a a -++⎧=<-=-⎨-=-<⎩，即11k k a n a +<-<可知12,1k k n a b k -==+，()()()1111222121k k k n a k k b b a a k k k k --+=+--⋅=+-=-，可得()()()()1112112122120kn k n k k k k k k k k b k a b ---=--+=--≥--=-⋅≥-，当且仅当2k =时，等号成立， 所以1n k n b a b -≥⋅；（ii ）由（1）可知：1211nn n S a +=-=-， 若1n =，则111,1S b ==； 若2n ≥，则112k k k a a -+-=，当1221k k i -<≤-时，12i i b b k --=，可知{}i b 为等差数列，可得()()()111211112221122431434429k k k k k k k k i i b k kk k k -------=-⎡⎤=⋅+=⋅=---⎣⎦∑， 所以()()()232113141115424845431434499nn S n n i i n b n n -=-+⎡⎤=+⨯-⨯+⨯-⨯+⋅⋅⋅+---=⎣⎦∑， 且1n =，符合上式，综上所述：()131419nn S ii n b=-+=∑. 【点睛】关键点点睛：1.分析可知当1221k k i -<≤-时，12i i b b k --=，可知{}i b 为等差数列；2.根据等差数列求和分析可得()()1211213143449k k k k i i b k k ---=⎡⎤=---⎣⎦∑. 20. 设函数()ln f x x x =．（1）求()f x 图象上点()()1,1f 处切线方程； （2）若()(f x a x ≥在()0,x ∞∈+时恒成立，求a 的取值范围；（3）若()12,0,1x x ∈，证明()()121212f x f x x x -≤-． 【答案】（1）1y x =-（2）{}2（3）证明过程见解析 【解析】【分析】（1）直接使用导数的几何意义；的（2）先由题设条件得到2a =，再证明2a =时条件满足； （3）先确定()f x 的单调性，再对12,x x 分类讨论. 【小问1详解】由于()ln f x x x =，故()ln 1f x x ='+.所以()10f =，()11f '=，所以所求的切线经过()1,0，且斜率为1，故其方程为1y x =-. 【小问2详解】设()1ln h t t t =--，则()111t h t t t'-=-=，从而当01t <<时()0h t '<，当1t >时()0h t '>. 所以()h t 在(]0,1上递减，在[)1,+∞上递增，这就说明()()1h t h ≥，即1ln t t -≥，且等号成立当且仅当1t =.设()()12ln g t a t t =--，则()((ln 12ln f x a x x x a x x a x g ⎛⎫--=-=-=⋅ ⎪⎭⎝.当()0,x ∞∈+的取值范围是()0,∞+，所以命题等价于对任意()0,t ∞∈+，都有()0g t ≥. 一方面，若对任意()0,t ∞∈+，都有()0g t ≥，则对()0,t ∞∈+有()()()()112012ln 12ln 1212g t a t t a t a t at a t t t ⎛⎫≤=--=-+≤-+-=+-- ⎪⎝⎭，取2t =，得01a ≤-，故10a ≥>.再取t =，得2022a a a ≤--=--=-，所以2a =.另一方面，若2a =，则对任意()0,t ∞∈+都有()()()212ln 20g t t t h t =--=≥，满足条件. 综合以上两个方面，知a 的取值范围是{}2. 【小问3详解】先证明一个结论：对0a b <<，有()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.证明：前面已经证明不等式1ln t t -≥，故lnln ln ln ln ln ln 1ln 1bb b a a a b a aa b b b b b a b a a--=+=+<+---，且1lnln ln ln ln ln ln ln 1ln 11a a b b a a b b b a b b a a a a a a b a b a bb⎛⎫--- ⎪--⎝⎭=+=+>+=+----，所以ln ln ln 1ln 1b b a aa b b a -+<<+-，即()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.由()ln 1f x x ='+，可知当10e x <<时()0f x '<，当1ex >时()0f x '>. 所以()f x 在10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减，在1e ,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增.不妨设12x x ≤，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论. 情况一：当1211ex x ≤≤<时，有()()()()()()122122121ln 1f x f x f x f x x x x x x -=-<+-<-<情况二：当1210ex x <≤≤时，有()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-. 