高三数学构造函数知识点构造函数是数学中的重要概念，它能够帮助我们描述和解决复杂的数学问题。
在高三数学中，构造函数是一个重要的知识点，它涉及了很多重要的概念和技巧。
本文将介绍高三数学中的构造函数知识点，并提供相关例题进行解析。
一、构造函数的概念和基本性质构造函数是一种特殊的函数，它能够通过特定的方式构造出一条曲线或一组曲线。
在数学中，我们通常使用表达式来描述函数，而构造函数则是通过一些特定的方法来确定函数的表达式。
构造函数的基本性质如下：1. 函数的定义域和值域可以根据问题的需要进行任意的设定；2. 构造函数可以描述出各种数学曲线的形状和特征；3. 构造函数可以通过变换、合并和分割等操作得到新的函数。
二、构造函数的常用方法和技巧在构造函数的学习过程中，我们需要掌握一些常用的方法和技巧，下面将介绍其中几种常见的方法。
1. 变换法通过对原函数进行平移、伸缩、翻转等操作，可以得到新的函数。
例如，将函数y=f(x)的图像向上平移k个单位，我们可以构造函数y=f(x)+k来描述平移后的函数。
2. 合并法通过将多个函数的图像进行合并，可以得到新的函数。
例如，将函数y=f(x)和y=g(x)的图像进行合并，我们可以构造函数y=max{f(x),g(x)}来描述这两个函数的最大值。
3. 分割法通过将函数的定义域进行分割，并对每个分段进行不同的描述，可以得到新的函数。
例如，对于函数y=f(x)，我们可以构造函数如下：当x≤a时，y=g(x)；当x>a时，y=h(x)；其中，函数g(x)和h(x)分别用来描述x≤a和x>a时的函数值。
三、例题解析例题1：已知函数f(x)的图像如下图所示，请构造一个函数g(x)来描述该图像在y轴方向上的平移。
解析：根据题目要求，我们需要对函数f(x)的图像进行平移。
考虑到函数f(x)的图像在y轴方向上平移k个单位后的图像，可以构造函数g(x)如下：g(x) = f(x) + k例题2：已知函数f(x)的图像为抛物线，顶点坐标为（2，3），请构造一个函数g(x)来描述该抛物线的顶点坐标为（1，4）的图像。
重难点之构造函数1.对于不等式f x >k k≠0，构造函数g x =f x -kx+b2.对于不等式xf x +f x >0，构造函数g x =xf x3.对于不等式xf x -f x >0，构造函数g x =f xxx≠04.对于不等式xf x +nf x >0，构造函数g x =x n f(x)5.对于不等式xf x -nf x >0，构造函数g x =f(x) x n6.对于不等式f x -f x >0，构造函数g x =f(x) e x7.对于不等式f x +f x >0，构造函数g x =e x f(x)8.对于不等式f x +kf x >0，构造函数g x =e kx f(x)9.对于不等式f x sin x+f x cos x>0，构造函数g x =sin xf(x)10.对于不等式f x sin x-f x cos x>0，构造函数g x =f(x)sin x 11.对于不等式f x cos x-f x sin x>0，构造函数g x =cos xf(x)12.对于不等式f x cos x+f x sin x>0，构造函数g x =f(x) cos x重难点题型(一)、与一次函数或幂函数有关的构造函数1.(23-24高三下·重庆)已知函数f x 的定义域为-∞,0，f-1=-1，其导函数f x 满足xf x -2f x >0，则不等式f x+2025+x+20252<0的解集为()A.-2026,0B.-2026,-2025C.-∞,-2026D.-∞,-20252.(2021·安徽高三月考(理))设函数f x 是定义在0,+∞ 上的可导函数，其导函数为f 'x ，且有2f x >xf 'x ，则不等式4f x -2021 >x -2021 2f 2 的解集为()A.2021,2023B.0,2022C.0,2020D.2022,+∞3.(2022·四川省眉山第一中学模拟预测(理))已知可导函数f (x )的定义域为(0,+∞)，满足xf (x )-2f (x )<0，且f (2)=4，则不等式f (x )>x 2的解集是．4.(23-24高三上·云南昆明)已知定义域为R 的函数f x ，对任意的x ∈R 都有f x >2x ，且f 1 =2，则不等式f 2x -4x 2-1>0的解集为()A.0,+∞B.12,+∞C.1,+∞D.2,+∞1.(22-23高三下·广东)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，当x >0时，有xf (x )+2f (x )<0恒成立，则()A.4f (1)>f 12B.f (2)9<f (3)4C.9f 12>4f -13D.9f (-1)<f -132.(22-23高三下·广东东莞)已知函数f x 的定义域为-∞,0 ,其导函数f x 满足xf x -2f x >0,则不等式f x +2023 -x +2023 2f -1 <0的解集为()A.(-2024,-2023)B.(-2024,0)C.(-∞,-2023)D.(-∞,-2024)3.(22-23高三上·山东泰安·阶段练习)已知f x 是定义在R 上的偶函数，f x 是f x 的导函数，当x ≥0时，f x -2x >0，且f 1 =2，则f x >x 2+1的解集是()A.-1,0 ∪(1,+∞)B.-∞,-1 ∪1,+∞C.-1,0 ∪0,1D.-∞,-1 ∪0,14.(2024·陕西商洛·模拟预测)已知函数f x =2x ln x -ax 2，若对任意的x 1,x 2∈0,+∞ ，当x 1>x 2时，都有2x 1+f x 2 >2x 2+f x 1 ，则实数a 的取值范围为()A.12e,+∞ B.1,+∞C.1e,+∞ D.2,+∞重难点题型(二)、与指数函数或对数函数有关的构造函数5.(2023·广东佛山·校考模拟预测)已知f x 是函数y =f x x ∈R 的导函数，对于任意的x ∈R 都有f x +f x >1，且f 0 =2023，则不等式e x f x >e x +2022的解集是()A.2022,+∞B.-∞,0 ∪2023,+∞C.-∞,0 ∪0,+∞D.0,+∞6.(2023·安徽黄山·统考三模)已知定义域为R 的函数f x ，其导函数为f (x )，且满足f (x )-2f x <0，f 0 =1，则()A.e 2f -1 <1B.f 1 >e 2C.f 12<e D.f 1 >ef 1e7.(22-23高三下·天津)已知可导函数f x 的导函数为f x ,f 0 =2023，若对任意的x ∈R ，都有f x <f x ，则不等式f x <2023e x 的解集为()A.0,+∞B.2023e 2,+∞C.-∞,2023e 2D.-∞,08.(22-23高三下·全国)定义域为R 的可导函数f x 的导函数为f x ，满足f x -f x <0，且f 0 =1，则不等式f xex <1的解集为()A.0,+∞B.2,+∞C.-∞,0D.-∞,21.(2023·山东烟台·二模)已知函数f x 的定义域为R ，其导函数为f x ，且满足f x +f x =e -x ，f 0 =0，则不等式e 2x -1 f x <e -1e的解集为( )．A.-1,1eB.1e ,eC.-1,1D.-1,e2.(2022·青海西宁·二模(理))已知定义在R 上的可导函数f x 的导函数为f x ，满足f x <f x ，且f x +3 为偶函数，f 6 =1，则不等式f x >e x 的解集为．3.(23-24高三下·广东佛山)已知函数f x 的定义域为0，+∞ ，且f x >-f x ln2恒成立，则不等式f ln x 4<f 22ln x 的解集为()A.1,e 2B.0,e 2C.1,e 3D.0,e 34.(23-24高三下·福建)设f (x )在R 上存在导数f (x )，满足f (x )+f (x )>0，且有f (2)=2,e x -2f (x )>2的解集为( )．A.(-∞,1)B.(-∞,2)C.(1,+∞)D.(2,+∞)重难点题型(三)、与三角函数有关的构造函数1.(22-23高三上·重庆沙坪坝)已知f x 是函数f x 的导函数，f x -f -x =0，且对于任意的x ∈0,π2有f x cos x >f -x sin -x ．则下列不等式一定成立的是()A.32f -12 <f -π6 cos 12B.f -π6 >62f -π4C.f -1 <2f π4cos1 D.22f π4 >f -π32.(2023秋·陕西西安)已知函数f x 的定义域为-π2,π2 ，其导函数是f x .有f x x cos +f x xsin <0，则关于x 的不等式f x <2f π3x cos 的解集为()A.