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第一讲Ⅰ 授课题目：§5.1 预备知识：向量的内积 Ⅱ 教学目的与要求：1.了解向量的内积及正交向量组的概念；1.了解把线性无关的向量组正交规范化的施密特(Smidt)方法；2.了解正交矩阵概念及性质。
Ⅲ 教学重点与难点：重点：正交向量组及正交矩阵难点：施密特正交化方法 Ⅳ 讲授内容： 一、向量的内积前面曾介绍过向量的线性运算，但在许多实际问题中，还需要考虑向量的长度等方面的度量性质.在此，作为解析几何中向量的数量积的推广，引进向量的内积运算. 定义1 设有n 维向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x x 21，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n y y y y 21，令 []n x y x y x y x +++= 2211,，[]y x ,称为向量x 与y 的内积.内积是向量的一种运算，用矩阵记号表示，当x 与y 都是列向量时，有 []y x y x T =,.内积具有下列性质（其中z y x ,,为n 维向量，λ为实数）： ① [][]x y y x ,,=； ② [][]y x y x ,,λλ=； ③ [][][]z x y x z y x ,,,+=+.例1 设有两个四维向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=5121α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=5603β.求[]βα,及[]αα,. 解 []3425603,-=--+-=βα []3125141,=+++=ααn 维向量的内积是数量积的一种推广，但n 维向量没有3维向量那样直观的长度和夹角的概念，因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推广.并且反过来，利用内积来定义n 维向量的长度和夹角： 定义2 令x =[]22221,n x x x x x ++=，则x 称为n 维向量x 的长度（或范数）.向量的长度具有下列性质：① 非负性 当0≠x 时，0>x ，当0=x 时，0=x ； ② 齐次性x x λλ=；③ 三角不等式 y x y x +≤+.向量的内积满足施瓦兹不等式 [][][]y y x x y x ,,,2⋅≤由此可得[]1 ,≤yx y x （当0y ≠x 时）于是有下面的定义：当0≠x ，0≠y 时， []y,arccos x y x =θ 称为n 维向量的夹角.二、正交向量组当[]0,=y x 时，称向量x 与y 正交.显然，若0=x ，则x 与任意向量都正交. 两两正交的非零向量组称为正交向量组.定理 1 若n 维向量r ααα ,,21是一组两两正交的非零向量组，则r ααα ,,21线性无关.证明 设有r λλλ ,,21使 02211=+++r r αλαλαλ ，以T 1α左乘上式两端，得 0111=ααλT，因01≠α，故0211≠=αααT，从而必有01=λ.类似可证0,02==r λλ .于是向量组r ααα ,,21线性无关.注 1.该定理的逆定理不成立.2.这个结论说明：在n 维向量空间中，两两正交的向量不能超过n 个.这个事实的几何意义是清楚的.例如平面上找不到三个两两垂直的非零向量；空间中找不到四个两两垂直的非零向量.正交向量组作为向量空间的基，称为向量空间的正交基.例如n 个两两正交的n 维非零向量，可构成向量空间nR 的一个正交基.例2 已知3维向量空间3R 中两个向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1212α正交，试求一个非零向量3α，使321,,ααα两两正交.解 记 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12111121T T A αα， 3α应满足齐次线性方程0=Ax ，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00121111321x x x ，由 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-010101~030111~A ，得 ⎩⎨⎧=-=0231x x x ， 从而有基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101，取⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1013α即合所求.定义3 设n 维向量r e e e ,,,21 是向量空间)(nR V V ⊂的一个基，如果r e e e ,,,21 两两正交，且都是单位向量，则称r e e e ,,,21 是V 的一个规范正交基.若r e e e ,,,21 是V 的一个规范正交基，那么V 中任一向量α应能由r e e e ,,,21 线性表示，设表示式为 r r e e e λλλα+++= 2211.为求其中的系数),1(r i i =λ，可用T i e 左乘上式，有 i i T i i T i e e e λλα==，即 []i Ti i e e ,ααλ==.