对任意的10,e c ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，设()ln ln x x x c c ϕ=--()ln 1x x ϕ=+'. 由于()x ϕ'单调递增，且有11110ϕ=+<+=-+='， 且当2124ln 1x c c ≥-⎛⎫- ⎪⎝⎭，2cx >2ln 1c ≥-可知 ()2ln 1ln 1ln 102c x x c ϕ⎛⎫=+>++=-≥ ⎪⎝⎭'.所以()x ϕ'在()0,c 上存在零点0x ，再结合()x ϕ'单调递增，即知00x x <<时()0x ϕ'<，0x x c <<时()0x ϕ'>.故()x ϕ在(]00,x 上递减，在[]0,x c 上递增.①当0x x c ≤≤时，有()()0x c ϕϕ≤=； ②当00x x <<112221e e f f c⎛⎫=-≤-=< ⎪⎝⎭，故我们可以取1,1q c ⎫∈⎪⎭.从而当201cx q <<->，可得 ()1ln ln ln ln 0x x x c c c c c c q cϕ⎫=-<-<--=-<⎪⎭.再根据()x ϕ在(]00,x 上递减，即知对00x x <<都有()0x ϕ<；综合①②可知对任意0x c <≤，都有()0x ϕ≤，即()ln ln 0x x x c c ϕ=--≤.根据10,e c ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦和0x c <≤的任意性，取2c x =，1x x =，就得到1122ln ln 0x x x x --≤.所以()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-≤.情况三：当12101ex x <≤≤<时，根据情况一和情况二讨论，可得()11e f x f ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭，()21e f f x ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭而根据()f x 的单调性，知()()()1211e f x f x f x f ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭或()()()1221e f x f x ff x ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭. 故一定有()()12f x f x -≤成立.综上，结论成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第3小问中，需要结合()f x 的单调性进行分类讨论.的。

第六章 数列一．基础题组1.【2005某某，理13】在数列{}n a 中，11a =，22a =且()()*211nn n a a n N +-=+-∈则100S =__________。

【答案】2600【解析】当n 为奇数时，20n n a a +-=；当n 为偶数时，22n n a a +-= 因此，数列{}n a 的奇数各项都是1，偶数项成公差为2的等差数列()()()210010011505021005050260022a a S a a ++=+=+=本题答案填写：26002.【2006某某，理7】已知数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，*11,N b a ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于（ ）A ．55B ．70C ．85D ．100 【答案】C3.【2006某某，理16】设函数()11+=x x f ，点0A 表示坐标原点，点()()()*,N n n f n A n ∈，若向量01121n n n a A A A A A A -=+++，n θ是n a 与i 的夹角，（其中()0,1=i），设n n S θθθtan tan tan 21+++= ，则n n S ∞→lim =．【答案】1【解析】设函数()11+=x x f ，点0A 表示坐标原点，点()()()*,N n n f n A n ∈，若向量01121n n n a A A A A A A -=+++=0n A A ，n θ是n a 与i 的夹角，111tan (1)n n n n n θ+==+（其中()0,1=i ），设n n S θθθtan tan tan 21+++= 111111223(1)1n n n +++=-⋅⋅++，则nn S ∞→lim =1．4.【2007某某，理8】设等差数列{}n a 的公差d 不为0,19a d =.若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k = ( )A.2B.4C.6D.8【答案】B 【解析】k a 是1a 与2k a 的等比中项可得12k k a a a =⨯(*)，由{}n a 为等差数列可得121(1),(21)k k a a k d a a k d =+-=+-及19a d =代入(*)式可得4k =.故选B5.