第一讲 二次根式与一元二次方程
【基础回顾】
1、填空：当x 取何值时，x x -+-73在实数范围内有意义：______________
2．下列计算①
×
＝
；②
；③
；④
＝4．其中错误的是
（ ）
A ．①
B ．②
C ．③
D ．④ 3、若最简二次根式224x -与25x +是同类二次根式，则x 的值是 4、下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ） A ．3（x+1）2=2（x+1） B ．
211
20x x
+-= C ．ax 2+bx+c=0 D ．x 2+2x=x 2－1
5、关于x 的一元二次方程（a －1）2
x +x+|a|－1=0的一个根是0，则实数a 的值为（ ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－1或1
6、要使关于x 的方程2
340ax x ++=有两个不相等的实数根，则a 的取值是（ ）
A ．916a <
B ．916a ≤且0a ≠
C ．916a <且0a ≠
D ． 916
a > 7、若1x ，2x 是一元二次方程2
230x x +-=的两个根，则1x +2x 的值是（ ）
A 2
B －2
C 3
D －3 【例题解析】
【例1】把下列各式化成最简二次根式：
（1）833 （2）22)21()213(- （3）2
255
m （4）224y x x +
【例2】计算化简下列各式：
113(1)(184
)2323
-+÷
- (2)20)21(821
)73(4--?++
2426
(3)(232)62
+-+
- (4) 555x x
x +
)25
4414()31
91)(
5(3323y
y x x
y y
x x +-+
【例3】化简：再求值． 5
5x +2
1x 20－
45x x
54,其中13x =
【练】一个三角形的三边长分别为5
5x 、1202
x 、5445x x （1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给一个适当的x 值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值。
【例4】计算下面几个式子，它们的结果呈现出一定的规律：1999+?、1999999+?、
1999999999+?、1999999999999+?，用你发现的规律直接写出式子
9
9
9
9991999999个个个n n n +?的结果是 【练】1.已知322322=+，833833=+，15441544=+，…，若b a b a 1010=+（a ，b
为正整数），则a =_____，b =______．用含正整数n 的式子表示规律为____________． 2.借助于计算器可以求得434433444333222222+++，，，4444333322+，
…，仔细观察上面几道题的计算结果，试猜想=+
个
…个…2013333201344422__________。
【例5】用直接开平方法解下列方程
(1)2
(2)3x -= (2)2
9(3)1210x --= (3)2
2
4(25)9(31)y y -=-
【例6】用配方法解下列方程
(1)2220x x --= (2)22430x x --= (3)2
218x x +=
【例7】用公式法解下列方程
(1)2352x x -= (2)2
22210x x -+=
【例8】用因式分解法解下列方程
(1)2326x x x -=- (2)2
2460x x +-=
【练】选择合适的方法解下列一元二次方程
(1)2
2740t t --= (2) (2)(5)2x x --=-
(3)(21)(3)9x x x +-=- (4)2
21
0318
x x -+=
【例9】已知x 1、x 2是方程x 2－4x ＋2=0的两根，求：
（1）
12
11
x x +的值； （2）12x x -的值.
【练】设x 1,x 2是方程2x 2+4x －3=0的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：
(1)(x 1+1)(x 2+1) (2)x 2x 1 + x 1
x 2
【例10】下列命题：（一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0，a ，b ，c 为常数）） ①若a +b +c =0，则2b －4ac ≥0；②若b ＞a +c ，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根；③若b =2a +3c ，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根； ④若方程20ax bx c ++=有两个不等的实数根，则方程2x +bx +ac =0也一定有两个不等的实数根；⑤若二次三项式2ax bx c ++是完全平方式，则方程20ax bx c ++=必有两相等实根；其中不正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．0个
【练】对于一元二次方程2
0ax bx c ++=（a ≠0，a ，b ，c 为常数），下列说法：
①方程的解为x = 242b b ac
a
-±-②若b=a+c ，则方程必有一根为x=-1
③若b=2a+
12
c ，则一元二次方程2
0ax bx c ++=必有一根为-2； ④若ac ＜0，则方程2
0cx bx a ++=有两个不等实数根；
⑤若b 2－4ac=0，则方程2
0cx bx a ++=有两个相等实数根； 其中正确结论有（ ）个．
A ．5个
B ．4个
C ．3个
D ．2个
【家庭作业】 1．函数9-=
x y 中自变量x 的取值范围是（ ）
A ．x > 0
B ．x ≥0
C ．x >9
D ．x ≥9 2.下列 属于最简二次根式的是（ ）
A .8
B y x 2
C .
