拉格朗日插值多项式与泰勒多项式的误差分析详全文

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浅析拉格朗日插值法目录：一、 引言二、 插值及多项式插值的介绍 三、 拉格朗日插值的理论及实验四、 拉格朗日插值多项式的截断误差及实用估计式 五、 参考文献一、引言插值在数学发展史上是个古老问题。

插值是和拉格朗日（Lagrange ）、牛顿（Newton ）、高斯（Gauss ）等著名数学家的名字连在一起的。

在科学研究和日常生活中，常常会遇到计算函数值等一类问题。

插值法有很丰富的历史渊源，它最初来源人们对天体研究——有若干观测点（我们称为节点）计算任意时刻星球的位置（插值点和插值）。

现在，人们在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科研都有很好的应用，最常见的应用就是气象预报。

插值理论和方法能解决在实际中当许多函数表达式未知或形式复杂，如何去构造近似表达式及求得在其他节点处的值的问题。

二、插值及多项式插值1、插值问题的描述设已知某函数关系()y f x =在某些离散点上的函数值：插值问题：根据这些已知数据来构造函数()y f x =的一种简单的近似表达式，以便于计算点,0,1,,i x x i n ≠=的函数值()f x ，或计算函数的一阶、二阶导数值。

xx 0y y1y 1n y -ny 1x 1n x -nx2、插值的几何意义插值的几何意义如图1所示：图1 3、多项式插值 3.1 基本概念假设()y f x =是定义在区间,a b ⎡⎤⎣⎦上的未知或复杂函数，但一直该函数在点01n a x x x b ≤<<<≤处的函数值01,,n y y y 。

找一个简单的函数，例如函数()P x ，使之满足条件(),0,1,2,,,i P x y i n == （3.1）通常把上述01n x x x <<< 称为插值节点，把()P x 称为()f x 的插值多项式，条件（3.1）称为插值条件，并把求()P x 的过程称为插值法。

3.2 插值多项式的存在性和唯一性 如果插值函数是如下m 次的多项式：1011()m m m m m P x a x a x a x a --=+++那么插值函数的构造就是要确定()m P x 表达式中的m+1个系数011,,,m ma a a a -。

拉格朗日插值法总结拉格朗日插值法2008-05-12 16：44一、问题的背景在实际问题中常遇到这样的函数y=f(x),其在某个区间[a,b]上是存在的。

但是,通过观察或测量或试验只能得到在区间[a,b]上有限个离散点x0,x1,…,xn上的函数值yi=f(xi),(i=0,1,…,n)。

或者f(x)的函数f(x)表达式是已知的,但却很复杂而不便于计算；希望用一个既能反映函数f(x)的特性，又便于计算的简单函数来描述它。

二、插值问题的数学提法：已知函数在n+1个点x0,x1,…,xn上的函数值yi=f(xi),(i=0,1,…,n)求一个简单函数y=P(x),使其满足：P(xi)=yi,(i=0,1,…,n)。

即要求该简单函数的曲线要经过y=f(x)上已知的这个n+1个点：(x0,y0),(x1,y1),…,(xn,yn),同时在其它x∈[a,b]上要估计误差：R(x)=f(x)-P(x)其中P(x)为f(x)的插值函数，x0,x1,…,xn称为插值节点，包含插值节点的区间[a,b]称为插值区间，求插值函数P(x)的方法称为插值法。

若P(x)是次数不超过n的代数多项式，就称P(x)为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值。

若P(x)是分段的多项式，就是分段插值。

若P(x)是三角多项式，就称三角插值。

三、插值方法面临的几个问题第一个问题：根据实际问题选择恰当的函数类。

本章我们选择代数多项式类，其原因有两个：(1)代数多项式类简单；微分、积分运算易于实行；(2)根据著名的Weierstrass逼近定理，任何连续的函数都可以用代数多项式作任意精确的逼近。

第二个问题：构造插值函数P(x),使其满足：P(xi)=yi,(i=0,1,…,n)与此相关的问题是：插值问题是否可解(存在性的问题)，如果有解,是否唯一?(唯一性的问题)第三个问题：插值误差R(x)=f(x)-P(x)的估计问题。

与此相关的问题是插值过程的收敛性的问题。

拉格朗日插值多項i. 式與泰勒多項式的誤差分析朱亮儒★ 曾政清☆ 陳昭地★★國立臺灣師範大學數學系教授☆臺北市立建國高級中學數學教師摘要：本文旨於提供拉格朗日插值多項式與泰勒多項式誤差項估計值的初等簡易證明，並探討其應用價值。

關鍵字：拉格朗日插值多項式、泰勒多項式、誤差項一引言有鑑於教育部99普通高級中學數學課綱在第一冊多項式的運算為迴避解三元一次方程組，首次出現插值多項式及其應用(以不超過三次插值多項式為限><[1][2][3]），99數學課綱包含插值多項式部分如下：求中的.除以的餘式為通過的插值多項式。

若有兩實根，則可寫成的型式。

透過因式定理證明插值多項式的唯一性。

設通過的多項式為，求及.插值多項式：通過的多項式可表示為，求的值。

此處暫不處理下面的題型：「設通過的多項式為,求。

」此類題型將在數學的IV的聯立方程組章節中處理。

此處自然而然讓人想到拉格朗日(Lagrange, J. L.,1736-1816>其人奇事，羅列如下：他出生於義大利西北部的杜林(Turin>，從小就極有數學天分，於18歲開始撰寫數學論文，在數論上曾提出一個著名的定理：「任意正整數都可以表成四個平方數的和」。

他是第一位證明均值定理(The Mean Value Theorem>的大數學家。

(均值定理在高三選修甲微分的單元中會學到<[4]），它是僅次於微積分基本定理的極重要的存在定理>他在30歲時，應腓特烈二世的邀請到柏林作為其宮廷數學大師長達20年之久。

之後接受法國的邀請，到巴黎擔任法國科學院院士，拿破崙<1769-1821, 1804-1815擔任法皇）讚譽他為「數學科學的巍峨金字塔」泰勒定理有拉格朗日誤差的公式<存在性）。

拉格朗日恆等式：，，.具有附加條件的多變數實函數極值拉格朗日乘子定理。

最得意的巨著《分析力學》。

拉格朗日差值誤差公式<[5]）：若為區間中相異實數，且,則對每一個，存在,使得,其中為函數在的階拉格朗日插值多項式，而為其插值誤差式。

拉格朗日插值实验报告拉格朗日插值实验报告引言：拉格朗日插值是一种常用的数值分析方法，用于在给定一组已知数据点的情况下，通过构造一个多项式函数来逼近这些数据点。

该方法在科学计算、数据处理和图像处理等领域中被广泛应用。

本实验旨在通过实际操作和计算，深入了解拉格朗日插值的原理和应用。

实验目的：1. 理解拉格朗日插值的原理和基本思想；2. 学会使用拉格朗日插值方法进行数据逼近；3. 掌握拉格朗日插值的优缺点及适用范围。

实验步骤：1. 收集一组已知数据点，包括自变量和因变量；2. 根据数据点，构造拉格朗日插值多项式；3. 利用插值多项式，计算给定自变量对应的因变量；4. 分析插值结果的准确性和逼近程度。