设r ααα ,,21是向量空间V 的一个基，要求V 的一个规范正交基.这也就是找一组两两正交的单位向量r e e e ,,,21 ，使r e e e ,,,21 与r ααα ,,21等价.这样一个问题，称为把r ααα ,,21这个基规范正交化.以下办法可把r ααα ,,21规范正交化： 取 11α=b ；[][]1112122,,b b b b b αα-=； ……[][][][][][]111122221111,,,,,,-------=r r r r r r r r r b b b b b b b b b b b b b αααα . 容易验证r b b b ,,,21 两两正交，且r b b b ,,,21 与r ααα ,,21等价. 然后只要把它们单位化，即取111b b e =，222b b e =，……，rr r b b e =，就得V 的一个规范正交基.上述从线性无关向量组r ααα ,,21导出正交向量组r b b b ,,,21 的过程称为施密特（Schimidt ）正交化过程.它不仅满足r b b b ,,,21 与r ααα ,,21等价，还满足：对任何)1(r k k ≤≤，向量组k b b b ,,,21 与k ααα ,,21等价.例3 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1211α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1312α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0143α，试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化.解 取11α=b ；[]⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=1113512164131,1211222b b b b αα； [][]⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--=1012,,222231211333b b b b b b b ααα. 再把它们单位化，取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=121611e ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111312e ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101213e .即合所求.例4 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111α，求一组非零向量32,αα，使321,,ααα两两正交.解 32,αα应满足方程01=x Tα，即0321=++x x x .它的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1011ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1102ξ.把基础解系正交化，即合所求.亦即取 12ξα=，[][]1112123,,ξξξξξξα-=.于是得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1012α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121213α.三、正交矩阵在平面解析几何中，坐标轴的旋转变换为⎩⎨⎧'+'='-'=θθθθcos sin sin cos y x y y x x对应的矩阵 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A ，显然E A A T=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001.这样的矩阵称为正交矩阵.定义4 如果n 阶矩阵A 满足E A A T= （即T A A=-1），称A 为正交矩阵.上式用A 的列向量表示，既是()E n T n T T =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛αααααα,,,2121 ，亦即())(ij j T iδαα=，这也就是2n 个关系式⎩⎨⎧≠===j 0,j,i ,1i ij j Ti 当当δαα （n j i ,2,1,=）. 这就说明：方阵A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的列向量都是单位鲜花量，且两两正交.又E A A T=与E AA T=等价，所以上述结论对A 的行向量亦成立.由此可见，正交矩阵的n 个列（行）向量构成向量空间nR 的一个规范正交基.比如：⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-22212122，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----212100021212121212121212121都是正交矩阵. 