π3,π2B.π6,π2 C.-π6,-π3D.-π2,π63.(22-23高三上·全国·阶段练习)已知函数f (x )及其导函数f (x )的定义域均为-π,0 ，f -π6=-2，3f (x )cos x +f (x )sin x >0，则不等式f (x )sin 3x -14>0的解集为()A.-π3,0 B.-π6,0 .C.-π6,-π3D.-π,-2π34.(2021·甘肃省武威第二中学高三期中(理))对任意x ∈0,π2，不等式sin x ⋅f x <cos x ⋅f x 恒成立，则下列不等式错误的是()A.f π3>2f π4 B.f π3 >2cos1⋅f 1 C.f π4<2cos1⋅f 1 D.f π4<62f π65.(2020高三·全国·专题练习)已知偶函数y =f (x )对于任意的x ∈0,π2满足f (x )⋅cos x +f (x )⋅sin x >0(其中f (x )是函数f (x )的导函数)，则下列不等式中不成立的是()A.2f -π3 <f π4B.2f -π3 >f π4C.f (0)<2f -π4D.f π6<3f π31.(21-22高三上·江西南昌·期末)设函数f x 是定义在0，π 上的函数f x 的导函数，有f (x )cos x -f (x )sin x >0，若a =0，b =12f π3 ，c =-22f 3π4，则a ，b ，c 的大小关系是()A.a >b >cB.b >c >aC.c >a >bD.c >b >a2.(2021·东莞市东华高级中学高二期末)已知函数y =f (x )为R 上的偶函数，且对于任意的x ∈0,π2满足f '(x )cos x +f (x )sin x <0，则下列不等式成立的是()A.3f π3>f π6 B.f (0)>2f -π4C.f π4<2f -π3 D.-3f -π3>f -π6 3.(2022·安徽·合肥一中模拟)已知函数y =f x -1 图象关于点1,0 对称，且当x >0时，f x sin x +f x cos x >0则下列说法正确的是()A.f 5π6<-f 7π6 <-f -π6 B.-f 7π6<f 5π6 <-f -π6 C.-f -π6<-f 7π6 <f 5π6 D.-f -π6<f 5π6 <-f 7π6 4.(2024·重庆·模拟预测)若函数f x 的导函数为f x ，对任意x ∈-π,0 ,f x sin x <f x cos x 恒成立，则()A.2f -5π6 >f -3π4 B.f -5π6>2f -3π4 C.2f -5π6<f -3π4 D.f -5π6<2f -3π4 5.(21-22高三上·内蒙古赤峰·阶段练习)已知函数y =f (x )对任意的x ∈(0,π)满足f x cos x >f (x )sin x (其中f x 为函数f (x )的导函数)，则下列不等式成立的是()A.f π6>3f π3 B.f π6<3f π3 C.3f π6>f π3 D.3f π6<f π3。
专题16 构造函数用函数单调性判断函数值的大小一、单选题 1．设ln 2ln 3ln ,,23a b c ππ===则下列判断中正确的是（ ） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c b a >>2．()f x 是定义在(0,)+∞上的非负､可导函数，且满足()()0xf x f x '-≤，对任意正数a ，b 若a b ≤，则必有（ ） A ．22()()a f b b f a ≤ B ．22()()a f b b f a ≥ C ．22()()a f a b f b ≤D ．22()()a f a b f b ≥3．()f x 是定义在非零实数集上的函数，()'f x 为其导函数，且0x >时，'()()0xf x f x -<，记0.2220.222(2)(0.2)(log 5)20.2log 5f f f a b c ===，，，则（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<4．已知函数ln ()1xf x x=+在0x x =处取得最大值，则下列判断正确的是（ ） ①()00f x x =，①()001f x x =，①()012f x <，①()012f x > A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①5．已知奇函数f (x )的定义域为(,),22ππ-且()'f x 是f (x )的导函数.若对任意(,0),2x π∈-都有()cos ()sin 0,f x x f x x '+<则满足()2cos ()3f f πθθ<⋅的θ的取值范围是（ ）A ．(,)23ππ-B ．(,)(,)2332ππππ--⋃ C ．(,)33ππ-D ．(,)32ππ 6．已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()()0f x xf x '+>，若()660.70.7a f =，()()0.70.7log 6log 6b f =，()0.60.666c f =⋅，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c a b >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．a b c >>7．R 上的函数()f x 满足：()()1f x f x '+>，()20f =，则不等式2()x x e f x e e <-的解集为（ ）A ．()(),00,2∞⋃-B ．()(),02,-∞+∞C ．()0+∞，D ．(),2∞-8．若定义域为R 的函数()f x 的导函数为()'f x ，并且满足()()2f x f x '<-，则下列正确的是（ ） A ．(2021)(2020)2(1)f ef e -<- B ．(2021)(2020)2(1)f ef e ->- C ．(2021)(2020)2(1)f ef e ->+D ．(2021)(2020)2(1)f ef e -<+9．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，其导函数为()f x '，对于任意的π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭总有()()cos sin 0f x x f x x '+>成立，则下列不等式成立的有（ ）A ()π026f ⎛⎫>⎪⎝⎭B ．ππ43f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ππ36f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ππ46⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10．已知a =1b e -=，3ln 28c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．b a c >>11．已知()'f x 是定义在上的函数()f x 的导函数，且2(1)(1)x f x f x e +=-，当1x >时，()()f x f x '>恒成立，则下列判断正确的是（ ） A ．()()523e f f ->B ．()()523f e f ->C ．()()523e f f <-D ．()()523f e f >-12．已知定义在R 上函数()f x 的导函数为()f x '，()0,πx ∀∈，有()()sin cos f x x f x x '<，且()()0f x f x +-=.设π4a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π3b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π2c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）.A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c b a <<13．下列三个数：33ln 22a =-，lnb ππ=-，ln 33c =-，大小顺序正确的是（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b c a >>D ．b a c >>14．