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破解椭圆最值的求解策略

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２０１５年第４期　福建中学数学　４３　

变式３如图６，设点Ｍ（ｘｏ，ｂ），当　∈［一　，　ｊ　

］时，椭圆　＋　：１上总存在点Ｎ，使得　ｊ　ａ　Ｄ　ＺＯＭＮ＝７５。，则椭圆离心率ｅ取值范围是——．　

改编思路变式２是已知椭圆判定点的位置．逆　向思考，如果确定点的位置考查椭圆呢？于是想到　

考查椭圆的离心率．考虑便于计算，给出ＯＭ倾斜　角为６０。，／ＯＭＮ＝６０。．结果，任意椭圆皆满足．于　是给出ＺＯＭＮ＝４５。，ＭＮ的倾斜角为１３５。，得到　■—■　变式３．最后得结果、ｆ　ｅ＜１．　Ｖ　ｌＩ　

４反思　４．１多角度探究，扩大高考题的功效　

一题多解探究过程就是深入理解数学的过程，　是沟通已有知识经验更深刻联系的过程，能让知识　结构有效重组与整合，构建有序的网络化知识体　系；一题多解探究的过程也是深化数学理性认识，　

自觉建构认知结构并积极优化的过程，是解题智慧　得到开发、创新思维和创造能力得到培养和提高的　过程．平时在数学学习和解题活动中应从典型的基　础问题入手，从不同方位、不同角度探索和思考问　

题，综合应用各部分知识开拓思路，进行多解探究　训练，并在解题过程中不断总结经验，积累解题的　思维方法．只有牢固树立起在知识与方法的立体网　

络中思考并解决问题的观念，养成一题多解探究习　惯，摒弃“一题一法”大量操练的“题海战术”，把数　学学活，让头脑变活，我们在解题时才会思绪飞转，　各种方法和技巧才会迅速闪现在脑海中，常规的解　法、简捷的解法、创造性的优美解法便会接踵而至，　

并在多解中不断求筒和优化．　４．２深入探究，拓展高考题的宽度　数学问题的本质是思维活动，思维过程中最富　

有创新的是对问题的探究，有了问题，学生就有了　思考的载体，就有了展示的机会．解题过程中常常　换一个角度试试，可以克服思维定势的消极影响，　

形成创新思维的源泉．通过对本题多角度、全方位、　深层次的思考与探究，以不同知识内容为切入点，　探究出不同的解题方案，能开拓思路，沟通知识，　掌握规律，权衡解法优劣，提高解题效率，积累解　题经验，深化思维活动；通过将题目从特殊推广到　

一般，类比拓广延伸，挖掘潜在的一般结论，使得　内容更具有广泛性和拓展空间，深刻揭示了问题的　本质，让我们的思维在发散性、广阔性、求异性、　

创造性、灵活性、深刻性等方面都得到了很好的锻　炼和发展．　

破解椭圆最值的求解策略　

许沐英　福建省莆田四中新校区数学组（３５ｌ１００）　

圆锥曲线在高考中占有很重要的地位，频频出　现在近几年的福建高考试卷中，在各种题型中均有　考查．而椭圆最值问题为三曲线之首，它涉及的知　

识面广，综合性强，处理方法灵活多变，能够充分　考查学生的函数与方程思想、数形结合思想、转化　与化归等数学思想方法，从而让学生感觉到无从入　手．下面介绍几种常见的与椭圆有关的最值问题进　行分类破解策略．　

