数学高一必修1 第三章1 正整数指数函数 课时作业

第三章 1 正整数指数函数一、选择题1．下列各项对正整数指数函数的理解正确的有( )①底数a ≥0；②指数x ∈N ＋；③底数不为0；④y ＝a x(a >0，a ≠1，x ∈N ＋)． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个[答案] D[解析] 由正整数指数函数定义知①错误，②③④正确故选D. 2．函数y ＝(12)x，x ∈N ＋的值域是( )A ．RB ．[0，＋∞)C ．ND ．{12，12，12，…}[答案] D[解析] ∵n ∈N ＋，∴把n ＝1,2,3，…代入可知选D. 3．下列函数：①y ＝3x 2(x ∈N ＋)；②y ＝5x(x ∈N ＋)； ③y ＝3x＋1(x ∈N ＋)；④y ＝3·2x(x ∈N ＋)． 其中是正整数指数函数的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个[答案] B[解析] 由正整数指数函数的定义知，①③④不是正整数指数函数，②是，故选B. 4．函数y ＝(38)x，x ∈N ＋是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．减函数[答案] D[解析] ∵0<38<1，当x ∈N ＋且由小变大时，函数值由大变小，故选D.5．函数y ＝7x，x ∈N ＋的单调递增区间是( ) A ．R B ．N ＋ C ．[0，＋∞) D ．不存在[答案] D[解析] 由于函数y ＝7x，x ∈N ＋的定义域是N ＋，而N ＋不是区间，则该函数不存在单调区间．6．满足3x 2－1＝19的x 的值的集合为( ) A ．{1} B ．{－1,1} C ．∅D ．{0}[答案] C [解析] 3x 2－1＝3－2，∴x 2－1＝－2，即x 2＝－1，无解．二、填空题7．已知函数f (x )＝(m －1)·4x(x ∈N ＋)是正整数指数函数，则实数m ＝________. [答案] 2[解析] 由m －1＝1，得m ＝2.8．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低13，则现在价格为8100元的计算机经过15年价格应降为________．[答案] 2400元[解析] 5年后价格为8100×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13；10年后价格为8100×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132；15年后价格为8100×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133＝2400(元)．三、解答题9．对于五年可成材的树木，在此期间的年生长率为18 ，以后的年生长率为10 ，树木成材后，即可以售树木，重栽新树木；也可以让其继续生长．问哪一种方案可获得较大的木材量？(只需考虑十年的情形)[解析] 设新树苗的木材量为Q ，则十年后有两种结果： ①连续生长十年，木材量N ＝Q (1＋18 )5(1＋10 )5； ②生长五年后重栽，木材量M ＝2Q (1＋18 )5， 则M N ＝2＋5，因为(1＋10 )5≈1.61<2，所以M N>1，即M >N . 因此，生长五年后重栽可获得较大的木材量．10．农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2009年某地区农民人均收入为13150元(其中工资性收入为7800元，其他收入为5350元)．预计该地区自2010年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6 的年增长率增长，其他收入每年增加160元．根据以上数据，求2014年该地区农民人均收入约为多少元？(其中1.064≈1.26,1.065≈1.34,1.066≈1.42)[分析] 本小题主要考查指数函数型的实际问题，也考查学生运用函数知识解决实际问题的能力．[解析] 农民人均收入 于两部分，一是工资性收入即7800×(1＋6 )5＝7800×1.065＝10452(元)，二是其它收入即5350＋5×160＝6150(元)，∴农民人均收入为10452＋6150＝16602(元)． 答：2014年该地区农民人均收入约为16602元.一、选择题1．若f (x )＝3x(x ∈N 且x >0)，则函数y ＝f (－x )在其定义域上为( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减 D ．先减后增[答案] B[解析] ∵f (x )＝3x(x ∈N 且x <0)， ∴y ＝f (－x )＝3－x＝(13)x ，∴函数为减函数，故选B.2．某地区重视环境保护，绿色植被面积呈上升趋势，经调查，从2002年到2011年这10年间每两年上升2 ,2010年和2011年种植植被815万m 2.当地政府决定今后四年内仍按这个比例发展下去，那么从2012年到2015年种植绿色植被面积为(四舍五入)( )A ．848万m 2B ．1679万m 2C ．1173万m 2D ．12494万m 2[答案] B[解析] 2012 2013年为815×(1＋2 )， 2014 2015年为815×(1＋2 )×(1＋2 )． 共为815×(1＋2 )＋815×(1＋2 )(1＋2 )≈1679. 二、填空题3．不等式(13)3－x 2<32x(x ∈N ＋)的解集是________．[答案] {1,2}[解析] 由(13)3－x 2<32x 得3 x 2－3<32x.∵函数y ＝3x，x ∈N ＋为增函数， ∴x 2－3<2x ，即x 2－2x －3<0， ∴(x －3)(x ＋1)<0，解得－1<x <3. 又∵x ∈N ＋，∴x ＝1或x ＝2.4．当x ∈N ＋时，用“>”“<”或“＝”填空：(12)x ________1,2x ________1，(12)x ________2x ，(12)x ________(13)x,2x ________3x . [答案] < > < > <[解析] ∵x ∈N ＋，∴(12)x <1,2x>1.∴2x >(12)x .又根据对其图像的研究，知2x <3x，(12)x >(13)x .也可以代入特殊值比较大小．三、解答题5．已知正整数指数函数f (x )的图像经过点(3,27)， (1)求函数f (x )的解析式； (2)求f (5)；(3)函数f (x )有最值吗？若有，试求出；若无，说明原因．[解析] (1)设正整数指数函数为f (x )＝a x(a >0，a ≠1，x ∈N ＋)，因为函数f (x )的图像经过点(3,27)，所以f (3)＝27，即a 3＝27，解得a ＝3， 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝3x(x ∈N ＋)． (2)f (5)＝35＝243.(3)因为f (x )的定义域为N ＋，且在定义域上单调递增，所以f (x )有最小值，最小值是f (1)＝3，f (x )无最大值．6．某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2 ，试解答下面的问题： (1)写出该城市的人口总数y (万人)与年份x (年)的函数关系式； (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大经多少年以后该城市人口总数将达到120万人(精确到1年)((1＋1.2 )10≈1.127，(1＋1.2 )15≈1.196，(1＋1.2 )16≈1.21)?[分析] 本题是增长率问题，可以分别写第1年、第2年，依次类推得x 年的解析式． [解析] (1)1年后该城市人口总数为y ＝100＋100×1.2 ＝100×(1＋1.2 )； 2年后该城市人口总数为：y ＝100×(1＋1.2 )＋100×(1＋1.2 )×1.2 ＝100×(1＋1.2 )2；3年后该城市人口总数为：y ＝100×(1＋1.2 )3.x 年后该城市人口总数为：y ＝100×(1＋1.2 )x .(2)10年后该城市人口总数为：y ＝100×(1＋1.2 )10＝100×1.01210≈112.7(万人)． (3)令y ＝120，则有100×(1＋1.2 )x＝120，解方程可得x ≈16. 即大约16年后该城市人口总数将达到120万人．7．截止到1999年底，我国人口约为13亿，若今后能将人口年平均递增率控制在1‰，经过x年后，我国人口数字为y(亿)．(1)求y与x的函数关系y＝f(x)；(2)求函数y＝f(x)的定义域；(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出在这里函数的增、减有什么实际意义．[解析](1)1999年年底的人口数：13亿；经过1年，2000年年底的人口数：13＋13×1‰＝13(1＋1‰)(亿)；经过2年，2001年年底的人口数：13(1＋1‰)＋13(1＋1‰)×1‰＝13(1＋1‰)2(亿)；经过3年，2002年年底的人口数：13(1＋1‰)2＋13(1＋1‰)2×1‰＝13(1＋1‰)3(亿)．∴经过年数与(1＋1‰)的指数相同．∴经过x年后的人口数：13(1＋1‰)x(亿)，∴y＝f(x)＝13(1＋1‰)x(x∈N)．(2)理论上指数函数定义域为R，∵此问题以年作为单位时间，∴x∈N是此函数的定义域．(3)y＝f(x)＝13(1＋1‰)x，∵1＋1‰>1,13>0，∴y＝f(x)＝13(1＋1‰)x是增函数，即只要递增率为正数时，随着时间的推移，人口的总数总在增长．。