实验结果与分析：在实验中，我们选取了一组简单的数据点进行拉格朗日插值的计算和分析。

数据点包括自变量x和因变量y，如下所示：x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |y | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 |根据这组数据点，我们构造了拉格朗日插值多项式：L(x) = y₀ * L₀(x) + y₁ * L₁(x) + y₂ * L₂(x) + y₃ * L₃(x) + y₄ * L₄(x)其中，L₀(x)，L₁(x)，L₂(x)，L₃(x)，L₄(x)分别是拉格朗日插值多项式的基函数，计算公式如下：L₀(x) = (x - x₁) * (x - x₂) * (x - x₃) * (x - x₄) / (x₀ - x₁) * (x₀ - x₂) * (x₀- x₃) * (x₀ - x₄)L₁(x) = (x - x₀) * (x - x₂) * (x - x₃) * (x - x₄) / (x₁ - x₀) * (x₁ - x₂) * (x₁- x₃) * (x₁ - x₄)L₂(x) = (x - x₀) * (x - x₁) * (x - x₃) * (x - x₄) / (x₂ - x₀) * (x₂ - x₁) * (x₂- x₃) * (x₂ - x₄)L₃(x) = (x - x₀) * (x - x₁) * (x - x₂) * (x - x₄) / (x₃ - x₀) * (x₃ - x₁) * (x₃- x₂) * (x₃ - x₄)L₄(x) = (x - x₀) * (x - x₁) * (x - x₂) * (x - x₃) / (x₄ - x₀) * (x₄ - x₁) * (x₄- x₂) * (x₄ - x₃)通过计算，我们可以得到给定自变量x对应的因变量y的逼近值。

2.4插值多项式的误差分析
2.4.1 插值余项
[,]
a b ()
n P x ()
f x 如何计算或估计插值多项式截断误差 ？
()()()n n R x f x P x =- 若记 ，则 就是用 近似代替 时所产
生的截断误差，称为插值多项式 的余项或简称为n 次插值余项。

()n P x ()f x ()n P x ()n R x ()()()n n R x f x P x =-
设 在区间 上有直到 阶导数, 为
,n x
假设 在区间 中变化不大，将上面两式相除，即
可见，用线性插值求得的近似值为10.714，用抛物线插值求得的
图 2.4.1
可见，当n增大时，该函数在等距节点下的高次插值多项式，在区间的两端会发生激烈的振荡。

这种现象称为Runge现象。

？
如何改进高次多项式插值逼近会发生激烈振荡的问题？。

拉格朗日多项式插值法浅析摘要拉格朗日插值多项式是一种最常见的多项式插值法，也是一种最常用的逼近工具。

“学以致用 ”是每一门学科都致力追求的境界，数学自然也不例外。

下面，探讨拉格朗日插值法的基本原理、如何构造拉格朗日多项式、拉格朗日多项式的误差界，并用 MATLAB 程序来实现这一数学算法的自动化，为复杂的分析研究提供了一条数学算法的捷径。

【关键词】：拉格朗日多项式 算法实现 MATLAB在科学研究和实际的工程设计中，几乎所有的问题都可以用)(x f y =来表示其某种内在规律的数量关系。

但理想化的函数关系在实际工程应用中是很难寻找 的，对于那些没有明显解析式的函数关系表达式则只能通过实验观察的数据，利用多项式对某一函数的进行逼近，使得这个逼近函数能够反映)(x f 的特性，而且利用多项式就可以简便的计算相应的函数值。

例如我们不知道气温随日期变化的具体函数关系，但是我们可以测量一些孤立的日期的气温值，并假定此气温随日期变化的函数满足某一多项式。

这样，利用已经测的数据，应用待定系数法便可以求得一个多项式函数f （x ）。

应用此函数就可以计算或者说预测其他日期的气温值。

一般情况下，多项式的次数越多，需要的数据就越多，而预测也就越 准确。

当然，构造组合多项式方法比较多，如线性方程求解、拉格朗日系数多项式以及构造牛顿多项式的分段差分和系数表等等，这里只对拉格朗日多项式插值法进行深入探讨。

一、拉格朗日多项式插值算法基本原理函数)(x f y =在区间[a,b]上有定义,在是[ a,b]上取定的 N + 1个互异节点, 且在这些点处的函数值)(0x f , )(1x f ,…,)(n x f 为已知, 即 yi =f (xi ) , (N i ...1,0=)，若存在一个和)(x f 近似的函数)(x P N ，满足)()(i i N x f x P = (N i ...1,0=) （1）则称 φ(x) 为 f (x) 的一个插值函数, 点i x 为插值节点，（1）称为插值条件, 区间[a,b]称为插值区间, 而误差函数)()(x P x f E N N -=称为插值余项。

多项式插值和Lagrange差值的基础原理多项式插值是数值分析领域中一种常用的数值逼近方法，它用于通过给定的离散数据点构建一个多项式函数，以便在数据点之间进行插值，从而推断出未知数据点的函数值。

而Lagrange插值则是多项式插值方法中的一种，它基于拉格朗日插值多项式原理，并采用拉格朗日基函数进行计算。

一、多项式插值的基本概念多项式插值的基本目标是通过已知数据点（x_i, y_i）构建一个多项式函数P(x)，使得P(x_i) = y_i。

其中，x_i是已知的数据点的自变量取值，y_i是对应的因变量取值。

多项式插值方法的核心是确定合适的多项式表达式和系数，以确保插值函数满足已知数据点的值。

二、Lagrange差值的原理Lagrange差值是一种常用的多项式插值方法，它基于拉格朗日插值多项式原理。

根据拉格朗日插值多项式的定义，给定n+1个不同的数据点(x_i, y_i)，其中i=0,1,2,...,n，Lagrange插值多项式可以表示为：P(x) = Σ[L_i(x)*y_i]其中，L_i(x)为拉格朗日基函数，其定义如下：L_i(x) = Π[(x-x_j)/(x_i-x_j)] (j≠i)其中，Π表示连乘符号，x_j为其他已知数据点的自变量取值。