１代数策略　解析几何沟通了数学中数与形、代数与几何等　基本对象之间的关系，是一门用代数方法研究几何　问题及几何意义直观反映代数关系的学科．因此，　

在处理解析几何中最值问题时，若目标与条件容易　用数量关系来说明时，不妨考虑建立目标函数，通　过函数的单调性、均值不等式、判别式、二次函数　

的图象等知识点来解决．　１．１二次函数法　利用二次函数求最值要注意自变量的取值范　围及对称轴位置，当对称轴位置不确定时，必须进　行分类讨论．　

例１设椭圆的中心是坐标原点，长轴在　轴　

．　１　上，离心率ｅ＝　，已知点Ｐ（０，妄）到这个椭圆上　Ｚ　点的最远距离为√７，求这个椭圆的方程，并求椭　

圆上到点Ｐ的距离为√７的点的坐标．　

分析在椭圆上任取一点Ｐ，由两点间距离公　福建中学数学　２０１５年第４期　

式表示ＩＰＭｌ，转化为　，Ｙ的函数，求函数的最小　

值．　解析设椭圆的方程为　Ｘ２＋　ｙ２＝ｌ　＞６＞０），　

由Ｐ＝　，ｅｐ　ｃ口：　２，ａ２＝　ｃ２，．￣ａ＝２ｂ，　

故椭圆的方程是　Ｘ２＋　ｙ２＝１（６＞０）．　

设Ｍ（ｘ，Ｙ）是椭圆上任意一点，则　＝４ｂ　一　

４ｙ２　ｏ．・．［ＰＭｒ＝ｘｚ＋（　—　３Ｊ２＝４６　一４ｙ２＋ｙ２－３ｙ＋詈　

＝一３ｙ２－３　＋　＋４６　＝一３（　＋　）　＋３＋４６　，’．・一６　

６，当６＞　，则当ｙ＝－　１时，Ｉｍｌ一＝　而＝　

．ｂ：Ｉ；：　

当０＜６＜　，则当　一６时，　

Ｉｍｌ一＝（ｂ￣－３２）２＝　＋　，　

．・．６＝√　一　与０＜６＜　矛盾；　

综上所述６＝ｌ　・所求椭圆方程为　＋　＝１・　

・．．１ＰＭＩｍａｘ＝　时，Ｊ，＝一去　．　＝±　，　

．・．椭圆上到点Ｐ的距离为４－ｉ的点有两个　

（±　，一　

评注椭圆标准方程上的点Ｍ（ｘ，Ｙ）到定点距　

离Ｐ的最值问题，可以用两点间距离公式表示　ＩＰＭＩ，通过动点在椭圆上消去　或　，将其转化为　

闭区间上二次函数的最值Ｉ＂１题来处理，求解时应注　意自变量Ｘ或者Ｙ的取值范围．　

１．２判别式法　

利用判别式求最值要有主元变换的思想，而且　原方程式必须存在实数解，即原ｒ．－Ｊ题中的最值是存　在的．　例２（２０１２年高考广东卷・理２０）在平面直　

角坐标系　中，已知椭圆Ｇ：　Ｘ２十　ｙ２＝１（ａ＞ｂ＞０）　

的离心率Ｐ　、／亏，且椭圆ｃｌ上的点到Ｑ（０，２）的距　

离的最大值为３．　（Ｉ）求椭圆Ｇ的方程；　

（ＩＩ）在椭圆　上，是否存在点Ｍ（ｍ，　）使得　直线，：　＋ｎｙ＝１与圆０：　＋Ｙ　＝１相交于不同的　

两点　，曰且ＡＡＯＢ的面积最大，？若存在，求出点　

的坐标及相对应的ＡＡＯＢ的面积；若不存在，请　说明理由．　解析设圆上任意一点Ｐ（ｘ，Ｙ），到Ｑ（０，２）对应　

的距离ｄ＝√　＋（Ｙ一２）　，这种形式下对应的几何　

意义是点点之间的距离，去平方得ｄ　＝　＋　一２）２，　

这种形式表示的几何意义是以点（０，２）为圆心，ｄ　

为半径的一个圆．点Ｐ（ｘ，），）只能在椭圆Ｇ上运　

动．相当于以ｄ　＝　＋（Ｙ一２）　为目标函数，ｃｌ为可　

行域的线性规划问题．点在椭圆的什么位置时，对　应的圆半径最大呢？比较图１，图２不能发现，当　目标圆与约束椭圆相切时，半径最大．（ＩＩ）问与　

．　本文主题无关，答案是　（＋　，±　），　∞＝去．　

图１　图　

下面给出（Ｉ）的解答：　解（Ｉ）设ｃｌ上任意一点Ｐ（ｘ，Ｙ），点Ｐ，ａ的　

距离为，，贝０　ｒ＝√　＋（Ｙ一２）　，即　＋（Ｙ一２）　＝ｒ　，　

当圆与椭圆外切时，ｒ最大．由题知ｒ＝３，即圆方　

程为　＋（Ｙ一２）　＝９．又因为　＝１　，得口　＝３ｂ　，　

即椭圆的方程为　＋３ｙ　＝３ｂ　．联立椭圆方程和圆　

方程得　＋（ｙ－２）２＝９’消去　得２　＋　＋５—３６　＝。．　

因为椭圆与圆外切，．・．Ａ＝０，即ｌ６—４ｘ２（５—　

３ｂ　）＝０，解得ｂ　＝１，ａ　＝３ｂ　＝３，椭圆的方程为　

等　

评注本题巧妙地将两点间距离公式　

，＝√　＋（　一２）　转化为目标函数　＋（Ｙ一２）　＝ｒ　，　

表示的几何意义是过定点（０，２）的圆，约束条件即　

为椭圆所在的曲线，数形结合，将动点到定点变化　的距离问题转化为具体的圆与椭圆相切的问题，利　

用最值解出椭圆的方程．　１－

３均值不等式法　２０１５年第４期　福建中学数学　４５　

用均值不等式求最值要有“配凑”技巧与方法，　同时三条件“一正二定三相等”缺一不可．　例３（２００５年高考全国卷ＩＩ・理２１）Ｐ，Ｑ，Ｍ，　

，，２　Ｎ四点都在椭圆　。＋　＝１上，Ｆ为椭圆在Ｙ轴正　

半轴上的焦点．已知ＰＦ与　共线，ＭＦ与　共　

线，且ＰＦ・ＭＦ＝０．求四边形ＰＭＱＮ的面积的最　

小值和最大值．　解析本题是向量与解析几何的结合，主要是　如何选择一个适当的面积计算公式达到简化运算　过程，并结合分类讨论与求最值的思想．　解如图３，由条件知ＭＮ和尸Ｑ是椭圆的两条　