增长率问题例析长率为P ，则对于时间x 的总产值y ，有公式(1)xy H P =+表示，解决平均增长率问题,要用这个公式．本文列举数例，供参考．例1 某农药厂今年生产农药8000吨，计划5年后把产量提高到14000吨,问平均每年需增长百分之几？解析：设平均每年增长率为x ，由题意可得58000(1)14000x +=，5(1) 1.75x ∴+=． 两边取常用对数，得lg1.75lg(1)0.04865x +=≈． 故1 1.2x +=．12x ∴=%,即平均每年增长12%．例2 1980年我国人均收入255美元，若到2000年人民生活达到小康水平,即人均收达到817美元，则年平均增长率是多少?若按不低于此增长率的速度递增，则到2010年人均收入至少是多少美元？解析：设年平均增长率为x ，则1981年人均收入为255(1)x +；1982年人均收入为2255(1)x +；；2000年人均收入为20255(1)x +,由题意可得20255(1)817x +=，解得0.0606x ≈≈%．又设2010年人均收入为y 美元，则30255 1.061465y =⨯≈． 故年平均增长率为6%，到2010年人均收入至少是1465美元．按复利计算利息的一种储蓄，本金为a 元，每期利率为r ，设本利和为y ，存期为x ,写出本利和y 随存期x 变化的函数式．如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和是多少?解析:已知本金为a 元． 一期后的本利和为1(1)y a a r a r =+⨯=+； 二期后的本利和为22(1)(1)(1)y a r a r r a r =+++=+； 三期后的本利和为33(1)y a r =+;x 期后的本利和为(1)x y a r =+． 将1000a =， 2.25r =%，5x =代入上式，得51000(1 2.25)1117.68y =+≈%(元)． 注：按复利计算利息，也是增长率问题．增长率问题的实质是指数函数模型的应用．。

