湖北武汉二中09-10学年高一下学期期末考试 数学
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武汉二中2009～2010年度下学期高一年级期末考试数学试卷一、选择题(5′×10=50′)1. 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n (n －40), 则下列判断正确的是 （ ） A. a 19＞0, a 21＜0 B. a 20＞0, a 21＜0 C. a 19＜0, a 21＞0 D. a 19＜0, a 20>02. 直线x －2y +1=0关于直线x =1对称的直线方程是 （ ） A. x +2y －1=0 B. 2x +y －1=0 C. 2x +y －3=0 D. x +2y －3=03. 与圆C : x 2+(y +5)2=3相切, 且横、纵截距相等的直线共有 （ ） A. 6条 B. 4条 C. 3条 D. 2条4. 设a , b 为两条直线, α、β为两个平面, 下列四个命题中, 正确的命题是 （ ） A. 若a , b 与α所成的角相等, 则a ∥b B. 若a ∥α, b ∥β, α∥β, 则a ∥b C. 若a ⊂α, b ⊂β, a ∥b , 则α∥β D. 若a ⊥α, b ⊥β, α⊥β, 则a ⊥b5. 如图, BC 是单位圆A 的一条直径, F 是线段AB 上的点, 且BF ＝2F A , 若DE 是圆A 中绕圆心A 运动的一条直径, 则FD ·FE 的值是 （ ）A. －43B. －98C. －41 D. 不确定6. 在三棱锥P －ABC 中, P A ⊥平面ABC , ∠BAC =90°, AB ≠AC , D 、E 分别是BC , AB 中点, AC ＞AD , 设PC 与DE 所成的角为α, PD 与平面ABC 所成的角为β, 二面角 P －BC －A 的平面角为γ, 则α、β、γ的大小关系是 （ ） A. α＜β＜γ B. α＜γ＜β C. β＜α＜γ D. γ＜β＜α7. 某空间几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积是 （ ） A. 31B.32 C. 1 D. 28. 点P (－2, －1)到直线l : (1+3λ)x +(1+2λ)y =2+5λ的距离为d , 则d 的取值范围是 （ ）A. 0≤d ＜13B. d ≥0C. d ＞13D. d ≥139. 已知球O 是棱长为1的正方体ABCD －A B C D 的内切球, 则平面ACD 截球O 的截面面积为 （ ）A.6π B.3π C.4π D.66π 10. 设a ＞b ＞c ＞0, 则2a 2+)(11b a a ab -+－10ac +25c 2的最小值是（ ）A. 2B. 4C. 25D. 5二、填空题(5′×5=25′)11. 过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2+y 2－4y =0所截得的弦长为 . 12. 已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为90°半径为4的扇形, 则圆锥的体积为 .13. 设x , y 满足的约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤--≥+-0 ,0048022y x y x y x , 若目标函数z =abx +y 的最大值为8, 则a +b 的最小值为 .ab 均大于0.14. 设直线系M : x cosθ+(y －2)sinθ=1(0≤θ＜2π),下列四个命题中: ①存在定点P 不在M 中的任一条直线上; ②M 中所有直线均经过一个定点; ③对于任意整数n (n ≥3), 存在正n 边形, 其所有边均在M 中的直线上; ④M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等.其中真命题的序号是 (写出所有真命题的序号). 15. 如图所示, C 是半圆弧x 2+y 2=1(y ≥0)上一点, 连接AC 并延长至D ,使|CD |=|CB |, 则当C 点在半圆弧上从B 点移动至A 点时, D 点所经过的路程为 . 三、解答题(75′)16.