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弹簧振子的运动特征分析弹簧振子是一种常见的物理实验装置，用于研究振动现象和力学规律。
其由一个质点和一根弹簧组成，当将质点拉离平衡位置，松手后，质点会围绕平衡位置做周期性振动。
本文将对弹簧振子的运动特征进行分析。
一、运动方程当弹簧振子处于平衡位置时，弹簧不发生形变，质点的受力只有重力，因此质点受到向下的重力而向下运动。
当质点被拉伸或压缩离开平衡位置时，弹簧会产生回复力，将质点拉回平衡位置。
根据牛顿第二定律，质点受到的合力等于其质量乘以加速度。
设质点离平衡位置的位移为x，则质点所受合力可以表示为弹簧回复力和重力之和：m*a = -k*x - mg，其中m为质点的质量，a为质点的加速度，k为弹簧的劲度系数，g为重力加速度。
根据以上方程，可以得到弹簧振子的运动方程为：m*a = -k*x - mg。
二、简谐振动弹簧振子的运动方程满足谐振动的条件，即质点受到的回复力与其位移成正比。
由于回复力的方向与位移方向相反，所以运动方程可以改写为：m*a + k*x = 0。
根据解微分方程的方法，可以得到弹簧振子的位移方程为：x(t) = Acos(ωt + φ)，其中x(t)为质点的位移，A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相位。
振幅和初相位的取值与初始条件有关，而角频率则与弹簧的劲度系数和质量有关。
三、共振现象在弹簧振子的运动中，当外界周期性力的频率与弹簧振子的固有频率相等时，会出现共振现象。
共振时，振幅会显著增大，其原因是外界力的周期性作用使得质点获得足够的能量，导致振幅增大。
共振现象在工程领域中经常被利用，如乐器共振、桥梁共振等。
同时，共振现象也需要避免，因为在某些情况下，共振会导致结构的破坏。
四、周期和频率弹簧振子的运动是一种周期性的振动，其周期T与频率f的关系为T = 1/f。
周期是指振动完成一个完整循环所需要的时间，频率是指振动单位时间内所完成的循环次数。
对于弹簧振子而言，其固有频率只与弹簧的劲度系数和质量有关，可以表示为f = 1/(2π)√(k/m)。
弹簧振子的研究实验报告弹簧振子的研究实验报告引言：弹簧振子是物理学中常见的研究对象之一。
通过对弹簧振子的实验研究，我们可以深入了解弹簧振子的特性和行为规律。
本实验旨在通过观察和测量弹簧振子的振动频率和振动周期，探究弹簧振子的运动规律，并验证相关理论。
实验设备：1. 弹簧振子：由一根弹簧和一个挂在弹簧下端的质点组成。
2. 支架：用于固定弹簧振子，保证其稳定性。
3. 计时器：用于测量弹簧振子的振动周期。
实验步骤：1. 将弹簧振子固定在支架上，保证其垂直挂放。
2. 将振子拉伸至适当的位置，使振子的质点与静止位置相距一定距离。
3. 释放振子，开始记录时间。
4. 记录振子的振动周期，即从一个极值点到下一个极值点所经历的时间。
5. 重复实验多次，取平均值以提高数据的准确性。
实验结果：通过多次实验，我们得到了一系列弹簧振子的振动周期数据。
根据这些数据，我们计算出了弹簧振子的平均振动周期，并进一步求得了振动频率。
讨论：根据实验结果，我们可以发现弹簧振子的振动周期与振子的质量无关，而与弹簧的劲度系数和振子的振幅有关。
振动周期与振幅之间存在着简单的线性关系，即振动周期随振幅的增大而增大。