3
1 D .22y x + 3.下列二次根式，与a 是同类二次根式的是( ） (A )
a 2 (B ) 23a (C ) 3a (D ) 4a
4.观察下列各式： (1)111233+
=；112344+=；113455
+=;.....;请你将发现的规律用含自然数n (n ≥1)的等式表示出来_______________. (2)
2211111236+
+=; 22111113412++=; 22111
114520
++=;...；请你将发现的规律用含自然数n (n ≥1)的等式表示出来_______________. 5计算 （1）2
10515y x
x xy x y
?÷ （2）2225
4263355a b x a b x a b ---?÷+
(3) 357213712484a a a a a a
+-- (4)
424
14144
481133x xy x xy x x
--+
6. 用适当的方法解下列方程
（1）2(2)5x += （2）2810x x -+= （3）x 2－2
x ＋＝0
（4）2
2)21()3(x x -=+ （5）31022=-x x （6）0432=-+x x
二次根式教案第一课时 【篇一：二次根式第一课时教案】 16.1 二次根式（一） 骆诗龙 学习目标：1、知道什么叫二次根式，理解被开方数是非负数； 2、掌握二次根式在实数范围内有、无意义的条件。 学习重点：二次根式的概念 学习难点：确定二次根式中字母的取值范围． 学习过程 一、引入新课： 提问：（1）、3 的算术平方根是多少？ （2）、面积为 a 的正方形的边长是多少？ （3）、直角三角形的两直角边是 1 和2，则斜边是多少？ 大家很容易知道答案分别是、 a 和，像这样的式子就是我们本章要 学习的二次根式。今天我们先来认识一下什么是二次根式。 二、展示目标，自主学习： 自学指导认真阅读课本第 2 页——3 页内容，完成下列任务： 1、用带有根号的式子完成第 2 页“思考”填空，看看写出的结果有什 么特点。 2、开平方时，被开方数只能是和，为什么？ 3、一般的，我们把形如（）的式子叫做二次根式，叫做二次根号。 4、结合例 1 回答： 二次根式在实数范围内有意义的条件是。 二次根式在实数范围内无意义的条件是。 5 、完成第 3 页的“思考”和练习并和同伴互相找毛病。（11 分钟） 三、检测反馈 1、师生共同解决“自学指导”中的问题。 2、找同学演板 3 页练习1、2. 四、课堂小结： 本节课你有哪些收获？ （1）什么叫二次根式？ （2）二次根式在实数范围内有、无意义的条件是什么？ 五、布置作业： 1、正式作业：课本第 5 页习题第1 题
外延伸 1．下列式子一定是二次根式的是（ ） a ．-x-2 b ．x c ．x2+2 d ．x2-2 2．在 a ，a2，4，x+2 ，2，x2-1 中，一定是二次根式的有： 。 3．若2二次根m ） a ．m ≤ 2b ．m ＜2c ．m ≥ 2 d ．m ＞2 4 x 是 ______________________ 。 5．当x ______，式子 x-3+1 -x 。 6．求使下列各式的字母： （1）x-4（2）m2+4 （3）- （4） 1 x-x2 （5）32x+1 （6）x-1 2x+1 【篇二： 16.1 二次根式时教案】 数学教案 序号： 1 ： 16.1 二次根式（型：执桂琴 ： 月 日： 教程 16.1 二次根式二次根： 课后反思： 【篇三：二次根式时教案】 26.1 二次根式（第 一、教与技能 1、了解二次根式的概念； 2、掌握二次根式中被开方数和二次根 式 . 过程与方法 使学生理解二次根式被开方数的重要性 度观 培养学生根据题的能力二、点 重 点 1、二次根式的概念； 2、二次根式的字论 . 确定二次根式中字 母。
第一讲 实数与二次根式及其运算 时间：45分钟 共35题 答对____题 命题点1 实数的相关概念 1. －23 的相反数是( ) A. －23 B. 23 C. －32 D. 32 2.15 的倒数是( ) A. 5 B. －5 C. 15 D. －15 3.－3的绝对值是( ) A. 3 B. －3 C. 13 D. －13 4.－12 的倒数的相反数等于( ) A. －2 B. 12 C. －12 D. 2 5. 四个数－3.14，0，1，2中为负数的是( ) A. －3.14 B. 0 C. 1 D. 2 6. 陆地上最高处是珠穆朗玛峰顶，高出海平面8848 m ，记为＋8848 m ；陆地上最低处是地处亚洲西部的死海，低于海平面约415 m ，记为( ) A. ＋415 m B. －415 m C. ±415 m D. －8848 m 7. 下列实数中，是有理数的为( ) A. 2 B. 34 C. π D. 0 8. 下列实数中，为无理数的是( ) A. 0.2 B. 12 C. 2 D. －5 9.9的平方根是( ) A. ±3 B. ±13 C. 3 D. －3 10. 4的算术平方根是________． 11. －64的立方根是________． 命题点2 科学记数法 12. 截止到2015年6月1日，北京市已建成34个地下调蓄设施，蓄水能力达到140000立方米．将140000用科学记数法表示应为( ) A. 14×104 B. 1.4×105 C. 1.4×106 D. 0.14×106 13. 今年5月，在成都举行的世界机场城市大会上，成都新机场的规划蓝图首次亮相．新机场建成后，成都将成为继北京、上海之后，国内第三个拥有双机场的城市．按照远期规划，新机场将建的4个航站楼的总面积约为126万平方米．用科学记数法表示126万为( ) A. 126×104 B. 1.26×105 C. 1.26×106 D. 1.26×107 14. 据统计，2014年我国高新技术产品出口总额达40570亿元．将数据40570亿用科学
21．1 二次根式第一课时 教学内容 二次根式的概念及其使用 教学目标 理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目． 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键 1．重点：形如（a≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2．难点与关键：利用“ （a≥0）”解决具体问题． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们独立完成下列三个问题： 问题1：已知反比例函数y= ，那么它的图象在第一象限横、?纵坐标相等的点的坐标是___________． 问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________． 问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________． 老师点评： 问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以x= ，所以所求点的坐标（，）． 问题2：由勾股定理得AB= 问题3：由方差的概念得S= .
