《线性代数》电子教程之十三(向量组的正交规范化)

线性代数向量正交公式线性代数向量正交公式是一个常见的数学概念，它表示两个向量在三维空间中被定义为正交，也就是说，它们夹角为90°。

它也可以用来解决具有特定方向的物理问题，比如从一个物体到另一个物体的力。

下面会简要介绍一些线性代数向量正交公式：一：向量范数向量范数是一个向量的标准值，它表示向量的长度。

向量正交公式依赖于向量范数而定义，下面的公式表示的是向量的范数：$$ \lvert v \rvert = \sqrt {v_1^2 + v_2^2 + ... + v_n^2 }$$二：两向量正交当两个向量彼此正交时，两个向量之间的内积就会为0，下面的式子表示的就是两向量彼此正交的公式：$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$$三：任何两向量正交任何两个向量正交，都可以用下面的公式来表示：$$(\vec{a}, \vec{b}) = \cos \theta _{ab} \lvert \vec{a} \rvert \lvert \vec{b} \rvert$$其中：$\theta_{ab}$ 表示两向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$之间的夹角。

$|\vec{a}|$ 表示向量 $\vec{a}$ 的范数。

$|\vec{b}|$ 表示向量 $\vec{b}$ 的范数。

四：锐角锐角就是两个向量之间的夹角是小于90°的，而当两个向量之间的夹角之小于90°的时候，它们的正交的公式就会变成：$$(\vec{a}, \vec{b}) = \cos \theta _{ab} \lvert \vec{a} \rvert \lvert \vec{b} \rvert$$其中：$\theta_{ab}$ 表示两向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$之间的夹角。

$|\vec{a}|$ 表示向量 $\vec{a}$ 的范数。

$|\vec{b}|$ 表示向量 $\vec{b}$ 的范数。

正交规范化正交规范化是一种对样本数据进行预处理的方法，它通过将样本数据进行正交变换，将原始数据投影到一个新的正交特征空间上，从而达到降低数据冗余和提高数据可解释性的目的。

