专题一含绝对值不等式的解法(含答案)
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绝对值不等式一、绝对值三角不等式1.定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.2.定理2:如果a,b,c是实数,则|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.二、绝对值不等式的解法(1)|a x+b|≤c⇔-c≤a x+b≤c ;(2)|a x+b|≥c⇔a x+b≥c或a x+b≤-c .3.|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法方法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想.方法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;方法三:通过构造函数,利用函数的图像求解,体现了函数与方程的思想.二、绝对值不等式的解法(1)|a x+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c ;(2)|a x+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c .3.|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法方法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想.方法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;方法三:通过构造函数,利用函数的图像求解,体现了函数与方程的思想.1.不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,右侧“=”成立的条件是ab≥0,左侧“=”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|;不等式|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|,右侧“=”成立的条件是ab≤0,左侧“=”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.2.|x-a|+|x-b|≥c表示到数轴上点A(a),B(b)距离之和大于或等于c的所有点,只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置,就可以得出不等式的解.例4:若不等式|x+1|+|x-2|≥a对任意x∈R恒成立,则a的取值范围是________.解:由于|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,所以只需a≤3即可.若本题条件变为“∃x∈R使不等式|x+1|+|x-2|<a成立为假命题”,求a的范围.解:由条件知其等价命题为对∀x∈R,|x+1|+|x-2|≥a恒成立,故a≤(|x+1|+|x-2|)min,又|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,∴a≤3.例5:不等式log3(|x-4|+|x+5|)>a对于一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是________.解:由绝对值的几何意义知:|x-4|+|x+5|≥9,则log3(|x-4|+|x+5|)≥2所以要使不等式log3(|x-4|+|x+5|)>a对于一切x∈R恒成立,则需a<2.例6:某地街道呈现东——西,南——北向的网络状,相邻街距都为1,两街道相交的点称为格点.若以相互垂直的两条街道为轴建立直角坐标系,现有下述格点(-2,2),(3,1),(3,4),(-2,3),(4,5),(6,6)为报刊零售点,请确定一个格点(除零售点外)________为发行站,使6个零售点沿街道到发行站之间的路程的和最短.解:设格点(x,y)(其中x,y∈Z)为发行站,使6个零售点沿街道到发行站之间的路程的和最短,即使(|x+2|+|y-2|+(|x-3|+|y-1|)+(|x-3|+|y-4|)+(|x+2|+|y-3|)+(|x-4|+|y-5|)+(|x-6|+|y-6|)=[(|x+2|+|x-6|)+(|x+2|+|x-4|)+2|x-3|]+[|y-1|+|y-2|+|y-3|+|y-4|+|y-5|+|y-6|]取得最小值的格点(x,y)(其中x,y∈Z).注意到[(|x+2|+|x-6|)+(|x+2|+|x-4|) +2|x-3|]≥|(x+2)-(x-6)|+|(x+2)-(x-4)|+0=14,当且仅当x=3取等号;|y-1|+|y-2|+|y-3|+|y-4|+|y-5|+|y-6|=(|y-1|+|y-6|)+(|y-2|+|y-5|+(|y-3|+|y-4|)≥|(y-1)-(y-6)|+|(y-2)-(y-5)|+|(y-3)-(y-4)|=9,当且仅当y=3或y=4时取等号.因此,应确定格点(3,3)或(3,4)为发行站.又所求格点不能是零售点,所以应确定格点(3,3)为发行站.1.对绝对值三角不等式定理|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|中等号成立的条件要深刻理解,特别是用此定理求函数的最值时.2.该定理可以强化为:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,它经常用于证明含绝对值的不等式.3.对于求y=|x-a|+|x-b|或y=|x+a|-|x-b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更简洁、方便.例7:设函数f(x)=|x-a|+3x,其中a>0.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集;(2)若不等式f(x)≤0的例9:已知关于x的不等式|2x+1|+|x-3|>2a-32恒成立,求实数a的取值范围.y =⎩⎪⎨⎪⎧ -3x +2,x <-12,x +4,-12≤x <3,3x -2,x ≥3,∴当x =-12时,y =|2x +1|+|x -3|取最小值72,∴72>2a -32,即得a <52. 例10:已知f (x )=1+x 2,a ≠b ,求证:|f (a )-f (b )|<|a -b |.解:∵|f (a )-f (b )|=|1+a 2-1+b 2|=|a 2-b 2|1+a 2+1+b 2=|a -b ||a +b |1+a 2+1+b 2, 又|a +b |≤|a |+|b |=a 2+b 2<1+a 2+1+b 2,∴|a +b |1+a 2+1+b 2<1.∵a ≠b ,∴|a -b |>0.∴|f (a )-f (b )|<|a -b |.例11:已知a ,b ∈R 且a ≠0,求证:|a |2|a |≥|a |2-|b |2. 证明:①若|a |>|b |,则左边=|a +b |·|a -b |2|a |=|a +b |·|a -b ||a +b +a -b |≥|a +b |·|a -b ||a +b |+|a -b |=11|a +b |+1|a -b |. ∵1|a +b |≤1|a |-|b |,1|a -b |≤1|a |-|b |,∴1|a +b |+1|a -b |≤2|a |-|b |.∴左边≥|a |-|b |2=右边,∴原不等式成立. ②若|a|=|b|,则a 2=b 2,左边=0=右边,∴原不等式成立.③若|a|<|b|,则左边>0,右边<0,原不等式显然成立.综上可知原不等式成立.证明:|f(x)-f(a)|=|x 2-x +43-a 2+a -43|=|(x -a)(x +a -1)|=|x -a|·|x +a -1|.∵|x -a|<1, ∴|x|-|a|≤|x -a|<1.∴|x|<|a|+1.∴|f(x)-f(a)|=|x -a|·|x +a -1|<|x +a -1|≤|x|+|a|+1<2(|a|+1). 例13:已知函数f (x )=log 2(|x -1|+|x -5|-a ).(1)当a =2时,求函数f (x )的最小值;(2)当函数f (x )的定义域为R 时,求实数a 的取值范围.解:函数的定义域满足|x -1|+|x -5|-a >0,即|x -1|+|x -5|>a .(1)当a =2时,f (x )=log 2(|x -1|+|x -5|-2),设g (x )=|x -1|+|x -5|,则g (x )=|x -1|+|x -5|=⎩⎪⎨⎪⎧ 2x -6,x ≥5,4,1<x <5,6-2x ,x ≤1,g (x )min =4,f (x )min =log 2(4-2)=1.(2)由(1)知,g (x )=|x -1|+|x -5|的最小值为4,|x -1|+|x -5|-a >0,∴a <4.∴a 的取值范围是(-∞,4). x -4|-|x -2|>1.解:(1)f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ -2, x >4,-2x +6, 2≤x ≤4,2, x <2.则函数y =f (x )的图像如图所示.(2)由函数y =f (x )的图像容易求得不等式|x -4|-|x -2|>1的解集为5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭。
