椭圆的最值问题

每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！ 椭圆中的最值问题与定点、定值问题

解决与椭圆有关的最值问题的常用方法

（1）利用定义转化为几何问题处理；

（2）利用数形结合，挖掘数学表达式的几何特征进而求解；

（3）利用函数最值得探求方法，将其转化为区间上的二次 函数的最值来处理，此时应注意椭圆中x、y的取值范围；

（4）利用三角替代（换元法）转化为 三角函数的最值问题处理。

一 、椭圆上一动点与焦点的距离的最值问题

椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径，椭圆上一动点与长轴的两端点重合时，动点与焦点取得最大值a+c（远日点）、最小值a-c（近日点）。

推导：设点),(00yxP为椭圆)0(

12222babyax上的任意一点，左焦点为)0,(1cF，20201)(||ycxPF，由 1220220byax得)1(22020axby，将其代入

20201)(||ycxPF并化简得axacPF01||。所以，当点),(00yxP为长轴的右端点)0,(2aA重合时，acaaacPFmax1||；当点),(00yxP为长轴的左端点)0,(1aA重合时。caaaacPF)(||min1。当焦点为右焦点)0,(2cF时，可类似推出。

1. （2015浙江卷）如图，已知椭圆 1222yx上两个

不同的点A、B关于直线21mxy对称。

（1）求实数m的取值范围；

（2）求AOB面积的最大值（O为坐标原点）。

解：（1）由题意知0m，可设直线AB的方程为bxmy1。

联立bxmyyx11222，消y去，得012)121(222bxmbxm。

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1 / 3 关于椭圆的最值问题

1．定义法

例1。P(-2,3),F2为椭圆1162522yx的右焦点，点M在椭圆上移动，求︱MP︱+︱MF2︱的最大值和最小值。

分析：欲求︱MP︱+︱MF2︱的最大值和最小值

可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义

︱MF2︱=2a-︱MF1︱, F1为椭圆的左焦点。

解：︱MP︱+︱MF2︱=︱MP︱+2a-︱MF1︱连接PF1延长PF1

交椭圆于点M1,延长F1P交椭圆于点M2由三角形三边关系知

–︱PF1︱︱MP︱-︱MF1︱︱PF1︱当且仅当M与M1重合时取右等号、M与M2重合时取左等号。因为2a=10,

︱PF1︱=2所以（︱MP︱+︱MF2︱）max=12, （︱MP︱+︱MF2︱）min=8

结论1：设椭圆12222byax的左右焦点分别为F1、F2, P(x0,y0)为椭圆内一点，M(x,y)为椭圆上任意一点，则︱MP︱+︱MF2︱的最大值为2a+︱PF1︱,最小值为2a–︱PF1︱。

例2：P(-2,6),F2为椭圆1162522yx的右焦点，点M在椭圆上移动，求︱MP︱+︱MF2︱的最大值和最小值。

分析：点P在椭圆外，PF2交椭圆于M，此点使︱MP︱+︱MF2︱值最小，求最大值方法同例1。

解：︱MP︱+︱MF2︱=︱MP︱+2a-︱MF1︱连接PF1并延长交椭圆于点M1，则M在M1处时︱MP︱-︱MF1︱取最大值︱PF1︱。∴︱MP︱+︱MF2︱最大值是10+37，最小值是41。

结论2：设椭圆12222byax的左右焦点分别为F1、F2, P(x0,y0)为椭圆外一点，M(x,y)为椭圆上任意一点，则︱MP︱+︱MF2︱的最大值为2a+︱PF1︱，最小值为PF2。

2.二次函数法

例3．求定点A(a,0)到椭圆12222byax上的点之间的最短距离。

以椭圆的蒙日圆有关的面积最值问题证明

引言

在数学领域中，椭圆是一种具有神奇性质的形状。它的美妙之处在于它与其他几何形状之间存在许多有趣的关系。本文将要讨论的是以椭圆的蒙日圆有关的面积最值问题，并给予其证明。

椭圆与蒙日圆的关系

首先，让我们来回顾一下椭圆的定义和特性。椭圆是平面上到两个固定点的距离之和为常数的点的轨迹。这两个固定点被称为焦点，而常数被称为离心率。椭圆的数学表达式如下：

$$\frac{{x^2}}{{a^2}}+\frac{{y^2}}{{b^2}}=1$$

其中，$a$和$b$分别表示椭圆的半长轴和半短轴的长度。椭圆上的任意一点都满足这个方程。

蒙日圆是指在椭圆上可以与一个切线及椭圆的两个焦点构成一个等腰三角形的圆。蒙日圆经常出现在与椭圆相关的几何问题中，而我们将要解决的面积最值问题即与蒙日圆有关。

面积最值问题的提出

我们的问题是寻找以某个椭圆的蒙日圆为内切圆的矩形的面积最大值和最小值。换句话说，我们希望找到这个矩形的最佳形状，使其面积达到最大或最小。

面积最值问题的求解

为了解决这个问题，我们需要先确定矩形的底边长度。根据蒙日圆的定义，我们知道焦点到切点的距离等于蒙日圆的半径。因此，矩形的底边长度等于椭圆的长轴长度减去蒙日圆的半径。即：

$$a-r=b$$ 其中，$r$表示蒙日圆的半径。由此，我们可以得到蒙日圆的半径表达式：

$$r=a-b$$

接下来，我们需要确定矩形的高度。根据椭圆的性质，我们知道切线与椭圆的切点的连线垂直于椭圆的长轴。因此，矩形的高度等于蒙日圆的直径，即：

$$d=2r=2(a-b)$$

由此，我们可以得到矩形的面积表达式：

$$S=bh=(a-b)(2(a-b))=2(a-b)^2$$

为了求解面积最值问题，我们需要对上述表达式进行求导。首先，我们对面积表达式关于$a$进行求导：

$$\frac{{dS}}{{da}}=4(a-b)$$

令上式等于0，我们可以求得$a=b$。由于$a$和$b$表示椭圆的半长轴和半短轴的长度，因此$a=b$意味着矩形退化为一个正方形。

椭圆中的最值问题

规律总结：

圆锥曲线最值问题具有综合性强、涉及知识面广而且常含有变量的一类难题，也是教学中的一个难点。要解决这类问题往往利用函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归等数学思想方法，将它转化为解不等式或求函数值域，以及利用函数单调性、各种平面几何中最值的思想来解决。

知识梳理

（1） 设椭圆12222byax的左右焦点分别为F1、F2, P(x0,y0)为椭圆内一点，M(x,y)为椭圆上任意一点，则︱MP︱+︱MF2︱的最大值为2a+︱PF1︱,最小值为2a–︱PF1︱。

（2） 设椭圆12222byax的左右焦点分别为F1、F2, P(x0,y0)为椭圆外一点，M(x,y)为椭圆上任意一点，则︱MP︱+︱MF2︱的最大值为2a+︱PF1︱，最小值为PF2。

（3） 椭圆12222byax上的点M(x,y)到定点A(m,0)或B(0,n)距离的最值问题，可以用两点间距离公式表示︱MA︱或︱MB︱，通过动点在椭圆上消去y或x,转化为二次函数求最值，注意自变量的取值范围。

（4） 若椭圆12222byax上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时,可通过椭圆的参数方程，统一变量转化为三角函数求最值。

（5） 椭圆上的点到定直线l距离的最值问题,可转化为与l平行的直线m与椭圆相切的问题,利用判别式求出直线m方程，再利用平行线间的距离公式求出最值。