正交规范化在特征选择、特征抽取和特征融合等领域都有广泛的应用。

正交规范化的基本思想是找到一组正交变换矩阵，将原始特征转换到一个新的正交特征空间中。

正交变换矩阵的选取通常是通过最大化或最小化某种目标函数来实现的，最常用的目标函数是最小均方误差和最大方差。

正交规范化可以分为线性正交规范化和非线性正交规范化两种方法。

线性正交规范化是指通过线性变换将原始特征转换为正交特征。

线性正交规范化的目标是最小化特征之间的相关性，从而降低特征之间的冗余性。

最常用的线性正交规范化方法是主成分分析（PCA）和因子分析（FA）。

主成分分析是一种无监督学习的降维方法，它通过找到数据方差最大的方向，将原始数据映射到一个新的正交特征空间上。

主成分分析可以有效地去除数据中的冗余信息，保留最主要的特征。

因子分析是一种潜变量模型，它假设观测数据是由一些共同因子和特殊因子决定的，通过找到最能解释数据变异的共同因子，将原始数据进行正交变换。

非线性正交规范化是指通过非线性变换将原始特征转换为正交特征。

非线性正交规范化的目标是将原始数据映射到一个更高维度的特征空间中，从而提高数据的可拟合性和可解释性。

非线性正交规范化的方法有很多，如核主成分分析（KPCA）、非负矩阵分解（NMF）和独立成分分析（ICA）等。

核主成分分析是一种非线性特征提取方法，它通过将数据映射到一个更高维度的特征空间中，利用核函数的技巧将特征进行正交化。

非负矩阵分解是一种非负线性因子分析方法，它通过将非负数据进行分解，将原始数据转换为非负的正交特征。

独立成分分析是一种盲源分离方法，它假设观测数据由相互独立的源信号线性组合而成，通过找到相互独立的因子分量，将原始数据进行正交规范化。

正交规范化在机器学习和数据挖掘中有着广泛的应用。

例4-13 证明)0,21,21(1=α，)0,21,21(2-=α ，)1,0,0(3=α 是R 3的一组标准正交基．分析：证明已知量是一组标准正交基，可以分两步证明：（1）证明所给向量两两正交，且为基． 方法：求所给向量的两两内积，如果内积等于零，则两向量正交；（2）每个向量的长度等于1． 方法：求每个向量的长度，判断长度是否等于1．证明： （1）证明所给向量两两正交．000)21(21212121=⨯+-⨯+⨯=∙αα，所以，1α 与2α 正交；01002102131=⨯+⨯+⨯=∙αα ，所以，1α 与3α 正交；0100)21(02132=⨯+⨯-+⨯=∙αα ，所以，3α 与2α 正交；有以上证明可知，所给向量1α 、2α、3α 两两正交．又由于三个向量都是3维向量，所以1α 、2α 、3α是R 3的一组正交基．（2）证明1α 、2α 、3α的长度都是1．10)21()21(2221=++=α ；10)21()21(2222=+-+=α；11002223=++=α． 有以上证明可知，所给向量1α 、2α、3α 是R 3的一组标准正交基．例4-14 设)3,2,1(=α，)3,1,4(-=β是R 3中的向量，试求α 在β上的投影向量，投影长度；β 在α上的投影向量和投影长度．解：βα∙=1×4+2×(-1)+3×3=11，14321222=++=α ， 263)1(4222=+-+=β ，α 在β上的投影向量为)3,1,4(2611)3,1,4()26(11221-=-=∙=βββαγα 在β上的投影纯量，或称为投影长度为26111=∙=ββαγβ 在α上的投影向量为)3,2,1(1411)3,2,1()14(11222==∙=ααβαγβ 在α上的投影纯量或称为投影长度为14112=∙=αβαγ例4-15 将R 4中向量组{(3，0，0，0)，(0，1，2，1，)，(0，-1，3，2)}标准正交化．解：1．证明所给的三个向量是线性无关的向量．以所给的三个向量为行的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=231012100003A用矩阵的第三行加第二行得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=231012100003A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛350012100003所以r (A )=3，所以三个向量线性无关．2．用施密特法将向量组正交标准化（1）正交化 构建两两正交向量组令)0,0,0,3(11==αβ)0,0,0,3()0003(01020130)1,2,1,0(222221211222+++⨯+⨯+⨯+⨯-=∙-=βββααβ)1,2,1,0(=)65,32,613,0()1,2,1,0(67)0,0,0,0()2,3,1,0()1,2,1,0()1210(2132)1(100)0,0,0,3()0003(02030)1(30)2,3,1,0(2222222222222231211333-=---=+++⨯+⨯+-⨯+⨯-+++⨯+⨯+⨯-+⨯--=∙-∙-=βββαβββααβ（2）标准化将正交向量组321,,βββ中的三个向量单位化．)0,0,0,1(0003)0,0,0,3(2222111=+++==ββε ，)1,2,1,0(611210)1,2,1,0(2222222=+++==ββε ，)5,4,13,0(2101)65()32()613(0)65,32,613,0(2222333-=++-+-==ββε．至此完成了向量{(3，0，0，0)，(0，1，2，1，)，(0，-1，3，2)}标准正交化，得到一个标准正交向量组{)0,0,0,1(，)61,62,61,0(，)2105,2104,21013,0(-}．。

实验十 线性方程组及向量的正交化1、 已知1111101131133213A ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，计算A 的秩，并计算0AX =的基础解系。