已知函数()f x （x ∈R ）满足()34f =，且()f x 的导函数()1f x '<，则不等式()221f x x -<的A ．()2,2-B ．()(),22,-∞-+∞C ．(D ．((),3,-∞+∞15．已知直线l 与曲线()xf x e =和()lng x x =分别相切于点()11,A x y ，()22,B x y .有以下命题：（1）90AOB ∠>︒(O 为原点)；（2）()11,1x ∈-；（3）当10x <时，)2121x x ->.则真命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．316．已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x >时，有()()22f x xf x x '>+，则不等式()()()220182018420x f x f +++-<的解集为（ ） A ．(),2016-∞- B ．(2016,2012)-- C ．(2020,2016)-- D ．(2016,0)-17．已知定义在(0,)2π上的函数()f x 的导函数为'()f x ，且对于任意的(0,)2x π∈，都有'()cos ()sin f x x f x x <，则（ ）A ()()43f ππ>B ()()64ππ<C ()()64ππD ()()63f ππ<18．设()f x '是定义域为R 的函数()f x 的导函数，()3f x '<，()32f -=-，则()37f x x >+的解集为（ ） A ．(),1-∞- B ．(),3-∞- C ．()()3,01-+∞， D ．()()1,01-+∞，19．已知函数()x x g x e e -=-，()()f x xg x =，若53(),(),(3)22a fb fc f =-==，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<20．已知函数f (x )(x ①R )满足(1)1f =，且()f x 的导数f ′(x )>12，则不等式1()22x f x <+的解集（ ） A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1]①[1，＋∞)D ．(－1，1)21．设函数()()x f x F x e=是定义在R 上的函数，其中()f x 的导函数()'f x 满足()()f x f x '<对于x ∈R 恒A ．(2)f 2(0)e f >，2020(2020)(0)f e f >B ．(2)f 2(0)e f <，2020(2020)(0)f e f >C ．(2)f 2(0)e f <，2020(2020)(0)f e f <D ．(2)f 2(0)e f >，2020(2020)(0)f e f <22．已知()'f x 是定义在R 上的函数()f x 的导函数，且满足()()0xf x f x '+>对任意的x ∈R 都成立，则下列选项中一定正确的是（ ） A ．(2)(1)2f f >B ．(1)(2)2f f > C ．(2)(1)2f f <D ．(1)(2)2f f < 23．已知函数f （x ）的定义域为R ，且()()()1,02f x f x f '+<=，则不等式()13x f x e +>解集为（ ） A ．(1,)+∞B ．(,1)-∞C ．(0,)+∞D ．(,0)-∞24．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x ≠时，()()0f x f x x'+<，若(1)a f =，()33b f =--，2(2)c f =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c a b <<25．若函数216()43cos(2)4x x f x x -=+--，则（ ） A ．()122331log 18log 122f f f ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥>>+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ B ．()1223131log 18log 22f f f ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥+>> ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ C ．()1232131log log 1822f f f ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥+>> ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ D ．()122313log 181log 22f f f ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥>+> ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦26．若1201x x ，则（ ）A ．2121ln ln x x e e x x ->-B ．2121ln ln x x e e x x -<-C ．1221x x x e x e >D ．1221x x x e x e <27．设()()f x g x 、是定义域为R 的恒大于0的可导函数，且()()()()0f x g x f x g x ''-<，则当a x b <<时有（ ）A ．()()()()f x g x f b g b >B ．()()()()f x g b f b g x >C ．()()()() >f x g a f a g xD ．()()()()f x g x f x a g >28．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x '<-，()11f e =-，则不等式()1xf x e +>的解集为（ ） A ．()1,+∞B ．(),1-∞C ．(),e +∞D ．(),0-∞29．已知3ln 2t a =，2ln3t b =，23ln c t =，其中()3,4t ∈，则下列选项正确的是（ ） A ．a b c >> B ．c a b >> C ．b c a >> D ．c b a >>二、多选题30．下列命题正确的是（ ） A ．若110a b<<，则2233a b > B ．若1a b >-≥，则11a ba b≥++ C ．若ln ln a b b a >，则b a <D ．若ln3ln5,b 35a ==，则11a b a b +<+31．已知数列{a n }满足：0＜a 1＜1，()14n n n a a ln a +-=-．则下列说法正确的是（ ） A ．数列{a n }先增后减 B ．数列{a n }为单调递增数列 C ．a n ＜3D ．202052a >32．定义在()0,∞+上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且()()()21'2x f x f x x x +-<+对()0,x ∈+∞恒成立.下列结论正确的是（ ）A ．()()22315f f ->B ．若()12f =，1x >，则()21122f x x x >++ C ．()()3217f f -<D ．若()12f =，01x <<，则()21122f x x x >++ 33．已知函数()ln f x x x =，若120x x <<，则下列结论正确的是（ ） A ．()()2112x f x x f x < B ．()()1122x f x x f x +<+C ．1212()-()0f x f x x x <- D ．当121x x e<<时，()()()1122212x f x x f x x f x +> 34．函数()f x 在定义域R 内可导，若()(2)f x f x =-，且(1)()0x f x '-<，若1(0),,(3)2a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系正确的有（ ）A ．b a >B ．c b >C ．b c >D ．c a >35．已知函()sin cos f x x x =-且π2a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ,b f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，22c f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()f x 为偶函数B ．