二、探索新知 很明显、、，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．所以，一般地，我们把形如（a≥0）?的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号． （学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0，有意义吗？ 老师点评：（略） 例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x>0）、、、- 、、（x≥0，y ≥0）． 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：、（x>0）、、- 、（x≥0，y≥0）；不是二次根式的有：、、、．例2．当x是多少时，在实数范围内有意义？ 分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，? 才能有意义． 解：由3x-1≥0，得：x≥ 当x≥ 时，在实数范围内有意义． 三、巩固练习 教材P练习1、2、3． 四、应用拓展 例3．当x是多少时，+ 在实数范围内有意义？ 分析：要使+ 在实数范围内有意义，必须同时满足中的≥0和中的x+1≠0．
八年级上学期数学第一章 二次根式 1.3二次根式的运算（1） 一、回顾知识 导入新课 1、计算： (1) = ，= ∴ (2) = , = ∴由此你能得出两个二次根式相乘或相除的法则吗？请你用字母表示. 例1 计算： （1）322? （2） 550 （3）61925÷ （4）2)0,0(324162≥≥?y x xy xy 跟踪练习：计算： （1）61211÷ （2）6 72 （3）2)0,0(6632 b a a ab ? 例2 计算： （1）-9215125.225? （2）5 232232?÷ 跟踪练习：计算： （1）)7223()563(212-?÷； （2）-2)0,0(543362522 b x b b a b a x x b a -÷+?-
2、最简二次根式的两个条件： （1） （2） 三、当堂检测 自我评价 1、下列等式中，成立的是（ ） A. = B. = C. = D. = 2的结果是（ ） A. 3- B. C. D. 3- 3 ） A. B. C. 2 D. 4、（2013年佛山市）化简)12(2-÷的结果是( ) A ．122- B ．22- C ．21- D ．22+ 5、计算：27 1331322÷?的结果是（ ） A 、33 1 B 、231 C 、26 D 、62 6、比较大小：，32 612 8、计算：(1 (2
( 3 （4）)104 3(53544-÷? 3、 将1按如图所示的方式排列. A.1 B.2 C.
4、已知1a a +=1a a -的值为（ ） A ．± B ．8 C ． D ．6 8、探究过程：观察下列各式及其验证过程． （1） 验证：= = （2） 验证： = 同理可得：==，…… 通过上述探究你能猜测出：（a>0）,并验证你的结论．
22．2 二次根式的乘除 第2课时 教学内容 =a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简． 教学目标 a≥0，b>0a≥0，b>0）及利用它们进行运算． 利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简． 教学重难点关键 1a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算 和化简． 2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定． 教学方法三疑三探 教学过程 一、设疑自探——解疑合探 自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题： 1．填空 （1=____；（2=_____； （3=_____；（4=________． 2．利用计算器计算填空: ，（2，（3，（4=_____． （1 ；。 每组推荐一名学生上台阐述运算结果．（老师点评） 刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们进行合探：二次根式的除法规定： 一般地，对二次根式的除法规定： 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．
合探1．计算：（1 （2（3（4 分析：上面4 a ≥0，b>0）便可直接得出答案． 合探2．化简： （1（2 （3 （4 a ≥0，b>0）就可以达到化简之目的． 三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！ 四、应用拓展 =，且x 为偶数，求（1+x 的值． 分析：a ≥0，b>0时才能成立． 因此得到9-x ≥0且x-6>0，即6
秦皇岛市数学八年级下册：第 1 讲 二次根式
姓名:________
班级:________
成绩:________
一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)
1. （2 分） (2020 八下·广州期中) 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A.
B.
C. D. 2. （2 分） 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C.
D.