In[ ]:= 1111101131133213⎛⎫ ⎪-= ⎪- ⎪⎝⎭AOut[ ]= {{1,1,1,1},{1,0,-1,1},{3,1,-1,3},{3,2,1,3}}In[ ]:= MatrixForm[A]Out[ ]//MatrixForm=1111101131133213⎛⎫⎪- ⎪- ⎪⎝⎭In[ ]:= RowReduce[A]//MatrixFormOut[ ]//MatrixForm=1011012000000000-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(* 从中可以看出,矩阵A 的秩是2 *)In[ ]:= NullSpace[A]Out[ ]= {{-1,0,0,1},{1,-2,1,0}}In[ ]:= MatrixForm[%]Out[ ]= ()10011210--(*A 的两个线性无关解 *)2、解方程组1234123412343133445986xx x x x x x x x x x x --+=⎧⎪--+=⎨+--=⎪⎩In[ ]:= a={{1,-3,-1,1},{3,-1,-3,4},{1,5,-9,-8}}b={1,4,6}LinearSolve[a,b]Out[ ]= {{1,-3,-1,1},{3,-1,-3,4},{1,5,-9,-8}}Out[ ]= {1,4,6} {711,,,0882-}(* 方程组的一个特解 *)In[ ]:= NullSpace[a]Out[ ]= {{-21,-1,-10,8}}(* 基础解系只有一个解向量 *)In[ ]:= x=c %[[1]]+%% Out[ ]= {71121c,c,10c,8c 882----} (* c 为任意实数 *)3、求下列矩阵的秩（1）211113213414352A -⎡⎤=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ In[ ]:= 211113213414352-⎛⎫ ⎪=-- ⎪--⎝⎭A Out[ ]= {{2,1,-1,1,1},{3,-2,1,-3,4},{1,4,-3,5,-2}}In[ ]:= RowReduce[A]//MatrixFormOut[ ]//MatrixForm= 116107775950177700000⎛⎫-- ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(* 矩阵A 的秩为 2 *)（2）113413114315981B --⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ In[ ]:= 113413114315981--⎛⎫ ⎪=- ⎪--⎝⎭B Out[ ]= {{1,1,-3,-4,1},{3,-1,1,4,3},{1,5,-9,-8,1}}In[ ]:= RowReduce[B]//MatrixFormOut[ ]//MatrixForm= 31001270100200130⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(* 矩阵B 的秩为 3 *)4、解下列线性方程组（1）123412111 12115 12155xxxx⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥--=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦方法一:直接利用Solve函数In[ ]:= Solve[{x1-2x2+x3+x4==1,x1-2x2+x3-x4==-5,x1-2x2+x3+5x4==5}, {x1,x2,x3,x4}]Out[ ]= { }(*此方程组无解*)方法二:用LinearSolve ,NullSpace函数In[ ]:=121112111215-⎛⎫⎪=--⎪-⎝⎭ab={1,-5,5}LinearSolve[a,b]NullSpace[a]Out[ ]= {{1,-2,1,1},{1,-2,1,-1},{1,-2,1,5}}Out[ ]= {1,-5,5}LinearSolve::nosol: Linear equation encountered which has no solution. More…LinearSolve[{{1,-2,1,1},{1,-2,1,-1},{1,-2,1,5}},{1,-5,5}]Out[ ]= {{-1,0,1,0},{2,1,0,0}}(*原方程没有特解*)(*从而原方程无解*)（2）123412122 41213 25410 11111/3xxxx---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦In[ ]:=1212412125411111---⎛⎫⎪= ⎪-⎪⎝⎭ab={2,3,0,1/3}LinearSolve[a,b]NullSpace[a]Out[ ]= {{1,-2,-1,-2},{4,1,2,1},{2,5,4,-1},{1,1,1,1}}Out[ ]= {2,3,0,13}Out[ ]=871,,0, 9186⎧⎫--⎨⎬⎩⎭Out[ ]= {{-1,-2,3,0}} In[ ]:= x=c %[[1]]+%%Out[ ]= 871c,2c,3c,9186⎧⎫----⎨⎬⎩⎭ 另解: In[ ]:= Solve[{x1-2x2-x3-2x4==2,4x1+x2+2x3+x4==3,2x1+5x2+4x3-x4==0,x1+x2+x3+x4==1/3},{x1,x2,x3,x4}] Solve::svars: Equations may not give solutions for all "solve" variables.More.. Out[ ]= 8x372x31x1,x2,x4931836⎧⎫⎧⎫->-->--->-⎨⎨⎬⎬⎩⎭⎩⎭ (* x3为一个自由未知量,求出了解 *)5、已知411419471,574678416A B --⎡⎤⎡⎤=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦，验证：A B A B ⨯=⨯。

