数学中考总复习课件：二次根式

第一章 数与式
第6讲 二次根式
【考点梳理】 一、平方根、算术平方根、立方根 1．如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的 平方根 ，记作± a 如果一个正数 的平方等于a, 即 x 2 a,那么这个数 x叫做a的算数平方根， 记作 a 2．平方根有以下性质： ①正数有两个平方根，他们互为 相反数 ； ②0的平方根是0；③负数没有平方根。 3．如果x3=a，那么x叫做a的立方根，记作 3 a 二、二次根式 1．二次根式的有关概念 ⑴ 式子 a (a 0) 叫做二次根式．注意被开方数a只能是 非负数 ⑵ 最简二次根式 被开方数不含 分母 ，被开方数中不含能 开得尽方的因数或因式的二次根式， 叫做最简二次根式． (3) 同类二次根式 化成最简二次根式后，被开方数 相同 的二次根式，叫做同类二次根式．
【答案】：原式
3 2 2 4 3 2 2 1
考点3：二次根式的分母有理化 例4. 计算
2 2 2
2 2 2
的结果是（ ）
思路分析：利用二次根式的除法或分母有理化来解决，
=
2 2
+
2 2
=
2 +1
答案：
2 +1
方法指导：此题主要考察二次根式的除法及其分母有理化的运算， 这里
2 2
2 = ( 2) =
2
2 或者
3 2
2 2

= 2 2 = 2 2 =
2 2
2
2
考点即时练 4.(2013南京)计算
1 的结果是_______ 2
答案：
2
2．二次根式的性质
a 0); ⑴ a 0(
⑵ a 2
a
( a 0);
⑶ a2 a

中考数学复习精品实用课件
第一章 数与式
第2讲 二次根式
课前预习
1．使 x－3有意义的 x 的取值范围是( C )
A．x≤3
B．x＜3
C．x≥3
D．x＞3
2．9 的平方根是( C )
A．3
B．－3
C．3 和－3
D．81
3．25 的算术平方根是( A )
A．5
B．±5
C．－5
D．25
4．8 的立方根等于 2 .
20．化简 2÷( 2－1)的结果是( D )
A．2 2－1
B．2－ 2
C．1－ 2
D．2＋ 2
1、考查二次根式有意义的条件或平方根； 2、考查二次根式非负数的性质； 3、综合二次根式、零指数、负指数、特殊角的 三角函数、绝对值化简等考查运算
(2)二次根式的乘法：逆用公式 ab＝ a· b(a≥0，b≥0)，即得 二次根式的乘法法则：__a_·_b_＝____a_b_(a≥0，b≥0)．
(3)二次根式的除法：逆用公式 ab＝ ab(a≥0，b>0)，即得二 次根式的除法法则：____ab_＝____ba____(a≥0，b>0)．
课堂精讲
C．
x＝0， y＝2
D．
x＝1， y＝1
8．已知 a，b 满足(a－1)2＋ b＋2＝0，则 a＋b＝ －1 .
考点 4：二次根式的化简及运算
9．下列运算正确的是( D )
A. 2＋ 3＝ 5
B． 18＝2 3
C． 2× 3＝ 5
D． 2÷ 12＝2
10．计算( 6＋ 3)( 6－ 3)的结果等于 3 .
3．二次根式的性质 (1)( a)2＝a( a≥0 )．
(2)

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1.写出一个与 2 能合并的二次根式________．（答案不唯一） 2.在数轴上与 3 表示的点的距离最近的整数点所表示的数是________． 3.已知 45n是整数，则满足条件的最小正整数为________． 4.在 3 与 5 两数之间整数共有________个．
1.要使二次根式有意义，字母必须满足的条件是（ ） 2.函数中自变量的取值范围是（ ） 3.下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） 4.下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
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a a a 0,b 0
bb
a a a 0,b 0
bb
二次根式的加减实质：先化简为最简二次根式，然后合并同类二次根式. 先乘方（或开方），再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；能利用运算律或 乘法公式进行运算的，可适当改变运算顺序进行简便运算. 有理数的加法交换律、结合律、乘法交换律、结合律、乘法对加法的分配律，以及多项 式的乘法公式，都适用于二次根式的运算.
5.如图，在数轴上点A和点B之间的整数是________．
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米）有下面的关系：t≈ h .现有一物体A）5 秒多 （B）6 秒多 （C）7 秒多 （D）8 秒多
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视野拓展
2、 飞出地球，遨游太空，是人类的一种理想，可是地 球的引力毕竟太大了，飞机飞得再快，也得回到地面，炮弹 打得再高，也得落向地面，只有当物体的速度达到一定数值 时，才能克服地球引力，围绕地球旋转，这个速度我们叫做
基础演练
3、在 15 ， 1 ， 1 1 ， 40 中最简二次根式的个数是（ 62
A． 1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
4、下列各式正确的是（ ）
A． a2 a B． a2 a
C． a2 a D． a2 a2
基础演练
5、下列运算中，错．误．的是( )
A． 2 3 6
B． 1 2 22
二次根式复习课
考试要求
• 了解二次根式的概念及其加、减、乘、除 运算法则，会用它们进行有关实数的简单 四则运算（不要求分母有理化）
• 能用有理数估计一个无理数的大致范围。
知识结构
相关概念
二次根式概念 最简二次根式 同类二次根式
二
a0(a0)
次 根
二次根式的性质
a2 a
式
( a)2a(a0)
二次根式的运算
二次根式乘除法则
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知识巩固
最简二次根式
①被开方数的因数是整数，因式是整式。 ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 ③分母中不含有二次根式。
30 2.5x 50 2x(xy)2 x2 y2
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知识巩固
同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，
如果被开方数相同，这几个二次根式就叫 做同类二次根式