弦，相交于焦点Ｆ（Ｏ，１），且ＭＮｊ＿ＰＱ直线ＰＱ，ＭＮ　

中至少有一条存在斜率，不妨设尸Ｑ的斜率为ｋ，　

又ＰＱ过点Ｆ（Ｏ，１），故ＰＱ的方程为Ｙ＝　＋１，将　

此式代入椭圆方程得（２＋七　）　＋２ｋｘ一１＝０．　

设Ｐ，Ｑ两点的坐标分别为（　，　），（Ｘ２，Ｙ：），　

则ｘｔ＝　，￣ｌＰＯｌ　＝　

（ｘ］－ｘ２）２＋　一　）　＝西８（１＋　ｋ２）２，亦即Ｉ　＝　２￣／２（１＋ｋ２）．　

①当ｋ≠０时，ＭＮ的斜率为一÷，　

一…等　

．，一　＝　＝鬻５　，　‘　（２＋　）（２＋　）　＋２　＋　

令“　＋　１，得　＝　＿２（１一而１），　

・．。“＝ｋ２＋１　２，当　＝±ｌ时，“＝２，　一１９６　Ｒ　是　

以“为自变量的增函数，．・１６９≤　＜２．　

②当ｋ＝０时，删为椭圆长轴，ｌＭＮＩ＝２４／，　

ＩＰＱＩ＝　’．．．　：　ｌ　Ｐ　Ｑｌｌ删ｌ＿２．　

值为　９．　或合理的面积公式，转化成常见函数ａＸ＋皇　＞０，ｂ　

＞０）的最值问题．　

絮锯　

图３　图。４　２三角策略　椭圆的参数方程中选择适当的角作为自变量，　为我们将某些最值问题转化为三角函数式，并利用　三角函数的性质解题提供了可能性．主要难点是利　

用三角函数求最值要有主元变换思想，把三角函数　化为单一三角函数．　

ｖ２　１，２　例４若Ａ为椭圆矢＋　＝１上任一点，Ｂ为圆　

（Ｘ一１）　＋Ｙ　＝１上任一点，求ｌＡＢＩ的最短距离．　

解析如图４，ＩＡＢＩ＋ＩＢＣｌ＞ｌＡＣＩ，且ｌ　ｃｌ＝１，　

故要求ｌＡＢｌ的最小值，只要求ＩＡＣＩ的最小值，除了　

用例２的方法以外，为了统一变量，可以用椭圆的　参数方程，即三角换元．　解设Ａ（５ＣＯＳ０，３　ｓｉｎ０），Ｃ（１，０），故ＩＡＣｌ：　

＝√１６（ｃｏｓ０－　）　＋　，于是　

：半　：半＿１．　

评注若椭圆标准方程上的点到非坐标轴上的　定点的距离求最值时，要深入思考、善于分析，可　

通过椭圆的参数方程，统一变量，使问题解决的正　确率得到提高．　３几何策略　若题目中的条件与结论蕴涵特定的几何特征　及意义，那么不妨借助图形，利用几何性质或定义　来处理最值问题．　３．１赋予特定的几何意义　

有些最值问题具有相应的几何意义，如求分数　最值联想到斜率公式，求平方和最值联想到距离公　

式，由鲁＝　（：导）联想到两直线平行或重合等．若　

能恰当地利用其几何意义，便有助于最值问题的解　决．　

例５已知　，　满足　＋（ｙ－１）

ｚ：ｌ，求