三、Lagrange差值的计算步骤1. 第一步是计算拉格朗日基函数L_i(x)的值。

对于给定的插值点x，计算每个基函数的值，并将其与对应的因变量y_i相乘。

2. 第二步是对所有的基函数计算结果进行求和，得到最终的插值函数P(x)。

四、多项式插值的应用多项式插值广泛应用于科学计算、数据分析、图像处理等领域。

通过插值方法可以预测未知数据点的函数值，对于实际问题中的缺失数据或者噪声数据进行补充和平滑处理。

总结：多项式插值是一种常用的数值逼近方法，利用已知数据点构建一个多项式函数，用于推断未知数据点的函数值。

Lagrange差值是多项式插值方法中的一种，基于拉格朗日插值多项式原理，通过计算拉格朗日基函数和已知数据点的函数值，得到插值函数。

拉格朗日余项与误差计算给定项数n , 求得近似值()n S x , 通过|()|n R x 估计误差, 这一题型几乎是每年AP 最后一道大题的固定模式. 请同学们认真学习. 对误差的估计, 分为两种情况: 一是拉格朗日余项定理, 二是交错级数的余项定理. 我们分别进行论述, 并适当地回顾前面的内容, 以便更加细致地梳理这一知识点.拉格朗日余项（Lagrange Form of the Remainder ）的运算首先涉及泰勒公式, 其内容如下: 给定一个函数f (x ), 若可以将其展开成幂级数P (x )的形式如下:20120()()()()()()nn n n n f x P x c c x a c x a c x a c x a ∞=≈=+-+-++-+=-∑ 则必有()()!n n f a c n =. 那么, 泰勒级数的全形可以如下: ()2()()()()()()()()2!!n n f a f a f x f a f a x a x a x a n '''=+-+-++-+ ()0()()!n n n f a x a n ∞==-∑ 其中, 前n 项我们称之为函数在点x =a 处的n 阶泰勒展开式. 所谓的阶, 是指x 的幂次; n 阶就是x 的最高次幂为n , 而不是展开到第n 项. 通常而言, 如果泰勒展开的每一项都存在, 则n 阶泰勒展开应当有n +1项（应当加入常数项）. 而对于某些奇数项为0或偶数项为0的级数, 其项数的计算, 就更加复杂一些, 但n 阶依然是指x 的最高次幂, 而与项数无关.但是, 泰勒展开能够无限地逼近原函数, 是以n 趋向于无穷为前提条件的. 如果我们只是将函数展开到n 阶, 则后面的部分（我们称为余项, remainder ）就被省略了, 这必然会产生误差. 记余项的表达式为R n (x ), 用它表示n 项之后的余项（注意下标是n 而不是n +1）, 我们可以将泰勒展开写成如下形式:()2()()()()()()()()()2!!n n n f a f a f x f a f a x a x a x a R x n '''=+-+-++-+ 或者说, ()()()n f x P x R x =+这式子的意思是原函数可以分解为两个部分, 一部分是n 阶泰勒展开, 另一部分就是拉格朗日余项. 那么, 做一个移项, 就可以有: ()()()n R x f x P x =-.这就是说, 用n 阶幂级数来逼近原函数, 其误差就是这一余项. 而拉格朗日余项就是表达这些被省略部分的一个公式（实际上还有其他类型的余项表达式, 但AP 不考）, 我们可以用它来估计误差. 为此, 我们先写出函数的第n +1阶展开式:23()(1)()10()()()()()()()()2!3!()()()()()()!(1)!!n n n n n nn f a f a f x f a f a x a x a x a f a f a f a x a x a x a n n n +∞+=''''''=+-+-+-+-+-+=-+∑ 而拉格朗日余项（在具体题目中, 我们也称为拉格朗日误差界Lagrange Error Bound ）在形式上就类似于函数的第n+1阶, 其表达式如下:(1)1()()()(1)!n n n f c R x x a n ++=-+, where c is a value between x and a . 其中, 唯一的不同点就是原来(1)()n f a +中的a 变成了c , 并且c 是介于x 与a 之间的一个值. “c 是介于x 与a 之间的一个值”, 之所以这么写, 而不采用不等式的定法, 是因为实际上x 可以小于a （x < c < a ）, 也可以大于a （a < c < x ）; 对这句话的深入理解, 请大家结合后面的具体例题中来讲. 同时, 拉格朗日余项定理像微分中值定理（Mean Value Theorem ）、介值定理（Intermediate Value Theorem ）一样, 都是存在性定理, 即只能告知值的存在（我们知道有这样一个值）, 但不能告知其具体位置（但不知道它到底是多少）. 而如果我们使用麦克劳林式（Maclaurin Series, 即a = 0时的特殊形式）, 就可以将拉格朗日余项变成较简单的形式:(1)1()()(1)!n n n f c R x x n ++=+, where c is a value between x and 0. 这是AP 最容易出题的余项形式, 我们所有的例题都将据此展开.观察拉格朗日余项定理的形式, 对于给定a 、n 和x 的情况下, 如果要确定这个余项的界限, 唯一要确定的就是前面的这个第n +1阶导数的取值范围. 若令有正数(1)()n M f c +=, 则只需要确定M 的范围, 那么, 整个余项的范围也就唯一给定了. 由于误差值可能为正, 也可能为负, 为便利讨论, 我们一般都取其绝对值进行考查, 即:(1)1()()()(1)!n n n f c R x x a n ++=-+, 或1()()(1)!n n M R x x a n +=-+. 而对于麦克劳林式, 我们就变成考查:(1)1()()(1)!n n n f c R x x n ++=+, 或1()(1)!n n M R x x n +=+的范围. 这时我们就要介绍一个基本定理, 即拉格朗日余项定理:若存在正数M , 使得对a c x ≤≤或x c a ≤≤, 均有(1)()n f c M +≤, 则(1)11()()()()(1)!(1)!n n n n M f c R x x a x a n n +++≤-=-++ 也就是说M 的取值范围其实就由(1)()n f c +(a c x ≤≤ or x c a ≤≤)唯一给定. 这一不等式也叫泰勒不等式. 这是我们进行余项范围估计的主要理论基础. 要注意的是, 尽管在陈述拉格朗日余项时我们说c 的范围是x c a <<或a c x <<, 并没有包括端点值. 但是, 泰勒不等式中, 端点值是包括在内的. 因此, 在计算误差时, 我们通常把c 的取值范围写成x a c ≤≤或x c a ≤≤. 在具体计算中, 确定M 的范围实际上并不像许多同学想象的那么复杂, 关键是结合给定函数的类型进行讨论, 我们在前面讨论函数的幂级数展开时, 已经结合一些具体的公式进行过抽象的分析, 现再考虑一些具体的求近似值的案例来加强其理解.例1 将sin y x =展开成5阶麦克劳林式, 并估计其误差.Solution 根据基本的公式21357111sin (1)3!5!7!(21)!n n x x x x x x n +=-+-++-++……,很容易得出的5阶麦克劳林式为: 3511sin 3!5!x x x x ≈-+ 其余项按照拉格朗日余项定理, 可以写成:(51)(6)516()()()(51)!6!n f c f c R x x x ++==+, where c is a value between 0 and x . 要确定范围, 我们只需知道(6)()fc 的范围. 那么, (6)()f c 到底在哪个区间呢？为此, 我们需要写出(6)()f c 的函数表达式.根据泰勒展开的定义, 易有: sin cos ,sin sin ,sin cos ,x x x x x x ''''''==-=- . 那么, 根据三角函数的基本性质, 不论c 取何值, (6)()f c , 即(6)sin sin x x =-, 都必定在[1,1]-的区间中. 于是, 对这个题而言, 我们不需要讨论c 的取值为何(但仍需要写上where c is a value between 0 and x 这句话), 整个余项的取值范围也可以非常明白了:(6)66()()6!6!n f c x R x x =≤ 例2 将sin y x =展开成5阶麦克劳林式, 据此估计sin 0.2的值, 并计算其误差.Solution 接上例, 得3511sin 0.20.2(0.2)(0.2)0.198********!5!≈-+≈ 同时, (6)6685()0.2()(0.2)(0.2)8.888888889106!6!n f c R x R -==≤≈⨯. 按照此误差, 真实的sin 0.2应当在80.198********.88888888910-±⨯之间, 即在0.1986692444和0.1986694219之间. 实际上, 如果我们使用TI -84进行计算, 可以发现sin 0.20.1986693308≈. 可见, 使用这一方法的精度还是较高的.注意: 在计算误差值的运算过程中, 一定要注意“＝”号和“≈”号的表达. 在上述表达中, 如果是n 阶的近似, 一定要用≈号; 如果数值除不尽, 也一定要用≈号. 否则, 将会被扣掉一定分数.例3 将cos y x =展开成4阶麦克劳林式, 据此估计cos 0.3的值, 并计算其误差. Solution 240.30.3cos(0.3)10.955337524!≈-+≈ (5)55554()0.3() 2.025105!5!5!f c x R x x -=≤==⨯ 例4 使用x e 的8阶麦克劳林展开式估计2e 的值, 并计算其误差. Solution 234567822222222127.3873015872!3!4!5!6!7!8!e ≈++++++++≈ For this case, 2, 0, 02x a c ==∴≤≤.Besides, (9)()x f x e =, it is increasing for all x R ∈. Hence, 2()c Max e e = for 02c ≤≤.（注意: 在做此题及类似题型的过程中, 必须对c 的取值范围做出说明, 并且根据相应阶的导函数的增减性做出最大值的判断. 此题中需要写出函数的9阶导数然后再说明. ）Thus, (9)2998()2(2)29!9!f c e R ⨯=≤ 这里就遇到一个问题, 2e 的范围是多大呢？实际上, 这正是我们想要估计的范围！为此, 我们只能做一个大致的估算. 因为我们知道 2.7183e =<…, 所以:(9)292998()232(2)20.01269841279!9!9!f c e R ⨯⨯=≤<≈ 这就是说, 即使是使用8阶泰勒展开, 并且使用3e ≈这样大范围的估计, 也可以得出2e 的估计值的误差范围不会超过0.013这样较高精度的估计.交错级数（Alternating Series ）的误差计算相对简单. 其基本定理如下:若交错级数100(1)()n nn n n u v ∞∞+===-∑∑满足下列条件:1. 正项递减, 即10n n v v +≤≤;2. 正项趋零, 即lim 0n n v →∞= 则必有其余项的范围11n n n n R S S u v ++=-<=.其中, S 表示全部和, S n 表示部分和（partial sum ）, 也就是我们高中数学里习惯说的前n 项和. 简单的讲, 交错级数前n 项和的余项, 不会超过接下来这一项的绝对值, 这就是交错级数的余项公式. 其证明从略, 有兴趣的同学可以参看相关的微积分教材, 但我不建议大家在这点上浪费时间. 这个公式在说明条件后, 可以直接套用. 许多AP 的考题, 在要求泰勒展开之后, 肯定会是一个交错级数的类型. 如果这样, 只需简单地将上述两个条件列出, 然后套用此公式即可. 注意上述这两个条件实际上就是交错级数收敛的条件.细心的同学可能会发现, 当我们对sin y x =或cos y x =在x =0处进行泰勒展开时, 它们都是交错级数. 