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2．[2020 内蒙古呼和浩特，3,3 分]下列运算正确的是( ) A. 72· 2188＝ 27828＝±12 B．(ab2)3＝ab5 C.x－y＋x4－xyyx＋y＋2xyy－－x2y2＝(x＋y)2 D.83acb2 ÷－41a5ba2c＝－52ac 解析：A. 72· 2188＝ 27828＝ 14＝12，故本选项错误； B．(ab2)3＝a3b6，故本选项错误；
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3．积商平方根的性质 性质 1： ab＝__a_·__b___(a≥0，b≥0)；
a 性质 2： ab＝____b____(a≥0，b>0)． 4．加减运算 二次根式加减时，先将各二次根式化成__最__简__二_次__根__式_____，再将被开方数相同的二次 根式进行合并．
①同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加；
②异号两数相加：绝对值相等时和为 0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号， 并用较大数的绝对值__减__去____较小数的绝对值；
③一个数同___0_____相加，仍得这个数．
(2)减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
3乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘.任何数与0相乘，积仍为0.
计数单位有：1 亿＝108，1 万＝104 等．
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[练习学知] 把下列各数用科学记数法表示出来．
(1)960 000＝_9_._6×__1_0_5_； (2)0.000 53＝_5_._3_×__1_0_－；4 (3)3 700 万＝_3_.7_×__1_0_7_； (4)212 亿＝_2_._1_2_×__1_0.10 考点 4 近似数和精确度 1．近似数：把一个数四舍五入以后得到的数． 2．精确度：一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．如： 2.019 精确到 0.1 是 2.0，精确到 0.01 是__2_._0_2___．

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最简二次根式3】(2019·河池)下列式子中，为最简二次根式的 是( B )
1 A. 2
B． 2
C. 4
D． 12
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10.(2020·上海)下列二次根式中，与 3 是同类二 次根式的是( C )
A． 6
B． 9
C． 12
D． 18
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5.(2020·济宁)下列各式是最简二次根式 的是( A )
A． 13
B． 12
C． a3
D．
5 3
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5.二次根式的性质与运算
(1)双重非负性： a ≥0 且 a≥0；
(2)( a )2＝a(a≥0)， a2 ＝|a| (a 取全体实数)；
(3) ab ＝ a · b (a≥0，b≥0)；
(4)
a b
＝
a b
(a≥0，b>0).
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6. (1)计算：
52 ＝___5___；( 5 )2＝___5___；
（－5）2 ＝__5____．
(2)计算：
1 2
×
8 ＝___2____．
(3)计算： 63 ÷ 7 ＝____3____．
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考点精炼
二次根式有意义的条件(7 年 6 考)
【例 1】(2020·武汉)式子 x－2 在实数范围内有
意义，则 x 的取值范围是( D )
A．x≥0
B．x≤2
C．x≥－2
D．x≥2
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7.(2020·常德)若代数式
2 在实数范围内有 2x－6
意义，则 x 的取值范围是___x_＞_3___．

皖考解读 考点聚焦 皖考探究 当堂检测
数的开方与二次根式
考点2 二次根式的有关概念
二次根式 形如 a(________) a≥0 的式子，叫做二次根式. a中的 的概念 a 是非负数，其结果也是非负数. 同时满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次 最简二次 根式： 根式 (1)被开方数的因数是整数，因式是整式； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
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数的开方与二次根式
(1)此类分式与二次根式综合计算与化简问题， 一般先化简再 代入求值； (2)最后的结果要化为分母中没有根号的数或者是最简二次 根式．
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数的开方与二次根式 探究四 二次根式的大小比较
命题角度： 1．二次根式的大小比较方法； 2．利用计算器进行二次根式的大小比较．
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数的开方与二次根式
考点3 二次根式的性质
2 1.( a ) ＝a(a________) ； ≥0 二 次 a （a≥0）， 2 根 2. a ＝|a|＝ －a （a<0）； 式 的 3. ab＝ a· b(a________ ，b________) ； ≥0 ≥0 性 b b 质 4. ＝ (a________ ，b________). ≥0 ＞ 0 a a
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数的开方与二次根式
x－2 3 例 4 [2013· 苏州] 先化简，再求值： ÷(x＋1－ )， x－1 x－1 其中 x＝ 3－2.
x－2 x2－1－3 3 x－2 x ＋ 1 － 原式＝ ÷ ＝x－1÷ x－1 x － 1 x－1