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浅谈椭圆离心率取值范围的求解策略

浅谈椭圆离心率取值范围的求解策略

２００９年第６期　河北理科教学研究　问题讨论　浅谈椭圆离心率取值范围的求解策略　湖北省襄樊市第一中学黄汉桥４４１０００　椭圆的离心率是椭圆的一个重要几何性　质，它是反映椭圆形状即圆扁程度的几何量．　我们可以通过椭圆的一些条件来确定椭圆的　离心率的取值范围．　１利用椭圆的焦半径公式，椭圆的范围求解　先通过焦半径公式建立方程，然后利用　椭圆的范围建立不等式求解．　２　２　例１　已知椭圆的方程为　＋　＝１（０　口　０　＞ｂ＞０），Ｆｌ，Ｆ２分别为椭圆的左、右两个焦　点，Ｐ为椭圆上的一点，若Ｉ　ＰＦｌ　Ｉ＝４　Ｉ　ＰＦ２　Ｉ，　求椭圆的离心率的取值范围．　解：设Ｐ的坐标为（　ｏ，Ｙ０），由椭圆的第　二定义可得，Ｉ　ＰＦ１　Ｉ＝ａ＋ｅｘ０，Ｉ　ＰＦ２　Ｊ＝ａ—　ｅｘｏ，　Ⅱ＋ｅ　０＝４（。一ｅＸＯ）　ｏ＝　≤口　ｅ≥｛．又０＜ｅ＜１　。椭圆的离心率的取值　范围为【詈，１）．　２利用余弦定理及均值不等式求解　先利用余弦定理建立等式，然后根据均　值不等式转化为不等式求解．　例２已知椭圆的方程为　＋　＝１（ｏ　＞ｂ＞０），Ｆｌ，Ｆ２分别为椭圆的左、右两个焦　点，Ｐ为椭圆上的一点，若　ＦｌＰＦ２＝１２（ｙ。，　求椭圆的离心率的取值范围．　解：在ａＦｌＰＦ２中，由余弦定理，得　ｌ　Ｆ１　Ｆ２　Ｉ　＝Ｉ　ＰＦ１　ｌ　＋Ｉ　ＰＦ２　ｌ　一　２Ｉ　ＰＦｌ　ｌｌ　ＰＦ２　ｌ　ｃ０ｓ　Ｆ１　ＰＪＦ２　ｃｏｓ　２ｏｏ＝　＝　（Ｉ尸　１Ｉ＋ｌ　Ｉ）　一ｌＦ１　ｌ　一２１ＰＦｌｌｌ尸　Ｉ　一。—一２Ｉ　Ｐ　一一　４ａ　一４Ｃ　．　２ｂ　．　≥　丽２ｂ２　小　小　（　）　‘　‘　、！　－、　ｆ　＼！　写　－＼　＼Ｉ　ｌＩ、　写　写　－、　写　Ｉ、　写　；　写　ｌＩ＼　写　曲线的切线方程是　＋　：１，故点　ａ。　ｂ。　４（ｘｏ，ｙｏ）处切线的斜率为　．　若Ａ（ＸＯ，ｙｏ）是抛物线Ｃ：Ｙ　＝２ｐｘ上　异于顶点的一点，则在点Ａ（　０，ｙｏ）处抛物　线的切线方程是ｙｏｙ＝Ｐ（　＋ＸＯ），故点　Ａ（ＸＯ，ｙ０）处切线的斜率为卫．　ｙｏ　于是，上面三个定理中的定值有明显的　几何意义，就是曲线在点Ａ（　０，Ｙ０）处切线　斜率的相反数．于是，有如下统一的结论．　定理４已知Ａ（　，ｙｏ）是圆锥曲线Ｃ　上异于顶点的一点，Ｅ，Ｆ是曲线Ｃ上两个动　点，若直线ＡＥ，ＡＦ的斜率互为相反数，则直　线ＥＦ的斜率为定值，而且这个定值有明显　的几何意义，就是曲线ｃ在点Ａ（　。，ｙｏ）处　切线斜率的相反数．

