《数值计算方法》 教案 课程名称： 数值计算方法 主讲教师： 杨爱民 开课学院： 理学院
授课章节第9章 §9.5讲 次第22讲 【共22讲】
授课题目微分方程组数值解法授课学时2学时
本 讲
教学目的掌握内容掌握求解一阶微分方程组与高阶微分方程的数值解法。
熟悉内容熟悉求解一阶微分方程组与高阶微分方程的数值解法。
了解内容了解计算方法的收敛性与稳定性。
本讲教学重点一阶微分方程组的数值解法
本讲教学难点高阶微分方程的数值解法
教学过程备 注
§ 9.5微分方程组数值解法
一、一阶常微分方程组的求解方法
前面我们研究了单个方程yfﾢ=的数值解，只要把y 和f 理解为向量，那么，所提
供的各种计算公式即可应用到一阶方程组的情形.
考察一阶方程组12(,,,,),(1,2,,)LL
iiNyfxyyyiNﾢ==的初值问题，初始条件为
0
0(),(1,2,,).L
iiyxyiN==
若采用向量的记号，记(向量)
000
1201212(,,,),(,,,),(,,,).LLLTTT
NNNyyyyyyyyffff===
则上述方程组的初值问题可表示为
00(,)
()yfxy
yxyﾢ=ﾢ
ﾢ=ﾢ。
求解这一初值问题的四阶龙格-库塔公式为(向量)
11234(22)
6nnh
yykkkk
+=++++
式中(向量)
1
21
32
43(,)
(,)
22
(,)
22
(,)nn
nn
nn
nnkfxy
hh
kfxyk
hh
kfxyk
kfxhyhk=ﾢ
ﾢ
ﾢ=++
ﾢ
ﾢ
ﾢ=++
ﾢ
ﾢ=++ﾢ
或表示为(分量)
,11234(22),(1,2,,)
6L
ininiiiih
yyKKKKiN
+=++++=
其中(分量)
112
21112211
31122222
41132233(,,,,)
(,,,,)
2222
(,,,,)
2222
(,,,,)L
L
L
LiinnnNn
iinnnNnN
iinnnNnN
iinnnNnNKfxyyy
hhhh
KfxyKyKyK
hhhh
KfxyKyKyK
KfxhyhKyhKyhK=ﾢ
ﾢ
ﾢ=++++
常微分方程的初值问题及其解法
常微分方程是自然界中各种变化的基础模型，广泛应用于物理、工程、生物、经济学等领域。初值问题是其中最基本的问题之一。本文将从初值问题的意义入手，介绍几种不同的数值解法，并评价其优缺点。
1. 初值问题的意义
首先，我们来看一个简单的例子。假设有一个人从一楼的窗户往下跳，忽略空气阻力，我们可以列出他下落的物理规律：
$$\frac{d^2h}{dt^2}=g$$
其中$h$是跳下来后距离地面的高度，$t$是时间，$g$是常数，表示重力加速度。上面这条式子就是一个二阶常微分方程。我们的问题是，如果知道了他的初速度$v_0$和起始高度$h_0$，能否求得他下落到地面时的时间和高度。
这个例子中，$h$和$t$都是连续的量，但是我们并不能解析地求出$h(t)$的解析式，因此需要用数值方法去近似求解。这就是初值问题的意义。
通常，初值问题是指某一初始时刻$t_0$的初值：
$$y'(t_0)=f(y(t_0),t_0),\ y(t_0)=y_0$$
其中$y$是未知函数，而$f$则是已知函数。对于一阶常微分方程，这个条件是充分的，可以唯一地决定一个解。但是对于更高阶的常微分方程，则需要多个初始条件才能确定一个解。然而，这已经超出了本文的范畴，这里只讨论一阶常微分方程的初值问题。
2. 数值解法
下面将介绍几种常见的数值解法。
2.1. 欧拉法
欧拉法是最简单的数值解法之一，其思路是将初值问题离散化。具体来说，我们可以将时间$t$分成若干个小段，每段的长度为$\Delta t$。于是，我们可以将初始时刻$t_0$的初始值$y(t_0)=y_0$，并通过欧拉法近似计算下一个时间点$t_0+\Delta t$的值$y_1$：
$$y_1=y_0+f(y_0,t_0)\Delta t$$
同理，我们可以通过已知的$y_1$和$t_1=t_0+\Delta t$，计算下一个时间点$t_2=t_0+2\Delta t$的值$y_2$：
常微分方程初值问题的数值解法
摘要:本文分别介绍了Euler法和常用的标准四阶龙格——库塔（Runge-Kutta）公式法来求常微分方程初值问题的数值解。通过两种不同方法求出解的结果，并将结果进行比较，分析两种方法的优劣。