【2007某某，理13】设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为,n S 则22lim n n na n S →∞-=__________. 【答案】3 【解析】根据题意知11(1)222n a a n n a =+-⨯=+-21,(1)n S n n a =+-代入极限式得22112134(2)(2)lim 3(1)n n a n a n n a →∞+-+-=+- 6.【2008某某，理15】已知数列{}n a 中，()*31,1111N n a a a n n n ∈=-=++，则=∞→nn a lim .【答案】767.【2009某某，理6】设a ＞0,b ＞0.若3是3a与3b的等比中项,则ba 11+的最小值为（ ） A.8 B.4 C.1 D.41【答案】B【解析】3是3a 与3b 的等比中项⇒3a·3b＝3⇒3a+b ＝3⇒a+b ＝1,∵a＞0,b ＞0,∴41212≤⇒=+≤ab b a ab .∴4411111=≥=+=+ab ab b a b a . 8.【2010某某，理6】已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为( )A.158或5 B.3116或5 C.3116 D.158【答案】C法二：∵S6＝S3＋a4＋a5＋a6＝S3＋S3·q3， ∴9S3＝S3＋S3·q3得q3＝8，解得q ＝2. ∴{1n a }是首项为1，公比为12的等比数列． ∴其前5项和为511[1()]31211612-=-9.【2011某某，理4】已知{}n a 为等差数列，其公差为-2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈，则10S 的值为A ．-110B ．-90C ．90D ．110 【答案】D.【解析】∵2,9327-=•=d a a a ，∴)16)(4()12(1121--=-a a a ，解之得201=a ，∴110)2(2910201010=-⨯+⨯=s . 10.【2014某某，理11】设n a 是首项为1a ，公差为1的等差数列，n S 为其前n 项和．若124,,S S S 成等比数列，则1a 的值为__________．【答案】12-． 【解析】试题分析：依题意得2214S S S ，∴21112146a a a ，解得112a ． 考点：1．等差数列、等比数列的通项公式；2．等比数列的前n 项和公式．二．能力题组1.【2005某某，理18】已知：()1221*,0,0n n n n n n u a a b a b ab b n N a b ---=+++++∈>>。

第六章 数列一．基础题组1.【2005天津，文14】在数列{}n a 中，121,2a a ==，且21(1)nn n a a +-=+-*()n N ∈，则10S = ．【答案】26002.【2006天津，文2】设{}n a 是等差数列，13569,9.a a a a ++==则这个数列的前6项和等于( )（A ）12 （B ）24 （C ）36 （D ）48【答案】B 【解析】{}n a 是等差数列，13533639,3,9.a a a a a a ++==== ∴ 12,1d a ==-，则这个数列的前6项和等于166()242a a +=，选B.3.【2007天津，文8】设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（ ） Ａ．2Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．8【答案】B【解析】解：因为a k 是a 1与a 2k 的等比中项， 则a k 2=a 1a 2k ，9d+（k-1）d]2=9d •9d+（2k-1）d]， 又d ≠0，则k 2-2k-8=0，k=4或k=-2（舍去）． 故选B ．4.【2008天津，文4】若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15【答案】B 【解析】1524545()5()722a a a a S a ++==⇒=，所以4272255132a aa a d a -=+=+⋅=，选B ．5.【2010天津，文15】设{a n }是等比数列，公比q ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．记T n ＝2117n n n S S a +-，n ∈N *.设Tn 0为数列{T n }的最大项，则n 0＝__________.【答案】4 【解析】解析：an ＋1＝a1·(2)n ，Sn ＝1[1(2)]12n a --，∴Tn＝2111[1(2)][1(2)]171212(2)n n na a a ----- ＝2(2)17(2)16(12)(2)n n n-+- ＝112-×(2)n ＋16(2)n －17]．∵(2)n ＋16(2)n≥8，当且仅当n ＝4时等号成立，又1－2＜0，∴当n ＝4时，Tn 取最大值，故n0＝4.6.【2011天津，文11】已知{}n a 是等差数列,n S 为其前n 项和,n N *∈.若316a =,2020S =,则10S 的值为 . 【答案】1107.【2014天津，文5】设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和，若，，，421S S S 成等比数列，则1a =（ ）A.2B.