二元函数最值的求解策略

二元函数最值的求解策略

Ｎｏ．８时ｊ弋救育ＴＩＭＥＥＤＵＣＡＴＩｏＮ

二元函数最值的求解策略

力歆

中图分类号：Ｇ６３３６３文献标识码：Ｃ文章编号：１６７２－８１８１（２００７）０８－００４２—０１

一元函数是中学阶段数学研究的主要对象和重要内容之・。然而在一些题的求解中，难免会遇到一此简单的二元甬数最值问题。考虑到处理问题的客观需要和知识的系统性以及学生

进一步认识和理解函数概念．提高认识问题、分析和解决问题的能力，特做如下探索与归纳。

１一元甬数的概念定义：在某个变化过秤巾．存在三个变量Ｘ、Ｙ、ｚ，若对ｘ、Ｙ的

每一对数值（ｘｏ，ｙ士ｚ总有唯一的数值ｚ。与其对应，则ｚ就叫做Ｘ与ｖ的函数．ｘ与Ｙ的取值范围叫定义域（亦称可行域）。二元融数是舍有两个自变量的函数，它是函数的一种类型，

可视为一元函数概念的一种推广，例如：一具矩形面积ｓ就是其长ｆｘ）与宽（Ｙ）的二元函数，密度均匀的物体的质

量

２

做Ａｕｇｕｓｔ２００７

米长的细绳围成一个边长为去米的正方形对面积最大。￡２３利用消元法将二元函数转化为一兀函数后解决

例７已知点Ｐ在圆Ａ：ｘ２十０—２）２＝—｝上运动，Ｑ点在椭圆ｘ２

＋４ｙ毛４上运动，求ＩＰＱＩ的最值及相ＪＩ＿ｆ的Ｐ、Ｑ电的坐标。解：在圆Ａ上任取异于Ｐ的Ｐ。点，连结ＡＰ７，总有ＩＰＱＩ＝ＩＱＡ［＋ＩＰＡＩ＝ＩＱＡＩ＋ＩＡＰ７Ｉ＞ＩＰ７ＱＩ．于是把问题转化为求定点Ａ（０，２）到椭阿上

动点Ｑ的最大值问题，没Ｑ（２ＣＯＳ０，ｓｉｎ０），则ＩＡＱＩ２＝４ＣＯＳ２０＋０ｉｎ

０—２１２＝一３ｓｉｎ２０—４ｓｉｎ０＋８

：一３（ｓｉｎ０＋ｉ２）２＋警，其巾ｅＥ［ｏ．２Ⅱ）

。＋：，使其均过可行域内的点。则从作图可知，ｚ为图２１

直线系ｖ—Ｘ＋Ｚ的截距，故ｚ～＝２，ｚ赢一２

例２变量ｘ，ｙ满足条件ｆ：三：三茎；则ｚ＝芸｝的取范罔

为——。

解：作出该不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图２．２利用数形结合，将卫竽看作是经过点（１，一２）和动点（ｘ、ｙ）的直线