这就意味着其近似应当有两种方法: 拉格朗日余项定理或交错级数的余项定理. 它们的结果似乎是不太一样的. 这需要一定的说明.在例2中, 我们将sin y x =展开成5阶麦克劳林式, 并使用拉格朗日余项估计sin 0.2的误差为:(6)6685()0.2()(0.2)(0.2)8.8888888891016!6!n f c R x R -==≤≈⨯……（）. 但是, 由于我们知道21357111sin (1)3!5!7!(21)!n n x x x x x x n +=-+-++-++…… , 这毫无疑问是一个交错级数, 并且是收敛的, 即同时满足正项递减、趋零这两个条件, 那么, 依据交错级数的余项公式（英文即可写作By Alternating Series Test ）, 其误差应当不会超过其下一项的绝对值（717!x -）, 即: 792.51()396(80.2)710(2)!n R x -⨯<-≈…… 比较（1）式与（2）式, 似乎得出了完全不同的结果. 到底哪个是对的呢？仔细观察会发现, （1）式与（2）式的形式其实非常类似, 其区别仅在于两者的幂次和阶乘数稍有不同, 一个是6, 一个是7, 从而导致结果的不同. 实际上, 造成这一结果的原因在于sin y x =的泰勒展开是一种特殊的类型, 它的全部项次并非通常意义上的:21357111sin (1)3!5!7!(21)!n n x x x x x x n +=-+-++-++…… 如果按照严格的泰勒展开,sin 00=sin cos ,sin (0)1x x ''== sin sin ,sin (0)0x x ''''=-= sin cos ,sin (0)1x x ''''''=-=- (4)(4)sin sin ,sin (0)0x x ==…… 则sin y x =的泰勒展开的完整形式实际上应当写成:34567010101sin 02!3!4!5!6!7!x x x x x x x x =++-+++-+… 如果这样来看, 其展开式就不再是一个交错级数, 就不能使用交错级数的余项定理, 而只能使用拉格朗日余项定理做出例2的结果.只是巧合的是, 这一展开的奇数次项正好为都为0, 因此我们还可以将此级数写成交错级数的类型:21357111sin (1)3!5!7!(21)!n n x x x x x x n +=-+-++-++…… 并且它又满足正项递减、趋零这两个条件, 所以它又可以使用交错级数的余项公式. 并且, 由于拉格朗日余项定理使用的是第n +1阶的展开式, 而将sin y x =展开成交错级数的余项公式中, 实际上我们相当于使用了第n +2阶的展开式, 其误差估计精度更好, 也就不难理解了. 两种方法都是可以的, 拉格朗日误差界不过是一个万能方法, 适合于一切泰勒展开的误差估计; 而交错级数的余项公式适用条件则相对较窄, 但是其估计的精度在特定条件下, 较万能公式要高.那么, 考试时究竟使用哪一种方法呢？这其实取决于题目的问法和条件. 一般来说, 如果考题明确要求了使用“Lagrange Error Bound ”来估计误差, 那么必须使用这一方法; 如果没有特殊说明, 我们一般采用交错级数（没有指定用Lagrange Error Bound 的问题一般都是交错级数的类型）的余项公式, 因为它毕竟在形式上比较简单, 只要写出下一项的表达式, 说明一下正项递减、趋零两个条件, 然后代入x 值就可以了. 另外, AP 的考题通常要求证明某个值的n 阶泰勒展开的误差小于某个值（如1200）, 一般而言, 不论你使用哪种方法都是能够满足这一条件的, 因此不必存有过多的疑虑.习题1. 求函数x x f =)(按(x -4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的3阶泰勒展开式.2. 求函数f (x )=tan x 的带有拉格朗日型余项的3阶麦克劳林展开式.3.的n 阶麦克劳林展开式(不要求写出余项的具体表达式). 4. 求函数()(1)ln(1)f x x x =++的带有拉格朗日型余项的n (n >2)阶麦克劳林展开式.5. 求下列函数的麦克劳林公式: (1)()x f x xe =;(2)x x f 2cos )(=.6. 求下列函数展开成关于x 的幂级数, 并求收敛域:(1)()ln()f x a x =+（0a >）(2)()x f x a = (3)21()32f x x x =++ (4)2()sin f x x = (5)()cos2x f x = (6)1()ln 1x f x x +=-7. 验证当210≤≤x 时, 按公式62132x x x e x +++≈计算e x 的近似值时, 所产生的误差小于0.01, 并求e 的近似值, 使误差小于0.01.8. 应用三阶泰勒公式求下列各数的近似值, 并估计误差: (1)330; (2)sin 18︒.　解答 1. 24)4(==f 4121)4(421=='=-x x f , 32141)4(423-=-=''=-x x f , 328383)4(425⋅=='''=-x x f , 27)4(1615)(--=x x f , 所以 (4)234(4)(4)()(4)(4)(4)(4)(4)(4)2!3!4!f f f f f x x x x ξ''''''=+-+-+-+- 723421111152(4)(4)(4)(4)4645124!16x x x x ξ-=+---+--⋅--, ξ 介于x 与4之间. 2. f '(x )=sec 2x ,f ''(x )=2sec x ⋅sec x ⋅tan x =2sec 2x ⋅tan x ,f '''(x )=4sec x ⋅sec x ⋅tan 2x +2sec 4x =4sec 2x ⋅tan 2x +2sec 4x ,f (4)(x )=8sec 2x ⋅tan 3x +8sec 4x ⋅tan x +8sec 4x ⋅tan x x x x 52cos )2(sin sin 8+=;f (0)=0, f '(0)=1, f ''(0)=0, f '''(0)=2, 故234518sin (sin 2)tan 3cos x x x x ξξξ+=++, ξ介于0与x 之间. 3. 3211(0)1()(1)(0)22f f x x f -''==-=，， 521313()(1)(0)2222f x x f -''''=⋅-=⋅, 21()()21321(21)!!()(1)(0)2222n n n n n n f x x f +---=⋅-= , 注: !!这一双阶乘符号表达依次减2. 其标准描述如下: 当n 是自然数时, n !!表示不超过n 且与n 有相同奇偶性的所有正整数的乘积. 当n 为偶数时n!!=n (n -2)(n -4)…6•4•2; 当n 为奇数时, n !!=n (n-2)(n-4)…5•3•1．23(1)2132121()(1)2222n n n n f x x +-+-+=⋅⋅- 211321()1()2242n n n f x x x x R x n-=++⋅+++ 4. (0)0f =;()ln(1)1(0)1f x x f ''=++=,;1()(0)11f x f x ''''==+,; 21(),(0)1(1)f x f x -''''''==-+. 2()()1(1)(2)!()(2)(0)(1)(2)!(1)n n n n n n f x n f n x ----=>=--+,, f x n x n n n ()()()()!()+-=--+11111 f x x x x n n x R x nn n ()()()()=+-++--+2321611 11(1)1()(1)(1)n n n n R x x n n ξ-+-=⋅++, ξ 介于x 与0之间. 5 (1) 23112!3!(1)!n xx x x e x n -=++++++- ; 342()2!3!(1)!nx x x x f x xe x x n ==++++++- . (2) 24211(1)cos 12!4!(2)!nn x x x x n -=-++++ 24211(1)cos 21(2)(2)(2)2!4!(2)!nn x x x x n -=-++++ 22422(1)2123(2)!n nn x x x n -=-++++ 6. (1) )1ln(ln )]1(ln[)ln(a x a a x a x a ++=+=+ 由于 n n n x n x ∑∞=--=+11)1()1ln(, 则有 11(1)ln()ln ln(1)ln ()(,]n n n x x a x a a x a a a n a -∞=-+=++=+∈-∑(2) 因为∑∞==0!n n x n x e , ln 0(ln )(,)!nx x a n x a a e x n ∞===∈-∞∞∑(3) )12(21112111)2)(1(12312+-+=+-+=++=++x x x x x x x x )11()211()1()2()1(21)1(1000<<---=---=+∞=∞=∞=∑∑∑x x x x n n n n n n n n nn . (4)n n n n x n x x 2202)!2(2)1(21212cos 2121sin ∑∞=--=-= 211212(1)(,)(2)!n n n n x x n -∞+==-∈-∞∞∑. (5) n n nn nn x n x x x 20242)!2()1()!2()1(!41!211cos ∑∞=-=+-+++-= +-+++-=n n x n x x x 242)2()!2()1()2(!41)2(!2112cos 20(1)()()(2)!2n n n x x n ∞=-=-∞<<∞∑. (6)111()ln ln(1)ln(1)+111x f x x x dx dx x x x+==+--=-+-⎰⎰ 10=(1)n n n n n x x dx ∞∞==⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦∑∑⎰2323[(1)(1)]x x x x x x dx =-+-++++++⎰21242002(222)221n n n n x x x dx x dx C n +∞∞===+++==++∑∑⎰⎰但是, 我们知道1(0)ln 01f ==, 代入上式有C =0. 故21012ln 121n n x x x n +∞=+=-+∑, 收敛半径显然与ln (1+x )和ln(1－x )相同为1, 可以验证当x = ±1, 级数发散, 故收敛域为(－1, 1).7. 因为公式62132x x x e x+++≈右端为e x 的三阶麦克劳林公式, 其余项为43!4)(x e x R ξ=, 所以当210≤≤x 时, 按公式62132x x x e x +++≈计算e x 的误差 01.00045.0)21(!43|!4||)(|42143<≈≤=x e x R ξ. 645.121(61)21(212113221≈⋅+⋅++≈=e e . 8. (1)设3)(x x f =, 则f (x )在x 0=27点展开成三阶泰勒公式为2353233)27)(2792(!21)27(273127)(-⋅-⋅+-+==--x x x x f 4311338)27)(8180(!41)27)(272710(!31--⋅+-⋅+--x x ξ(ξ介于27与x 之间).By Kahn, Fortune Edu 于是33823532333)272710(!313)2792(!21327312730⋅⋅⋅+⋅⋅-+⋅⋅+≈---10724.33531311(31063≈+-+≈, 其误差为 5114311431131088.13!4803278180!41|3)8180(!41||)30(|---⨯=⋅=⋅⋅⋅<⋅-⋅=ξR . (2) 已知 43!4sin !31sin x x x x ξ+-=(ξ介于0与x 之间), 所以sin 18︒3090.010(!311010sin 3≈-≈=πππ, 其误差为 44431003.2)10(!46sin |)10(!4sin ||)10(|-⨯=<=πππξπR .。

