v1.0
可编辑可修改
第一部分：平面向量的概念及线性运算
一. 基础知识 自主学习
1．向量的有关概念
名称
定义
既有
又有
的量；向量的大小叫做向量
向量
的(
)
或称 零向量
长度为 的向量；其方向是任意的
长度等于
的
单位向量
向量
平行向量 方向
或 的非零向量
共线向量
的非零向量又叫做共线向量
相等向量 长度 且方向 的向量
相反向量
长度 且方向 的向量
2. 向量的线性运算
法则 ( 或几何
向量运算
定义
意义 )
加法
求两个向量和的运算
备注
平面向量是自由向量
记作 0
a
非零向量 a 的单位向量为± |a |
0 与任一向量 或共线
两向量只有相等或不等， 不能比
较大小
0 的相反向量为 0
运算律
(1) 交换律：
a ＋
b ＝ b ＋a .
(2) 结合律：
( a ＋ b ) ＋c ＝ a ＋ ( b ＋ c ) ．
求 a 与 b 的相反向量－ b 减法
的和的运算叫做 a 与 b
a －
b ＝ a ＋( － b )
的差
法则
(1)| λ a
λ
||
a
λ μa
) ＝ λμ a
；
| ＝ |
|.
(
求实数 λ 与向量 a 的积
λa
a
a
λa
数乘
(2) 当 λ >0 时，
的方向与
的方
(
λ ＋
) ＝ ＋ ；
的运算
μ μa
向
；
λ( a ＋b ) ＝ λa ＋ λb .
v1.0 可编辑可修改
当 λ<0 时， λ a 的方向与 a 的方向 ；
当 λ＝ 0 时， λa ＝ 0.
3. 共线向量定理
向量 ( a ≠0) 与 b 共线的
条件是存在唯一一个实数
λ ，使得 ＝.
a
b λ a
二. 难点正本
疑点清源
1．向量的两要素
向量具有大小和方向两个要素．
用有向线段表示向量时， 与有向线段起点的位置没有关系． 同向且等长的有向线
段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，
即向量不能比较大小．
2．向量平行与直线平行的区别
向量平行包括向量共线
( 或重合 ) 的情况，而直线平行不包括共线的情况． 因而要利用向量平行证明向量所在直线
平行，必须说明这两条直线不重合．
三．基础自测
→ → → →
1．化简 OP － QP ＋ MS － MQ 的结果等于 ________ ．
2．下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；
④相等向量一定共线．其中不正确命题的序号是
_______．
→ → → → →
3．在△ ABC 中， AB ＝ c ，AC ＝ b . 若点 D 满足 BD ＝ 2DC ，则 AD ＝ ________( 用 b 、c 表示 ) ．
4．如图，向量 a － b 等于 (
)
A ．－ 4e 1－ 2e 2
B ．－ 2e 1－ 4e 2
C ． e 1－ 3e 2
D
．3e 1－ e 2
→ →
→
5．已知向量
a ， ，且
＝＋2，＝－5
a ＋6 ， ＝ 7 － 2 ，则一定共线的三点是
(
)
b
AB a b BC
b CD a b
A ．A 、
B 、D
B ．A 、B 、
C C ．B 、C 、D
D
．A 、C 、 D
v1.0
可编辑可修改
四．题型分类
深度剖析
题型一
平面向量的有关概念
例 1
给出下列命题：
→ →
①若 | a | ＝ | b | ，则 a ＝ b ；②若 A ， B ， C ， D 是不共线的四点，则 AB ＝DC 是四边形 A BCD 为平行四边形的充要条件；③
若 ＝ ，＝ ，则 a ＝ ；④ ＝ b 的充要条件是 | a | ＝ | | 且 ∥ ；⑤若 a ∥ ， ∥ ，则 a ∥ . 其中正确的序号是 ________．
a b b c
c a b a b b b c
c
变式训练 1
判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由．
(1) 若向量 a 与 b 同向，且 | a | ＝ | b | ，则 a>b ；
(2) 若 | a | ＝| b | ，则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反；
(3) 若 | a | ＝| b | ，且 a 与 b 方向相同，则
a ＝
b ；
(4) 由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； (5) 若向量 a 与向量 b 平行，则向量 a 与 b 的方向相同或相反；
→
→
(6) 若向量 AB 与向量 CD 是共线向量，则 A ， B ， C ，D 四点在一条直线上； (7) 起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
(8) 任一向量与它的相反向量不相等
题型二 平面向量的线性运算
→
→
→
1→→1→
→ → → 例 2 如图，以向量 OA ＝a ， OB ＝ b 为边作 ? OADB ， BM ＝ 3BC ， CN ＝3CD ，用 a 、b 表示 OM 、 ON 、 MN .
→
2→
→ →
变式训练 2 △ABC 中， AD ＝ 3AB ， DE ∥ BC 交 AC 于 E ， BC 边上的中线
AM 交 DE 于 N . 设AB ＝ a ，AC ＝ b ，用 a 、
b 表示向
→ → → → → →
量 AE 、BC 、 DE 、DN 、 AM 、 AN .
题型三
平面向量的共线问题