这与弹簧振子的运动规律相吻合。
进一步探究：为了进一步研究弹簧振子的特性，我们可以改变弹簧的劲度系数和振子的质量，观察其对振动周期和振动频率的影响。
通过调节弹簧的劲度系数，我们可以发现振动周期与弹簧的劲度系数成反比关系，即劲度系数越大，振动周期越小。
而通过改变振子的质量，我们可以发现振动周期与质量成正比关系，即质量越大，振动周期越大。
实验应用：弹簧振子的研究在实际生活中有着广泛的应用。
例如，弹簧振子的运动规律可以应用于钟摆的设计和制造，以确保钟摆的稳定性和准确性。
此外，弹簧振子的原理也被应用于各种仪器和设备中，如振动传感器、阻尼器等。
结论：通过本次实验，我们深入了解了弹簧振子的特性和运动规律。
实验结果验证了弹簧振子的振动周期与振幅成正比，与弹簧的劲度系数和振子的质量无关。
弹簧振子实验研究简谐振动的特性引言：弹簧振子作为物理学中简谐振动的典型例子，具有重要的研究价值。
本文将通过对弹簧振子的实验研究，探讨简谐振动的特性及其相关原理，以期进一步理解振动现象。
一、实验装置及原理实验中，我们需要准备以下装置：1. 弹簧：具有一定弹性，可以发生伸缩运动；2. 臂架：用于支撑弹簧及附加质量；3. 质量块：用于调节弹簧振子的质量；4. 计时器：用于测量振动的周期。
在弹簧振子实验中，弹簧的一端固定在臂架上，另一端连接质量块。
当质量块发生位移时，弹簧将受到弹性力的作用，从而形成振动。
根据胡克定律，弹簧的弹性力与其伸长或缩短的长度成正比，反方向相反。
因此，弹簧振子的简谐振动可以通过以下公式描述：F = -kx其中，F为弹簧受到的弹性力，k为弹簧的劲度系数，x为质量块的位移。
二、实验步骤及结果在实验过程中，我们按照以下步骤进行操作：1. 调整弹簧振子的初始状态，使其处于平衡位置；2. 加入一定质量的质量块，并轻轻拉伸或压缩弹簧，使其产生振动；3. 使用计时器测量振动的周期，并记录相应数据；4. 重复实验多次，取得一组准确可靠的数据。
根据实验数据的记录，我们可以得出以下结论：1. 振动周期与质量无关：实验中，我们可以通过改变质量块的质量来观察振动的周期变化。
然而，不论质量的大小如何，振动周期都保持不变，即质量对振动周期没有影响。
2. 振动周期与弹簧劲度系数成正比：通过实验数据的分析，我们发现振动周期与弹簧劲度系数k成正比。
当劲度系数增大时，振动周期也随之增大，反之亦然。
3. 振动振幅与劲度系数成反比：实验中，我们还发现振动的振幅与弹簧劲度系数k成反比。
当劲度系数增大时，振动的振幅减小，反之亦然。
三、实验误差分析在实验过程中，由于各种因素的干扰，可能会导致实验误差的产生。
其中一些主要因素包括：1. 摩擦力的影响：实际操作中，弹簧振子可能会受到一定的摩擦力的阻碍，从而导致振动周期的变化。
2. 弹簧非理想性：实际弹簧可能存在伸缩不均匀或弹性系数不准确等问题，也会对实验结果产生一定的影响。
弹簧振子运动规律的实验研究实验报告实验报告：弹簧振子运动规律的实验研究1.引言弹簧振子是物理学中常见的一个物体，它是由一根弹簧和一个质点组成的。
弹簧可视为一个线性回复力系统，具有回复力与位移成正比的特性。
在本实验中，我们将研究弹簧振子的运动规律。
2.实验目的（1）通过实验测量弹簧振子的周期并计算其频率；（2）验证弹簧振子的运动规律。
3.实验器材弹簧振子装置、定时器、质量块、标尺。
4.实验步骤（1）将弹簧振子装置固定至实验台上，并调整至水平位置。