浅析拉格朗日插值法目录：一、 引言二、 插值及多项式插值的介绍 三、 拉格朗日插值的理论及实验四、 拉格朗日插值多项式的截断误差及实用估计式 五、 参考文献一、引言插值在数学发展史上是个古老问题。

插值是和拉格朗日（Lagrange ）、牛顿（Newton ）、高斯（Gauss ）等著名数学家的名字连在一起的。

在科学研究和日常生活中，常常会遇到计算函数值等一类问题。

插值法有很丰富的历史渊源，它最初来源人们对天体研究——有若干观测点（我们称为节点）计算任意时刻星球的位置（插值点和插值）。

现在，人们在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科研都有很好的应用，最常见的应用就是气象预报。

插值理论和方法能解决在实际中当许多函数表达式未知或形式复杂，如何去构造近似表达式及求得在其他节点处的值的问题。

二、插值及多项式插值1、插值问题的描述设已知某函数关系()y f x =在某些离散点上的函数值：插值问题：根据这些已知数据来构造函数()y f x =的一种简单的近似表达式，以便于计算点,0,1,,i x x i n ≠=的函数值()f x ，或计算函数的一阶、二阶导数值。

xx 0y y1y 1n y -ny 1x 1n x -nx2、插值的几何意义插值的几何意义如图1所示：图1 3、多项式插值 基本概念假设()y f x =是定义在区间,a b ⎡⎤⎣⎦上的未知或复杂函数，但一直该函数在点01n a x x x b ≤<<<≤处的函数值01,,n y y y 。

找一个简单的函数，例如函数()P x ，使之满足条件(),0,1,2,,,i P x y i n == （）通常把上述01n x x x <<< 称为插值节点，把()P x 称为()f x 的插值多项式，条件（）称为插值条件，并把求()P x 的过程称为插值法。

插值多项式的存在性和唯一性 如果插值函数是如下m 次的多项式：1011()m m m m m P x a x a x a x a --=+++那么插值函数的构造就是要确定()m P x 表达式中的m+1个系数011,,,m ma a a a -。

