椭圆中最值问题的求解方法

每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！ 椭圆中的最值问题与定点、定值问题

解决与椭圆有关的最值问题的常用方法

（1）利用定义转化为几何问题处理；

（2）利用数形结合，挖掘数学表达式的几何特征进而求解；

（3）利用函数最值得探求方法，将其转化为区间上的二次 函数的最值来处理，此时应注意椭圆中x、y的取值范围；

（4）利用三角替代（换元法）转化为 三角函数的最值问题处理。

一 、椭圆上一动点与焦点的距离的最值问题

椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径，椭圆上一动点与长轴的两端点重合时，动点与焦点取得最大值a+c（远日点）、最小值a-c（近日点）。

推导：设点),(00yxP为椭圆)0(

12222babyax上的任意一点，左焦点为)0,(1cF，20201)(||ycxPF，由 1220220byax得)1(22020axby，将其代入

20201)(||ycxPF并化简得axacPF01||。所以，当点),(00yxP为长轴的右端点)0,(2aA重合时，acaaacPFmax1||；当点),(00yxP为长轴的左端点)0,(1aA重合时。caaaacPF)(||min1。当焦点为右焦点)0,(2cF时，可类似推出。

1. （2015浙江卷）如图，已知椭圆 1222yx上两个

不同的点A、B关于直线21mxy对称。

（1）求实数m的取值范围；

（2）求AOB面积的最大值（O为坐标原点）。

解：（1）由题意知0m，可设直线AB的方程为bxmy1。

联立bxmyyx11222，消y去，得012)121(222bxmbxm。

第15讲 椭圆中6大最值问题题型总结

【题型目录】

题型一：利用均值不等式求最值

题型二：利用焦半径范围求最值

题型三：椭圆上一点到定点距离最值问题

题型四：椭圆上一点到直线距离最值问题

题型五：椭圆有关向量积最值问题

题型六：声东击西，利用椭圆定义求最值

【典型例题】

题型一：利用均值不等式求最值

【例1】已知，是椭圆的两个焦点，点M在C上，

则

1F

2F22

:1

2516xy

C

12MFMF

的最大值为（ ）．

A．13B．12C．25D．16

【答案】C

【解析】

【分析】

根据椭圆定义可得，利用基本不等式可得结果.

1210MFMF

【详解】

由椭圆方程知：；根据椭圆定义知：，5a

12210MFMFa

（当且仅

当时取等号），2

12

1225

2MFMF

MFMF







12MFMF

的最大值为.

12MFMF

25

故选：C.

【例2】（2022·安徽·高二阶段练习）已知椭圆C

：221169xy



的左、右焦点分别为

1F

，

2F

，点P是椭圆C

上的动点，

1mPF

，

2nPF

，则14

mn

的最小值为（ ）A

．9

8

B

．5

4

C

．2037

9

D

．2037

9

【答案】A

【解析】

【分析】

由椭圆的定义可得8mn

；

利用基本不等式，若0ab，

，

则2abab

，当且仅当ab

时取等号.

【详解】

根据椭圆的定义

可知，

1228aPFPF

，即8mn

，

因

为470m

，470n

，

所以

1411414149

552

8888nmnm

mn

mnmnmnmn















，

当且仅

当8

3m

，16

3n

时等号成立.

故选：A

【题型专练】

1.（2022·河南·辉县市第一高级中学高二期末（文））设

P是

椭圆22

1

94xy



上一点，

1F

、

2F

是椭圆的两个焦点，则

12cosFPF

的最小值是（ ）

A

．1

9

B．

1C

．1

9

D

．1

2

【答案】A

【解析】

【分析】

利用椭圆的定义以及基本不等式可求得

以椭圆的蒙日圆有关的面积最值问题证明

引言

在数学领域中，椭圆是一种具有神奇性质的形状。它的美妙之处在于它与其他几何形状之间存在许多有趣的关系。本文将要讨论的是以椭圆的蒙日圆有关的面积最值问题，并给予其证明。

椭圆与蒙日圆的关系

首先，让我们来回顾一下椭圆的定义和特性。椭圆是平面上到两个固定点的距离之和为常数的点的轨迹。这两个固定点被称为焦点，而常数被称为离心率。椭圆的数学表达式如下：

$$\frac{{x^2}}{{a^2}}+\frac{{y^2}}{{b^2}}=1$$

其中，$a$和$b$分别表示椭圆的半长轴和半短轴的长度。椭圆上的任意一点都满足这个方程。

蒙日圆是指在椭圆上可以与一个切线及椭圆的两个焦点构成一个等腰三角形的圆。蒙日圆经常出现在与椭圆相关的几何问题中，而我们将要解决的面积最值问题即与蒙日圆有关。

面积最值问题的提出

我们的问题是寻找以某个椭圆的蒙日圆为内切圆的矩形的面积最大值和最小值。换句话说，我们希望找到这个矩形的最佳形状，使其面积达到最大或最小。

面积最值问题的求解

为了解决这个问题，我们需要先确定矩形的底边长度。根据蒙日圆的定义，我们知道焦点到切点的距离等于蒙日圆的半径。因此，矩形的底边长度等于椭圆的长轴长度减去蒙日圆的半径。即：

$$a-r=b$$ 其中，$r$表示蒙日圆的半径。由此，我们可以得到蒙日圆的半径表达式：

$$r=a-b$$

接下来，我们需要确定矩形的高度。根据椭圆的性质，我们知道切线与椭圆的切点的连线垂直于椭圆的长轴。因此，矩形的高度等于蒙日圆的直径，即：

$$d=2r=2(a-b)$$

由此，我们可以得到矩形的面积表达式：

$$S=bh=(a-b)(2(a-b))=2(a-b)^2$$

为了求解面积最值问题，我们需要对上述表达式进行求导。首先，我们对面积表达式关于$a$进行求导：

$$\frac{{dS}}{{da}}=4(a-b)$$

令上式等于0，我们可以求得$a=b$。由于$a$和$b$表示椭圆的半长轴和半短轴的长度，因此$a=b$意味着矩形退化为一个正方形。

椭圆中面积的最值问题

椭圆是一种广泛存在于自然界的平面图形，它不仅仅是一个平面图形，而且它具有极大的实用价值。椭圆是多种物理科学，化学，天文，生物等领域中常见的图形。椭圆的面积有很多变化，这些变化会产生最大值和最小值，椭圆的最大和最小面积的求解称为椭圆中面积的最值问题。

椭圆的面积可以通过下面的公式来计算：A = πab, 其中a和b分别是椭圆的两个半轴长。

通过研究发现，椭圆的最大面积是在两个半轴长相等的情况下，即a=b时实现的，最大面积可以表示为：A_max = πa^2

同样，当两个半轴长不等时，椭圆的最小面积是在a和b的乘积最小的情况下实现的，最小面积可以表示为：A_min = πab

因此，当椭圆的两个半轴长a和b不等时，最大面积A_max就会大于最小面积A_min，而当两个半轴长a和b相等时，最大面积A_max就等于最小面积A_min。

椭圆中面积的最值问题是一个经典的数学问题，是对几何学中椭圆的有关知识的深入研究。椭圆最大最小面积的求解，不仅仅可以帮助我们理解椭圆的特性，而且还有助于更好地应用椭圆。

椭圆中面积的最值问题，是一个有趣而又有实际意义的数学研究课题，由于椭圆的特性，可以将其应用于多种领域，因此，对椭圆中面积的最值问题的研究，也有助于更好地应用椭圆。