()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增C ．a c b >>D ．b a c >>36．已知函数()ln f x x x =，若120x x << ，则下列结论正确的是( ) A ．2112()()x f x x f x < B ．1122()()x f x x f x +<+ C ．()()12120f x f x x x -<-D ．当ln 1x >-时，112221()()2()x f x x f x x f x +>37．已知函数()f x 的导函数为()f x '，若()()()2f x xf x f x x '≤<-对(0,)x ∈+∞恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（ ）A ．(2)(1)2f f > B ．(2)(1)2f f <C ．(2)1(1)42f f <+ D ．(2)1(1)42f f +< 38．对于定义城为R 的函数()f x ，若满足：①(0)0f =；①当x ∈R ，且0x ≠时，都有()0xf x '>；①当120x x <<且12||||x x <时，都有12()()f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（ ）A ．()321f x x x =-+B ．()21xf x e x =--C ．()3ln 1,0()2,x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩D ．4()sin f x x x =39．下列不等式正确的有（ ） A．ln32< B．ln π<C．15<D ．ln 22e <三、填空题40．设()f x '是函数()f x 的导函数，若对任意实数x ，都有()()()0x f x f x f x '-+>⎡⎤⎣⎦，且()12020f e =，则不等式()20200x xf x e -≥的解集为_______.41．已知()'f x 是定义在R 上的函数()f x 的导函数，且()()0f x f x +'>，则()2ln2a f =，()1b ef =，()0c f =的大小关系为_____42．已知函数()cos sin f x x x x =-，下列结论中， ①函数()f x 的图象关于原点对称； ①当(0,)x π∈时，()0f x π-<<； ①若120x x π<<<，则1122sin sin x x x x >； ①若sin ax x bx <<对于0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1.所有正确结论的序号为______.43．已知函数()()f x x R ∈满足()11f =，()f x 的导数()1'2f x <，则不等式()22122x f x <+的解集为____.44．已知函数()f x 定义在R 上的函数，若2()()0x f x e f x --=，当0x ≤时，()()0f x f x '+<，则不等式21()(1)x f x e f x -≥-的解集为__________45．已知实数),a b ∈+∞，且满足2211ln ba b a->，则a ，b ______． 46．已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数()'f x 满足21()()ln ,()x f x xf x x f e e'+==，则不等式1()f x e x e+>+的解集是____.47．已知函数()f x 的定义域为[]3,3-，其导函数为()f x '，对任意x ∈R ，()()f x f x '>恒成立，且()11f =，则不等式()x ef x e >的解集为________.48．已知函数()(0)x f x ae a =>与2()2(0)g x x m m =->的图象在第一象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数m 变化时，实数a 的取值范围为______________.四、解答题49．已知函数2()ln 2f x x x x =-.（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求证：存在唯一的0(1,2)x ∈，使得曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率为(2)(1)f f -； （3）比较(1.18)f 与 2.18-的大小，并加以证明. 50．已知()()2ln f x x a x =-()a R ∈()1当a =e 是自然对数的底数），求()()f xg x x=的单调区间； ()2若()f x 既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围.专题16 构造函数用函数单调性判断函数值的大小一、单选题 1．设ln 2ln 3ln ,,23a b c ππ===则下列判断中正确的是（ ） A ．a b c >> B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c b a >>【答案】B 【分析】 构造函数()ln xf x x=，利用导数分析()f x 的单调性，从而判断出,,a b c 的大小关系. 【详解】 设()ln x f x x =，所以()21ln xf x x -'=，令()0f x '=，所以x e =， 所以()0,x e ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；(),x e ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减， 因为()ln 22ln 2ln 44244f ===，且()()()34f f f π>>，所以b c a >>， 故选：B. 【点睛】方法点睛：利用构造函数思想比较大小的方法：（1）先分析所构造函数的导函数，由此分析出函数的单调性； （2）先比较处于同一单调区间的函数值大小；（3）再通过一定方法（函数性质、取中间值等）将非同一单调区间的函数值转化到同一单调区间，即可完成比较大小.2．()f x 是定义在(0,)+∞上的非负､可导函数，且满足()()0xf x f x '-≤，对任意正数a ，b 若a b ≤，则必有（ ） A ．22()()a f b b f a ≤ B ．22()()a f b b f a ≥ C ．22()()a f a b f b ≤ D ．22()()a f a b f b ≥【答案】A 【分析】 构造新函数()()(0);f x g x x x=>求导利用新函数的单调性得解. 【详解】设()()(0);f x g x x x =>则2()()();xf x f x g x x -''=因为()()0xf x f x '-≤；所以0x >时，()0,g x '≤则函数()()f x g x x =在(0,)+∞上是减函数或常函数；所以对任意正数a ，b ，若a b ≤，则必有()()()().f a f b g a g b a b=≥=()f x 是定义在(0,)+∞上的非负､可导函数,()()0bf a af b ∴≥>110,0,a b a b <≤∴≥>两式相乘得2211()()()()bf a af b b f a a f b a b⨯≥⨯⇒≥故选A 【点睛】本题考查导数的运算，构造新函数，利用函数单调性比较大小，属于中档题..3．()f x 是定义在非零实数集上的函数，()'f x 为其导函数，且0x >时，'()()0xf x f x -<，记0.2220.222(2)(0.2)(log 5)20.2log 5f f f a b c ===，，，则（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】C 【分析】 构造函数()()f x g x x=，可得()g x 在(0,)+∞的单调性，可得答案. 【详解】解：令()()f x g x x =，得''2()()()xf x f x g x x-=， 由0x >时，'()()0xf x f x -<，得'()0g x <，()g x 在(0,)+∞上单调递减， 又22log 5>log 42=，0.2122<<，20.04100.2=<<，可得0.222log 5>20.2＞，故0.222(log 5)(2()0.2g g g <<)，故c a b <<， 故选：C. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及利用函数单调性比较数值大小，关键在于由已知条件构造出合适的函数，属于中档题. 4．已知函数ln ()1xf x x=+在0x x =处取得最大值，则下列判断正确的是（ ）①()00f x x =，①()001f x x =，①()012f x <，①()012f x > A ．①① B ．①①C ．①①D ．①①【答案】B 【分析】()211ln ()1x x f x x +-'=+，令()11ln g x x x=+-，可知()g x 在()0,∞+上单调递减，()()20g e g e ⋅<，所以存在()20,x e e∈使得()00011ln 0g x x x=+-=，进而可得()001f x x =，然后利用作差法可得()012f x <. 【详解】ln ()1xf x x=+的定义域为()0,∞+， ()()()22111ln 1ln ()11x xx x x f x x x +-+-'==++， 令()11ln g x x x =+-在()0,∞+上单调递减， ()11ln 0g e e e =+->，()2222111ln 10g e e e e=+-=-<，所以20e x e <<，()00011ln 0g x x x =+-=，所以0011ln x x +=， 00000011ln 1()11x x f x x x x +===++，()00002111222x f x x x --=-=，因为20e x e <<，所以020x -<， 所以()0102f x -<，即()012f x <；所以①①正确； 故选：B 【点睛】思路点睛：要判断不等式或等式成立，首先要对函数求导，判断单调性，如果导函数大于或小于0无法求出解集，若导函数的分子符号是定的，需要看导函数的分子是否有单调性，如果看不出导函数分子的单调性，就要设分子为一个新的函数，再求导，利用零点存在定理，即可得出新函数的符号，即可判断原导函数的符号，即可解决问题. 5．已知奇函数f (x )的定义域为(,),22ππ-且()'f x 是f (x )的导函数.若对任意(,0),2x π∈-都有()cos ()sin 0,f x x f x x '+<则满足()2cos ()3f f πθθ<⋅的θ的取值范围是（ ）A ．(,)23ππ-B ．(,)(,)2332ππππ--⋃C ．(,)33ππ- D ．(,)32ππ【答案】D 【分析】 令()()cos f x g x x =，先判断函数()g x 为奇函数，再判断函数()g x 在区间(2π-，)2π上单调递减，由()2cos ()3f f πθθ<⋅，得()()3g g πθ<，即可求出．【详解】 令()()cos f x g x x=，(2x π∈-，)2π，()f x 为奇函数，cos y x =为偶函数，()g x ∴为奇函数．(2x π∀∈-，0)，有()cos ()sin 0f x x f x x '+<，2()cos ()sin ()0f x x f x xg x cos x'+∴'=<，()g x ∴在区间(2π-，0)上单调递减，又()g x 为奇函数， ()g x ∴在区间(2π-，)2π上单调递减，当(2x π∈-，)2π，cos 0x >，()2cos ()3f f πθθ<⋅，∴()()3cos cos 3f f πθπθ<，()()3g g πθ∴<，∴32ππθ<<故选：D 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；①若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数. 6．已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()()0f x xf x '+>，若()660.70.7a f =，()()0.70.7log 6log 6b f =，()0.60.666c f =⋅，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c a b >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．a b c >>【答案】A 【分析】令()()g x xf x =，得到()()g x xf x =是定义在R 上的奇函数，且在R 上是增函数，结合单调性，即可求解. 【详解】令()()g x xf x =，由()y f x =是定义在R 上的偶函数， 可得()()g x xf x =是定义在R 上的奇函数， 又因为[)0,x ∈+∞时，()()0y f x xf x ''=+>，所以()()g x xf x =在[)0,+∞上是增函数，所以()()g x xf x =是定义在R 上的增函数，又由60.60.7log 600.716<<<<，所以()060.6.7(0.7)l )og 6(6g g g <<，即b a c <<. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用函数的单调性比较大小问题，其中解答中构造新函数()()g x xf x =，求得函数()g x 的奇偶性和单调性是解答的关键，着重考查推理与运算能力.7．R 上的函数()f x 满足：()()1f x f x '+>，()20f =，则不等式2()x x e f x e e <-的解集为（ ） A ．()(),00,2∞⋃-B ．()(),02,-∞+∞C ．()0+∞，D ．(),2∞-【答案】D 【分析】构造函数()()xxF x e f x e =-，则由题意可证得()F x 在R 上单调递增，又()20f =，()()22222F e f e e =-=-，故2()x x e f x e e <-可转化为()()2F x F <，解得2x <.【详解】令()()x xF x e f x e =-，则()()()()()1x x x x F x e f x e f x e e f x f x '''=+-=+-⎡⎤⎣⎦， 因为()()1f x f x '+>，所以()()()0x F x e f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，所以函数()F x 在R 上单调递增，又()20f =，所以()()22222F e f e e =-=-故当2()x x e f x e e <-时，有2()x x e f x e e -<-，即()()2F x F <， 由()F x 的单调性可知2x <. 故选：D. 【点睛】本题考查导数与函数的应用，考查构造函数法，根据函数的单调性求解不等式，难度一般.8．若定义域为R 的函数()f x 的导函数为()'f x ，并且满足()()2f x f x '<-，则下列正确的是（ ） A ．(2021)(2020)2(1)f ef e -<- B ．(2021)(2020)2(1)f ef e ->- C ．(2021)(2020)2(1)f ef e ->+ D ．(2021)(2020)2(1)f ef e -<+【答案】B 【分析】根据题意，可知()()20f x f x '-->，构造函数()2()xf xg x e+=，利用导数研究函数的单调性，可知()g x 在R 上单调递增，得出(2021)(2020)g g >，整理即可得出答案． 【详解】解：由题可知()()2f x f x '<-，则()()20f x f x '-->， 令()2()xf xg x e +=， 而0x e >，则()()2()0xf x f xg x e '--'=>，所以()g x 在R 上单调递增， 故(2021)(2020)g g >，即20212020(2021)2(2020)2f f e e ++>，故(2021)2(2020)2f ef e +>+， 即(2021)(2020)22f ef e ->-， 所以(2021)(2020)2(1)f ef e ->-. 故选：B. 【点睛】本题考查根据函数的单调性比较大小，考查构造函数和利用导数解决函数单调性问题，属于中档题． 9．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，其导函数为()f x '，对于任意的π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭总有()()cos sin 0f x x f x x '+>成立，则下列不等式成立的有（ ）A ()π026f ⎛⎫>⎪⎝⎭B ．