(本小题12分) 在△ABC 中, 角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c , 且tanA =21, sinB =1010. (1) 求tanC 的值;(2) 若△ABC 最长的边为1, 求b .17. (本小题12分) 已知两条直线l 1: ax －by +4=0和l 2: (a －1)x +y +b =0, 求满足下列条件的a , b的值. (1) l 1⊥l 2, 且l 1过点(－3, －1); (2) l 1∥l 2, 且坐标原点到这两条直线的距离相等.18. (本小题12分) 如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形, P A ⊥底面ABCD , P A ＝2,∠PDA =45°, 点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点.(1) 求证: AF ∥平面PCE ; (2) 求证: 平面PCE ⊥平面PCD ; (3) 求AF 与平面PCB 所成的角的大小.19. (本小题12分)已知: 以点C (t , 2t)(t ∈R , t ≠ 0)为圆心的圆与x 轴交于点O , A , 与y 轴交于点O , B , 其中O 为原点. (1) 求证：△OAB 的面积为定值;(2) 设直线y = –2x +4与圆C 交于点M , N , 若OM = ON , 求圆C 的方程.20. (本小题13分) 如图所示, PQ 为平面αβ、的交线, 已知二面角αβ-PQ -为直二面角,,,,A PQ B C αβ∈∈∈(*)CA CB kAB k R ==∈, ∠BAP ＝45°.(1) 证明: BC ⊥PQ ;(2) 设点C 在平面α内的射影为点O , 当k 取何值时, O 在平面ABC 内的射影G 恰好为△ABC 的重心？ (3)当k =时, 求二面角B －AC －P 的大小.21. (本小题14分) 已知1()(,)f x x R x a∈≠满足ax ·f (x )=2bx +f (x ), a ≠0, f (1)=1且使()2f x x =成立的实数x 有且只有一个.(1)求()f x 的表达式;(2)数列{}n a 满足：112,(),(*)31n n n n naa a f ab n N a +===∈-, 证明：{}n b 为等比数列.(3)在(2)的条件下, 若121(*),(1)n n n nn c n N S c c c b =∈=++++- ,求证:3(*)2n S n N <∈武汉二中2009～2010年度下学期高一年级期末考试数学试卷参考答案11. 23 12. 315π 13. 4 14. ①③ 15. 2π三、解答题 16. 解（1）∵sinA=55＞sinB , ∴∠A ＞∠B , ∴∠B 为锐角. ∴cosB =10103 sin 1tan cos3B B B ∴==,[]11tan tan 23tan tan ()tan()1111tan tan 123A B C A B A B A B π++∴=-+=-+=-=-=--∙-∙ (2)由(1)知C 为钝角, C 是最大角,最大边为c =1,tan 1,135,sin C C C =-∴=︒∴=, 由正弦定理:sin sin b cB C =得1sin sin c B b C===17. (1) ⎩⎨⎧==22b a (2)⎩⎨⎧-==22b a 或⎪⎩⎪⎨⎧==232b a 18. 证明: （1）取PC 的中点G ，连结FG、EG ，∴FG 为△CDP 的中位线 ∴FG 21//CD ∵四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点 ∴AB 21//CD ∴FG //AE ∴四边形AEGF 是平行四边形 ∴AF ∥EG 又EG ⊂平面PCE ，AF ⊄平面PCE ∴AF ∥平面PCE（2）∵ P A ⊥底面ABCD∴P A ⊥AD ，P A ⊥CD ，又AD ⊥CD ，P A AD =A∴CD ⊥平面ADP ，又AF ⊂平面ADP ∴CD ⊥AF 直角三角形P AD 中，∠PDA =45° ∴△P AD 为等腰直角三角形 ∴P A ＝AD =2 ∵F 是PD 的中点，∴AF ⊥PD ，又CD PD =D ∴AF ⊥平面PCD ∵AF ∥EG ∴EG ⊥平面PCD 又EG ⊂平面PCE 平面PCE ⊥平面PCD （3）过E 作EQ ⊥PB 于Q 点, 连QG , CB ⊥面P AB∴⎩⎨⎧⊥⊥EQPB EQ CB ⇒QE ⊥面PCB , 则∠QGE 为所求的角. S △PEB =21BE ·P A =21PB ·EQ ⇒EQ =21在△PEC 中, PE ＝EC ＝5, G 为PC 的中点, ∴EG ＝2, 在Rt △EGQ 中, sin ∠EGQ =21=EG QE ∴∠EGQ =30°19. 