3. （2 分） (2019 八下·随县期末) 要使式子
有意义，则 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
4. （2 分） (2018 九上·安溪期中) 下列计算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
5. （2 分） (2018 八上·金堂期中) 若式子
在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ）
A . x＜2
B . x＞2
C . x≤2
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D . x≥2 6. （2 分） 若关于 x 的一元二次方程（k-1）x2+ x+2=0 有实数根，则 k 应满足（ ）
A . k≤
B . k≤ 且 k≠1
C . k≤ 且 k≥0
D . 0≤k≤ 且 k≠1 7. （2 分） 下列五个等式中一定成立的有（ ）
①
；②
；③
；④a0=1；⑤
．
A . 1个
B . 2个
C . 3个
D . 4个
8. （2 分） 已知 a = ， 则 a- =（ ）
A.
B.-
C.
D.
9. （2 分） 下列根式中，与 是同类二次根式的是
A.
B.
C.
D.
10. （2 分） 若 A.0 B.1 C . -1
，则
的值为： （ ）
第2页共7页
第二章 实数 7．二次根式（第1课时） 一、学情分析 七年级上学期已学习了有理数的加、减、乘、除、乘方运算，本学期又学习了有理数的平方根、立方根，认识了实数．这些都为本课时学习二次根式的运算公式提供了知识基础．当然，毕竟是一个新的运算，学生有一个熟悉的过程，运算的熟练程度尚有一定的差距，在本节课及后两节课的学习中，应针对学生的基础情况，控制上课速度和题目的难度． 二、教材分析 本节分为三个课时。第一课时，认识二次根式和最简二次根式的概念，探索二次根式的性质，并能利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式的形式；第二课时，基于二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算；第三课时，进一步进行二次根式的运算，发展学生的运算技能，并关注解决问题方式的多样化，提高学生运用法则的灵活性和解决问题的能力． 为此，确定本节课教学目标是： 1.认识二次根式和最简二次根式的概念. 2.探索二次根式的性质． 3.利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式． 三、教学设计 本节课设计了六个教学环节：第一环节：明晰概念；第二环节：探究性质； 第三环节：知识巩固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时小结； 第一环节：明晰概念 问题1 ：5，11，2.7，121 49，))((b c b c -+（其中b=24,c=25），上述式子有什么共同特征？ 答：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数。 介绍二次根式的概念。一般地，式子)0(≥a a 叫做二次根式。a 叫做被开方数．强调条件：0≥a ． 问题2：二次根式怎样进行运算呢？ 答：这是我们本节课要解决的新问题． 意图：通过问题，回顾旧知，为导出新知打好基础． 第二环节：探究性质
二次根式的知识点汇总 知识点一： 二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是 为二次根式的前提条件，如 ， ， 等是二次根 式，而 ， 等都不是二次根式。 例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1 x 、x （x>0）、0、42、-2、 1 x y +、x y +（x ≥0，y?≥0）． 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0． 知识点二：取值范围 1、 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时， 有意义，是二次根式，所 以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2、 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a ﹤0时，没有意义。 例2．当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？ 例3．当x 是多少时，23x ++1 1 x +在实数范围内有意义？ 知识点三：二次根式 （ ）的非负性 （ ）表示a 的算术平方根，也就是说， （ ）是一个非负数，即 0（）。 注：因为二次根式（）表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是 0，所以非负数（ ）的算术平方根是非负数，即 0（ ），这个性质也就是非负数的算术平 方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0； 若 ，则a=0,b=0；若 ，则a=0,b=0。
例4(1)已知y=2x -+2x -+5，求 x y 的值．(2)若1a ++1b -=0，求a 2004+b 2004的值 知识点四：二次根式（）的性质 （） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过 来应用：若，则，如：，. 例1 计算 1．（ 32）2 2．（35）2 3．（56 ）2 4．（7）2 例2在实数范围内分解下列因式: （1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x 2-3 知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数，若是正数或0，则等于a 本身， 即；若a 是负数，则等于a 的相反数-a,即； 2、中的a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，一定有意义； 3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。 例1 化简 （19 （22(4)- （325 （42(3)-例2 填空：当a ≥02a ；当a<02a ，?并根据这一性质回答下列问题．