ππ43f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ππ36f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ππ46⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C 【分析】构造函数()()cos f x F x x=，对其求导，根据题中条件，得到()F x 在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数，可判断AB 错误；再由()f x 与cos y x =均为偶函数，可得()F x 为偶函数，进而可判断C 正确，D 错误.【详解】 构造函数()()cos f x F x x=，则()()()2cos sin cos f x x f x xF x x'+'=， 因为对于任意的π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭总有()()cos sin 0f x x f x x '+>成立， 所以当π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0F x '>，所以()F x 在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数， ①()π06F F ⎛⎫<⎪⎝⎭，ππ43F F ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即()π06πcos0cos 6f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭<，ππ43ππcos cos43f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<，()π026f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，ππ43f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故A ，B 错误；又()f x 与cos y x =均为偶函数，所以() F x 为偶函数，因此πππ336F F F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即ππ36ππcos cos36f f ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>，ππ36f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；ππ46⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误. 故选：C . 【点睛】本题主要考查由函数单调性比较大小，考查导数的方法研究函数的单调性，属于常考题型.10．已知a =1b e -=，3ln 28c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b c a >>C ．c a b >>D ．b a c >>【答案】D 【分析】将a 、b 、c 分别表示为ln 55a =，ln e b e =，ln88c =，然后构造函数()ln xf x x =，利用导数分析函数()y f x =的单调性，并利用单调性比较a 、b 、c 三个数的大小．【详解】根据题意，ln55a =，1ln =e b e e -=，ln88c =. 令()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，由()0f x '<得x e >；由()0f x '>得0x e <<；则函数()f x 在()0e ，上单调递增，在(),e +∞上单调递减， 又58e <<，所以()()()58f e f f >>， 因此b a c >>． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查由函数单调性比较函数值大小，熟记导数的方法判定函数单调性即可，属于常考题型. 11．已知()'f x 是定义在上的函数()f x 的导函数，且2(1)(1)x f x f x e +=-，当1x >时，()()f x f x '>恒成立，则下列判断正确的是（ ） A ．()()523e f f ->B ．()()523f e f ->C ．()()523e f f <-D ．()()523f e f >-【答案】A 【分析】 构造函数()()xf xg x e =，由(1)(1)g x g x -=+，可得()g x 的图象关于直线1x =对称， 利用导数研究函数的单调性，根据单调性即可比较大小. 【详解】构造函数()()x f x g x e =，因为2(1)(1)xf x f x e +=-，所以11(1)(1)x xf x f x e e+-+-=， 则(1)(1)g x g x -=+，所以()g x 的图象关于直线1x =对称，因为当1x >时，()()f x f x '>，所以()()()0xf x f xg x e''-=>， 所以()g x 在(1,)+∞上单调递增， 所以有(3)(2),(2)(3)g g g g ->->， 即3223(3)(2)(2)(3),f f f f e e e e---->>， 即5(3)(2)e f f ->，5(2)(3)e f f ->， 故选：A. 【点睛】本题考查了导数研究函数的单调性，解题的关键是构造函数，属于中档题.12．已知定义在R 上函数()f x 的导函数为()f x '，()0,πx ∀∈，有()()sin cos f x x f x x '<，且()()0f x f x +-=.设π4a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π3b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π2c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）.A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c b a <<【答案】D 【分析】首先设函数()()sin f x g x x=，判断函数的单调性，和奇偶性，利用函数的性质比较大小. 【详解】 设()()sin f x g x x=， ()()()()()()sin sin sin f x f x f x g x g x x x x---====--，即()()g x g x -=，所以函数()g x 是偶函数， 并且()()()2sin cos 0sin f x x f x xg x x'-'=<，所以函数()g x 在()0,π单调递减，444sin4fa gππππ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3333sin3fb f g gπππππ⎛⎫-⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-==-=⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎪⎝⎭，222sin2fc f gππππ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0432ππππ<<<<，所以432g g gπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即a b c>>.故选：D【点睛】本题考查导数与函数性质的综合应用，重点考查构造函数，利用函数的性质比较大小，属于中档题型. 13．下列三个数：33ln22a=-，lnbππ=-，ln33c=-，大小顺序正确的是（）A．a c b>>B．a b c>>C．b c a>>D．b a c>>【答案】A【分析】构造函数()lnf x x x=-，对其求导，判断单调性，进而可得出结果.【详解】构造函数()lnf x x x=-，因为1()10f xx'=-<对一切(1,)x∈+∞恒成立，所以函数()lnf x x x=-在(1,)x∈+∞上是减函数，从而有3(3)()2f f fπ⎛⎫>>⎪⎝⎭，即a c b>>.