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例谈极限思想在小学数学教学中的渗透摘要：极限思想是近代数学中一种重要的思想，是以后学习数学分析的理论基础。
将结合小学数学这一特定教育阶段，以几个有代表性的特例，论述极限思想在小学数学教学中的渗透。
关键词：极限思想；小学数学；无限逼近；无限递减；化曲为直在《义务教育数学课程标准（2022年版）》课程目标中的“总目标”明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。
”从“双基”到“四基”的变化上可以看出，课程标准重视在数学教学中渗透数学的基本思想，重视数学思想对学生思维发展的作用。
纵观小学教材，极限思想蕴含在小学数学诸多知识领域中。
如何在小学生的头脑中播下极限思想的“种子”，让其“生根”“发芽”，为以后成长为枝繁叶茂数学分析的“参天大树”打下坚实的基础呢？本文将立足于小学数学这一特定的教育阶段，针对“极限思想”在小学数学教学中几个特例进行初步探索，为教师的教学设计提供参考。
学生在学习了循环小数后的数学活动课上，我出示了这样一道题。
下面有两组数，请大家比较大小：讨论交流：①减数0.99…的小数点后面有多少个9？②你认为差的小数点后面的0有多少个？③差的最后一位会出现1吗？生1：减数0.99…的末尾有无数多个9，差的小数点后面有无数多个0，差的最后一位可能不会出现1。
生2：差的最后一位一定不会出现1，因为一直减下去，有无限多个0，永远也不会出现0。
生3：我感觉0.99…无限接近1。
通过上面的教学，改变了学生总以为在那遥远的地方一定还有一个9的思维定式吧。
其实，既然是无限，哪有末尾。
正如“时间无所谓始终”“宇宙无边无际”一样。
学生在思考解决问题的过程中，初步体会了“无限逼近”的含义，基本上知道0.99…无限接近1，最后就真的等于1的本质。
二、“一尺之棰，日取其半，万世不竭”真的取不完吗在北师大版义务教育教科书五年级《数学》（下）中有以下两个数学情境：第一个情境是用图形直观地帮助学生理解分数单位乘分数单位的意义，即单位量与单位数都是分数单位，表示一个分数单位的几分之一，分数单位与分数单位的积仍然是一个分数。
极限思想在小学数学教材中的渗透极限思想是一种重要的数学思想，在小学数学教材中十分常见。
所谓极限思想是用联系变动的观点，把所考察的对象看作是某个对象在无限变化过程中变化结果的思想。
它体现了“从有限中找到无限，从暂时中找到永久，并且使之确定起来”的一种运动辩证思想。
下面是极限思想在小学数学教材中的安排：一、极限思想在数与代数中的渗透（一）数的认识中的蕴含的极限思想《数学》三年级下册P2。
教材以学生最为熟知的买文具的生活情境进行导入，以呈现商品价格来引出小数。
“像3.50,1.06,16.85……这样的数，都是小数。
”通过用省略号来表示余下的小数，由此可以知道，小数的个数有无数个。
小数可以越来越大，也可以越来越小，小数是数不完的。
在教学中可以从“数量”上突出“无限多”，渗透极限的数学思想。
《数学》三年级下册P4。
小数有无限多个与其等值的小数。
例如：与0.5相同的小数有无限多个。
因此，在比较两个小数的大小时，可以转化成与原小数等值的小数进行比较。
《数学》三年级下册P54。
分数的个数是无限多的。
教材以分苹果，分割圆片为例，引出分数的表示方法。
把一张纸等分为四份，其中一份用表示，其中的两份用表示……随着份数的逐渐增加，则可用于表示的分数也增加。
如果将物体一直分下去，那么这是一个“无限”的过程。
在这个无限“分”的过程中产生的分数越来越多，直至无限多个。
因此，分数的个数是无限多的。
分数可以无穷大，也可以无穷小。
这里蕴含着极限的数学思想，教学时可以适时让学生体会分数的个数有无数个。
《数学》四年级上册P4。
数可以越来越大，没有尽头。
教材以数位表的形式展示数的无限多。
数级从个级开始，往左逐次增大，没有尽头；数位从个位开始，往左依次增大，没有尽头；计数单位从个位开始，同样往左依次增大，没有尽头。
无论是数级、数位还是计数单位，它们都是依次增大，没有尽头，数可以无限大、是无限多的。
《数学》四年级上册P89。
正数与负数有无数个，是数不完的。
极限数学思想方法的应用极限数学思想方法在小学数学中的应用一、极限思想的内涵极限的思想方法是人们从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种数学思想方法，它是事物转化的重要环节。