实验名称： 实验一 拉格朗日插值1 引言我们在生产生活中常常会遇到这样的问题：某个实际问题中;函数f x 在区间a;b 上存在且连续;但却很难找到其表达式;只能通过实验和观测得到有限点上的函数表..显然;根据这些点的函数值来求其它点的函数值是非常困难的..有些情况虽然可以写出表达式;但结构复杂;使用不方便..所以我们总是希望根据已有的数据点或函数表来构造某个简单函数P x 作为f x 的近似值..插值法是解决此类问题的一种比较古老的、但却很常用的方法..它不仅直接广泛地应用于生产实际和科学研究中;而且也是进一步学习数值计算方法的基础..2 实验目的和要求运用Matlab 编写三个.m 文件;定义三种插值函数;要求一次性输入整张函数表;并利用计算机选择在插值计算中所需的节点..分别通过分段线性插值、分段二次插值和全区间上拉格朗日插值计算f 0.15;f 0.31;f 0.47的近似值..已知函数表如下：3 算法原理与流程图1原理设函数y=在插值区间a;b 上连续;且在n+1个不同的插值节点a≤x 0;x 1;…;x n ≤b 上分别取值y 0;y 1;…;y n ..目的是要在一个性质优良、便于计算的插值函数类Φ中;求一简单函数P x;满足插值条件P x i =y i i=0;1;…;n;而在其他点x≠x i 上;作为f x 近似值..求插值函数P x 的方法称为插值法..在本实验中;采用拉格朗日插值法.. ①分段低次插值当给定了n+1个点x 0<x 1<…<x n 上的函数值y 0;y 1;…;y n 后;若要计算x≠x i 处函数值f x 的近似值;可先选取两个节点x i-1与x i 使x∈x i-1;x i ;然后在小区间x i-1;x i 上作线性插值;即得这种分段低次插值叫分段线性插值;又称折线插值..类似地;我们可以选取距离x 最近的三个节点x i-1;x i 与x i+1;然后进行二次插值;即得这种分段低次插值叫分段二次插值;又称分段抛物线插值.. ②全区间上拉格朗日插值对节点x i i=0;1;…;n 中任一点x k 0≤k≤n;作一n 次多项式l k x;使它在该点上的取值为1;在其余点x i i=0;1;…;k -1;k+1;…;n 上取值为零..对应于每一节点x k k=0;1;…;n;都能写出一个满足此条件的多项式;这样写出了n+1个多项式l 0x;l 1x;…;l n x;其中0111()()()()()()k k k k n l x A x x x x x x x x x x -+=----•-；由条件()1k k l x =可得于是我们可以得出如下的拉格朗日n 次插值多项式对于全区间上的插值;n 取函数表的长度（2）流程图分段线性插值 分段二次插值 全区间拉格朗日插值4 程序代码及注释1、分段线性插值2、分段二次插值3、拉格朗日全区间插值5算例分析1、测试示例2、首先输入函数变及待求点3、分段线性插值6讨论与结论1、使用tic;toc函数计算下列四种方法计算上述问题所运行的时间从三次实验结果可知;三个程序的运行时间都很短..2、程序优化由分段线性插值和分段二次插值的原理;x取值在函数表范围内时;插值结果有意义;而当x取值在函数表范围以外;利用分段线性插值公式仍可以进行运算并得到一个值;但其结果不准确；分段二次插值则无法找到三个合适的点以求插值;不予以输出结果；若输入的函数表x与y的长度不相等;则无法插值..所以加入以下判断以提高插值的准确性3、作图比较上图为三种方法的插值曲线;其中x取0到0.5;步长为0.001;由图可得;三种曲线非常接近;这说明我们用拉格朗日插值计算所给点函数值的近似值时;引起的误差还是比较小的..参考文献1 易大义;沈云宝;李有法. 计算方法第2版;浙江大学出版社. p.29-53.2 张琨高思超毕靖编着 MATLAB2010从入门到精通电子工业出版社。