第一讲二次根式专题复习 一、知识要点 1、二次根式的概念：一般地，形如 a 的式子叫做二次根式. 注意：这里被开方数 a 可以是数，也可以是单项式，多项式，分式等代数式. 2 、二次根式 a 有意义：，二次根式无意义：. 3、二次根式的性质： ( 1) a . ( 2 ) a = .( 3 ) a2. 4 、乘法法则： a. b ab (a 0,b 0), 即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 要点诠释： ( 1) 在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中 a 、 b 都必须是非负数；( 在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数). ( 2 ) 该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：a1 a2 a3 a n a1 a2 a3 a n (a1 0,a2 0, a n 0); 若二次根式相乘的结果能写成a2的形式，则应化简，如16 4 . 5、除法法则：a b a( a≥0，b>0)．即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除. ( 1 )在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数 a 、 b 的取值范围应特别注意， a 0， b 0，因为b在分 母上，故 b 不能为0. ( 2 ) 运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号. 6 、最简二次根式 概念：①被开方数不含. ②被开方数中不含的二次根式．要点诠释： ( 1 )被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； ( 2 )根号下不含分母，分母中不含根号. 两者必须同时满足. 分母有理化：把分母中的根号化去的方法叫做分母有理化. 分母有理化的依据是分式的基本性质和二次根式的性质公式( a)2a(a 0) 有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就称这两个代数式互为有理化因式。一般常见的互为有理化因式有如下几种类型： ① m a 与；② a b 与；③ a b 与；④ m a n b 与. 7 、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的相同, 这些二次根式就称为同类二次根式. 说明：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． 22 8、互为有理化因式：互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式(a b)(a b) a2b2，同时它
二次根式的乘除（第一课时）学案 第一课时 教学内容 a≥0，b≥0〕〔a≥0，b≥0〕及其运用． 教学目标 〔a≥0，b≥0〕〔a≥0，b≥0〕，并利用它 们进行运算和化简 教学过程 一、复习引入 1．填空 〔1=______； 〔2=_______． 〔3． 参考上面的结果，用〝>、<或＝〞填空． ×_____，×_____，× 2．利用运算器运算填空 〔1，〔2 〔3〔4， 〔5． 二、探究新知 〔学生活动〕让3、4个同学上台总结规律． 老师点评：〔1〕被开方数差不多上正数； 〔2〕两个二次根式的乘除等于一个二次根式，?同时把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数． 一样地，对二次根式的乘法规定为 反过来: 例1．运算 〔1〔2〔3〔4
分析：a≥0，b≥0〕运算即可． 解：〔1 〔2 〔3 〔4 例2 化简 〔1〔2〔3 〔4〔5 〔a≥0，b≥0〕直截了当化简即可． 解：〔1×4=12 〔2×9=36 〔3×10=90 〔4 〔5 三、巩固练习 〔1〕运算〔学生练习，老师点评〕 ①②×2 (2) 化简:; 教材P11练习全部 四、应用拓展 例3．判定以下各式是否正确，不正确的请予以改正： 〔1 〔2=4
解：〔1〕不正确． ×3=6 〔2〕不正确． 五、归纳小结 本节课应把握：〔1＝〔a≥0，b≥0〕〔a≥0，b ≥0〕及其运用． 六、布置作业 1．课本P151，4，5，6．〔1〕〔2〕． 2．选用课时作业设计． 第一课时作业设计 一、选择题 1，?那么此直角三角形斜边长是〔〕． A．cm B．C．9cm D．27cm 2．化简〕． A B． D． 311 x-=〕 A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1 4．以下各等式成立的是〔〕． A．． C．× D．× 二、填空题 1． 2．自由落体的公式为S=1 2 gt2〔g为重力加速度，它的值为10m/s2〕，假设物体下落的 高度为720m，那么下落的时刻是_________． 三、综合提高题 1．一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，?现将一部分水例入一个底面为