规范正交化正交化是一种常见的数学概念，它在统计学、线性代数和信号处理等领域中被广泛应用。

正交化可以将一组线性无关的向量变换成一组正交的向量，使得它们之间的内积为零。

正交化的过程可以提高计算效率，减小数据冗余，使得数据集更加规范和易于处理。

下面将介绍正交化的一些基本规范。

1. 线性无关性：在进行正交化之前，必须确保向量之间是线性无关的。

线性无关的向量集合不包含冗余信息，可以提高计算效率和减少计算错误。

2. 内积为零：正交化的目标是使得向量之间的内积为零，即正交向量具有相互垂直的性质。

内积为零意味着正交向量之间没有重叠的部分，可以减少数据冗余并简化计算。

3. 标准化：正交化后的向量集合通常需要进行标准化，以使得它们的模长为1。

标准化可以提高计算的稳定性，并使得不同维度的向量具有可比性。

4. Gram-Schmidt正交化过程：Gram-Schmidt正交化是一种常用的正交化方法，它可以将线性无关的向量变换成一组正交的向量。

该过程的基本思想是通过减去已经确定的正交基向量的投影来得到新的正交向量。

具体步骤如下：a. 选取第一个向量作为正交基向量。

b. 对于第二个向量，将其减去它在第一个向量上的投影，得到一个与第一个向量正交的向量。

c. 对于第三个向量，将其减去它在前两个向量张成的平面上的投影，得到一个与前两个向量正交的向量。

d. 以此类推，对于第k个向量，将其减去它在前k-1个向量张成的空间上的投影，得到一个与前k-1个向量正交的向量。

5. QR分解：QR分解是一种将一个矩阵分解成一个正交矩阵和一个上三角矩阵的方法。

QR分解可以通过Gram-Schmidt正交化过程来实现，具体步骤如下：a. 对原矩阵进行Gram-Schmidt正交化，得到一组正交向量。

b. 将得到的正交向量组成一个正交矩阵Q。

c. 计算原矩阵与正交矩阵的转置的乘积，得到一个上三角矩阵R。

d. 原矩阵可以表示为QR的形式。

6. 正交基的选择：在进行正交化时，选择良好的初始向量对最终的正交向量集合的质量有很大影响。

《线性代数》考研辅导讲义3五.向量的内积与线性无关向量组的正交化 1.内积设1212(,,,),(,,,)TT n n x x x x y y y y == ,则1122(,)T n n x y x y x y x y x y =+++=向量x的长度x ===若1x =,称x 为单位向量.向量的单位化:(0)xx x≠. 若(,)0x y =,称x 与y 正交.2.标准正交向量组、标准正交基若向量组两两正交且不含零向量,称为正交向量组.若向量组12,,,m ααα 满足0,(,)1,i j i ji jαα≠⎧=⎨=⎩,称12,,,m ααα 为规范(标准)正交向量组.若该向量组为向量空间的一组基,称其为规范(标准)正交基. 3.线性无关向量组的正交规范化—Schmiditt 正交化过程设向量组12,,,m ααα 线性无关.令111222111132333121122121121112211(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)m m m m m m m m m βαβαβαββββαβαβαβββββββαβαβαβαβββββββββ----==-=--=----则12,,,k ααα 与12,,,(1)k k m βββ≤≤ 等价,且12,,,m βββ 为正交向量组.4.正交矩阵及其性质 若T A A E =(1T A A -⇔=),称A 为正交矩阵.A 为正交矩阵A ⇔的行(或列)向量组为两两正交的单位向量,从而可作为n R 的一组基.若A 为正交矩阵,则1,T A A -也为正交矩阵,且1A =±若,A B 为同阶的正交矩阵,则AB 也是正交矩阵.典型例题一.向量组的线性相关性问题 例1n 维向量组12,,,(3)m m n ααα≤≤ 线性无关的充分必要条件是( D )(A)存在一组不全为零的数12,,,m k k k ,使得11220m m k k k ααα+++≠ .(B) 12,,,m ααα 中任意两个向量线性无关.(C) 12,,,m ααα 中存在某一向量不能由其余向量线性表示. (D)12,,,m ααα 中任一向量都不能由其余向量线性表示.例2 设1234,,,αααα线性无关,则( C ) (A) 12233441,,,αααααααα++++线性无关.(B) 12233441,,,αααααααα----线性无关.(C) 12233441,,,αααααααα+++-线性无关. (D)12233441,,,αααααααα++--线性无关.解 对(A):()12233441123410011100,,,(,,,)01100011αααααααααααα⎛⎫ ⎪⎪++++= ⎪ ⎪⎝⎭. 又12233441100111000(,,,)401100011R αααααααα=⇒++++<. 等等. 