-2C.21 D .12- 【答案】D 【解析】试题分析：因为124S S S ，，成等比数列，所以2214S S S =，即211111(21)(4.2a a a a -==--6)，选D.考点：等比数列8. 【2015高考天津，文18】（本小题满分13分）已知n a 是各项均为正数的等比数列,n b 是等差数列,且112331,2a b b b a ,5237a b .（I ）求n a 和n b 的通项公式; （II ）设*,nn n c a b n N ,求数列n c 的前n 项和.【答案】（I ）12,n n a n -*=∈N ,21,n b n n *=-∈N ;（II ）()2323nn S n =-+（II ）由（I ）有()1212n n c n -=- ,设n c 的前n 项和为n S ,则()0121123252212,n n S n -=⨯+⨯+⨯++-⨯ ()1232123252212,n n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯两式相减得()()2312222122323,n n n n S n n -=++++--⨯=--⨯-所以()2323nn S n =-+ .【考点定位】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及错位相减法求和,考查基本运算能力.二．能力题组1.【2005天津，文18】若公比为c 的等比数列{}n a 的首项11a =且满足13(3,4,)2n n n a a a n --+==． （I ）求c 的值； （II ）求数列{}n na 的前n 项和n S ． 【答案】（I ）c ＝1或21-=c （II ）]223)1(4[911-+--=n n n n S(Ⅱ)解：由(Ⅰ)，需要分两种情况讨论，当c ＝1时，数列{}n a 是一个常数列，即1n a = (n ∈N*) 这时，数列{}n na 的前n 项和2)1(321+=++++=n n n S n 当21-=c 时，数列{}n a 是一个公比为21-的等比数列，即1)21(--=n n a (n ∈N*) 这时，数列{}n na 的前n 项和12)21()21(3)21(21--++-+-+=n n n S①式两边同乘21-，得 n n n n n S )21()21)(1()21(2212112-+--++-+-=-- ②①式减去②式，得n nn n n n n S )21(211)21(1)21()21()21()21(1)211(12--+--=---++-+-+=+- 所以]223)1(4[911-+--=n n n n S (n ∈N*)2.【2007天津，文20】在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*N ．（Ⅰ）证明数列{}n a n -是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅲ）证明不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*N 皆成立．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）41(1)32n n n n S -+=+；（Ⅲ）详见解析（Ⅲ）证明：对任意的n ∈*N ，1141(1)(2)41(1)443232n n n n n n n n S S ++⎛⎫-++-+-=+-+ ⎪⎝⎭21(34)02n n =-+-≤．所以不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*N 皆成立． 3.【2008天津，文20】已知数列{}n a 中，11a =，22a =，且11(1)n n n a q a qa +-=+-(20)n q ≠≥，．（Ⅰ）设1()n n n b a a n +=-∈*N ，证明{}n b 是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）若3a 是6a 与9a 的等差中项，求q 的值，并证明：对任意的n ∈*N ，n a 是3n a +与6n a +的等差中项．【答案】（I ）详见解析，（II ）11111 1.n n q q a q n q -⎧-+≠⎪=-⎨⎪=⎩，，，（Ⅲ）详见解析（Ⅱ）解：由（Ⅰ），211a a -=， 32a a q -=，……21(2)n n n a a q n ---=≥．将以上各式相加，得211(2)n n a a q q n --=+++…≥．所以当2n ≥时，11111 1.n n q q a q n q -⎧-+≠⎪=-⎨⎪=⎩，，，上式对1n =显然成立．（Ⅲ）解：由（Ⅱ），当1q =时，显然3a 不是6a 与9a 的等差中项，故1q ≠．由3693a a a a -=-可得5228q q q q -=-，由0q ≠得3611q q -=-， ①整理得323()20q q +-=，解得32q =-或31q =（舍去）．于是q =另一方面，21133(1)11n n n n n q q q a a q q q+--+--==---，15166(1)11n n n n n q q q a a q q q-+-+--==---．由①可得36n n n n a a a a n ++-=-∈*N ，．