a +a=0, 则有 ( b ) ，则 a=b ．若 a =b ，则 a 是 b 的平方根 4、若 |1 －x| － x －8x+16 ＝2x －5，则 x 的取值范围是（ －(x+a) ?(x+b) 等于（ 第一章 二次根式测试卷 姓名 一、选择题 （每题 2.5 分，共 30 分） 班级 得分 1、若实数 a 满足 2 ) A ． a>0 B ． a ≥ 0 C ．a<0 D ．a ≤0 2、下列命题中，正确的是（ ） A ．若 a>b ，则 a> b B ．若 a >a ，则 a>0 C ．若 |a|=( 2 D 2 3、使 x ＋ 1 x-2 有意义的 x 的取值范围是（ ） A ． x ≥ 0 B ．x ≠2 C ．x>2 D ．x ≥0 且 x ≠2 2 ） A ． x>1 B ．x<4 C ．1≤x ≤4 D ．以上都不对 5、下列各式正确的是（ ） A ． 2 ＋ 3 ＝ 5 B ． ( －4)( － 9) ＝ －4 ? －9 ＝( －2) ?( －3) ＝6 C ． (2 10 － 5 ) ÷ 5＝2 2 － 1 D ．－ 3 2 ＝－ 18 6、如果 a第一讲 二次根式的应用
地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁） 第一讲 二次根式的应用 【知识回顾】 1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 2 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． ab =a ·b （a≥0，b≥0）； b b a a =（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 【典型例题】 1、概念与性质 例1下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153 x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）． a （a ＞0） a -（a ＜0） 0 （a =0）；
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校
二次根式（第一课时）教学设计 执教者-------陈利华（株洲市十六中） 教学内容：湘教版八年级数学下册第4.1.1第一课时 一、教学目标 （1）知识目标：使学生了解二次根式的概念，掌握二次根式的性质。理解根号内字母的取值范围，学会根据性质化简二次根式。 （2）能力目标：让学生经过探索二次根式的性质的过程，培养学生由特殊到一般的思维能力，掌握公式的一般推导方法。 （3）情感目标：通过合作学习，给学生提供探索和发现的机会和欣赏、交流的空间，引导学生自主学习，激发学生学习数学的兴趣，使全体学生积极参与并体验成功的喜悦。 二、教学重点 1a≥0）的内涵．2a≥0）是一个非负数 3、2＝a（a≥0）4a ?及其运用． 三、教学难点 a≥0）是一个非负数的理解 1 22＝a的推导及应用。 四、教学设想： 过去老师教，学生被动听。新课改要求教师把学习的主动权交给学生，让学生自主探究、合作交流；教师只是引导、点拨，这样的课堂教学，才能够培养学生的钻研探讨能力，同时也提高了学生的语言表达能力。课堂上学生展现出的是自己的思维火花、创新能
力。让学生变“要我学”为“我要学”，“我乐学”。只有这样学生才 有可能成为课堂真正的主人。 五、教学环节分析： 本节课由两个环节组成:1、先由学生提前进行课前预习。2、利 用学案，学生分小组在课堂上进行展示。教师引导学生突破本节课 的重点、难点。 六、教学过程： （一）第一学习小组展示学案里的复习回顾的内容 问题1：什么是4的平方根?4的平方根有哪些? 2的算术平方根是什么？ 问题2：如图，在Rt △ABC 中，AB=3，BC=1，∠C=90°， 那么AC 边的长是__________． 问题3：正方形的面积为S,则它的边长为_____. 归纳出:每一个正实数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根 是0，负数没有平方根。 （二）探索新知： 知识点一: 二次根式的定义 师：像±25这样的式子，我们就把它称二次根式．什 么是二次根式呢？下面由第二学习小组展示 生1：一般地，a ≥0）?的式子叫做二次根式，称为:“二次根号”,简称为“根号”．根号下的数a 叫做被开方数。 师：二次根式概念里，抓住哪两个关键点？
九年级数学复习4 ---二次根式 一、 知识点 1：二次根式的概念及条件 0a ?≥ 2：二次根式的性质 )a b -------= ,)a b --------= ;2()a a ---= ()()a a a a ----------?=?-? 3：二次根式的化简 （1）最简二次根式满足条件： （2）根式的化简结果要化成最简二次根式 化简下列各式： ;;;.------------=-==-= ;;((a b a b ----------=-= .(b a -----= 二、基础练习: （1）16的平方根是_______，－27的立方根是________，36的算术平方根是_________. （2）化简：24＝________，2)2(-＝_______，312 ＝________，321 -＝________. （3 ） A 、24 B 、12 C 、23 D 、18 （4 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是__________．
（5 ）已知是正整数，则实数n 的最大值为（ ） A ．12 B ．11 C ．8 D ．3 （6）下列根式中属最简二次根式的是（ ） A B C D （7，则与3的大小关系是( ) A ． 8． C ． D ． （8）方程，当时，m 的取值范围是 （9）计算： 。 （10）已知等于（ ）A ． B ． C ． D ． （11）已知mn ﹤0,化简 -----= （12）已知，求x 的范围是 三.例题精讲： 例1.计算：; 例2.计算： 已知x ＝2－1，求x 2＋3x －1的值. n -123a =-a 3a <3a ≤3a >3a ≥0|84|=--+-m y x x 0>y =+-3)23(2a a a -1-04423+-=+x x x x ?÷ ?