解：（1）O C 过原点圆 ，2224tt OC +=∴． 设圆C 的方程是 22224)2()(tt t y t x +=-+-…………2分令0=x ，得ty y 4,021==；令0=y ，得t x x 2,021==4|2||4|2121=⨯⨯=⨯=∴∆t tOB OA S OAB ，即：OAB ∆的面积为定值．（2）,,CN CM ON OM == OC ∴垂直平分线段MN ． 21,2=∴-=oc MN k k ，∴直线OC 的方程是x y 21=．t t 212=∴，解得：22-==t t 或 当2=t 时，圆心C 的坐标为)1,2(，5=OC ， 此时C 到直线42+-=x y 的距离559<=d ，圆C 与直线42+-=x y 相交于两点．当2-=t 时，圆心C 的坐标为)1,2(--，5=OC ，此时C 到直线42+-=x y 的距离559>=d圆C 与直线42+-=x y 不相交，2-=∴t 不符合题意舍去． ∴圆C 的方程为5)1()2(22=-+-y x20. (1)在平面β内过点C 作CE ⊥PQ 于点E , 由题知点E 与点A 不重合, 连接EB . ,,PQ CE αβαβα⊥=∴⊥ , 即点C 在平面α内的射影为点E , 所以11331370246530101515E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.又,CA CB EA EB =∴= .45,45,90B A E A B E A E B ∠=︒∴∠=︒∠=︒ , 故 BE ⊥PQ , 又CE PQ ⊥ , EBC PQ ∴⊥平面,BC ⊂ 平面EBC , 故BC ⊥PQ .(2)由(1)知, O 点即为E 点, 设点F 是O 在平面ABC 内的射影, 连 接BF 并延长交AC 于点D , 由题意可知, 若F 是△ABC 的重心, 则点D 为AC 的中点.BO PQ ⊥ , 平面角PQ αβ--为直二面角, ,BO OB AC β∴⊥∴⊥, 由三垂线定理可知AC ⊥BF , 即AC ⊥BD , AB BC AC ∴==, 即k ＝1；反之, 当k ＝1时, 三棱锥O —ABC 为正三棱锥, 此时, 点O 在平面ABC 内的射影恰好为△ABC 的重心.(3)由(2)知, 可以O 为原点, 以OB 、OA 、OC 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O —xyz (如图所示)不妨设AB 在Rt △OAB 中, ∠ABO ＝∠BAO ＝45°, 所以BO ＝AO, 由CA ＝CB ＝kAB且k 得, AC ＝2, 1O C ∴=,则(0,0,0),(0,0,1)O B A C .所以(0,AB AC ==设1(,,)n x y z 是平面ABC 的一个法向量, 由1100n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得00z =+=⎪⎩取x =1,得1n =易知2(1,0,0)n =是平面β的一个法向量, 设二面角B －AC －P 的平面角为θ,所以1212cos ||||n n n n θ⋅==⋅由图可知,二面角B －AC －P的大小为. 21. （1）f (x )=12-ax bx ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=仅有一根x ax bx f 21211⇒⎩⎨⎧=+-=0112b a b 12)(11+=⇒⎩⎨⎧-=-=⇒x x x f b a（2）b n +1=2b n ∴{b n }是首项为2, 公比为2的等比数列;（3）b n =2n C n =nn )1(21-+C 2k +C 2k +1=1222221211212122122122-+⋅+=-+++++k k k k k k k ＜12212212221212222++++=⋅+k k k k k k ∴n 为奇数时, S n =C 1+（C 2+C 3）+…+(C n －1+C n )＜1+n21 (21213)2+++ =1+211)211(411---n =n2123-＜23 n 为偶数时, S n ＜S n +1＜23 综合以上, S n ＜23。