所以对任意的n ∈*N ，n a 是3n a +与6n a +的等差中项．4.【2009天津，文20】已知等差数列{a n }的公差d 不为0,设S n ＝a 1+a 2q+…+a n q n －1,T n ＝a 1－a 2q+…+(－1)n －1a n qn －1,q≠0,n∈N *.(1)若q ＝1,a 1＝1,S 3＝15,求数列{a n }的通项公式; (2)若a 1＝d 且S 1,S 2,S 3成等比数列,求q 的值;(3)若q≠±1,证明(1－q)S 2n －(1+q)T 2n 221)1(2qq dq n --=,n∈N *. 本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n 项和公式等基础知识,考查运算能力和推理论证能力.满分12分.【答案】（Ⅰ）a n ＝4n －3；（Ⅱ）q ＝－2；（Ⅲ）详见解析 【解析】(1)解:由题设知,S 3＝a 1+(a 1+d)q+(a 1+2d)q 2.将q ＝1,a 1＝1,S 3＝15代入上式,解得d ＝4.所以,a n ＝4n －3,n∈N *. (2)解:当a 1＝d 时,S 1＝d,S 2＝d+2dq,S 3＝d+2dq+3dq 2. 因为S 1,S 2,S 3成等比数列,所以S 22＝S 1S 3, 即(d+2dq)2＝d(d+2dq+3dq 2). 注意到d≠0,整理得q 2+2q ＝0. 因为q≠0,解得q ＝－2. (3)证明:由题设知, S 2n ＝a 1+a 2q+a 3q 2+a 4q 3+…+a 2n q2n －1,①T 2n ＝a 1－a 2q+a 3q 2－a 4q 3+…－a 2n q 2n －1.②①式减去②式,得 S 2n －T 2n ＝2(a 2q+a 4q 3+…+a 2n q 2n －1).①式加上②式,得S 2n +T 2n ＝2(a 1+a 3q 2+…+a 2n －1q 上标2n －2).③ ③式两边同乘q,得q(S 2n +T 2n )＝2(a 1q+a 3q 3+…+a 2n －1q2n －1).所以,(1－q)S 2n －(1+q)T 2n ＝(S 2n －T 2n )－q(S 2n +T 2n ) ＝2d(q+q 3+…+q2n －1)221)1(2qq dq n --=,n∈N *. 5.【2012天津，文18】已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝27，S 4－b 4＝10．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)记T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，n ∈N *，证明T n －8＝a n －1b n ＋1(n ∈N *，n ＞2)． 【答案】（Ⅰ）an ＝3n －1，bn ＝2n ；（Ⅱ）详见解析(2证明：由(1)得Tn ＝2×2＋5×22＋8×23＋…＋(3n －1)×2n，①2Tn ＝2×22＋5×23＋…＋(3n －4)×2n＋(3n －1)×2n＋1．② 由①－②，得－Tn ＝2×2＋3×22＋3×23＋…＋3×2n－(3n －1)×2n＋1＝6(12)12n ⨯--－(3n －1)×2n＋1－2＝－(3n －4)×2n＋1－8，即Tn －8＝(3n －4)×2n＋1，而当n ＞2时，an －1bn ＋1＝(3n －4)×2n＋1．所以，Tn －8＝an －1bn ＋1，n ∈N*，n ＞2． 三．拔高题组1.【2006天津，文21】已知数列{}n x 满足121x x ==并且11,(n n n n x xx x λλ+-=为非零参数，2,3,4,...).n = （I ）若1x 、3x 、5x 成等比数列，求参数λ的值；（II ）设01λ<<，常数*k N ∈且3,k ≥证明*1212...().1kk k n k k n x x x n N x x x λλ++++++<∈- 【答案】（I ） 1.λ=±（II ）详见解析 【解析】（I ）解：由已知121,x x ==且36335244345213243,,.x x x x x x x x x x x x x x x λλλλλλ=⇒==⇒==⇒= 若1x 、3x 、5x 成等比数列，则2315,x x x =即26.λλ=而0,λ≠解得 1.λ=±（II ）证明：设1,n n n x a x +=由已知，数列{}n a 是以211xx =为首项、λ为公比的等比数列，故11,n n nx x λ-+= 则1112....n k n k n k n n n k n k nx x x xx x x x +++-++-+-=231(3)2.....n k n k n k k kn λλλλ+-+---+=因此，对任意*,n N ∈1212...k k n knx x x x x x ++++++ (3)(3)(3)2222...k k k k k k k k kn λλλ---+++=+++(3)22(3)2(...)(1).1k k k k nk k k k nk kλλλλλλλλ--=+++-=-当3k ≥且01λ<<时，(3)201,011,k k nk λλ-<≤<-<所以*1212...().1kk k n k k n x x x n N x x x λλ++++++<∈-2.