注 正交矩阵的性质：设B A ,均为正交矩阵，则1.1±=A ，因此A 为满秩矩阵；2.1-=A A T，并且也是正交矩阵； 3.AB 也是正交矩阵.定义5 若P 为正交矩阵，则线性变换Px y =称为正交变换.设Px y =为正交变换，则有 x x x Px P x y y y T T T T ====.按x 表示向量的长度，相当于线段的长度.x y =说明经正交变换线段长度保持不变，这正是正交变换的优良特性.Ⅴ 小结与提问：小结：1.内积是计算向量的长、夹角的基础，须掌握其计算和运算性质.2.向量的夹角是对两个非零向量定义的，这个定义的合理性是由施瓦兹不等式保证的，因为对任何非零向量βα,，由施瓦兹不等式有[]1,≤⋅βαβα.从而[]βαβαθ⋅=,arccos才有意义.3.把线性无关的向量组正交规范化，须先正交化，后单位化，而不能先单位化，后正交化.4.正交矩阵是一类重要的矩阵，一个矩阵A 是正交矩阵的充分必要条件是A的 行（列）向量组是正交规范组，这是实际计算中求正交矩阵的根据.提问：1.向量空间的规范正交基是否唯一？2.A 、B 均是正交阵，B A +是正交阵吗？ Ⅵ 课外作业：161P 1.（2）2.（1）3.第二讲Ⅰ 授课题目：§5.2 方阵的特征值与特征向量 Ⅱ 教学目的与要求：1.理解矩阵的特征值与特征向量的概念;2.掌握矩阵的特征值与特征向量的求法。
2023大学线性代数课后答案大学线性代数内容简介第一章矩阵与行列式1.0 预备知识1.0.1 集合1.0.2 数集1.0.3 数域1.0.4 求和号1.1 线性型和矩阵概念的引入1.1.1 矩阵的定义1.1.2 常用矩阵1.2 矩阵的运算1.2.1 矩阵的线性运算1.2.2 矩阵的乘法1.2.3 方阵的幂与方阵多项式1.3 方阵的行列式1.3.1 行列式的递归定义1.3.2 排列1.3.3 行列式的等价定义1.4 行列式的'基本性质1.4.1 转置行列式1.4.2 行线性性1.4.3 行列式的初等变换1.5 Laplace定理1.5.1 子式余子式代数余子式1.5.2 Laplace定理1.5.3 行列式的按行展开与按列展开 1.5.4 方阵乘积的行列式1.6 行列式的计算1.6.1 三角化1.6.2 降阶法与镶边法1.6.3 归纳与递推1.7 可逆矩阵1.7.1 可逆矩阵1.7.2 矩阵可逆的条件1.7.3 逆矩阵的求法1.8 分块矩阵1.8.1 矩阵的分块1.8.2 分块矩阵的运算1.8.3 分块对角矩阵习题一第二章线性方程组理论2.1 解线性方程组的消元法2.1.1 线性方程组的矩阵形式2.1.2 线性方程组的初等变换2.1.3 梯矩阵和简化梯矩阵2. 2向量空间Kn2.2.1 向量空间Kn及其运算性质2.2.2 子空间2.3 向量组的秩2.3.1 线性组合、线性方程组的向量形式 2.3.2 线性相关与线性无关2.3.3 极大线性无关组、向量组的秩2.4 矩阵的相抵标准形2.4.1 初等矩阵和矩阵的初等变换2.4.2 矩阵的秩2.5 Cramer法则2.5.1 Cramer法则2.5.2 求逆矩阵的初等变换法2.5.3 矩阵方程2.6 线性方程组解的结构2.6.1 线性方程组相容性判别准则2.6.2 齐次线性方程组的解空间2.6.3 非齐次线性方程组解的结构2.7 分块矩阵的初等变换2.7.1 分块矩阵的初等变换2.7.2 分块初等矩阵2.7.3 行列式和矩阵计算中的分块技巧习题二第三章相似矩阵3.1 方阵的特征值与特征向量3.1.1 方阵的特征值与特征向量3.1.2 特征值与特征向量的求法3.1.3 特征向量的性质3.2.1 矩阵相似的概念3.2.2 相似矩阵的性质3.3 矩阵相似于对角矩阵的条件3.3.1 矩阵相似于对角矩阵的条件3.3.2 特征值的代数重数和几何重数3.3.3 矩阵Jordan标准形3.4 方阵的最小多项式3.4.1 方阵的化零多项式3.4.2 最小多项式3.4.3 最小多项式与方阵相似于对角矩阵的条件 3.5 相似标准形的若干简单应用3.5.1 行列式求值与方阵求幂3.5.2 求与给定方阵可交换的方阵习题三第四章二次型与对称矩阵4.1 二次型及其标准形4.1.1 二次型及其矩阵表示4.1.2 二次型的标准形4.1.3 实对称矩阵的合同标准形4.2 惯性定理与二次型分类4.2.1 惯性定理4.2.2 二次型的分类4.3 正定二次型4.3.1 正定二次型4.3.2 二次型正定性判别法4.4 正交向量组与正交矩阵4.4.1 向量的内积4.4.2 正交向量组4.4.3 正交矩阵4.5 实对称矩阵的正交相似标准形4.5.1 实对称矩阵的特征值和特征向量 4.5.2 实对称矩阵的正交相似标准形 4.5.3 用正交替换化二次型为标准形习题四第五章线性空间与线性变换5.1 线性空间的概念5.1.1 线性空间的定义5.1.2 线性空间的简单性质5.1.3 线性子空间5.2 线性空间的同构5.2.1 基底，维数与坐标5.2.2 基变换与坐标变换5.2.3 线性空间的同构5.3 欧氏空间5.3.1 欧氏空间的定义与基本性质5.3.2 标准正交基5.3.3 欧氏空间的同构5.4 线性变换5.4.1 线性变换的概念与运算5.4.2 线性变换的性质5.5 线性变换的矩阵5.5.1 线性变换在给定基下的矩阵5.5.2 线性变换在不同基下矩阵间的关系习题五索引参考文献大学线性代数目录《大学数学线性代数》是普通高等教育“十一五”国家级规划教材“大学数学”系列教材之一，秉承上海交通大学数学基础课程“基础厚、要求严、重实践”的特点编写而成。