课时训练
1. (2007天津非课改 ).已知 a=2,则代数式 天津非课改 已知 则代数式
a+ 2 a− a− a a
的值等于 - 3
( a −b ) 2
2. 若实数 ＜b，则化简 若实数a＜ ， A.a+b B.a-b
的结果是 ( D )
C.-a-b
D.-a+b
3. (2007山东莱芜非课改 ) x3 −x2 =x x−1 成立 则x的取值范 成立,则 的取值范 山东莱芜非课改 x≥1 . 围是 4. 当m≥2时，化简： 4 − 4 m + m 2 = 化简： ≥
5− 5 的整数部分是 2
． 。
3.若 ( x − 2 ) 2 = 2 − x 若
，则的取值范围是 x≤2
4.(2007广东课改 )若代数式 x − 3 有意义，则实数 广东课改 若代数式 有意义， x的取值范围是 ( x≥3 ) 的取值范围是
1 5.(2007广东河池非课改 )化简 2 − 3 =2+ 广东河池非课改 化简
1 1 1 1 =2 , 2+ =3 , 3 3 4 4
请你将猜想到的规律用含自然数
n(n≥1)的代数式表示出来： 的代数式表示出来： 的代数式表示出来
1 1 n+ = ( n +1 ) n +2 n +2
Hale Waihona Puke 要点、 要点、考点聚焦1.二次根式的定义 1.二次根式的定义 (1)式子 a≥0)叫做二次根式 叫做二次根式. (1)式子 a (a≥0)叫做二次根式. (2)二次根式 被开方数必须非负， a≥0， (2)二次根式 a 中，被开方数必须非负，即a≥0， 据此可以确定被开方数为非负数. 据此可以确定被开方数为非负数. (3)公式 公式( (3)公式( a )2=a(a≥0). 2.积的算术平方根 积的算术平方根， (1)积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的 积. a≥0 b≥0 (2)公式 ab = a • b (a≥0，b≥0).

考点2 二次根式的运算
【例2】 （1）（2012·黔东南州）下列等式一定成 立的是（ B ）
A. 9 4 5
B. 5 3 15
C. 9 3
D. 92 9
考点2 二次根式的运算
(2)计算： 24－ 23＋ 23－2
1 6
解 原式＝2 6－12 6＋13 6－13 6＝32 6.
(3)(2012·南通) 计算： 48÷ 3－ 21× 12＋ 24 解 原式＝ 16－ 6＋2 6＝4＋ 6.
求值问题“五招”
(1)巧用乘法公式；(2)巧用平方；(3)巧用配方； (4)巧用换元；(5)巧用倒数．
1.（2013·嘉兴）二次根式中 x 3 ，x的取值范围是 x≥3
2.（2011·杭州）下列各式中，正确的是（ B ）
A. 32 3
B. 32 3
C. 32 3
D. 32 3
3.（2012·金华）一个正方形的面积为15，估计它的边
(2)若几个非负数的和为零，则每一个非负数都等于零；
两个防范
(1)求 a2时，一定要注意确定 a 的大小，应注意利用等式 a2＝|a|，当问题中已知条件不能直接判定 a 的大小时就要分 类讨论；
(2)一般情况下，我们解题时，总会习惯地把重点放在探 求思路和计算结果上，而忽视了一些不太重要、不直接影响求 解过程的附加条件．要特别注意，问题中的条件没有主次之分， 都必须认真对待．
请完成考点跟踪突破
（3）（2012·安顺）计算 12 3 3 3 .
考点3 二次根式混合运算
【例 3】 计算：(1)(3 2－1)(1＋3 2)－(2 2－1)2； 解 原式＝(3 2)2－1－[(2 2)2－4 2＋1] ＝18－1－8＋4 2－1＝8＋4 2.

2 问: ( 1) 请仿照例中的分类讨论的方法, 分析二次根式 a 的各种展开的情况;
2 ( 2) 猜想 a 与| a| 的大小关系.
2 【思路点拨】 (1)仿照例题的文字描述分类讨论 a 的三种情况.
2 (2)比较 a 与| a| 的三种情况, 得出结论.
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
8. (2012·厦门九上质检)计算: 2 × ( 3+ 2) -2 6 . 【解析】 原式= 6 +2-2 6 =2- 6 .
x 1 2 6 9 x 9. (2011·福州九上质检)计算: 3 + 4 -2x x .
第 四 讲 第 五 讲 第 六 讲
【解析】
b 3. 二次根式的除法: a =
( a≥0, b>0) .
➡特别提醒: 二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式. 【答案】 一、1. a ( a≥0) 2. 因数或因式 3. 被开方数
b 4. a
a 3. b
二、1. a≥0 2. -a 3. a · b
三、1. 最简二次根式 同类
2. ab
复习目标
第 四 讲 第 五 讲 第 六 讲
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
所以综合起来一个数的绝对值要分三种情况, 即:
a | a | 0 a
(当a 0) (当a 0) (当a 0)
.
第 四 讲 第 五 讲 第 六 讲
这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想.
复习目标
知识回顾
重点解析
(a 1) 2