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[ x, y] 当 || x ||⋅ || y ||≠ 0时, 有: ⋅ ≠ 时 ≤ 1. || x || ⋅ || y ||
2. 当 || x ||= 1 时, 称 x 为单位向量 单位向量.
T 1 1 1 1 1 例如 α = , ,− , β = ,0,− ,0 , 3 3 3 2 2 1 α 为单位向量 单位向量. 若 α≠θ , 则β = || α || T
y1 y2 , y= M y n
, 称 [ x, y ] 为向量 x 与 y 的内积 (Inner product) . 维向量的内积是3维向量数量积 说明 1. n (n≥4)维向量的内积是 维向量数量积 ≥ 维向量的内积是 的推广, 但是没有3维向量直观的几何意义 维向量直观的几何意义． 的推广 但是没有 维向量直观的几何意义． 2. 若向量 x 与 y 均为列向量 内积可用矩阵记法 均为列向量, 表示为: 表示为 [ x, y ]= xT y .
8 − 14 T (0,−2,−1,3)T = ( 3,5,1,−1) − (1,1,1,1) − 4 14 = (1,1,−2,0)T ,
T
单位化得如下规范正交向量组: 单位化得如下规范正交向量组
1 0 1 1 1 1 − 2 1 1 . , e3 = e1 = , e2 = 6 − 2 14 − 1 2 1 0 3 1
例如 x = (0,1,1,1)T 与 y = (8,1,−2,1)T ,
有 [ x, y ]= 0 , 故向量 x 与 y 正交 . 由定义可知: 与任何向量都正交. 由定义可知 若 x = θ 时, 则 x与任何向量都正交 与任何向量都正交 2. 若一非零向量组中的向量两两正交, 则称该向 若一非零向量组中的向量两两正交 非零向量组中的向量两两正交 量组为正交向量组． 量组为正交向量组． 正交向量组 ⋅⋅⋅, 正交向量组, 定理 若n维向量 α1,α2,⋅⋅⋅ αr 是正交向量组 则 维 ⋅⋅⋅
同理可知： 同理可知：初始单位向量组
1 0 0 0 0, 1, 0, 0. ε1 = ε 2 = ε 3 = ε 4 = 0 0 1 0 0 0 0 1
LLLL
[b1 , ar ] [b2 , ar ] [br −1 , ar ] br = ar − b1 − b2 − L − br −1 [b1 , b1 ] [b2 , b2 ] [br −1 , br −1 ]
那么 b1 ,L, br 两两正交 , 且b1 ,L, br 与a1 ,La r 等价 .
若 α≠θ , β =
1 || α ||
T
α 称为把向量 α 单位化 称为把 单位化.
1 (1,2,3)T . 例如 α = (1,2,3) , 单位化得 : β = 14
(3) 当 || x ||⋅ || y ||≠ 0时, θ = arccos ⋅ ≠ 时 夹角. 称为向量 x 与 y 的夹角
x1 = − x3 解得： 解得： − x = 0 , 令 x3=1, 得: α3=(−1,0,1)T, 2 构成R 的一个正交基. 则α1,α2,α3 构成 3的一个正交基
5. 规范 (标准 正交基 标准) 标准 定义 设n维向量 e1 , e2 ,L, er 是向量空间 V (V ⊂
2. 内积的运算性质 ( 其中 x, y , z 为 n 维向量 λ为实数 ). 维向量, (1) [ x, y ]= [ y, x]; (2) [λ x, y ]= λ[ x, y]; (3) [x+y, z ]= [ x, z]+ [ y, z]; (4) 当 x = θ 时, [ x, x ]= 0; 当 x ≠ θ 时, [ x, x ]≠ 0. ≠ 施瓦茨(Schwarz)不等式 [ x, y ]2 ≤ [ x, x ] [ y, y]. 不等式: ⇒ 施瓦茨 不等式
范正交化 .
下面介绍施密特正交化方法（ 下面介绍施密特正交化方法（Gram-Schmidt 施密特正交化方法 orthogonalization’s method ）
若a1 , a 2 ,L, a r 为向量空间 V的一个基 , [ b1 , a 2 ] (1) 正交化 取 b1=a1 , b 2 = a 2 − b1 , [ b1 , b1 ] [ b1 , a 3 ] [b2 , a 3 ] b3 = a 3 − b1 − b2 , [ b1 , b 1 ] [b2 , b2 ]
四、正交矩阵与正交变换
若 n 阶方阵 A 满足 AT A = E (即A−1 = AT ) , 定义4 定义4 则称 A 为 正交矩阵 . 定理 A 为正交矩阵的充要条件是 A 的列向量都 是单位向量且两两正交． 是单位向量且两两正交．
判别下列矩阵是否为正交阵． 例5 判别下列矩阵是否为正交阵．
1 1 1 − 2 3 1 1 (1) − 1 , 2 2 1 1 − 1 2 3
1 9 8 (2) − 9 4 − 9 8 − 9 1 9 4 − 9 4 − 9 4 − . 9 7 9
正交矩阵的性质： 正交矩阵的性质：
以 a 左乘上式两端 , 得 λ1α 1 α 1 = 0
T 1
T
由 α1 ≠ θ ⇒ α
T 1
α1 =|| α 1 ||2 ≠ 0, 从而有 λ1 = 0 .