关键字: Euler 四阶龙格-库塔 常微分方程初值问题 数值解
一、问题描述与分析
分别使用Euler法和四阶龙格-库塔公式法求解常微分方程初值问题的数值解。
例如：1)0()10(2222'ytttyy
1、微分方程的概念
未知的函数以及它的某些阶的导数连同自变量都由一已知方程联系在一起的方程称为微分方程。如果未知函数是一元函数，称为常微分方程。常微分方程的一般形式为0)yy,yy,(t,(n)F。
如果未知函数是多元函数，成为偏微分方程。联系一些未知函数的一组微分方程组称为微分方程组。微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶解数称为微分方程的阶。若方程中未知函数及其各阶导数都是一次的，称为线性常微分方程，一般表示为b(t)(t)yay(t)(t)yn1-1)-(n1(n)naay。若上式中n1,2,i(t)，ia,均与t无关，称之为常系数。
2、常微分方程的解析解
（1）微分方程可直接通过积分求解.例如,一解常系数常微分方程1ydtdy，可以转化形式为dtydy1，两边同时积分可以得到通解1-tcey，其中c为任意常数。
(2)有些常微分方程可用一些技巧,如分离变量法,积分因子法,常数变异法,降阶法等可化为可积分的方程而求得解析解.
线性常微分方程的解满足叠加原理,从而他们的求解可归结为求一个特解和相应齐次微分方程的通解.一阶变系数线性微分方程总可用这一思路求得显式解。高阶线性常系数微分方程可用特征根法求得相应齐次微分方程的基本解，再用常数变异法求特解。
一阶常微分方程与高阶微分方程可以互化，已给一个n阶方程)y,y,y(t,1)-(n(n)fy。设yy1，yy2，，1)-(nyyn，可将上式转化为以解方程组：)y,,y,y(t,n211-3221fyyyyyyynnn 反过来，在许多情况下，一阶微分方程组也可化为高阶方程。所以一阶微分方程组与高阶常微分方程的理论与方法在许多方面是相通的，一阶常系数线性微分方程组也可用特征根法求解。
第七章 常微分方程初值问题的数值解法
--------学习小结
一、本章学习体会
通过本章的学习，我了解了常微分方程初值问题的计算方法，对于解决那些很难求解出解析表达式的，甚至有解析表达式但是解不出具体的值的常微分方程非常有用。在这一章里求解常微分方程的基本思想是将初值问题进行离散化，然后进行迭代求解。在这里将初值问题离散化的方法有三种，分别是差商代替导数的方法、Taylor级数法和数值积分法。常微分方程初值问题的数值解法的分类有显示方法和隐式方法，或者可以分为单步法和多步法。在这里单步法是指计算第n+1个y的值时,只用到前一步的值，而多步法则是指计算第n+1个y的值时，用到了前几步的值。通过对本章的学习，已经能熟练掌握如何用Taylor级数法去求解单步法中各方法的公式和截断误差，但是对线性多步法的求解理解不怎么透切，特别是计算过程较复杂的推理。
在本章的学习过程中还遇到不少问题，比如本章知识点多，公式多，在做题时容易混淆，其次对几种R-K公式的理解不够透彻，处理一个实际问题时，不知道选取哪一种公式，通过课本里面几种方法的计算比较得知其误差并不一样，，这个还需要自己在往后的实际应用中多多实践留意并总结。
二、本章知识梳理
常微分方程初值问题的数值解法一般概念
步长h，取节点0,(0,1,...,)nttnhnM，且MtT，则初值问题000'(,),()yftyttTyty的数值解法的一般形式是
1(,,,...,,)0,(0,1,...,)nnnnkFtyyyhnMk
显示单步法
7.2.1 显示单步法的一般形式
1(,,),(0,1,...,1)nnnnyyhtyhnM
定理7.2.1 设增量函数(,,)nntyh在区域00{(,,)|,||,0}DtyhttTyhh内对变量y满足Lipschitz条件，即存在常数K，使对D内任何两点1(,,)tuh和2(,,)tuh，不等式1212|(,,)(,,)|||tuhtuhKuu成立，那么，若单步法的局部截断误差1nR与1(1)php同阶，即11()pnROh，则单步法的整体截断误差1n与ph同阶，即1()pnOh。(且称单步法为p阶方法)