（2）在弹簧振子下方加一个质量块，记录下质量块的重量。
（3）用标尺测量质量块与弹簧静止时的伸长长度，并记录下来。
（4）将质量块拉起并放手，用定时器计时，记录下质量块振动的时间t1（5）重复步骤（4）多次，取得多次实验数据，并求出平均值。
（6）重复以上实验步骤，分别改变质量块的质量和弹簧的伸长长度。
5.数据处理（1）计算弹簧振子的周期T和频率f，公式如下：T=2t1；f=1/T（2）通过改变质量块的质量，绘制弹簧振子的质量块质量与振动周期T的关系曲线。
（3）通过改变弹簧的伸长长度，绘制弹簧的伸长长度与振动周期T的关系曲线。
6.实验结果与分析（1）通过实验数据计算弹簧振子的周期T和频率f，并绘制出质量块质量与周期T的关系曲线。
（2）通过实验数据计算弹簧的伸长长度与周期T的关系，并绘制出其关系曲线。
（3）通过实验数据分析，发现质量块质量增大，振动周期T也增大，符合弹簧振子的运动规律。
而伸长长度增大，周期T也增大，也符合弹簧振子的运动规律。
7.结论（1）通过实验测得弹簧振子的周期T和频率f，并验证了弹簧振子的周期与频率之间的关系T=1/f。
（2）通过实验研究发现，质量块质量增大和弹簧的伸长长度增大，都会使弹簧振子的周期变大，符合弹簧振子的运动规律。
8.实验改进（1）增加实验次数，提高数据的可靠性。
（2）使用更精确的测量器材，提高测量的准确性。
（3）进行更多的条件变化，如改变弹簧的劲度系数等，来进一步研究弹簧振子的运动规律。
弹簧振子运动规律的实验研究
弹簧振子是一种由弹簧和质点组成的简谐振动系统。
它的运动规律可以通过实验研究来确定。
1. 实验装置：实验中需要一根细长的弹簧和一个质点，如一个小钢球。
弹簧一端固定在支架上，另一端连接质点。
2. 实验步骤：首先，将质点拉离平衡位置，然后松手放开，记录质点在弹簧振子上的运动。
3. 实验数据记录：记录质点的运动时间和位置。
可以使用计时器测量每个周期的时间，以及测量质点的最大位移、振幅和周期等参数。
4. 实验结果分析：根据实验数据，可以得到弹簧振子的运动规律。
根据振动周期和弹簧的劲度系数可以计算质点的质量。
5. 实验误差分析：在实验过程中，可能存在一些误差，如弹簧的偏差、质点的摩擦等。
可以通过多次实验取平均值来减小误差。
6. 实验拓展：可以改变质量、振幅和劲度系数等参数来研究不同条件下弹簧振子的运动规律。
还可以将多个弹簧振子串联或并联，研究它们的耦合振动。
通过实验研究弹簧振子的运动规律，可以验证弹簧振子的简谐振动性质，探究质量、劲度系数和振幅等因素对振动特性的影响，以及学习如何测量振动参数。
这对于理解振动现象和应用于工程和物理学等领域具有重要意义。
弹簧振子实验研究弹簧振子的振动规律弹簧振子是经典力学中一个重要的模型，它是由一个质点和一个弹簧组成的系统。
通过对弹簧振子的研究，我们可以了解到弹簧振子的振动规律以及其中所涉及到的物理量和公式。
一、实验装置和步骤在进行弹簧振子实验之前，我们首先要准备好实验所需的装置。
一般来说，弹簧振子实验装置需要包括以下几个组成部分：1. 弹簧：选择一根质量轻、长度适中的弹簧。
2. 支架：用于固定弹簧振子的支架，保持实验的稳定性。
3. 质量：用于调节弹簧振子的质量，可以通过增加或减少质量来改变振子的振动特性。
在准备好实验装置之后，我们可以进行以下步骤来研究弹簧振子的振动规律：1. 将弹簧挂在支架上，让其自由悬挂。
2. 将质量挂在弹簧下方，使其与弹簧相连。
3. 将振子拉动，使其产生振动。
4. 观察振子的振动情况，记录下相关数据。
5. 根据实验数据，分析振子的振动规律。
二、振动规律的研究通过对弹簧振子实验的研究，我们可以得到以下几个重要的振动规律：1. 振动周期：弹簧振子完成一次完整的振动所需要的时间称为振动周期，通常用T表示。
实验中可以通过观察振子的振动次数和时间来计算振动周期。
2. 振动频率：振动频率是指弹簧振子单位时间内完成的振动次数，通常用f表示。
振动频率和振动周期之间存在以下关系：f=1/T。
3. 动能和势能：弹簧振子在振动过程中存在动能和势能的转换。
当振子靠近平衡位置时，其势能达到最大值；当振子达到最大振幅时，其动能达到最大值。
4. 振动幅度：振动幅度是指弹簧振子振动过程中质点距离平衡位置的最大偏移量。
实验中可以通过观察振子的振动距离来确定振动幅度。
5. 振动衰减：由于空气阻力的存在，弹簧振子的振动会逐渐减弱，最终停止。
这种振动衰减现象可以通过实验观察得出。
三、振动规律的数学模型弹簧振子的振动规律可以用如下的数学模型来描述：1. 弹簧的劲度系数：弹簧的劲度系数k是一个重要的物理量，它表示单位振动幅度所需要的力的大小。
实验名称弹簧振子运动规律的实验研究实验目的研究弹簧振子运动规律和能量变化规律研究弹簧振子振动周期与弹簧劲度系数和振子质量的关系实验仪器秒表，钩码（20g）（1个），砝码（每个20g）（5个），支架和镜尺，劲度系数不同的弹簧（4个）实验原理弹簧劲度系数k的测量在弹性限度内，弹簧的伸长量x 与所受的拉力F 成正比，即kxF=（1）这就是胡克定律，比例系数k 就是弹簧的劲度系数，它与材料的性质及形状有关。
根据胡克定律，测量出弹簧的伸长量x 及对应的弹簧所受拉力F，就可以通过式（1）计算得到弹簧的劲度系数。
用砝码作为振子，取弹簧振子上的某一点作为标识弹簧长度的指P。
设弹簧未悬挂砝码m 时，其指针P位于O处。
挂上m 后，弹簧伸长，假设指针静止于O 点，这一点就是平衡点，此时作用于砝码m 上的弹性力与重力平衡，即kx=mg（2）由此可求出k 值。
为了提高测量的准确度，可以测出弹簧在一系列不同拉力作用下的伸长量，通过作图法求直线斜率或直线拟合方法，获得其劲度系数。
弹簧振子运动规律和能量变化规律的研究取一点O为弹性势能和重力势能的零点，测量振子在一个周期内不同时刻偏离平衡位置的位移。
对这些实验数据进行处理得到振子位移与时间关系，即振子运动方程，进而确认弹簧振子的振动是否为简谐振动。
基于振子位移与时间的实验数据，计算得到不同时刻振子的速度和加速度，进而获得振子在一个周期内受力随时间的变化规律，动能、势能和机械能随时间的变化规律，动能和势能的相互转化以及一个周期内振子的平均动能、平均势能等。
弹簧振子振动周期与弹簧劲度系数和振子质量的关系通过控制变量法，控制弹簧劲度系数k不变和振子质量m其中一个因素不变，改变另一个因素的值，观察弹簧振子振动周期T随该因素的变化关系。
综合分析实验数据，找出振动周期与振子质量和弹簧劲度系数之间关系的经验公式。
实验步骤1.弹簧劲度系数k的测量将所用弹簧由短到长依次编号，分别为1#弹簧、2#弹簧、3#弹簧和4#弹簧，逐次测量指针位置。
关于实际弹簧振子运动特性的研究摘要：本文分析和研究了实际弹簧振子的运动特性，即在考虑弹簧振子自身的质量和在运动过程中遇到摩擦阻力等情况下，对其振动的性质、周期、振幅等特性的影响，并得出了定量的表达式，同时文中对弹簧振子运动时所具有的能量也作了比较全面的论述。
这将为物理课程中该问题的教学提供了良好的参考作用。
关键词：弹簧；质量；摩擦力；系统能量等。
0 引言在一般的物理书籍中，当述及到弹簧振子的特性时，为了讨论问题的方便，往往都是忽略了弹簧振子的质量和物体在运动时所受到的摩擦阻力的,但在实际问题中却往往不是这样，下面我们将对上述两个因素对弹簧振子运动特性的影响作系统的分析和研究，同时对平时较为少见的实际弹簧振子运动时所具有的能量问题也作了全面的论述。
1 实际弹簧振子的运动特性在一般教学和研究中涉及弹簧振子时，通常都是指轻弹簧[1]，即在这种理想条件下抽象出弹性集中于弹簧，质量集中于振子，没有运动阻力的理想弹簧振子模型。
分析它的动力学特点，易知弹簧振子系统在运动中只受到回复力F=－kx的作用，简谐振动的固有周期公式T=2πm 。
如果弹簧振子受到的摩擦力或弹簧质量不能忽略，那么这两种因素k对弹簧振子的振动[2]到底会有什么影响呢？下面我们分别加以讨论。
1.1摩擦力对弹簧振子振动的影响为简化该问题的讨论，我们不考虑弹簧质量对系统振动的影响，即忽略弹簧质量。
设弹簧的倔强系数为k，振子与杆的滑动摩擦系数为μ，静摩擦系数为μ'，弹簧振子的质量为m，x轴方向如图弹簧振子在运动过程中所受摩擦力大小f=μmg，其方向与振子运动方向相反。
如果我们用符号SignA表示某任意值A的正负号，则f=-μmg（Sign这样，当dx）dtdxdx>0时，f=-μmg；当<0时，f=μmg； dtdtdxdxd2x当≠O时，弹簧振子的运动方程为：-kx-μmg（Sign）=m dtdtdt2kdxd2x即2+（）x=-μg（Sign） mdtdtkdxd2x2令ω=，则有2+ωx=-μg（Sign）（1） mdtdt2设t=0时，x=x0，dx=0（此时摩擦力不应超过最大静摩擦力μ'mg，因为dtμ<μ'），为了使振子开始运动，必须使拉振子回到平衡位置的弹簧的反作用力大小超过静摩擦力，即k |x0|>μ'mg，|x0|>μ'mgk0这个不等式的成立表明振子已偏离平衡位置一段足够远的距离。
令x0>0，振子开始就向x轴的负方向运动，即Signdx=-1，则（1）式变为 dtd2x2ω+x=ug （2） dt2（2）式满足起始条件的积分是μgx=2ωμg+（x0-2ω）Cosωt μgdx=- ω（x0-2）Sinωt 由此得到：ωdt在Sinωt>0 即0<t<πωdx时，仍为负值，在t=t1=dtπω瞬时，dx的值变为零dt并改变正负号，x的值是x1=x（t1）=-x0+2μgω2 1μ'g2μgk注意到2=，如果|x1|=|-ω0+|>ωω2ω2m下有，则振动就会停止。
在这种情况x1=-x0+2μgω21 <0这样，在t1瞬时，振子开始向x轴正方向运动。
这就是说，当t>t1时，在某一时间间隔内dxdx>0，Sign =1，（1）式就变为 dtdtd2x2ω+x=-ug （3） 2dt注意到起始条件是当t=t1时，x=x1，dx=0。
同前面的讨论一样，我们会得出在 dt t2=2πω瞬时x2=x（t2）=x0-4μgω2如果 |x2|=|x0-4μgω2μ'g|> 2ω，则振动也不会停止，同样可以证明x2>0。
这样，弹簧振子离开平衡位置的连续最大偏位移大小是x0，x1=-x0+2μgω2，x2=x0-4μgω2，……，xn=(-1)（-x0+n2nμgω2）。
与之相对应，振子中止的瞬时为πt=0，t1=ω，t2=2πω，……，tn=nπω在平衡位置同一侧的两个中止瞬时之间的时间间隔等于T=tn-tn-1=2πω因为ω=2k，所以T=2πmk，即等于无摩擦时弹簧振子的振动周期。
m我们很容易得到：每一偏位移其绝对值比前一偏位移减少2μgω2。
前面的讨论表明：摩擦力的存在，使得弹簧振子并不严格地做简谐振动，但在正向或负向运动过程中仍分别为简谐振动，振动周期也并不发生影响，振动过程中弹簧振子偏离平衡位置的位移大小则每半周期按算术级数递减2μgω2。
例1 一倔强系数为k的弹簧起先自由伸长，其右端挂一质量为m的物体，并把该物体所在的起始位置记作O点，在O点左侧桌面光滑，右侧桌面粗糙，并且摩擦系数为μ，现 2在将物体压缩到A点再释放，求物体由A→B→C所需要的时间（如图1-1-a所示）？解：我们可以分五个时间段分别单独讨论，然后相加求总时间。
①. 弹簧振子从A点运动到O点：t1=π2k m②.平衡位置左移：`把新的平衡位置记作o'（如图1-1-b所示），⎧⎨⎩x0=oo'=μmgkA'=A+x0 ω=k m121kA=kA''2+μmgA'' 22μmg⇒A=+A''=x0+A'' k⇒A''=A-x0∴ α=arcCosμmgkA'（如图1-1-b′所示）∴t2=α=ωarcCosμmg'k m3③．平衡位置右移时:物体运动到最右点后向左运动时（如图1-1-c所示）此时有A'''=A''-x0 (B→O')t3=④．(O'→O)Sinα=π2m kx0（如图1-1-c′所示） A''x∴α=arcS0A''arcSin∴ t4=kmx0⑤．t5=π2mk因此物体由A→B→C所需要的总时间为：T=t1+t2+t3+t4+t5=π2m+karcCos' +π2kmμmgm +karcSinx0+π2kmm k=3π2m+karcCosμmg'+arcSinkmkmx0=( x3πμmgm+arcCos+0)'''2kAAk1. 2弹簧自身重力不能忽略在实际情况下，弹簧自身质量往往是存在的，那么弹簧自身质量对弹簧振子的振动又会有怎么样的影响呢？1.2.1弹簧在自身重力作用下的伸长与缩短如图1-2-1所示，非轻质弹簧系统中弹簧和物体（质点）组成。
今有一非轻质弹簧，设弹簧质量为m0，在任意时刻都为均匀弹性体，倔强系数为k，物体质量为m，如果把它放在光滑的水平面上，使之处于自然长度状态，记作l0，现将系统放置在一倾角为α的斜面上，并且把弹簧的一端固定在O点，那么此时它将伸长多少呢？下面我们就这一情况来研讨一下。
我们可以把弹簧截为长度相等的n段小弹簧l1、l2、l3……ln，则根据下文提到的弹簧被截断以后新的倔强系数的确定方法，我们不难求出每小段弹簧的倔强系数为nk 。
现在弹簧下端挂一质量为m 的重物，求平衡后弹簧的总伸长量。