一般地:对n 维向量组12,,,m ααα ,令1122231,,,m m βααβααβαα=+=+=+ ,则(1)当m 为偶数时,12,,,m βββ 必线性相关;(2)当m 为奇数时,如果12,,,m ααα 线性无关,则12,,,m βββ 也线性无关;如果12,,,mααα 线性相关,则12,,,m βββ 也线性相关.例3 设三维向量组123,,ααα线性无关,则向量组122331,,k αααααα---也线性无关的充分必要条件是 .解 方法一:()()122331123101,,,,11001k k ααααααααα-⎛⎫ ⎪---=- ⎪ ⎪-⎝⎭,122331123123101,,,,110(1),,001k k kαααααααααααα----=⋅-=-≠-, 则1k ≠.方法二:()()122331123101,,,,11001k k ααααααααα-⎛⎫ ⎪---=- ⎪ ⎪-⎝⎭()123,,K ααα=.因为123,,ααα线性无关,所以()123,,3R ααα=,则122331,,k αααααα---也线性无关()122331,,3R k αααααα⇔---=()3 1.R K k ⇔=⇔≠例4 若向量组123,,ααα线性无关,向量组124,,ααα线性相关,则( C ). (A) 1α必可由234,,ααα线性表示. (B) 2α必不可由134,,ααα线性表示.(C) 4α必可由123,,ααα线性表示. (D)4α必不可由123,,ααα线性表示.解4α必可由12,αα线性表示,则4α必可由123,,ααα线性表示..例5 设n 维列向量组12,,,()m m n ααα< 线性无关,则n 维列向量组12,,,m βββ 线性无关的充分必要条件是( D ).(A) 向量组12,,,m ααα 可由向量组12,,,m βββ 线性表示.(B) 向量组12,,,m βββ 可由向量组12,,,m ααα 线性表示. (C) 向量组12,,,m ααα 与向量组12,,,m βββ 等价. (D)矩阵12(,,,)m A ααα= 与矩阵12(,,,)m B βββ= 等价.解 两个同型矩阵等价的充分必要条件是它们的秩相等. 例6 设123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,),T T T t ααα===(1) 当t 为何值时,向量组123,,ααα线性无关; (2) 当t 为何值时,向量组123,,ααα线性相关;(3) 当向量组123,,ααα线性相关时,将3α表示为12,αα的线性组合.解 方法一:设1122330x x x ααα++=,即()112323,,0x x x ααα⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其系数行列式111123513D t t==-,(1)当0D ≠即5t ≠时,齐次线性方程组只有零解,此时向量组123,,ααα线性无关;(2)当5t=时,齐次线性方程组有非零解,此时向量组123,,ααα线性相关;(3) 当5t =时,系数矩阵1323111101,123012213000r x x A x x t -⎛⎫⎛⎫=-⎧ ⎪ ⎪=→⇒⎨⎪ ⎪=-⎩ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,令31x =,则121,2x x ==-,所以123312202αααααα-+=⇒=-+.方法二:123111,,123513t tααα==-,所以(1)当5t≠时,向量组123,,ααα线性无关; (2) 当5t =时, 向量组123,,ααα线性相关; (3) 当5t =时,以下同方法一.方法三:123,,ααα线性相关123(,,)3R ααα⇔<.123111111(,,)12301213005rA t t ααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,(1) 当5t ≠时, 123(,,)3R ααα=,向量组123,,ααα线性无关;(2) 当5t=时, 123(,,)23R ααα=<,向量组123,,ααα线性相关;(3) 当5t =时,123111101(,,)012012000000rr A ααα-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则121,2,x x =⎧⎨=-⎩所以31122122x x ααααα=+=-.例7 已知三个向量组(Ⅰ)123,,ααα;(Ⅱ)1234,,,αααα;(Ⅲ)1235,,,αααα的秩分别为()()3,()4R R R I =II =III =,证明向量组12345,,,k ααααα-的秩为4.( 0k ≠)证 方法一:()()3,R R I =II =则123,,ααα线性无关,且1234,,,αααα线性相关,故存在123,,λλλ,使得4112233αλαλαλα=++.要证12345(,,,)4R k ααααα-=,只需证12345,,,k ααααα-线性无关.