【2010天津，文22】在数列{a n }中，a 1＝0，且对任意k ∈N *，a 2k －1，a 2k ，a 2k ＋1成等差数列，其公差为2k .(1)证明a 4，a 5，a 6成等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)记T n ＝222323a a +＋…＋2nn a ，证明32＜2n －T n ≤2(n ≥2)．【答案】(1) 详见解析，(2) an ＝22n ＋114n--（），(3) 详见解析(2)解：由题设，可得a2k ＋1－a2k －1＝4k ，k∈N*.所以a2k ＋1－a1＝(a2k ＋1－a2k －1)＋(a2k －1－a2k －3)＋…＋(a3－a1) ＝4k ＋4(k －1)＋…＋4×1 ＝2k(k ＋1)，k∈N*.由a1＝0，得a2k ＋1＝2k(k ＋1)，从而a2k ＝a2k ＋1－2k ＝2k2.所以数列{an}的通项公式为an ＝22122n n n n ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩，奇，，偶，为数为数或写为an ＝22n ＋114n--（），n∈N*.(3)证明：由(2)可知a2k ＋1＝2k(k ＋1)，a2k ＝2k2.以下分两种情况进行讨论：①当n 为偶数时，设n ＝2m(m∈N*)．若m ＝1，则2n －22nk kk a =∑＝2.若m≥2，则22nk k k a =∑＝22111221(2)(21)mm k k k k k k a a -==-++∑∑ ＝221211444122(1)mm k k k k k k k k -==++++∑∑ ＝2m ＋211441[]2(1)2(1)m k k k k k k k -=++++∑ ＝2m ＋11111[2()]2(1)m k k k -=+-+∑ ＝2m ＋2(m －1)＋12 (1－1m)＝2n －32－1n . 所以2n －22nk kk a =∑＝32＋1n ，从而32＜2n －22nk kk a =∑＜2，n ＝4,6,8，….②当n 为奇数时， 设n ＝2m ＋1(m∈N*)．22nk kk a =∑＝222221(21)m k k m k m a a =+++∑ ＝4m －32－21(21)22(1)m m m m +++＝4m ＋12－12(1)m +＝2n －32－11n +，所以2n －22nk kk a =∑＝32＋11n +，从而32＜2n －22nk kk a =∑＜2，n ＝3,5,7，….综合①和②可知，对任意n≥2，n∈N*， 有32＜2n －Tn≤2. 3.【2011天津，文20】已知数列{}n a 与{}n b 满足11(2)1nn n n n b a b a +++=-+,13(1),2n n b n N -+-=∈*,且12a =.（Ⅰ）求23,a a 的值;(Ⅱ)设2121n n n c a a +-=-,n N ∈*,证明{}n c 是等比数列; (Ⅲ)设n S 为{}n a 的前n 项和,证明21212122121()3n n n n S S S S n n N a a a a *--++++≤-∈. 【答案】(1) 233,8,2a a =-=（2）详见解析，（3）详见解析4.【2013天津，文19】已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明1136n n S S +≤(n ∈N *)． 【答案】（Ⅰ）11313(1)222n n n n a --⎛⎫=⨯-=-⋅⎪⎝⎭；（Ⅱ）详见解析 【解析】(1)解：设等比数列{an}的公比为q ，因为－2S2，S3,4S4成等差数列， 所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，可得2a4＝－a3，于是4312a q a ==-. 又a1＝32，所以等比数列{an}的通项公式为11313(1)222n n n n a --⎛⎫=⨯-=-⋅⎪⎝⎭. (2)证明112nn S ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 11112112nn n n S S ⎛⎫+=--+ ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭1122212.221n n n n n n +⎧+⎪()⎪=⎨⎪+⎪(-)⎩，为奇数，，为偶数 当n 为奇数时，1n nS S +随n 的增大而减小，所以111113=6n n S S S S +≤+.当n 为偶数时，1n nS S +随n 的增大而减小，所以221125=12n n S S S S +≤+. 故对于n ∈N*，有1136n n S S +≤. 5.【2014天津，文20】已知q 和n 均为给定的大于1的自然数，设集合{}12,1,0-=q M ，集合{}n i M x q x q x x x x A i n n ,2,1,,121=∈++==-，(1)当3,2==n q 时，用列举法表示集合A ；(2)设,,,,121121--++=+++=∈n n n n q b q b b t qa q a a s A t s 其中,,2,1,,n i M b a i i =∈证明：若,n n b a <则t s <.【答案】(1) {}0,1,2,3,4,5,6,7A =， (2) 详见解析. 