x假设弹簧的总伸长量为△l，每一小段长为l1、l2、l3……ln的弹簧的伸长量分别为△l1、△l2、△l3…… △ln，则每小段弹簧受到向下的力依次为（mg+（mg+m0g）Sinα、nnm02m0g）Sinα、g）Sinα，则（mg+nnm2mnm(mg+0g)Sinα(mg+0g)Sinα(mg+0g)Sinα△l1＝，△l2＝……△ln＝， nknknk 因此△l＝△l1＋△l2＋△l3＋……＋△ln m02mnm(mg+0g)Sinαg)Sinα(mg+0g)Sinα＝++……+ nknknknmgSinαm0gSinα＝+（1＋2＋3+……+n） nkn2kmgSinα1+nmgSinα＝+ 02（）n， knk2(mg+ 5mgmgSinα+0（1+n）Sinα≈2nkkkmg(mg+0)Sinα 或k△l=(mg+m0g)Sinα 程度越高。
当n→∞时，有△l=2k(mg+∴△l ＝m0g)Sinα， n越大，近似由上式看出弹簧自身的重力对弹簧的伸长量的贡献打了½的折扣，不能与所挂物体的重力一视同仁[4]。
为什么自身的重力要打折扣呢？这是因为下部位弹簧（相对而言）的重力对上部位弹簧（相对而言）的伸长有影响，而上部位弹簧的重力对下部位弹簧伸长无影响的缘故。
当α＝π/2时，即为弹簧垂直悬挂状态，此时弹簧自身的质量对弹簧的伸长影响最大；当α慢慢减小以后，弹簧自身的质量对弹簧的伸长影响慢慢减小，直到α＝0的时候，弹簧自身的质量对弹簧的伸长影响为零（弹簧静止）。
1.2. 2弹簧自身质量对弹簧振子振动的影响设弹簧振子系统由质量为m'、倔强系数为k，原长为x0、横截面积为S、体密度为ρ（假设S，ρ在运动中为衡量）的弹簧与质量为m的刚性体振子所组成。
并假设运动中振子与杆的摩擦阻力足够小，可以忽略不计。
m'远小于m，但m'不能忽略。
起始条件，t=t0时刻，弹簧振子系统处于平衡状态，振子m位于x0处；弹簧中xio处' =ρSdxio（如图1-2-2所示）的质元为dmio。
dx，它离开原来自身平衡位dtdx置的位移大小为|xi-xio|；与此同时，质元dmi'的位于xi处，质元速度为i，离开它自dt系统振动以后，在t=t1时刻，m运动到x处。
其速度为身平衡位置位移的大小是|xi-xio|。
这样，在t1时间，位于m的动能为Ek= 1dx2 m（）（4） 2dt'的动能为dEk'=质元dmiodx1'(i)2 （5） dmio2dt由弹簧应变定义，我们得到下面的关系式 x-xoxi-xio= （6） x0xi06对（6）式两端求导数有 dxixiodx=. （7） dtxodt对（7）式代入（5）式，则有2dxi2ρsxio1dx2 .'=dmio'（）=.( ).dxio (8) dEk22dtdt2x0对整个弹簧积分，即得到弹簧由于自身质量m'所具有的动能，即x0' =⎰' = ⎰dEkEk0ρsxio2x0()2(ρsx0dx2dx2）.（） )dxio=（6dtdt' = 因为m'=ρsx0 ，所以Ek又因为弹簧势能Ep=dx2m'）（） 6dt1x-xo×应变×应力×体积，其中弹簧应变=，2x0k（x-x0），体积=x0s ， s12 所以，Ep=k（x-x0）2应力=因此，弹簧振子系统的总能量为'+ E= Ek+Ekdx1Ep=1 m（dx）2 +m'）（）+22dt6dt2k（x-x0）2 （9）对（9）式两端求导数而得到m'd2x（m+）（2）+k（x-x0）= 0 3dtd2xk即（2）+（x-x0）=0 （10） dt（m+）3令ω=2k（m+）3，则（10）式就变为 d2x2（2）+ ω（x-x0）=0 （11） dt（11）式表明，虽然振子质量m远大于弹簧质量m'，但m'不能忽略时，m'并不影响弹簧振子系统作简谐振动的特点，也就是说，同时考虑m与m'时，该系统仍作简谐振动。