设有1234,,,x x x x ,使得112233445()0x x x x k ααααα+++-=,则11412242334345()()()0x x x x x x kx λαλαλαα+++++-=.因为()4R III =,所以1235,,,αααα线性无关,则11422433440,0,0,0.x x x x x x kx λλλ+=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪-=⎩因为1231000100001000k kλλλ=-≠-,所以齐次线性方程组只有零解,即12345,,,k ααααα-线性无关,则12345(,,,)4R k ααααα-=.方法二:同一得: 4112233αλαλαλα=++,则451122335k k ααλαλαλαα-=++-,所以1212345123512353100010(,,,)(,,,)(,,,)00100k K k λλαααααααααααααλ⎛⎫⎪⎪-== ⎪ ⎪-⎝⎭. 因为1235(,,,)4,()4R R K αααα==,所以12345(,,,)4R k ααααα-=.方法三:同一得:4112233αλαλαλα=++,则4114422433123451*********()12351235(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)c c c k c c c c k k k λλλααααααααλαλαλαααααααααα-÷----=++-→-→所以123451235(,,,)(,,,)()4R k R R ααααααααα-==III =.例8 设()m n R A n ⨯=,n 维列向量组12,,,()s s n ααα≤ 线性无关,证明向量组12,,,s A A A ααα 线性无关.证 设11220s s x A x A x A ααα+++= ,即1212(,,,)0s s x xA x ααα⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.因为()m n R A n ⨯=,则1212(,,,)0s s x x x ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ;又12,,,s ααα 线性无关,则120s x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,所以12,,,s A A A ααα 线性无关.例9 设A为n 阶正定矩阵, 123,,ααα是非零的n 维列向量,且0()T i j A i j αα=≠,证明:123,,ααα线性无关.证 设1122330x x x ααα++=,则1122330x A x A x A ααα++=,从而111122133()()()0T T T x A x A x A αααααα++=,即111()0Tx A αα=.因为A 为正定矩阵,且10α≠,则110T A αα>,所以10x =.同理可证20x =,30x =.例10 设A 为三阶矩阵,三维列向量123,,ααα线性无关,且11232123232,,A A A αααααααααα=++=+=+,求A.解123123110(,,)(,,)211302A A A αααααα⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭,即123123110(,,)(,,)211302A αααααα⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则123123123110,,,,211,,302A ααααααααα⋅=⋅=-.因为123,,ααα线性无关,则123,,0ααα≠,所以1A =-.【注意】如果已知123,,ααα,则可求出A :1123123110(,,)211(,,)302A αααααα-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.例11 设A 为三阶矩阵,有三个不同的特征值123,,λλλ,对应的特征向量依次为123,,ααα.令123βααα=++,证明: 2,,A A βββ线性无关.证12311223A A A A βαααλαλαλα=++=++, 2222112233()A A A ββλαλαλα==++21122123221232331(,,)(,,)1(,,)1A A K λλβββαααλλαααλλ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭因为123,,λλλ互不相同,所以123,,ααα线性无关.又21122221313223311()()()01λλλλλλλλλλλλ=---≠, 所以()3R K =,则2(,,)3R A A βββ=,即2,,A A βββ线性无关.二.