同理可得 λ2 = L = λr = 0. 故α 1 ,α 2 ,L,α r 线性无关 .
3. 正交单位向量组 每个向量都是单位向量的正交向量组. 每个向量都是单位向量的正交向量组. 4. 向量空间的正交基
R n )的一个基 , 如果e1 , e2 ,L, er 两两正交且都是单位 向量, 则称e1 , e2 ,L, er 是 V的一个规范正交基 .
例如
1 2 1 2 0 0 1 2 − 1 2 0 , e 0 . e1 = , e2 = 0 , e3 = 1 2 4 = 1 2 0 1 2 − 1 2 0 0
b1 b2 br , e2 = , L , er = , (2) 单位化 取 : e1 = || b1 || || b2 || || br ||
那么 e1 , e 2 ,L, e r 为V的一范化: 例2 用施密特正交化方法将向量组正交规范化
1 0 1 1 , a2 = − 2 , a3 = 1 . a1 = 1 − 1 − 2 1 3 0
二、向量的长度及性质
1. 定义 定义2 令 || x ||= [ x , x ] =
2 2 2 x1 + x2 + L + xn ,
称 || x || 为 n 维向量 x 的长度 (或范数 或范数). 向量的长度具有下述性质： 向量的长度具有下述性质： (1) 非负性: 当 x = θ 时, || x ||= 0; 当 x ≠ θ 时, || x ||≠ 0. 非负性 ≠ ⋅ (2) 齐次性 || λ x ||= |λ|⋅|| x || ; 齐次性: (3) 三角不等式 || x +y || ≤ || x || + || y ||; 三角不等式: (4) |[ x, y ] | ≤ || x || ⋅ || y ||.
解
取 b1=a1=(1,1,1,1)T ,
[b1 , a2 ] 4 b2 = a2 − b1 = (1,−1,0,4)T − (1,1,1,1)T [b1 , b1 ] 4
= (0,−2,−1,3)T ,
[b1 , a3 ] [b2 , a3 ] b3 = a3 − b1 − b2 [b1 , b1 ] [b2 , b2 ]
若α 1 ,α 2 ,L,α r 是向量空间 V的一个基 , 且α 1 ,α 2 , L,α r 是两两正交的非零向量 组, 则称α 1 ,α 2 ,L,α r 是 向量空间 V的正交基 .
1 1 3空间中两个向量 α = 1 ,α = − 2 正交 已知R 例1 已知 1 2 正交, 1 1 构成R 的一个正交基. 试求α3 使α1,α2,α3 构成 3的一个正交基
[ x, y] || x || ⋅ || y ||
T
例 求向量 α = (1,2,2,3) 与β = ( 3,1,5,1) 的夹角.
T
解
[α , β ] 18 2 Q cosθ = = , = || α || ⋅ || β || 2 3 2 ⋅6
∴θ =
π
4
.
三、正交向量组的概念及求法
1.当[ x, y ]= 0 时, 称向量 x 与 y 的正交 . 当
向量的内积、 §1 向量的内积、长度及正交性
一、内积的定义及性质 二、向量的长度及性质 三、正交向量组的概念及求法 四、正交矩阵与正交变换
一、内积定义及性质
x1 x2 , 1. 定义 设有 n 维向量 x = M 定义1 x n ⋅⋅⋅+x 令 [ x, y ]= x1 y1+x2 y2+⋅⋅⋅ n yn , ⋅⋅⋅
也为R 也为 4的一个规范正交基 .
6、 求规范正交基的方法 、
设α 1 ,α 2 ,L ,α r 是向量空间 V的一个基 , 要求 V 的一个规范正交基 , 就是要找一组两两正交 的单 位向量 e1 , e 2 ,L , e r , 使e1 , e 2 ,L , e r 与α 1 ,α 2 ,L ,α r 等 价, 这样一个问题 , 称为 把 α 1 , α 2 , L , α r 这 个 基 规