【解析】试题解析：解：当3,2==n q 时，{}0,1M =，{}12324,,1,2,3i A x x x x x x M i ==++∈=，可得，{}0,1,2,3,4,5,6,7A =证明：由,,,,121121--++=+++=∈n n n n q b q b b t qa q a a s A t s ,,2,1,,n i M b a i i =∈及,n n b a <可得21112211()()()()n n n n n n s t a b a b q a b q a b q -----=-+-++-+-1211(1)(1)(1)(1)(1)101n n n n q q q q q q qqq q------≤-+-++--=-=-<-所以t s <.考点：新定义，作差证明不等式，等比数列求和 6.【2016高考天津文数】(本小题满分13分)已知{}n a 是等比数列，前n 项和为()n S n *∈N ，且6123112,63S a a a -==. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若对任意的,n n b *∈N 是2log n a 和21log n a +的等差中项，求数列(){}21nn b -的前2n 项和.【答案】（Ⅰ）12-=n n a ；（Ⅱ）22n .【解析】试题解析：（Ⅰ）解：设数列}{n a 的公比为q ，由已知，有2111211q a q a a =-，解得2,1q q ==-或.又由6611631q S a q -=⋅=-，知1-≠q ，所以61126312a -⋅=-，得11=a ，所以12-=n n a .（Ⅱ）解：由题意，得21)2log 2(log 21)log (log 21212122-=+=+=-+n a a b n n n n n ，即}{n b 是首项为21，公差为1的等差数列. 设数列})1{(2n n b -的前n 项和为n T ，则2212212221224232221222)(2)()()(n b b n b b b b b b b b b T n n n n n =+=+⋅⋅⋅++=+-+⋅⋅⋅++-++-=-.【考点】等差数列、等比数列及其前n 项和公式 【名师点睛】分组转化法求和的常见类型：(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和．(2)通项公式为,,n n n b n a c n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数，为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．。

专题06构造法求数列通项的八种技巧(三)【必备知识点】◆构造六:取对数构造法型如1k n n a ca +=,1n k n a ca -=或者1(),n n k b b b a c a -++=为常数.针对出现这种数列,为方便计算,两边通常取以c 或首项为底的对数,就能找到突破口.什么情况取c 为底,什么情况取首项为底呢?我们来看两道例题.【经典例题1】数列{}n a 中,12a =,21n n a a +=,求数列{}n a 的通项公式.【解析】取以12a =为底的对数(不能取c 为底,因为1c =,不能作为对数的底数),得到1222loglogn n a a +=,122log 2log n n aa+=,设2log n an b =,则有12n n b b +=,所以{}n b 是以112log 1ab ==为首项,2为公比的等比数列,所以12n n b -=,所以12log =2n an -,122n n a -=.【经典例题2】数列{}n a 中,11a =,212n n a a +=,求数列{}n a 的通项公式.【解析】取以2为底的对数(这里知道为什么不能取11a =为底数的对数了吧),得到12222loglogn n a a +=,12222log log 2log n n a a +=+,122log 12log n n a a +=+设2log n an b =,则有1=12n n b b ++,这又回归到构造二的情况,接下来的步骤大家应该都记得吧,由于这道题较为简单,所以直接可看出1+1=2(1)n n b b ++,所以{}1n b +是以111b +=为首项,2为公比的等比数列,所以112n n b -+=,所以1=21n n b --,12log =21n a n --,1212n n a --=.【经典例题3】已知12a =,点()1,n n a a +在函数()22f x x x =+的图像上,其中*n N ∈,求数列{}n a 的通项公式.【解析】将()1,n n a a +代入函数得212n n n a a a +=+,()2211211n n n n a a a a ++=++=+,即()2111n n a a ++=+两边同时取以3为底的对数,得()()21111113333loglog log 2log n nn n a a a a ++++++=⇒=(为什么此题取以3为底的对数呢,大家思考下,新构造的数列首项为113log a +,113a +=,所以应当取以3为底,这样计算会简单很多,当然如果你计算能力较强,也可以取其他数作为底数).所以(){}13log na +是以1为首项,2为公比的等比数列,即()113log 12na n +-=⨯,1213n n a -+=,1231n n a -=-.