线性表示问题例12 设三维列向量123211101,1,1,111λααλαβλλλ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,问λ取何值时: (1) β可由123,,ααα线性表示,且表达式唯一;(2) β可由123,,ααα线性表示,但表达式不唯一;(3)β不能由123,,ααα线性表示.解 方法一:2123111,,111(3)111λαααλλλλ+=+=++,(1)当0λ≠且3λ≠-时, β可由123,,ααα线性表示,且表达式唯一;(2)当0λ=时,12311101110(,,|)1110000011100000r αααβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因为123123(,,)(,,|)13R R ααααααβ==<,所以β可由123,,ααα线性表示,但表达式不唯一;(3)当3λ=-时, 123123(,,)2(,,|)3R R ααααααβ=≠=,所以β不能由123,,ααα线性表示.方法二:12321110(,,|)111111λαααβλλλλ+⎛⎫⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭2223111000032rλλλλλλλλλλ+⎛⎫⎪→-- ⎪ ⎪----⎝⎭.(1) 当20,30λλλ≠⎧⎨--≠⎩即0λ≠且3λ≠-时, 123123(,,)(,,|)3R R ααααααβ==,所以β可由123,,ααα线性表示,且表达式唯一;(2) 当0λ=时,1231110(,,|)00000000rαααβ⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭,因为123123(,,)(,,|)13R R ααααααβ==<,所以β可由123,,ααα线性表示,但表达式不唯一;(3) 当3λ=-时,1231129(,,|)033120006rαααβ-⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭,因为123123(,,)2(,,|)3R R ααααααβ=≠=,所以β不能由123,,ααα线性表示.例13 证明:12,,,s ααα (其中10α≠)线性相关⇔存在i α(1)i s <≤使得iα可由121,,,i ααα- 线性表示,且表示式是唯一的.证 必要性:其思路是求向量组的一个极大无关组的排除法. 因为10α≠,所以1α线性无关.考虑12,αα:若12,αα线性相关,则2α可由1α线性表示,且表示式唯一; 若12,αα线性无关,考虑123,,ααα:若123,,ααα线性相关,则3α可由12,αα线性表示,且表示式唯一; 若123,,ααα线性无关,考虑1234,,,αααα: 依次类推,得因为12,,,s ααα 线性相关,类似可得存在i α,使得121,,,i ααα- 线性无关,而12,,,i ααα 线性相关,所以i α可由121,,,i ααα- 线性表示,且表示式是唯一. 充分性:设i α可由121,,,i ααα- 线性表示,则12,,,i ααα 线性相关,所以12,,,s ααα 线性相关.三.向量组的秩与向量组的极大无关组有关问题例14 求向量组123451124313612,,,,1510613110a c ααααα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的秩和一个极大无关组.解1234511243112431361202431(,,,,)15106100011311000203r A a c a c ααααα----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,(1)当2,3a c ==时, 12345(,,,,)3R ααααα=,一个极大无关组为: 124,,ααα;(2)当2a ≠时, 12345(,,,,)4R ααααα=,一个极大无关组为: 1234,,,αααα; (3)当3c≠时, 12345(,,,,)4R ααααα=,一个极大无关组为: 1245,,,αααα.进一步, 当2,3a c ==时,把其余向量用该极大无关组线性表示:123451000201201(,,,,)0001100000r A ααααα-⎛⎫⎪-⎪=→← ⎪⎪⎝⎭行最简形则322αα=, 51242αααα=--+.例15 设A 为m n ⨯矩阵,B 为n m ⨯矩阵,证明:(1)若()R A n =,则()()R AB R B =; (2)若()R B n =,则()()R AB R A =.(即左乘列满秩矩阵或右乘行满秩矩阵,则矩阵的秩不变)证 (1)方法一:()R A n =,则存在m 阶可逆矩阵P ,使得1A PA O ⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中1A 为n 阶可逆矩阵,则11A A B PABB O O ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以1()()()()R AB R PAB R A B R B ===.