故选：A．【点睛】本题主要考查根据函数单调性比较大小，涉及导数的方法判断函数单调性，属于常考题型.14．已知函数()f x（x∈R）满足()34f=，且()f x的导函数()1f x'<，则不等式()221f x x-<的解集为（）A ．()2,2-B ．()(),22,-∞-+∞C．( D．((),3,-∞+∞【答案】B 【分析】构造函数()()g x f x x =-，求导后可证得()g x 在R 上单调递减，将原不等式可转化为()()()221133f x x f ---<-，即()()213g x g -<，再利用函数单调性的定义求解.【详解】令()()g x f x x =-，则()()10g x f x ''=-<， 所以()g x 在R 上单调递减.因为不等式()221f x x -<可等价于()()()221133f x x f ---<-，即()()213g x g -<，所以213x ->， 解得2x >或2x <-， 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的单调性与导数以及利用函数的单调性解不等式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15．已知直线l 与曲线()xf x e =和()lng x x =分别相切于点()11,A x y ，()22,B x y .有以下命题：（1）90AOB ∠>︒(O 为原点)；（2）()11,1x ∈-；（3）当10x <时，)2121x x ->.则真命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 【分析】先利用导数求斜率得到直线l 的方程，可得出()1121211ln 1x x e xe x x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，分类讨论1x 的符号，计算化简()111x x OA OB x e e -⋅=-并判断其符号即得命题①正确；由()1121211ln 1x x e x e x x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩结合指数与对数的互化，得到111101xx e x +=>-，即得1x 的范围，得命题①错误；构造函数1111()1x x F x e x +=--，研究其零点132,2x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，再构造函数()x h x e x -=-并研究其范围，即得到12112x x x e x --=->，得到命题①正确. 【详解】()x f x e =，()x f x e '∴=，所以直线l 的斜率11x k e =，直线l 的方程为()111x x y e e x x -=-，即()1111x x y e x x e =+-，同理根据()ln g x x =可知，直线l 的方程为()221ln 1y x x x =+-，故()1121211ln 1x x e xe x x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，得1221ln ln x x x ==-. 命题①中，若10x =，由121x e x =可得21x =，此时等式()1121ln 1xe x x -=-不成立，矛盾； 10x ≠时，()()11111212111x x x x OA OB x x y y x e e x x e e --⋅=+=+⋅-=-，因此，若10x <，则110x x ->>，有110x x e e -->，此时0OA OB ⋅<； 若1>0x ，则110x x -<<，有110x x e e --<，此时0OA OB ⋅<. 所以根据数量积定义知，cos 0AOB ∠<，即90AOB ∠>，故①正确；命题①中，由()1121211ln 1x x e x e x x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩得1211111ln 1110111x x x x e x x x ---+===>---，得11x <-或11x >，故①错误； 命题①中，因为21ln 2111x x x x ex e x --=-=-，由①知，11111xx e x +=-，11x <-或11x >， 故当10x <时，即11x <-，设1111()1x x F x e x +=--，则()1212()01x F x e x '=+>-，故()F x 在(),1-∞-是增函数，而21(2)03F e --=-<，3231025F e -⎛⎫-=-> ⎪⎝⎭，故1111()01x x F x e x +=-=-的根132,2x ⎛⎫∈--⎪⎝⎭，因为21ln 2111x x x x e x e x --=-=-，故构造函数()xh x e x -=-，32,2x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，则()10x h x e -'=--<，故()h x 在32,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，所以32333()52222xh x e x g e -⎛⎫=->-=+>+> ⎪⎝⎭，故)2121x x ->，故①正确.故选：C. 【点睛】本题考查了利用导数几何意义求曲线的切线，考查了利用函数的单调性研究函数的零点问题，属于函数的综合应用题，属于难题.16．已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x >时，有()()22f x xf x x '>+，则不等式()()()220182018420x f x f +++-<的解集为（ ） A ．(),2016-∞- B ．(2016,2012)-- C ．(2020,2016)-- D ．(2016,0)-【答案】A 【分析】构造新函数()()2g x x f x =，根据条件可得()g x 是奇函数且单调递增，将所求不等式化为()()()()222018+20184222x f x f f +<--=，即()()20182g x g +<，解得20182x +<，即2016x <-【详解】解：因为()f x 为R 上奇函数，所以()()f x f x -=-，设()()2g x x f x =，所以22()()()()()g x x f x x f x g x -=--=-=-， 所以()g x 为R 上奇函数，对()g x 求导，得()()()2f g f x x x x x '=+'⎡⎤⎣⎦，而当(0,)x ∈+∞时，有()()220f x xf x x '>+≥故(0,)x ∈+∞时，()0g x '>，即()g x 单调递增， 又()g x 为R 上奇函数，(,0)x ∈-∞时，()g x 单调递增，()g x 在R 上可导，()g x 在0x =处连续，所以()g x 在R 上单调递增，不等式()()()22018+2018420x f x f ++-<()()()22018+201842x f x f +<--， ()()()22018+201842x f x f +<即()()20182g x g +<所以20182x +<，解得2016x <- 故选：A 【点睛】本题考查构造新函数并利用其单调性求解不等式、利用导数判断函数的单调性，函数的奇偶性的应用，题目较综合，有一定的技巧性，是中档题. 17．已知定义在(0,)2π上的函数()f x 的导函数为'()f x ，且对于任意的(0,)2x π∈，都有'()cos ()sin f x x f x x <，则（ ）A ()()43f ππ>B ()()64ππ<C ()()64ππD ()()63f ππ<【答案】A 【分析】构造函数()cos ()g x x f x =⋅，利用导数判断出函数()g x 的单调性，即可判断正确选项． 