2017—2018学年度第二学期阶段性测试题 八年级下册数学（第一章） 出题人： 分数： 注意事项 1. 本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2. 请将密封线内的项目填写清楚。 3. 请在密封线外答题。 一、选择题（每小题3分，共36分） 1 a 的取值范围是（ ） A 、0a ≥ B 、0a ≤ C 、3a ≥ D 、3a ≤ 2、下列各式中一定是二次根式的是（ ） A B C 、12+x D 3 x 应满足的条件是（ ） A. 52x = B. 52x < C. x ≥52 D. x ≤52 4、当x=3时，在实数范围内没有意义的是（ ） A. B. C. D. 5得（ ） A. - B. C. 18 D. 6 6 = ） A. 1a ≥- B. 1a ≤ C. 1<1a -≤ D. 11a -≤≤ 7、下列各式计算正确的是（ ）
A. = B. = C. = D. = 8、若 A = ） A. 23a + B. 22(3)a + C. 22(9)a + D. 29a + 9、已知xy ＞0，化简二次根式 ） A. B. C. D. 10、下列各式中，一定能成立的是（ ） A ．3392-?+=-x x x B ．22)(a a = C ．1122-=+-x x x D ．22)5.2()5.2(=- 11、化简)22(28+-得（ ） A ．—2 B ．22- C ．2 D ． 224- 12、如果数轴上表示a 、b 两个数的点都在原点的左侧，且a 在b 的左侧，则的值为2)(b a b a ++-（ ） A ．b 2- B ．b 2 C ．a 2 D ．a 2- 二、填空题。（每小题3分，共24分） 13、=-2)3.0( ；=-2)52( 。 14、二次根式 3 1-x 有意义的条件是 。 15、若m<0，则332||m m m ++= 。 16、已知233x x +=－x 3+x ，则x 的取值范围是 。 17、若12+a 与34-a 的被开方数相同，则a = 。 18、=?y xy 82 ，=?2712 。
16.1二次根式 第2课时 教学目标 【知识与技能】 ≥0）与（a ≥0），并 理解并掌握二次根式的性质，正确区分=a （a 利用它们进行化简和计算. 【过程与方法】在探索二次根式性质的学习活动中，进一步增强学生的参与意识，培养学生的计算能力和解决问题的能力. 【情感态度】通过创设问题情境，激发学生学习兴趣，培养学生主动探究意识和创新精神，形成良好的心理品质，促进身心健康发展. 教学重难点 【教学重点】 2 =a （a ≥0）（a ≥0）及其应用. 【教学难点】用探究的方法探索 2 =a （a ≥0（a ≥0）的结论. 课前准备 无 教学过程 一、情境导入,初步认识 试一试：请根据算术平方根填空， 猜一猜：通过对上述问题的思考，你能猜想出 2 （a ≥0）的结论是什么？说说你的 理由. 【教学说明】让学生通过具体实例所展示的特征，猜想出结果，然后再利用算术平方根的意义对所猜测结论进行分析，由感性认识到理性思考，培养学生利用代数语言进行推理的能力. 二、思考探究，获取新知 在学生相互交流的基础上可归纳出： 2 =a （a ≥0）. 进一步地，引导学生探究新的问题.
探究 （1）填空： （2）通过（1a≥0）的化简结果吗？说说你的理由. 【教学说明】教师应尽力引导学生积极主动进行探究思考，让学生经历知识的发现与完善的过程，深化对所学知识的理解和记忆，最后师生共同完成对知识的归纳总结. （a≥0）. 最后，教师给出代数式的概念.代数式： 用运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子称为代数式.（代数式的定义只要求学生了解就行，不必深究.） 三、典例精析，掌握新知 例1 计算： （1）2；（2）（ 2
《二次根式》教学设计 教学目标： 1.了解二次根式的有关概念。 2.能熟练由二次根式确定被开方数中字母的取值范围。 教学重点、难点 二次根式的定义及确定被开方数字母的取值范围。 教学过程 一、复习导入 1.平方根与算术平方根的意义 4的平方根是（），它的算术平方根是（）； 0的平方根（），它的算术平方根（）； -16的平方根是（） 2.用带根号的式子填空（题卡第一组题目） ⑴直角三角形的两直角边分别是7cm与4cm，它的斜边是（）； ⑵面积为S的正方形的边长是（）； ⑶面积为6.28cm2的圆形喷水池，它的半径是（）； ⑷一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单 位：秒）与开始落下时的高度h（单位：m）满足关系h=5t2，如果用含h的式子表示t，则t=（）。 （答案：） 二、探究新知 1.探究二次根式的定义
上面这些式子有什么共同点？ 学生通过观察、比较，得出结论：都是一些正数的算术平方根？那么，什么样的数有算术平方根？（非负数） 二次根式的定义： （1）语言描述：非负数的算术平方根叫做二次根式。（2）数学符号表示 一般地，形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“” 叫二次根号。上面的式子叫做二次根号a，也可简读做根a. 小结：判断二次根式的两个条件：一是含有二次根号；二是被开方数（或式）是非负数。 2.巩固新知：判断下列各式是不是二次根式？ 学生看题卡：第二组 3.（题卡第三组题目）二次根式意义的延伸：探究求二次根 式中字母取值范围的方法 1）例1，是二次根式吗？当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义。 不一定是二次根式，根据二次根式的意义，只有x-2≥0时，才是二次根式。这样，求根式中字母的取值范围，就转化成解不等式的问题。 x-2≥0, x≥2
二次根式练习 一、基础知识： 1、二次根式的概念： 2、二次根式的性质： 1） 2） 3） 4） 注意：下列式子什么时候有意义 a 2a - a - a a -+ 2a 巩固： 1：设x 是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？ 1）12-x ； 2）x -2； 3）x 1 ； 4）21x + 2：求下列二次根式的值： 1）2)3(π- 2）122+-x x ，其中3-=x . 3：设a 、b 、c 分别是三角形三边的长，化简：22)()(a c b c b a --++- 4：当x +1 1 x +在实数范围内有意义？ 5：(1)已知，求x y 的值． (2) ，求a 2007+b 2008 的值． （3）已知a 、b =b+4，求a 、b 的值．
二、最简二次根式 定义： 化简： 巩固： 1：判断下列二次根式是不是最简二次根式： 1） 3 5a 2）a 42 3）324x 4）)1()12(32-≥++a a a 2：将下列二次根式化成最简二次根式： 1）)0(423>y y x 2）)0())((22≥≥+-b a b a b a 3）)0(>>-+n m n m n m 3. 把a 8和a 21化成最简二次根式： a a 228=； a a a 221 21=. 三、同类二次根式： 定义： 合并同类二次根式： 巩固： 1.下列二次根式，那些是同类二次根式： 12， 24， 27 1 ， b a 4， )0(23>a b a ， )0(3>-a ab 2.合并下列各式中的同类二次根式： 1）323 132122++-； 2）xy b xy a xy +-3 课堂巩固1： 一、填空题 1、计算：=?2536× ＝ ，计算：=?6416 . 2、直接写出结果： =8 ， =12 ，=18 ， =20 ， =27 ，=48 ，=32 ， =50 .