方法二:因为()()()min{(),()}R A R B n R AB R A R B +-≤≤,所以()()()n R B n R AB R B +-≤≤, 即()()R AB R B =.方法三:因为()R A n =,所以线性方程组0ABx =与0Bx =同解,(事实上:(1) 0Bx =,则()00ABx A Bx A ===;(2)0ABx =,即()0A Bx =,因为()R A n =,则0Bx =.)所以()()m R AB m R B -=-, 得()()R AB R B =.同理可证(2).例16 设111212122212,0,0,1,2,,.n n i i n n n n a b a b a b a b a b a b A a b i n a b a b a b ⎛⎫⎪⎪=≠≠= ⎪⎪⎝⎭(1)求()R A ;(2)证明:存在数λ,使得A A k k 1-=λ.解 令()()1212,,,,,,,TTn n a a a b b b αβ== ,则T A αβ=.(1)A O ≠,则1()min{(),()}1()1R A R R R A αβ≤≤≤⇒=;(2)11()()()k T k T T k A A βααββα--==,令T λβα=即可.四.向量空间的有关问题(数学二、三、四不做要求)例17 设V 是向量组123(1,1,2,3),(1,1,4,1),(5,1,8,9)T T Tααα==--=--所生成的向量空间,求dim V 及V 的一个规范正交基.解123115115111013(,,)24800031900r A ααα--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,则()2dim 2R A V =⇒=,且12,αα为V的一个基.将12,αα正交单位化得V 的一个规范正交基:12,2,1,5,3)T T εε==--.例18 向量空间V 的两个基分别为12341123223433444(),,,;(),,,ααααβαααβαααβααβαI II =++=++=+=.(1)由基()II 到基()I 的过渡矩阵B ;(2)在基()I 与基()II 下有相同坐标的全体向量.解 (1)12341234123410001100(,,,)(,,,)(,,,)11100111P ββββαααααααα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭,则112341234(,,,)(,,,)P ααααββββ-=, 所以11000110001101011B P -⎛⎫⎪-⎪== ⎪-⎪-⎝⎭.(2)设向量1211223344123434(,,,)x x x x x x x x ξαααααααα⎛⎫ ⎪ ⎪=+++= ⎪ ⎪⎝⎭,则ξ在基()I 下的坐标为1234x x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,所以1234()00,x Px P E x x x x x k =⇒-=⇒====,则 12344000,k k k R ξααααα=⋅+⋅+⋅+=∈.例19 求向量(1,2,1,1)T ξ=在基底1234(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1)T T T T ηηηη==--=--=--下的坐标.解 方法一:设ξ的坐标为1234x x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则1234(,,,)x ξηηηη=,所以112345111(,,,)(,,,)4444T x ηηηηξ-==--. 方法二:注意到1234,,,ηηηη为正交基.设11223344x x x x ξηηηη=+++,则11111111(,)5(,)(,)(,)4x x ξηξηηηηη=⇒==,同理:324234223344(,)(,)(,)111,,(,)4(,)4(,)4x x x ξηξηξηηηηηηη====-==-.【注意】若1234,,,ηηηη为正交规范基,则ξ在1234,,,ηηηη的坐标为(,),1,2,3,4.j j x j ξη==例20 设12,αα线性无关, 12,ββ线性无关,且12,αα分别与12,ββ正交,证明: 12,αα,12,ββ线性无关.证 令112211220x x y y ααββ+++=,因为12,αα分别与12,ββ正交,则111212121222(,)(,)0,(,)(,)0.x x x x αααααααα+=⎧⎨+=⎩ 又12,αα线性无关,,所以11122122(,)(,)0(,)(,)αααααααα≠,则120x x ==.同理可证:120y y ==.所以12,αα,12,ββ线性无关.。