的斜率，可得ｚ的取值范围ｚ≥１或ｚ≤一２。

高考三角函数最值的求解策略

高考三角函数最值的求解策略

ＺＨＯＮＧＸＵＥ　ＪＩＡＯＸＵＥ　ＣＡＮＫＡＯ　解题方法与技巧蒜　慧　躺黪獬嚣　高考三角函数最值的求解策略　甘肃定西陇西县第二中学（７４８１００）　陈忠　三角函数是高中数学教材中一种重要函数，也是高　考中对基础知识和基本技能的考查的重要内容之一，题　目多而不胜枚举．笔者试图以课本和高考中求三角函数　的最值为例，谈谈解决此类问题的策略．　一、化为最基本的初等三角函数　【例１】（２００９，江西）若函数＿厂（　）一（１＋√３ｔａｎｘ）・　ＣＯＳＸ，０≤　＜等，则厂（　）的最大值为（　）．　Ａ．１　Ｂ．２　ｃ．　＋１　Ｄ．　＋２　解析：因为　’（　）一（１＋４￣ｔａｎｘ）ｃｏ　一ｃｏｓ　＋Ｖ％ｉｎｘ　２ｃｏｓ（　一要）．当　一　时，函数取得最大值为２．选Ｂ．　二、反解型　将三角函数解析式反解得ｓｉｎｘ—ｆ（ｙ），ＣＯＳ．１＂＝　厂（　），ｓｉｎ（ｘ＋ｒｆ１）一，（　），ｃｏｓ（ｘ＋　）一，（　）（　为辅助　角），然后利用正余弦函数的有界性，即ｌ－厂（　）ｊ≤１求解．　常见能够反解化为上述类型的函数有：　１．ｙ一　或Ｙｙ一　（ｆ≠ｏ，以　≠６ｆ）；・　一　五　或　一　（　ｕ’。　≠Ｄ　；　２．ｖ—ａｓｉｎｘ－Ｐｂｊ￣ｙ一　（ｆ≠０）．　・　一　ｃｏｓ　１－口一　≠ｕ）’　【例２１求函数　一　（　ｑ　Ｅｏ，　］）的最大　值和最小值．　解析：　原函数可化为　一　一一１＋　４　，反解得ｓｉｎ２ｘ—Ｔ＝　一２．由Ｉ　ｓｉｎ２ｘ　Ｉ≤１得　ｌ　一２Ｉ≤１　专≤　≤３・・。・　—ｘ一３，　—ｎ一专・　评注：（１）类型１还可用斜率公式或用化为常数方　法求解．　（２）类型２除了可以联想斜率公式、解析法求解以　外，特别注意Ａｓｉ眦＋Ｂｃｏｓｘ—Ｃ有解的充要条件是Ａ　＋Ｂ　≥　，另外还可以用万能公式代换化为关于ｔａｎ寺　的一元二次方程，应用函数与方程思想求解．　三、化为ｙ＝ａｓｉｎｃｃ＋ｂｃｏｓｘ型　将三角函数式化为ｙ＝ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ，然后引入辅助　角　化简成一个角的一种三角函数Ｙ一￣／ｎ　＋　ｓｉｎ（ｘ＋　）的形式（有些高考题直接给出的是这种情形，只考查　能化为一角一式就可以解决问题），再利用基本初等三　角函数的最值来求解．　【例３１（２００７，天津）已知函数　（－Ｔ）　２ｃｏｓｘ（ｓｉｎｘ　—ＣＯＳ￣）＋１，，ＴＪ∈Ｒ．　（Ｉ）求函数，（　）的最小正周期；　（ＩＩ）求函数＿厂（　）在区间［詈，　］上的最小值和最　大值．　解析：（Ｉ）＿厂（ｚ）一２ｃｏｓｘ（ｓｉｎｒ—ｃｏｓｘ）＋１一ｓｉｎ２ｚ—　ｃｏｓ２ｘ一　ｓｉｎ（２ｘ一　）．因此，函数厂（ｚ）的最小正周期　为亿　（ＩＩ）因为　（ｚ）＝４－２ｓｉｎ（２ｘ－－号）在区间［詈，詈］上　为增函数，在区间［警，　］上为减函数，又厂（詈）一０，　－厂（警）一　，／（　）一　ｓｉｎ（挚一号）一一　ｃ。ｓ号一一１，　故函数＿厂（　）在区间［詈，　］上的最大值为　，最小值为　一１．　四、化为ｙ＝Ａｓｉｎ（ｗｘ＋ｑ￣）十足或ｙ＝Ａｃｏｓ（ｏｘｒ＋￣）　＋志型　将所给的三角函数式化为这两种形式或它们的特　殊情形，就可以轻松求解值域、最值、单调性、最小正周　期、取值的正负，并可以画出图象．　【例４】（２００８，天津）已知函数　（　）一２ｃｏｓ。（　＋　２ｓｉｎａｚｃｃｏｓ￣ｘ￣ｌ（ｘｆｆＲ，　＞０）的最小值正周期是号．　（Ｉ）求叫的值；　（１１）求函数　（　）的最大值，并且求使，（ｚ）取得最　大值的　的集合．　解析：（工）厂（　）一２．—１＋—ｃ　ｏｓ２￣ｏｘ＋ｓｉｎ２ｏ￣ｘ＋１一　ｓｉｎ２ｏ￣ｘ￣ｃｏｓ２ｃｏｘ￣２：　（ｓ　ｃ。ｓ号＋ｃ。ｓ２　ｓｉｎ号）　＋２一　ｓｉｎ（２　＋｛）＋２．　由题设，函数厂（　）的最小正周期是号，可得笼一　要，所以　一２．　（１Ｉ）由（Ｉ）知，　（ｚ）＝　ｓｉｎ（４　＋　）＋２．当４ｘ＋　４一。　￣２ｋ丌，即ｚ一　＋　（是∈ｚ）时，ｓｉｎ（４．ｚ＋｛）取　得最大值１，所以函数／、（ｚ）的最大值是２＋　，此时ｚ的　８５　Ｅ＿ｍａｉｌ：ｚｘｊｘｃｋｉｋ（￣１６３・ｃ