二次根式（第一课时）教学设计 执教者-------陈利华（株洲市十六中） 教学内容：湘教版八年级数学下册第4.1.1第一课时 一、教学目标 （1）知识目标：使学生了解二次根式的概念，掌握二次根式的性质。理解根号内字母的取值范围，学会根据性质化简二次根式。 （2）能力目标：让学生经过探索二次根式的性质的过程，培养学生由特殊到一般的思维能力，掌握公式的一般推导方法。 （3）情感目标：通过合作学习，给学生提供探索和发现的机会和欣赏、交流的空间，引导学生自主学习，激发学生学习数学的兴趣，使全体学生积极参与并体验成功的喜悦。 二、教学重点 1a≥0）的内涵．2a≥0）是一个非负数 3、2＝a（a≥0）4a ?及其运用． 三、教学难点 a≥0）是一个非负数的理解 1 22＝a的推导及应用。 四、教学设想： 过去老师教，学生被动听。新课改要求教师把学习的主动权交给学生，让学生自主探究、合作交流；教师只是引导、点拨，这样的课堂教学，才能够培养学生的钻研探讨能力，同时也提高了学生的语言表达能力。课堂上学生展现出的是自己的思维火花、创新能
力。让学生变“要我学”为“我要学”，“我乐学”。只有这样学生才 有可能成为课堂真正的主人。 五、教学环节分析： 本节课由两个环节组成:1、先由学生提前进行课前预习。2、利 用学案，学生分小组在课堂上进行展示。教师引导学生突破本节课 的重点、难点。 六、教学过程： （一）第一学习小组展示学案里的复习回顾的内容 问题1：什么是4的平方根?4的平方根有哪些? 2的算术平方根是什么？ 问题2：如图，在Rt △ABC 中，AB=3，BC=1，∠C=90°， 那么AC 边的长是__________． 问题3：正方形的面积为S,则它的边长为_____. 归纳出:每一个正实数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根 是0，负数没有平方根。 （二）探索新知： 知识点一: 二次根式的定义 师：像±25这样的式子，我们就把它称二次根式．什 么是二次根式呢？下面由第二学习小组展示 生1：一般地，a ≥0）?的式子叫做二次根式，称为:“二次根号”,简称为“根号”．根号下的数a 叫做被开方数。 师：二次根式概念里，抓住哪两个关键点？
知识点一：二次根式的概念 【知识要点】 二次根式的定义：形如 的式子叫二次根式，其中 叫被开方数，只有当 是一个非负数时， 才有意义． 【例2】若式子 13 x -有意义，则x 的取值范围是 ． 举一反三： 1、使代数式 2 21x x -+-有意义的x 的取值范围是 2、如果代数式 mn m 1+ -有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 【例3】若y= 5-x +x -5+2009，则x+y= 解题思路：式子 a （a ≥0），50 ,50x x -≥?? -≥? 5x =，y=2009，则x+y=2014 举一反三： 1、若 11x x ---2 ()x y =+，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 3、当a 取什么值时，代数式211a ++取值最小，并求出这个最小值。 已知a 是5整数部分，b 是 5的小数部分，求1 2 a b + +的值。若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求y x 1 2 + 的值. 知识点二：二次根式的性质 【知识要点】 1. 非负性：是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2. ( )()a a a 20=≥． 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完 全平方的形式： 3. a a a a a a 200==≥-
3、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。 4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。 5、倒数法 6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。 7、作差比较法 在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①0a b a b ->?>；②0a b a b -0，b>0时，则：①1a a b b >?>； ② 1a a b b