但由于小学生受年龄特点的限制，他们对具体的、数量有限的事物容易理解，对抽象的、数量无限的事物难于把握。
所以要理解“极限”的内涵，我们可以从“无限”入手，让小学生首先理解小学数学中的“无限”。
极限思想简单地说就是无限逼近的意思。
早在先秦诸子的著作中就已有了极限思想的萌芽，如在《庄子?天下篇》就提出过“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
数学家刘微(约255-295)在注释《九章算术》时创立了有名的“割圆术”，则把极限思想和极限概念运用于解决实际的数学问题，他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与园合体而无所失矣”解决了推求圆周率精确值问题，是应用极限思想的成功事例。
而刘微提出的这种无限接近的思想也就是后来建立极限概念的基础。
二、极限思想的作用极限是指用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态的概念。
而极限思想是在小学教学中是一种重要的数学思想，灵活地借助极限思想，可以将某些数学问题化为易，避免一些复杂运算，探索出解题方向或转化途径。
三、极限思想在教材中的分布点小数和整数的数位顺序表“自然数”“奇数”“偶数”“倍数”“质数”、“合数”的教学循环小数的认识直线、射线、平行线的认识小数点的移动变化规律圆的认识圆的面积圆柱的体积角的认识及大小比较倍数与公倍数四、极限思想方法的渗透策略1、从“图形”上看“无限延伸性”小学几何概念中有许多概念是具有无限性的，如直线、射线、角的边、平行线的长度等等它们都是可以无限延伸的，通过一点可以画无数条直线等等，如人教版四年级上册《直线、射线和角》的教学，有多个渗透极限思想的点，一是直线的两端、射线的一端(没有端点)可以无限延伸，教学时，可以借助学生的想象，先让学生画一条直线，然后延长，再延长一直到不能画为止，这时可提问，还可以延伸吗，直至想象这条直线穿出教室，学校，我们所在的城市地球的大气层太阳系……，师让学生闭上眼睛，自己边说直线的路径，边让学生体会直线两端的无限延伸，从中体会其中的“极限”思想;二是经过一点可以画( )条直线，这里我们可以借助现代化工具制作多媒体课件，在让学生试画之后，出示课件，经过一个点的直线，1条，3条，10条，50条，上百条……直至变成近似于以这个点为中心的圆，而这个圆即是答案，个数是无限的，圆则是最终极限的结果。
浅谈极限思想在小学数学教学中的渗透打开文本图片集【摘要】随着社会的发展人们的教育观念逐渐发生变化，素质教育逐渐取代应试教育。
为了培养综合型人才，素质教育在我国已开展多年，既取得一些成绩，也有很多问题有待解决，数学作为基础课程，一直是素质教育的重点内容，为了提高教学效率很多教学新理念、新方法逐渐应用到小学数学教学之中，极限思想是现代数学教育的主要思想，本文以素质教育为出发点，对极限思想在小学数学教学的渗透进行深入分析。
【关键词】极限思想；小学数学；教育；渗透近年来，我国加强了教育基础设施的建设，教学内容和教学方式也逐渐丰富。
此外，在教材的编写方面，也始终坚持着与时俱进的发展模式，几乎每隔几年都会对教材内容进行相应的更新，这样保证了教材更加贴近了学生的生活，发黄的传统教材已经不适合再用来教育现代的青年学生。
面对新的教学内容、新的教学设施、新的学生，教学方式的改变势在必行。
“照本学科”式的教育方式已经被时代淘汰，采用具有科学性的教学方式，成为每个学校教育研究内容的核心。
在素质教育兴起的背景下，很多教师逐渐将极限思想融入到数学教育之中。
一、极限思想的概念及其发展1.概念极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论（包括级数）为主要工具来研究函数的一门学科。
所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。
用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。
极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。
如果要问：“数学分析是一门什么学科？”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。
2.发展极限思想来即源于社会实践又作用于社会实践，自古以来我国对数学教学都非常重视，刘徽是我国三国时期著名数学家，在对圆面积求证的过程中，刘徽割圆术，这是极限思想在数学应用中的雏形。
日本著名数学教育家米山国藏指出：“学生所学的数学知识，在进入社会后几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学，通常在走出校门后不到一两年就忘掉了。
然而不管他们从事什么工作，惟有深深铭刻于头脑中的数学思想和方法等随时地发生作用，使他们受益终身。
”小学是学生学习数学知识的启蒙时期，这一阶段注意给学生渗透基本的数学思想便显得尤为重要。
极限思想是一种重要的数学思想，灵活地借助极限思想，可以将某些数学问题化难为易，避免一些复杂运算，探索出解题方向或转化途径。
那么，在小学数学教学中如何去挖掘并适时地加以渗透呢？以下根据自身的数学教学实践谈谈自己的粗浅见解。
一、在数学公式推导过程中渗透极限思想片段一：在教学“圆面积公式的推导”一课时，我是这样设计的。
师：（课件出示一个圆）要知道这个圆的面积，怎么办？生1：可以把它转化为我们学过的图形。
师：怎么转化？生2：把圆平均分。
（大屏幕上演示把圆平均分成了2份，把两个半圆使劲的拼，结果还是一个圆。
）师：转化不成已经学过的图形，怎么回事？生2：平均分的分数不够多。
师：是这样吗？那我们分得多一些，请大家仔细观察。
（演示把一个圆分割为完全相同的小扇形，并试图拼成长方形。
从平均分成4个、8个到16个。
）师：你们发现什么吗？同桌轻轻交流一下。
生3：16个拼起来，比较像长方形。
生4：分的份数越多，拼成的图形就越接近长方形。
师：你们都同意他的看法吗？（学生表示同意）那我们再来分一分这个圆。
（课件演示把圆平均分成32个、64个……完全相同的小扇形。
）师：大家仔细看一看，想一想，如果一直这样分下去，拼下去会怎样？生5：拼成的图形就真的变成了长方形，因为边越来越直了。
师：拼成的长方形与原来的这个圆究竟有怎样的关系啊？……片段二：在教学圆柱体积公式的推导这一内容时，我作过这么一次尝试。
师：如何知道一个圆柱体的体积？生1：以前学习的柱体都是用“底面积×高”来求积的，这次也应该是吧？师：那你们就先借助手中的学具操作一下，看能不能有什么发现？（学生动手操作，小组交流。
2020年第10期教育教学2SCIENCE FANS 数学课程标准已经明确提出课程目标之一是使学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。
可见，数学思想是学生应该要培养的。
1 极限的描述性定义在小学阶段，用孩子们听得懂的语言，如越来越靠近、靠近到两者之间的距离越来越小、无限接近却又不能到达等词句来表示极限的内涵。
2 从有限到无限，从无限到极限极限思想其实是从有限中认识无限，从近似中认识精确的一种数学思想。
因此，在学生还无法理解极限这一抽象概念时，教师要在教学中带领学生认识“无限”，如提出“有没有最大的自然数”，让学生探索“无限”。
除了在“数与代数”模块中探索无限，在几何教学中，也有许多概念是具有无限性的，如线段的一端无限延长就成了射线，线段两端无限延伸就成了直线，射线、直线就是具有无限性的概念。
学生在对比线段与射线、直线的区别时，就会体会到无限延长的涵义，初步形成极限思想的雏形。
虽然我们可以从无限中认识极限思想，但是“无限”并不等于“极限”。
无限的结果有两种，一种是收敛；一种是发散；而收敛的无限过程才是极限思想的表现。
所以，认识无限知识只是让学生积累一些感性认识，而真正运用极限理论是在圆的教学中。
3 极限思想在圆的教学中的应用研究3.1 圆的认识3.1.1 课堂片段教师课前准备了很多正方形纸片(19cm×19cm)分发给学生（每人三张）。
师：请同学们拿出一张正方形纸片，找到正方形的中心，然后在正方形的边上随便选取一些点分别与正方形中心点相连。
请大家量一量这些线段的长度，它们都相等吗？最长和最短的线段相差多少？生操作：（将正方形对角线折，两条对角线相交于一点，即正方形的中心……）最长线段是正方形顶点与正方形的中心的连线，量得13.4cm；最短线段是正方形一条边的中点与正方形的中心的连线，量得是9.5cm；最长与最短线段相差3.9cm。
师：接下来，请拿出另一张正方形纸片，跟着老师折一折，剪一剪。
探析小学数学中极限思想的渗透摘要：极限思想是一种重要的数学思想，是对数学知识的本质反映，是形象思维向抽象思维转化的纽带[1]。
在学生学习数学知识的启蒙阶段对其渗透极限思想，不但可以提高学生的抽象思维能力，而且有助于学生掌握学习数学的思想和方法，使他们受益终生。
本文主要阐述极限思想在小学数学教学中的渗透，并结合概念、数学公式、练习等教学案例，论述了极限思想在小学数学教学中渗透的途径及渗透过程中应注意的问题。
关键词：小学数学极限思想渗透2011年颁布的《义务教育数学课程标准》中，明确提出要把“数学思考”作为教学的总体目标之一，同时把“双基”拓展成“四基”[2]。
其主要指的是基础性的知识、技能、数学思想以及活动经验。
我们不难看出，无论是数学教育工作者，还是教育主管部门，都对数学思想方法在数学教学中的应用给于了很高的重视，也体现岀掌握数学思想方法对于教师提高教学质量、学生提高学习效率都有着十分重要和积极的意义。
所以说，把最基本的数学知识教给学生并不是数学教学的全部目的。
数学教学另外一个比较重要的目标，就是使学生建立健全灵活、系统的数学思想方法体系，使他们具备较强的数学思维能力。
极限思想就是其中一种重要的数学基本思想。
然而在小学阶段，极限思想带有一定的抽象性。
综合考虑小学生的知识接受能力和理解能力，我们应该在教学活动中不断渗透极限思想，丰富课堂内容，提高学生的学习积极性，鼓励学生独立思考，培养学生的抽象思维能力，促进学生数学素质的全面提升。
1.极限思想的内涵极限思想是数学基本思想的重要组成部分。
在小学阶段，极限思想相对于其他基本思想更加抽象。
小学生的逻辑思维和抽象思维能力较弱，而极限思想的逻辑性和抽象性都很强，学生不易理解。
极限可分为数列极限和函数极限，然而数列极限和函数极限的概念是非常抽象的，在小学数学教学中涉及不到。
需要理解和渗透的只是极限思想。
也就是说“无限≠极限”，但培养学生的无限观念是形成极限思想的基础，离开无限谈极限是没有任何意义的。
浅论极限思想在小学数学中的应用
作者：王琳
来源：《中国校外教育(中旬)》2020年第07期
【摘要】极限思想是近代数学的一种重要思想。
随着我国对数学教育教学改革力度的不断加大，从小学数学开始抓起，注重将数学思想植根于小学生的脑海里，使他们应用极限思想的思维方式、量化方法和内在规律，来指导他们分析问题和解决问题，理解问题和总结问题，从而激发学生的学习兴趣，提高他们的数学素养和综合能力，使小学数学教学质量得到有效提升。
【关键词】极限思想小学数学应用
一、极限思想在小学数学教学中应用的重要意义
随着教育体制改革，数学的教育教学改革力度也在不断地加大，注重从小学数学开始抓起，将数学思想牢牢植根于小学生的脑海里，用来指导他们分析问题和解决问题，充分调动学生的参与激情，变被动为主动，激发他们的学习兴趣，活跃课堂气氛，化繁为简，有效提高课堂的教学质量。
1.激发学习兴趣，变被动为主动，充分调动学生的参与激情
小学生思维比较活跃，喜欢动脑筋，但小学阶段数学的内容相对简单，基本概念比较多，而且受传统教育模式的影响，课堂教学以老师讲，学生听为主，学生的学习兴趣不高。
那么，将极限思想渗透到小学数学教学过程中，让学生充分发挥想象，扩散他们的思维，比如，老师在讲射线概念的时候，它是由线段的一端无限延长所形成的直的线，那个“无限延长”就是极限思想的体现，让学生尽情地想象，就像铁轨一眼望不到头，就像喷气式飞机在天空留下的飞行轨迹一样直到天际之外，又像远行的航船驶向海的尽头。
通过学生积极的思维活动，有利于激发他们的学习兴趣，变被动为主动。
2.活跃课堂气氛，化繁为简，有效提高课堂的教学质量
小学生的思维虽然相对活跃但思维能力有限，小学阶段数学概念较多，有些概念解释起来比较饶舌，学生往往理解困难，使课堂气氛沉闷。
这时老师要改变教学方法，将极限思想渗透给学生，比如在学习无限小数的时候，按照传统的教学方法，老师将无限小数的概念告诉学生并让他们记住就完事了，虽然在学生脑海里对无限小数概念中的“无穷尽”有一个大大的问号，但教材就是这样说的，老师的讲解也到此为止了。
但是，应用极限思维的方法，老师引导学生积极思考，将“无穷尽”与生活结合起来，像海水能斗量吗？天上的星星能数过来吗？这样学生
就理解了“无穷尽”原来是庞大的意思，从而解除了课堂的紧张气氛，也使数学概念变得简单明朗起来，有利于提高课堂教学质量。
二、在小学数学教学中极限思想的应用实践
小学阶段的学生思维能力有限，习惯用形象思维思考问题，但随着数学知识的越来越深奥，小学生的思维方式也在不断地转换，应用极限思想的思维方法向抽象思维转化。
通过应用极限思想的思维方式分析和解决问题，极限思想的量化方法理解问题，极限思想的内在规律总结问题，提高学生的思维能力、理解能力和学习能力。
1.应用极限思维，提高学生的思维能力