立体几何最值问题求解策略

立体几何最值问题求解策略

立体几何最值问题求解策略

王中华 王广敏

最值问题一直是高中数学的重点和热点问题，当然，也是历年高考试题都要涉及的题目。在立体几何中，计算几何体的最值往往有两种方法：一是利用函数及重要不等式，二是利用化归转化思想将立体几何中的极值问题转化为平面几何中的极值问题。另外，解决几何体的相切、相接问题的关键是注意两个几何体之间的等量关系。本文举例说明立体几何中的最值问题的求解策略。

一. 利用三角函数求最值

例1. 已知三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，侧面ABBAAAB11160是∠°的菱形，且平面ABB1A1⊥平面ABC，M是A1B1上的动点。试求使二面角A1—BM—C的平面角最小时的三棱锥M—A1CB的体积。

分析：要使二面角A1—BM—C的平面角最小，必须先构建其平面角，如何构建？如图所示，取AB中点O，在MB上找一点P，因为CO垂直MB，剩下的问题只要使OP垂直于MB即可。这样MB就垂直于平面CPO，则∠OPC就是所求的平面角。在Rt△COP中就转化为求OP的最大值的问题，易发现此时点P即为点B，点M为线段A1B1的中点。

解：取AB中点O，过O作OP⊥BM，垂足为P，连结CP。

∵AB是平面A1B与平面ABC的交线，CO⊥AB，且平面A1B⊥平面ABC

∴CO⊥平面A1B

MBAB平面1，因此COMB

而平面，OPCOPMBOP，∠OPC即为ABMC1的平面角。

在Rt△COP中，tan∠OPCCOOP

CO为定长，∠OPC为最小，即OP为最大。

当且仅当P与B重合时，OP最大，此时M点为A1B1的中点，BM⊥AB。

VVSCOMACBCAMBMB1111312··

解后反思：本题是一道探索性题，确定动点M使所求二面角最小的位置是关键。在求体积的过程中运用了等积变形。

二. 利用均值定理求最值

例2. 在棱长为a的正方体OABC—OABC''''中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF。