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常微分方程初值问题数值解法的比较
数值计算实践—课程设计报告
课题名称 常微分方程初值问题数值解法的比较 完成时间 2013-1-17
姓名 班级 学号 成绩
一. 实验目的及内容
1实验目的：（1） 了解常微分方程初值问题的理论背景以及初值问题稳定性、收敛性的研究；
（2） 熟练掌握欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法以及截断误差分析；
（3） 比较欧拉法、改进欧拉法及龙格-库塔法，能够选择合适的方法进行问题的研究计算；
2实验内容：求微分方程)10(1)0('xyyy（欧拉法求解）
求微分方程)10(1)0(2'xyyxyy（改进欧拉法求解）
求微分方程)10(1)0()1log(1'xyxy（龙格-库塔求解）
根据实验的结果进行分析，了解一般方法的的优缺点，稳定性，收敛性以及截断误差的分析，针对相应问题拿出有效方法得出最优的结果。
二．相关背景知识介绍以及初值问题稳定性的研究：
在科学与工程问题中，常微分方程表述物理量的变化规律，应用非常广泛，比如，天体运动的轨迹，机器人控制，化学反应过程的描述和控制以及电路瞬态过程分析等。这些问题中要求解随时间变化的物理量，即位置函数tty),(表示时间，而微分方程描述了未知函数与它的一阶或高阶导数之间的关系。
考虑一阶常微分方程的初值问题 000')(],,[),,(yxybxxyxfy，如果存在实数,0L使
1 / 1 得,,|,|),(|),(|212121RyyyyLyxfyxf则称f关于y满足利普希茨条件，L称为利普希茨常数。
对于常微分方程初值问题000')(),,(ytyttytfy，考虑初值0y的扰动是问题的解)(ty发生偏差的情形。若t时)(ty的偏差被控制在有界范围内，则称该初值问题是稳定的，否则该初值问题不稳定的。
浅谈常微分方程初值问题数值解法
在自然科学、工程技术、甚至社会科学的一些领域中，常常会遇见一阶常微分方程的求解问题：
()
上述问题，寻求解的具体表达式十分困难，仅对一些特殊形式的才有可能找到解的解析表达式，在大多情况下，初值问题的解不能用初等函数表示出来即使可写出解的解析表达式，但因为这些表达式过于复杂，要计算它在某些点上的函数值也异常困难。在实际问题中，经常需要的恰是解在某些点上的函数值，因此研究初值问题的数值解法十分必要。
1 常微分方程初值问题的数值解法
常微分方程的近似解法大体可分成三大类：一类是图解法和器械法；第二类是解的近似法；第三类是数值解法，即通过离散化的方法直接求出函数在某些点上的近似值，此数值解仅为精确解的近似解。其基本原理为：
一阶常微分方程的初值问题的解是上变量的连续函数，因此求上述问题的数值解，就是在区间上的若干离散点上用离散化的方法将初值问题化成离散变量的相应问题，从而相应问题的解可作为初值问题理论解的近似值。由常微分方程的理论可知，只要在区域内连续，且关于满足林普希兹条件，则方程的解存在且唯一。
初值问题的数值解法通常采取“步进法”，而“步进法”又可分为“单步法”和“多步法”两类。
（1）单步法。所谓“单步法”是指在计算时，只用到前一步的有关信息。其一般形式为： ，主要包括下面三种方法：Euler方法，改进的Euler公式-梯形公式和Runge-Kutta法。
（2）线性多步法。单步法没有用到前几步计算得到的信息，因此为了提高精度，需重新计算多个点处的函数数值，如RK方法，故计算量较大。线性多步法的基本思想是充分利用前面的已知信息来构造精度高且计算量小的算法来计算。多步法常用方法是线性多步法，求解公式为：
构造的常用方法是Taylor展开和数值积分方法。常用的线性多步公式有： 四阶Adams显式公式：
四阶Adams隐式公式：
四阶Milne显式公式：
三阶Hamming公式： （隐式公式）
常微分方程的初值问题及其解法
常微分方程是自然界中各种变化的基础模型，广泛应用于物理、工程、生物、经济学等领域。初值问题是其中最基本的问题之一。本文将从初值问题的意义入手，介绍几种不同的数值解法，并评价其优缺点。
1. 初值问题的意义
首先，我们来看一个简单的例子。假设有一个人从一楼的窗户往下跳，忽略空气阻力，我们可以列出他下落的物理规律：
$$\frac{d^2h}{dt^2}=g$$
其中$h$是跳下来后距离地面的高度，$t$是时间，$g$是常数，表示重力加速度。上面这条式子就是一个二阶常微分方程。我们的问题是，如果知道了他的初速度$v_0$和起始高度$h_0$，能否求得他下落到地面时的时间和高度。
这个例子中，$h$和$t$都是连续的量，但是我们并不能解析地求出$h(t)$的解析式，因此需要用数值方法去近似求解。这就是初值问题的意义。
通常，初值问题是指某一初始时刻$t_0$的初值：
$$y'(t_0)=f(y(t_0),t_0),\ y(t_0)=y_0$$
其中$y$是未知函数，而$f$则是已知函数。对于一阶常微分方程，这个条件是充分的，可以唯一地决定一个解。但是对于更高阶的常微分方程，则需要多个初始条件才能确定一个解。然而，这已经超出了本文的范畴，这里只讨论一阶常微分方程的初值问题。
2. 数值解法
下面将介绍几种常见的数值解法。
2.1. 欧拉法
欧拉法是最简单的数值解法之一，其思路是将初值问题离散化。具体来说，我们可以将时间$t$分成若干个小段，每段的长度为$\Delta t$。于是，我们可以将初始时刻$t_0$的初始值$y(t_0)=y_0$，并通过欧拉法近似计算下一个时间点$t_0+\Delta t$的值$y_1$：
$$y_1=y_0+f(y_0,t_0)\Delta t$$
同理，我们可以通过已知的$y_1$和$t_1=t_0+\Delta t$，计算下一个时间点$t_2=t_0+2\Delta t$的值$y_2$：
常微分方程中的初值问题及解析解的求解
常微分方程是数学中重要的一个分支，它研究的是一类关于未知函数及其派生函数的方程。其中，初值问题是求解常微分方程的一种基本方法，通过给定初始条件，计算出函数在这个初始点上的值，并逐步推算出函数在逐渐逼近所求解点上的值。解析解是指能够通过代数或函数的方式得到的函数表达式或公式，它在常微分方程中起着重要的作用。
本文将通过详细的论述，探讨常微分方程中的初值问题及解析解的求解方法。
一、初值问题
1.什么是初值问题
初值问题是指，给定一个常微分方程及其初始条件，求该方程在初始点上的解，即求解函数在一个点的值。通常，初值问题可以表示为：
y' = f(x, y), y(x0) = y0
其中，y'表示关于x的导数，f(x,y)表示一般的函数表达式，y(x0)表示在x0这一点上，函数y的值为y0。
2.求解初值问题的方法
为了求解常微分方程的初值问题，我们需要利用数值方法和解析方法两种基本的求解方法。
数值方法是通过数值计算得出函数的数值近似解，它可以在一定程度上解决一些复杂的常微分方程。具体来看，数值方法通常采用数值迭代等一系列计算方法，将x值串联起来，以近似解代替函数的实际值。
解析方法是指利用已知的数学方法求解常微分方程的解析解。解析方法适合于求解简单的常微分方程。解析解的求解通常渐近地得到表达式，这些表达式能够明确地刻画出注重解析的科学问题。
二、解析解的求解
1. 一阶微分方程的求解
对于一阶线性微分方程，可以采用分离变量的方法求解。常见的分离变量方法表示为：dy/dx = f(x)g(y)，其中f(x)，g(y)都是与x和y有关的函数，两边同时积分，就得到：
∫1/g(y)dy = ∫f(x)dx
有时，可以将一阶微分方程变形为某种特定的方程，从而得到解析解。
2. 二阶微分方程的求解
二阶微分方程最常见的形式为y'' + p(x)y' + q(x)y = 0。如果它是一组常数系数的线性方程，那么它可以通过代数方法直接求解。如果系数是变量，则需要使用变量系数线性微分方程的解法，也可能需要找到该方程的特解。此时我们需要使用特殊的方法或者代数的技巧，以求解出特解或者它的渐进形式。具体来说，可以归纳出特解的形式，通过每一次微分来重新确定未知常数值的方法来得到该方程的通解。