拉格朗日余项与误差计算给定项数n , 求得近似值()n S x , 通过|()|n R x 估计误差, 这一题型几乎是每年AP 最后一道大题的固定模式. 请同学们认真学习. 对误差的估计, 分为两种情况: 一是拉格朗日余项定理, 二是交错级数的余项定理. 我们分别进行论述, 并适当地回顾前面的内容, 以便更加细致地梳理这一知识点.拉格朗日余项（Lagrange Form of the Remainder ）的运算首先涉及泰勒公式, 其内容如下: 给定一个函数f (x ), 若可以将其展开成幂级数P (x )的形式如下:20120()()()()()()nn n n n f x P x c c x a c x a c x a c x a ∞=≈=+-+-++-+=-∑ 则必有()()!n n f a c n =. 那么, 泰勒级数的全形可以如下: ()2()()()()()()()()2!!n n f a f a f x f a f a x a x a x a n '''=+-+-++-+ ()0()()!n n n f a x a n ∞==-∑ 其中, 前n 项我们称之为函数在点x =a 处的n 阶泰勒展开式. 所谓的阶, 是指x 的幂次; n 阶就是x 的最高次幂为n , 而不是展开到第n 项. 通常而言, 如果泰勒展开的每一项都存在, 则n 阶泰勒展开应当有n +1项（应当加入常数项）. 而对于某些奇数项为0或偶数项为0的级数, 其项数的计算, 就更加复杂一些, 但n 阶依然是指x 的最高次幂, 而与项数无关.但是, 泰勒展开能够无限地逼近原函数, 是以n 趋向于无穷为前提条件的. 如果我们只是将函数展开到n 阶, 则后面的部分（我们称为余项, remainder ）就被省略了, 这必然会产生误差. 记余项的表达式为R n (x ), 用它表示n 项之后的余项（注意下标是n 而不是n +1）, 我们可以将泰勒展开写成如下形式:()2()()()()()()()()()2!!n n n f a f a f x f a f a x a x a x a R x n '''=+-+-++-+ 或者说, ()()()n f x P x R x =+这式子的意思是原函数可以分解为两个部分, 一部分是n 阶泰勒展开, 另一部分就是拉格朗日余项. 那么, 做一个移项, 就可以有: ()()()n R x f x P x =-.这就是说, 用n 阶幂级数来逼近原函数, 其误差就是这一余项. 而拉格朗日余项就是表达这些被省略部分的一个公式（实际上还有其他类型的余项表达式, 但AP 不考）, 我们可以用它来估计误差. 为此, 我们先写出函数的第n +1阶展开式:23()(1)()10()()()()()()()()2!3!()()()()()()!(1)!!n n n n n nn f a f a f x f a f a x a x a x a f a f a f a x a x a x a n n n +∞+=''''''=+-+-+-+-+-+=-+∑ 而拉格朗日余项（在具体题目中, 我们也称为拉格朗日误差界Lagrange Error Bound ）在形式上就类似于函数的第n+1阶, 其表达式如下:(1)1()()()(1)!n n n f c R x x a n ++=-+, where c is a value between x and a . 其中, 唯一的不同点就是原来(1)()n f a +中的a 变成了c , 并且c 是介于x 与a 之间的一个值. “c 是介于x 与a 之间的一个值”, 之所以这么写, 而不采用不等式的定法, 是因为实际上x 可以小于a （x < c < a ）, 也可以大于a （a < c < x ）; 对这句话的深入理解, 请大家结合后面的具体例题中来讲. 同时, 拉格朗日余项定理像微分中值定理（Mean Value Theorem ）、介值定理（Intermediate Value Theorem ）一样, 都是存在性定理, 即只能告知值的存在（我们知道有这样一个值）, 但不能告知其具体位置（但不知道它到底是多少）. 而如果我们使用麦克劳林式（Maclaurin Series, 即a = 0时的特殊形式）, 就可以将拉格朗日余项变成较简单的形式:(1)1()()(1)!n n n f c R x x n ++=+, where c is a value between x and 0. 这是AP 最容易出题的余项形式, 我们所有的例题都将据此展开.观察拉格朗日余项定理的形式, 对于给定a 、n 和x 的情况下, 如果要确定这个余项的界限, 唯一要确定的就是前面的这个第n +1阶导数的取值范围. 若令有正数(1)()n M f c +=, 则只需要确定M 的范围, 那么, 整个余项的范围也就唯一给定了. 由于误差值可能为正, 也可能为负, 为便利讨论, 我们一般都取其绝对值进行考查, 即:(1)1()()()(1)!n n n f c R x x a n ++=-+, 或1()()(1)!n n M R x x a n +=-+. 而对于麦克劳林式, 我们就变成考查:(1)1()()(1)!n n n f c R x x n ++=+, 或1()(1)!n n M R x x n +=+的范围. 这时我们就要介绍一个基本定理, 即拉格朗日余项定理:若存在正数M , 使得对a c x ≤≤或x c a ≤≤, 均有(1)()n f c M +≤, 则(1)11()()()()(1)!(1)!n n n n M f c R x x a x a n n +++≤-=-++ 也就是说M 的取值范围其实就由(1)()n f c +(a c x ≤≤ or x c a ≤≤)唯一给定. 这一不等式也叫泰勒不等式. 这是我们进行余项范围估计的主要理论基础. 要注意的是, 尽管在陈述拉格朗日余项时我们说c 的范围是x c a <<或a c x <<, 并没有包括端点值. 但是, 泰勒不等式中, 端点值是包括在内的. 因此, 在计算误差时, 我们通常把c 的取值范围写成x a c ≤≤或x c a ≤≤. 在具体计算中, 确定M 的范围实际上并不像许多同学想象的那么复杂, 关键是结合给定函数的类型进行讨论, 我们在前面讨论函数的幂级数展开时, 已经结合一些具体的公式进行过抽象的分析, 现再考虑一些具体的求近似值的案例来加强其理解.例1 将sin y x =展开成5阶麦克劳林式, 并估计其误差.Solution 根据基本的公式21357111sin (1)3!5!7!(21)!n n x x x x x x n +=-+-++-++……,很容易得出的5阶麦克劳林式为: 3511sin 3!5!x x x x ≈-+ 其余项按照拉格朗日余项定理, 可以写成:(51)(6)516()()()(51)!6!n f c f c R x x x ++==+, where c is a value between 0 and x . 要确定范围, 我们只需知道(6)()fc 的范围. 那么, (6)()f c 到底在哪个区间呢？为此, 我们需要写出(6)()f c 的函数表达式.根据泰勒展开的定义, 易有: sin cos ,sin sin ,sin cos ,x x x x x x ''''''==-=- . 那么, 根据三角函数的基本性质, 不论c 取何值, (6)()f c , 即(6)sin sin x x =-, 都必定在[1,1]-的区间中. 于是, 对这个题而言, 我们不需要讨论c 的取值为何(但仍需要写上where c is a value between 0 and x 这句话), 整个余项的取值范围也可以非常明白了:(6)66()()6!6!n f c x R x x =≤ 例2 将sin y x =展开成5阶麦克劳林式, 据此估计sin 0.2的值, 并计算其误差.Solution 接上例, 得3511sin 0.20.2(0.2)(0.2)0.198********!5!≈-+≈ 同时, (6)6685()0.2()(0.2)(0.2)8.888888889106!6!n f c R x R -==≤≈⨯. 按照此误差, 真实的sin 0.2应当在80.198********.88888888910-±⨯之间, 即在0.1986692444和0.1986694219之间. 实际上, 如果我们使用TI -84进行计算, 可以发现sin 0.20.1986693308≈. 可见, 使用这一方法的精度还是较高的.注意: 在计算误差值的运算过程中, 一定要注意“＝”号和“≈”号的表达. 在上述表达中, 如果是n 阶的近似, 一定要用≈号; 如果数值除不尽, 也一定要用≈号. 否则, 将会被扣掉一定分数.例3 将cos y x =展开成4阶麦克劳林式, 据此估计cos 0.3的值, 并计算其误差. Solution 240.30.3cos(0.3)10.955337524!≈-+≈ (5)55554()0.3() 2.025105!5!5!f c x R x x -=≤==⨯ 例4 使用x e 的8阶麦克劳林展开式估计2e 的值, 并计算其误差. Solution 234567822222222127.3873015872!3!4!5!6!7!8!e ≈++++++++≈ For this case, 2, 0, 02x a c ==∴≤≤.Besides, (9)()x f x e =, it is increasing for all x R ∈. Hence, 2()c Max e e = for 02c ≤≤.（注意: 在做此题及类似题型的过程中, 必须对c 的取值范围做出说明, 并且根据相应阶的导函数的增减性做出最大值的判断. 此题中需要写出函数的9阶导数然后再说明. ）Thus, (9)2998()2(2)29!9!f c e R ⨯=≤ 这里就遇到一个问题, 2e 的范围是多大呢？实际上, 这正是我们想要估计的范围！为此, 我们只能做一个大致的估算. 因为我们知道 2.7183e =<…, 所以:(9)292998()232(2)20.01269841279!9!9!f c e R ⨯⨯=≤<≈ 这就是说, 即使是使用8阶泰勒展开, 并且使用3e ≈这样大范围的估计, 也可以得出2e 的估计值的误差范围不会超过0.013这样较高精度的估计.交错级数（Alternating Series ）的误差计算相对简单. 其基本定理如下:若交错级数100(1)()n nn n n u v ∞∞+===-∑∑满足下列条件:1. 正项递减, 即10n n v v +≤≤;2. 正项趋零, 即lim 0n n v →∞= 则必有其余项的范围11n n n n R S S u v ++=-<=.其中, S 表示全部和, S n 表示部分和（partial sum ）, 也就是我们高中数学里习惯说的前n 项和. 简单的讲, 交错级数前n 项和的余项, 不会超过接下来这一项的绝对值, 这就是交错级数的余项公式. 其证明从略, 有兴趣的同学可以参看相关的微积分教材, 但我不建议大家在这点上浪费时间. 这个公式在说明条件后, 可以直接套用. 许多AP 的考题, 在要求泰勒展开之后, 肯定会是一个交错级数的类型. 如果这样, 只需简单地将上述两个条件列出, 然后套用此公式即可. 注意上述这两个条件实际上就是交错级数收敛的条件.细心的同学可能会发现, 当我们对sin y x =或cos y x =在x =0处进行泰勒展开时, 它们都是交错级数. 这就意味着其近似应当有两种方法: 拉格朗日余项定理或交错级数的余项定理. 它们的结果似乎是不太一样的. 这需要一定的说明.在例2中, 我们将sin y x =展开成5阶麦克劳林式, 并使用拉格朗日余项估计sin 0.2的误差为:(6)6685()0.2()(0.2)(0.2)8.8888888891016!6!n f c R x R -==≤≈⨯……（）. 但是, 由于我们知道21357111sin (1)3!5!7!(21)!n n x x x x x x n +=-+-++-++…… , 这毫无疑问是一个交错级数, 并且是收敛的, 即同时满足正项递减、趋零这两个条件, 那么, 依据交错级数的余项公式（英文即可写作By Alternating Series Test ）, 其误差应当不会超过其下一项的绝对值（717!x -）, 即: 792.51()396(80.2)710(2)!n R x -⨯<-≈…… 比较（1）式与（2）式, 似乎得出了完全不同的结果. 到底哪个是对的呢？仔细观察会发现, （1）式与（2）式的形式其实非常类似, 其区别仅在于两者的幂次和阶乘数稍有不同, 一个是6, 一个是7, 从而导致结果的不同. 实际上, 造成这一结果的原因在于sin y x =的泰勒展开是一种特殊的类型, 它的全部项次并非通常意义上的:21357111sin (1)3!5!7!(21)!n n x x x x x x n +=-+-++-++…… 如果按照严格的泰勒展开,sin 00=sin cos ,sin (0)1x x ''== sin sin ,sin (0)0x x ''''=-= sin cos ,sin (0)1x x ''''''=-=- (4)(4)sin sin ,sin (0)0x x ==…… 则sin y x =的泰勒展开的完整形式实际上应当写成:34567010101sin 02!3!4!5!6!7!x x x x x x x x =++-+++-+… 如果这样来看, 其展开式就不再是一个交错级数, 就不能使用交错级数的余项定理, 而只能使用拉格朗日余项定理做出例2的结果.只是巧合的是, 这一展开的奇数次项正好为都为0, 因此我们还可以将此级数写成交错级数的类型:21357111sin (1)3!5!7!(21)!n n x x x x x x n +=-+-++-++…… 并且它又满足正项递减、趋零这两个条件, 所以它又可以使用交错级数的余项公式. 并且, 由于拉格朗日余项定理使用的是第n +1阶的展开式, 而将sin y x =展开成交错级数的余项公式中, 实际上我们相当于使用了第n +2阶的展开式, 其误差估计精度更好, 也就不难理解了. 两种方法都是可以的, 拉格朗日误差界不过是一个万能方法, 适合于一切泰勒展开的误差估计; 而交错级数的余项公式适用条件则相对较窄, 但是其估计的精度在特定条件下, 较万能公式要高.那么, 考试时究竟使用哪一种方法呢？这其实取决于题目的问法和条件. 一般来说, 如果考题明确要求了使用“Lagrange Error Bound ”来估计误差, 那么必须使用这一方法; 如果没有特殊说明, 我们一般采用交错级数（没有指定用Lagrange Error Bound 的问题一般都是交错级数的类型）的余项公式, 因为它毕竟在形式上比较简单, 只要写出下一项的表达式, 说明一下正项递减、趋零两个条件, 然后代入x 值就可以了. 另外, AP 的考题通常要求证明某个值的n 阶泰勒展开的误差小于某个值（如1200）, 一般而言, 不论你使用哪种方法都是能够满足这一条件的, 因此不必存有过多的疑虑.习题1. 求函数x x f =)(按(x -4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的3阶泰勒展开式.2. 求函数f (x )=tan x 的带有拉格朗日型余项的3阶麦克劳林展开式.3.的n 阶麦克劳林展开式(不要求写出余项的具体表达式). 4. 求函数()(1)ln(1)f x x x =++的带有拉格朗日型余项的n (n >2)阶麦克劳林展开式.5. 求下列函数的麦克劳林公式: (1)()x f x xe =;(2)x x f 2cos )(=.6. 求下列函数展开成关于x 的幂级数, 并求收敛域:(1)()ln()f x a x =+（0a >）(2)()x f x a = (3)21()32f x x x =++ (4)2()sin f x x = (5)()cos2x f x = (6)1()ln 1x f x x +=-7. 验证当210≤≤x 时, 按公式62132x x x e x +++≈计算e x 的近似值时, 所产生的误差小于0.01, 并求e 的近似值, 使误差小于0.01.8. 应用三阶泰勒公式求下列各数的近似值, 并估计误差: (1)330; (2)sin 18︒.　解答 1. 24)4(==f 4121)4(421=='=-x x f , 32141)4(423-=-=''=-x x f , 328383)4(425⋅=='''=-x x f , 27)4(1615)(--=x x f , 所以 (4)234(4)(4)()(4)(4)(4)(4)(4)(4)2!3!4!f f f f f x x x x ξ''''''=+-+-+-+- 723421111152(4)(4)(4)(4)4645124!16x x x x ξ-=+---+--⋅--, ξ 介于x 与4之间. 2. f '(x )=sec 2x ,f ''(x )=2sec x ⋅sec x ⋅tan x =2sec 2x ⋅tan x ,f '''(x )=4sec x ⋅sec x ⋅tan 2x +2sec 4x =4sec 2x ⋅tan 2x +2sec 4x ,f (4)(x )=8sec 2x ⋅tan 3x +8sec 4x ⋅tan x +8sec 4x ⋅tan x x x x 52cos )2(sin sin 8+=;f (0)=0, f '(0)=1, f ''(0)=0, f '''(0)=2, 故234518sin (sin 2)tan 3cos x x x x ξξξ+=++, ξ介于0与x 之间. 3. 3211(0)1()(1)(0)22f f x x f -''==-=，， 521313()(1)(0)2222f x x f -''''=⋅-=⋅, 21()()21321(21)!!()(1)(0)2222n n n n n n f x x f +---=⋅-= , 注: !!这一双阶乘符号表达依次减2. 其标准描述如下: 当n 是自然数时, n !!表示不超过n 且与n 有相同奇偶性的所有正整数的乘积. 当n 为偶数时n!!=n (n -2)(n -4)…6•4•2; 当n 为奇数时, n !!=n (n-2)(n-4)…5•3•1．23(1)2132121()(1)2222n n n n f x x +-+-+=⋅⋅- 211321()1()2242n n n f x x x x R x n-=++⋅+++ 4. (0)0f =;()ln(1)1(0)1f x x f ''=++=,;1()(0)11f x f x ''''==+,; 21(),(0)1(1)f x f x -''''''==-+. 2()()1(1)(2)!()(2)(0)(1)(2)!(1)n n n n n n f x n f n x ----=>=--+,, f x n x n n n ()()()()!()+-=--+11111 f x x x x n n x R x nn n ()()()()=+-++--+2321611 11(1)1()(1)(1)n n n n R x x n n ξ-+-=⋅++, ξ 介于x 与0之间. 5 (1) 23112!3!(1)!n xx x x e x n -=++++++- ; 342()2!3!(1)!nx x x x f x xe x x n ==++++++- . (2) 24211(1)cos 12!4!(2)!nn x x x x n -=-++++ 24211(1)cos 21(2)(2)(2)2!4!(2)!nn x x x x n -=-++++ 22422(1)2123(2)!n nn x x x n -=-++++ 6. (1) )1ln(ln )]1(ln[)ln(a x a a x a x a ++=+=+ 由于 n n n x n x ∑∞=--=+11)1()1ln(, 则有 11(1)ln()ln ln(1)ln ()(,]n n n x x a x a a x a a a n a -∞=-+=++=+∈-∑(2) 因为∑∞==0!n n x n x e , ln 0(ln )(,)!nx x a n x a a e x n ∞===∈-∞∞∑(3) )12(21112111)2)(1(12312+-+=+-+=++=++x x x x x x x x )11()211()1()2()1(21)1(1000<<---=---=+∞=∞=∞=∑∑∑x x x x n n n n n n n n nn . (4)n n n n x n x x 2202)!2(2)1(21212cos 2121sin ∑∞=--=-= 211212(1)(,)(2)!n n n n x x n -∞+==-∈-∞∞∑. (5) n n nn nn x n x x x 20242)!2()1()!2()1(!41!211cos ∑∞=-=+-+++-= +-+++-=n n x n x x x 242)2()!2()1()2(!41)2(!2112cos 20(1)()()(2)!2n n n x x n ∞=-=-∞<<∞∑. (6)111()ln ln(1)ln(1)+111x f x x x dx dx x x x+==+--=-+-⎰⎰ 10=(1)n n n n n x x dx ∞∞==⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦∑∑⎰2323[(1)(1)]x x x x x x dx =-+-++++++⎰21242002(222)221n n n n x x x dx x dx C n +∞∞===+++==++∑∑⎰⎰但是, 我们知道1(0)ln 01f ==, 代入上式有C =0. 故21012ln 121n n x x x n +∞=+=-+∑, 收敛半径显然与ln (1+x )和ln(1－x )相同为1, 可以验证当x = ±1, 级数发散, 故收敛域为(－1, 1).7. 因为公式62132x x x e x+++≈右端为e x 的三阶麦克劳林公式, 其余项为43!4)(x e x R ξ=, 所以当210≤≤x 时, 按公式62132x x x e x +++≈计算e x 的误差 01.00045.0)21(!43|!4||)(|42143<≈≤=x e x R ξ. 645.121(61)21(212113221≈⋅+⋅++≈=e e . 8. (1)设3)(x x f =, 则f (x )在x 0=27点展开成三阶泰勒公式为2353233)27)(2792(!21)27(273127)(-⋅-⋅+-+==--x x x x f 4311338)27)(8180(!41)27)(272710(!31--⋅+-⋅+--x x ξ(ξ介于27与x 之间).By Kahn, Fortune Edu 于是33823532333)272710(!313)2792(!21327312730⋅⋅⋅+⋅⋅-+⋅⋅+≈---10724.33531311(31063≈+-+≈, 其误差为 5114311431131088.13!4803278180!41|3)8180(!41||)30(|---⨯=⋅=⋅⋅⋅<⋅-⋅=ξR . (2) 已知 43!4sin !31sin x x x x ξ+-=(ξ介于0与x 之间), 所以sin 18︒3090.010(!311010sin 3≈-≈=πππ, 其误差为 44431003.2)10(!46sin |)10(!4sin ||)10(|-⨯=<=πππξπR .。