小学数学是学生数学知识的基础，所有的数学概念、计算方法和数学公式都是从小学开始接触的，所以对于小学生来说都是新鲜的东西，老师不光要按照教材给学生仔细讲解，还要给学生讲透所有数学概念、计算方法和数学公式的由来、发展和结论得出的演算过程，让学生打下扎实的数学基础。
在这个教学过程中，老师往往会引导学生应用极限思想的思维方式来分析和解决问题，如在学习“圆的面积”知识的时候，由于学生在前面已经学习了长方形的面积，对长方形面积的公式比较熟悉，那么老师借用这一跳板，让学生把一个圆形纸片沿直径对折后剪开，对两个半圆分别沿半径进行折叠，随着折叠次数的增加折叠后形成的扇形越来越小并且接近三角形。
接着，让学生沿对折线剪开，然后分别把两个半圆所得到的类似等腰三角形的纸片并列在一起，把两个并列成的图形上下拼在一起就形成了一个近似长方形，长方形的长就是半圆的周长，长方形的宽就是半圆的半径，从而根据长方形面积公式推导出圆的面积公式。
在这个动手操作环节中，学生能够感受到由曲变直的过程，领会从近似分割到无限细分的数学思维方法。
在圆的面积公式推导过程中，运用了“变曲为直”“化圆为方”的极限分割思路，在有限分割的基础上让学生想象无限细分的最终状态，这样不仅能够练就学生学习数学的基本功，而且能应用极限思想扩散他们的思维，提高学生的思维能力。
2.应用极限方法，提高学生的理解能力
小学数学是学生学习数学的起点，所有数学概念对于小学生来说都是全新的知识，包括一些专业术语也是刚刚接触，因此在这样的节骨眼上，老师们一定要教给学生学习思想和学习方法，为他们以后学习数学打下坚实的基础。
比如，在四年级下册学习“循环小数”的时候，老师在黑板上出了一道分数题目：1除以7，学生计算结果是：0.142857142857……由此引出了循环小数的概念，即一個数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数。
为了让学生加深理解无限小数，老师又给出了一组数据用来说明0.99……等于1：
1÷9=0.11……，8÷9=0.88……，1÷9+8÷9=1，所以0.11……+0.88……=1，即0.99……=1，也就是说如果0.999……中小数部分有无穷多个9，那么最终结果会无限趋近于1。
通过以上两个实际例子使学生既理解了循环小数的概念又明白了无限的含义，让学生应用极限思想的量化方法提高理解能力。
3.应用极限规律，提高学生的学习能力
学生经过一段时间学习新知识以后要停下来，对前面学过的相对独立且零散的知识点做一个回顾、归纳和总结，以便于使知识形成一定的网状结构，让它们互相联系起来，使学生对学过的知识形成整体的知识体系，为学生以后的应用和学习奠定基础。
比如，在学完平面几何图形的面积公式以后老师做了一个小结课件：首先将长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形及圆的面积公式都罗列出来，然后借助极限思维的方法以梯形的面积公式S=（上底+下底）×高÷2为根本推导其他图形的面积公式：将梯形的上底无限缩小趋近于0，那么所得的图形近似于三角形，即得出三角形的面积公式：S=下底×高÷2;将梯形的上底两端延长使两腰趋向垂直于底就形成了长方形，即得出长方形的面积公式：S=底×高;将梯形的下底缩短趋于等于上底并使同一边的腰随下底缩短而倾斜至趋于平行于另一条腰就形成了平行四边形，即得出平行四边形的面积公式：S=底×高;将长方形剪成无数多个等腰三角形后拼成的图形近似于圆形，同样可得出圆形的面积公式。
经过以上面积公式的推导过程可以得出结论：各平面图形都是由梯形经过无限伸缩或移动趋近于某个值后得来的，所以其面积公式都可以用S=（上底+下底）×高÷2来计算。
通过架构这样的极限规律的知识体系，使学生可以逐类旁通，以点带面进行学习，从而提高他们的学习能力。
三、结语
极限思想是一种用来分析问题和解决问题的数学思想，其贯穿于数学分析课程的始末。
在不断深化素质教育的今天，在小学数学教学中，老师们要将这种思想和方法在潜移默化中传授给学生，使学生不仅学到了数学知识，而且提高了他们的数学素养，提高了他们的综合能力，为他们将来的学习奠定坚实的基础。
参考文献：
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[2]陆小琴.极限思想在小学数学教学中的渗透[J].小学教学参考，2014，（23）：69.
[3]孙国元.对小学数学中极限思想的探讨[J].教育实践与研究，2013，（08）：78.。