绝对值不等式考纲要求1.理解绝对值的几何意义,并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件:|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R);|a-b|≤|a-c|+|c-b|(a,b,c∈R);2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-c|+|x-b|≥a.知识梳理1.绝对值三角不等式定理1:如果a,b是实数,那么|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-b|≤|a-c|+|c-b|,当且仅当(a-c)(c-b)≥0时,等号成立.2.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集.不等式a>0a=0a<0|x|<a {x|-a<x<a}∅∅|x|>a {x|x>a或x<-a}{x|x∈R且x≠0}R(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法.①|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c;②|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c.(3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法.①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.1.利用绝对值不等式的几何意义解决问题能有效避免分类讨论不全面的问题;若用零点分段法求解,要掌握分类讨论的标准,做到不重不漏.2.绝对值三角不等式|a±b|≤|a|+|b|,从左到右是一个放大过程,从右到左是缩小过程,证明不等式可以直接用,也可利用它消去变量求最值.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若|x|>c的解集为R,则c≤0.()(2)不等式|x-1|+|x+2|<2的解集为∅.()(3)对|a+b|≥|a|-|b|当且仅当a>b>0时等号成立.()(4)对|a|-|b|≤|a-b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立.()(5)对|a-b|≤|a|+|b|当且仅当ab≤0时等号成立.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√2.不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是()A.(-∞,4) B.(-∞,1) C.(1,4) D.(1,5)答案 A解析①当x≤1时,原不等式可化为1-x-(5-x)<2,∴-4<2,不等式恒成立,∴x≤1.②当1<x<5时,原不等式可化为x-1-(5-x)<2,∴x<4,∴1<x<4,③当x≥5时,原不等式可化为x-1-(x-5)<2,该不等式不成立.综上,原不等式的解集为(-∞,4).3.若关于x的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|存在实数解,则实数a的取值范围是________.答案(-∞,-3]∪[3,+∞)解析由于|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,∴|x+1|+|x-2|的最小值为3,要使原不等式有解,只需|a|≥3,即a≥3或a≤-3.4.若不等式|kx -4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3},则实数k =________. 答案 2解析 因为|kx -4|≤2,所以-2≤kx -4≤2,所以2≤kx ≤6.因为不等式的解集为{x |1≤x ≤3},所以k =2.5.(2021·天津联考)若对任意的x ∈R ,不等式|x -1|-|x +2|≤|2a -1|恒成立,则实数a 的取值范围为________.答案 (-∞,-1]∪[2,+∞)解析 ∵y =|x -1|-|x +2|≤|(x -1)-(x +2)|=3, ∴要使|x -1|-|x +2|≤|2a -1|恒成立, 则|2a -1|≥3,2a -1≥3或2a -1≤-3, 即a ≥2或a ≤-1,∴实数a 的取值范围是(-∞,-1]∪[2,+∞). 6.(2021·郑州质量预测)已知函数f (x )=|x +1|-a |x -1|. (1)当a =-2时,解不等式f (x )>5; (2)若f (x )≤a |x +3|恒成立,求a 的最小值. 解 (1)当a =-2时,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1-3x ,x ≤-1,-x +3,-1<x ≤1,3x -1,x >1.当x ≤-1时,由1-3x >5,得x <-43;当-1<x ≤1时,无解;当x >1时,由3x -1>5,得x >2. 故f (x )>5的解集为⎝⎛⎭⎫-∞,-43∪(2,+∞). (2)由f (x )≤a |x +3|得a ≥|x +1||x -1|+|x +3|,由|x -1|+|x +3|≥2|x +1|, 得|x +1||x -1|+|x +3|≤12,故a ≥12(当且仅当x ≥1或x ≤-3时等号成立),故a 的最小值为12.考点一 绝对值不等式的解法【例1】 (2020·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )=|3x +1|-2|x -1|.(1)画出y =f (x )的图象; (2)求不等式f (x )>f (x +1)的解集.解 (1)由题设知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x -3,x ≤-13,5x -1,-13<x ≤1,x +3,x >1.画出y =f (x )的图象如图(1)所示.图(1)(2)函数y =f (x )的图象向左平移1个单位长度后得到函数y =f (x +1)的图象,如图(2)所示.图(2)易得y =f (x )的图象与y =f (x +1)的图象的交点坐标为⎝⎛⎭⎫-76,-116. 由图象可知,当且仅当x <-76时,y =f (x )的图象在y =f (x +1)的图象上方. 故不等式f (x )>f (x +1)的解集为⎝⎛⎭⎫-∞,-76. 【例2】 (2021·驻马店联考)已知函数f (x )=|x +a |+|2x -1|(a ∈R). (1)当a =-1时,求不等式f (x )≥2的解集; (2)若f (x )≤2x 的解集包含⎣⎡⎦⎤12,34,求a 的取值范围.解 (1)当a =-1时,不等式f (x )≥2可化为|x -1|+|2x -1|≥2, 当x ≤12时,不等式为1-x +1-2x ≥2,解得x ≤0;当12<x <1时,不等式为1-x +2x -1≥2,无解; 当x ≥1时,不等式为x -1+2x -1≥2,解得x ≥43.综上,原不等式的解集为(-∞,0]∪⎣⎡⎭⎫43,+∞.(2)因为f (x )≤2x 的解集包含⎣⎡⎦⎤12,34,所以不等式可化为|x +a |+2x -1≤2x ,即|x +a |≤1.解得-a -1≤x ≤-a +1,由题意知⎩⎨⎧-a +1≥34,-a -1≤12,解得-32≤a ≤14.所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤-32,14. 感悟升华 1.用零点分段法解绝对值不等式的步骤(1)求零点;(2)划区间、去绝对值符号;(3)分别解去掉绝对值的不等式;(4)取每个结果的并集,注意在分段时不要遗漏区间的端点值.2.含绝对值的函数本质上是分段函数,绝对值不等式可利用分段函数的图象的几何直观性求解,体现了数形结合的思想.【训练1】 (2019·全国Ⅱ卷)已知f (x )=|x -a |x +|x -2|(x -a ). (1)当a =1时,求不等式f (x )<0的解集; (2)若x ∈(-∞,1)时,f (x )<0,求a 的取值范围. 解 (1)当a =1时,f (x )=|x -1|x +|x -2|(x -1). 当x <1时,f (x )=-2(x -1)2<0; 当x ≥1时,显然f (x )≥0.所以,不等式f (x )<0的解集为(-∞,1).(2)当a <1时,若a ≤x <1,则f (x )=(x -a )x +(2-x )(x -a )=2(x -a )≥0,不合题意;所以a ≥1, 当a ≥1,x ∈(-∞,1)时,f (x )=(a -x )x +(2-x )(x -a )=2(a -x )(x -1)<0. 所以,a 的取值范围是[1,+∞). 考点二 绝对值不等式性质的应用【例3】 设a >0,|x -1|<a 3,|y -2|<a3,求证:|2x +y -4|<a .证明 由|x -1|<a 3可得|2x -2|<2a 3,|2x +y -4|≤|2x -2|+|y -2|<2a 3+a3=a .【例4】 若f (x )=⎪⎪⎪⎪3x +1a +3|x -a |的最小值为4,求a 的值. 解 因为f (x )=⎪⎪⎪⎪3x +1a +3|x -a |≥⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫3x +1a -3x -3a =⎪⎪⎪⎪1a +3a ,由⎪⎪⎪⎪1a +3a =4得a =±1或a =±13.感悟升华 1.求含绝对值的函数最值时,常用的方法有三种: (1)利用绝对值的几何意义.(2)利用绝对值三角不等式,即|a |+|b |≥|a ±b |≥|a |-|b |. (3)利用零点分区间法.2.含绝对值不等式的证明中,关键是绝对值三角不等式的活用. 【训练2】 设函数f (x )=x 2-x -15,且|x -a |<1. (1)解不等式|f (x )|>5;(2)求证:|f (x )-f (a )|<2(|a |+1).(1)解 因为|x 2-x -15|>5,所以x 2-x -15<-5或x 2-x -15>5,即x 2-x -10<0或x 2-x -20>0,解得1-412<x <1+412或x <-4或x >5,所以不等式|f (x )|>5的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <-4或1-412<x <1+412或x >5.