高中数学：导数中的构造函数

导数小题中构造函数的技巧
函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中，下面我就导数小题中构造函数的技巧和大家进行分享和交流。

（一）利用)(x f 进行抽象函数构造
1、利用)(x f 与x 构造；常用构造形式有x x f x xf )(),(；这类形式是对v
u
v u ,⋅型函数导数计算的推广及应用，我们对v
u
v u ,
⋅的导函数观察可得知，v u ⋅型导函数中体现的是“+”法，v
u
型导函数中体现的是“-”法，由此，我们可以猜测，当
导函数形式出现的是“+”法形式时，优先考虑构造v u ⋅型，当导函数形式出现
的是“－”法形式时，优先考虑构造v
u
，我们根据得出的“优先”原则，看一看
例1，例2.
【例1】)(x f 是定义在R 上的偶函数，当0<x 时，0)()('<+x xf x f ，且
【解析】可以推出
【例2】设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且0)1(=f ，当0<x 时，有
0)()('>-x f x xf 恒成立，则不等式0)(>x f 的解集为________________
x
x f x xf )
(),
(是比较简单常见的)(x f 与x 之间的函数关系式，如果碰见复杂的，
我们根据得出的结论去解决例3题
【例3】已知偶函数)0)((≠x x f 的导函数为)('x f ，且满足0)1(=-f ，当0>x 时，)()(2'x xf x f >，则使得0)(>x f 成立的x 的取值范围是___________
【变式提升】设函数)(x f 满足x x f x x f x ln 1)(3)(2'3+=+，且e
e f 21)(=，则0>x 时，)(x f （）A 、有极大值，无极小值
B 、有极小值，无极大值
【例4】设)(x f 是定义在R 上的奇函数，在)0,(-∞上有0)2()2(2'<+x f x xf ，且0)2(=-f ，则不等式0)2(<x xf 的解集为___________.
('x F
（2）利用)(x f 与x e 构造；
)(x f 与x e 构造，一方面是对v
u
v u ,
⋅函数形式的考察，另外一方面是对x x e e =)(的考察.所以对于)()('x f x f ±类型，我们可以等同x
x f x xf )
(),(的类型处理，“+”法优先考虑构造x e x f x F ⋅=)()(，“-”法优先考虑构造x e
x f x F )
()(=.
【例5】已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的函数，导函数)('x f 满足)()('x f x f <对于R x ∈恒成立，则（
）
【解析】构造同样x
x e
x f x f e )(),
(是比较简单常见的)(x f 与x
e 之间的函数关系式，如果碰
我们根据得出的结论去解决例6题.
【例6】若定义在R 上的函数)(x f 满足1)0(,0)(2)('=>-f x f x f ，则不等式
x e x f 2)(>的解集为___________
【解析】构造
【变式提升】若定义在R 上的函数)(x f 满足1)0(,04)(2)('-=>--f x f x f ，则不等式2)(2->x e x f 的解集为___________
【例7】已知函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若()f x 满足：
()()(1)[]0x f x f x '-->，()22(2)x f x f x e --=，则下列判断一定正确的是（
）
2【解析】构造
（3）利用)(x f 与x x cos ,sin 构造.
x x cos ,sin 因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，我们一
起看看常考的几种形式.
根据得出的关系式，我们来看一下例8
【例8】已知函数()y f x =对于任意的(,)22
x ππ
∈-
满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式
不成立的是（）
()()
34
f ππ
<()()
34
f ππ
-<-
C、(0)()
4f π
<D、(0)2()
3
f f π
<【解析】构造
【变式提升】定义在)2
,0(π
上的函数，函数)('x f 是它的导函数，且恒有
x x f x f tan )()('<成立，则（
）
A、)
3(2)4(3π
πf f >B、1
sin )6(2)1(π
f f <C、)
4()6(2π
πf f >D、)
3
()6(3π
πf f <❀❀❀思路点拨：满足“x x f x x f cos )(sin )('-”形式，优先构造x
x f x F sin )
()(=，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.
（二）构造具体函数关系式构造
这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不等式及求值问题.
【例9】]2
,2[,π
πβα-∈，且0sin sin >-ββαα，则下列结论正确的是（）A、β
α>B、2
2βα>C、β
α<D、0
>+βα❀❀❀思路点拨：构造函数x x x f sin )(=，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可.
【解析】构造x x x f sin )(=形式，则x x x x f cos sin )('+=，]2,0[π
∈x 时导函数
0)('≥x f ，)(x f 单调递增；)0,2
[π
-
∈x 时导函数0)('<x f ，)(x f 单调递减.有∵)(x f 为偶函数，根据单调性和图像可知选B.
【变式提升】定义在R 上的函数)(x f 满足1)1(=f ，且对2
1)(,'<∈∀x f R x 则不等式2
1
log )(log 22+>
x x f 的解集为_________.❀❀❀思路点拨：构造函数221
)()(x x f x F -=，令x t 2log =，然后原不等式等价于
2
1
)(+>t t f ，利用单调性求解集，然后解对数不等式即可.
【例10】等比数列}{n a 中，21=a ，
48=a ，函数))...()(()(821a x a x a x x x f ---=，则=)0('f （）A 、6
2B 、9
2C 、12
2D 、15
2
('x f
【例11】已知实数c b a ,,满足11
12=--=-d c
b e a a ，其中e 是自然对数的底数，那么22)()(d b
c a -+-的最小值为()
c
-1【变式提升】已知实数b a ,满足0ln 522=--b a a ，R c ∈，则2
2)()(c b c a ++-
【课后作业】设函数)(x f 在R 上的导函数)('x f ，在),0(+∞上
x x f 2sin )('<，且R x ∈∀，有x x f x f 2sin 2)()(=+-，则以下大小关系一定
正确的是（）
A、)34()65(
π
πf f <B、)
()4(ππ
f f <C、3
4(65(π
π-<-f f D、)
()4
(ππ
->-f f
构造函数，作为一种做题技巧的体现，考察了学生的思考能力和动手能力，是一种非常实用的做题技巧，希望我的总结分享能够给大家带来帮助。