【详解】解：由题意：构造函数()cos ()g x x f x =⋅， 则()()cos ()sin 0g x f x x f x x '='-<在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，所以()g x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以3ππ4π6g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以coscoscos6644ππππππ33f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1624πππ23f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3π4πf ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 4π6π⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3π6πf ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：A 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、利用函数的单调性比较函数值的大小，是中档题．18．设()f x '是定义域为R 的函数()f x 的导函数，()3f x '<，()32f -=-，则()37f x x >+的解集为（ ） A ．(),1-∞- B ．(),3-∞- C ．()()3,01-+∞， D ．()()1,01-+∞，【答案】B 【分析】根据()3f x '<，构造函数()()3g x f x x =-，由()()30g x f x ''=-<，得到()g x 在R 上递减，然后将不等式()37f x x >+转化为()37f x x ->，利用函数单调性定义求解. 【详解】因为()3f x '<，即()30f x '-<， 设函数()()3g x f x x =-，()()30g x f x ''=-<， ()g x 在R 上递减，又()32f -=-，所以()()()33337g f -=--⨯-=，不等式()37f x x >+转化为：()37f x x ->， 即()()3g x g >-， 所以3x <-， 故选：B 【点睛】本题主要考查函数的单调性与导数以及利用函数单调性的定义解不等式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．已知函数()x x g x e e -=-，()()f x xg x =，若53(),(),(3)22a fb fc f =-==，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】C 【分析】易得函数()f x 为偶函数，再结合函数()g x 的单调性并利用导数判断函数()f x 的单调性，由此得解． 【详解】()()g x g x -=-，()x x g x e e -∴=-为奇函数，()f x 为偶函数，又()0x x g x e e -'=+>，()g x ∴在R 上单调递增，当0x >时，有()(0)0g x g >=，()()()0f x g x xg x '=+'>， 即()f x 在(0,)+∞上递增，所以355()()()(3)222f f f f <-=<， 故选:C ． 【点睛】本题考查函数奇偶性及单调性的综合运用，同时涉及了运用导数判断函数的单调性，属于中档题． 20．已知函数f (x )(x ①R )满足(1)1f =，且()f x 的导数f ′(x )>12，则不等式1()22x f x <+的解集（ ） A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1]①[1，＋∞)D ．(－1，1)【答案】A 【分析】 根据f ′(x )>12，构造函数 ()()122x g x f x =-- ，又()()1111022=--=g f ，然后将不等式1()22x f x <+，转化为1()022--<x f x ，利用单调性的定义求解. 【详解】 因为f ′(x )>12， 所以()102f x '-> 所以()()()()()110222x g x f x g x f x g x =--⇒=->⇒'' 在R 上递增， 又()()1111022=--=g f ，所以不等式1()22x f x <+，即为1()022--<x f x ，即为：()()1g x g <， 所以1x <， 故选：A 【点睛】本题主要考查函数的单调性与导数以及单调性的应用，还考查了构造转化求解问题的能力，属于中档题. 21．设函数()()x f x F x e=是定义在R 上的函数，其中()f x 的导函数()'f x 满足()()f x f x '<对于x ∈R 恒成立，则（ ）A ．(2)f 2(0)e f >，2020(2020)(0)f e f >B ．(2)f 2(0)e f <，2020(2020)(0)f e f >C ．(2)f 2(0)e f <，2020(2020)(0)f e f <D ．(2)f 2(0)e f >，2020(2020)(0)f e f < 【答案】C 【分析】对()F x 求导得()()()xf x f x F x e '-'=，可证得()F x 在R 上单调递减，于是有F （2）(0)F <和(2020)(0)F F <，从而得解.【详解】()()x f x F x e =，()()()0xf x f x F x e -∴='<'， ()F x ∴在R 上单调递减，F ∴（2）(0)F <，即2(2)(0)1f f e <，f （2）2(0)e f <； (2020)(0)F F <，即2020(2020)(0)1f f e <，2020(2020)(0)f e f <. 故选：C . 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查学生的转化思想和逻辑推理能力，属于中档题.22．已知()'f x 是定义在R 上的函数()f x 的导函数，且满足()()0xf x f x '+>对任意的x ∈R 都成立，则下列选项中一定正确的是（ ） A ．(2)(1)2f f > B ．(1)(2)2f f > C ．(2)(1)2f f <D ．(1)(2)2f f < 【答案】D 【分析】令()()F x xf x =，结合已知条件可知()F x 为R 上的增函数，故可根据()()21F F >得到正确的选项. 【详解】令()()F x xf x =，则()()()0xf x x F x f '='+>，故()F x 为R 上的增函数， 所以()()21F F >即()()221f f >， 故选：D. 【点睛】本题考查函数的单调性，注意根据导数满足的关系合理构建新函数，本题属于基础题.23．已知函数f （x ）的定义域为R ，且()()()1,02f x f x f '+<=，则不等式()13x f x e +>解集为（ ） A ．(1,)+∞ B ．(,1)-∞C ．(0,)+∞D ．(,0)-∞【答案】C【分析】 构造函数()()1xf xg x e+=,再分析()g x 的单调性以及()0g 求解()13xf x e +>即可. 【详解】 构造函数()()1xf xg x e+=,则()()()10x f x f x e g x '--=>',故()g x 在R 上为增函数. 又()()00103f g e+==,故()13xf x e +>即()13x f x e +>,即()()0g x g >.解得0x >. 故选：C 【点睛】本题主要考查了构造函数求解不等式的问题,需要根据题中所给的导数不等式或者所求的不等式,构造合适的函数,再根据函数的单调性求解.属于中档题.24．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x ≠时，()()0f x f x x'+<，若(1)a f =，()33b f =--，2(2)c f =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c a b <<【答案】B 【分析】先设()()g x xf x =，对()()g x xf x =求导，结合题中条件，判断()g x 的单调性，再根据函数()y f x =为奇函数，得到()g x 的奇偶性，进而可得出结果. 【详解】设()()g x xf x =，则()()()g x f x xf x ''=+， 因为当0x ≠时，()()0f x f x x'+<，所以当0x >时,()()0f x xf x '+<，即()0g x '<； 当0x <时,()()0f x xf x '+>，即()0g x '>； 所以()g x 在()0-∞，上单调递增，在()0+∞，上单调递减； 又函数()y f x =为奇函数，所以()()f x f x -=-，因此()()()()g x xf x xf x g x -=--==，。