(2)证明 因为|x -a |<1,所以|f (x )-f (a )|=|(x 2-x -15)-(a 2-a -15)|=|(x -a )(x +a -1)|=|x -a |·|x +a -1|<1·|x +a -1|=|x -a +2a -1|≤|x -a |+|2a -1|<1+|2a -1|≤1+|2a |+1=2(|a |+1),即|f (x )-f (a )|<2(|a |+1). 考点三 绝对值不等式的综合应用 角度1 绝对值不等式恒成立问题【例5】 (2021·陇南二诊)已知a ≠0,函数f (x )=|ax -1|,g (x )=|ax +2|. (1)若f (x )<g (x ),求x 的取值范围;(2)若f (x )+g (x )≥|2×10a -7|对x ∈R 恒成立,求a 的最大值与最小值之和. 解 (1)因为f (x )<g (x ), 所以|ax -1|<|ax +2|,两边同时平方得a 2x 2-2ax +1<a 2x 2+4ax +4, 即6ax >-3,当a >0时,x >-12a ,即x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫-12a ,+∞;当a <0时,x <-12a ,即x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫-∞,-12a . (2)因为f (x )+g (x )=|ax -1|+|ax +2|≥|(ax -1)-(ax +2)|=3, 所以f (x )+g (x )的最小值为3,所以|2×10a -7|≤3,则-3≤2×10a -7≤3, 解得lg 2≤a ≤lg 5,故a 的最大值与最小值之和为lg 2+lg 5=lg 10=1. 角度2 绝对值不等式能成立问题【例6】 (2021·东北三省三校联考)已知函数f (x )=|2x +a |+1. (1)当a =2时,解不等式f (x )+x <2;(2)若存在a ∈⎣⎡⎦⎤-13,1时,使不等式f (x )≥b +|2x +a 2|的解集非空,求b 的取值范围. 解 (1)当a =2时,函数f (x )=|2x +2|+1, 不等式f (x )+x <2化为|2x +2|<1-x . 当1-x ≤0时,即x ≥1时,该不等式无解. 当1-x >0时,原不等式化为x -1<2x +2<1-x . 解之得-3<x <-13.综上,原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x -3<x <-13.(2)由f (x )≥b +|2x +a 2|, 得b ≤|2x +a |-|2x +a 2|+1,设g (x )=|2x +a |-|2x +a 2|+1,则不等式的解集非空,即不等式有解, 所以不等式等价于b ≤g (x )max .由g (x )≤|(2x +a )-(2x +a 2)|+1=|a 2-a |+1, 所以b ≤|a 2-a |+1.由题意知存在a ∈⎣⎡⎦⎤-13,1,使得上式成立,而函数h (a )=|a 2-a |+1在a ∈⎣⎡⎦⎤-13,1上的最大值为h ⎝⎛⎭⎫-13=139, 所以b ≤139,即b 的取值范围是⎝⎛⎦⎤-∞,139. 感悟升华 1.不等式恒成立问题,存在性问题都可以转化为最值问题解决.2.(1)在例6第(1)问,可作出函数y =|2x +2|与y =1-x 的图象,观察、计算边界,直观求得不等式的解集.(2)第(2)问把不等式解集非空,转化为求函数的最值.存在性问题转化方法:f (x )>a 有解⇔f (x )max >a ;f (x )<a 有解⇔f (x )min <a . 【训练3】 (2021·呼和浩特模拟)已知函数f (x )=|2x -a |+2|x +1|. (1)当a =1时,解关于x 的不等式f (x )≤6;(2)已知g (x )=|x -1|+2,若对任意x 1∈R ,都存在x 2∈R ,使得f (x 1)=g (x 2)成立,求实数a 的取值范围.解 (1)当a =1时,f (x )=|2x -1|+2|x +1|,则f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-4x -1,x <-1,3,-1≤x ≤12,4x +1,x >12.当x <-1时,由-4x -1≤6,得-74≤x <-1;当-1≤x ≤12时,f (x )≤6恒成立;当x >12时,由4x +1≤6,得12<x ≤54.综上,f (x )≤6的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪-74≤x ≤54. (2)∵对任意x 1∈R ,都存在x 2∈R ,使得f (x 1)=g (x 2)成立, ∴{y |y =f (x )}⊆{y |y =g (x )}. 又f (x )=|2x -a |+2|x +1|≥|2x -a -(2x +2)| =|a +2|,g (x )=|x -1|+2≥2, ∴|a +2|≥2,解得a ≤-4或a ≥0,∴实数a 的取值范围是(-∞,-4]∪[0,+∞).1.(2020·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )=|x -a 2|+|x -2a +1|. (1)当a =2时,求不等式f (x )≥4的解集; (2)若f (x )≥4,求a 的取值范围. 解 (1)当a =2时,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧7-2x ,x ≤3,1,3<x ≤4,2x -7,x >4.因此,不等式f (x )≥4的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤32或x ≥112. (2)因为f (x )=|x -a 2|+|x -2a +1|≥|a 2-2a +1|=(a -1)2, 故当(a -1)2≥4,即|a -1|≥2时,f (x )≥4. 所以当a ≥3或a ≤-1时,f (x )≥4.当-1<a <3时,f (a 2)=|a 2-2a +1|=(a -1)2<4. 所以a 的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞). 2.已知f (x )=|x +1|-|ax -1|.(1)当a =1时,求不等式f (x )>1的解集;(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )>x 成立,求a 的取值范围. 解 (1)当a =1时,f (x )=|x +1|-|x -1|, 即f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-2,x ≤-1,2x ,-1<x <1,2,x ≥1.则当x ≥1时,f (x )=2>1恒成立,所以x ≥1; 当-1<x <1时,f (x )=2x >1, 所以12<x <1;当x ≤-1时,f (x )=-2<1.故不等式f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12. (2)当x ∈(0,1)时|x +1|-|ax -1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax -1|<1成立. 若a ≤0,则当x ∈(0,1)时,|ax -1|≥1;若a >0,|ax -1|<1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <2a , 所以2a≥1,故0<a ≤2. 综上,a 的取值范围为(0,2].3.(2021·安徽江南十校模拟)已知函数f (x )=|x -1|+|x +2|.(1)求不等式f (x )<x +3的解集;(2)若不等式m -x 2-2x ≤f (x )在R 上恒成立,求实数m 的取值范围.解 (1)当x <-2时,f (x )<x +3可化为1-x -x -2<x +3,解得x >-43,无解; 当-2≤x ≤1时,f (x )<x +3可化为1-x +x +2<x +3,解得x >0,故0<x ≤1; 当x >1时,f (x )<x +3可化为x -1+x +2<x +3,解得x <2,故1<x <2. 综上可得,f (x )<x +3的解集为(0,2).(2)不等式m -x 2-2x ≤f (x )在R 上恒成立,可得m ≤x 2+2x +f (x )恒成立, 即m ≤[]x 2+2x +f x min .y =x 2+2x =(x +1)2-1的最小值为-1,此时x =-1.f (x )=|x -1|+|x +2|≥|x -1-x -2|=3,当且仅当-2≤x ≤1时,取得等号, 则[x 2+2x +f (x )]min =-1+3=2,所以m ≤2,即m 的取值范围是(-∞,2].4.已知f (x )=|x +1|+|x -m |.(1)若f (x )≥2,求m 的取值范围;(2)已知m >1,若∃x ∈(-1,1),f (x )≥x 2+mx +3成立,求m 的取值范围. 解 (1)因为f (x )=|x +1|+|x -m |≥|m +1|,所以只需|m +1|≥2,所以m +1≥2或m +1≤-2,解得m ≥1或m ≤-3,即m 的取值范围为(-∞,-3]∪[1,+∞).(2)因为m >1,所以当x ∈(-1,1)时,f (x )=m +1,所以f (x )≥x 2+mx +3,即m ≥x 2+mx +2,所以m (1-x )≥x 2+2,m ≥x 2+21-x , 令g (x )=x 2+21-x =1-x 2-21-x +31-x =(1-x )+31-x-2(-1<x <1). 因为-1<x <1,所以0<1-x <2,所以(1-x )+31-x≥23(当且仅当x =1-3时取“=”), 所以g (x )min =23-2,所以m ≥23-2.故实数m 的取值范围是[23-2,+∞).5.(2021·南昌摸底测试)已知f (x )=|2x +1|+|x -1|.(1)求不等式f (x )≥2的解集;(2)若f (x )≥a |x |恒成立,求a 的取值范围.解 (1)∵f (x )=|2x +1|+|x -1|≥2,①当x ≤-12时,⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤-12,-2x -1-x +1≥2⇒x ≤-23; ②当-12<x <1时,⎩⎪⎨⎪⎧ -12<x <1,2x +1-x +1≥2⇒0≤x <1;③当x ≥1时,⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1,2x +1+x -1≥2⇒x ≥1. 综上所述,f (x )≥2的解集为⎝⎛⎦⎤-∞,-23∪[0,+∞). (2)由题意知|2x +1|+|x -1|≥a |x |恒成立,①当x =0时,2≥a ·0恒成立,得a ∈R ;②当x ≠0时,|2x +1|+|x -1||x |=⎪⎪⎪⎪2+1x +⎪⎪⎪⎪1-1x ≥a 恒成立, 因为⎪⎪⎪⎪2+1x +⎪⎪⎪⎪1-1x ≥⎪⎪⎪⎪2+1x+1-1x =3,所以a ≤3. 综上所述,符合条件的实数a 的取值范围是(-∞,3].6.(2021·长春模拟)已知函数f (x )=|x +2|+|x -1|-a .(1)当a =4时,求函数f (x )的定义域;(2)若函数f (x )的定义域为R ,设a 的最大值为s ,当正数m ,n 满足12m +n +2m +3n =s 时,求3m +4n 的最小值.解 (1)当a =4时,|x +2|+|x -1|-4≥0,当x <-2时,-x -2-x +1-4≥0,解得x ≤-52; 当-2≤x ≤1时,x +2-x +1-4≥0,解得x ∈∅;当x >1时,x +2+x -1-4≥0,解得x ≥32. ∴函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤-52或x ≥32. (2)∵函数f (x )的定义域为R ,∴|x +2|+|x -1|-a ≥0对任意的x ∈R 恒成立,∴a ≤|x +2|+|x -1|对任意的x ∈R 恒成立,又|x +2|+|x -1|≥|x +2-x +1|=3,∴a ≤3,∴s =3,∴12m +n +2m +3n=3,且m >0,n >0, ∴3m +4n =(2m +n )+(m +3n )=13[(2m +n )+(m +3n )]·⎝⎛⎭⎫12m +n +2m +3n =13⎣⎢⎡⎦⎥⎤3+22m +n m +3n +m +3n 2m +n ≥13(3+22)=1+223,当且仅当m =1+2215,n =3+215时取等号, ∴3m +4n 的最小值为1+223.。
第10课 绝对值不等式 ◇考纲解读 ①理解不等式a b a b a b -≤+≤+②掌握解绝对值不等式等不等式的基本思路,会用分类、换元、数形结合的方法解不等式;◇知识梳理1.绝对值的意义 ①代数意义:___,(0)___,(0)___,(0)a a a a >⎧⎪= =⎨⎪ <⎩②几何意义:a 是数轴上表示a 的点____________。
2. 含绝对值的不等式的解法①0a >时,|()|f x a >⇔____________;|()|f x a <⇔____________;②去绝对值符号是解绝对值不等式的常用方法;③根据绝对值的几何意义,通过数形结合解绝对值不等式.◇基础训练1.函数|||3|y x x =--的最大值为 ___________.2.(2008惠州调研) 函数46y x x =-+-的最小值为 .3.(2008珠海质检)已知方程20x ax b -+=的两根分别为1和2,则不等式1ax b -≤的解集为 ____________ (用区间表示).4.(2008广州二模)不等式21<-+x x 的解集是 .◇典型例题例1 .解不等式512x x +>-例2. 解不等式125x x -++>变式1:12x x a -++<有解,求a 的取值范围变式2:212x x a -++<有解,求a 的取值范围变式3:12x x a -++>恒成立,求a 的取值范围◇能力提升1.(2008湛江二模)若关于x 的不等式||2x a a -<-的解集为{}42|<<x x ,则实数=a .2.(2008韶关二模)不等式4|2||12|<++-x x 的解集为3.(2008揭阳调研)若()5f x x t x =-+-的最小值为3, 则实数t 的值是________.4. (2008汕头一模) 若不等式121x a x+>-+对于一切非零实数x 均成立,则实数a 的取值范围是_________________。
高三数学绝对值不等式试题答案及解析1.已知函数.(Ⅰ)求的解集;(Ⅱ)设函数,若对任意的都成立,求的取值范围.【答案】(Ⅰ)或(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)先利用根式的性质将函数的解析式化为含绝对的函数,在将具体化为,利用零点分析法化为不等式组,通过解不等式组解出的解集;(Ⅱ)利用零点分析法,通过分讨论将的解析式化为分段函数,作出函数的图像,由函数知,函数图像是恒过(3,0),斜率为的直线,由对任意的都成立知,函数的图像恒在函数的上方,作出函数的图像,观察满足的条件,求出的取值范围.试题解析:(Ⅰ)∴即∴①或②或③解得不等式①:;②:无解③:所以的解集为或. 5分(Ⅱ)即的图象恒在图象的上方图象为恒过定点,且斜率变化的一条直线作函数图象如图,其中,,∴由图可知,要使得的图象恒在图象的上方∴实数的取值范围为. 10分【考点】根式性质,含绝对不等式解法,分段函数,数形结合思想,分类整合思想2. (1).(不等式选做题)对任意,的最小值为()A.B.C.D.【答案】C【解析】因为,当且仅当时取等号,所以的最小值为,选C.【考点】含绝对值不等式性质3.(2013•重庆)若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|<a无解,则实数a的取值范围是_________.【答案】(﹣∞,8]【解析】由于|x﹣5|+|x+3|表示数轴上的x对应点到5和﹣3对应点的距离之和,其最小值为8,再由关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|<a无解,可得a≤8,故答案为:(﹣∞,8].4.已知关于x的不等式的解集不是空集,则a的最小值是__________。
【答案】-9【解析】解:由关于x的不等式的解集不是空集得:即a的最小值是,所以答案应填.【考点】1、绝对值不等式的性质;2、绝对值不等式的解法.5.已知函数.(1)当时,解不等式;(2)若不等式恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】(1)将代入函数的解析式,利用零点分段法将区间分成三段,去绝对值符号,并求出相应的不等式;(2)将问题转化为,利用双绝对值函数的最小值为,于是得到,问题转化为来求解,解出不等式即可.(1)由得,,或,或,解得:或,原不等式的解集为;(2)由不等式的性质得:,要使不等式恒成立,则,解得:或所以实数的取值范围为.【考点】1.零点分段法求解不等式;2.不等式恒成立6.已知不等式|2x-t|+t-1<0的解集为,则t=()A.0B.-1C.-2D.-3【答案】A【解析】∵|2x-t|<1-t,∴t-1<2x-t<1-t,即2t-1<2x<1,,∴t=0,选A.7.求函数y=|x-4|+|x-6|的最小值.【答案】2【解析】y=|x-4|+|x-6|≥|x-4+6-x|=2.所以函数的最小值为2.8.若不等式|3x-b|<4的解集中整数有且只有1,2,3,求实数b的取值范围.【答案】5<b<7【解析】由|3x-b|<4,得-4<3x-b<4,即<x<.因为解集中整数有且只有1,2,3,所以解得所以5<b<7.9.A.不等式的解集为B.如图,已知的两条直角边的长分别为3cm,4cm,以为直径的圆与交于点,则.C.已知圆的参数方程为(为参数)以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为,则直线与圆的交点的直角坐标系为_______【答案】A.;B.;C.和【解析】A.当时,原不等式等价于,即不成立;当时,原不等式等价于,解得;当时,原不等式等价于,即恒成立,所以原不等式的解集为.B.在中,.∵以为直径的圆与交于点,∴,∴,∴,∴.C.由题设知,在直角坐标系下,直线的方程为,圆的方程为.联立方程,得或,故所求交点的直角坐标为和.【考点】1、绝对值不等式的解法;2、与圆有关的比例线段;3、直线与圆的参数方程.10. A.(坐标系与参数方程)已知直线的参数方程为(为参数),圆的参数方程为(为参数),则圆心到直线的距离为_________.B.(几何证明选讲)如右图,直线与圆相切于点,割线经过圆心,弦⊥于点,,,则_________.C.(不等式选讲)若存在实数使成立,则实数的取值范围是_________.【答案】A.;B.;C.【解析】A.先把直线l和圆C的参数方程化为普通方程y=x+1,(x-2)2+y2=1,再利用点到直线的距离公式求出即可.B.在圆中线段利用由切割线定理求得PA,进而利用直角三角形PCO中的线段,结合面积法求得CE即可.C.由绝对值的基本不等式得:,解得-3≤m≤1.【考点】(1)参数方程;(2)圆的性质;(3)绝对值不等式.11.设函数(1)若时,解不等式;(2)若不等式的对一切恒成立,求实数的取值范围【答案】(1) (2)【解析】(1)可以采用零点分段法或者绝对值的定义来解决该绝对值不等式,其中零点分段法即把x分为三段讨论去掉绝对值来求的该不等式的解集,而绝对值的定义,即表示在数轴上点x到-1和a的距离之和,利用数轴即可得到相应的解集(2)首先由区间的a,再根据x的范围去掉绝对值,剩下即为恒成立问题,再利用分离参数法分离x与a,求出x一边的最值即可.解得a的范围.试题解析:(1)由题得a=2,法一.利用绝对值的定义,即|x+1|即为在数轴上x与-1之间的距离,|x-2|是x与2之间的距离.故利用数轴法可以求的,综上的解集为.法二.零点分段法,分为一下三种情况当x>2时,当-1x2时,当x<-1时,综上的解集为.(2)由题得,所以且,即在区间上恒成立,所以,综上a的取值范围为.【考点】绝对值不等式恒成立问题12.不等式的解集是【答案】【解析】解答本题可利用“分段讨论法”,也可利用“几何法”,根据绝对值的几何意义,结合数轴得,不等式的解集是.【考点】绝对值不等式的解法13.已知函数,若函数的图象恒在轴上方,求实数的取值范围.【答案】【解析】因为,所以的最小值为.因为函数的图象恒在轴上方,所以因此有,解得.试题解析:解:的最小值为, 5分由题设,得,解得. 10分【考点】绝对值不等式的应用14.已知函数f(x)=|x-a|.(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},求实数a的值;(2)在(1)的条件下,若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围.【答案】(1) a=2 (2) (-∞,5]【解析】(1)由f(x)≤3,得|x-a|≤3,解得a-3≤x≤a+3.又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},所以解得a=2.(2)方法一:当a=2时,f(x)=|x-2|,设g(x)=f(x)+f(x+5)=|x-2|+|x+3|.由|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5,当且仅当-3≤x≤2时等号成立,得g(x)的最小值为5.从而,若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立,实数m的取值范围为(-∞,5].方法二:当a=2时,f(x)=|x-2|,设g(x)=f(x)+f(x+5)=|x-2|+|x+3|.于是g(x)=|x-2|+|x+3|=所以当x<-3时,g(x)>5;当-3≤x≤2时,g(x)=5;当x>2时,g(x)>5.综上可得,g(x)的最小值为5.从而,若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立,实数m的取值范围为(-∞,5].15.解不等式:x+|2x-1|<3.【答案】{x|-2<x<}【解析】原不等式可化为或解得≤x<或-2<x<.所以不等式的解集是{x|-2<x<}.16.若不等式|kx-4|≤2的解集为{x|1≤x≤3},则实数k=________.【答案】2【解析】由|kx-4|≤2⇔2≤kx≤6.∵不等式的解集为{x|1≤x≤3},∴k=2.17.已知不等式|x+2|+|x|≤a的解集不是空集,则实数a的取值范围是().A.(-∞,2)B.(-∞,2]C.(2,+∞)D.[2,+∞)【答案】D【解析】因为|x+2|+|x|的最小值为2,所以要使不等式的解集不是空集,则有a≥2.18.若存在实数使得成立,则实数的取值范围为.【答案】【解析】在数轴上,表示横坐标为的点到横坐标为的点距离,就表示点到横坐标为1的点的距离,∵,∴要使得不等式成立,只要最小值就可以了,即,∴.故实数的取值范围是,故答案为:.【考点】绝对值不等式的解法.19.不等式的解集是.【答案】【解析】含绝对值的不等式我们可以通过根据绝对值的定义通过分类讨论的方法去掉绝对值符号,然后解决问题,本题也可不分类讨论,首先不等式变形为,它等价于,这是二次不等式,解得,还要注意题目要求写成集合形式.【考点】解不等式.20.若关于x的不等式的解集为空集,则实数a的取值范围是。
例1 不等式|8-3x|>0的解集是[ ]A B RC {x|x }D {83}...≠.∅83 分析∵->,∴-≠,即≠. |83x|083x 0x 83答 选C .例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是[ ]A .3B .2C .-2D .-5 分析 列出不等式.解 根据题意得2<|x |≤5.从而-5≤x <-2或2<x ≤5,其中最小整数为-5, 答 选D .例3 不等式4<|1-3x|≤7的解集为________. 分析 利用所学知识对不等式实施同解变形.解 原不等式可化为4<|3x -1|≤7,即4<3x -1≤7或-7≤-<-解之得<≤或-≤<-,即所求不等式解集为-≤<-或<≤.3x 14x 2x 1{x|2x 1x }53835383例4 已知集合A ={x|2<|6-2x|<5,x ∈N},求A .分析 转化为解绝对值不等式. 解 ∵2<|6-2x|<5可化为2<|2x -6|<5即-<-<,->或-<-,52x 652x 622x 62⎧⎨⎩即<<,>或<,12x 112x 82x 4⎧⎨⎩解之得<<或<<.4x x 211212因为x ∈N,所以A ={0,1,5}. 说明:注意元素的限制条件.例5 实数a ,b 满足ab <0,那么 [ ]A .|a -b |<|a |+|b|B .|a +b |>|a -b|C .|a +b|<|a -b|D .|a -b |<||a |+|b ||分析 根据符号法则及绝对值的意义. 解 ∵a 、b 异号,∴ |a +b|<|a -b|. 答 选C .例6 设不等式|x -a |<b 的解集为{x |-1<x <2},则a ,b 的值为[ ]A .a =1,b =3B .a =-1,b =3C .a =-1,b =-3D a b .=,=1232分析 解不等式后比较区间的端点.解 由题意知,b >0,原不等式的解集为{x |a -b <x <a +b},由于解集又为{x |-1<x <2}所以比较可得.a b 1a b 2a b -=-+=,解之得=,=.⎧⎨⎩1232 答 选D .说明:本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组. 例7 解关于x 的不等式|2x -1|<2m -1(m ∈R ) 分析 分类讨论.解若-≤即≤,则-<-恒不成立,此时原不等 2m 10m |2x 1|2m 112式的解集为;∅若->即>,则--<-<-,所以-<2m 10m (2m 1)2x 12m 11m 12x <m .综上所述得:当≤时原不等式解集为;当>时,原不等式的解集为m m 1212∅{x|1-m <x <m}.说明:分类讨论时要预先确定分类的标准.例解不等式-+≥.8 3212||||x x分析 一般地说,可以移项后变形求解,但注意到分母是正数,所以能直接去分母.解 注意到分母|x |+2>0,所以原不等式转化为2(3-|x|)≥|x|+2,整理得|x|x {x|x }≤,从而可以解得-≤≤,解集为-≤≤.4343434343说明:分式不等式常常可以先判定一下 分子或者分母的符号,使过程简便.例9 解不等式|6-|2x +1||>1.分析 以通过变形化简,把该不等式化归为|ax +b|<c 或|ax +b |>c 型的不等式来解. 解 事实上原不等式可化为6-|2x +1|>1①或 6-|2x +1|<-1②由①得|2x +1|<5,解之得-3<x <2;由②得|2x +1|>7,解之得x >3或x <-4.从而得到原不等式的解集为{x |x <-4或-3<x <2或x >3}. 说明:本题需要多次使用绝对值不等式的解题理论.例10 已知关于x 的不等式|x +2|+|x -3|<a 的解集是非空集合,则实数a 的取值范围是________.分析 可以根据对|x +2|+|x -3|的意义的不同理解,获得多种方法.解法一 当x ≤-2时,不等式化为-x -2-x +3<a 即-2x +1<a 有解,而-2x +1≥5, ∴a >5.当-2<x ≤3时,不等式化为x +2-x +3<a 即a >5.当x >3是,不等式化为x +2+x -3<a 即2x -1<a 有解,而2x -1>5,∴a >5. 综上所述:a >5时不等式有解,从而解集非空.解法二 |x +2|+|x -3|表示数轴上的点到表示-2和3的两点的距离之和,显然最小值为3-(-2)=5.故可求a 的取值范围为a >5.解法三 利用|m|+|n |>|m ±n|得|x +2|+|x -3|≥|(x +2)-(x -3)|=5. 所以a >5时不等式有解.说明:通过多种解法锻炼思维的发散性. 例11 解不等式|x +1|>2-x .分析一 对2-x 的取值分类讨论解之. 解法一 原不等式等价于:①-≥+>-或+<-2x 0x 12x x 1x 2⎧⎨⎩或②-<∈2x 0x R⎧⎨⎩由①得≤>或<-x 2x 1212⎧⎨⎪⎩⎪ 即≤>,所以<≤;x 2x x 21212⎧⎨⎪⎩⎪ 由②得x >2.综合①②得>.所以不等式的解集为>.x {x|x }1212分析二 利用绝对值的定义对|x +1|进行分类讨论解之. 解法二 因为|x 1| x 1x 1x 1x 1+=+,≥---,<-⎧⎨⎩原不等式等价于:①≥>或②<>x x x x x x++-⎧⎨⎩+---⎧⎨⎩10121012由①得≥>即>;x x -⎧⎨⎪⎩⎪11212 x由②得<-->即∈.x 112x ⎧⎨⎩∅所以不等式的解集为>.{x|x }12例12 解不等式|x -5|-|2x +3|<1.分析 设法去掉绝对值是主要解题策略,可以根据绝对值的意义分区间讨论,事实上,由于=时,-=,=-时+=.x 5|x 5|0x |2x 3|032所以我们可以通过-,将轴分成三段分别讨论.325x解当≤-时,-<,+≤所以不等式转化为 x x 502x 3032-(x -5)+(2x +3)<1,得x <-7,所以x <-7;当-<≤时,同理不等式化为32x 5-(x -5)-(2x +3)<1,解之得>,所以<≤;x x 51313当x >5时,原不等式可化为 x -5-(2x +3)<1,解之得x >-9,所以x >5.综上所述得原不等式的解集为>或<-.{x|x x 7}13说明:在含有绝对值的不等式中,“去绝对值”是基本策略. 例13 解不等式|2x -1|>|2x -3|.分析 本题也可采取前一题的方法:采取用零点分区间讨论去掉绝 对值,但这样比较复杂.如果采取两边平方,即根据>>解|a||b|a b 22⇔ 之,则更显得流畅,简捷.解 原不等式同解于(2x -1)2>(2x -3)2,即4x 2-4x +1>4x 2-12x +9,即8x >8,得x >1.所以原不等式的解集为{x|x >1}.说明:本题中,如果把2x 当作数轴上的动坐标,则|2x -1|>|2x -3|表示2x 到1的距离大于2x 到3的距离,则2x 应当在2的右边,从而2x >2即x >1.。
解“含纽对值的不等成”专題练习册级学号一•选择題:1.不等衣|x + 2|<3的解集是()(A) - 5<x<1 ( B ) x< - 5 或x>1 ( C ) x< - 5 ( D ) x>12.不等衣|2z-1 |>2的解集是()1 3 1 3(A ) x> 1 或x<- 1 ( B ) A <一一或A > - ( C ) --<x<- ( D ) - 1 <x<32 2 2 23•不等衣3v|2x —l|v5的解集为()A. {x|2<x<31B. {x|-2<x<-1}C. {x|-2<x<-1 或2<x<3}D. {x|-2<x<3}4•不等S0<|2x-l|<5的解集为( )A. {x|-2<x<3}B. {x|-2<x<2} C・(x|x<-2 或x>3} D. {x|-2<x<3 fl -}25•不等衣I2x —5I>3的解集是()(A) {x I x > 4} (B){xl 1 <x< 4}(C) {x I x<一1弧 > 4)(D) {x\x< 1 或兀 > 4)6•关于x的不等氏叱vO(“ + 〃vO)的瞬集是()b_x(A) {x\x< -a} (B){x I x < > /?}(C) {x I x < /?或x: > -a} (D){xl/?<x< -a}7•不等itlx2-xl<2的解集是( )(A) {x \ x < -lgJcx > 2) (B) {x I -1 v x v 2} (C)x e 7? (D)08•不等式(l + x)(l-lxl) >0的解集是()A. {xIOSxvl} B・{xlx vO,xH-l}C. {xl-1 <x< l)D.{xlx<9•已知集合A={x卜2<x<4},B=(x|xMa},若AnB=4>, fl AuB中不含元素5,则下列值中a可能是A. 3B. 4C. 5D. 6 ( )10•若不等直丄v2和卜|>抑时应立,呱x的取值X围是()A. —丄vxvlB. x> 丄或vv-丄C. x>-D. x> -2 3 2 3 2 3 211.设集合P={X|X2-4X-5<0},Q = {X^x\-a>0}, i 能便PflQ = 0 成立的a 的值是( ) A. {a\a>5} B. {a|a>5}C. {d|-lva<5}D. ^a\a > 1}12•不等衣奸¥+凶》0的解集是( )A. {x|-2<x<2}B. 0或0K2}C. {x|-2<x<0«lc0<J<2)D. {x|-辰x<0或0W>/T}13.E »a>o,不等此卜一 4|+卜一 3|<“在实数集R 上的解集不是空集,剧“的取值X 围是( A. a >0B. a > 1 C ・ a>\ D. a >22、•一]14 •设集合4 = {人•卜一牛2}, 3 =杯二卜若A^B 9収的収值X 围是(x I 2A. {切0<«< ljB. {切0<a<\}C. {G |0 va v 1} D ・{a|0<a<\} 二填空題: 15•不等S|X +1|+|X-1|<2的解集是 ______________________17•不等贰|x+1 |+|x-11>2的解集是 ___________________________ ・1&若a>O,be/?,般不等j{\-3x + b\< "的解集是 _____________________ .19•不等jt|x +1|-|x-1>a 的解集是R,则a 的取值集合 __________________________________ 20•不等氏/-5^|+6<0.的解集是 _________________ 21•巳知集合 A={x||x+2>5EB={x|-屮+6乂・ 5>0},M AuB=三.解笞題:22. 解下列不等衣 (1)|1-2x>2⑵(x-1 ) 2<100(3)解不等 S X 2-9<X +3 (4)解不等式 |x-|2x+1||>1.16.x 2 +3x JV + 2>卞的解集是 -----------------------(5)l3x + 2lvlxl(6) I x2 -4x+2 | >-;2 (7 ) | x+3 | - | x - 3 | >3.23.BflA = {x||x-a|<4}1B = {x|x2-4x-5>0}, fl AuB=R.XX 数a 的取值X 围.24.M BlA = {xllx-ll<c,c>O},B = {xllx-3l>4},KAn^ = 0» 求C 皿值的XU。
一、几种常见的含绝对值不等式的解法1.类型一:形如a x f a x f ><)(,)(型不等式 (1)当0>a 时a x f a a x f <<-⇔<)()( a x f a x f >⇔>)()(或a x f -<)( (2)当0=a 时 a x f <)(,无解⇔>a x f )(使()0)()(≠=x f x f y 成立的x 的解集 (3)当0<a 时 a x f <)(,无解^⇔>a x f )(使)(x f y =成立的x 的解集例1(2009年安徽理科第2题5分)若集合{}21|21|3,0,3x A x x B x x ⎧+⎫=-<=<⎨⎬-⎩⎭则A ∩B 是( )A.11232x x x ⎧⎫-<<-<<⎨⎬⎩⎭或 B.{}23x x << C.122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D.112x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭分析:要解决这个题,就是解两个不等式,其中312<-x 即为含绝对值的不等式,这是形如a x f <)(型的绝对值不等式,其中0>a ,则a x f a <<-)(。
解:因为312<-x ,所以3123<-<-x ,即解得)2,1(-∈x 解0312<-+x x 得,3>x 或21-<x 所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-=211x x B A ,故答案选D.二,形如)0()(>><<a b b x f a 型不等式b x f a a b b x f a <<⇔>><<)()0()(或a x f b -<<-)(。
<例2不等式311<+<x 的解集为( )A.(0,2)B.)4,2()0,2( - C .)0,4(-D.)2,0()2,4( --分析:原不等式是形如)0()(>><<a b b x f a 型不等式,需将原不等式转化为以下的不等式求解:113311-<+<-<+<x x 或,这样就转化为解简单的不等式问题。
专题解含绝对值符号的不等式1.阅读:我们知道,00a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩于是要解不等式|3|4x -≤,我们可以分两种情况去掉绝对值符号,转化为我们熟悉的不等式,按上述思路,我们有以下解法:解:(1)当30x -≥,即3x ≥时:34x -≤解这个不等式,得:7x ≤由条件3x ≥,有:37x ≤≤(2)当30x -<,即3x <时,(3)4x --≤解这个不等式,得:1x ≥-由条件3x <,有:13x -≤<∴如图,综合(1)、(2)原不等式的解为17x -≤≤根据以上思想,请探究完成下列2个小题:(1)|1|2x +≤;(2)|2|1x -≥. 【答案】(1)-3≤x≤1;(2)x≥3或x≤1.【分析】(1)分①x+1≥0,即x≥-1,②x+1<0,即x <-1,两种情况分别求解可得;(2)分①x -2≥0,即x≥2,②x -2<0,即x <2,两种情况分别求解可得.【详解】解:(1)|x+1|≤2,①当x+1≥0,即x≥-1时:x+1≤2,解这个不等式,得:x≤1由条件x≥-1,有:-1≤x≤1;②当x+1<0,即 x <-1时:-(x+1)≤2解这个不等式,得:x≥-3由条件x <-1,有:-3≤x <-1∴综合①、②,原不等式的解为:-3≤x≤1.(2)|x-2|≥1①当x-2≥0,即x≥2时:x-2≥1解这个不等式,得:x≥3由条件x≥2,有:x≥3;②当x-2<0,即 x <2时:-(x-2)≥1,解这个不等式,得:x≤1,对于含绝对值的不等式3x <,从图1的数轴上看:大于-3而小于3的数的绝对值小于3,所以3x <的解集为33x -<<;对于含绝对值的不等式3x >,从图2的数轴上看:小于-3或大于3的数的绝对值大于3,所以3x >的解集为3x <-或3x >.(1)含绝对值的不等式2x 的解集为______;(2)已知含绝对值的不等式1x a -<的解集为3b x <<,求实数a ,b 的值;(3)已知关于x ,y 的二元一次方程1x y m +=--的解满足2x y +≤,其中m 是正数,求m 的取值范围.【答案】11x -<<##11x >>-【答案】3x >或3x <-【分析】首先算出|x |=3的解,然后根据“大于取两边”的口诀得解 .【详解】解:由绝对值的意义可得:x =3或x =-3时,|x |=3,∴根据“大于取两边”即可得到|x |>3的解集为:x >3或 x <−3(如图),故答案为:x >3或 x <−3.【点睛】本题考查绝对值的意义及不等式的求解,熟练掌握有关不等式的求解方法是解题关键.5.若|2a﹣6|>6﹣2a,则实数a的取值范围是_____.__________.8.不等式组25x ⎧⎨-≤⎩的解集是( ) A .52x >- B .37x -≤≤ C .572x -<≤ D .572x -≤≤ 【答案】x <0或x >4【详解】试题分析:此题是一个带绝对值的复合不等式,应分为x≤1,1<x≤3,x >3,三种情况,再根据绝对值的性质化简原式,解不等式即可.试题解析:当x≤1时,原式可变形为1-x +3-x =4-2x >4,解得x <0.注意最后要合并解集.11.解不等式:(1)||2x <(2)|21|3x -≥ 【答案】(1)22x -<<;(2)2x ≥或1x ≤-.【分析】(1)根据绝对值的意义,即可求出不等式的解集;(2)根据绝对值的意义,即可求出不等式的解集.【详解】解:(1)∵||2x <,∴22x -<<.(2)∵|21|3x -≥,原不等式变形为:213x -≥或213x -≤-,解得:2x ≥或1x ≤-.【点睛】本题考查了解不等式,解题的关键是掌握绝对值的意义进行解题.12.解下列不等式:(1)|2|30x +->(2)35572x -+<问题的重要思想方法.例如,代数式2x -的几何意义是数轴上x 所对应的点与2所对应的点之间的距离;因为()+=--x 1x 1,所以1x +的几何意义就是数轴上x 所对应的点与1-所对应的点之间的距离.⑴. 发现问题:代数式12x x ++-的最小值是多少?⑵. 探究问题:如图,点,,A B P 分别表示的是-1,2,x ,3AB =.∵12x x ++-的几何意义是线段PA 与PB 的长度之和∴当点P 在线段AB 上时,+=PA PB 3;当点点P 在点A 的左侧或点B 的右侧时 +>PA PB 3 ∴12x x ++-的最小值是3.⑶.解决问题:①.-++x 4x 2的最小值是 ;②.利用上述思想方法解不等式:314x x ++->③.当a 为何值时,代数式++-x a x 3的最小值是2. 【答案】①6;②3x <-或1x >;③1a =-或5a =-【分析】(3)①根据绝对值的几何意义可知,变成数轴上的点到-2的距离和到4的距离之和的最小值;②根据题意画出相应的图形,确定出所求不等式的解集即可;③根据原式的最小值为2,得到3左边和右边,且到3距离为2的点即可.【详解】解:(3)①设A 表示的数为4,B 表示的数为-2,P 表示的数为x ,∴|4|x -表示数轴上的点P 到4的距离,用线段PA 表示,|2||(2)|+=--x x 表示数轴上的点P 到-2的距离,用线段PB 表示,∴|4||2|x x -++的几何意义表示为PA+PB ,当P 在线段AB 上时取得最小值为AB , 且线段AB 的长度为6,∴|4||2|x x -++的最小值为6.故答案为:6.②设A 表示-3,B 表示1,P 表示x ,小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题:如果一个不等式(含有不等号的式子)中含有绝对值,并且绝对值符号中含有未知数,我们把这个不等式叫做绝对值不等式.求绝对值不等式3x >的解集(满足不等式的所有解).小明同学的思路如下:先根据绝对值的定义,求出x 恰好是3时x 的值,并在数轴上表示为点A ,B ,如图所示.观察数轴发现,以点A ,B 为分界点把数轴分为三部分:点A 左边的点表示的数的绝对值大于3;点A ,B 之间的点表示的数的绝对值小于3;点B 右边的点表示的数的绝对值大于3.因此,小明得出结论,绝对值不等式3x >的解集为:3x <-或3x >.参照小明的思路,解决下列问题:(1)请你直接写出下列绝对值不等式的解集.①1x >的解集是;x<的解集是.② 2.5x-+>的解集. (2)求绝对值不等式359(3)直接写出不等式24x>的解集是.∴|x|>1的解集是x>1或x<-1;∴|x|<2.5的解集是-2.5<x<2.5;x-+>的解集为:x>7或x<-1;可知:359可知:不等式x2>4的解集是x>2或x<-2.对于绝对值不等式||3x <,从图1的数轴上看:大于3-而小于3的数的绝对值小于3,所以||3x <的解集为33x -<<;对于绝对值不等式||3x >,从图2的数轴上看:小于3-或大于3的数的绝对值大于3,所以||3x >的解集为3x <-或3x >.(1)求绝对值不等式|3|2x ->的解集;(2)已知绝对值不等式|21|x a -<的解集为3b x <<,求2a b -的值;|21|x -<2a x ∴-<解得12a -解集为1a -⎧我们知道x 的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离:0x x =-,也就是说,x 表示在数轴上数x 与数0对应点之间的距离;这个结论可以推广为12x x -表示在数轴上数1x 和数2x 对应的点之间的距离;例1解方程2x =,容易看出,在数轴上与原点距离为2的点对应的数为2±,即该方程的解为2x =±.例2解不等式12x ->,如图,在数轴上找出12x -=的解,即到1的距离为2的点对应的数为1-,3,则12x ->的解集为1x <-或3x >.例3解方程125x x -++=由绝对值的几何意义知,该方程表示求在数轴上与1和2-的距离之和为5的对应的x 的值.在数轴上,1和2-的距离为3,满足方程的x 对应的点在1的右边或2-的左边,若x 对应的点在1的右边,由下图可以看出2x =;同理,若x 对应的点在2-的左边,可得3x =-,故原方程的解是2x =或3x =-.回答问题:(只需直接写出答案)①解方程34x +=②解不等式34x -≥③解方程328x x -++=③328x x -++=,。
第三讲 含绝对值不等式与一元二次不等式一、知识点回顾1、绝对值的意义:(其几何意义是数轴的点A (a )离开原点的距离a OA =)()()()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,0,00,a a a a a a2、含有绝对值不等式的解法:(解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号) (1)定义法;(2)零点分段法:通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式; (3)平方法:通常适用于两端均为非负实数时(比如()()x g x f <);(4)图象法或数形结合法; (5)不等式同解变形原理:即()a x a a a x <<-⇔><0 ()a x a x a a x -<>⇔>>或0()c b ax c c c b ax <+<-⇔><+0 ()c b ax c b ax c c b ax -<+>+⇔>>+或0()()()()()x g x f x g x g x f <<-⇔< ()()()()()()x g x f x g x f x g x f <>⇔>或 ()()()()a x f b b x f a a b b x f a -<<-<<⇔>><<或03、不等式的解集都要用集合形式表示,不要使用不等式的形式。
4、二次函数、一元二次方程、一元两次不等式的联系。
(见P8)5、利用二次函数图象的直观性来研究一元二次方程根的性质和一元二次不等式解集及变化,以及含字母的有关问题的讨论,渗透数形结合思想。
6、解一元二次不等式的步骤:(1)将不等式化为标准形式()002≥>++c bx ax 或()002≤<++c bx ax (2)解方程02=++c bx ax(3)据二次函数c bx ax y ++=2的图象写出二次不等式的解集。
一、 基本解法与思想解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化,即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解,常用的方法有公式法、定义法、平方法。
(一)、公式法:即利用a x >与a x <的解集求解。
主要知识:1、绝对值的几何意义:x 是指数轴上点x 到原点的距离;21x x -是指数轴上1x ,2x 两点间的距离.。
2、a x >与a x <型的不等式的解法。
当0>a 时,不等式>x 的解集是{}a x a x x -<>或,不等式a x <的解集是{}a x a x <<-;当0<a 时,不等式a x >的解集是{}R x x ∈不等式a x <的解集是∅;3.c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。
把 b ax + 看作一个整体时,可化为a x <与a x >型的不等式来求解。
当0>c 时,不等式c b ax >+的解集是{}c b ax c b ax x -<+>+或,不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-;当0<c 时,不等式c b ax >+的解集是{}R x x ∈不等式c bx a <+的解集是∅;例1 解不等式32<-x分析:这类题可直接利用上面的公式求解,这种解法还运用了整体思想,如把“2-x ” 看着一个整体。
答案为{}51<<-x x 。
(解略) (3)532<+<-x (2) 392+≤-x x(1)解:原不等式等价于032<-x ,所以不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>32x x(2)解:(1)法一:原不等式⎩⎨⎧+≤-≥-⇔390922x x x ①或⎩⎨⎧+≤-<-390922x x x ② 由①解得433≤≤-=x x 或,由②解得32<≤x ∴原不等式的解集是{}342-=≤≤x x x 或法二:原等式等价于39)3(2+≤-≤+-x x x ⎩⎨⎧≤≤-≥-≤⇔4323x x x 或423≤≤-=⇔x x 或∴原不等式的解集是{}342-=≤≤x x x 或法三:设)33,9221-≥+=-=x x y x y (,由392+=-x x 解得非曲直2,3,4321=-==x x x ,在同一坐标系下作出它们的图象,由图得使21y y ≤的x 的范围是433≤≤-=x x 或,∴原不等式的解集是{}342-=≤≤x x x 或评析:数形结合策略运用要解出两函数图象的交点。
(二)、定义法:即利用(0),0(0),(0).a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩去掉绝对值再解。
例2。
解不等式22x xx x >++。
分析:由绝对值的意义知,a a =⇔a ≥0,a a =-⇔a ≤0。
o -3 3 x9 y3解:原不等式等价于2xx +<0⇔x(x+2)<0⇔-2<x <0。