【经典例题4】在数列{}n a 中,11a =,当2n 时,有2142n n n a a a +=++,求数列{}n a 的通项公式.【解析】由2142n n n a a a +=++,得21244n n n a a a ++=++,即()2122n n a a ++=+,两边同取以3为底的对数,得()212233loglog n n a a +++=,即()12233log 2log nn a a +++=,所以数列(){}23log na +是以1为首项,2为公比的等比数列,()213log 2nan +-=,1223n n a -+=,即1232n n a -=-.◆构造七:二阶整体构造等比简单的二阶整体等比:关于11n n n a Aa Ba +-=+的模型,可通过构造二阶等比数列求解,大部分题型可转化为()11(1)n n n n a a A a a +--=--,利用{}1n n a a +-成等比数列,以及叠加法求出n a .还有一小部分题型可转化为()11(1)n n n n a a A a a +-=+++,利用{}1+n n a a +成等比数列求出n a .【经典例题1】已知数列{}n a 满足()*12211,3,32n n n a a a a a n ++===-∈N ,求数列{}n a 的通项公式.【解析】由()1111322n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-⇒-=-,故{}1n n a a +-是以212a a -=为首项,2为公比的等比数列,即()112122n n n n a a a a -+-=-=,接下来就是叠加法啦,1121...22n n n a a a a --⎫-=⎪⎬⎪-=⎭全部相加得:122nn a a -=-,所以21nn a =-.【经典例题2】已知数列{}n a 中,11a =,22a =,212133n n n a a a ++=+,求数列{}n a 的通项公式。

2006年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）第I 卷（本卷共10小题，每小题5分，共50分）一. 选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合}13|{≤≤-=x x A ，}2|{≤=x x B ，则=⋂B A （ ） A. }12|{≤≤-x x B. }10|{≤≤x x C. }23|{≤≤-x xD. }21|{≤≤x x2. 设}{n a 是等差数列，9531=++a a a ，96=a ，则这个数列的前6项和等于（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 483. 设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x x y ，则目标函数y x Z +=2的最小值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 94. 设3log 2=P ，2log 3=Q ，)2(log log 32=R ，则（ ） A. P Q R << B. Q R P << C. P R Q << D. Q P R <<5. 设)2,2(ππβα-∈、，那么“βα<”是“βαtan tan <”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件6. 函数112++=x y （0<x ）的反函数是（ ）A. x x y 22-=（0<x ）B. x x y 22--=（0<x ）C. x x y 22-=（2>x ）D. x x y 22--=（2>x ）7. 若l 为一条直线，γβα、、为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：① βαγβγα⊥⇒⊥⊥，② βαγβγα⊥⇒⊥//,；③ βαβα⊥⇒⊥l l ,//，其中正确的命题有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个8. 椭圆的中心为点E （0,1-），它的一个焦点为F （0,3-），相应于焦点F 的准线方程为27-=x ，则这个椭圆的方程是（ ）A.13221)1(222=+-y x B. 13221)1(222=++y x C. 15)1(22=+-y x D.15)1(22=++y x 9. 已知函数x b x a x f cos sin )(-=（b a 、为常数，R x a ∈≠,0）的图象关于直线4π=x 对称，则函数)43(x f y -=π是（ ） A. 偶函数且它的图象关于点（0,π）对称 B. 偶函数且它的图象关于点（0,23π）对称 C. 奇函数且它的图象关于点（0,23π）对称 D. 奇函数且它的图象关于点（0,π）对称 10. 如果函数)13()(2--=a a a x f x x （0>a 且1≠a ）在区间),0[+∞上是增函数，那么实数a 的取值范围是（ ） A. ]32,0( B. )1,33[C. ]3,1(D. ),23[+∞ 第II 卷（本卷共12小题，共100分）二. 填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。