第三章 函数的应用章末整合提升A 级 基础巩固一、选择题1．函数f (x )＝x 2－3x －4的零点是( D ) A ．(1，－4) B ．(4，－1) C ．1，－4D ．4，－1[解析] 由x 2－3x －4＝0，得x 1＝4，x 2＝－1.2．在用二分法求函数f (x )在区间(a ，b )上的唯一零点x 0的过程中，取区间(a ，b )上的中点c ＝a ＋b2，若f (c )＝0，则函数f (x )在区间(a ，b )上的唯一零点x 0( D )A ．在区间(a ，c )内B ．在区间(c ，b )内C ．在区间(a ，c )或(c ，b )内D ．等于a ＋b2[解析] 根据二分法求方程的近似解的方法和步骤，函数f (x )在区间(a ，b )上的唯一零点，x 0＝a ＋b2，故选D ．3．某工厂2018年生产某种产品2万件，计划从2019年开始每年比上一年增产20%，那么这家工厂生产这种产品的年产量从哪一年开始超过12万件？( C )A ．2026年B ．2027年C ．2028年D ．2029年[解析] 设经过x 年这种产品的年产量开始超过12万件，则2(1＋20%)x＞12，即1.2x＞6，∴x ＞lg6lg1.2≈9.8，取x ＝10，故选C ．4．(2019·某某某某市高一期末测试)函数f (x )＝2x＋x －4，则f (x )的零点所在的大致区间是( B )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)[解析]f (0)＝20－4＝－3<0，f (1)＝2＋1－4＝－1<0， f (2)＝22＋2－4＝2>0，∴f (1)·f (2)<0，故选B ．5．向高为H 的水瓶中注水，若注满为止，注水量V 与水深h 的函数关系图象如图所示，那么水瓶的形状是( B )[解析] 解法一：很明显，从V 与h 的函数图象看，V 从0开始后，随h 的增大而增大且增速越来越慢，因而应是底大口小的容器，即应选B ．解法二：取特殊值h ＝H 2，可以看出C ，D 图中的水瓶的容量恰好是V2，A 图中的水瓶的容量小于V2，不符合上述分析，排除A ，C ，D ，应选B ．解法三：取模型函数为y ＝kx 13(k >0)，立即可排除A ，C ，D ，故选B ．6．用长度为24 m 的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( A )A ．3 mB ．4 mC ．5 mD ．6 m[解析] 设隔墙的长度为x m ，即矩形的宽为x m ，则矩形的长为24－4x 2m(0<x <6)，∴矩形的面积S ＝x ·24－4x 2＝x (12－2x )＝－2x 2＋12x ＝－2(x －3)2＋18，∴当x ＝3时，S max ＝18.∴当隔墙的长度为3 m 时，矩形的面积最大，最大为18 m 2. 二、填空题7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －7x <0x x ≥0，f (a )<1，则实数a 的取值X 围是__(－3,1)__.[解析] 当a <0时，(12)a －7<1，即2－a <23，∴a >－3，∴－3<a <0；当a ≥0时，a <1， ∴0≤a <1.综上可知－3<a <1.故实数a 的取值X 围是(－3,1)．8．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是__4__(lg2≈0.301 0)．[解析] 设至少要洗x 次，则(1－34)x ≤1100，∴x ≥1lg2≈3.322，所以需4次．三、解答题9．某旅行团去风景区旅游，若每团人数不超过30人，飞机票每X 收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠，每多1人，机票每X 减少10元，直至每X 降为450元为止．某团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．假设一个旅行团不能超过70人．(1)写出每X 飞机票的价格关于人数的函数关系式； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？ [解析] (1)设旅行团的人数为x ，机票价格为y ，则：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9001≤x ≤30900－x －30·1030＜x ≤70，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9001≤x ≤301 200－10x 30＜x ≤70.(2)设旅行社可获得利润为Q ，则Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 0001≤x ≤3012 000－10x x －15 00030＜x ≤70，即Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 0001≤x ≤30－10x 2＋1 200x －15 00030＜x ≤70.当x ∈[1,30]时，Q max ＝900×30－15 000＝12 000(元)， 当x ∈(30,70]时，Q ＝－10(x －60)2＋21 000， 所以当x ＝60时，Q max ＝21 000(元)，所以当每团人数为60时，旅行社可获得最大利润21 000元．B 级 素养提升一、选择题1．方程4x＝4－x 的根所在区间是( B )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)[解析] 由4x＝4－x ，得4x＋x －4＝0，令f (x )＝4x＋x －4， ∴方程4x＝4－x 的根即为函数，f (x )＝4x＋x －4的零点，f (－1)＝4－1－1－4＝－194<0，f (0)＝40－4＝1－4＝－3<0， f (1)＝4＋1－4＝1>0，f (2)＝42＋2－4＝14>0， f (3)＝43＋3－4＝63>0，∴f (0)·f (1)<0，故选B ．2．一水池有两个进水口，一个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则一定正确的是( A )A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③[解析] 由甲、乙两图可知进水速度为1，出水速度为2，结合丙图中直线的斜率，只进水不出水时，蓄水量增加速度是2，故①正确；不进水只出水时，蓄水量减少速度是2，故②不正确；两个进水一个出水时，蓄水量减少速度也是0，故③不正确．3．四人赛跑，假设他们跑过的路程f i (x )(i ∈{1,2,3,4})和时间x (x >1)的函数关系式分别是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 2x ，f 4(x )＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( D )A ．f 1(x )＝x 2B ．f 2(x )＝4xC ．f 3(x )＝log 2xD ．f 4(x )＝2x[解析] 显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f 4(x )＝2x，故选D ．4．中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议认为，至2020年全面建成小康社会，是我们党确定的“两个一百年”奋斗目标的第一个百年奋斗目标．全会提出了全面建成小康社会新的目标要求：经济保持中高速增长，在提高发展平衡性、包容性、可持续性的基础上，到2020年国内生产总值和城乡居民人均收入比2010年翻一番，产业迈向中高端水平，消费对经济增长贡献明显加大，户籍人口城镇化率加快提高．设从2011年起，城乡居民人均收入每年比上一年都增长p %.下面给出了依据“至2020年城乡居民人均收入比2010年翻一番”列出的关于p 的四个关系式：①(1＋p %)×10＝2；②(1＋p %)10＝2； ③lg(1＋p %)＝2；④1＋10×p %＝2. 其中正确的是( B ) A ．① B ．② C ．③D ．④[解析] 设从2011年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长p %，由题意，得(1＋p %)10＝2，故选B ．二、填空题5．函数f (x )＝x 2－3x ＋2a 有两个不同的零点，则a 的取值X 围是__(－∞，98)__.[解析] 令x 2－3x ＋2a ＝0，由题意得Δ＝9－8a >0， ∴a <98.6．某地野生薇甘菊的面积与时间的函数关系的图象如图所示，假设其关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生薇甘菊的面积就会超过30 m 2；③设野生薇甘菊蔓延到2 m 2,3 m 2,6 m 2所需的时间分别为t 1，t 2，t 3，则有t 1＋t 2＝t 3； ④野生薇甘菊在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．其中正确的说法有__①②③__(请把正确说法的序号都填在横线上)． [解析]∵其关系为指数函数，图象过点(4,16)，∴指数函数的底数为2，故①正确； 当t ＝5时，S ＝32>30，故②正确； ∵t 1＝1，t 2＝log 23，t 3＝log 26， ∴t 1＋t 2＝t 3，故③正确；根据图象的变化快慢不同知④不正确，综上可知①②③正确． 三、解答题7．已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值X 围．[解析] 由题意知，抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，可以画出示意图(如图所示)，观察图象可得⎩⎪⎨⎪⎧f0＝2m ＋1<0f－1＝2>0f1＝4m ＋2<0f2＝6m ＋5>0，解得－56<m <－12.所以m 的取值X 围是(－56，－12)．8．我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量．(1)计算，当燕子静止时的耗氧量是多少单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？[解析] (1)由题意可知，当燕子静止时，它的速度v ＝0，∴5log 2Q 10＝0，∴log 2Q10＝0，∴Q10＝1，∴Q ＝10.∴当燕子静止时的耗氧量是10个单位．(2)由题意可知，当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度v ＝5log 28010＝5log 28＝5×3＝15.∴它的飞行速度是15 m/s.9．牧场中羊群的最大畜养量为m 只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y 只和实际畜养量x 只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k (k >0)．(1)写出y 关于x 的函数解析式，并指出这个函数的定义域； (2)求羊群年增长量的最大值；(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k 的取值X 围．[解析] (1)根据题意，由于最大畜养量为m 只，实际畜养量为x 只，则畜养率为x m，故空闲率为1－x m ，由此可得y ＝kx (1－x m)(0<x <m )．(2)y ＝kx (1－x m )＝－km (x 2－mx )＝－k m (x －m2)2＋km4，∵0<x <m ，∴当x ＝m 2时，y 取得最大值km4. (3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则有实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即0<x ＋y <m .因为当x ＝m 2时，y max ＝km 4，所以0<m 2＋km4<m ， 解得－2<k <2.又因为k >0，所以0<k <2.。

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3。

1 正整数指数函数[A 基础达标]1．下列给出的四个正整数指数函数中,在定义域内是减少的是( )A．y＝1.2x(x∈N＋) B．y＝3x（x∈N＋）C．y＝0。

99x(x∈N＋) D．y＝6x(x∈N＋）解析：选C.A、B、D中底数均大于1，对应函数均为增函数，C中底数0.99∈(0,1),所以y＝0。

99x（x∈N）是减少的．＋2．函数y＝5x，x∈N＋的值域是（）A．R B．N＋C．N D．｛5，52，53，54,…}解析：选D。

因为函数y＝5x，x∈N＋的定义域为正整数集N＋.所以当自变量x取1，2，3,4，…时，其相应的函数值y依次是5，52，53,54，….因此，函数y＝5x，x∈N＋的值域是{5,52,53,54,…｝．3．若函数f（x）＝(a2－5a－5)a x为正整数指数函数，则a的值为（)A．－1 B．6C．－1或6 D．－6解析：选B。

由错误!得a＝6。

4．某企业各年总产值预计以10 的速度增长，若2015年该企业全年总产值为1 000万元,则2018年该企业全年总产值为( )A．1 331万元B．1 320万元C．1 310万元D．1 300万元解析：选A.易知1 000（1＋10 ）3＝1 331（万元）．5．正整数指数函数y＝a x在［1，2]上的最大值与最小值之和为6,则a等于（)A．－3 B．2C．－3或2 D．以上均不对解析：选B.因为正整数指数函数y＝a x在［1，2］上单调，由题意得a＋a2＝6（a〉0且a≠1)，解得a＝2。