练习:x x 3232->-(1)解:原不等式等价于032<-x ,所以不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>32x x(三)、平方法:解()()f x g x >型不等式。
例3、解不等式123x x ->-。
解:原不等式⇔22(1)(23)x x ->-⇔22(23)(1)0x x ---<⇔(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0⇔(3x-4)(x-2)<0 ⇔423x <<。
说明:求解中以平方后移项再用平方差公式分解因式为宜。
二、分类讨论法:即通过合理分类去绝对值后再求解。
例4 解不等式125x x -++<。
分析:由01=-x ,02=+x ,得1=x 和2=x 。
2-和1把实数集合分成三个区间,即2-<x ,12≤≤-x ,1>x ,按这三个区间可去绝对值,故可按这三个区间讨论。
解:当x <-2时,得2(1)(2)5x x x <-⎧⎨---+<⎩,解得:23-<<-x 当-2≤x ≤1时,得21,(1)(2)5x x x -≤≤⎧⎨--++<⎩,解得:12≤≤-x当1>x 时,得1,(1)(2) 5.x x x >⎧⎨-++<⎩ 解得:21<<x综上,原不等式的解集为{}23<<-x x 。
说明:(1)原不等式的解集应为各种情况的并集;(2)这种解法又叫“零点分区间法”,即通过令每一个绝对值为零求得零点,求解应注意边界值。
三、几何法:即转化为几何知识求解。
例5 对任何实数x ,若不等式12x x k +-->恒成立,则实数k 的取值范围为 ( )(A)k<3(B)k<-3(C)k ≤3(D)k ≤-3分析:设12y x x =+--,则原式对任意实数x 恒成立的充要条件是min k y <,于是题转化为求y 的最小值。
解:1x +、2x -的几何意义分别为数轴上点x 到-1和2的距离1x +-2x -的几何意义为数轴上点x 到-1与2的距离之差,如图可得其最小值为-3,故选(B )。
(3)分析:关键是去掉绝对值方法1:零点分段讨论法(利用绝对值的代数定义) ①当1-<x 时,01,03<+<-x x ∴1)1()3(<++--x x ∴ 4<1 φ∈⇒x ②当31<≤-x 时∴1)1()3(<+---x x ⇒21>x ,∴}321|{<<x x ③当3≥x 时1)1()3(<+--x x ⇒-4<1R x ∈⇒ ∴}3|{≥x x综上,原不等式的解集为}21|{>x x也可以这样写: 解:原不等式等价于①⎩⎨⎧<++---<1)1()3(1x x x 或②⎩⎨⎧<+---<≤-1)1()3(31x x x 或 ③⎩⎨⎧<+--≥1)1()3(3x x x ,解①的解集为φ,②的解集为{x|21<x<3},③的解集为{x|x ≥3},∴原不等式的解集为{x|x>21}方法2:数形结合从形的方面考虑,不等式|x-3|-|x+1|<1表示数轴上到3和-1两点的距离之差小于1的点x3O 12-1∴原不等式的解集为{x|x>21}变式:(1)若a x x >+++12恒成立,求实数a 的取值范围。
解:由几何意义可知,12+++x x 的最小值为1,所以实数a 的取值范围为()1,∞-。
(2)数轴上有三个点A 、B 、C ,坐标分别为-1,2,5,在数轴上找一点M ,使它到A 、B 、C 三点的距离之和最小。
解:设M (x ,0)则它到A 、B 、C 三点的距离之和()521-+-++=x x x x f即()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<+-<≤-+-<≤+≥-=1,6321,852,45,63x x x x x x x x x f由图象可得:当()62min ==x f x 时四、典型题型1、解关于x 的不等式10832<-+x x解:原不等式等价于1083102<-+<-x x ,即⎩⎨⎧<-+->-+1083108322x x x x ⇒⎩⎨⎧<<--<->3621x x x 或 ∴ 原不等式的解集为)3,1()2,6(---2、解关于x 的不等式2321>-x 解:原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧<-≠-2132032x x ⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<≠474523x x 3、解关于x 的不等式212+<-x x解:原不等式可化为22)2()12(+<-x x ∴ 0)2()12(22<+--x x 即 0)13)(3(<+-x x解得:331<<-x∴ 原不等式的解集为)3,31(-4、解关于x 的不等式1212-<-m x )(R m ∈解:⑴ 当012≤-m 时,即21≤m ,因012≥-x ,故原不等式的解集是空集。
⑵ 当012>-m 时,即21>m ,原不等式等价于1212)12(-<-<--m x m解得:m x m <<-1综上,当21≤m 时,原不等式解集为空集;当21>m 时,不等式解集为{}m x m x <<-15、解关于x 的不等式1312++<--x x x解:当3-<x 时,得⎩⎨⎧++-<----<1)3()12(3x x x x ,无解当213≤≤-x ,得⎪⎩⎪⎨⎧++<---≤≤-13)12(213x x x x ,解得:2143≤<-x 当21>x 时,得⎪⎩⎪⎨⎧++<-->131221x x x x ,解得:21>x 综上所述,原不等式的解集为43(-,)216、解关于x 的不等式521≥++-x x (答案:),2[]3,(+∞--∞ ) 解:五、巩固练习1、设函数)2(,312)(-++-=f x x x f 则= ;若2)(≤x f ,则x 的取值范围是 .2、已知a ∈R ,若关于x 的方程2104x x a a ++-+=有实根,则a 的取值范围 是 .3、不等式121≥++x x 的实数解为 .4、解下列不等式 ⑴4321x x ->+; ⑵ |2||1|x x -<+; ⑶ |21||2|4x x ++->;⑷ 4|23|7x <-≤ ; ⑸ 241<--x ; ⑹ a a x <-2(a R ∈) 5、若不等式62<+ax 的解集为()1,2-,则实数a 等于 ( ).A 8 .B 2 .C 4- .D 8- 6、若x R ∈,则()()110x x -+>的解集是( ).A {}01x x ≤<.B {0x x <且1}x ≠-.C {}11x x -<< .D {1x x <且1}x ≠-7、()1对任意实数x ,|1||2|x x a ++->恒成立,则a 的取值范围是 ;()2对任意实数x ,|1||3|x x a --+<恒成立,则a 的取值范围是 ;()3若关于x 的不等式|4||3|x x a -++<的解集不是空集,则a 的取值范围是 ;8、不等式x x 3102≤-的解集为( ).A {}|210x x ≤≤ .B {}|25x x -≤≤ .C {}|25x x ≤≤ .D {}|105x x ≤≤ 9、解不等式:221>-+-x x10、方程x x x x x x 323222++=++的解集为 ,不等式xxx x ->-22的解集是 ; 12、不等式x 0)21(>-x 的解集是( ).A )21,(-∞ .B )21,0()0,( -∞ .C ),21(+∞ .D )21,0( 11、不等式3529x ≤-<的解集是.A ()(),27,-∞-+∞ .B []1,4 .C [][]2,14,7- .D (][)2,14,7-12、 已知不等式a x ≤-2)0(>a 的解集为{}c x R x <<-∈1|,求c a 2+的值13、解关于x 的不等式:①解关于x 的不等式31<-mx ;②a x <-+132)(R a ∈ 14、不等式1|1|3x <+<的解集为( )..A (0,2) .B (2,0)(2,4)- .C (4,0)- .D (4,2)(0,2)--15、 设集合{}22,A x x x R =-≤∈,{}21,2≤≤--==x x y y B ,则()R C A B 等于 ( ).A R .B {},0x x R x ∈≠ .C {}0 .D ∅ 16、不等式211x x --<的解集是 .17、设全集U R =,解关于x 的不等式: 110x a -+->()x R ∈(参考答案)1、 6 ; ∅ ;2、 ]4,0[3、)23,2()2,(----∞ 4、⑴ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧><231x x x 或 ⑵ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21x x ⑶ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<121x x x 或⑷ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-<≤-527212x x x 或 ⑸ {}7315<<-<<-x x x 或 ⑹ 当0>a 时,{}a x a x 22<<-;当0≤a 时,不等式的解集为∅ 5、C 6、D 7、⑴ 3<a ; ⑵ 4>a ; ⑶ 7>a ; 8、C 9、⎭⎬⎫⎩⎨⎧><2521x a x x 或 10、{}023>≤<-x x x 或;{}02<>x x x 或11、D 12、 1513、① 当0=m 时,R x ∈;当0>m 时,m x m 42<<-;当0<m 时,mx m 24-<< ② 当01>+a ,即1->a 时,不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-122a x a x ;当01≤+a ,即1-≤a 时,不等式的解集为∅; 14、D 15、B 16、0(,)217、当01>-a ,即1<a 时,不等式的解集为{}a x a x x -><2或;当01=-a ,即1=a 时,不等式的解集为{}1≠x x ; 当01<-a ,即1>a 时,不等式的解集为R ;。